Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов РАСПРОСТРАНЕНИЕ

Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов
РАСПРОСТРАНЕНИЕ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
В НЕЛИНЕЙНЫХ СЛОИСТЫХ СРЕДАХ
Пенза
Издательство ПГУ
2010
УДК 517.958+517.927.4
ББК 22.147
В15
Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор,
заведующий лабораторией вычислительной электродинамики
Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова
А. С. Ильинский;
доктор физико-математических наук, профессор,
заведующий кафедрой прикладной математики
Московского государственного института радиотехники,
электроники и автоматики (технического университета)
А. Б. Самохин
В15
Валовик, Д. В.
Распространение электромагнитных волн в нелинейных
слоистых средах: монография / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов. –
Пенза : Изд-во ПГУ, 2010. – 264 c.
ISBN 978-5-94170-324-1
Издание посвящено современным результатам в области распространения поляризованных электромагнитных волн в нелинейных
слоях и круглых цилиндрических волноводах. Полученные результаты могут применяться для изучения как обычных нелинейных материалов, так и нелинейных метаматериалов. Книга предназначена для
исследователей в области математической теории дифракции.
УДК 517.958+517.927.4
ББК 22.147
ISBN 978-5-94170-324-1
c Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г.,
2010
c Издательство Пензенского
государственного университета,
2010
О Г Л А В Л Е Н И Е
Предисловие
5
Введение
7
Часть I. Краевые задачи для системы
уравнений Максвелла в слое
Глава 1. ТЕ- и ТМ-поляризованные электромагнитные
волны, направляемые слоем . . . . . . . . . . .
Глава 2. Распространение электромагнитных ТЕ-волн
в линейном слое . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 3. Распространение электромагнитных ТЕ-волн
в слое с произвольной нелинейностью . . . . . .
Глава 4. Распространение электромагнитных ТЕ-волн
в слое с обобщенной керровской нелинейностью .
Глава 5. Распространение электромагнитных ТМ-волн
в линейном слое . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 6. Распространение электромагнитных ТМ-волн
в слое с произвольной нелинейностью . . . . . .
Глава 7. Распространение электромагнитных ТМ-волн
в изотропном слое с керровской нелинейностью .
Глава 8. Распространение электромагнитных ТМ-волн
в анизотропном слое с керровской нелинейностью
3
17
. . .
18
. . .
23
. . .
35
. . .
57
. . .
79
. . .
94
. . . 121
. . . 156
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Часть II. Краевые задачи для системы
уравнений Максвелла в круглых
цилиндрических волноводах
Глава 9. ТЕ- и ТМ-поляризованные электромагнитные
волны, направляемые круглым цилиндрическим
волноводом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 10. Распространение электромагнитных ТЕ-волн
в линейном круглом цилиндрическом волноводе . .
Глава 11. Распространение электромагнитных ТЕ-волн
в круглом цилиндрическом волноводе
с керровской нелинейностью . . . . . . . . . . . .
Глава 12. Распространение электромагнитных ТМ-волн
в линейном круглом цилиндрическом волноводе . .
Глава 13. Распространение электромагнитных ТМ-волн
в круглом цилиндрическом волноводе
с керровской нелинейностью . . . . . . . . . . . .
Список литературы
179
. . 180
. . 185
. . 191
. . 210
. . 217
255
ПРЕДИСЛОВИЕ
В монографии излагаются современные результаты исследования задач распространения поляризованных электромагнитных волн в нелинейных волноведущих структурах, а именно
в нелинейных слоях и нелинейных цилиндрических волноводах.
В рассматриваемых средах диэлектрическая проницаемость является функцией от напряженности электрического поля. В книге изложены результаты, полученные авторами в самое последнее время и частично опубликованные в научной периодике. Но
мы хотим представить эти результаты в одной монографии, поскольку они объединены общей электродинамической постановкой и общим методом решения. Также в книге мы имеем возможность представить результаты с более подробными доказательствами, что не всегда возможно сделать в журнальных публикациях.
Существенной особенностью книги является рассмотрение
задач в строгой электродинамической постановке как нелинейных краевых задач на собственные значения для системы уравнений Максвелла.
Монография состоит из введения и двух частей, которые делятся на несколько глав. Каждая глава содержит самостоятельный результат относительно того или иного типа волн, распространяющихся в определенной структуре с определенным типом
нелинейности.
Введение посвящено небольшому обзору состояния вопроса,
обсуждению результатов монографии и обсуждению использованных подходов к решению задач. Также во введении мы совсем
6
ПРЕДИСЛОВИЕ
кратко коснулись некоторых нерешенных вопросов в надежде
привлечь внимание исследователей к этим трудным и интересным задачам.
Первая часть посвящена изучению линейных и нелинейных
краевых задач для поляризованных ТЕ- и ТМ-волн, распространяющихся в слоях с произвольной нелинейностью.
Вторая часть посвящена распространению поляризованных
электромагнитных ТЕ- и ТМ-волн в нелинейных цилиндрических волноводах с керровской нелинейностью.
Мы постарались написать книгу так, чтобы каждая глава
была независима от остальных. Это позволит читателю сразу
обратиться именно к тому вопросу, который его интересует. По
этой причине в главах есть некоторые повторения. Однако перекрестные ссылки между главами все равно присутствуют, они,
как правило, относятся к сравнению различных результатов.
В каждой главе принята сквозная нумерация формул, определений, утверждений, теорем и рисунков. Если ссылка дается на
формулу из другой главы, то перед номером формулы добавляется номер соответствующей главы. Аналогично нумеруются
определения, теоремы и т.д.
Подчеркнем, что результаты, представленные в монографии,
позволяют изучать как обычные нелинейные материалы, так и
нелинейные метаматериалы.
Монография рассчитана на научных работников, аспирантов, студентов, специализирующихся в области исследования задач электродинамики, а также математического моделирования
процессов распространения электромагнитных волн.
Авторы надеются, что изучение методов, представленных
в монографии, расширит математический кругозор исследователей в области электродинамики и, возможно, позволит решить
новые сложные задачи.
Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов
ВВЕДЕНИЕ
Задачи распространения электромагнитных волн в нелинейных средах интенсивно изучаются в течение нескольких десятилетий. К первым монографиям по этому вопросу, по-видимому,
следует отнести работы [9, 2]. К таким задачам относится распространение волн в волноведущих структурах и, в частности,
распространение волн в диэлектрическом слое и диэлектрическом круглом цилиндрическом волноводе. Явления распространения электромагнитных волн в нелинейных средах представляют как самостоятельный интерес1 , так и находят широкое применение, например: в физике плазмы, в современной микроэлектронике, в оптике, в лазерной технике [9, 33]. Нелинейные эффекты наблюдаются в таких соединениях, как жидкие кристаллы [65], полупроводники InSb и HgCdTe и т.д. Вследствие этого
большое значение приобретает разработка математических моделей для таких задач и методов их решения.
К основным нелинейным эффектам, возникающим в веществе при распространении в нем электромагнитных волн, относятся явления самофокусировки, дефокусировки и самоканализации лучей и т.д. [9, 33]. В связи с большим количеством нелинейных эффектов и различным их влиянием на распространение
электромагнитных волн в веществе большое значение приобретает аналитическое и численное изучение таких явлений.
Учет нелинейных эффектов при построении математических моделей для описания подобных явлений приводит к за1
Здесь возникают трудные нелинейные краевые задачи на собственные
значения для системы уравнений Максвелла.
ВВЕДЕНИЕ
8
дачам решения систем нелинейных дифференциальных уравнений, точнее, к нелинейным краевым задачам на собственные значения, которые в большинстве случаев не поддаются решению
в аналитическом виде (для случая керровской нелинейности1
см., например, [60, 61]). Подобные трудности приводят к тому,
что исследователи рассматривают такие задачи при некоторых
упрощениях [58] или аппроксимируют решения простыми функциями [71] без достаточного обоснования (в [58, 71] рассматривается керровская нелинейность).
По-видимому, впервые задачи распространения поляризованных волн в слое и круглом цилиндрическом волноводе с керровской нелинейностью в строгой электродинамической постановке были сформулированы в работе [60].
Задачи распространения поляризованных волн в линейном
слое и линейном круглом цилиндрическом волноводе изучены
достаточно хорошо (см., например, [1, 10, 83]). Такие задачи
формулируются как краевые задачи на собственные значения
для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако в случае нелинейных задач многие авторы (см., например,
[62, 68, 69, 73, 79]) основное внимание уделяют нахождению явных решений получающихся дифференциальных уравнений и
не акцентируют внимание на разыскании дисперсионных уравнений2 . В большинстве случаев уравнения проинтегрировать не
удается. Конечно, располагая явными решениями дифференциальных уравнений, можно легко построить дисперсионные уравнения. Поэтому, когда уравнения не удается проинтегрировать
явно, до дисперсионного уравнения дело просто не доходит. Однако в некоторых случаях дисперсионное уравнение можно най1
Когда говорят, что диэлектрическая проницаемость ε среды изменяется
по закону Керра, то имеют в виду, что ε = εпост + α|E|2 , εпост – постоянная
составляющая диэлектрической проницаемости ε; α – коэффициент нелинейности; |E|2 = Ex2 + Ey2 + Ez2 – квадрат модуля напряженности электрического поля E.
2
С математической точки зрения дисперсионное уравнение – это уравнение для собственных значений задачи, анализ которого позволяет делать
заключения о разрешимости задачи, о локализации собственных значений.
ВВЕДЕНИЕ
9
ти в явной форме и при этом не обладать явными решениями дифференциальных уравнений. Подчеркнем, что такие задачи естественно рассматривать именно как задачи на собственные значения. Действительно, основной интерес в таких задачах представляет нахождение тех значений спектрального параметра (по сути собственных чисел), при которых волна в рассматриваемой волноведущей структуре распространяется. Если
собственное значение известно, то решения дифференциальных
уравнений легко находится численно. Если же собственное значение неизвестно, то применить численные методы не удается.
Подробнее остановимся на случае керровской нелинейности.
Наиболее изучены явления распространения ТЕ-поляризованных электромагнитных волн. Статья [72] посвящена изучению
распространения электромагнитных волн в нелинейном диэлектрическом слое с поглощением, причем отдельно изучается случай нелинейности по закону Керра. В работе [73] изучается отражение и прохождение электромагнитных ТЕ-волн в нелинейном
слое. В этом случае удается проинтегрировать получившиеся
обыкновенные дифференциальные уравнения и выразить компоненты электромагнитного поля в терминах эллиптической функции Вейерштрасса.
Случай распространения электромагнитных ТМ-волн в нелинейных средах является более сложным, чем случай ТЕ-волн,
так как наличие двух компонент электрического поля сильно
усложняет анализ [57]. Это связано с тем, что диэлектрическая
проницаемость достаточно просто выражается в терминах компонент электрического поля и наличие двух компонент электрического поля приводит к более сложной зависимости диэлектрической проницаемости от интенсивности электромагнитного
поля. А это, в свою очередь, приводит к усложнению уравнений, описывающих распространение волн. В уже упоминавшейся работе [58] рассматривается линейный диэлектрический слой,
окруженный с одной или двух сторон нелинейной средой с нелинейностью, выраженной законом Керра.
Подобная задача для ТЕ-волн решена аналитически [56, 77].
Для случая ТМ-волн в [58] получено дисперсионное уравнение
10
ВВЕДЕНИЕ
для собственных значений задачи, которое представляет собой
алгебраическое уравнение. Ранее [55] было получено аналогичное уравнение при условии, что в законе Керра учитывается
только продольная компонента Ex2 электрического поля. Позднее [78] было показано, что доминирующий нелинейный вклад
в диэлектрическую проницаемость пропорционален поперечной
компоненте Ez2 . В работах [14, 62] рассматривается распространение электромагнитных ТМ-волн в нелинейном полупространстве с нелинейностью по закону Керра. Приводятся формальные решения в квадратурах получающихся дифференциальных
уравнений. В работе [62] также представлены дисперсионные
уравнения как для случая изотропной, так и анизотропной среды в нелинейном полупространстве. Дисперсионные уравнения
для собственных значений представляют собой рациональные
функции значений компонент поля на границе раздела сред и
находятся аналитически из простейших алгебраических уравнений. Авторы находят первый интеграл системы, описывающей распространение волн (так называемый закон сохранения).
Уравнения являются дифференциальными уравнениями первого порядка, разрешенными относительно производной. Это и
позволяет формально проинтегрировать получающиеся уравнения при условии, что необходимую компоненту можно выразить из первого интеграла. Авторами приводится необходимое и
достаточное условие того, чтобы дифференциальное уравнение,
связывающее компоненты поля, являлось уравнением в полных
дифференциалах и, следовательно, его решение (первый интеграл) можно было найти аналитически. Это условие выглядит
xx
zz
= ∂ε
, где εxx и εzz – компоненты диаследующим образом: ∂ε
∂Ez2
∂Ex2
гонального тензора диэлектрической проницаемости в направлениях Ox и Oz соответственно.
В некоторых случаях более сложной нелинейности уравнение удастся проинтегрировать, найдя подходящий интегрирующий множитель (авторы упомянули об этом в конце указанной работы). В случае аналогичной задачи для ТЕ-волн наличие всего лишь одной компоненты электрического поля позволяет получить точные результаты [63, 64, 67, 85]. В работах
ВВЕДЕНИЕ
11
[68, 69] распространение ТМ-волн изучается в терминах магнитной компоненты электромагнитного поля. В работе [69] изучается распространение ТМ-волн в нелинейном изотропном полупространстве, причем нелинейность – это произвольная функция
квадрата интенсивности электрического поля, в качестве примера найденные результаты применяются к случаю нелинейности
типа Керра. Работа [68] посвящена изучению рассеяния электромагнитных ТМ-волн в тонком нелинейном слое. В качестве
диэлектрической проницаемости выступает произвольная функция от квадрата интенсивности электрического поля. Представлено формальное решение в квадратурах. В работе [55] проводится обоснование с физической точки зрения возможности учета только одной из компонент электрического поля в выражении
для диэлектрической проницаемости в случае распространения
ТМ-волн в нелинейном слое. Проводится сравнение с аналогичным случаем для ТЕ-волн.
Таким образом, можно сказать, что наиболее важные результаты по распространению ТМ-волн в слое и круглом цилиндрическом волноводе с керровской нелинейностью (система дифференциальных уравнений, первые интегралы, а из них, фактически, следует интегрируемость в квадратурах) были получены
в работах [60, 61], выполненных в 1971–1972 гг. В некоторых
работах (например, [68]) рассматривалось распространение поляризованных волн в слое с произвольной нелинейностью. Однако дисперсионные уравнения не были найдены, также не было
получено никаких результатов относительно разрешимости краевой задачи и локализации собственных значений (достаточно
полно была изучена лишь задача для ТЕ-волн, распространяющихся в слое с керровской нелинейностью). Задача о распространении ТМ-волн в слое с керровской нелинейностью была решена
относительно недавно сначала для достаточно тонкого слоя [18],
потом для слоя произвольной толщины [16, 17, 82], теоремы о
существовании и локализации были доказаны в [13], некоторые
численные результаты представлены в [19, 20].
Как уже было сказано, случай ТЕ-волн и керровской нелинейности (и даже обобщенной керровской) оказывается относи-
12
ВВЕДЕНИЕ
тельно простым. Простым в том смысле, что там удается проинтегрировать получающиеся дифференциальные уравнения [73].
Однако использованная там техника не может быть легко распространена (если вообще может) на более общие нелинейности.
Уже в случае ТМ-волн и керровской нелинейности (а это простейший случай для ТМ-волн) задача значительно усложняется.
A posteriori стало ясно, почему сравнительно легко удалось решить эту задачу для ТЕ-волн и почему такие трудности вызывала задача для ТМ-волн. В случае ТЕ-волн решение дифференциального уравнения выражалось через эллиптические функции,
а решение для ТМ-волн выражается через гиперэллиптические.
В первом случае в [73] уравнение было проинтегрировано аналитически, а уже потом искали дисперсионное уравнение. Во
втором случае найти аналитическую формулу (с которой можно
работать) для решений получающейся системы оказалось трудно (она так и не была построена), поскольку периоды искомой
гиперэллиптической функции были функциями параметров задачи и вычислить их не представлялось возможным. А без значений периодов решение было бы лишь формальным выражением,
которое вряд ли возможно будет проанализировать и использовать при расчетах. Кроме того, решение уравнений – это еще не
решение задачи на собственные значения. Если же рассматривать эту задачу как задачу на собственные значения, то можно
сосредоточиться на поиске дисперсионного уравнения для собственных значений и не пытаться решать уравнения. Тем более,
когда собственные значения известны, сами уравнения легко решаются численно [19, 20].
В рассматриваемых в этой книге задачах дисперсионное
уравнение представляет собой собственно уравнение и некоторые условия. Только в случае линейных сред в слое или круглом
цилиндрическом волноводе эти дисперсионные уравнения являются относительно простыми (но и в этом случае это трансцендентные уравнения). В случае нелинейных слоев дисперсионные
уравнения – это довольно сложные комбинации нелинейных интегральных уравнений, в которых подынтегральные выражения
определяются неявными алгебраическими (или трансцендент-
ВВЕДЕНИЕ
13
ными) функциями. В случае нелинейных круглых цилиндрических волноводов некоторые результаты удалось получить только
для случая керровской нелинейности. Подчеркнем, что несмотря
на то, что дисперсионные уравнения являются сложными, они
относительно легко поддаются численному решению.
Полученные дисперсионные уравнения с единой точки позволяют изучать как обычные нелинейные материалы, так и
нелинейные метаматериалы. Если говорить о материале с постоянной диэлектрической ε и магнитной μ проницаемостями,
то обычным материалом называют материал с одновременно положительными ε и μ. Если же хоть одна из этих характеристик
отрицательна, то говорят о метаматериале. Линейные и нелинейные метаматериалы активно изучаются в настоящее время
(статья В. Г. Веселаго [21] – первая широко известная работа
на эту тему) и здесь уже огромное количество работ (см. например, [4, 52, 53, 54, 70, 84] и библиографию там). Заметим,
что мы изучаем материалы с ε произвольного знака и считаем,
что μ > 0. Однако в полученных дисперсионных уравнениях изменение знака μ легко учесть. Таким образом, представленные
дисперсионные уравнения позволяют изучать практически любые материалы.
На протяжении всей книги мы сосредоточимся на выводе
дисперсионных уравнений для рассматриваемых задач. Метод
получения таких уравнений носит название метода интегральных дисперсионных соотношений. В случае слоя указанный метод позволяет исследовать нелинейность практически любого
типа. Полученные дисперсионные уравнения позволяют исследовать распространение электромагнитных ТЕ- и ТМ-волн не
только в обычных нелинейных материалах, но и в нелинейных
метаматериалах. Также на основе дисперсионных уравнений
в линейных слоях и волноводах мы проведем анализ распространения волн в линейных метаматериалах.
Как известно, диэлектрическая проницаемость есть диагональный тензор, ее записывают в виде диагональной матрицы
3 × 3. Тензорный характер диэлектрическая проницаемость имеет для анизотропных сред, а для изотропных сред диэлектриче-
14
ВВЕДЕНИЕ
ская проницаемость – скаляр. Однако для ТЕ-поляризованных
волн даже в случае анизотропных сред учитывается только один
элемент тензора диэлектрической проницаемости. Для ТМ-волн
мы рассмотрим, как анизотропные, так и изотропные среды.
Заметим, что существует одно принципиальное различие
между распространением поляризованных волн в нелинейном
слое и в нелинейном круглом цилиндрическом волноводе. Дифференциальные уравнения, описывающие распространение ТЕи ТМ-волн в слое, где диэлектрическая проницаемость является
функцией от напряженности электрического поля, являются автономными. В случае круглого цилиндрического волновода эти
уравнения уже не являются автономными. Этот факт является
существенным препятствием для распространения результатов,
относящихся к нелинейному слою на нелинейный круглый цилиндрический волновод.
Здесь, когда мы говорим о нелинейных краевых задачах, то
мы имеем в виду, что дифференциальные уравнения нелинейны
относительно входящих в них функций; спектральный параметр
входит в дифференциальные уравнения нелинейно, и краевые
условия так же являются нелинейными относительно спектрального параметра. Все это не позволяет применять известные методы исследования спектральных задач и сильно усложняет их
исследование.
Также большое внимание привлекают задачи распространения ТЕ- и ТМ-волн в нелинейных цилиндрических волноводах.
Эти задачи гораздо более сложные по сравнению с только что
рассмотренными. И в первую очередь (с точки зрения авторов)
это связано с тем, что в случае волновода получающиеся обыкновенные дифференциальные уравнения не являются автономными (в отличие от случая слоя). Тем не менее методами теории интегральных уравнений получены дисперсионные уравнения (для
достаточно малых значений коэффициента нелинейности, обеспечивающих сходимость метода сжимающих отображений) для
ТЕ- и ТМ-волн в цилиндрических волноводах с керровской нелинейностью (см. работы [41, 47], постановка задачи есть также
в [60]).
ВВЕДЕНИЕ
15
В настоящее время проблема нахождения дисперсионных
уравнений для собственных значений для ТЕ- и ТМ-волн в цилиндрическом волноводе с произвольной нелинейностью является открытой. И даже в случае керровской нелинейности хотелось бы получить дисперсионные уравнения для более широкого
диапазона значений коэффициента нелинейности.
ЧАСТЬ I
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
В СЛОЕ
ГЛАВА 1
TE- и ТМ-ПОЛЯРИЗОВАННЫЕ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ,
НАПРАВЛЯЕМЫЕ СЛОЕМ
В этой главе приводятся известные результаты о распространении электромагнитных волн в слое с постоянной диэлектрической проницаемостью. Как известно [40], в этом случае вместо электромагнитного поля, у которого все координаты отличны от нуля, достаточно рассматривать ТЕ- и ТМполяризованные электромагнитные волны. Такой подход в дальнейшем позволит перейти от уравнений в частных производных
к обыкновенным дифференциальным уравнениям. В изложении
вопроса о ТЕ- и ТМ-поляризованных волнах, направляемых слоем, мы в основном следовали работе [1], также мы обращались
к книгам [10, 35].
Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся через однородный, анизотропный, немагнитный диэлектрический слой, расположенный между двумя полупространствами
x < 0 и x > h в декартовой системе координат Oxyz. Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость
ε1 ≥ ε0 и ε3 ≥ ε0 соответственно, где ε0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. Считаем, что всюду μ = μ0 – магнитная
проницаемость вакуума.
Гл. 1. ТЕ- и ТМ-поляризованные волны, направляемые слоем
19
Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:
Ẽ (x, y, z, t) = E+ (x, y, z) cos ωt + E− (x, y, z) sin ωt,
H̃ (x, y, z, t) = H+ (x, y, z) cos ωt + H− (x, y, z) sin ωt,
где ω – круговая частота; Ẽ, E+ , E− , H̃, H+ , H− – вещественные искомые функции.
Образуем комплексные амплитуды полей E и H:
E = E+ + iE− ,
H = H+ + iH− ,
где
E = (Ex , Ey , Ez )T ,
H = (Hx , Hy , Hz )T ,
знак ( · )T обозначает операцию транспонирования и
Ex = Ex (x, y, z), Ey = Ey (x, y, z), Ez = Ez (x, y, z),
Hx = Hx (x, y, z), Hy = Hy (x, y, z), Hz = Hz (x, y, z).
Везде ниже множители cos ωt и sin ωt будем опускать.
Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе уравнений Максвелла
rot H = −iωεE,
rot E = iωμH,
(1)
условию непрерывности касательных составляющих компонент
поля на границе раздела сред x = 0, x = h и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально
затухает при |x| → ∞ в областях x < 0 и x > h.
Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается
диагональным тензором:
⎞
⎛
0
εxx 0
εyy 0 ⎠ ,
ε̃ = ⎝ 0
0
0
εzz
где εxx , εyy , εzz – постоянные величины.
20
Часть I. Краевые задачи в слое
Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.
На рис. 1 схематически изображена геометрия задачи. Слой
не ограничен в направлениях y и z.
x
ε = ε3
h
ε = ε̃
0
z
ε = ε1
y
Рис. 1. Геометрия задачи
Выпишем систему (1) в развернутом виде:
⎧ ∂H
∂Hy
z
⎪
⎨ ∂y − ∂z = −iωεxx Ex ,
∂Hx
∂Hz
∂z − ∂x = −iωεyy Ey ,
⎪
⎩ ∂Hy
∂Hx
∂x − ∂y = −iωεzz Ez ,
⎧ ∂E
∂Ey
z
⎪
⎨ ∂y − ∂z = iωμHx ,
∂Ex
∂Ez
∂z − ∂x = iωμHy ,
⎪
⎩ ∂Ey
∂Ex
∂x − ∂y = iωμHz .
(2)
В рассматриваемом случае все производные по y обращаются в нуль. Это следует из предположения, что в положительном
и отрицательном направлениях оси y волновод (слой) не ограничен, т.е. распределение полей мод в направлении оси y однородно. Тогда система (2) примет вид
⎧ ∂Hy
⎪
⎨ ∂z = iωεxx Ex ,
∂Hx
∂Hz
∂z − ∂x = −iωεyy Ey ,
⎪
⎩ ∂Hy
∂x = −iωεzz Ez ,
⎧ ∂Ey
⎪
⎨ ∂z = −iωμHx ,
∂Ex
∂Ez
∂z − ∂x = iωμHy ,
⎪
⎩ ∂Ey
∂x = iωμHz .
(3)
Поскольку производные по y обращаются в нуль, значит,
соответствующие функции от y не зависят. Из первой группы
уравнений системы (2) видно, что Hx и Hz не зависят от y, тогда
и Ey не зависит от y. Из второй группы уравнений системы (2)
Гл. 1. ТЕ- и ТМ-поляризованные волны, направляемые слоем
21
видно, что Ex и Ez не зависят от y, тогда и Hy не зависит от y.
Таким образом, получаем, что
Ex = Ex (x, z), Ey = Ey (x, z), Ez = Ez (x, z),
Hx = Hx (x, z), Hy = Hy (x, z), Hz = Hz (x, z).
Перегруппируем уравнения системы (3) таким образом:
⎧ ∂Hy
⎪
⎨ ∂z = iωεxx Ex ,
∂Ex
∂Ez
∂z − ∂x = iωμHy ,
⎪
⎩ ∂Hy
∂x = −iωεzz Ez ,
⎧ ∂Ey
⎪
⎨ ∂z = −iωμHx ,
∂Hx
∂Hz
∂z − ∂x = −iωεyy Ey ,
⎪
⎩ ∂Ey
∂x = iωμHz .
(4)
Видно, что исходная система (1) распалась на две независимые друг от друга системы (4).
Система
⎧ ∂Hy
⎪
⎨ ∂z = iωεxx Ex ,
∂Ex
∂Ez
∂z − ∂x = iωμHy ,
⎪
⎩ ∂Hy
∂x = −iωεzz Ez
возникает из системы (1), если поля E, H имеют вид
E = (Ex , 0, Ez )T ,
H = (0, Hy , 0)T .
(5)
Причем здесь можно считать, что
Ex = Ex (x, y, z), Ez = Ez (x, y, z), Hy = Hy (x, y, z);
после подстановки этих выражений в уравнения (1) получим,
что функции Ex , Ez , Hy не зависят от y.
Система
⎧ ∂Ey
⎪
⎨ ∂z = −iωμHx ,
∂Hx
∂Hz
∂z − ∂x = −iωεyy Ey ,
⎪
⎩ ∂Ey
∂x = iωμHz
возникает из системы (1), если поля E, H имеют вид
E = (0, Ey , 0)T ,
H = (Hx , 0, Hz )T .
(6)
Часть I. Краевые задачи в слое
22
Причем здесь можно считать, что
Ey = Ey (x, y, z), Hx = Hx (x, y, z), Hz = Hz (x, y, z);
после подстановки этих выражений в уравнения (1) получим,
что функции Ey , Hx , Hz не зависят от y.
Волны вида (5) называются ТМ-поляризованными электромагнитными волнами1 , или волнами электрического типа, или
волнами типа E.
Волны вида (6) называются ТE-поляризованными электромагнитными волнами2 , или волнами магнитного типа, или волнами типа H.
Как известно, в однородных направляющих структурах, таких как, например, слой с постоянной диэлектрической проницаемостью, всякая электромагнитная волна представляется в виде
суперпозиции ТЕ- и ТМ-волн [40]. Именно это обстоятельство
и позволяет изучать распространение электромагнитных волн
в линейном слое лишь для поляризованных волн, что, конечно,
значительно упрощает анализ возникающих уравнений. Такая
ситуация отнюдь не характерна для слоя с нелинейным заполнением (например, когда диэлектрическая проницаемость в слое
является функцией от напряженности электрического поля). Задача распространения электромагнитных волн в таком нелинейном слое, конечно, не распадается на две более простые задачи.
Поэтому, изучая распространение ТЕ- и ТМ-поляризованных
волн в нелинейных слоях, мы, вообще говоря, находим лишь
частные решения уравнений Максвелла (1), которые соответствуют упомянутым поляризациям.
1
2
от англ. transverse-magnetic.
от англ. transverse-electric.
ГЛАВА 2
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ТЕ-ВОЛН В ЛИНЕЙНОМ СЛОЕ
В этой главе изучается распространение электромагнитных
ТЕ-волн в слое с постоянной диэлектрической проницаемостью
(так называемый линейный слой). Несмотря на то, что эта задача является классической в электродинамике и рассматривается
во многих книгах, нам не удалось найти источник с изложением,
подходящим для наших целей. Поэтому мы предпочли вывести
все необходимые результаты здесь, тем более, что эти результаты часто используются в дальнейшем изложении.
§1. Уравнения Максвелла и постановка задачи
Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся через однородный, изотропный, немагнитный диэлектрический слой, расположенный между двумя полупространствами
x < 0 и x > h в декартовой системе координат Oxyz. Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость
ε1 ≥ ε0 и ε3 ≥ ε0 соответственно, где ε0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. Вообще говоря, условия ε1 ≥ ε0 и ε3 ≥ ε0
необязательны, они не используются при выводе дисперсионных уравнений, однако могут оказаться полезными при анализе
разрешимости дисперсионных уравнений. Считаем, что всюду
μ = μ0 – магнитная проницаемость вакуума.
Часть I. Краевые задачи в слое
24
Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:
Ẽ (x, y, z, t) = E+ (x, y, z) cos ωt + E− (x, y, z) sin ωt,
H̃ (x, y, z, t) = H+ (x, y, z) cos ωt + H− (x, y, z) sin ωt,
где ω – круговая частота; Ẽ, E+ , E− , H̃, H+ , H− – вещественные искомые функции.
Образуем комплексные амплитуды полей E и H:
E = E+ + iE− ,
H = H+ + iH− .
Везде ниже множители cos ωt и sin ωt будем опускать.
Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе уравнений Максвелла
rot H = −iωεE,
(1)
rot E = iωμH,
условию непрерывности касательных составляющих компонент
поля на границе раздела сред x = 0, x = h и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально
затухает при |x| → ∞ в областях x < 0 и x > h.
Диэлектрическая проницаемость внутри слоя есть ε = ε2 .
Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.
На рис. 1 схематически представлена геометрия задачи.
x
h
ε = ε3
ε = ε2
0
ε = ε1
Рис. 1. Геометрия задачи
z
Гл. 2. ТЕ-волны в линейном слое
25
§2. ТЕ-поляризованные электромагнитные волны
Рассмотрим ТЕ-поляризованные волны
E = (0, Ey , 0)T ,
H = (Hx , 0, Hz )T ,
где Ey = Ey (x, y, z), Hx = Hx (x, y, z), Hz = Hz (x, y, z).
Подставив поля E и H в уравнения Максвелла (1), получим
⎧ ∂H
z
= 0,
⎪
⎪
⎪ ∂y
⎪
∂Hx
∂Hz
⎪
⎪
⎨ ∂z − ∂x = −iωεEy ,
∂Hx
∂y = 0,
⎪
⎪
∂Ey
⎪
⎪
⎪
∂z = −iωμHx ,
⎪
⎩ ∂Ey
∂x = iωμHz .
Из первого и третьего уравнений этой системы видно, что
Hz и Hx не зависят от y; поскольку Ey выражается через Hz и
Hx , то Ey также не зависит от y.
Волны, распространяющиеся вдоль границы z раздела сред
(а мы ищем именно их), гармонически зависят от z. Значит, компоненты полей E, H имеют представление
Ey = Ey (x)eiγz , Hx = Hx (x)eiγz , Hz = Hz (x)eiγz .
Тогда рассмотренная выше система принимает вид
⎧
⎪
⎨iγHx (x) − Hz (x) = −iωεEy (x),
−iγEy (x) = iωμHx (x),
⎪
⎩ Ey (x) = iωμHz (x),
(2)
где γ – неизвестный спектральный параметр (постоянная распространения электромагнитной волны).
После простейших преобразований из системы (2) получаем
γ 2 Ey (x) − Ey (x) = ω 2 μεEy (x) .
26
Часть I. Краевые задачи в слое
Пусть k2 = ω 2 με0 , μ = μ0 , выполним нормировку в соответε
d
d
= k dx̃
, γ̃ = γk , ε̃j = ε0j (j = 1, 2, 3).
ствии с формулами x̃ = kx, dx
Обозначим Ey (x̃) ≡ Y (x̃). Опуская значок тильды, получаем
Y (x) = γ 2 Y (x) − εY (x) .
(3)
Введем в рассмотрение функцию Z(x) = Y (x) и будем рассматривать (3) как систему:
Y (x) = Z(x),
(4)
Z (x) = γ 2 − ε Y (x).
Будем искать те действительные значения спектрального
параметра γ, для которых существуют действительные решения
Y (x), Z(x) системы (4).
Замечание. Мы считаем γ действительным, хотя в линейном случае можно считать спектральный параметр комплексным числом. В нелинейном случае при используемом подходе
уже не удается рассматривать комплексные γ.
Считаем, что функции Y и Z дифференцируемы так, что
Y (x) ∈ C(−∞, +∞)∩
∩ C 1 (−∞, +∞) ∩ C 2 (−∞, 0) ∩ C 2 (0, h) ∩ C 2 (h, +∞),
Z(x) ∈ C(−∞, +∞) ∩ C 1 (−∞, 0) ∩ C 1 (0, h) ∩ C 1 (h, +∞).
Считаем, что γ 2 > max(ε1 , ε3 ). Отметим, что последнее условие имеет место только в случае, если хотя бы одна из величин
ε1 или ε3 положительна, если же ε1 < 0 и ε3 < 0, то γ 2 > 0.
§3. Решение системы
дифференциальных уравнений
При x < 0 имеем ε = ε1 . Из (4) получаем Y = γ 2 − ε1 Y ,
√
√
2
2
его общее решение Y (x) = A1 e− γ −ε1 x + Ae γ −ε1 x , в силу
условия на бесконечности получаем решения
√
2
Y (x) = Aex γ −ε1 , √
(5)
2
Z (x) = A γ 2 − ε1 ex γ −ε1 .
Гл. 2. ТЕ-волны в линейном слое
27
Здесь мы считаем γ 2 − ε1 > 0, ибо в противном случае мы
получим общее решение, выраженное через синусы и косинусы
действительного аргумента и, таким образом, не сможем удовлетворить условию излучения на бесконечности. Случай γ 2 −ε1 = 0
тоже невозможен, так как в этом случае мы получаем при x < 0
постоянное решение, которое не удовлетворяет условию излучения на бесконечности.
При x > h имеем ε = ε3 . Из (4) получаем Y = γ 2 − ε3 Y ,
√
√
2
2
его общее решение Y (x) = B1 e(x−h) γ −ε3 + Be−(x−h) γ −ε3 ,
в силу условия на бесконечности получаем решения
√
2
Y (x) = Be−(x−h) γ −ε3 ,
√
(6)
2
Z (x) = − γ 2 − ε3 Be−(x−h) γ −ε3 .
Здесь по тем же причинам, что и при x < 0, мы считаем
γ 2 − ε3 > 0.
Постоянные A и B в (5) и (6) определяются граничными
условиями.
Внутри слоя 0 < x < h имеем ε = ε3 . Из (4) получаем
уравнение Y = (γ 2 − ε2 )Y . Здесь мы можем рассматривать два
случая:
а) γ 2 − ε2 > 0; общее решение внутри слоя есть
√ 2
√
−ε2 + C ex γ 2 −ε2 ,
Y (x) = C1 e−x γ 2√
√
(7)
2
2
Z (x) = γ 2 − ε2 −C1 e−x γ −ε2 + C2 ex γ −ε2 ;
б) γ 2 − ε2 < 0; общее решение внутри слоя есть
ε2 − γ 2 + C2 cos x ε2 − γ 2 ,
Y (x) = C1 sin x Z(x) = ε2 − γ 2 C1 cos x ε2 − γ 2 − C2 sin x ε2 − γ 2 .
(8)
Легко можно показать, что γ 2 = ε2 . В этом случае, очевидно, Y = C1 + C2 x, Z = C2 , где C1 , C2 – постоянные интегрирования. Теперь, забегая немного вперед, скажем, что если использовать условия сопряжения и найти значение h для γ 2 = ε2 , мы
получим, что h < 0, из этого и следует, что γ 2 = ε2 .
Часть I. Краевые задачи в слое
28
§4. Условия сопряжения
Как известно, касательные составляющие электромагнитного поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматриваемом случае касательными составляющими являются компоненты Ey и Hz . Из этого условия получаем
Ey (h + 0) = Ey (h − 0) , Ey (0 − 0) = Ey (0 + 0) ,
Hz (h + 0) = Hz (h − 0) , Hz (0 − 0) = Hz (0 + 0) ,
(h)
где постоянная Ey = Y (h) = Ey (h + 0) считается известной,
тогда
√
i μ
(h)
Y (h) = ε0 Hz (h + 0) = Hz = Z(h),
Y (0) =
√
i μ
ε0 Hz (0
(0)
− 0) = Hz
= Z(0).
Отсюда получаем, что
B = Ey(h) ,
A = Ey(0) ,
(0)
где Ey = Y (0) = Ey (0 − 0), тогда
Z (h) = − γ 2 − ε3 Ey(h)
и Z (0) =
γ 2 − ε1 Ey(0) .
Из непрерывности касательных составляющих компонент
поля следуют условия сопряжения для функций Y и Z:
[Y ]x=0 = 0,
[Y ]x=h = 0,
[Z]x=0 = 0,
[Z]x=h = 0,
(9)
где [f ]x=x0 = lim f (x) − lim f (x) обозначает скачок функx→x0 −0
x→x0 +0
ции на границе раздела сред.
(h)
Обозначаем Y (h) = Ey (известная величина – падающее
(0)
поле), Y (0) = Ey , причем
B = Ey(h) , A = Ey(0) .
Тогда Z (0) =
(0)
(h)
γ 2 − ε1 Ey и Z (h) = − γ 2 − ε3 Ey .
Гл. 2. ТЕ-волны в линейном слое
29
В случае (а) из условий сопряжения (9) и решений (5)–(7)
получаем систему
⎧
A = C1 + C2 ,
⎪
⎪
√
√
⎪
⎪
⎨B = C e−h γ 2 −ε2 + C eh γ 2 −ε2 ,
1
2
⎪
γ 2 − ε1 A = γ 2 − ε2 (−C
⎪
1 + C2 )√,
√
⎪
⎪
⎩−γ 2 − ε B = γ 2 − ε −C e−h γ 2 −ε2 + C eh γ 2 −ε2 ,
3
2
1
2
решив которую, получаем дисперсионное уравнение
√
γ 2 − ε2 − γ 2 − ε1
γ 2 − ε2 − γ 2 − ε3
2
·
= e2h γ −ε2 , (10)
γ 2 − ε2 + γ 2 − ε1
γ 2 − ε2 + γ 2 − ε3
где γ 2 − ε1 > 0, γ 2 − ε2 > 0, γ 2 − ε3 > 0.
В случае (б) из условий сопряжения (9) и решений (5), (6),
(8) получаем систему
⎧
⎪
⎪ A = C2 , ⎪
⎪
⎪
⎪
B = C1 sin ε2 − γ 2 h + C2 cos ε2 − γ 2 h,
⎪
⎨
γ 2 − ε1 A = C1 ε2 − γ 2 ,
⎪
⎪
⎪
γ 2 − ε3 B =
−
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
= γ 2 − ε2 −C1 cos ε2 − γ 2 h − C2 sin ε2 − γ 2 h .
Из последней системы находим
ε2 − γ 2 − γ 2 − ε1 γ 2 − ε3
1
sin ε2 − γ 2 h =
ε2 − γ 2
γ 2 − ε1 + γ 2 − ε3
= cos ε2 − γ 2 h, (11)
если cos ε2 − γ 2 h = 0, то получаем известное уравнение
ε2 − γ 2
γ 2 − ε1 + γ 2 − ε3
ε2 − γ 2 h =
,
(12)
tg
ε2 − γ 2 − γ 2 − ε1 γ 2 − ε3
причем γ 2 − ε1 > 0, ε2 − γ 2 > 0, γ 2 − ε3 > 0.
Часть I. Краевые задачи в слое
30
Если же cos ε2 − γ 2 h = 0, то можно выписать собственные
значения явно.
Пусть cos ε2 − γ 2 h = 0, тогда
4ε2 h2 − π 2 (2n + 1)2
.
4h2
Из (11) получаем в этом случае ε2 − γ 2 = γ 2 − ε1 γ 2 − ε3 .
Из последнего уравнения находим γ 2 и, выполнив простейшие
преобразования, получаем окончательно
ε22 − ε1 ε3
2ε2 − ε1 − ε3
π (2n + 1)
, γ2 =
, (13)
h=
2
(ε2 − ε1 ) (ε2 − ε3 )
2ε2 − ε1 − ε3
ε2 − γ 2 =
π (2n + 1)
2h
и γ2 =
причем в силу условий γ 2 − ε1 > 0, ε2 − γ 2 > 0, γ 2 − ε3 > 0 подкоренное выражение в (13) неотрицательно. Легко проверить, что
выражения (13) действительно удовлетворяют уравнению (11).
В еще более простом случае ε1 = ε3 = ε из (13) получаем
(2n + 1)π
,
h= 2(ε2 − ε)
γ2 =
ε2 + ε
.
2
Уравнение (12) можно формально получить из (10), просто
заменив в (10) γ 2 −ε2 на −(ε2 −γ 2 ) и учитывая появление мнимой
единицы при извлечении корня. Или аналогичным образом из
(12) можно получить уравнение (10).
§5. Анализ дисперсионных уравнений
В обоих дисперсионных уравнениях (10), (12) из условий
γ 2 −ε1 > 0 и γ 2 −ε3 > 0 следует, что ε1 и ε3 могут быть произвольных знаков (как раз об этом мы упоминали в §1). Рассмотрим
наиболее распространенный случай, когда ε1 ≥ ε0 и ε3 ≥ ε0 , где
ε0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. Ясно, что классическое уравнение (12) вообще не допускает метаматериала в
слое, поскольку при его выводе используется условие ε2 −γ 2 > 0,
а значит, ε2 > 0. В этом отношении указанное уравнение не представляет интереса с точки зрения изучения метаматериалов.
Гл. 2. ТЕ-волны в линейном слое
31
Из условий γ 2 − ε1 > 0 и γ 2 − ε3 > 0 сразу следует, что
γ 2 > max(ε1 , ε3 ),
когда хотя бы одна из величин ε1 или ε3 больше нуля, если же
ε1 < 0 и ε3 < 0, то
γ 2 > 0.
Перейдем к анализу дисперсионных уравнений (10) и (12).
Уравнение (10) запишем в виде
√
√
√
√
γ 2 −ε2 − γ 2 −ε1
γ 2 −ε2 − γ 2 −ε3
√
√
·√ 2
ln √ 2
γ −ε2 + γ 2 −ε1
γ −ε2 + γ 2 −ε3
iπk
+
,
h=
2
2 γ − ε2
γ 2 − ε2
(14)
где k ∈ Z.
√
√
γ 2 −ε2 −√γ 2 −ε3 γ 2 −ε2 −√γ 2 −ε1 < 1.
√
√
< 1, √ 2
В (14) видно, что √ 2
γ −ε2 + γ 2 −ε1 γ −ε2 + γ 2 −ε3 Поскольку множитель перед логарифмом в (14) положителен,
то в этом случае всегда h < 0. Но h обозначает толщину слоя,
поэтому такой случай физически не реализуется.
Теперь перейдем к уравнению (12). Это уравнение является классическим и при ε1 = ε3 приведено в [83]. Из условия
ε2 − γ 2 > 0 сразу получаем, что ε2 > 0. Из этого и рассмотрения
уравнения (10) следует, что в случае ТЕ-поляризации волн в линейном слое с отрицательной диэлектрической проницаемостью
не существует!
Легко показать, что (12) можно представить в форме
1
ε2 −γ 2
h= √
√
arctg
ε2 −γ 2
√
ε2 −γ 2 −
где n ≥ −1 – целое число.
√
γ 2 −ε3
√
+ π(n + 1) ,
2
γ 2 −ε1 +
√
γ 2 −ε1
γ −ε3
(15)
Часть I. Краевые задачи в слое
32
Действительно, поскольку | arctg x| < π2 , то ясно, что как
только n + 1 ≤ −1, то h < 0. Отсюда следует, что n + 1 ≥ 0, а
поскольку n – целое число, то n ≥ −11 .
Из последней формулы ясно, что прямая γ 2 = ε2 является
асимптотой: h∗ = lim h(γ) = +∞. При γ 2 > ε2 мы получаем
γ 2 →ε2 −0
мнимые значения для h. Из этого и условия γ 2 > max(ε1 , ε3 ) мы
получаем важное следствие: в случае распространения ТЕ-волн
в линейном слое для спектрального параметра γ выполняется
неравенство
max(ε1 , ε3 ) < γ 2 < ε2 ,
где хотя бы одна из величин ε1 или ε3 положительна. Если же
ε1 < 0 и ε3 < 0, то справедливо неравенство
0 < γ 2 < ε2 .
Введем обозначения: ε∗ =
max(ε1 , ε3 ), ε∗ = min(ε1 , ε3 ) и
∗
1
∗
√
h∗ = lim h(γ) = ε −ε∗ arctg εε2 −ε
−ε∗ .
γ 2 →ε∗
2
Ясно, что 0 < h∗ < +∞. Причем чем меньше ε2 − ε∗ , тем
больше значение h∗ .
√
√
γ 2 −ε3
√
довольε2 −γ 2 − γ 2 −ε1 γ 2 −ε3
но интересно. Дело в том, что знаменатель ε2 − γ 2 − γ 2 − ε1 γ 2 − ε3
обращается в нуль в некоторой точке γ∗2 ∈ (max(ε1 , ε3 ), ε2 ). Это означает, что функция arctg терпит в этой точке разрыв. Этот разрыв, как известно, первого рода, и скачок равен π. Отсюда получается, что каждая
дисперсионная кривая состоит из двух кусков: первый кусок соответствует
γ 2 ∈ (max(ε1 , ε3 ), γ∗2 ), второй кусок соответствует γ 2 ∈ (γ∗2 , ε2 ). Причем если
мы рассматриваем какую-то конкретную дисперсионную кривую, то первый
кусок есть часть этой кривой, а второй представляет собой часть следующей дисперсионной кривой. Таким образом, целая дисперсионная кривая
состоит из своего“ первого куска и второго куска, принадлежащего преды”
дущей дисперсионной кривой, вместе эти два куска образуют непрерывную
дисперсионную кривую. Поэтому, когда n = −1 в (15), то кривая h ≡ h(γ),
определяемая (15), частично лежит в полуплоскости h < 0, а частично в полуплоскости h > 0. И мы оставляем только ту часть дисперсионной кривой,
которая лежит в полуплоскости h > 0.
1
Отметим, что поведение функции arctg
ε2 −γ 2
√
γ 2 −ε1 +
√
Гл. 2. ТЕ-волны в линейном слое
33
Из вышесказанного относительно правой части дисперсионного уравнения (15) можно получить такое
Замечание. В слое с постоянной диэлектрической проницаемостью всегда распространяется конечное число волн (равное
количеству собственных значений). Чем больше величина h, тем
больше волн в таком слое распространяется. Существует h∗ > 0
такое, что при h < h∗ волны в рассматриваемом слое не распространяются.
Этот вывод характерен только для линейной волноведущей
структуры. В случае нелинейного слоя может оказаться, что для
любого значения h может существовать бесконечное число собственных значений, а значит, и волн.
Ясно, что рассматриваемую задачу можно было бы сформулировать как краевую задачу на собственные значения и решения дисперсионных уравнений были бы решениями такой задачи. Тогда последнее замечание можно было бы переформулировать в соответствующую теорему. Однако мы не стали этого
делать, так как дифференциальные уравнения линейные и результаты сами по себе достаточно просты.
На рис. 2, 3 представлены дисперсионные кривые для различных значений параметров.
γ2
5
|
4
|
3
|
2
|
1.5
|
0
|
|
|
5
10
15
h
Рис. 2. ε1 = 1, ε2 = 5, ε3 = 1.5
Количество собственных значений определяется следующим
образом: например, на рис. 2 проводим вертикальную линию, соответствующую толщине h, изучаемого слоя (пунктирная пря-
Часть I. Краевые задачи в слое
34
мая h = 10). Тогда количество собственных значений равно количеству пересечений только что построенной вертикальной линии с дисперсионными кривыми (на рис. 2 таких пересечений
шесть, они отмечены черными точками, значит, и собственных
значений шесть). Также понятно, что при увеличении h количество собственных значений будет возрастать.
γ2
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
0
|
|
|
5
10
15
|
20 h
Рис. 3. ε1 = −1, ε2 = 5, ε3 = −1.5
В случае, когда ε1 < 0, ε3 > 0 или ε1 > 0, ε3 < 0, качественно
дисперсионные кривые выглядят так же, как на рис. 3.
ГЛАВА 3
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ТЕ-ВОЛН В СЛОЕ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ
НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
В этой главе рассматривается задача распространения электромагнитных ТЕ-волн в слое, заполненном средой, диэлектрическая проницаемость которой является произвольной функцией от напряженности электрического поля. Изучается как случай обычного нелинейного материала, так и нелинейного метаматериала (обобщенное дисперсионное уравнение).
Результаты этой главы опубликованы в [11].
§1. Уравнения Максвелла и постановка задачи
Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся через однородный, изотропный, немагнитный диэлектрический слой, расположенный между двумя полупространствами
x < 0 и x > h в декартовой системе координат Oxyz. Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость
ε1 ≥ ε0 и ε3 ≥ ε0 соответственно, где ε0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. Вообще говоря, условия ε1 ≥ ε0 и ε3 ≥ ε0
необязательны, они не используются при выводе дисперсионных уравнений, однако могут оказаться полезными при анализе
разрешимости дисперсионных уравнений. Считаем, что всюду
μ = μ0 – магнитная проницаемость вакуума.
Часть I. Краевые задачи в слое
36
Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:
Ẽ (x, y, z, t) = E+ (x, y, z) cos ωt + E− (x, y, z) sin ωt,
H̃ (x, y, z, t) = H+ (x, y, z) cos ωt + H− (x, y, z) sin ωt,
где ω – круговая частота; Ẽ, E+ , E− , H̃, H+ , H− – вещественные искомые функции.
Образуем комплексные амплитуды полей E и H:
E = E+ + iE− ,
H = H+ + iH− .
Везде ниже множители cos ωt и sin ωt будем опускать.
Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе уравнений Максвелла
rot H = −iωεE,
(1)
rot E = iωμH,
условию непрерывности касательных составляющих компонент
поля на границе раздела сред x = 0, x = h и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально
затухает при |x| → ∞ в областях x < 0 и x > h.
Диэлектрическая проницаемость внутри слоя имеет вид
ε = ε2 + ε0 f |E|2 ,
где f – произвольная аналитическая функция, и мы считаем, что
ε2 > max (ε1 , ε3 ). Объяснение последнего условия см. в конце §2.
Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.
На рис. 1 схематически представлена геометрия задачи.
x
h
ε = ε3
ε = ε2 + ε0 f |E|2
0
ε = ε1
Рис. 1. Геометрия задачи
z
Гл. 3. ТЕ-волны в слое с произвольной нелинейностью
37
§2. ТЕ-поляризованные электромагнитные волны
Рассмотрим ТЕ-поляризованные волны:
E = (0, Ey , 0)T ,
H = (Hx , 0, Hz )T ,
где Ey = Ey (x, y, z), Hx = Hx (x, y, z), Hz = Hz (x, y, z).
Подставив поля E и H в уравнения Максвелла (1), получим
⎧ ∂H
z
⎪
⎪
∂y = 0,
⎪
⎪
∂Hx
∂Hz
⎪
⎪
⎨ ∂z − ∂x = −iωεEy ,
∂Hx
∂y = 0,
⎪
⎪
∂Ey
⎪
⎪
⎪
∂z = −iωμHx ,
⎪
⎩ ∂Ey
∂x = iωμHz .
Из первого и третьего уравнений этой системы видно, что
Hz и Hx не зависят от y; поскольку Ey выражается через Hz и
Hx , то Ey также не зависит от y.
Волны, распространяющиеся вдоль границы z раздела сред
(а мы ищем именно их), гармонически зависят от z. Значит, компоненты полей E, H имеют представление
Ey = Ey (x)eiγz , Hx = Hx (x)eiγz , Hz = Hz (x)eiγz .
Тогда рассмотренная выше система принимает вид
⎧
⎪
⎨iγHx (x) − Hz (x) = −iωεEy (x),
−iγEy (x) = iωμHx (x),
⎪
⎩ Ey (x) = iωμHz (x),
(2)
где γ – неизвестный спектральный параметр (постоянная распространения электромагнитной волны).
После простейших преобразований из системы (2) получаем
γ 2 Ey (x) − Ey (x) = ω 2 μεEy (x) .
Часть I. Краевые задачи в слое
38
Пусть k2 = ω 2 με0 , μ = μ0 , выполним нормировку в соответε
d
d
= k dx̃
, γ̃ = γk , ε̃j = ε0j (j = 1, 2, 3).
ствии с формулами x̃ = kx, dx
Обозначим Ey (x̃) ≡ Y (x̃). Опуская значок тильды, получаем
Y (x) = γ 2 Y (x) − εY (x) .
(3)
Введем в рассмотрение функцию Z(x) = Y (x) и будем рассматривать (3) как систему:
Y (x) = Z (x) ,
(4)
Z (x) = γ 2 − ε Y (x) .
Будем искать те значения спектрального параметра γ (собственные значения), для которых существуют не равные тождественно нулю действительные решения Y (x), Z (x) системы (4).
Полагаем γ действительным (так что |E|2 не зависит от z 1 , см.
также замечание на с. 26) и считаем
⎧
x < 0;
⎪
⎨ε1 ,
2
(5)
ε = ε2 + f Y , 0 < x < h;
⎪
⎩
x > h.
ε3 ,
Считаем, что функции Y и Z дифференцируемы так, что
Y (x) ∈ C(−∞, +∞)∩
∩ C 1 (−∞, +∞) ∩ C 2 (−∞, 0) ∩ C 2 (0, h) ∩ C 2 (h, +∞),
Z(x) ∈ C(−∞, +∞) ∩ C 1 (−∞, 0) ∩ C 1 (0, h) ∩ C 1 (h, +∞).
Только что указанные условия непрерывности и дифференцируемости функций Y и Z продиктованы физическим содержанием задачи. Видно, что система (4) является автономной. Такую систему можно рассматривать как динамическую систему
iγz
iγz
Так как
= eiγz Ey2 . Как
iγzE = 0, Ey (x)e , 0 = e (0, Ey , 0), то |E|
известно, e = 1 при
γ = γ + iγ и Im γ = 0. Тоγ = 0. Пусть
Im
iγz iγ z −γ z гда получаем e
= e
· e
= e−γ z → ± + ∞ при z → ±∞
1
(в зависимости от знака γ ). Тогда компонента Ey должна зависеть от z,
а это противоречит выбору Ey (x). Поэтому мы рассматриваем только действительные γ.
Гл. 3. ТЕ-волны в слое с произвольной нелинейностью
39
с аналитическими по Y и Z правыми частями. Известно (см., например, [5]), что решения Y , Z такой динамической системы сами являются аналитическими функциями независимой переменной. Именно для этого мы потребовали, чтобы функция нелинейности f была аналитической. Этот факт окажется важным
при выводе дисперсионных уравнений.
Будем искать такие γ, что max(ε1 , ε3 ) < γ 2 < ε2 .
Последнее условие соответствует классической задаче распространения ТЕ-волн в линейном слое при ε1 ≥ ε0 , ε3 ≥ ε0 , где
ε0 – диэлектрическая проницаемость вакуума и ε2 > max(ε1 , ε3 ).
Это условие естественно возникает в указанной задаче (см. гл. 2),
и поэтому мы придерживаемся его при выводе дисперсионного
уравнения для нелинейного слоя. В §6 мы выведем дисперсионное уравнение в более общих предположениях. Заметим еще,
что условие γ 2 > max(ε1 , ε3 ) имеет место, если хотя бы одна из
величин ε1 или ε3 больше нуля. Если и ε1 < 0, и ε3 < 0, то γ 2 > 0.
§3. Решение системы
дифференциальных уравнений
При x < 0 имеем ε = ε1 . Из (4) получаем Y = γ 2 − ε1 Y ,
√
√
2
2
его общее решение Y (x) = A1 e−x γ −ε1 + Aex γ −ε1 , в силу
условия на бесконечности получаем
Y (x) = A exp x γ 2 − ε1 ,
Z (x) = A γ 2 − ε1 exp x γ 2 − ε1 .
(6)
Здесь мы считаем γ 2 −ε1 > 0, ибо в противном случае мы получим общее решение, выраженное через синусы и косинусы действительного аргумента, и, таким образом, не сможем удовлетворить условию излучения на бесконечности. Случай γ 2 − ε1 = 0
тоже невозможен, так как в этом случае мы получаем при x < 0
постоянное решение, которое не удовлетворяет условию излучения на бесконечности.
Часть I. Краевые задачи в слое
40
При x > h имеем ε = ε3 . Из (4) получаем Y = γ 2 − ε3 Y ,
√ 2
√ 2
его общее решение Y (x) = B1 e(x−h) γ −ε3 + Be−(x−h) γ −ε3 ,
в силу условия на бесконечности получаем
Y (x) = B exp − (x − h) γ 2 − ε3 ,
(7)
Z (x) = − γ 2 − ε3 B exp − (x − h) γ 2 − ε3 .
Здесь, как и при x < 0, считаем γ 2 − ε3 > 0.
Постоянные A и B в (6) и (7) определяются условиями сопряжения и начальными данными.
Внутри слоя 0 < x < h система (4) принимает вид
Y (x) = Z (x) ,
(8)
Z (x) = γ 2 − ε2 − f Y 2 Y (x) .
Система (8) обладает первым интегралом, поэтому изучение уравнения второго порядка (3) можно свести к изучению
уравнения первого порядка (любого из системы (8)) и первого
интеграла. Поделив в (8) одно уравнение на другое, получим
ZdZ + ε2 − γ 2 + f Y 2 Y dY = 0.
Последнее уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Его общее решение имеет вид
(9)
Z 2 + ϕ Y 2 = C,
где ϕ Y
2
=
Y
2 ε2 − γ 2 + f (u) du, C – постоянная.
Y0
§4. Условия сопряжения и задача сопряжения
Как известно, касательные составляющие электромагнитного поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматриваемом случае касательными составляющими являются компоненты Ey и Hz . Отсюда получаем
Ey (h + 0) = Ey (h − 0),
Ey (0 − 0) = Ey (0 + 0),
Hz (h + 0) = Hz (h − 0),
Hz (0 − 0) = Hz (0 + 0).
Гл. 3. ТЕ-волны в слое с произвольной нелинейностью
41
Тогда из (2) и (4) получаем
√
(h)
Y (h) = i √ε0 Hz (h + 0) = Hz
Y (0) =
μ
√
μ
i √ε0 Hz (0
− 0) =
(0)
Hz
= Z(h),
= Z(0).
Отсюда получаем, что B = Yh , A = Y0 ; мы обозначили
Y0 = Y (0) = Ey (0 − 0) и Yh = Y (h) = Ey (h + 0). Постоянная
Yh считается известной (падающее поле – начальное условие).
Пусть Z0 = Z(0) = Hz (0 − 0), Zh = Z(h) = Hz (h + 0), тогда
Zh = − γ 2 − ε3 Yh и Z0 = γ 2 − ε1 Y0 .
Из условий непрерывности касательных составляющих Ey
и Hz следуют условия сопряжения для функций Y и Z:
[Y ]x=0 = 0,
[Y ]x=h = 0,
[Z]x=0 = 0,
[Z]x=h = 0,
(10)
где [f ]x=x0 = lim f (x) − lim f (x) обозначает скачок функx→x0 −0
x→x0 +0
ции на границе раздела сред.
Считаем, что функции Y (x) и Z (x) удовлетворяют условию
1
1
и Z (x) = O
при |x| → ∞.
(11)
Y (x) = O
|x|
|x|
Пусть
D=
d
dx
0
0
d
dx
, F(X, Z) =
X
Z
, G(F, γ) =
G1
G2
,
где Y ≡ Y (x) и Z ≡ Z(x) являются искомыми функциями, а
G1 ≡ G1 (F, γ) и G2 ≡ G2 (F, γ) являются правыми частями уравнений системы (8). Число γ является спектральным параметром.
Перепишем задачу, используя введенные обозначения.
Для полупространства x < 0, ε = ε1 получаем
0
1
F = 0.
(12)
DF −
γ 2 − ε1 0
42
Часть I. Краевые задачи в слое
Внутри слоя 0 < x < h, ε = ε2 + f Y 2 получаем
L(F, γ) ≡ DF − G(F, γ) = 0.
(13)
Для полупространства x > h, ε = ε3 получаем
DF −
0
1
2
γ − ε3 0
F = 0.
(14)
Условия сопряжения (10) и первый интеграл (9) приводят
к уравнению относительно Y0 :
(γ 2 − ε3 )Yh2 + ϕ Yh2 = (γ 2 − ε1 )Y02 + ϕ Y02 .
(15)
Сформулируем задачу сопряжения (ее можно переформулировать как краевую задачу). Требуется найти собственные значения γ и соответствующие им ненулевые векторы F такие, что
F удовлетворяет уравнениям (12)–(14); компоненты Y , Z вектора F удовлетворяют условиям сопряжения (10), условию (11), и
Y (0) ≡ Y0 определяется из уравнения (15).
Определение 1. Число γ = γ0 , при котором существует
ненулевое решение F задачи (12)–(14) при условиях (10), (11),
(15), будем называть собственным значением задачи. Решение
F, которое соответствует собственному значению, будем называть собственным вектором задачи, а компоненты Y (x) и Z (x)
вектора F – собственными функциями.
Замечание. Определение 1 является неклассическим аналогом известного определения характеристического числа линейной оператор-функции, нелинейно зависящей от спектрального
параметра [24]. Введенное определение является, с одной стороны, распространением классического определения собственного
значения на случай нелинейной оператор-функции, нелинейно
зависящей от спектрального параметра; с другой стороны, соответствует физической природе задачи.
Гл. 3. ТЕ-волны в слое с произвольной нелинейностью
43
§5. Дисперсионное уравнение
и теорема об эквивалентности
Введем новые переменные1 :
τ (x) = ε2 + Y 2 (x),
η(x) =
Y (x)
τ (x);
Z(x)
(16)
из (16) получаем
Y 2 = τ − ε2 ,
τ
Y Z = (τ − ε2 ) ,
η
Z 2 = (τ − ε2 )
τ2
.
η2
Система (8) примет вид (мы обозначили τ0 ≡ ε2 /γ 2 )
τ = 2(τ − ε2 ) τη ,
2
η
2)
η = γ 2 τ0 − 1 + f (τγ−ε
2
τ + 3τ − 2ε2 .
(17)
(18)
Первый интеграл (9) примет вид
(τ − ε2 )
τ2
+ ϕ (τ − ε2 ) = C.
η2
(19)
Уравнение (19), вообще говоря, есть трансцендентное уравнение относительно τ . Его решение τ = τ (η) легко может быть
выписано явно лишь в исключительных случаях.
Если считать, что функция f , выражающая нелинейность
в слое, является многочленом относительно напряженности электрического поля, то уравнение (19) есть алгебраическое уравнение относительно τ . Вектор поляризации в материальных уравнениях в системе Максвелла имеет разложение в ряд по степеням |E|. Считая, что нелинейность выражается в виде многочлена, мы просто обрываем соответствующий ряд. Можно подбирать и другие функции нелинейности, но так, чтобы выполнялись некоторые условия (они будут приведены ниже). Различные типы нелинейностей (отличных от полиномиальных) приведены в [3].
1
Вообще, если нелинейность не произвольная функция, а конкретная,
то возможно, что новые переменные будет удобнее выбрать несколько иначе
(см. по этому поводу гл. 7 и 8).
44
Часть I. Краевые задачи в слое
Из начальных условий и условий сопряжения получаем
τ (0) = ε2 + Y02 ,
τ (h) = ε2 + Yh2 ;
поскольку Yh известна, то и τ (h) известна.
Для η(0) и η(h) получаем
ε2 + Y02
> 0,
η (0) = γ 2 − ε1
ε2 + Yh2
η (h) = − < 0.
γ 2 − ε3
(20)
Из первого интеграла в форме (19) подставляя x = h, находим значение постоянной Ch := C|x=h :
Chτ = γ 2 − ε3 (τ (h) − ε2 ) + ϕ(τ (h) − ε2 ).
(21)
Для определения постоянной C можно воспользоваться выражением (9) для первого интеграла, но удобнее использовать
формулу (19).
Теперь из первого интеграла (19), используя (21) и (20), мы
можем найти уравнение для τ (0):
(τ (0) − ε2 ) γ 2 − ε1 + ϕ(τ (0) − ε2 ) =
= γ 2 − ε3 (τ (h) − ε2 ) + ϕ(τ (h) − ε2 ). (22)
Ясно, что должно быть τ (0) ≥ ε2 , поскольку τ (0) = ε2 + Y02 .
Для того чтобы существовал корень τ (0) ≥ ε2 уравнения (22),
необходимо накладывать на функцию ϕ некоторые ограничения.
Например, если ϕ – многочлен с неотрицательными коэффициентами, то нужный корень заведомо существует. Можно и подругому выбирать функцию f , так, чтобы функция ϕ обладала
нужным свойством. Вероятно, многочлен в качестве f с неотрицательными коэффициентами является одной из наиболее общих нелинейностей.
Заметим, кстати, из уравнения (22) ясно, что при ε1 = ε3 одним из корней этого уравнения будет τ (h), т.е. τ (0) = τ (h). Или
в старых переменных Y02 = Yh2 . Такая же ситуация характерна и
для случая линейного слоя (см. гл. 1), с той лишь разницей, что
Гл. 3. ТЕ-волны в слое с произвольной нелинейностью
45
в случае линейного слоя при ε1 = ε3 всегда Y02 = Yh2 . В данном
же случае это только один из корней уравнения (22).
Мы считаем функцию f такой, что величина
f (τ − ε2 )
τ0 − 1 +
γ2
> 0.
Это заведомо справедливо, если в качестве f выступает многочлен с неотрицательными коэффициентами.
Правая часть второго уравнения системы (18) при сделанных предположениях (относительно функции f ) положительна,
это значит, что функция η возрастает при x ∈ (0, h). Но из формул (20) видно, что η(0) > 0, а η(h) < 0. Из этого следует, что
функция η необходимо имеет точку разрыва. А поскольку функция η является рациональной функцией от аналитических функций Y и Z, то и η является аналитической. Это означает, что η
может иметь разрывы только второго рода. Эти разрывы есть
полюсы функции η, которые находятся в нулях функции Z.
−ε2 )τ 2
Из первого интеграла (19) имеем η 2 = C τ(τ−ϕ(τ
−ε2 ) . Точками
h
разрыва могут являться лишь нули знаменателя последнего выражения. Тогда в этих точках τ ∗ = τ (x∗ ) таково, что η ∗ = ±∞.
Естественно среди всех корней знаменателя выбирать только те
τ ∗ , которые ≥ ε2 .
Предположим, что имеется (N + 1) точка разрыва x0 , ..., xN
на интервале x ∈ (0, h).
Из свойств функции η = η(x) следует, что
η (xi − 0) = +∞,
η (xi + 0) = −∞,
где i = 0, N .
(23)
Обозначим
w = w (η) ≡ γ
2
f (τ − ε2 )
τ0 − 1 +
γ2
η2
+ 3τ − 2ε2
τ
где τ = τ (η) находится из первого интеграла (19).
−1
,
Часть I. Краевые задачи в слое
46
Учитывая только что сказанное, будем разыскивать решения на каждом из отрезков [0, x0 ], [x0 , x1 ], ..., [xN , h]:
⎧
η(x
0)
⎪
⎪
⎪−
wdη = x + c0 ,
0 ≤ x ≤ x0 ;
⎪
⎪
⎪
η(x)
⎪
⎪
⎪
⎨ η(x)
wdη = x + ci ,
xi ≤ x ≤ xi+1 , i = 0, N − 1;
(24)
⎪
⎪
η(x
)
i
⎪
⎪
⎪
η(x)
⎪
⎪
⎪
wdη = x + cN , xN ≤ x ≤ h.
⎪
⎩
η(xN )
Подставляя x = 0, x = xi+1 , x = xN в уравнения (24)
(в первое, второе и третье соответственно) и учитывая (23), найдем постоянные c1 , c2 , ..., cN +1 :
⎧
+∞
⎪
⎪
⎪
c
=
−
wdη;
0
⎪
⎪
⎪
η(0)
⎪
⎪
⎨
+∞
wdη − xi+1 , i = 0, N − 1;
ci+1 =
(25)
⎪
−∞
⎪
⎪
⎪
η(h)
⎪
⎪
⎪
⎪
wdη − h.
⎩cN +1 =
−∞
С учетом (25) уравнения (24) примут вид
⎧
η(x
+∞
0)
⎪
⎪
⎪
wdη = −x +
wdη,
0 ≤ x ≤ x0 ;
⎪
⎪
⎪
η(x)
η(0)
⎪
⎪
⎪
⎨ η(x)
+∞
wdη = x +
wdη − xi+1 , xi ≤ x ≤ xi+1 , i = 0, N − 1;
⎪
−∞
⎪
η(xi )
⎪
⎪
⎪
η(h)
⎪ η(x)
⎪
⎪
wdη
=
x
+
wdη − h,
xN ≤ x ≤ h.
⎪
⎩
η(xN )
−∞
Введем обозначение T ≡
+∞
−∞
(26)
ωdη. Из формулы (26) следует,
что 0 < xi+1 − xi = T < h, где i = 0, N − 1. Отсюда следует
сходимость несобственного интеграла (позднее мы докажем это
Гл. 3. ТЕ-волны в слое с произвольной нелинейностью
47
из других соображений). Теперь, полагая в уравнениях (26) x
таким, чтобы все интегралы слева обратились в нуль (т.е. x = x0 ,
x = xi , x = xN ), сложим все уравнения (26), получим
+∞
wdη + x0 + T − x1 + . . .
0 = −x0 +
η(0)
η(h)
. . . + xN −1 + T − xN + xN +
wdη − h.
−∞
Окончательно получаем
η(h)
wdη + (N + 1) T = h,
(27)
η(0)
где N ≥ 0 – целое число; η(0), η(h) определены формулами (20).
Формула (27) есть дисперсионное уравнение, справедливое
для любого конечного h. Когда N = 0, возникает несколько
уравнений при различных значениях N . Необходимо решать относительно γ каждое из получающихся уравнений.
Отметим, что несобственные интегралы в дисперсионном
уравнении (27) сходятся. Действительно, при η → ∞ функция
τ = τ (η) остается ограниченной, поскольку τ = ε2 + Y 2 и Y –
ограниченная функция. Тогда
1
τ
,
≤ 2
|w| = 2
2
(γ (τ0 − 1) + f (τ − ε2 )) η + (3τ − 2ε2 ) τ
αη + β где α > 0, β > 0 – постоянные, тогда несобственный интеграл
+∞
dη
сходится. Поскольку мы требуем, чтобы правая часть
αη2 +β
−∞
второго уравнения системы (18) была положительна, то из этого
следует сходимость интегралов в (27) во внутренних точках.
48
Часть I. Краевые задачи в слое
Теорема 1. Множество решений (собственных значений)
краевой задачи на собственные значения (12)–(14) с условиями
(10), (11), (15) содержится в множестве решений дисперсионного уравнения (27).
Доказательство. Из самого способа получения дисперсионного уравнения (27) из системы (18) следует, что собственное
значение краевой задачи (12)–(14) является решением дисперсионного уравнения.
В то же время не каждое решение дисперсионного уравнения (27) является решением краевой задачи. Это связано с тем,
что τ как функция от η, определяемая из первого интеграла
(19), является, вообще говоря, многозначной функцией. Другими словами, может существовать несколько корней τ (0) уравнения (22), удовлетворяющих условию τ (0) ≥ ε2 . Но даже в этом
случае можно среди корней дисперсионного уравнения найти решения краевой задачи. Действительно, найдя решение γ дисперсионного уравнения (27), мы сможем найти функции τ (x) и η (x)
из системы (18) и первого интеграла (19). Зная функции τ (x) и
η (x) и пользуясь формулами (16), (17), найдем
√
Y (x) = ± τ − ε2
√
τ
и Z (x) = ± τ − ε2 .
|η|
(28)
Вопрос о выборе знака является существенным, поэтому обсудим его подробнее. Нам известно поведение функции η = τ YZ :
функция η является монотонно возрастающей, если x = x∗ таково, что η (x∗ ) = 0, то η (x∗ − 0) < 0, η (x∗ + 0) > 0, и если x = x∗∗
таково, что η (x∗∗ ) = ±∞, то η (x∗∗ − 0) > 0 и η (x∗∗ + 0) < 0.
Других точек перемен знака у функции η нет. Начальное условие
Yh положим для определенности > 0. Если η > 0, то функции Y
и Z имеют одинаковые знаки, а если η < 0, то Y и Z имеют разные знаки. Помня о том, что X и Z – непрерывные функции (и
даже гладкие на соответствующих областях), выбираем соответствующие знаки в выражениях (28). Теперь, зная функцию Y ,
мы можем вычислить τ (0) = ε2 + Y02 , если полученное значение совпадает с найденным ранее из первого интеграла, значит, найденное решение γ дисперсионного уравнения является
Гл. 3. ТЕ-волны в слое с произвольной нелинейностью
49
собственным значением краевой задачи (и не является таковым
в противном случае).
Если функция ϕ такова, что существует единственный корень τ (0) уравнения (22), удовлетворяющий условию τ (0) ≥ ε2 ,
то получается следующая
Теорема 2 (об эквивалентности). Если уравнение (22)
имеет единственное решение τ (0), удовлетворяющее условию
τ (0) ≥ ε2 , то краевая задача на собственные значения (12)–(14)
с условиями (10), (11), (15) имеет решение (собственное значение) тогда и только тогда, когда это собственное значение
является решением дисперсионного уравнения (27).
Доказательство этой теоремы очевидным образом следует
из доказательства предыдущей теоремы.
η(h)
wdη + (k + 1)T , где правая
Введем обозначение J(γ, k) :=
η(0)
часть рассматриваемой формулы определяется из дисперсионного уравнения (27) и k = 0, N .
Пусть
hkinf =
inf
γ 2 ∈(max(ε1 ,ε3 ),ε2 )
J(γ, k),
hksup =
sup
γ 2 ∈(max(ε1 ,ε3 ),ε2 )
J(γ, k).
Сформулируем достаточное условие существования по крайней мере одного собственного значения краевой задачи.
Теорема 3. Если h таково, что для некоторого k = 0, N
выполняется неравенство
hkinf < h < hksup ,
то краевая задача на собственные значения (12)–(14) с условиями (10), (11), (15) имеет по крайней мере одно решение (собственное значение).
Величины hkinf и hksup можно находить численно.
§6. Обобщенное дисперсионное уравнение
Здесь мы получим общее дисперсионное уравнение, справедливое при любых действительных значениях ε2 . Кроме того,
Часть I. Краевые задачи в слое
50
мы откажемся от требования, чтобы правая часть второго уравнения системы (18) была положительна1 , а также от условий
max(ε1 , ε3 ) < γ 2 < ε2 или 0 < γ 2 < ε2 . Эти условия возникали
в линейном случае и были нами использованы при выводе дисперсионного уравнения (27). Однако в нелинейном случае нет
требований, которые ограничивают значения γ 2 справа. Хотя
ограничение слева остается, ясно, что оно возникает из решений
в полупространствах (где среда линейна). Теперь мы считаем,
что γ удовлетворяет одному из следующих двух неравенств:
max(ε1 , ε3 ) < γ 2 < +∞,
когда хотя бы одна из величин ε1 или ε3 положительна, или
0 < γ 2 < +∞,
когда ε1 < 0 или ε3 < 0.
Сначала мы выведем дисперсионное уравнение из системы
уравнений (18) и первого интеграла (19), а потом обсудим детали
вывода и условия, при которых сам вывод возможен и справедливо полученное дисперсионное уравнение.
Имея в своем распоряжении первый интеграл (19), формально можно проинтегрировать любое из двух уравнений системы (18). Мы, как и ранее, будем интегрировать второе уравнение этой системы. Но мы не можем получить решение на
всем интервале, поскольку функция η(x) может иметь разрывы в некоторых точках интервала (0, h). Поскольку функция
η(x) является аналитической, то мы можем утверждать, что при
x ∈ [0, h] функция η(x) имеет разрывы только второго рода.
Пусть функция η(x) на интервале (0, h) имеет (N + 1) точек
x0 , x1 , ..., xN , в которых она обращается в бесконечность. Отметим, что η(xi − 0) = ±∞ и η(xi + 0) = ±∞, i = 0, N , причем
знаки ± в этих формулах независимы и нам неизвестны.
1
Это условие возникло, когда мы рассматривали задачу о распространении ТМ-волн в слое с керровской нелинейностью (гл. 7). Требование о
положительности правой части естественно там возникало (из задачи для
линейного слоя). Конечно, можно было бы сразу вывести общее дисперсионное уравнение, однако при условии положительности правой части его
вывод чрезвычайно прост и нагляден.
Гл. 3. ТЕ-волны в слое с произвольной нелинейностью
51
Учитывая только что сказанное, будем разыскивать решения на каждом из отрезков [0, x0 ], [x0 , x1 ], ..., [xN , h]:
⎧
η(x0 −0)
⎪
⎪
⎪
wdη = x + c0 ,
0 ≤ x ≤ x0 ;
−
⎪
⎪
⎪
η(x)
⎪
⎪
⎪
⎨
η(x)
wdη = x + ci+1 ,
xi ≤ x ≤ xi+1 , i = 0, N − 1; (29)
⎪
⎪ η(xi +0)
⎪
⎪
⎪
η(x)
⎪
⎪
⎪
wdη = x + cN +1 , xN ≤ x ≤ h.
⎪
⎩
η(xN +0)
Из уравнений (29), подставляя x = 0, x = xi+1 , x = xN
в первое, второе и третье уравнения (29), найдем необходимые
постоянные c1 , c2 , ..., cN +1 :
⎧
η(x0 −0)
⎪
⎪
⎪
=
−
wdη;
c
⎪
0
⎪
⎪
η(0)
⎪
⎪
⎪
⎨
η(xi+1
−0)
wdη − xi+1 , i = 0, N − 1;
ci+1 =
⎪
⎪
η(x
+0)
i
⎪
⎪
⎪
η(h)
⎪
⎪
⎪cN +1 =
wdη − h.
⎪
⎩
(30)
η(xN +0)
С учетом (30) уравнения (29) примут вид
⎧
η(x0 −0)
η(x0 −0)
⎪
⎪
⎪
wdη
=
−x
+
wdη,
0 ≤ x ≤ x0 ;
⎪
⎪
⎪
η(x)
η(0)
⎪
⎪
⎪
⎨ η(x)
η(xi+1
−0)
wdη = x +
wdη − xi+1 , xi ≤ x ≤ xi+1 ;
⎪
⎪
η(x
+0)
η(x
+0)
i
i
⎪
⎪
⎪
η(x)
η(h)
⎪
⎪
⎪
wdη = x +
wdη − h,
xN ≤ x ≤ h,
⎪
⎩
η(xN +0)
где i = 0, N − 1.
η(xN +0)
(31)
Часть I. Краевые задачи в слое
52
Из формул (31) получаем, что
η(x
i+1 −0)
xi+1 − xi =
wdη,
(32)
η(xi +0)
где i = 0, N − 1.
Поскольку 0 < xi+1 −xi < h < ∞, то отсюда следует, что при
наших предположениях (относительно наличия особых точек)
η(xi+1
−0)
wdη > 0.
интеграл справа сходится и
η(xi +0)
Таким же образом из первого и последнего уравнений (31)
η(x0 −0)
wdη, а так как 0 < x0 < h, то
получаем, что x0 =
η(0)
η(x
0 −0)
wdη < h < ∞;
0<
η(0)
и h − xN =
η(h)
η(xN +0)
wdη, а так как 0 < h − xN < h, то
η(x
0 −0)
wdη < h < ∞.
0<
η(0)
Из этих рассуждений следует, что функция w (η) не имеет
неинтегрируемых особенностей при η ∈ (−∞, ∞).
Теперь, полагая в уравнениях (31) x таковым (т.е. подставляя x = x0 , x = xi , x = xN в первое, второе и третье уравнения
(31)), чтобы все интегралы слева обратились в нуль, сложим все
уравнения (31), получим
Гл. 3. ТЕ-волны в слое с произвольной нелинейностью
η(x
0 −0)
0 = −x0 +
53
η(x
1 −0)
wdη + x0 +
wdη − x1 + ...
η(x0 +0)
η(0)
η(xN −0)
... + xN −1 +
η(h)
wdη − xN + xN +
η(xN−1 +0)
wdη − h. (33)
η(xN +0)
Из (33) получаем
η(x
0 −0)
η(h)
wdη +
wdη +
i=0
η(xN +0)
η(0)
N
−1
η(x
i+1 −0)
wdη = h.
(34)
η(xi +0)
Из (32) следует, что η (xi + 0) = ±∞ и η (xi − 0) = ∓∞,
i = 0, N , и выбираются бесконечности разных знаков.
Таким образом, получаем, что
η(x
1 −0)
η(xN −0)
wdη = ... =
η(x0 +0)
wdη ≡ T,
η(xN−1 +0)
и, значит, x1 − x0 = ... = xN − xN −1 .
Теперь уравнение (34) можно переписать так:
η(x
0 −0)
η(h)
wdη +
f dη + N T = h
η(xN +0)
η(0)
или в окончательной форме
η(0)
wdη + (N + 1) T = h,
−
(35)
η(h)
где N ≥ 0 – целое число; η(0), η(h) определены формулами (20).
54
Часть I. Краевые задачи в слое
Формула (35) есть дисперсионное уравнение, справедливое
для любого конечного h. Когда N = 0, возникает несколько
уравнений при различных значениях N . Необходимо решать относительно γ каждое из получающихся уравнений.
Теперь можно сформулировать теорему, аналогичную теореме 1, но уже для обобщенного дисперсионного уравнения (35).
Теорема 4. Множество решений (собственных значений)
краевой задачи на собственные значения (12)–(14) с условиями
(10), (11), (15) содержится в множестве решений дисперсионного уравнения (35).
Доказательство этой теоремы почти дословно повторяет доказательство теоремы 1.
Теперь мы перейдем к теоретическому обоснованию вывода дисперсионных уравнений (27) и (35). С самого начала мы
ничего не говорили об условиях, при которых решение системы (8) существует и единственно. Мы сделали это намеренно,
предпочитая сначала проделать все технические вычисления и
дать читателю возможность проследить за выводом и используемой техникой, не отвлекаясь на факты теории обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Воспользуемся векторной формой записи (13) системы (8):
DF = G(F, λ).
(36)
Пусть правая часть G определена и непрерывна в области
Ω ⊂ R2 , G : Ω → R2 . Также считаем, что G удовлетворяет в Ω
условию Липшица по F локально1 .
1
Пусть x ∈ R2 , Ω – область в R2 и G – непрерывное отображение в R2 .
Функция G(x) : Ω → R2 удовлетворяет условию Липшица по x (глобально
на Ω), если
x, x ∈ Ω ⇒ ||G(x) − G(x)|| ≤ L||x − x||,
где L > 0 – постоянная, не зависящая от выбора точек x и x (постоянная
Липшица).
Функция G(x) : Ω → R2 удовлетворяет условию Липшица по x локально
в Ω, если для любой точки x0 ∈ Ω можно указать ее окрестность V (x0 ),
сужение G на которую удовлетворяет условию Липшица глобально в V (x0 ).
Гл. 3. ТЕ-волны в слое с произвольной нелинейностью
55
При указанных условиях система (8) или, что то же самое,
система (36) имеет единственное решение в области Ω [8, 38, 49].
Ясно, что накладывая эти условия на систему (18), для
нее получим единственность решения (разумеется, область единственности Ω в переменных τ , η будет отлична от Ω).
Поскольку мы ищем ограниченные решения Y и Z, то
Ω ⊂ [−m1 , m1 ] × [−m2 , m2 ], где max |Y | < m1 , max |Z| < m2 .
x∈[0,h]
x∈[0,h]
Из последнего мы получаем, что
Ω ⊂ [ε2 , ε2 + m21 ] × (−∞, +∞).
Поскольку мы считаем правую часть системы (36) аналитической и, следовательно, удовлетворяющей условию Липшица,
то для такой системы справедливо все только что сказанное относительно существования и единственности.
Можно показать, что не существует точки x∗ ∈ Ω такой,
что Y |x=x∗ = 0 и Z|x=x∗ = 0. Действительно, из теории автономных систем известно (см., например, [38]), что при непрерывной
и удовлетворяющей условию Липшица правой части фазовые
траектории такой системы не пересекаются в ее фазовом пространстве. Поскольку Y ≡ 0 и Z ≡ 0 являются стационарными
решениями системы (8), то ясно, что рассматриваемые непостоянные решения Y и Z не могут одновременно обратиться в нуль
в некоторой точке x∗ ∈ Ω (иначе они будут пересекаться с указанным стационарным решением, чего быть не может).
Еще одно замечание относительно интегралов в дисперсионных уравнениях (27) и (35). Если при некотором значении γ∗2
какие-то из входящих в дисперсионные уравнения интегралов
расходятся во внутренних точках, то это попросту обозначает,
что выбранное значение γ∗2 не является решением дисперсионного уравнения и тем более не является собственным значением.
Укажем еще один интересный случай. Если нелинейность
f представляет собой полином от независимой переменной, то
первый интеграл, очевидно, является алгебраической функцией от любой из двух своих переменных (см., например, [51]).
56
Часть I. Краевые задачи в слое
В этом случае любое уравнение системы (8) совместно с первым
интегралом представляет собой абелев интеграл [6, 39, 51]. Его
обращением является абелева функция, которая и будет решением выбранного для интегрирования уравнения. В этом случае
решение второго уравнение выражается из первого интеграла и
найденного только что решения. Таким образом, обе функции –
решения системы (8), являются абелевыми функциями. Как известно, абелевы функции – функции мероморфные (см., например, [28, 34]). А в этом случае наше предположение о наличии
у функции η точек разрыва второго рода (и только их) справедливо. Заметим также, что многочленами выражаются многие
нелинейности, а те, которые не выражаются, можно с любой степенью точности приблизить многочленами. Также заметим, что,
хотя вектор поляризации в материальных уравнениях Максвелла имеет разложение в ряд по степеням напряженности электрического поля (и именно поэтому многочлен кажется наиболее
общим типом нелинейности), имеются и другие типы нелинейностей. Некоторые сведения по этому поводу можно почерпнуть
в [3]. Появление абелевых функций в этой задаче тем более интересно, что относительно недавно выяснилось, что абелевы и
тэта-функции являются решениями некоторых известных нелинейных уравнений [26]. Ясно, что все замечания относительно
абелевых функций и интегралов справедливы и для системы
(18), поскольку новые переменные τ , η выражаются через старые Y , Z рационально.
Мы выводили дисперсионные уравнения из второго уравнения системы (18). Однако точно так же можно это сделать
исходя из первого уравнения этой системы (см. с. 144).
ГЛАВА 4
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ТЕ-ВОЛН В СЛОЕ С ОБОБЩЕННОЙ
КЕРРОВСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
В этой главе мы рассмотрим приложение общей техники,
развитой в главе 3 к случаю, когда нелинейность в слое является
обобщенной керровской.
Заметим, что именно в этом случае, следующем по сложности после линейного, возможно исчерпывающе исследовать разрешимость краевой задачи. Это во многом связано с тем, что собственные функции задачи являются эллиптическими функциями, которые очень хорошо изучены. Использование их свойств
как раз и помогает получить полную информацию о собственных значениях.
§1. Уравнения Максвелла и постановка задачи
Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся через однородный, изотропный, немагнитный диэлектрический слой, расположенный между двумя полупространствами
x < 0 и x > h в декартовой системе координат Oxyz. Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость
ε1 ≥ ε0 и ε3 ≥ ε0 соответственно, где ε0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. Вообще говоря, условия ε1 ≥ ε0 и ε3 ≥ ε0
необязательны, они не используются при выводе дисперсионных уравнений, однако могут оказаться полезными при анализе
58
Часть I. Краевые задачи в слое
разрешимости дисперсионных уравнений. Считаем, что всюду
μ = μ0 – магнитная проницаемость вакуума.
Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:
Ẽ (x, y, z, t) = E+ (x, y, z) cos ωt + E− (x, y, z) sin ωt,
H̃ (x, y, z, t) = H+ (x, y, z) cos ωt + H− (x, y, z) sin ωt,
где ω – круговая частота; Ẽ, E+ , E− , H̃, H+ , H− – вещественные искомые функции.
Образуем комплексные амплитуды полей E и H:
E = E+ + iE− ,
H = H+ + iH− .
Везде ниже множители cos ωt и sin ωt будем опускать.
Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе уравнений Максвелла
rot H = −iωεE,
rot E = iωμH,
(1)
условию непрерывности касательных составляющих компонент
поля на границе раздела сред x = 0, x = h и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально
затухает при |x| → ∞ в областях x < 0 и x > h.
Диэлектрическая проницаемость внутри слоя имеет вид1
ε = ε2 + a|E|2 + b|E|4 ,
где ε2 – постоянная составляющая диэлектрической проницаемости; a > 0, b > 0 – коэффициенты нелинейности. Мы считаем, что ε2 > max (ε1 , ε3 ). Объяснение последнего условия см. в
конце §2. В §6 мы будем считать, что ε2 , a, b – произвольные
действительные числа.
1
Рассматриваемая нелинейность носит название обобщенной керровской;
при b = 0 получаем керровскую нелинейность; при a = b = 0 получаем
линейный случай, подробно изученный в гл. 2.
Гл. 4. ТЕ-волны в слое с обобщенной керровской нелинейностью
59
Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.
На рис. 1 схематически представлена геометрия задачи.
x
h
ε = ε3
ε = ε2 + a|E|2 + b|E|4
0
ε = ε1
z
Рис. 1. Геометрия задачи
§2. ТЕ-поляризованные электромагнитные волны
Рассмотрим ТЕ-поляризованные волны:
E = (0, Ey , 0)T ,
H = (Hx , 0, Hz )T ,
где Ey = Ey (x, y, z), Hx = Hx (x, y, z), Hz = Hz (x, y, z).
Подставив поля E и H в уравнения Максвелла (1), получим
⎧ ∂H
z
⎪
⎪
∂y = 0,
⎪
⎪
∂H
∂Hz
x
⎪
⎪
⎨ ∂z − ∂x = −iωεEy ,
∂Hx
∂y = 0,
⎪
⎪
∂Ey
⎪
⎪
⎪
∂z = −iωμHx ,
⎪
⎩ ∂Ey
∂x = iωμHz .
Из первого и третьего уравнений этой системы видно, что
Hz и Hx не зависят от y; поскольку Ey выражается через Hz и
Hx , то Ey также не зависит от y.
Волны, распространяющиеся вдоль границы z раздела сред
(а мы ищем именно их), гармонически зависят от z. Значит, компоненты полей E, H имеют представление
Ey = Ey (x)eiγz , Hx = Hx (x)eiγz , Hz = Hz (x)eiγz .
60
Часть I. Краевые задачи в слое
Тогда рассмотренная выше система принимает вид
⎧
⎪
⎨iγHx (x) − Hz (x) = −iωεEy (x),
−iγEy (x) = iωμHx (x),
⎪
⎩ Ey (x) = iωμHz (x),
(2)
где γ – неизвестный спектральный параметр (постоянная распространения электромагнитной волны).
После простейших преобразований из системы (2) получаем
γ 2 Ey (x) − Ey (x) = ω 2 μεEy (x) .
Пусть k2 = ω 2 με0 , μ = μ0 , выполним нормировку в соответε
d
d
= k dx̃
, γ̃ = γk , ε̃j = ε0j (j = 1, 2, 3),
ствии с формулами x̃ = kx, dx
ã = εa0 , b̃ = εb0 . Обозначим Ey (x̃) ≡ Y (x̃). Опуская значок тильды, получаем
(3)
Y (x) = γ 2 Y (x) − εY (x) .
Введем в рассмотрение функцию Z(x) = Y (x) и будем рассматривать (3) как систему:
Y (x) = Z(x),
(4)
Z (x) = γ 2 − ε Y (x).
Будем искать те значения спектрального параметра γ (собственные значения), для которых существуют не равные тождественно нулю действительные решения Y (x), Z (x) системы (4).
Полагаем γ действительным (так что |E|2 не зависит от z, см.
сноску на с. 38, а также замечание на с. 26) и считаем
⎧
⎪
x < 0;
⎨ε1 ,
2
4
(5)
ε = ε2 + aY + bY , 0 < x < h;
⎪
⎩
x > h.
ε3 ,
Считаем, что функции Y и Z дифференцируемы так, что
Y (x) ∈ C(−∞, +∞)∩
∩ C 1 (−∞, +∞) ∩ C 2 (−∞, 0) ∩ C 2 (0, h) ∩ C 2 (h, +∞),
Z(x) ∈ C(−∞, +∞) ∩ C 1 (−∞, 0) ∩ C 1 (0, h) ∩ C 1 (h, +∞).
Гл. 4. ТЕ-волны в слое с обобщенной керровской нелинейностью
61
Только что указанные условия непрерывности и дифференцируемости функций Y и Z продиктованы физическим содержанием задачи. Видно, что система (4) является автономной.
Такую систему можно рассматривать как динамическую систему с аналитическими по Y и Z правыми частями. Известно
(см., например, [5]), что решения Y , Z такой динамической системы сами являются аналитическими функциями независимой
переменной. Этот факт окажется очень важным при выводе дисперсионных уравнений.
Будем искать такие γ, что max(ε1 , ε3 ) < γ 2 < ε2 .
Последнее условие соответствует классической задаче распространения ТЕ-волн в линейном слое при ε1 ≥ ε0 , ε3 ≥ ε0 , где
ε0 – диэлектрическая проницаемость вакуума и ε2 > max(ε1 , ε3 ).
Это условие естественно возникает в указанной задаче (см. гл. 2),
и поэтому мы придерживаемся его при выводе дисперсионного
уравнения для нелинейного слоя. В дальнейшем (см. §6) мы выведем дисперсионное уравнение в более общих предположениях,
а именно: мы покажем, что ε1 , ε2 , ε3 , a, b могут быть произвольными действительными числами.
§3. Решение системы
дифференциальных уравнений
При x < 0 имеем ε = ε1 . Из (4) получаем Y = γ 2 − ε1 Y ,
√ 2
√ 2
его общее решение Y (x) = A1 e−x γ −ε1 + Aex γ −ε1 , в силу
условия на бесконечности получаем
Y (x) = A exp x γ 2 − ε1 ,
(6)
Z (x) = A γ 2 − ε1 exp x γ 2 − ε1 .
Здесь мы считаем γ 2 −ε1 > 0, ибо в противном случае мы получим общее решение, выраженное через синусы и косинусы действительного аргумента, и, таким образом, не сможем удовлетворить условию излучения на бесконечности. Случай γ 2 − ε1 = 0
тоже невозможен, так как в этом случае мы получаем при x < 0
62
Часть I. Краевые задачи в слое
постоянное решение, которое не удовлетворяет условию на бесконечности.
При x > h имеем ε = ε3 . Из (4) получаем Y = γ 2 − ε3 Y ,
√
√
2
2
его общее решение Y (x) = B1 e(x−h) γ −ε3 + Be−(x−h) γ −ε3 ,
в силу условия на бесконечности получаем
Y (x) = B exp − (x − h) γ 2 − ε3 ,
(7)
Z (x) = − γ 2 − ε3 B exp − (x − h) γ 2 − ε3 .
Здесь по тем же причинам, что и при x < 0, мы считаем
γ 2 − ε3 > 0.
Постоянные A и B в (6) и (7) определяются условиями сопряжения и начальными данными.
Внутри слоя 0 < x < h система (4) принимает вид
Y (x) = Z(x),
(8)
Z (x) = (γ 2 − ε2 − aY 2 (x) − bY 4 (x))Y (x).
Система (8) обладает первым интегралом, поэтому изучение уравнения второго порядка (3) можно свести к изучению
уравнения первого порядка (любого из системы (8)) и первого
интеграла. Поделив в (8) одно уравнение на другое, получим
уравнение
ZdZ + (ε2 − γ 2 + aY 2 + bY 4 )Y dY = 0,
которое является уравнением в полных дифференциалах. Его
общее решение имеет вид
6Z 2 + 6(ε2 − γ 2 )Y 2 + 3aY 4 + 2bY 6 = γ 4 C,
(9)
где C – постоянная интегрирования.
§4. Условия сопряжения и задача сопряжения
Как известно, касательные составляющие электромагнитного поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматривае-
Гл. 4. ТЕ-волны в слое с обобщенной керровской нелинейностью
63
мом случае касательными составляющими являются компоненты Ey и Hz . Отсюда получаем
Ey (h + 0) = Ey (h − 0),
Ey (0 − 0) = Ey (0 + 0),
Hz (h + 0) = Hz (h − 0),
Hz (0 − 0) = Hz (0 + 0).
Тогда из (2) и (4) получаем
√
(h)
Y (h) = i √ε0 Hz (h + 0) = Hz
Y
(0)
=
μ
√
μ
i √ε0 Hz (0
− 0) =
(0)
Hz
= Z(h),
= Z(0).
Отсюда получаем, что B = Yh , A = Y0 , где Y0 = Y (0) =
= Ey (0 − 0) и Yh = Y (h) = Ey (h + 0). Постоянная Yh считается
известной (падающее поле – начальное условие).
Пусть Z0 = Z(0) = Hz (0 − 0), Zh = Z(h) = Hz (h + 0), тогда
Zh = − γ 2 − ε3 Yh и Z0 = γ 2 − ε1 Y0 .
Из условий непрерывности касательных составляющих Ey
и Hz следуют условия сопряжения для функций Y и Z:
[Y ]x=0 = 0,
[Y ]x=h = 0,
[Z]x=0 = 0,
[Z]x=h = 0,
(10)
где [f ]x=x0 = lim f (x) − lim f (x) обозначает скачок функx→x0 −0
x→x0 +0
ции на границе раздела сред.
Считаем, что функции Y (x) и Z(x) удовлетворяют условию
1
1
и Z (x) = O
при |x| → ∞.
(11)
Y (x) = O
|x|
|x|
Пусть
D=
d
dx
0
0
d
dx
, F(X, Z) =
X
Z
, G(F, γ) =
G1
G2
,
где Y ≡ Y (x) и Z ≡ Z(x) являются искомыми функциями, а
G1 ≡ G1 (F, γ) и G2 ≡ G2 (F, γ) являются правыми частями уравнений системы (8). Число γ является спектральным параметром.
Перепишем задачу, используя введенные обозначения.
64
Часть I. Краевые задачи в слое
Для полупространства x < 0, ε = ε1 получаем
0
1
F = 0.
DF −
γ 2 − ε1 0
(12)
Внутри слоя 0 < x < h, ε = ε2 + aY 2 + bY 4 , и система
принимает вид
L(F, γ) ≡ DF − G(F, γ) = 0.
Для полупространства x > h, ε = ε3 получаем
0
1
F = 0.
DF −
γ 2 − ε3 0
(13)
(14)
Постоянную интегрирования C можно вычислить, подставив в первый интеграл (9) значение Yh (которое нам известно),
тогда ChY := C|x=h
6Zh2 + 6(ε2 − γ 2 )Yh2 + 3aYh4 + 2bYh6 = γ 4 ChY ;
поскольку Zh = − γ 2 − ε3 Yh , то окончательно получаем1
ChY =
6(ε2 − ε3 )Yh2 + 3aYh4 + 2bYh6
.
γ4
Учитывая
только что вычисленное значение ChY и то, что
Z0 = γ 2 − ε1 Y0 , из первого интеграла (9) получаем уравнение
относительно Y02 :
6(ε2 − ε1 )Y02 + 3aY04 + 2bY06 = 6(ε2 − ε3 )Yh2 + 3aYh4 + 2bYh6 . (15)
Из уравнения (15) легко видеть, что при ε1 = ε3 один из
корней уравнения будет Yh2 , т.е. Y02 = Yh2 . Отметим, что в линейном случае всегда Y02 = Yh2 , в нелинейном же это лишь один из
корней.
1
Здесь мы поставили верхний индекс у постоянной C Y для того, чтобы
не спутать в дальнейшем. Когда будут введены новые переменные τ , η,
постоянную C удобно будет вычислить в новых переменных, разумеется,
в новых переменных она может иметь другое значение.
Гл. 4. ТЕ-волны в слое с обобщенной керровской нелинейностью
65
Сформулируем задачу сопряжения (ее можно переформулировать как краевую задачу). Требуется найти собственные значения γ и соответствующие им ненулевые векторы F такие, что
F удовлетворяет уравнениям (12)–(14); компоненты Y , Z вектора F удовлетворяют условиям сопряжения (10), условию (11), и
Y (0) ≡ Y0 определяется из уравнения (15).
Определение 1. Число γ = γ0 , при котором существует
ненулевое решение F задачи (12)–(14) при условиях (10), (11),
(15), будем называть собственным значением задачи. Решение
F, которое соответствует собственному значению, будем называть собственным вектором задачи, а компоненты Y (x) и Z (x)
вектора F – собственными функциями (см. замечание на с. 42).
§5. Дисперсионное уравнение
и теорема об эквивалентности
Введем новые переменные1 :
τ (x) = ε2 + Y 2 (x),
η(x) =
Y (x)
τ (x),
Z(x)
(16)
из (16) получаем
Y 2 = τ − ε2 ,
1
τ
Y Z = (τ − ε2 ) ,
η
Z 2 = (τ − ε2 )
τ2
.
η2
(17)
В рассматриваемой задаче в случае керровской нелинейности в качестве новых переменных удобно взять τ = ε2 + aY 2 и η = YZ τ . В таких
переменных совершенно элементарно можно перейти к пределу при a → 0
и получить линейный случай (как пример, см. гл. 7). Указанные переменные в задаче с обобщенной керровской нелинейностью брать неудобно, если
предполагается предельный переход при a → 0 и b = 0. Поскольку в этом
случае получается, что переменная τ вырождается в постоянную, а сама
задача все еще остается нелинейной (так как b = 0). При выбранных нами
в этой задаче переменных τ и η предельный переход к случаю линейной
среды в слое (при a → 0, b → 0) хоть и возможен в принципе, но может
оказаться технически сложным, поскольку функция τ = τ (η), выраженная
из первого интеграла, будет содержать кубические корни, и трудно сказать
a priori, возьмутся ли интегралы в дисперсионном уравнении от таких выражений. Также см. сноску на с. 43.
Часть I. Краевые задачи в слое
66
Система (8) примет вид (мы обозначили τ0 ≡ ε2 /γ 2 )
τ = 2(τ − ε2 ) τη ,
2
η
2)
η = γ 2 τ0 − 1 + f (τγ−ε
2
τ + 3τ − 2ε2 ,
где f (x) = ax2 + bx4 . Здесь мы не стали подробно выводить
последнюю систему из системы (8), поскольку это элементарные
технические вычисления и они проведены в гл. 3, мы просто
воспользовались результатом, полученным там.
Окончательно получаем
τ = 2(τ − ε2 ) τη ,
(18)
(γ 2 (τ0 −1)+a(τ −ε2 )+b(τ −ε2 )2 )η2 +(3τ −2ε2 )τ
.
η =
τ
Первый интеграл (9) можно привести к виду
η2 =
6τ 2 (τ − ε2 )
.
γ 4 C − 6(ε2 − γ 2 ) − 3a(τ − ε2 )2 − 2b(τ − ε2 )3
(19)
Из первого интеграла (19) видно, что функции τ и η связаны алгебраически. Функция τ = τ (η) выражается из него по
формулам Кардано [30].
Из формул (16) получаем
τ (0) = ε2 + Y02 ,
τ (h) = ε2 + Yh2 ;
поскольку Yh известна, то и τ (h) известна.
Для η(0) и η(h) получаем
ε2 + Y02
> 0,
η (0) = γ 2 − ε1
ε2 + Yh2
η (h) = − < 0.
γ 2 − ε3
(20)
, из первого интеграла (19), подИспользуя η(h) = − √τ (h)
2
γ −ε3
ставляя x = h, находим значение постоянной Chτ := C|x=h :
Chτ =
6(ε2 − ε3 )(τ (h) − ε2 ) + 3a(τ (h) − ε2 )2 + 2b(τ (h) − ε2 )3
.
γ4
(21)
Гл. 4. ТЕ-волны в слое с обобщенной керровской нелинейностью
67
Теперь из первого интеграла (19), используя (20) и (21), мы
можем найти уравнение относительно τ (0):
6(ε2 − ε1 )(τ (0) − ε2 ) + 3a(τ (0) − ε2 )2 + 2b(τ (0) − ε2 )3 =
= 6(ε2 − ε3 )(τ (h) − ε2 ) + 3a(τ (h) − ε2 )2 + 2b(τ (h) − ε2 )3 . (22)
Ясно, что должно быть τ (0) ≥ ε2 , поскольку τ (0) = ε2 + Y02
и ε2 > 0. Легко показать, что при ε2 − ε1 > 0, ε2 − ε3 > 0,
a > 0, b > 0 такой корень существует. Действительно, запишем
уравнение (22) в виде a3 x3 +a2 x2 +a1 x = a0 , где x = τ (0)−ε2 и a0 ,
a1 , a2 , a4 все больше нуля. Тогда очевидно, что это уравнение
имеет корень x > 0, но это значит, что уравнение (22) имеет
корень τ (0) > ε2 .
Заметим, кстати, из уравнения (22) ясно, что при ε1 = ε3 одним из корней этого уравнения будет τ (h), т.е. τ (0) = τ (h). Или
в старых переменных Y02 = Yh2 . Такая же ситуация характерна и
для случая линейного слоя (см. гл. 1), с той лишь разницей, что
в случае линейного слоя при ε1 = ε3 всегда Y02 = Yh2 . В данном
же случае это только один из корней уравнения (22).
При наших предположениях правая часть второго уравнения системы (18) положительна, это значит, что функция η возрастает при x ∈ (0, h). Но из формул (20) видно, что η (0) > 0,
а η (h) < 0. Из этого следует, что функция η необходимо имеет
точку разрыва.
Из формулы (19) ясно, что точками разрыва могут являться
лишь нули знаменателя первого интеграла. Поскольку ни τ = 0,
ни τ = ε2 в нуль знаменатель не обращают, то из этого следует, что все точки разрыва являются точками разрыва второго
рода1 . Тогда в этих точках τ ∗ = τ (x∗ ) таково, что η ∗ = ±∞.
1
Хотя это ясно из аналитичности функций Y и Z. Более того, поскольку первый интеграл – алгебраическая функция своих переменных и правые
части системы уравнений (18) рациональны относительно τ и η, то, как
известно (см., например, [6, 39, 51]), решения τ и η этой системы будут абелевыми функциями. Отсюда следуют то, что все разрывы второго рода. Но,
как видно из предыдущих рассуждений, в случае положительности правых
частей удается доказать этот факт, не обращаясь к аналитичности решений.
Часть I. Краевые задачи в слое
68
Естественно среди всех корней знаменателя выбирать только те
τ ∗ , которые ≥ ε2 .
Предположим, что имеется (N + 1) точка разрыва x0 , ..., xN
на интервале x ∈ (0, h).
Из свойств функции η = η (x) следует, что
η (xi − 0) = +∞,
η (xi + 0) = −∞,
где
i = 0, N .
(23)
Обозначим
w=
τ
,
(γ 2 (τ0 − 1) + a(τ − ε2 ) + b(τ − ε2 )2 ) η 2 + (3τ − 2ε2 )τ
где w ≡ w(η) и τ = τ (η) находится из первого интеграла (19).
Учитывая сказанное, будем разыскивать решения на каждом из отрезков [0, x0 ], [x0 , x1 ], ..., [xN , h]:
⎧
η(x
0)
⎪
⎪
⎪
wdη = x + c0 ,
0 ≤ x ≤ x0 ;
−
⎪
⎪
⎪
η(x)
⎪
⎪
⎪
⎨ η(x)
wdη = x + ci ,
xi ≤ x ≤ xi+1 , i = 0, N − 1;
⎪
⎪
η(x
)
i
⎪
⎪
⎪
η(x)
⎪
⎪
⎪
wdη = x + cN , xN ≤ x ≤ h.
⎪
⎩
(24)
η(xN )
Подставляя x = 0, x = xi+1 , x = xN в уравнения (24)
(в первое, второе и третье соответственно) и учитывая (23), найдем постоянные c1 , c2 , ..., cN +1 :
⎧
+∞
⎪
⎪
⎪
wdη;
c0 = −
⎪
⎪
⎪
η(0)
⎪
⎪
⎨
+∞
wdη − xi+1 , i = 0, N − 1;
ci+1 =
⎪
−∞
⎪
⎪
⎪
η(h)
⎪
⎪
⎪
⎪
=
wdη − h.
c
⎩ N +1
−∞
(25)
Гл. 4. ТЕ-волны в слое с обобщенной керровской нелинейностью
69
С учетом (25) уравнения (24) примут вид
⎧
η(x
+∞
0)
⎪
⎪
⎪
wdη
=
−x
+
wdη,
0 ≤ x ≤ x0 ;
⎪
⎪
⎪
η(x)
η(0)
⎪
⎪
⎪
⎨ η(x)
+∞
wdη = x +
wdη − xi+1 , xi ≤ x ≤ xi+1 , i = 0, N − 1;
⎪
−∞
⎪η(xi )
⎪
⎪
⎪
η(x)
η(h)
⎪
⎪
⎪
wdη
=
x
+
wdη − h,
xN ≤ x ≤ h.
⎪
⎩
−∞
η(xN )
Введем обозначение T =
+∞
(26)
ωdη. Из формулы (26) следует,
−∞
что 0 < xi+1 − xi = T < h, где i = 0, N − 1. Отсюда следует
сходимость несобственного интеграла (позднее мы докажем это
из других соображений). Теперь, полагая в уравнениях (26) x
таким, чтобы все интегралы слева обратились в нуль (т.е. x = x0 ,
x = xi , x = xN ), сложим все уравнения (26), получим
η(h)
+∞
wdη+x0 +T −x1 +...+xN −1 +T −xN +xN +
wdη−h.
0 = −x0 +
−∞
η(0)
Окончательно получаем
η(h)
wdη + (N + 1) T = h,
(27)
η(0)
где N ≥ 0 – целое число; η (0), η (h) определены формулами (20).
Формула (27) есть дисперсионное уравнение, справедливое
для любого конечного h. Когда N = 0, возникает несколько
уравнений при различных значениях N . Необходимо решать относительно γ каждое из получающихся уравнений.
Отметим, что несобственные интегралы в дисперсионном
уравнении (27) сходятся. Действительно, при η → ∞ функция
70
Часть I. Краевые задачи в слое
τ = τ (η) остается ограниченной, поскольку τ = ε2 + Y 2 и Y –
ограниченная функция. Тогда
τ
,
|w| = 2
(γ (τ0 − 1) + a(τ − ε2 ) + b(τ − ε2 )2 ) η 2 + (3τ − 2ε2 )τ где α > 0, β > 0 – постоянные, тогда несобственный интеграл
+∞
dη
αη2 +β сходится. Поскольку мы требуем, чтобы правая часть
−∞
второго уравнения (19) была положительна, то из этого следует
сходимость интегралов в (28) во внутренних точках.
Теорема 1. Множество решений (собственных значений)
краевой задачи на собственные значения (12)–(14) с условиями
(10), (11), (15) содержится в множестве решений дисперсионного уравнения (27).
Доказательство. Из самого способа получения дисперсионного уравнения (27) из системы (18) следует, что собственное
значение краевой задачи (12)–(14) является решением дисперсионного уравнения.
В то же время не каждое решение дисперсионного уравнения (27) является решением краевой задачи. Это связано с тем,
что τ как функция от η, определяемая из первого интеграла
(19), является, вообще говоря, многозначной функцией. Другими словами, может существовать несколько корней τ (0) уравнения (22), удовлетворяющих условию τ (0) ≥ ε2 . Но даже в этом
случае можно среди корней дисперсионного уравнения найти решения краевой задачи. Действительно, найдя решение γ дисперсионного уравнения (27), мы сможем найти функции τ (x) и η(x)
из системы (18) и первого интеграла (19). Зная функции τ (x) и
η(x) и пользуясь формулами (16), (17), найдем
√
Y (x) = ± τ − ε2
√
τ
и Z(x) = ± τ − ε2 .
|η|
(28)
Вопрос о выборе знака является существенным, поэтому обсудим его подробнее. Нам известно поведение функции η = τ YZ :
Гл. 4. ТЕ-волны в слое с обобщенной керровской нелинейностью
71
функция η является монотонно возрастающей, если x = x∗ таково, что η (x∗ ) = 0, то η (x∗ − 0) < 0, η (x∗ + 0) > 0, и если x = x∗∗
таково, что η (x∗∗ ) = ±∞, то η (x∗∗ − 0) > 0 и η (x∗∗ + 0) < 0.
Других точек перемен знака у функции η нет. Начальное условие
Yh положим для определенности > 0. Если η > 0, то функции Y
и Z имеют одинаковые знаки, а если η < 0, то Y и Z имеют разные знаки. Помня о том, что X и Z – непрерывные функции (и
даже гладкие на соответствующих областях), выбираем соответствующие знаки в выражениях (28). Теперь, зная функцию Y ,
мы можем вычислить τ (0) = ε2 + Y02 , если полученное значение совпадает с найденным ранее из первого интеграла, значит, найденное решение γ дисперсионного уравнения является
собственным значением краевой задачи (и не является таковым
в противном случае). Если же функция ϕ такова, что существует единственный корень τ (0) уравнения (22), удовлетворяющий
условию τ (0) ≥ ε2 , то получается следующая
Теорема 2 (об эквивалентности). Если уравнение (22)
имеет единственное решение τ (0), удовлетворяющее условию
τ (0) ≥ ε2 , то краевая задача на собственные значения (12)–(14)
с условиями (10), (11), (15) имеет решение (собственное значение) тогда и только тогда, когда это собственное значение
является решением дисперсионного уравнения (27).
Доказательство этой теоремы очевидным образом следует
из доказательства предыдущей теоремы.
η(h)
wdη + (k + 1)T , где правая
Введем обозначение J(γ, k) :=
η(0)
часть рассматриваемой формулы определяется из дисперсионного уравнения (28) и k = 0, N .
Пусть
hkinf =
inf
γ 2 ∈(max(ε1 ,ε3 ),ε2 )
J(γ, k),
hksup =
sup
γ 2 ∈(max(ε1 ,ε3 ),ε2 )
J(γ, k).
Сформулируем достаточное условие существования по крайней мере одного собственного значения краевой задачи.
72
Часть I. Краевые задачи в слое
Теорема 3. Если h таково, что для некоторого k = 0, N
выполняется неравенство
hkinf < h < hksup ,
то краевая задача на собственные значения (12)–(14) с условиями (10), (11), (15) имеет по крайней мере одно решение (собственное значение).
Величины hkinf и hksup можно находить численно.
§6. Обобщенное дисперсионное уравнение
В этом параграфе мы получим общее дисперсионное уравнение, справедливое при любых действительных значениях ε2 .
Также мы откажемся от требования, чтобы правая часть второго уравнения системы (18) была положительна (см. сноску на
с. 50), а также от условий max(ε1 , ε3 ) < γ 2 < ε2 или 0 < γ 2 < ε2 .
Эти условия возникали в линейном случае и были использованы при выводе дисперсионного уравнения (27). Однако в нелинейном случае нет требований, которые ограничивают значения
γ 2 справа, хотя ограничение слева остается (оно возникает из
решений в полупространствах, где среда линейна). Теперь мы
считаем, что γ удовлетворяет одному из двух неравенств
max(ε1 , ε3 ) < γ 2 < +∞,
когда хотя бы одна из величин ε1 или ε3 положительна, или
0 < γ 2 < +∞,
когда ε1 < 0 или ε3 < 0.
Сначала мы выведем дисперсионное уравнение из системы
уравнений (18) и первого интеграла (19), а потом обсудим детали
вывода и условия, при которых сам вывод возможен и справедливо полученное дисперсионное уравнение.
Гл. 4. ТЕ-волны в слое с обобщенной керровской нелинейностью
73
Имея в своем распоряжении первый интеграл (19), формально можно проинтегрировать любое из двух уравнений системы (18). Мы, как и ранее, будем интегрировать второе уравнение системы (18). Но мы не можем получить решение на всем
интервале, поскольку функция η (x) может иметь разрывы в
некоторых точках интервала (0, h). При выводе дисперсионного уравнения мы будем считать, что η(x) имеет разрывы только
второго рода. Это можно доказать несколькими способами, в
частности, можно исходную систему рассматривать как систему с аналитическими правыми частями. Можно поступить подругому, легко показать, что собственные функции будут эллиптическими, отсюда сразу следует, что разрывы только второго
рода и что их конечное число.
Пусть функция η(x) на интервале (0, h) имеет несколько точек x0 , x1 , ..., xN , в которых она обращается в бесконечность.
Отметим, что
η(xi − 0) = ±∞, η(xi + 0) = ±∞,
i = 0, N , причем знаки ± в этих формулах независимы и нам
неизвестны.
Учитывая сказанное, будем разыскивать решения на каждом из отрезков [0, x0 ], [x0 , x1 ], ..., [xN , h]:
⎧
η(x0 −0)
⎪
⎪
⎪
wdη = x + c0 ,
0 ≤ x ≤ x0 ;
−
⎪
⎪
⎪
η(x)
⎪
⎪
⎪
⎨
η(x)
wdη = x + ci+1 ,
xi ≤ x ≤ xi+1 , i = 0, N − 1; (29)
⎪
⎪
η(x
+0)
i
⎪
⎪
⎪
η(x)
⎪
⎪
⎪
wdη = x + cN +1 , xN ≤ x ≤ h.
⎪
⎩
η(xN +0)
Из уравнений (29), подставляя x = 0, x = xi+1 , x = xN
в первое, второе и третье уравнения (29), найдем необходимые
константы c1 , c2 , ..., cN +1 :
Часть I. Краевые задачи в слое
74
⎧
η(x0 −0)
⎪
⎪
⎪
=
−
wdη;
c
⎪
0
⎪
⎪
η(0)
⎪
⎪
⎪
⎨
η(xi+1
−0)
wdη − xi+1 , i = 0, N − 1;
ci+1 =
⎪
⎪
η(x
+0)
i
⎪
⎪
⎪
η(h)
⎪
⎪
⎪
=
wdη − h.
c
⎪
N
+1
⎩
(30)
η(xN +0)
С учетом (30) уравнения (29) примут вид
⎧
η(x0 −0)
η(x0 −0)
⎪
⎪
⎪
wdη
=
−x
+
wdη,
0 ≤ x ≤ x0 ;
⎪
⎪
⎪
η(x)
η(0)
⎪
⎪
⎪
⎨ η(x)
η(xi+1
−0)
wdη = x +
wdη − xi+1 , xi ≤ x ≤ xi+1 ;
⎪η(xi +0)
⎪
η(xi +0)
⎪
⎪
⎪
η(h)
⎪ η(x)
⎪
⎪
wdη
=
x
+
wdη − h,
xN ≤ x ≤ h,
⎪
⎩
η(xN +0)
(31)
η(xN +0)
где i = 0, N − 1.
Из формул (31) получаем, что
η(x
i+1 −0)
xi+1 − xi =
wdη,
(32)
η(xi +0)
где i = 0, N − 1.
Поскольку 0 < xi+1 −xi < h < ∞, то отсюда следует, что при
наших предположениях (относительно наличия особых точек)
η(xi+1
−0)
wdη > 0.
интеграл справа сходится, и
η(xi +0)
Гл. 4. ТЕ-волны в слое с обобщенной керровской нелинейностью
75
Таким же образом из первого и последнего уравнений (31)
η(x0 −0)
wdη, так как 0 < x0 < h, тогда
получаем x0 =
η(0)
η(x
0 −0)
wdη < h < ∞;
0<
η(0)
h − xN =
η(h)
η(xN +0)
wdη, так как 0 < h − xN < h, тогда
η(x
0 −0)
wdη < h < ∞.
0<
η(0)
Из этих рассуждений следует, что функция η(x) имеет конечное число точек разрыва второго рода, и функция w(η) не
имеет неинтегрируемых особенностей при η ∈ (−∞, ∞).
Теперь, полагая в уравнениях (31) x таковым (т.е. подставляя x = x0 , x = xi , x = xN в первое, второе и третье уравнения
(31)), чтобы все интегралы слева обратились в нуль, сложим все
уравнения (31) и получим
η(x
0 −0)
0 = −x0 +
η(x
1 −0)
wdη + x0 +
wdη − x1 + ...
η(x0 +0)
η(0)
η(xN −0)
... + xN −1 +
η(h)
wdη − xN + xN +
η(xN−1 +0)
wdη − h. (33)
η(xN +0)
Из (33) получаем
η(x
0 −0)
η(h)
wdη +
η(0)
wdη +
η(xN +0)
N
−1
i=0
η(x
i+1 −0)
wdη = h.
η(xi +0)
(34)
76
Часть I. Краевые задачи в слое
Из формулы (32) следует, что
η (xi + 0) = ±∞ и η (xi − 0) = ∓∞, где i = 0, N ,
причем ясно, что бесконечности должны выбираться различных
знаков.
Таким образом, получаем, что
η(x
1 −0)
η(xN −0)
wdη = ... =
η(x0 +0)
wdη ≡ T,
η(xN−1 +0)
и, значит, x1 − x0 = ... = xN − xN −1 .
Теперь уравнение (34) можно переписать так:
η(x
0 −0)
η(h)
wdη +
f dη + N T = h
η(xN +0)
η(0)
или в окончательной форме
η(0)
wdη + (N + 1) T = h,
−
(35)
η(h)
где N ≥ 0 – целое число; η (0), η (h) определены формулами (20).
Формула (35) есть дисперсионное уравнение, справедливое
для любого конечного h. Когда N = 0, возникает несколько
уравнений при различных значениях N . Необходимо решать относительно γ каждое из получающихся уравнений.
Теперь можно сформулировать теорему, аналогичную теореме 1, но уже для обобщенного дисперсионного уравнения (35).
Теорема 4. Множество решений (собственных значений)
краевой задачи на собственные значения (12)–(14) с условиями
(10), (11), (15) содержится в множестве решений дисперсионного уравнения (35).
Доказательство этой теоремы почти дословно повторяет доказательство теоремы 1.
Гл. 4. ТЕ-волны в слое с обобщенной керровской нелинейностью
77
Теперь мы перейдем к теоретическому обоснованию вывода дисперсионных уравнений (27) и (35). С самого начала мы
ничего не говорили об условиях, при которых решение системы
(8) существует и единственно. Мы сделали это намеренно, предпочитая сначала проделать все технические вычисления и дать
читателю возможность проследить за выводом и используемой
техникой, не отвлекаясь на теоретические факты теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Воспользуемся векторной формой записи (13) системы (8):
DF = G(F, λ).
(36)
Пусть правая часть G определена и непрерывна в области
Ω ⊂ R2 , G : Ω → R2 . Также считаем, что G удовлетворяет в Ω
условию Липшица по F локально1 .
При указанных условиях система (8) или, что то же самое,
система (36) имеет единственное решение в области Ω [8, 38, 49].
Ясно, что накладывая эти условия на систему (18), для
нее получим единственность решения (разумеется, область единственности Ω в переменных τ , η будет отлична от Ω).
Поскольку мы ищем ограниченные решения Y и Z, то
Ω ⊂ [−m1 , m1 ] × [−m2 , m2 ], где max |Y | < m1 , max |Z| < m2 .
x∈[0,h]
x∈[0,h]
Из последнего мы получаем, что
Ω ⊂ [ε2 , ε2 + m21 ] × (−∞, +∞).
Первый интеграл, очевидно, является алгебраической функцией от любой из двух своих переменных (см., например, [51]).
В этом случае любое уравнение системы (8) совместно с первым
интегралом представляет собой абелев интеграл [6, 39, 51]. Его
обращением является абелева функция, которая и будет решением выбранного для интегрирования уравнения. В этом случае
решение второго уравнение выражается из первого интеграла и
1
По поводу условия Липшица см. сноску на с. 54
78
Часть I. Краевые задачи в слое
найденного только что решения. Таким образом, обе функции –
решения системы (8), являются абелевыми функциями. Как известно, абелевы функции – функции мероморфные (см., например, [28, 34]). А в этом случае наше предположение о наличии у
функции η точек разрыва второго рода (и только их) справедливо. Таким образом, мы полностью обосновали справедливость
полученных дисперсионных уравнений.
На самом деле в этой задаче собственные функции выражаются через эллиптические функции (которые являются частным случаем абелевых). Если рассматривать задачу о распространении ТМ-волн в слое с керровской (не обобщенной керровской!) нелинейностью, то там уже не удается выразить собственные функции через эллиптические (см. гл. 7). Их можно выразить через так называемые гиперэллиптические абелевы функции (они тесно связаны с проблемой обращения Якоби, см., например, [26]). Так, всего лишь изменение поляризации уже существенно усложняет задачу. Ясно, что все замечания относительно абелевых функций и интегралов справедливы и для системы
(18), поскольку новые переменные τ , η выражаются через старые Y , Z рационально.
Еще одно замечание относительно интегралов в дисперсионных уравнениях (27) и (35). Если при некотором значении γ∗2
какие-то из входящих в дисперсионные уравнения интегралов
расходятся во внутренних точках, то это попросту обозначает,
что выбранное значение γ∗2 не является решением дисперсионного уравнения и тем более не является собственным значением.
Мы выводили дисперсионные уравнения из второго уравнения системы (18). Однако точно так же можно это сделать,
исходя из первого уравнения этой системы (см. с. 144).
ГЛАВА 5
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ТМ-ВОЛН В ЛИНЕЙНОМ СЛОЕ
Глава посвящена изучению распространения поляризованных электромагнитных ТМ-волн в линейном слое, расположенном между двумя изотропными полупространствами. Несмотря
на то, что эта задача является классической в электродинамике,
она, как нам кажется, еще не была исследована в полной мере
для метаматериалов1 . Нам не удалось найти работы, в которой
были бы представлены в полной мере полученные результаты, и
это побудило нас вывести указанные дисперсионные уравнения
здесь. В дальнейшем мы неоднократно ссылаемся на результаты
этой главы. Приведенные здесь дисперсионные уравнения могут
быть применены при изучении линейных метаматериалов.
Результаты этой главы опубликованы в [15].
§1. Уравнения Максвелла и постановка задачи
Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся через однородный, анизотропный, немагнитный диэлектрический слой, расположенный между двумя полупространствами
x < 0 и x > h в декартовой системе координат Oxyz. Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость
1
Задачи распространения электромагнитных волн в линейном слое из
метаматериала активно изучаются в настоящее время, с некоторыми аспектами исследований можно познакомиться по работам [4, 52–54], см. также
[70, 84].
80
Часть I. Краевые задачи в слое
ε1 ≥ ε0 и ε3 ≥ ε0 соответственно, где ε0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. Вообще говоря, условия ε1 ≥ ε0 и ε3 ≥ ε0
необязательны, они не используются при выводе дисперсионных уравнений, однако могут оказаться полезными при анализе
разрешимости дисперсионных уравнений. Считаем, что всюду
μ = μ0 – магнитная проницаемость вакуума.
Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:
Ẽ (x, y, z, t) = E+ (x, y, z) cos ωt + E− (x, y, z) sin ωt,
H̃ (x, y, z, t) = H+ (x, y, z) cos ωt + H− (x, y, z) sin ωt,
где ω – круговая частота; Ẽ, E+ , E− , H̃, H+ , H− – вещественные искомые функции.
Образуем комплексные амплитуды полей E и H:
E = E+ + iE− ,
H = H+ + iH− .
Везде ниже множители cos ωt и sin ωt будем опускать.
Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе уравнений Максвелла
rot H = −iωεE,
rot E = iωμH,
(1)
условию непрерывности касательных составляющих компонент
поля на границе раздела сред x = 0, x = h и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально
затухает при |x| → ∞ в областях x < 0 и x > h.
Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается
диагональным тензором:
⎞
⎛
0
εxx 0
εyy 0 ⎠ ,
ε̃ = ⎝ 0
0
0
εzz
где εxx , εzz – постоянные величины. Какой вид имеет εyy , не имеет значения, поскольку при рассмотрении ТМ-поляризованных
волн εyy не содержится в рассматриваемых ниже уравнениях.
Гл. 5. ТМ-волны в линейном слое
81
Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.
На рис. 1 схематически представлена геометрия задачи.
x
h
ε = ε3
ε = ε̃
0
ε = ε1
z
Рис. 1. Геометрия задачи
§2. ТМ-поляризованные электромагнитные волны
Рассмотрим ТМ-поляризованные волны:
E = (Ex , 0, Ez )T ,
H = (0, Hy , 0)T ,
где Ex = Ex (x, y, z), Ez = Ez (x, y, z), Hy = Hy (x, y, z) и ( · )T –
операция транспонирования.
Подставив поля E и H в уравнения Максвелла (1), получим
⎧ ∂E
z
⎪
⎪ ∂y = 0,
⎪
⎪
∂Ex
∂Ez
⎪
⎪
⎨ ∂z − ∂x = iωμHy ,
∂Ex
∂y = 0,
⎪
⎪
∂Hy
⎪
⎪
⎪
∂z = iωεxx Ex ,
⎪
⎩ ∂Hy
∂x = −iωεzz Ez .
Из первого и третьего уравнений этой системы видно, что
Ez и Ex не зависят от y. Поскольку Hy выражается через Ex и
Ez , то Hy также не зависит от y.
Волны, распространяющиеся вдоль границы z раздела сред
(а мы ищем именно их), гармонически зависят от z. Значит, компоненты полей E, H имеют представление
Ex = Ex (x)eiγz , Ez = Ez (x)eiγz , Hy = Hy (x)eiγz .
Часть I. Краевые задачи в слое
82
Тогда из рассмотренной выше системы получаем
γ (iEx (x)) − Ez (x) = ω 2 μεzz Ez (x),
γ 2 (iEx (x)) − γEz (x) = ω 2 μεxx (iEx (x)) ,
(2)
здесь γ – неизвестный спектральный параметр (постоянная распространения электромагнитной волны).
Введем обозначения k2 = ω 2 με0 с μ = μ0 и выполним норd
d
= k dx̃
, γ̃ = γk ,
мировку в соответствии с формулами x̃ = kx, dx
, ε̃zz = εεzz0 . Переобозначаем Ez ≡ Z (x̃),
ε̃1 = εε10 , ε̃3 = εε30 , ε̃xx = εεxx
0
iEx ≡ X (x̃) и, опуская значок тильды, систему (2) приведем
к виду
2
− ddxZ2 + γ dX
dx = εzz Z,
dZ
− dx + γX = γ1 εxx X.
Из последней системы легко получаем
X − λX = 0,
X ,
Z = γ1 εεxx
zz
где
λ=
εzz 2
(γ − εxx ).
εxx
(3)
(4)
Будем искать те действительные значения спектрального
параметра γ, для которых существуют действительные решения
X (x), Z (x) системы (3).
Замечание. Мы считаем γ действительным, хотя в линейном случае можно считать спектральный параметр комплексным числом. Однако в нелинейном случае при используемом
подходе уже не удается рассматривать комплексные γ.
Считаем, что функции X, Z дифференцируемы так, что
X(x) ∈C (−∞, 0] ∩ C[0, h] ∩ C [h, +∞) ∩
∩C 1 (−∞, 0] ∩ C 1 [0, h] ∩ C 1 [h, +∞) ,
Z(x) ∈C(−∞, +∞) ∩ C 1 (−∞, 0] ∩ C 1 [0, h] ∩ C 1 [h, +∞) ∩
∩C 2 (−∞, 0) ∩ C 2 (0, h) ∩ C 2 (h, +∞).
Гл. 5. ТМ-волны в линейном слое
83
Система (3) – это на самом деле система уравнений в анизотропном слое, однако из нее легко получаются системы для
изотропных полупространств при εxx = εzz = ε, где ε отвечает
уже изотропной среде (полупространству).
Считаем, что γ 2 > max(ε1 , ε3 ). Отметим, что последнее условие имеет место только в случае, если хотя бы одна из величин
ε1 или ε3 положительна, если же ε1 < 0 и ε3 < 0, то γ 2 > 0.
Откуда взялись эти условия, будет ясно из дальнейшего.
§3. Решение системы
дифференциальных уравнений
При x < 0 имеем ε = ε1 . Из (3) получаем X = γ 2 − ε1 X,
√
√
2
2
его общее решение X (x) = A1 e− γ −ε1 x + Ae γ −ε1 x , в силу
условия на бесконечности получаем решения
√
2
X (x) = √
Aex γ −ε1 ,
√
(5)
2
γ 2 −ε1
Aex γ −ε1 .
Z (x) =
γ
Здесь мы считаем γ 2 − ε1 > 0, ибо в противном случае мы
получим общее решение, выраженное через синусы и косинусы
действительного аргумента, и не сможем удовлетворить условию
излучения на бесконечности. Случай γ 2 − ε1 = 0 тоже невозможен, т.к. здесь мы получаем при x < 0 постоянное решение,
которое не удовлетворяет условию излучения на бесконечности.
При x > h имеем ε = ε3 . Из (3) получаем X = γ 2 − ε3 X,
√
√
2
2
его общее решение X (x) = B1 e(x−h) γ −ε3 + Be−(x−h) γ −ε3 ,
в силу условия на бесконечности получаем решения
√
−(x−h) γ 2 −ε3 ,
X(x) = Be
√
√
(6)
2
γ 2 −ε
Z(x) = − γ 3 Be−(x−h) γ −ε3 .
Здесь по тем же причинам, что и при x < 0, мы считаем
γ 2 − ε3 > 0.
Постоянные A и B в (5) и (6) определяются начальными
данными и условиями сопряжения.
Часть I. Краевые задачи в слое
84
Внутри слоя решаем систему (3). Из уравнения X = λX
видно, что возможны два случая:
а) λ ≥ 0; общее решение внутри слоя есть
−x
X(x) = C
1e
Z(x) =
1
γ
√
λ
√
+ C2 ex λ ,
√
√ εxx
2 − ε ) −C e−x λ + C ex λ ;
(γ
xx
1
2
εzz
б) λ ≤ 0; общее решение внутри слоя есть
√
√
X(x) = C
1 sin x −λ + C2 cos x −λ,
√
√ (εxx − γ 2 ) C1 cos x −λ − C2 sin x −λ .
Z(x) = γ1 εεxx
zz
(7)
(8)
§4. Условия сопряжения
Как известно, касательные составляющие электромагнитного поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматриваемом случае касательными составляющими являются компоненты Hy и Ez . Отсюда получаем
Hy (h + 0) = Hy (h − 0) , Hy (0 − 0) = Hy (0 + 0) ,
Ez (h + 0) = Ez (h − 0) , Ez (0 − 0) = Ez (0 + 0) ,
(h)
где постоянная Ez = Z(h) = Z(h + 0) считается известной.
Из условий непрерывности касательных составляющих Ex ,
Hy электромагнитного поля E и H получаем условия сопряжения для функций X, Z:
[εX]x=0 = 0,
[εX]x=h = 0,
[Z]x=0 = 0,
[Z]x=h = 0,
(9)
где [f ]x=x0 = lim f (x) − lim f (x) обозначает скачок функx→x0 −0
x→x0 +0
ции на границе раздела сред.
(h)
Обозначаем Z (h) = Ez (известная величина – падающее
(0)
поле), Z (0) = Ez , причем
B = −
γ
γ2
− ε3
Ez(h) ,
A= γ
γ2
− ε1
Ez(0) .
Гл. 5. ТМ-волны в линейном слое
Тогда X (0) = √
(0)
γ
Ez
γ 2 −ε1
85
(h)
γ
Ez .
γ 2 −ε3
и X (h) = − √
В случае (а) из условий сопряжения (9) и решений (5)–(7)
получаем систему
⎧
ε1 A = εxx (C
⎪
⎪
1 + C√2 ) ,
√ ⎪
⎪
⎪
⎨ε3 B = εxx C1 e−h λ + C2 eh λ ,
⎪
γ 2 − ε1 A = εεxx
(γ 2 − εxx )(C2 − C1 ),
⎪
zz
⎪
⎪
√
√ ⎪
⎩− γ 2 − ε B = εxx (γ 2 − ε ) −C e−h λ + C eh λ .
3
xx
εzz
1
2
Решая эту систему, мы получаем дисперсионное уравнение
√
2h λ
e
=
ε1
ε1
γ 2 − εxx −
εxx εzz (γ 2 − ε1 )
×
εxx εzz (γ 2 − ε1 )
ε3 γ 2 − εxx − εxx εzz (γ 2 − ε3 )
, (10)
× ε3 γ 2 − εxx + εxx εzz (γ 2 − ε3 )
γ 2 − εxx +
где γ 2 − ε1 > 0, γ 2 − ε3 > 0, λ ≥ 0.
В случае (б) из условий сопряжения (9) и решений (5), (6),
(8) получаем систему
⎧
⎪
ε1 A = εxx C2 ,
⎪
⎪
√
√ ⎪
⎪
⎨ε3 B = εxx C1 sin h −λ + C2 cos h −λ ,
εxx
2−ε A=
2
γ
⎪
1
εzz (εxx − γ )C1 ,
⎪
⎪
⎪
√
√ ⎪
⎩− γ 2 − ε3 B = εxx (εxx − γ 2 ) C1 cos h −λ − C2 sin h −λ .
εzz
Из последней системы находим
√
ε1 ε3 εxx − γ 2 − εxx εzz γ 2 − ε1 γ 2 − ε3
sin h −λ =
εxx εzz (εxx − γ 2 ) ε3 γ 2 − ε1 + ε1 γ 2 − ε3
√
= cos h −λ, (11)
где γ 2 − ε1 > 0, γ 2 − ε3 > 0, λ ≤ 0.
Часть I. Краевые задачи в слое
86
√
Если cos h −λ = 0, то получаем известное уравнение
εxx εzz (εxx − γ 2 ) ε3 γ 2 − ε1 + ε1 γ 2 − ε3
√
. (12)
tg h −λ =
ε1 ε3 (εxx − γ 2 ) − εxx εzz γ 2 − ε1 γ 2 − ε3
√
Если же условие cos h −λ = 0 не выполняется, то мы
можем записать последнее уравнение через котангенс, однако
в этом случае можно получить более простое (алгебраическое)
уравнение для собственных значений.
Уравнения (10) и (11) можно формально получить одно из
другого, просто заменив в любом из них λ на −λ и учитывая
появление мнимой единицы при извлечении корня.
§5. Анализ дисперсионных уравнений
В обоих дисперсионных уравнениях (10) и (12) из условий
γ 2 − ε1 > 0 и γ 2 − ε3 > 0 следует, что ε1 и ε3 могут быть произвольных знаков (именно об этом шла речь в §1). Рассмотрим
наиболее распространенный случай, когда ε1 ≥ ε0 и ε3 ≥ ε0 , где
ε0 – диэлектрическая проницаемость вакуума.
Из условий γ 2 − ε1 > 0 и γ 2 − ε3 > 0 сразу следует, что
γ 2 > max(ε1 , ε3 ).
Из условия λ > 0 следуют такие неравенства:
⎧
⎪
⎨εxx > 0,
εzz > 0,
⎪
⎩ 2
γ > εxx ,
⎧
⎪
⎨εxx < 0,
или εzz < 0,
⎪
⎩ 2
γ > εxx ,
⎧
⎪
⎨εxx > 0,
или εzz < 0,
⎪
⎩ 2
γ < εxx .
(13)
Из условия λ < 0 следуют такие неравенства:
⎧
⎪
⎨εxx > 0,
εzz < 0,
⎪
⎩ 2
γ > εxx ,
⎧
⎪
⎨εxx < 0,
или εzz > 0,
⎪
⎩ 2
γ > εxx ,
⎧
⎪
⎨εxx > 0,
или εzz > 0,
⎪
⎩ 2
γ < εxx .
(14)
Гл. 5. ТМ-волны в линейном слое
87
Заметим, что из первой и второй групп неравенств в (14)
следует, что γ 2 > max(εxx , ε1 , ε3 ). То есть здесь величина γ 2
не ограничена сверху. Можно показать, что в уравнении (12)
lim h = 0 (рис. 2).
γ 2 →+∞
γ2
60
|
50
|
40
|
30
|
20
|
10
|
|
0
5
|
10 h
Рис. 2. ε1 = 1, εxx = 3, εzz = −1, ε3 = 2.
Пунктирная прямая отвечает значению γ 2 = εxx
Также из первой и второй групп неравенств в (13) следует, что γ 2 > max(εxx , ε1 , ε3 ), значит, и здесь γ 2 не ограничена
сверху. Помним, что в случае уравнения (10) существует всего
одна дисперсионная кривая, т.к. экспонента имеет мнимый период. Это отличает случай ТМ-волн от аналогичного для ТЕ-волн.
В главе 2 показано, что при распространении ТЕ-волн в линейном слое всегда либо 0 < γ 2 < ε2 , либо max(ε1 , ε3 ) < γ 2 < ε2 .
Теперь перейдем к подробному анализу простого случая, а
именно рассмотрим уравнения (10) и (12) при εxx = εzz = ε2 .
Из уравнения (10) получаем
√
√
√
√
ε1 γ 2 −ε2 −ε2 γ 2 −ε1 ε3 γ 2 −ε2 −ε2 γ 2 −ε3
√
√
√
· √
ln
ε1 γ 2 −ε2 +ε2 γ 2 −ε1 ε3 γ 2 −ε2 +ε2 γ 2 −ε3
+
h=
2 γ 2 − ε2
iπk
, (15)
+
γ 2 − ε2
где k ∈ Z и γ 2 − ε1 > 0, γ 2 − ε2 > 0, γ 2 − ε3 > 0.
Часть I. Краевые задачи в слое
88
Неравенства (13) переходят в
ε2 < 0,
ε2 > 0,
или
2
γ > ε2 ,
γ 2 > ε2 .
(16)
Из неравенств (16) сразу следует, что в (15) k = 0.
Из уравнения (15) легко видеть, что если ε1 < 0, ε2 < 0,
ε3 < 0, то величина под знаком логарифма по модулю меньше 1,
и мы получаем мнимое или отрицательное значение для h. То же
самое верно и при ε1 > 0, ε2 > 0, ε3 > 0. В других случаях может
получиться как отрицательное значение h, так и положительное.
Поскольку h – толщина слоя, то эта величина может принимать
только положительные значения.
Наиболее интересным кажется случай, когда ε1 ≥ ε0 , ε3 ≥ ε0 ,
где ε0 – диэлектрическая проницаемость вакуума и ε2 < 0. Тогда γ 2 > max(ε1 , ε3 ). Проведем детальный анализ уравнения
(10)
заметим,
условиях.
√ Сразу √
что поскольку
√ при указанных
ε3 γ 2 −ε2 −ε2 γ 2 −ε3 ε1 γ 2 −ε2 −ε2 √γ 2 −ε1 √
ε1 γ 2 −ε2 +ε2 √γ 2 −ε1 > 1 и ε3 √γ 2 −ε2 +ε2 √γ 2 −ε3 > 1 при указанных условиях, то величина под знаком логарифма в (15) по модулю всегда больше единицы. Значит, нам лишь осталось указать условия, при которых указанная величина положительна.
Формулу (15) можно привести к виду
√
2 √
2 √
√
ln
h=
ε1
γ 2 −ε2 −ε2
γ 2 −ε1
ε21 (γ 2 −ε2 )−ε22 (γ 2 −ε1 )
·
ε3
γ 2 −ε2 −ε2
γ 2 −ε3
ε23 (γ 2 −ε2 )−ε22 (γ 2 −ε3 )
2 γ 2 − ε2
.
(17)
Из формулы (17) ясно, что числители дробей под знаком логарифма должны одновременно иметь одинаковые знаки. Преобразуем (17) следующим образом:
√
2 √
2
√
√
ε1 γ 2 −ε2 −ε2 γ 2 −ε1
ε3 γ 2 −ε2 −ε2 γ 2 −ε3
ln (ε1 −ε2 )(ε3 −ε2 )(γ 2 (ε1 +ε2 )−ε1 ε2 )(γ 2 (ε3 +ε2 )−ε3 ε2 )
.
(18)
h=
2 γ 2 − ε2
Ясно,
что ε1 − ε2 > 0 и ε3 − ε2 > 0. Остается изучить множи
тели γ 2 (ε1 + ε2 ) − ε1 ε2 и γ 2 (ε3 + ε2 ) − ε3 ε2 . Указанные два
Гл. 5. ТМ-волны в линейном слое
89
множителя должны быть либо оба отрицательны, либо оба положительны. Если
то, как легко пока они оба отрицательны,
ε1 |ε2 |
ε3 |ε2 |
2|
2
> 1 и
зать, γ > max ε1 , ε3 , |ε2|−ε1 , |ε2 |−ε3 . Поскольку |ε2|ε|−ε
1
|ε2 |
|ε2 |−ε3
> 1, окончательно получаем, что
2
γ >
γ∗2
= |ε2 | · max
ε1
ε3
,
|ε2 | − ε1 |ε2 | − ε3
.
Нетрудно показать, что в этом случае lim h = 0. Также
легко видеть, что
lim
γ 2 →γ∗2 +0
h = +∞ (рис. 3).
γ 2 →∞
γ2
100
|
80
|
60
|
40
|
20
|
|
0 0.02
|
|
|
|
|
|
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
h
Рис. 3. ε1 = 3, ε2 = −5, ε3 = 2
Если же оба указанных множителя положительны, то имеется четыре возможности:
а) |ε2 | < min(ε1 , ε3 ) и γ 2 ≥ max (ε1 , ε3 ). В этом случае получаем lim h = 0 (поскольку под знаком логарифма в (15) чисγ 2 →∞
ло, большее единицы, а множитель перед логарифмом стремится
к бесконечности);
|ε2 |
. Тогда
б) ε3 < |ε2 | < ε1 и max (ε1 , ε3 ) = ε1 < γ 2 < |εε23|−ε
3
|ε2 |
|ε2 |
. При γ 2 > |εε23|−ε
получаем мнимые
получаем, что ε1 < |εε23|−ε
3
3
h = +∞,
значения для h. Из формулы (18) ясно, что
lim
ε |ε |
2 −0
γ 2 → |ε 3|−ε
2
3
Часть I. Краевые задачи в слое
90
|ε2 |
т.е. имеется горизонтальная асимптота γ 2 = |εε23|−ε
. Величина h
3
2
1
при γ → ε1 + 0 имеет конечный предел (рис. 4,б) ;
|ε2 |
. Тогда
в) ε1 < |ε2 | < ε3 и max (ε1 , ε3 ) = ε3 < γ 2 < |εε21|−ε
1
|ε2 |
|ε2 |
. При γ 2 > |εε21|−ε
получаем мнимые
получаем, что ε3 < |εε21|−ε
1
1
значения для h;
|ε2 |
ε3 |ε2 |
,
.
г) |ε2 | > max(ε1 , ε3 ), max (ε1 , ε3 ) < γ 2 < min |εε21|−ε
1 |ε2 |−ε3
Отметим, что двойное неравенство в п. г при некоторых значениях параметров может оказаться противоречивым. Например, при ε2 = −5, ε1 = ε3 = 1 мы получаем, что 2 < γ 2 < 5/4.
Каждая из возможностей показана на рис. 4,а–г.
γ2
100
|
80
|
60
|
40
|
|
20
|
h∗ , γ∗2
|
|
|
|
|
|
h
Рис. 4,а. ε1 = 3, ε2 = −1, ε3 = 2; γ∗2 = 3, h∗ = h γ∗2 = 14 ln
0
0.1
0.12
γ2
|
8
|
6
|
|
4
0
0.16
0.18
0.2
0.22
h∗ , γ∗2
|
|
|
|
|
|
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
|
2
1.4
Рис. 4,б. ε1 = 3, ε2 = −2, ε3 = 2; γ∗2 = 3, h∗ = h γ∗ =
1
5
3
γ 2 = 34/3
|
10
0.14
1
√
2 5
h
√
26
ln 393+68
185
Вывод относительно существования горизонтальной асимптоты справедлив и для случаев в, г.
Гл. 5. ТМ-волны в линейном слое
γ2
γ 2 = 177
|
160
|
120
|
80
|
|
40
91
h∗ , γ∗2
|
|
|
|
h
0.4
2
2
Рис. 4,в. ε1 = 2.95, ε2 = −3, ε3 = 4; γ∗ = 4, h∗ = h γ∗ ≈ 0.157370723
0
0.1
γ2
|
60
|
40
|
|
20
0
h∗ , γ∗2
0.2
0.3
γ 2 = 79.95
|
|
|
0.2
0.4
0.6
Рис. 4,г. ε1 = 3.9, ε2 = −4.1, ε3 = 4;
γ∗2
= 4, h∗ = h
γ∗2
h
≈ 0.041230750
Как видно из выкладок, случаи б–г существенно не отличаются. Этот факт отражен на рис. 4,б–г. Кривые на этих рисунках
очень похожи друг на друга, их можно было бы сделать практически одинаковыми, если специально подобрать параметры ε1 ,
ε2 , ε3 . Мы постарались выбрать параметры так, чтобы было видно, как может продеформироваться дисперсионная кривая.
Относительно того, как графически можно определять собственные значения из дисперсионных кривых, см. с. 33.
Часть I. Краевые задачи в слое
92
Перейдем к уравнению (12), это уравнение является классическим и при εxx = εzz = ε2 , ε1 = ε3 приведено в [83]. Рассмотрим уравнение (12) при εxx = εzz = ε2 :
ε2 ε2 − γ 2 ε3 γ 2 − ε1 + ε1 γ 2 − ε3
.
tg h ε2 − γ 2 =
ε1 ε3 (ε2 − γ 2 ) − ε22 γ 2 − ε1 γ 2 − ε3
(19)
Неравенства (14) переходят в
ε2 > 0,
γ 2 < ε2 .
(20)
Из уравнения (19) и неравенств (20) сразу следует, что
max(ε1 , ε3 ) < γ 2 < ε2 .
(21)
Относительно уравнения (19) можно сформулировать утверждение, аналогичное утверждению 1 из гл. 2.
Введем обозначения: ε∗ = √max(ε1 , ε3 ), ε∗ = min(ε1 , ε3 ) и
∗
∗
. Ясно, что 0 < h∗ < +∞.
h∗ = lim h(γ) = √ε 1−ε∗ arctg εε2 √εε −ε
−ε∗
γ 2 →ε∗
2
∗
2
Причем чем меньше ε2 − ε∗ , тем больше значение h∗ .
Замечание. В слое с постоянной диэлектрической проницаемостью всегда распространяется конечное число волн (равное
количеству собственных значений). Чем больше величина h, тем
больше волн в таком слое распространяется. Существует h∗ > 0
такое, что при h < h∗ волны в рассматриваемом слое не распространяются.
Еще раз отметим, что сформулированное утверждение относится к уравнению (19).
Так же как и в случае ТЕ-поляризации, этот вывод характерен только для линейной волноведущей структуры. В случае
нелинейного слоя может оказаться, что для любого значения h
может существовать бесконечное число собственных значений, а
значит, и волн.
Гл. 5. ТМ-волны в линейном слое
93
Ясно, что рассматриваемую задачу можно было бы сформулировать как краевую задачу на собственные значения, и решения дисперсионных уравнений были бы решениями такой задачи. Тогда последнее замечание можно было бы переформулировать в соответствующую теорему. Однако мы не стали этого
делать, так как дифференциальные уравнения линейные и результаты сами по себе достаточно просты.
Качественное поведение дисперсионных кривых в этом случае такое же как, на рис. 1, 2 в гл. 2 (с. 33, 34).
ГЛАВА 6
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ТМ-ВОЛН В СЛОЕ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ
НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
Здесь мы рассматриваем задачу распространения ТМ-волн
в слое, заполненном средой, диэлектрическая проницаемость которой является произвольной функцией от напряженности электрического поля. Изучается как случай обычного нелинейного
материала, так и нелинейного метаматериала (обобщенное дисперсионное уравнение).
Результаты этой главы опубликованы в [12].
§1. Уравнения Максвелла и постановка задачи
Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся через однородный, анизотропный, немагнитный диэлектрический слой, расположенный между двумя полупространствами
x < 0 и x > h в декартовой системе координат Oxyz. Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость
ε1 ≥ ε0 и ε3 ≥ ε0 соответственно, где ε0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. Вообще говоря, условия ε1 ≥ ε0 и ε3 ≥ ε0
необязательны, они не используются при выводе дисперсионных уравнений, однако могут оказаться полезными при анализе
разрешимости дисперсионных уравнений. Считаем, что всюду
μ = μ0 – магнитная проницаемость вакуума.
Гл. 6. ТМ-волны в слое с произвольной нелин.
95
Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:
Ẽ (x, y, z, t) = E+ (x, y, z) cos ωt + E− (x, y, z) sin ωt,
H̃ (x, y, z, t) = H+ (x, y, z) cos ωt + H− (x, y, z) sin ωt,
где ω – круговая частота; E, E+ , E− , H, H+ , H− – вещественные искомые функции.
Образуем комплексные амплитуды полей E и H:
E = E+ + iE− ,
H = H+ + iH− .
Везде ниже множители cos ωt и sin ωt будем опускать.
Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе уравнений Максвелла
rot H = −iω ε̃E;
rot E = iωμH,
(1)
условию непрерывности касательных составляющих компонент
поля на границе раздела сред x = 0 и x = h и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально
затухает при |x| → ∞ в областях x < 0 и x > h.
Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается
диагональным тензором
⎞
⎛
0
εxx 0
εyy 0 ⎠ ,
ε̃ = ⎝ 0
0
0
εzz
где
εxx = εf + ε0 f |Ex |2 , |Ez |2 , εzz = εg + ε0 g |Ex |2 , |Ez |2 .
Здесь εf > max (ε1 , ε3 ), εg > max (ε1 , ε3 ) – постоянные составляющие диэлектрической проницаемости ε̃. Функции f и g
являются аналитическими и таковы, что выполняется соотно∂f
∂g
= ∂ |E
(в дальнейшем это условие приведет
шение ∂ |E
( z |2 )
( x |2 )
к уравнению в полных дифференциалах).
Часть I. Краевые задачи в слое
96
Условие
∂f
∂ (|Ez |2 )
=
∂g
∂ (|Ex |2 )
на компоненты тензора ε̃ указано
в [62], где авторы утверждают, что многие типы нелинейностей
удовлетворяют указанному условию. Это условие можно обобщить, если использовать интегрирующий множитель (см. [62]).
Также вплоть до §6 полагаем, что εxx > 0.
Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.
На рис. 1 схематически представлена геометрия задачи.
x
h
ε = ε3
ε = ε̃
0
ε = ε1
z
Рис. 1. Геометрия задачи
§2. ТМ-поляризованные электромагнитные волны
Рассмотрим ТМ-поляризованные волны:
E = (Ex , 0, Ez )T ,
H = (0, Hy , 0)T ,
где Ex = Ex (x, y, z), Ez = Ez (x, y, z), Hy = Hy (x, y, z) и ( · )T –
операция транспонирования.
Подставив поля E и H в уравнения Максвелла (1), получим
⎧ ∂E
z
⎪
⎪
∂y = 0,
⎪
⎪
∂Ex
∂Ez
⎪
⎪
⎨ ∂z − ∂x = iωμHy ,
∂Ex
∂y = 0,
⎪
⎪
∂Hy
⎪
⎪
⎪
∂z = iωεxx Ex ,
⎪
⎩ ∂Hy
∂x = −iωεzz Ez .
Из первого и третьего уравнений этой системы видно, что
Ez и Ex не зависят от y. Поскольку Hy выражается через Ex и
Ez , то Hy также не зависит от y.
Гл. 6. ТМ-волны в слое с произвольной нелин.
97
Волны, распространяющиеся вдоль границы z раздела сред
(а мы ищем именно их), гармонически зависят от z. Значит, компоненты полей E, H имеют представление:
Ex = Ex (x)eiγz , Ez = Ez (x)eiγz , Hy = Hy (x)eiγz .
Тогда из рассмотренной выше системы получаем [60]
γ (iEx (x)) − Ez (x) = ω 2 μεzz Ez (x),
γ 2 (iEx (x)) − γEz (x) = ω 2 μεxx (iEx (x)) ,
(2)
здесь γ – неизвестный спектральный параметр (постоянная распространения электромагнитной волны).
Введем обозначение k2 = ω 2 με0 с μ = μ0 и выполним норd
d
= k dx̃
, γ̃ = γk ,
мировку в соответствии с формулами x̃ = kx, dx
ε
ε
ε̃i = εε0i (i = 1, 2), ε̃f = εf0 , ε̃g = εg0 . Переобозначим Ez ≡ Z (x̃),
iEx ≡ X (x̃) и, опуская тильду, систему (2) приведем к виду
2
− ddxZ2 + γ dX
dx = εzz Z,
(3)
dZ
− dx + γX = γ1 εxx X.
Будем искать те значения спектрального параметра γ (собственные значения), для которых существуют действительные
решения X(x), Z(x) системы (3), γ полагаем действительным
числом (так что |E|2 не зависит от z, см. сноску на с. 38, а также замечание на с. 82) и считаем, что max (ε1 , ε3 ) < γ 2 < εf .
Последнее неравенство естественно возникает при рассмотрении
аналогичной задачи в линейном слое, когда εf > 0 и εg > 0 (подробности см. в гл. 4, неравенство (14)).
Считаем, что функции X, Z дифференцируемы так, что
X(x) ∈C (−∞, 0] ∩ C[0, h] ∩ C [h, +∞) ∩
∩C 1 (−∞, 0] ∩ C 1 [0, h] ∩ C 1 [h, +∞) ;
Z(x) ∈C(−∞, +∞) ∩ C 1 (−∞, 0] ∩ C 1 [0, h] ∩ C 1 [h, +∞) ∩
∩C 2 (−∞, 0) ∩ C 2 (0, h) ∩ C 2 (h, +∞).
Часть I. Краевые задачи в слое
98
Только что указанные условия непрерывности и дифференцируемости функций X и Z продиктованы физическим содержанием задачи. Видно, что система (3) является автономной. Такую систему, если привести ее к нормальной форме, что будет
сделано позднее, можно рассматривать как динамическую систему с аналитическими по X и Z правыми частями1 . Известно
(см., например, [5]), что решения X, Z такой динамической системы сами являются аналитическими функциями независимой
переменной. Именно для этого мы потребовали, чтобы функции
нелинейностей f и g были аналитическими. Этот факт окажется
очень важным при выводе дисперсионных уравнений.
Система (3) – это на самом деле система уравнений в анизотропном слое, однако из нее легко получаются системы для
изотропных полупространств при εxx = εzz = ε, где ε отвечает
уже изотропной среде (полупространству).
Считаем, что γ 2 > max(ε1 , ε3 ). Отметим, что последнее условие имеет место только в случае, если хотя бы одна из величин
(или обе) ε1 или ε3 положительна, если же и ε1 < 0, и ε3 < 0, то
γ 2 > 0.
§3. Решение системы
дифференциальных уравнений
В полупространствах x < 0 и x > h диэлектрическая проницаемость ε̃ в уравнениях (1) имеет постоянное скалярное значение ε1 и ε3 соответственно. Учтем это при решении уравнений
(3) для этих полупространств. В каждом из этих случаев мы получаем системы линейных уравнений, которые легко решаются.
X = γZ,
При x < 0 имеем ε = ε1 . Из (3) получаем
2
1
Z = γ −ε
γ X.
Отсюда получаем уравнение X = (γ 2 −ε1 )X, его общее решение
1
Разумеется, в соответствующей области, в которой правые части аналитичны по X и Z.
Гл. 6. ТМ-волны в слое с произвольной нелин.
99
√
√
2
2
X(x) = A1 e−x γ −ε1 + Aex γ −ε1 . Учитывая условие излучения
на бесконечности, получаем решение рассматриваемой системы:
2
X (x) = A exp x γ − ε1 ,
(4)
Z (x) = γ −1 γ 2 − ε1 A exp x γ 2 − ε1 .
Считаем γ 2 −ε1 > 0, иначе общее решение выражается через
синусы и косинусы действительного аргумента и не удовлетворяет условию излучения на бесконечности. Случай γ 2 − ε1 = 0
тоже невозможен. В этом случае получаем при x < 0 постоянное
решение, которое не удовлетворяет условию на бесконечности.
X = γZ,
При x > h имеем ε = ε3 . Из (3) получаем
2
3
Z = γ −ε
γ X.
2 − ε )X, его общее решеОтсюда получаем уравнение
X = (γ √
3
√
2 −ε
2 −ε
−(x−h)
γ
(x−h)
γ
3
3 . Учитывая условие
+B1 e
ние X (x) = Be
излучения на бесконечности, получаем решение системы:
X (x) = B exp − (x − h) γ 2 − ε3 ,
(5)
Z (x) = −γ −1 γ 2 − ε3 B exp − (x − h) γ 2 − ε3 .
Здесь, как и при x < 0, считаем γ 2 − ε3 > 0.
Постоянные A и B в (4) и (5) определяются условиями сопряжения и начальными данными.
Внутри слоя 0 < x < h система (3) принимает вид
2
− ddxZ2 + γ dX
dx = (εg + g) Z,
(6)
dZ
− dx + γX = γ1 (εf + f ) X,
в дальнейшем мы часто будем опускать аргументы функций f
и g, когда это не будет вызывать недоразумений. Дифференцируем второе уравнение по x, получаем
−Z + γX = γ −1 2XX fu + 2ZZ fv X + γ −1 (εf + f ) X ,
, f = f
где fu = fX
2
v
Z 2 (далее эти производные понимаются
в этом смысле, пока явно не будет оговорено иное).
Часть I. Краевые задачи в слое
100
Используя последнее уравнение, систему (6) можно переписать в виде1
⎧
2
2
2 ⎨ dX = γ (εg +g)+2(εf −γ +f )X fv Z,
2
dx
γ (2X fu +εf +f )
(7)
⎩ dZ = 1 γ 2 − ε − f X.
dx
γ
f
Из системы (7), поделив одно уравнение на другое, получаем
обыкновенное дифференциальное уравнение
dX
γ 2X 2 fu + εf + f
=
dZ
γ 2 (εg + g) Z + 2 εf − γ 2 + f X 2 Zfv
. (8)
=
1
2
γ (γ − εf − f ) X
Уравнение (8) можно преобразовать к уравнению в полных
дифференциалах.
Перепишем его в симметричной форме:
M dX + N dZ = 0,
где
M = γ 2 − εf − f 2X 2 fu + εf + f X,
N = 2 γ 2 − εf − f X 2 fv − γ 2 (εg + g) Z.
∂N
Легко проверить, что выполняется соотношение ∂M
∂Z = ∂X ,
мы эти вычисления здесь проводить не будем. Таким образом,
уравнение (8) представимо как уравнение в полных дифференциалах (уравнение в симметричной форме M dX + N dZ = 0 является уравнением в полных дифференциалах). Найдем его решение – U (X, Z), поскольку ∂U
∂x = M , то получаем
1
Как видно, система (7) записана в нормальной форме, и об аналитичности решений именно такой системы при аналитических по X и Z правых
частях мы говорили в конце §2.
Гл. 6. ТМ-волны в слое с произвольной нелин.
U=
101
γ 2 − εf − f 2X 2 fu + εf + f XdX + ϕ (Z) =
= X 2 γ 2 − εf − f fu 2XdX+
2
+
γ − εf − f (εf + f ) XdX + ϕ (Z) .
Интегрируя по частям первое слагаемое, получаем
2
2
1
U = − X 2 γ 2 − εf − f + X γ 2 − εf − f dX+
2
2
+
γ − εf − f (εf + f ) XdX + ϕ (Z) =
2
2
1
= − X 2 γ 2 − εf − f + X γ 2 − εf − f dX+
2
2
+
γ − εf − f −γ 2 + εf + f + γ 2 XdX + ϕ (Z) =
2
2
1
γ − εf − f XdX + ϕ (Z) .
= − X 2 γ 2 − εf − f + γ 2
2
Теперь, учитывая, что
∂U
∂Z
= N , получаем
∂U
= 2X 2 Z γ 2 − εf − f fv − 2γ 2 XZfv dX + ϕ (Z) =
∂Z
= 2 γ 2 − εf − f X 2 fv − γ 2 (εg + g) Z,
отсюда получаем
ϕ (Z) = 2γ
2
XZfv dX − γ 2 (εg + g) Z.
Далее интегрируем по Z, получаем
2
2
XZfv dXdZ − γ
(εg + g) ZdZ.
ϕ (Z) = 2γ
Часть I. Краевые задачи в слое
102
В первом интеграле меняем порядок интегрирования (теорема Фубини), получаем
ϕ (Z) = γ
2
X
2Zfv dZ
2
dX − γ
(εg + g) ZdZ =
= γ 2 Xf dX − γ 2 (εg + g) ZdZ.
Значит,
2
1
U = − X 2 γ 2 − εf − f + γ 2
2
γ 2 − εf − f XdX+
2
2
Xf dX − γ
(εg + g) ZdZ,
+γ
приводя подобные слагаемые и интегрируя, имеем
2
1
U = − X 2 γ 2 − εf − f +
2
γ 2 2
γ − εf X 2 − εg Z 2 − γ 2 ZgdZ.
+
2
Делая замену Z 2 = s, получаем окончательно
2
U = X 2 εf − γ 2 + f +
εf − γ 2 X 2 + εg Z 2 + γ 2
+γ
2
Z2
g X 2 , s ds ≡ C.
Z0
Функция U (X, Z) является первым интегралом системы (7),
мы будем использовать первый интеграл в следующей форме:
2
X 2 εf − γ 2 + f + γ 2 εf − γ 2 X 2 + εg Z 2 + γ 2 G ≡ C,
Z2 где G = G X 2 , Z 2 ≡ Z0 g X 2 , s ds, C – постоянная.
(9)
Гл. 6. ТМ-волны в слое с произвольной нелин.
103
§4. Условия сопряжения и задача сопряжения
Как известно, касательные составляющие электромагнитного поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматриваемом случае касательными составляющими являются компоненты Hy и Ez . Отсюда получаем
Hy (h + 0) = Hy (h − 0) , Hy (0 − 0) = Hy (0 + 0) ,
Ez (h + 0) = Ez (h − 0) , Ez (0 − 0) = Ez (0 + 0) .
Из условий непрерывности касательных составляющих полей E и H получаем
(h)
(0)
γX(h) − Z (h) = Hy ,
γX(0) − Z (0) = Hy ,
(h)
(0)
Z(h) = Ez (h + 0) = Ez , Z(0) = Ez (0 − 0) = Ez ,
(h)
где Hy
√
(0)
μ
= i √ε0 Hy (h + 0), Hy
(h)
√
(10)
μ
= i √ε0 Hy (0 − 0).
Постоянная Ez = Z(h) = Z(h + 0) считается известной.
Обозначим X0 := X(0), Xh := X(h), Z0 := Z(0), Zh := Z(h).
Тогда из (10) получаем
Hy(h) = −Zh ε3
γ 2 − ε3
; Hy(0) = Z0 ε1
γ 2 − ε1
.
(11)
В соответствии с (6) в слое
−Z (x) + γX (x) = γ −1 (εf + f ) X (x) .
Тогда для x = h получаем из (12)
γε3
= εf + f Xh2 , Zh2 Xh ,
−Zh 2
γ − ε3
(12)
(13)
причем, если Zh > 0 (а мы можем так считать), то, как легко
мы
видеть из (13), Xh < 0 (здесь
то, что
использовали
εxx > 0).
Обозначим fh := f Xh2 , Zh2 и Gh := G Xh2 , Zh2 . Тогда, используя первый интеграл (9), подставляя x = h, найдем значение
постоянной Ch := C|x=h :
2
Ch = Xh2 εf − γ 2 + fh + γ 2 εf − γ 2 Xh2 + εg Zh2 + Gh . (14)
Часть I. Краевые задачи в слое
104
Заметим, кстати, что при сделанных предположениях относительно функций f , g и знака Zh имеем Ch > 0.
Для того чтобы найти значения X0 и Z0 , необходимо решить
систему двух уравнений:
⎧
⎨ √ γε1 Z0 = (εf + f0 ) X0 ;
γ 2 −ε1
⎩ ε − γ 2 + f 2 X 2 + γ 2 ε − γ 2 X 2 + ε Z 2 + G = C ,
0
g 0
0
f
f
h
0
0
(15)
и G0 = G
.
где f0 = f
Система (15) получена использованием формулы (12) в точке x = 0 и первого интеграла (9) в этой же точке.
Из второго уравнения системы (15) видно, что величины X0
и Z0 могут входить в это уравнение с произвольными знаками.
В то же время из первого уравнения системы (15) видно, что X0
и Z0 должны быть либо одновременно положительными, либо
одновременно отрицательными (здесь мы опять использовали
то, что εxx > 0).
Как известно, нормальные компоненты электромагнитного поля терпят разрыв первого рода на границе раздела сред.
В рассматриваемом случае нормальной компонентой является
Ex . Также известно, что величина εEx непрерывна на границе раздела сред. Из сказанного и из непрерывности касательной компоненты Ez следуют условия сопряжения для функций
εX и Z:
X02 , Z02
[εX]x=0 = 0,
[εX]x=h = 0,
X02 , Z02
[Z]x=0 = 0,
[Z]x=h = 0,
(16)
где [f ]x=x0 = lim f (x) − lim f (x) обозначает скачок функx→x0 −0
x→x0 +0
ции на границе раздела сред.
Считаем, что функции X(x) и Z(x) удовлетворяют условию
X (x) = O
1
|x|
и Z (x) = O
1
|x|
при |x| → ∞.
(17)
Гл. 6. ТМ-волны в слое с произвольной нелин.
105
Пусть
D=
d
dx
0
0
d
dx
, F(X, Z) =
X
Z
, G(F, γ) =
G1
G2
,
где X ≡ X(x) и Z ≡ Z(x) являются искомыми функциями, а
G1 ≡ G1 (F, γ) и G2 ≡ G2 (F, γ) являются правыми частями уравнений системы (7). Число γ является спектральным параметром.
Перепишем задачу, используя введенные обозначения.
Для полупространства x < 0, ε = ε1 получаем
0
γ
F = 0.
(18)
DF −
γ 2 −ε1
0
γ
εzz
Внутри слоя 0 < x < h, мы имеем εxx = εf + f X 2 , Z 2 ,
= εg + g X 2 , Z 2 , и система принимает вид
L(F, γ) ≡ DF − G(F, γ) = 0.
Для полупространства x > h, ε = ε3 получаем
0
γ
F = 0.
DF −
γ 2 −ε3
0
γ
(19)
(20)
Сформулируем задачу сопряжения (ее можно переформулировать как краевую задачу). Требуется найти собственные
значения γ и соответствующие им ненулевые векторы F такие,
что F удовлетворяет уравнениям (18)–(20), условиям сопряжения (16), компоненты вектора F удовлетворяют условию (17) и
X0 , Z0 удовлетворяют уравнениям (15).
Определение 1. Число γ = γ0 , при котором существует ненулевое решение F задачи (18)–(20) при условиях (15)–
(17), будем называть собственным значением задачи. Решение
F, которое соответствует собственному значению, будем называть собственным вектором задачи, а компоненты X(x) и Z(x)
вектора F – собственными функциями (см. замечание на с. 42).
Часть I. Краевые задачи в слое
106
§5. Дисперсионное уравнение
и теорема об эквивалентности
Введем новые переменные1 :
τ (x) = εf + X 2 (x),
η(x) =
X (x)
τ (x),
Z(x)
(21)
тогда
X 2 = τ − εf ,
τ
XZ = (τ − εf ) ,
η
Z 2 = (τ − εf )
τ2
.
η2
После перехода к новым переменным мы, естественно, считаем, что
τ2
τ2
f ≡ f τ − εf , (τ − εf ) 2 , g ≡ g τ − εf , (τ − εf ) 2 .
η
η
Найдем вид системы (7) и первого интеграла (9) в новых
переменных. Последовательно получаем
⎧ 2 2 =
⎪
⎨γ 2X fu + εf + f X
2
= 2 γ (εg + g) + 2 εf − γ 2 + f X 2 fv XZ,
⎪
⎩ 2 Z = γ2 γ 2 − εf − f XZ,
далее
⎧
⎪
γ (2 (τ − εf ) fu + εf + f ) τ =
⎪
⎨
= 2 τη (τ − εf ) γ 2 (εg + g) + 2τ εf − γ 2 + f fv ,
⎪
⎪
⎩ τ 22 (τ − εf ) = 2 τ (τ − εf ) γ 2 − εf − f ,
η
γη
из первого уравнения получаем
τ =
где χ =
1
2
τ
(τ − εf ) χ,
γ
η
γ 2 (εg +g)+2(τ −εf )(εf −γ 2 +f )fv
2(τ −εf )fu +εf +f
См. сноски на с. 43, 65.
.
Гл. 6. ТМ-волны в слое с произвольной нелин.
107
Преобразуем второе уравнение:
τ 2 (τ − εf ) 2τ 2
τ
γ
(3τ
−
3ε
)
τ
−
2
η
=
−
ε
−
f
(τ − εf ) .
f
f
η2
η3
γη
Теперь, используя τ , получаем
1 2
τ 1
(3τ − 3εf ) χ − η =
γ − εf − f .
2
η
γ
γ
Окончательно получаем
τ = γ2 τη (τ − εf ) χ;
2 η = γ1 ητ εf − γ 2 + f + (3τ − 2εf ) χ,
(22)
здесь и далее
fu
∂f (u, v) ∂f (u, v) =
, fv =
.
∂u τ −εf , τ 2 (τ −εf )
∂v τ −εf , τ 2 (τ −εf )
η2
η2
Первый интеграл примет вид
2
εf − γ + f
2
+γ
2
τ2
εf − γ + εg 2 +
η
2
G τ − εf , τη2 (τ − εf )
≡ C. (23)
+
(τ − εf )
2
Уравнение (23) является в общем случае трансцендентным
уравнением относительно τ и η. Его решение относительно любой из переменных легко может быть выписано лишь в исключительных случаях.
Мы будем предполагать функции f и g таковыми, что правая часть второго уравнения системы (22) положительна. На
первый взгляд это условие может показаться достаточно жестким, однако это не так. Например, если f и g – многочлены от
двух переменных с положительными коэффициентами, то этого
Часть I. Краевые задачи в слое
108
достаточно для выполнения нашего требования (о положительности). Как известно, вектор поляризации в материальных уравнениях Максвелла раскладывается в ряд по степеням компонент
электрического поля, значит, многочлены в качестве f и g являются достаточно общим типом нелинейности. Нужно учитывать,
∂f
∂g
= ∂ |E
накладывает некоторые ограничечто условие ∂ |E
( z |2 )
( x |2 )
ния на вид многочленов f и g.
Теперь мы можем найти знаки выражений η (0) и η (h). Как
видно из системы (15), величины X0 и Z0 либо одновременно
положительны, либо одновременно отрицательны. В то же время
из формулы (13) видно, что Xh и Zh противоположных знаков.
Учитывая сказанное, получаем
Xh X0 εf + X02 > 0 и η (h) =
εf + X02 < 0. (24)
η (0) =
Z0
Zh
Как нетрудно видеть, правая часть второго уравнения системы (22) строго положительна, значит, функция η(x) монотонно возрастает на интервале (0, h). Учитывая знаки выражений
(24), получаем, что функция η(x) не может быть дифференцируемой на всем интервале (0, h), а необходимо имеет точку разрыва.
Поскольку решения X и Z системы (7) – аналитические
функции, то функция η имеет разрывы только второго рода,
они находятся в нулях функции Z. Пусть функция η терпит
разрыв в точке x∗ ∈ (0, h). Причем ясно, что в этом случае
η (x∗ − 0) → +∞ и η (x∗ + 0) → −∞.
Естественно полагать, что функция η (x) на промежутке
(0, h) имеет несколько точек x0 , x1 , ..., xN , причем
η (xi − 0) = +∞,
Обозначим
η (xi + 0) = −∞, где i = 0, N .
1 η2 εf − γ 2 + f + (3τ − 2εf ) χ
w ≡ w (η) =
γ τ
(25)
−1
,
где τ = τ (η) выражается из первого интеграла (23) и χ определено в начале этого параграфа.
Гл. 6. ТМ-волны в слое с произвольной нелин.
109
Учитывая сказанное, будем разыскивать решения на каждом из отрезков [0, x0 ], [x0 , x1 ], ..., [xN , h]:
⎧
η(x
0)
⎪
⎪
⎪
wdη = x + c0 ,
0 ≤ x ≤ x0 ;
−
⎪
⎪
⎪
η(x)
⎪
⎪
⎪
⎨ η(x)
wdη = x + ci ,
xi ≤ x ≤ xi+1 , i = 0, N − 1;
(26)
⎪
⎪
η(x
)
i
⎪
⎪
⎪
η(x)
⎪
⎪
⎪
wdη = x + cN , xN ≤ x ≤ h.
⎪
⎩
η(xN )
Подставляя x = 0, x = xi+1 , x = xN в уравнения (26)
(в первое, второе и третье соответственно) и учитывая (25), найдем постоянные c1 , c2 , ..., cN +1 :
⎧
+∞
⎪
⎪
⎪c0 = −
wdη;
⎪
⎪
⎪
η(0)
⎪
⎪
⎨
+∞
wdη − xi+1 , i = 0, N − 1;
ci+1 =
(27)
⎪
−∞
⎪
⎪
⎪
η(h)
⎪
⎪
⎪
⎪
=
wdη − h.
c
⎩ N +1
−∞
С учетом (27) уравнения (26) примут вид
⎧
η(x
+∞
0)
⎪
⎪
⎪
wdη = −x +
wdη,
0 ≤ x ≤ x0 ;
⎪
⎪
⎪
η(x)
η(0)
⎪
⎪
⎪
⎨ η(x)
+∞
wdη = x +
wdη − xi+1 , xi ≤ x ≤ xi+1 , i = 0, N − 1;
⎪
−∞
⎪
η(xi )
⎪
⎪
⎪
η(h)
⎪ η(x)
⎪
⎪
wdη
=
x
+
wdη − h,
xN ≤ x ≤ h.
⎪
⎩
η(xN )
−∞
Введем обозначение T ≡
+∞
−∞
(28)
wdη. Из формулы (28) следует,
что 0 < xi+1 − xi = T < h, где i = 0, N − 1. Отсюда следует
сходимость несобственного интеграла (позднее мы докажем это
Часть I. Краевые задачи в слое
110
из других соображений). Теперь, полагая в уравнениях (28) x
таким, чтобы все интегралы слева обратились в нуль (т.е. x = x0 ,
x = xi , x = xN ), сложим все уравнения (28), получим
η(h)
+∞
wdη+x0 +T −x1 +...+xN −1 +T −xN +xN +
wdη−h.
0 = −x0 +
−∞
η(0)
Тогда из последнего получаем
η(h)
+∞
wdη +
wdη + N T = h,
−∞
η(0)
окончательно дисперсионное уравнение можно переписать так:
η(0)
wdη + (N + 1) T = h,
−
(29)
η(h)
где N ≥ 0 – целое число; η (0), η (h) определены формулами (24).
Формула (29) есть дисперсионное уравнение, справедливое
для любого конечного h. Когда N = 0, возникает несколько
уравнений при различных значениях N . Необходимо решать относительно γ каждое из получающихся уравнений.
Отметим, что несобственные интегралы в дисперсионном
уравнении (28) сходятся. Действительно, при η → ∞ функция
τ = τ (η) остается ограниченной, поскольку τ = εf + X 2 и X –
ограниченная функция. Тогда
1
γτ
,
≤ 2
|w| = 2
2
η (εf − γ + f ) + γτ (3τ − 2εf ) χ
αη + β где α > 0, β > 0 – постоянные, тогда несобственный интеграл
+∞
dη
сходится. Поскольку мы требуем, чтобы правая часть
αη2 +β
−∞
второго уравнения (22) была положительна, то из этого следует
сходимость интегралов в (28) во внутренних точках.
Гл. 6. ТМ-волны в слое с произвольной нелин.
111
Теорема 1. Множество решений (собственных значений)
краевой задачи на собственные значения (18)–(20) с условиями (15)–(17) содержится в множестве решений дисперсионного уравнения (29).
Доказательство. Из самого способа получения дисперсионного уравнения (29) из системы (22) следует, что собственное
значение краевой задачи (18)–(20) является решением дисперсионного уравнения.
В то же время не каждое решение дисперсионного уравнения (29) является решением краевой задачи. Это связано с тем,
что τ как функция от η, определяемая из первого интеграла (23),
является, вообще говоря, многозначной функцией. Иными словами, может существовать несколько решений (X0 , Z0 ) системы
(15) таких, что τ (0) ≥ εf . Но даже в этом случае можно среди
корней дисперсионного уравнения найти решения краевой задачи. Действительно, найдя решение γ дисперсионного уравнения
(29), мы сможем найти функции τ (x) и η(x) из системы (22) и
первого интеграла (23). Зная функции τ (x) и η(x) и пользуясь
формулами (21), найдем
X(x) = ±
τ − εf
и Z(x) = ±
τ − εf
τ
.
|η|
(30)
Вопрос о выборе знака является существенным, поэтому обсудим его подробнее. Нам известно поведение функции η = τ YZ :
функция η является монотонно возрастающей, если x = x∗ таково, что η (x∗ ) = 0, то η (x∗ − 0) < 0, η (x∗ + 0) > 0, и если x = x∗∗
таково, что η (x∗∗ ) = ±∞, то η (x∗∗ − 0) > 0 и η (x∗∗ + 0) < 0.
Других точек перемен знака у функции η нет. Поскольку значе(h)
ние Zh ≡ Ez считается известным, то положим для определенности Zh > 0. Если η > 0, то функции X и Z имеют одинаковые
знаки, а если η < 0, то X и Z имеют разные знаки. Помня о
том, что X и Z – непрерывные функции (и даже гладкие на
соответствующих областях), выбираем соответствующие знаки
в выражениях (30). Теперь, зная функцию X, мы можем вычислить X0 , если полученное значение совпадает с найденным
Часть I. Краевые задачи в слое
112
ранее из системы (15), значит, найденное решение γ дисперсионного уравнения является собственным значением краевой задачи
(и не является таковым в противном случае). Если же функции
f и g таковы, что существует единственное решение (X0 , Z0 ) системы (15) такое, что τ (0) ≥ εf , то получается следующая
Теорема 2 (об эквивалентности). Если имеется единственное решение (τ (0), η(0)) системы (15), причем τ (0) ≥ εf ,
то краевая задача на собственные значения (18)–(20) с условиями (15)–(17) имеет решение (собственное значение) тогда и
только тогда, когда это собственное значение является решением дисперсионного уравнения (29).
Доказательство этой теоремы очевидным образом следует
из доказательства предыдущей теоремы.
η(h)
wdη + (k + 1)T , где правая
Введем обозначение J(γ, k) :=
η(0)
часть рассматриваемой формулы определяется из дисперсионного уравнения (29) и k = 0, N .
Пусть
hkinf =
inf
γ 2 ∈(max(ε1 ,ε3 ),εf )
J(γ, k),
hksup =
sup
γ 2 ∈(max(ε1 ,ε3 ),εf )
J(γ, k).
Сформулируем достаточное условие существования по крайней мере одного собственного значения краевой задачи.
Теорема 3. Если h таково, что для некоторого k = 0, N
выполняется неравенство
hkinf < h < hksup ,
то краевая задача на собственные значения (18)–(20) с условиями (15)–(17) имеет по крайней мере одно решение (собственное
значение).
Величины hkinf и hksup можно находить численно.
Несколько замечаний относительно системы (22) и первого интеграла (23). В случае, если f и g многочлены, то (23)
представляет собой алгебраическую функцию. В то же время
Гл. 6. ТМ-волны в слое с произвольной нелин.
113
правые части обоих уравнений в (22) являются функциями рациональными относительно τ и η. Это значит, что первый интеграл совместно с любым из уравнений (11) можно рассматривать как определяющие абелеву функцию. В этой задаче абелевы функции, возникающие из такого рассмотрения, будут более
сложными, чем в аналогичной задаче для ТЕ-волн. Это следует
из того, что первый интеграл может быть многочленом любой
степени как по X, так и по Z. Иная ситуация в случае аналогичной задачи для ТЕ-волн. Если мы рассматриваем многочлен в качестве нелинейности, то там всегда возникают гиперэллиптические функции, но род гиперэллиптической алгебраической кривой возрастает вместе со степенью многочлена. Здесь
гипер-эллиптические функции возникают только в случае керровской нелинейности, и задача их нахождения тесно связана с
проблемой обращения Якоби. Теория алгебраических, абелевых,
тэта-функций, проблемы обращения Якоби изложена, например,
в [6, 34, 39].
§6. Обобщенное дисперсионное уравнение
В этом параграфе мы получим общее дисперсионное уравнение, справедливое при любых действительных значениях εxx
и εzz . Разумеется, при этом мы откажемся от требования, чтобы
правая часть второго уравнения системы (22) была положительна (см. сноску на с. 50), а также от условий max(ε1 , ε3 ) < γ 2 < εf
или 0 < γ 2 < εf . Эти условия возникали в линейном случае и
были нами использованы при выводе дисперсионного уравнения
(29). Однако в нелинейном случае нет требований, которые ограничивают значения γ 2 справа, хотя ограничение слева остается,
так как оно возникает из решений в полупространствах (где среда линейна). Теперь мы считаем, что γ удовлетворяет одному из
следующих двух неравенств:
max(ε1 , ε3 ) < γ 2 < +∞,
когда хотя бы одна из величин ε1 или ε3 положительна, или
Часть I. Краевые задачи в слое
114
0 < γ 2 < +∞,
когда ε1 < 0 или ε3 < 0.
Сначала мы выведем дисперсионное уравнение из системы
уравнений (22) и первого интеграла (23), а потом обсудим детали
вывода и условия, при которых сам вывод возможен и справедливо полученное дисперсионное уравнение.
Итак, обратимся к системе (22) и первому интегралу (23):
τ = γ2 τη (τ − εf ) χ,
2 η = γ1 ητ εf − γ 2 + f + (3τ − 2εf ) χ,
где χ =
fu
γ 2 (εg +g)+2(τ −εf )(εf −γ 2 +f )fv
2(τ −εf )fu +εf +f
∂f (u, v) ∂f (u, v) =
, fv =
;
∂u τ −εf , τ 2 (τ −εf )
∂v τ −εf , τ 2 (τ −εf )
η2
;
2
εf − γ + f
2
+γ
2
η2
τ2
2
εf − γ + εg 2 +
η
2
G τ − εf , τη2 (τ − εf )
≡ C,
+
(τ − εf )
Z2 где G X 2 , Z 2 ≡ Z0 g X 2 , s ds, C – постоянная.
Имея в своем распоряжении первый интеграл, формально
можно проинтегрировать любое из двух уравнений системы (22).
Мы, как и ранее, будем интегрировать второе уравнение этой
системы. Но мы не можем получить решение на всем интервале, поскольку функция η(x) может иметь разрывы в некоторых
точках интервала (0, h). Как нам известно, функция η(x) имеет
разрывы только второго рода.
Пусть функция η(x) на интервале (0, h) имеет несколько точек x0 , x1 , ..., xN , в которых она обращается в бесконечность.
Отметим, что η(xi − 0) = ±∞ и η(xi + 0) = ±∞, i = 0, N , причем
знаки ± в этих формулах независимы и нам неизвестны.
Гл. 6. ТМ-волны в слое с произвольной нелин.
115
Учитывая сказанное, будем разыскивать решения на каждом из отрезков [0, x0 ], [x0 , x1 ], ..., [xN , h]:
⎧
η(x0 −0)
⎪
⎪
⎪
wdη = x + c0 ,
0 ≤ x ≤ x0 ;
−
⎪
⎪
⎪
η(x)
⎪
⎪
⎪
⎨
η(x)
wdη = x + ci+1 ,
xi ≤ x ≤ xi+1 , i = 0, N − 1; (31)
⎪
⎪
η(x
+0)
i
⎪
⎪
⎪
η(x)
⎪
⎪
⎪
wdη = x + cN +1 , xN ≤ x ≤ h.
⎪
⎩
η(xN +0)
Из уравнений (31), подставляя x = 0, x = xi+1 , x = xN
в первое, второе и третье уравнения (31), найдем необходимые
константы c1 , c2 , ..., cN +1 :
⎧
η(x0 −0)
⎪
⎪
⎪
=
−
wdη;
c
⎪
0
⎪
⎪
η(0)
⎪
⎪
⎪
⎨
η(xi+1
−0)
wdη − xi+1 , i = 0, N − 1;
ci+1 =
(32)
⎪
⎪
η(xi +0)
⎪
⎪
⎪
η(h)
⎪
⎪
⎪
=
wdη − h.
c
⎪
⎩ N +1
η(xN +0)
С учетом (32) уравнения (30) примут
⎧
η(x0 −0)
η(x0 −0)
⎪
⎪
⎪
wdη
=
−x
+
wdη,
⎪
⎪
⎪
η(x)
η(0)
⎪
⎪
⎪
⎨ η(x)
η(xi+1
−0)
wdη = x +
wdη − xi+1 ,
⎪
⎪
η(xi +0)
η(xi +0)
⎪
⎪
⎪
η(h)
⎪ η(x)
⎪
⎪
wdη
=
x
+
wdη − h,
⎪
⎩
η(xN +0)
η(xN +0)
вид
0 ≤ x ≤ x0 ;
xi ≤ x ≤ xi+1 ;
(33)
xN ≤ x ≤ h,
где i = 0, N − 1.
Из формул (33) получаем, что
η(x
i+1 −0)
xi+1 − xi =
wdη,
η(xi +0)
i = 0, N − 1.
(34)
Часть I. Краевые задачи в слое
116
Поскольку 0 < xi+1 − xi < h < ∞, то отсюда следует, что
при наших предположениях (относительно наличия особых тоη(xi+1
−0)
wdη > 0. Таким же
чек) интеграл справа сходится и
η(xi +0)
образом из первого и последнего уравнений (33) получаем, что
η(x0 −0)
wdη, так как 0 < x0 < h, тогда
x0 =
η(0)
η(x
0 −0)
wdη < h < ∞;
0<
η(0)
и h − xN =
η(h)
η(xN +0)
wdη, так как 0 < h − xN < h, тогда
η(x
0 −0)
wdη < h < ∞.
0<
η(0)
Из этих рассуждений следует, что функция η(x) имеет конечное число точек разрыва второго рода, и функция w(η) не
имеет неинтегрируемых особенностей при η ∈ (−∞, ∞).
Теперь, полагая в уравнениях (33) x таковым (т.е. подставляя x = x0 , x = xi , x = xN в первое, второе и третье уравнения
(33)), чтобы все интегралы слева обратились в нуль, сложим все
уравнения (33), получим
η(x
0 −0)
0 = −x0 +
η(x
1 −0)
wdη + x0 +
wdη − x1 + ...
η(x0 +0)
η(0)
η(xN −0)
... + xN −1 +
η(h)
wdη − xN + xN +
η(xN−1 +0)
wdη − h. (35)
η(xN +0)
Гл. 6. ТМ-волны в слое с произвольной нелин.
117
Из (35) получаем
η(x
0 −0)
η(h)
wdη +
wdη +
i=0
η(xN +0)
η(0)
N
−1
η(x
i+1 −0)
wdη = h.
(36)
η(xi +0)
Из формулы (34) следует, что
η (xi + 0) = ±∞ и η (xi − 0) = ∓∞, где i = 0, N ,
причем ясно, что бесконечности должны выбираться различных
знаков.
Таким образом, получаем, что
η(x
1 −0)
η(xN −0)
wdη = ... =
η(x0 +0)
wdη ≡ T,
η(xN−1 +0)
и, значит, x1 − x0 = ... = xN − xN −1 .
Теперь уравнение (36) можно переписать так:
η(x
0 −0)
η(h)
wdη +
f dη + N T = h
η(xN +0)
η(0)
или в окончательной форме
η(0)
wdη + (N + 1) T = h,
−
(37)
η(h)
где N ≥ 0 – целое число; η (0), η (h) определены формулами (24).
Формула (37) есть дисперсионное уравнение, справедливое
для любого конечного h. Отметим, что когда N = 0, то возникает
несколько уравнений при различных значениях N . Необходимо
решать относительно γ каждое из получающихся уравнений.
Теперь можно сформулировать теорему, аналогичную теореме 1, но уже для обобщенного дисперсионного уравнения (37).
118
Часть I. Краевые задачи в слое
Теорема 4. Множество решений (собственных значений)
краевой задачи на собственные значения (18)–(20) с условиями (15)–(17) содержится в множестве решений дисперсионного уравнения (37).
Доказательство этой теоремы почти дословно повторяет доказательство теоремы 1.
Теперь мы перейдем к теоретическому обоснованию вывода дисперсионных уравнений (29) и (37). С самого начала мы
ничего не говорили об условиях, при которых решение системы (7) существует и единственно. Мы сделали это намеренно,
предпочитая сначала проделать все технические вычисления и
дать читателю возможность проследить за выводом и используемой техникой, не отвлекаясь на факты теории обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Воспользуемся векторной формой записи (19) системы (7):
DF = G(F, λ).
(38)
Пусть правая часть G определена и непрерывна в области
Ω ⊂ R2 , G : Ω → R2 . Также считаем, что G удовлетворяет в Ω
условию Липшица по F локально1 .
При указанных условиях система (7) или, что то же самое,
система (38) имеет единственное решение в области Ω [8, 38, 49].
Ясно, что накладывая эти условия на систему (22) и для
нее получим единственность решения (разумеется, область единственности Ω в переменных τ , η будет отлична от Ω).
Поскольку мы ищем ограниченные решения X и Z, то
Ω ⊂ [−m1 , m1 ] × [−m2 , m2 ], где max |Y | < m1 , max |Z| < m2 .
x∈[0,h]
x∈[0,h]
Из последнего мы получаем, что
Ω ⊂ [εf , εf + m21 ] × (−∞, +∞).
Из теории автономных систем известно (см., например, [38]),
что при сделанных предположениях относительно правой части,
1
По поводу условия Липшица см. сноску на с. 54.
Гл. 6. ТМ-волны в слое с произвольной нелин.
119
фазовые траектории такой системы не пересекаются в ее фазовом пространстве. Поскольку X ≡ 0 и Z ≡ 0 являются стационарными решениями системы (7), то ясно, что рассматриваемые
непостоянные решения X и Z не могут одновременно обратиться
в нуль в некоторой точке x∗ ∈ Ω (иначе они будут пересекаться
с указанным стационарным решением, чего быть не может).
То есть мы показали, что не существует точки x∗ ∈ Ω такой,
что X|x=x∗ = 0 и Z|x=x∗ = 0.
Еще одно замечание относительно интегралов в дисперсионных уравнениях (29) и (37). Если при некотором значении γ∗2
какие-то из входящих в дисперсионные уравнения интегралов
расходятся во внутренних точках, то это попросту обозначает,
что выбранное значение γ∗2 не является решением дисперсионного уравнения и тем более не является собственным значением.
Кроме того, укажем еще один интересный случай. Когда
функции нелинейностей f и g представляют собой полиномы
от независимой переменной, то первый интеграл, очевидно, является алгебраической функцией от любой из двух своих переменных (см., например, [51]). В этом случае любое уравнение
системы (7) совместно с первым интегралом представляет собой
абелев интеграл [6, 39, 51]. Его обращением является абелева
функция, которая и будет решением выбранного для интегрирования уравнения. В этом случае решение второго уравнения
выражается из первого интеграла и найденного только что решения. Таким образом, обе функции – решения системы (7), являются абелевыми функциями. Как известно, абелевы функции –
функции мероморфные (см., например, [28, 34]). А в этом случае наше предположение о наличии у функции η точек разрыва
второго рода (и только их) справедливо. Заметим также, что
многочленами выражаются многие нелинейности, а те которые
не выражаются, можно с любой степенью точности приблизить
многочленами. Также заметим, что, хотя вектор поляризации
в материальных уравнениях Максвелла имеет разложение в ряд
по степеням напряженности электрического поля (и именно поэтому многочлен кажется наиболее общим типом нелинейности),
120
Часть I. Краевые задачи в слое
имеются и другие типы нелинейностей. Некоторые сведения по
этому поводу можно почерпнуть в [3]. Еще заметим, что если
∂f
∂g
функции f , g – многочлены, но условие ∂(|E
2 = ∂(|E |2 ) не выz| )
x
полняется, то первый интеграл уже может не быть алгебраической функцией, тогда решения системы не будут абелевыми
функциями. В случае ТЕ-волн решения были абелевыми функциями для любого многочлена – функции нелинейности. Появление абелевых функций в этой задаче тем более интересно, что
относительно недавно выяснилось, что абелевы и тэта-функции
являются решениями некоторых известных нелинейных уравнений математической физики [26]. Ясно, что все замечания относительно абелевых функций и интегралов справедливы и для
системы (22), поскольку новые переменные τ , η выражаются через старые Y , Z рационально.
Мы выводили дисперсионные уравнения из второго уравнения системы (22). Однако точно так же можно это сделать,
исходя из первого уравнения этой системы (см. с. 144).
ГЛАВА 7
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ТМ-ВОЛН В ИЗОТРОПНОМ СЛОЕ
С КЕРРОВСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
В этой главе мы рассмотрим приложение общей техники,
развитой в главе 6 к случаю, когда нелинейность в слое является
керровской.
Хотя этот случай и является следующим по сложности после линейного для ТМ-волн, уже не так просто, как в аналогичном случае для ТЕ-волн (см. гл. 4), выяснить всю информацию о
собственных значениях задачи. Так как здесь собственные функции выражаются через гиперэллиптические функции.
Результаты этой главы опубликованы в [13, 16–18, 20, 82].
§1. Уравнения Максвелла и постановка задачи
Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся через однородный, изотропный, немагнитный диэлектрический слой, расположенный между двумя полупространствами
x < 0 и x > h в декартовой системе координат Oxyz. Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость
ε1 ≥ ε0 и ε3 ≥ ε0 соответственно, где ε0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. Вообще говоря, условия ε1 ≥ ε0 и ε3 ≥ ε0
необязательны, они не используются при выводе дисперсионных уравнений, однако могут оказаться полезными при анализе
122
Часть I. Краевые задачи в слое
разрешимости дисперсионных уравнений. Считаем, что всюду
μ = μ0 – магнитная проницаемость вакуума.
Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:
Ẽ (x, y, z, t) = E+ (x, y, z) cos ωt + E− (x, y, z) sin ωt,
H̃ (x, y, z, t) = H+ (x, y, z) cos ωt + H− (x, y, z) sin ωt,
где ω – круговая частота; Ẽ, E+ , E− , H̃, H+ , H− – вещественные искомые функции.
Образуем комплексные амплитуды полей E и H:
E = E+ + iE− ,
H = H+ + iH− .
Везде ниже множители cos ωt и sin ωt будем опускать.
Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе уравнений Максвелла
rot H = −iωεE,
rot E = iωμH,
(1)
условию непрерывности касательных составляющих компонент
поля на границе раздела сред x = 0, x = h и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально
затухает при |x| → ∞ в областях x < 0 и x > h.
Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается
законом Керра:
ε = ε2 + a |E|2 ,
где a и ε2 > max (ε1 , ε3 ) – положительные постоянные1 .
Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.
На рис. 1 схематически представлена геометрия задачи.
1
В §6 решение будет найдено в гораздо более широких предположениях.
Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин.
123
x
h
ε = ε3
ε = ε2 + a|E|2
0
ε = ε1
z
Рис. 1. Геометрия задачи
§2. ТМ-поляризованные электромагнитные волны
Рассмотрим ТМ-поляризованные волны:
E = (Ex , 0, Ez )T ,
H = (0, Hy , 0)T ,
где Ex = Ex (x, y, z), Ez = Ez (x, y, z), Hy = Hy (x, y, z) и ( · )T –
операция транспонирования.
Подставляя поля E и H в уравнения Максвелла (1), получим
⎧ ∂E
z
⎪
⎪ ∂y = 0,
⎪
⎪
∂Ex
∂Ez
⎪
⎪
⎨ ∂z − ∂x = iωμHy ,
∂Ex
∂y = 0,
⎪
⎪
∂Hy
⎪
⎪
⎪
∂z = iωεEx ,
⎪
⎩ ∂Hy
∂x = −iωεEz .
Из первого и третьего уравнений этой системы следует, что
Ez = Ez (x, z) и Ex = Ex (x, z) не зависят от y. Поскольку Hy
выражается через Ex и Ez , то Hy также не зависит от y.
Волны, распространяющиеся вдоль границы z раздела сред
(а мы ищем именно их), гармонически зависят от z. Значит, компоненты полей E и H имеют представление
Ex = Ex (x)eiγz , Ez = Ez (x)eiγz , Hy = Hy (x)eiγz .
Часть I. Краевые задачи в слое
124
Тогда из рассмотренной выше системы получаем [60]
⎧
⎪
⎨iγEx (x) − Ez (x) = iωμHy (x),
Hy (x) = −iωεEz (x),
⎪
⎩
iγHy (x) = iωεEx (x),
(2)
из нее следует, что
Hy (x) =
1 iγEx (x) − Ez (x) ,
iωμ
(3)
здесь γ – неизвестный спектральный параметр – постоянная рас∂
.
пространения электромагнитной волны и (. . .) ≡ ∂x
Дифференцируя выражение (3) и используя второе и третье
уравнения системы (2), получим
γ (iEx (x)) − Ez (x) = ω 2 μεEz (x) ,
(4)
γ 2 (iEx (x)) − γEz (x) = ω 2 με (iEx (x)) .
Введем обозначения k2 = ω 2 με0 с μ = μ0 и выполним норd
d
= k dx̃
, γ̃ = γk ,
мировку в соответствии с формулами x̃ = kx, dx
εj
a
ε̃j = ε0 (j = 1, 2, 3), ã = ε0 . Переобозначаем Ez ≡ Z (x̃),
iEx ≡ X (x̃) и, опуская значок тильды, систему (4) приведем
к виду
−Z + γX = εZ,
(5)
−Z + γX = γ1 εX.
Будем искать те значения спектрального параметра γ (собственные значения), для которых существуют действительные
решения X(x), Z(x) системы (5), γ полагаем действительным
(так что |E|2 не зависит от z, см. сноску на с. 38, а также замечание на с. 82). Считаем, что
⎧
⎪
⎨ε1 ,
ε = ε2 + a X 2 + Z 2 ,
⎪
⎩
ε3 ,
x < 0;
0 < x < h;
x > h.
(6)
Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин.
125
Также полагаем, что спектральный параметр γ удовлетворяет неравенствам max(ε1 , ε3 ) < γ 2 < ε2 . Это неравенство естественно возникает при рассмотрении аналогичной задачи в линейном слое (подробности см. в гл. 4, неравенство (14)).
Считаем, что функции X, Z дифференцируемы так, что
X(x) ∈C (−∞, 0] ∩ C[0, h] ∩ C [h, +∞) ∩
∩C 1 (−∞, 0] ∩ C 1 [0, h] ∩ C 1 [h, +∞) ;
Z(x) ∈C(−∞, +∞) ∩ C 1 (−∞, 0] ∩ C 1 [0, h] ∩ C 1 [h, +∞) ∩
∩C 2 (−∞, 0) ∩ C 2 (0, h) ∩ C 2 (h, +∞).
Только что указанные условия непрерывности и дифференцируемости функций Y и Z продиктованы физическим содержанием задачи. Видно, что система (5) является автономной.
Такую систему, если привести ее к нормальной форме, что будет сделано позднее, можно рассматривать как динамическую
систему с аналитическими по X и Z правыми частями1 . Известно (см., например, [5]), что решения X, Z такой динамической
системы сами являются аналитическими функциями независимой переменной. Этот факт окажется очень важным при выводе
дисперсионных уравнений.
Считаем, что γ 2 > max(ε1 , ε3 ). Отметим, что последнее условие имеет место только в случае, если хотя бы одна из величин
(или обе) ε1 или ε3 положительна, если же ε1 < 0 и ε3 < 0, то
γ 2 > 0.
§3. Решение системы
дифференциальных уравнений
При x < 0 имеем ε = ε1 . Из (5) получаем
X = γZ,
2
1
Z = γ −ε
γ X.
2
Отсюда получаем уравнение X = (γ −ε1 )X, его общее решение
1
Разумеется, в соответствующей области, в которой правые части аналитичны по X и Z.
Часть I. Краевые задачи в слое
126
√
√
2
2
X (x) = A1 e−x γ −ε1 + Aex γ −ε1 . Учитывая условие излучения
на бесконечности, получаем решение рассматриваемой системы:
2
X(x) = A exp x γ − ε1 ,
√
(7)
γ 2 −ε1
2−ε
.
A
exp
x
γ
Z(x) =
1
γ
Здесь мы считаем γ 2 −ε1 > 0, ибо в противном случае мы получим общее решение, выраженное через синусы и косинусы действительного аргумента, и, таким образом, не сможем удовлетворить условию излучения на бесконечности. Случай γ 2 − ε1 = 0
тоже невозможен, так как в этом случае мы получаем при x < 0
постоянное решение, которое не удовлетворяет условию излучения на бесконечности. Значит, γ 2 > ε1 .
X = γZ,
При x > h имеем ε = ε3 . Из (5) получаем
2
3
Z = γ −ε
γ X.
2
(γ −ε3 )X, его общее решение
Отсюда получаем√уравнение X = √
2 −ε
−(x−h)
γ
(x−h)
γ 2 −ε3 . Учитывая условие из3 +B e
X (x) = Be
1
лучения на бесконечности, получаем решение рассматриваемой
системы:
X(x) = B exp −(x − h) γ 2 − ε3 ,
√
(8)
γ 2 −ε
Z(x) = − γ 3 B exp −(x − h) γ 2 − ε3 .
Здесь по тем же причинам, что и при x < 0, мы считаем
− ε3 > 0. Значит, γ 2 > ε3 .
Постоянные A и B в (7) и (8) определяются условиями сопряжения и начальными данными.
Внутри слоя 0 < x < h система (5) принимает вид
2
2
2
− ddxZ2 + γ dX
dx = ε2 + a X + Z Z,
(9)
1
2
2
X.
− dZ
dx + γX = γ ε2 + a X + Z
γ2
Дифференцируя второе уравнение, получаем
−Z + γX =
2a
1
(XX + ZZ )X +
ε2 + a X 2 + Z 2 X .
γ
γ
Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин.
127
Используя последнее уравнение, систему (9) можно привести к виду1
⎧
2a(ε2 −γ 2 +a(X 2 +Z 2 ))X 2 +γ 2 (ε2 +a(X 2 +Z 2 ))
⎨ dX
=
Z,
dx
γ(ε2 +3aX 2 +aZ 2 )
(10)
⎩ dZ = − 1 ε2 − γ 2 + a X 2 + Z 2 X.
dx
γ
Из системы (10) получаем обыкновенное дифференциальное
уравнение:
dX
=
− ε2 + 3aX 2 + aZ 2
dZ
ε2 + a X 2 + Z 2
Z
. (11)
= 2aXZ + γ
2
2
2
ε2 − γ + a (X + Z ) X
2
Перепишем его в симметричной форме:
M dX + N dZ = 0,
где
2 + aX 2 + aZ 2 X,
M = ε2 + 3aX 2 + aZ 2 ε2 − γ
N = 2a ε2 − γ 2 + aX 2 + aZ 2 X 2 + γ 2 ε2 + aX 2 + aZ 2 Z.
∂N
Легко проверить, что выполняется соотношение ∂M
∂Z = ∂X .
Таким образом, уравнение (11) можно представить как уравнение в полных дифференциалах (уравнение в симметричной форме M dX + N dZ = 0 и есть уравнение в полных дифференциалах). Его решение – U (X, Z) есть первый интеграл системы (10).
Преобразуем M следующим образом:
M = ε2 + aZ 2 ε2 + aZ 2 − γ 2 X+
+ 3aX 3 ε2 + aZ 2 − γ 2 + aX 3 ε2 + aZ 2 + 3a2 X 5 .
1
Как видно, система (10) записана в нормальной форме, и об аналитичности решений именно такой системы при аналитических по X и Z правых
частях мы говорили в конце §2.
Часть I. Краевые задачи в слое
128
Поскольку
∂U
∂x
= M , то получаем
1
ε2 + aZ 2 ε2 + aZ 2 − γ 2 X 2 +
2
a
a2
3a
+ X 4 ε2 + aZ 2 − γ 2 + X 4 ε2 + aZ 2 + X 6 + ϕ(Z).
4
4
2
U (X, Z) =
M dX =
Найдем ϕ(Z) из уравнения
∂U
∂Z
= N:
aX 2 Z ε2 + aZ 2 − γ 2 + aX 2 Z ε2 + aZ 2 +
+
a2
3a2 4
X Z + X 4 Z + ϕ (Z) = N.
2
2
Из последнего уравнения получаем ϕ (Z) = γ 2 ε2 Z + γ 2 aZ 3 ,
откуда легко находим, что
ϕ(Z) =
γ 2 ε2 2 γ 2 a 4
Z +
Z .
2
4
Используя полученные результаты, можно первый интеграл
привести к виду
2 2γ − ε2 + a X 2 + Z 2
=
2 aZ 2 + ε2 ε2 + a X 2 + Z 2
2
2
6
2
2 2
2 3
− 2 ε2 + a X + Z
, (12)
= γ C + 3γ ε2 + a X + Z
где C – постоянная интегрирования.
§4. Условия сопряжения и задача сопряжения
Как известно, касательные составляющие электромагнитного поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматриваемом случае касательными составляющими являются компоненты Hy и Ez . Отсюда получаем
Hy (h + 0) = Hy (h − 0) , Hy (0 − 0) = Hy (0 + 0) ,
Ez (h + 0) = Ez (h − 0) , Ez (0 − 0) = Ez (0 + 0) .
Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин.
129
Из условий непрерывности касательных составляющих полей E и H получаем
(h)
(0)
γX(0) − Z (0) = Hy ,
γX(h) − Z (h) = Hy ,
(h)
(0)
Z(h) = Ez (h + 0) = Ez , Z(0) = Ez (0 − 0) = Ez ,
(h)
где Hy
√
(0)
μ
= i √ε0 Hy (h + 0), Hy
(h)
√
(13)
μ
= i √ε0 Hy (0 − 0).
Постоянная Ez = Z(h) = Z(h + 0) считается известной.
Обозначим X0 := X(0), Xh := X(h), Z0 := Z(0), Zh := Z(h).
Тогда из (13) получаем
Hy(h) = −Zh ε3
γ2
− ε3
, Hy(0) = Z0 ε1
γ2
− ε1
.
(14)
В соответствии с (5), (6) в слое
−Z (x) + γX(x) =
1
ε2 + a X 2 (x) + Z 2 (x) X(x).
γ
(15)
Тогда для x = h, используя (13), получаем из (15)
1
ε2 + a Xh2 + Zh2 Xh = Hy(h) .
γ
(16)
Из (16) получаем уравнение относительно Xh :
Xh3
(h)
ε2 + aZh2
γHy
Xh −
+
a
a
= 0.
(17)
При наших предположениях относительно ε2 и a величина
> 0, и, следовательно, уравнение (17) имеет по крайней
мере один действительный корень, который мы и будем рассматривать:
ε2 +aZh2
a
(h)
3 1 γ 2 2 1/3
γHy
1 ε2
(h)
+
+ Zh2 +
+
Hy
Xh =
2a
27 a
4 a
(h)
3 1 γ 2 2 1/3
1 ε2
γHy
(h)
−
+ Zh2 +
.
Hy
+
2a
27 a
4 a
Часть I. Краевые задачи в слое
130
Используя первый интеграл (12) при x = h, найдем значение
постоянной ChX := C|x=h из уравнения
2 2γ − ε2 + a Xh2 + Zh2
=
2 aZh2 + ε2 ε2 + a Xh2 + Zh2
2
3
− 2 ε2 + a Xh2 + Zh2
.
= γ 6 ChX + 3γ 2 ε2 + a Xh2 + Zh2
(18)
Для того чтобы найти значения X0 и Z0 , необходимо решить
систему двух уравнений, полученную с использованием формулы (15) в точке x = 0 и первого интеграла в этой же точке:
⎧
√ γε1 Z0 = ε2 + a X02 + Z02 X0 ,
⎪
⎪
2
⎨ γ −ε1
2
2
2 2
2
2
+
ε
+
a
X
+
Z
−
ε
+
a
X
+
Z
ε
2γ
=
2
aZ
2
2
2
0
0
0
0
0
⎪
2
2
2
3
⎪
⎩
6
X
2
2
2
− 2 ε2 + a X0 + Z0
.
= γ Ch + 3γ ε2 + a X0 + Z0
(19)
Из второго уравнения системы (19) видно, что X0 и Z0 могут входить в это уравнение с произвольными знаками. В то же
время из первого уравнения видно, что X0 и Z0 должны быть одновременно либо положительными, либо отрицательными (этот
факт окажется очень важным в дальнейшем).
Как известно, нормальные компоненты электромагнитного поля терпят разрыв первого рода на границе раздела сред.
В нашем случае нормальной компонентой является Ex . Также
известно, что величина εEx непрерывна на границе раздела сред.
Из сказанного и из непрерывности касательной компоненты Ez
следуют условия сопряжения для функций εX и Z:
[εX]x=0 = 0,
[εX]x=h = 0,
[Z]x=0 = 0,
[Z]x=h = 0,
(20)
где [f ]x=x0 = lim f (x) − lim f (x) обозначает скачок функx→x0 −0
x→x0 +0
ции на границе раздела сред.
Считаем, что функции X (x) и Z (x) удовлетворяют условию
1
1
и Z (x) = O
при |x| → ∞.
(21)
X (x) = O
|x|
|x|
Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин.
131
Пусть
D=
d
dx
0
0
d
dx
, F(X, Z) =
X
Z
, G(F, γ) =
G1
G2
,
где X ≡ X(x) и Z ≡ Z(x) являются искомыми функциями, а
G1 ≡ G1 (F, γ) и G2 ≡ G2 (F, γ) являются правыми частями уравнений системы (10). Число γ является спектральным параметром. Перепишем задачу, используя введенные обозначения.
Для полупространства x < 0, ε = ε1 получаем
0
γ
F = 0.
(22)
DF −
γ 2 −ε1
0
γ
Внутри слоя 0 < x < h мы имеем ε = ε2 + a X 2 + Z 2 , и
система принимает вид
L(F, γ) ≡ DF − G(F, γ) = 0.
Для полупространства x > h, ε = ε3 получаем
0
γ
F = 0.
DF −
γ 2 −ε3
0
γ
(23)
(24)
Сформулируем задачу сопряжения (ее можно переформулировать как краевую задачу). Требуется найти собственные
значения γ и соответствующие им ненулевые векторы F такие,
что F удовлетворяет уравнениям (22)–(24), условиям сопряжения (20); компоненты вектора F удовлетворяют условию (21), и
X0 , Z0 удовлетворяют уравнениям (19).
Определение 1. Число γ = γ0 , при котором существует ненулевое решение F задачи (22)–(24) при условиях (19)–
(21), будем называть собственным значением задачи. Решение
F, которое соответствует собственному значению, будем называть собственным вектором задачи, а компоненты X(x) и Z(x)
вектора F – собственными функциями (см. замечание на с. 42).
Часть I. Краевые задачи в слое
132
§5. Дисперсионное уравнение
и теорема об эквивалентности
Введем новые переменные:
ε2 + a X 2 (x) + Z 2 (x)
,
τ (x) =
γ2
Обозначим τ0 =
X2 =
ε2
,
γ2
η(x) = γ
X (x)
τ (x) .
Z (x)
(25)
тогда
γ 2 η 2 (τ − τ0 )
γ 4 τ 2 (τ − τ0 )
γ 3 τ η (τ − τ0 )
2
,
Z
=
,
XZ
=
.
a η2 + γ 2 τ 2
a η2 + γ 2 τ 2
a η2 + γ 2 τ 2
Система (10) и уравнение (12) в этих переменных имеют вид
dτ
dx
dη
dx
2
−τ0 )(2−τ )
= 2γ 2 τ (η2τ+γη(τ
2 τ 2 )+2η 2 (τ −τ ) ,
0
=
(26)
γ 2 τ 2 +η2 (τ −1)
,
τ
γ 2τ 2 τ 2 − C
,
η =
C + 3τ 2 − 2τ 3 − 2τ (2 − τ ) τ0
2
(27)
постоянная C не равна одноименной величине в (12).
Уравнение (27) – алгебраическое уравнение четвертой степени относительно τ . Его решение τ = τ (η) может быть выписано
явно по формулам Кардано-Феррари [30].
Для того чтобы выписать дисперсионные уравнения для постоянных распространения электромагнитных волн, необходимо
найти значения η (0), η (h).
X(h)
Ясно, что η(0) = γ X(0)
Z(0) τ (0), η(h) = γ Z(h) τ (h), но поскольку
X(x)τ (x) = εX(x), то, учитывая формулы (13) и (14), легко
получаем, что
η(0) = ε1
γ 2 − ε1
> 0, η(h) = − ε3
γ 2 − ε3
< 0.
(28)
Значение постоянной C, мы ее обозначим как Chτ , легко находится из первого интеграла (27). Действительно, поскольку
Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин.
133
значения τ (h) и η(h) известны, то подставляя x = h в первый
интеграл (27), находим, что
Chτ = τ 2 (h) −
H
2ε23 τ (h) (2 − τ (h)) (τ (h) − τ0 )
,
ε23 + γ 2 (γ 2 − ε3 ) τ 2 (h)
(29)
(h)
y
где τ (h) = γX
.
h
τ
Если Ch > 0, то уравнение (27), рассматриваемое как уравнение относительно τ (h), будет иметь положительный корень.
Легко показать, что Chτ строго больше нуля. В самом деле, из
выражения (29) видно, что
при τ (h) > 2 Chτ > 0, так как всегда
τ (h) ≥ τ0 > 1 и γ 2 − ε3 > 0. Рассмотрим случай τ (h) ∈ [τ0 , 2) .
Приводя к общему знаменателю выражение (29) и, где необходимо, заменяя τ (h) = τ0 +α, где 0 < α < 1, приходим к выражению
γ 2 γ 2 − ε3 τ 3 (h) + ε23 (2α (τ (h) − 1) + τ0 − α)
τ
Ch = τ (h)
ε23 + γ 2 (γ 2 − ε3 ) τ 2 (h)
с положительной правой частью.
Из положительности правой части второго уравнения системы (26) ясно, что функция η(x) монотонно возрастает на интервале (0, h). Учитывая знаки выражений (28), получаем, что
функция η(x) не может быть дифференцируемой на всем интервале (0, h), а необходимо имеет точку разрыва. Пусть это будет
x∗ ∈ (0, h). Из (27) ясно, что x∗ таково, что τ ∗ = τ (x∗ ) является
корнем уравнения Chτ +3(τ ∗ )2 −2(τ ∗ )3 −2τ ∗ (2−τ ∗ )τ0 = 0. Причем
η(x∗ − 0) → +∞ и η(x∗ + 0) → −∞.
Естественно полагать, что функция η(x) на интервале (0, h)
имеет несколько точек x0 , x1 , ..., xN таких, что
η(xi − 0) = +∞, η(xi + 0) = −∞, где i = 0, N .
Обозначим
w ≡ w (η) =
τ
,
γ 2 τ 2 + η 2 (τ − 1)
где τ = τ (η), которое выражается из уравнения (15).
(30)
Часть I. Краевые задачи в слое
134
Учитывая сказанное, будем разыскивать решения на каждом из отрезков [0, x0 ], [x0 , x1 ], ..., [xN , h]:
⎧
η(x
0)
⎪
⎪
⎪−
wdη = x + c0 ,
0 ≤ x ≤ x0 ;
⎪
⎪
⎪
η(x)
⎪
⎪
⎪
⎨ η(x)
wdη = x + ci ,
xi ≤ x ≤ xi+1 , i = 0, N − 1;
(31)
⎪
⎪
η(x
)
i
⎪
⎪
⎪
η(x)
⎪
⎪
⎪
wdη = x + cN , xN ≤ x ≤ h.
⎪
⎩
η(xN )
Подставляя x = 0, x = xi+1 , x = xN в уравнения (31)
(в первое, второе и третье соответственно) и учитывая (30), найдем постоянные c1 , c2 , . . . , cN +1 c1 , c2 , ..., cN +1 :
⎧
+∞
⎪
⎪
⎪
c
=
−
wdη;
0
⎪
⎪
⎪
η(0)
⎪
⎪
⎨
+∞
wdη − xi+1 , i = 0, N − 1;
ci+1 =
(32)
⎪
−∞
⎪
⎪
⎪
η(h)
⎪
⎪
⎪
⎪
wdη − h.
⎩cN +1 =
−∞
С учетом (32) уравнения (31) примут вид
⎧
η(x
+∞
0)
⎪
⎪
⎪
wdη = −x +
wdη,
0 ≤ x ≤ x0 ;
⎪
⎪
⎪
η(x)
η(0)
⎪
⎪
⎪
⎨ η(x)
+∞
wdη = x +
wdη − xi+1 , xi ≤ x ≤ xi+1 , i = 0, N − 1;
⎪
−∞
⎪
η(xi )
⎪
⎪
⎪
η(h)
⎪ η(x)
⎪
⎪
wdη
=
x
+
wdη − h,
xN ≤ x ≤ h.
⎪
⎩
η(xN )
−∞
Введем обозначение T ≡
+∞
−∞
(33)
wdη. Из формул (33) следует,
что 0 < xi+1 − xi = T < h, где i = 0, N − 1. Отсюда следует
сходимость несобственного интеграла (позднее мы докажем это
Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин.
135
из других соображений). Теперь, полагая в уравнениях (33) x
таким, чтобы все интегралы слева обратились в нуль (т.е. x = x0 ,
x = xi , x = xN ), сложим все уравнения (33), получим
η(h)
+∞
wdη+x0 +T −x1 +...+xN −1 +T −xN +xN +
wdη−h.
0 = −x0 +
−∞
η(0)
Из последнего выражения окончательно получаем
√ ε1
2
γ −ε1
wdη + (N + 1) T = h, N ≥ 0 − целое.
−
−√
(34)
ε3
γ 2 −ε3
Формула (34) есть дисперсионное уравнение, справедливое
для любого конечного h. Надо отметить, что когда N = 0, то возникает несколько уравнений при различных значениях N . Необходимо решать относительно γ каждое из них.
Отметим, что несобственные интегралы в дисперсионном
уравнении (34) сходятся. Действительно, при η → ∞ функция
2
2
τ = τ (η) остается ограниченной, поскольку τ = ε2 +aXγ 2 +aZ ,
а X, Z – ограниченные функции. Тогда
1
τ
≤
,
|w| = 2 2
2
2
γ τ + η (τ − 1)
αη + β
где α > 0, β > 0 – постоянные, тогда несобственный интеграл
∞ dη
αη2 +β сходится. Поскольку мы требуем, чтобы правая часть
−∞
второго уравнения (26) была положительна, то из этого следует
сходимость интегралов в (34) во внутренних точках.
Если рассматривать первое уравнение системы (26) совместно с первым интегралом, то это уравнение можно проинтегрировать, и это приведет к так называемым гиперэллиптическим
Часть I. Краевые задачи в слое
136
интегралам (это один из простых примеров абелевых интегралов). Если расширить область определения независимого переменного x на всю комплексную плоскость, то можно рассматривать функции, обратные к этим интегралам, которые и будут решениями системы (26). Это гиперэллиптические функции, принадлежащие классу абелевых функций, которые являются мероморфными периодическими функциями. А поскольку
функция η выражается через τ алгебраически, то она также является мероморфной периодической функцией. Таким образом,
точка разрыва x∗ является одним из полюсов функции η. Интеграл, стоящий в уравнении (34), является более общим абелевым
интегралом [6, 34].
Теорема 1 (об эквивалентности). Краевая задача на собственные значения (22)–(24) с условиями (19)–(21) имеет решение (собственное значение) тогда и только тогда, когда это
собственное значение является решением дисперсионного уравнения (34).
Доказательство. Достаточность. Очевидно, что, найдя
решение γ дисперсионного уравнения (34), мы сможем найти
функции τ (x) и η(x) из системы (26) и первого интеграла (27).
Зная функции τ (x) и η(x) и пользуясь формулами (25), найдем
γ
X(x) = ± √ η
a
γ2
τ − τ0
√
τ
и
Z
(x)
=
±
η2 + γ 2 τ 2
a
τ − τ0
. (35)
+ γ 2τ 2
η2
Вопрос о выборе знака является существенным, и поэтому обсудим его подробнее. Нам известно поведение функции
η = γτ X
Z : функция η является монотонно возрастающей, если
∗
x = x таково, что η (x∗ ) = 0, то η (x∗ − 0) < 0, η (x∗ + 0) > 0,
и если x = x∗∗ таково, что η (x∗∗ ) = ±∞, то η (x∗∗ − 0) > 0 и
η (x∗∗ + 0) < 0. Других точек перемен знака у функции η нет.
(h)
Из краевых условий следует, что Z (h) = Ez (>0). Учтем, что
если η > 0, то функции X и Z имеют одинаковые знаки, а если η < 0, то X и Z имеют разные знаки, и, помня о том, что
X и Z – гладкие функции, выбираем соответствующие знаки
в выражениях (35).
Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин.
137
Необходимость. Из самого способа получения дисперсионного уравнения (34) из системы (26) следует, что собственные
значения краевой задачи являются решениями дисперсионного
уравнения.
Также необходимо заметить, что собственные функции, отвечающие собственному значению γ0 , легко могут быть найдены
численно из системы (9) или (10), например, методом РунгеКутты.
η(h)
wdη + (k + 1)T , где правая
Введем обозначение J(γ, k) :=
η(0)
часть рассматриваемой формулы определяется из дисперсионного уравнения (34) и k = 0, N .
Пусть
hkinf =
inf
γ 2 ∈(max(ε
1 ,ε3 ),ε2 )
J(γ, k),
hksup =
sup
γ 2 ∈(max(ε1 ,ε3 ),ε2 )
J(γ, k).
Сформулируем достаточное условие существования по крайней мере одного собственного значения краевой задачи.
Теорема 2. Если h таково, что для некоторого k = 0, N
выполняется неравенство
hkinf < h < hksup ,
то краевая задача на собственные значения (22)–(24) с условиями (19)–(21) имеет по крайней мере одно решение (собственное
значение).
Величины hkinf и hksup можно находить численно.
§6. Обобщенное дисперсионное уравнение
В этом параграфе мы получим общее дисперсионное уравнение, справедливое при любых действительных значениях ε2 .
Кроме того, мы откажемся от требования, чтобы правая часть
второго уравнения системы (26) была положительна (см. сноску на с. 50), а также от условий max(ε1 , ε3 ) < γ 2 < ε2 или
0 < γ 2 < ε2 . Эти условия возникали в линейном случае и были
Часть I. Краевые задачи в слое
138
нами использованы при выводе дисперсионного уравнения (34).
Однако в нелинейном случае нет требований, которые ограничивают значения γ 2 справа, хотя ограничение слева остается, так
как оно возникает из решений в полупространствах (где среда
линейна). Теперь мы считаем, что γ удовлетворяет одному из
следующих двух неравенств:
max(ε1 , ε3 ) < γ 2 < +∞,
когда хотя бы одна из величин ε1 или ε3 положительна, или
0 < γ 2 < +∞,
когда ε1 < 0 или ε3 < 0.
Сначала мы выведем дисперсионное уравнение из системы
уравнений (26) и первого интеграла (27), а потом обсудим детали
вывода и условия, при которых сам вывод возможен и справедливо полученное дисперсионное уравнение.
Итак, обратимся к системе (26) и первому интегралу (27):
τ 2 η(τ −τ0 )(2−τ )
dτ
2
dx = 2γ τ (η2 +γ 2 τ 2 )+2η2 (τ −τ0 ) ,
dη
dx
и
=
γ 2 τ 2 +η2 (τ −1)
;
τ
γ 2τ 2 τ 2 − C
.
η =
C + 3τ 2 − 2τ 3 − 2τ (2 − τ ) τ0
2
Имея в своем распоряжении первый интеграл, формально
можно проинтегрировать любое из двух уравнений системы (26).
Как и ранее, будем интегрировать второе уравнение этой системы. Но мы не можем получить решение на всем интервале, поскольку функция η(x) может иметь разрывы в некоторых точках
интервала (0, h). Как нам известно, функция η(x) имеет разрывы только второго рода (так как η – аналитическая функция).
Пусть функция η(x) на интервале (0, h) имеет несколько точек x0 , x1 , ..., xN , в которых она обращается в бесконечность.
Отметим, что η(xi − 0) = ±∞ и η(xi + 0) = ±∞, i = 0, N , причем
знаки ± в этих формулах независимы и нам неизвестны.
Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин.
139
Учитывая сказанное, будем разыскивать решения на каждом из отрезков [0, x0 ], [x0 , x1 ], ..., [xN , h]:
⎧
η(x0 −0)
⎪
⎪
⎪
wdη = x + c0 ,
0 ≤ x ≤ x0 ;
−
⎪
⎪
⎪
η(x)
⎪
⎪
⎪
⎨
η(x)
wdη = x + ci+1 ,
xi ≤ x ≤ xi+1 , i = 0, N − 1; (36)
⎪
⎪
η(x
+0)
i
⎪
⎪
⎪
η(x)
⎪
⎪
⎪
wdη = x + cN +1 , xN ≤ x ≤ h.
⎪
⎩
η(xN +0)
Из уравнений (36), подставляя x = 0, x = xi+1 , x = xN
в первое, второе и третье уравнения (36), найдем необходимые
константы c1 , c2 , ..., cN +1 :
⎧
η(x0 −0)
⎪
⎪
⎪
=
−
wdη;
c
⎪
0
⎪
⎪
η(0)
⎪
⎪
⎪
⎨
η(xi+1
−0)
wdη − xi+1 , i = 0, N − 1;
ci+1 =
(37)
⎪
⎪
η(xi +0)
⎪
⎪
⎪
η(h)
⎪
⎪
⎪
=
wdη − h.
c
⎪
⎩ N +1
η(xN +0)
С учетом (37) уравнения (36) примут
⎧
η(x0 −0)
η(x0 −0)
⎪
⎪
⎪
wdη
=
−x
+
wdη,
⎪
⎪
⎪
η(x)
η(0)
⎪
⎪
⎪
⎨ η(x)
η(xi+1
−0)
wdη = x +
wdη − xi+1 ,
⎪
⎪
η(xi +0)
η(xi +0)
⎪
⎪
⎪
η(h)
⎪ η(x)
⎪
⎪
wdη
=
x
+
wdη − h,
⎪
⎩
η(xN +0)
η(xN +0)
вид
0 ≤ x ≤ x0 ;
xi ≤ x ≤ xi+1 ;
(38)
xN ≤ x ≤ h,
где i = 0, N − 1.
Из формул (38) получаем, что
η(x
i+1 −0)
xi+1 − xi =
wdη, i = 0, N − 1.
η(xi +0)
(39)
Часть I. Краевые задачи в слое
140
Поскольку 0 < xi+1 − xi < h < ∞, то отсюда следует, что
при наших предположениях (относительно наличия особых тоη(xi+1
−0)
wdη > 0. Таким же
чек) интеграл справа сходится, и
η(xi +0)
образом из первого и последнего уравнений (38) получаем, что
η(x0 −0)
wdη, так как 0 < x0 < h, тогда
x0 =
η(0)
η(x
0 −0)
wdη < h < ∞;
0<
η(0)
и h − xN =
η(h)
η(xN +0)
wdη, так как 0 < h − xN < h, тогда
η(x
0 −0)
wdη < h < ∞.
0<
η(0)
Из этих рассуждений следует, что функция η(x) имеет конечное число точек разрыва второго рода, и функция w(η) не
имеет неинтегрируемых особенностей при η ∈ (−∞, ∞).
Теперь, полагая в уравнениях (38) x таковым (т.е. подставляя x = x0 , x = xi , x = xN в первое, второе и третье уравнения
(38)), чтобы все интегралы слева обратились в нуль, сложим все
уравнения (38), получим
η(x
0 −0)
0 = −x0 +
η(x
1 −0)
wdη + x0 +
wdη − x1 + ...
η(x0 +0)
η(0)
η(xN −0)
... + xN −1 +
η(h)
wdη − xN + xN +
η(xN−1 +0)
wdη − h. (40)
η(xN +0)
Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин.
141
Из (40) получаем
η(x
0 −0)
η(h)
wdη +
wdη +
i=0
η(xN +0)
η(0)
N
−1
η(x
i+1 −0)
wdη = h.
(41)
η(xi +0)
Из формулы (39) следует, что
η (xi + 0) = ±∞ и η (xi − 0) = ∓∞, где i = 0, N ,
причем ясно, что бесконечности должны выбираться различных
знаков.
Таким образом, получаем, что
η(x
1 −0)
η(xN −0)
wdη = ... =
η(x0 +0)
wdη ≡ T,
η(xN−1 +0)
и, значит, x1 − x0 = ... = xN − xN −1 .
Теперь уравнение (41) можно переписать так:
η(x
0 −0)
η(h)
wdη +
f dη + N T = h
η(xN +0)
η(0)
или в окончательной форме
η(0)
wdη + (N + 1) T = h,
−
(42)
η(h)
где N ≥ 0 – целое число; η (0), η (h) определены формулами (28).
Формула (42) есть дисперсионное уравнение, справедливое
для любого конечного h. Отметим, что когда N = 0, то возникает
несколько уравнений при различных значениях N . Необходимо
решать относительно γ каждое из получающихся уравнений.
Теперь можно сформулировать теорему, аналогичную теореме 1, но уже для обобщенного дисперсионного уравнения (42).
142
Часть I. Краевые задачи в слое
Теорема 3. Множество решений (собственных значений)
краевой задачи на собственные значения (22)–(24) с условиями (19)–(21) содержится в множестве решений дисперсионного уравнения (42).
Доказательство. Ясно, что эта теорема обобщает теорему 1. Также ясно, что всякое собственное значение рассматриваемой краевой задачи будет решением дисперсионного уравнения.
Легко понять, откуда могут появиться лишние решения (решения дисперсионного уравнения, которые не являются собственными значениями краевой задачи). Если величины ε2 и a являются произвольными вещественными числами, то может оказаться так, что среди корней уравнения (17) и корней системы
(19) мы не сможем выделить те, которые отвечают краевой задаче. Таким образом, мы для каждой тройки корней будем получать дисперсионное уравнение вида (42). Ясно, что решения
лишь одного такого дисперсионного уравнения могут являться собственными числами. Того, которому отвечает «истинная»
тройка корней указанных уравнения (17) и системы (19). При
численном решении дисперсионного уравнения это легко проверить. Вычислив решение γ дисперсионного уравнения, подставив его в исходную систему (9) или (10) и используя начальные
условия, можно вычислить значения X0 и Z0 . Если полученные
таким образом значения совпадают с найденными из системы
(19), то вычисленное γ является собственным значением (и не
является таковым в противном случае).
Теперь мы перейдем к теоретическому обоснованию вывода дисперсионных уравнений (34) и (42). С самого начала мы
ничего не говорили об условиях, при которых решение системы (10) существует и единственно. Мы сделали это намеренно,
предпочитая сначала проделать все технические вычисления и
дать читателю возможность проследить за выводом и используемой техникой, не отвлекаясь на факты теории обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Воспользуемся векторной формой записи (23) системы (10)
DF = G(F, λ).
(43)
Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин.
143
Пусть правая часть G определена и непрерывна в области
Ω ⊂ R2 , G : Ω → R2 . Также считаем, что G удовлетворяет в Ω
условию Липшица по F локально1 .
При указанных условиях система (10) или, что то же самое,
система (43) имеет единственное решение в области Ω [8, 38, 49].
Ясно, что накладывая эти условия на систему (26), для
нее получим единственность решения (разумеется, область единственности Ω в переменных τ , η будет отлична от Ω).
Поскольку мы ищем ограниченные решения X и Z, то
Ω ⊂ [−m1 , m1 ] × [−m2 , m2 ], где max |Y | < m1 , max |Z| < m2 .
x∈[0,h]
x∈[0,h]
Из последнего мы получаем, что
Ω ⊂ [εf , εf + m21 ] × (−∞, +∞).
Из теории автономных систем известно (см., например, [38]),
что при сделанных предположениях относительно правой части
фазовые траектории такой системы не пересекаются в ее фазовом пространстве. Поскольку X ≡ 0 и Z ≡ 0 являются стационарными решениями системы (10), то ясно, что рассматриваемые непостоянные решения X и Z не могут одновременно
обратиться в нуль в некоторой точке x∗ ∈ Ω (иначе они будут
пересекаться с указанным стационарным решением, чего быть не
может). То есть мы показали, что не существует точки x∗ ∈ Ω
такой, что X|x=x∗ = 0 и Z|x=x∗ = 0.
Еще одно замечание относительно интегралов в дисперсионных уравнениях (34) и (42). Если при некотором значении γ∗2
какие-то из входящих в дисперсионные уравнения интегралов
расходятся во внутренних точках, то это попросту обозначает,
что выбранное значение γ∗2 не является решением дисперсионного уравнения и, тем более, не является собственным значением.
Мы выводили дисперсионные уравнения из второго уравнения системы (26). Однако точно так же можно это сделать,
исходя из первого уравнения этой системы.
1
По поводу условия Липшица см. сноску на с. 54.
Часть I. Краевые задачи в слое
144
Здесь мы приведем без вывода дисперсионное уравнение,
полученное из первого уравнения системы (26) и первого интеграла (27). Это уравнение было первоначально выведено нами
при условии ε2 > max(ε1 , ε3 ) и a > 0; его, естественно, можно
распространить на произвольные действительные значения указанных параметров, однако мы этого не делали, и сейчас станет
ясно почему.
Дисперсионное уравнение имеет вид
√
+ Chτ
τ (0)
τ ∗
gdτ +
gdτ + 2(N + 1)
gdτ = h,
(∗)
−
√ τ
√ τ
τ (h)
+
где g = + √
+
Ch
√
τ 2 −Chτ
τ
2
Ch +3τ −2τ 3 −2τ (2−τ )τ0
γτ
; τ ∗ таково, что η(τ ∗ ) = ±∞; Chτ
определяется формулой (29); τ (h) =
как корень уравнения ζ 4 +
2ε2 ε
ε2 C τ
Ch
2ε21
γ 2 (γ 2 −ε
1)
(h)
Hy
γX
h
ζ3 −
и τ (0) определяется
(3γ 2 +2ε2 )
τ
+ Ch ζ 2 +
γ 4 (γ 2 −ε1 )
ε21
2
h
ζ − γ 2 (γ12 −ε
= 0.
+ γ 4 (γ 21−ε
1)
1)
Как видно, пределы интегрирования в уравнении (∗) определяются довольно сложно. Несмотря на то, что подинтегральное
выражение проще, чем в уравнении (34), удобнее (в частности
для расчетов) использовать дисперсионное уравнение, выведенное из второго уравнения системы (26). По этой причине мы не
приводим вывод этого уравнения (впрочем, вполне понятный),
и не используем само уравнение. Уравнение (∗) приведено здесь
только для демонстрации того, что можно пользоваться и первым уравнением системы (26).
На рис. 2, 3 приведены результаты расчетов дисперсионных
кривых из уравнения (42).
На рис. 2 изображены дисперсионные кривые как для линейного, так и для нелинейного случаев. Сплошные кривые обозначают решения дисперсионного уравнения (42); пунктирные
кривые – решения уравнения (42) при a = 0, т.е. дисперсионного уравнения для случая линейной среды в слое (см. (19), гл. 5
Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин.
145
или формулу (44) этой главы). При расчетах взяты следующие
значения параметров: ε1 = 4, ε2 = 9, ε3 = 1 (эти параметры
относятся как к линейной, так и к нелинейной среде), кроме того, для нелинейной среды a = 0.1 (коэффициент нелинейности),
Zh = 1 (начальное условие). Пунктирные прямые задаются уравнениями: h = 6 (толщина слоя), γ 2 = 4 (нижняя граница для γ 2 ),
γ 2 = 9 (верхняя граница для γ 2 в случае линейной среды в слое).
γ2
12
|
10
|
9
|
8
|
6
|
4
0
|
|
|
|
|
5
6
10
15
20
h
Рис. 2
Как известно (см. гл. 5) и это видно на рис. 2, прямая γ 2 = 9
является асимптотой для дисперсионных кривых в случае линейного слоя. Важно отметить, что в области γ 2 ≥ ε2 дисперсионные кривые в линейном случае отсутствуют. Можно строго
показать, что функция h ≡ h(γ), определяемая из уравнения
(42) при a = 0 непрерывна в окрестности точки γ 2 = ε2 (см.
рис. 2). Это является существенным отличием между поведением дисперсионных кривых в линейном и нелинейном случаях.
Часть I. Краевые задачи в слое
146
|
12
γ2
1 2
|
10
9
|
8
|
6
|
4
|
0
3
4
5
6
7
*
*
*
*
|
|
|
|
|
5
6
10
15
20
h
Рис. 3
Далее можно строго показать, что функция h ≡ h(γ), определяемая из уравнения (42) при a = 0, обладает следующим
свойством: lim h(γ) = 0.
γ 2 →+∞
На рис. 2 при h = 6 в случае линейного слоя имеется четыре собственных значения (черные точки, в которых прямая
h = 6 пересекает пунктирные дисперсионные кривые), отвечающие четырем собственным волнам. В нелинейном слое на рис. 2
отражено семь собственных значений (незакрашенные точки),
отвечающих семи собственным волнам. Учитывая утверждение
последнего абзаца, ясно, что на самом деле в этом случае собственных значений γ бесконечное множество. Причем последовательность {γi }∞
i=1 этих собственных значений является неограниченной монотонно возрастающей последовательностью, а последовательность {hi }∞
i=1 толщин слоя, отвечающая последова∞
тельности {γi }i=1 собственных значений, является ограниченной
нулем монотонно убывающей последовательностью.
На рис. 3 изображены дисперсионные кривые для нелинейного слоя при различных значениях коэффициента нелинейности a. Сплошные кривые обозначают решения дисперсионного
уравнения (42); пунктирная кривая – решения уравнения (42)
при a = 0, т.е. дисперсионного уравнения для случая линей-
Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин.
147
ной среды в слое (см. (19), гл. 5 или формулу (44) этой главы).
При расчетах взяты следующие значения параметров: ε1 = 4,
ε2 = 9, ε3 = 1 (эти параметры относятся как к линейной, так и
к нелинейной среде), кроме того, для нелинейной среды Zh = 1
(начальное условие).
Дисперсионным кривым на этом рисунке для нелинейного
слоя (это сплошные линии) отвечают следующие значения коэффициента нелинейности a: 1 – a = 100; 2 – a = 10; 3 – a = 1;
4 – a = 0.1; 5 – a = 0.01; 6 – a = 0.001; 7 – a = 0.0001. Кривая
в случае линейного слоя – пунктирная линия, ее почти не видно,
настолько близко к ней прилегает одна дисперсионная кривая
для нелинейного слоя при a = 0.0001.
Из рис. 3 видно, что чем меньше коэффициент нелинейности a, тем больше вытягиваются дисперсионные кривые в нелинейном случае. Точки максимума кривых h(γ) (на рис. 3 отмечены звездочкой) смещаются вправо. При этом части кривых, расположенные ниже этих точек, асимптотически приближаются
к дисперсионным кривым в линейном случае. Кривая, соединяющая точки максимумов, асимптотически приближается к прямой γ 2 = ε2 .
§7. Предельный переход
в обобщенном дисперсионном уравнении
Рассмотрим предельный переход при a → 0 к случаю линейной среды в слое. Здесь возможны два случая, а именно:
а) ε2 > 0; б) ε2 < 0 (случай метаматериала).
Рассмотрим случай а. Дисперсионное соотношение для линейного случая выглядит следующим образом [83]:
ε2 ε2 − γ 2 ε1 γ 2 − ε3 + ε3 γ 2 − ε1
. (44)
tg h ε2 − γ 2 =
ε1 ε3 (ε2 − γ 2 ) − ε22 γ 2 − ε3 γ 2 − ε1
Часть I. Краевые задачи в слое
148
Рассмотрим функции
f=
γ2τ 2
τ
,
+ η 2 (τ − 1)
f1 =
ε2
ε2 − γ 2
1
ε22
ε2 −γ 2
+ η2
.
Функция f1 получилась из f формальным предельным переходом при a → 0 по переменной τ . Так как мы ищем действительные решения X (x) и Z (x), знаменатель функции f1 не может
обратиться в нуль. Более того, функция f при a → 0 равномерно на x ∈ [0, h] стремится к функции f1 . Используя результаты
классического анализа, можно показать, что при этом условии
с учетом непрерывности функции f можно перейти к пределу
при a → 0 под знаком интеграла в (42):
ε2
×
h=
ε2 − γ 2
⎛
√ ε1
2
γ −ε1
⎜
⎜
× ⎜−
⎝
ε
−√ 3
γ 2 −ε3
⎞
+∞
1
ε22
ε2 −γ 2
+ η2
dη + (N + 1)
1
ε22
−∞ ε2 −γ 2
⎟
⎟
dη ⎟ . (45)
+ η2 ⎠
Интегралы в (45) вычисляются аналитически. Вычислив эти
интегралы, получим
h ε2 − γ 2 =
ε2 ε2 − γ 2 ε1 γ 2 − ε3 + ε3 γ 2 − ε1
+ (N + 1) π.
= arctg
ε1 ε3 (ε2 − γ 2 ) − ε22 γ 2 − ε3 γ 2 − ε1
(46)
Взяв тангенс от выражения (46), получим (44).
В случае б имеем ε2 < 0 (метаматериал), и дисперсионное
уравнение для случая линейной среды в слое выглядит так (вывод см. в гл. 5):
Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин.
e2h
√
γ 2 −ε2
=
γ 2 − ε1 ε3 γ 2 − ε2 − ε2 γ 2 − ε3
· , (47)
= ε1 γ 2 − ε2 + ε2 γ 2 − ε1 ε3 γ 2 − ε2 + ε2 γ 2 − ε3
ε1
149
γ 2 − ε2 − ε2
где γ 2 − ε1 > 0, γ 2 − ε2 > 0, γ 2 − ε3 > 0.
Так же как и раньше, переходя к пределу при a → 0 в функ2|
1
. Переходя к указанному
ции f , получаем f2 = γ 2|ε−ε
ε2
2
η2 −
2
γ 2 −ε2
пределу в уравнении (42) и вычисляя интегралы от функции
f2 , получаем
2h γ 2 − ε2 =
√ ε1
∞
|ε2 | γ 2 −ε
|ε2 | 1
η − γ 2 −ε2 η − γ 2 −ε2 + (N + 1) ln .
= − ln |ε2 | |ε2 | η + γ 2 −ε2 η + γ 2 −ε2 ε3
−√
−∞
γ 2 −ε3
Множитель позади (N + 1), очевидно, дает нуль. Выполнив
простейшие вычисления и затем потенцируя, получаем формулу
(47).
Результаты этого параграфа показывают, что при переходе
к пределу при a → 0 мы получаем регулярный случай. В пределе дисперсионное уравнение (42) для случая нелинейной среды
в слое переходит в дисперсионное уравнение (44) или (47) для
случая линейной среды в слое.
§8. Первое приближение
для собственных значений задачи
Пусть
F (a, γ) = h,
(48)
где F (a, γ) – левая часть уравнения (42).
Выражение (48) определяет неявную функцию γ ≡ γ (a).
Предполагая, что эта функция является дифференцируемой в
Часть I. Краевые задачи в слое
150
окрестности точки a = 0, далее мы покажем, что это действительно так. Разложим ее в ряд Тейлора:
dγ (a) a+ O a2 = γ0 + γ1 a+ O a2 , (49)
γ ≡ γ (a) = γ (0) +
da a=0
где γ0 является решением уравнения (44).
Находим полный дифференциал выражения (48) и, выражая искомую производную, получаем
∂F (a,γ)
dγ (a)
= − ∂F∂a
.
(a,γ)
da
(50)
∂γ
Воспользовавшись (34), найдем
∂F (a, γ)
=−
∂a
η(0)
∂G (a, γ, η)
dη + (N + 1)
∂a
+∞
−∞
η(h)
∂G (a, γ, η)
dη (51)
∂a
и
ε1
γε1
∂F (a, γ)
= G a, γ, +
2
∂γ
3
γ − ε1
2
(γ − ε1 )
γε3
ε3
−
+ G a, γ, − 2
γ − ε3
(γ 2 − ε3 )3
η(0)
−
∂G (a, γ, η)
dη + (N + 1)
∂γ
−∞
η(h)
где
G (a, γ, η) =
η(0) = √ ε21
γ −ε1
+∞
, η(h) = − √ ε23
∂G (a, γ, η)
dη, (52)
∂γ
τ
,
γ 2 τ 2 + η 2 (τ − 1)
γ −ε3
(53)
(см. формулы (28)).
В формуле (53) τ является функцией η, которая определяется из уравнения (27).
Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин.
151
Можно показать, что функции ∂G(a,γ,η)
и ∂G(a,γ,η)
при a → 0
∂a
∂γ
равномерно
на
x
∈
[0,
h]
стремятся
соответственно
к
функциям
∂G(a,γ,η) ∂G(a,γ,η) =
G
(γ,
η)
и
= G2 (γ, η). Предполагая,
1
∂a
∂γ
a=0
a=0
и ∂G(a,γ,η)
непрерывны по η при любом
что функции ∂G(a,γ,η)
∂a
∂γ
фиксированном a, используя результаты классического анализа,
можно перейти к пределу под знаком интеграла. Тогда формулы
(51) и (52) примут вид
η(0)
+∞
∂F (a, γ) =−
G1 (γ, η) dη + (N + 1)
G1 (γ, η) dη, (54)
∂a a=0
−∞
η(h)
ε1
γε1
∂F (a, γ) = G 0, γ, +
2
∂γ
γ − ε1
a=0
(γ 2 − ε1 )3
γε3
ε3
−
+ G 0, γ, − 3
γ 2 − ε3
2
(γ − ε3 )
η(0)
+∞
G2 (γ, η) dη + (N + 1)
G2 (γ, η) dη, (55)
−
−∞
η(h)
где
G (0, γ, η) =
η(0) =
√ ε21 ,
γ −ε1
η(h) =
ε2
ε2 − γ 2
− √ ε23
γ −ε3
1
ε22
ε2 −γ 2
+ η2
,
(56)
(см. формулы (28)).
Используя (53), найдем
∂τ
γ 2 τ 2 + η2
∂G (a, γ, η)
=−
,
∂a
∂a (γ 2 τ 2 + η 2 (τ − 1))2
(57)
∂τ
γ 2 τ 2 + η2
2γτ 3
∂G (a, γ, η)
=−
−
.
2
∂γ
∂γ (γ 2 τ 2 + η 2 (τ − 1))
(γ 2 τ 2 + η 2 (τ − 1))2
(58)
Часть I. Краевые задачи в слое
152
Из формулы (27), переходя к пределу при a → 0, получаем
2 2
γ τ0 + η 2
∂Chτ ∂τ .
=
∂a a=0 2τ0 γ 2 τ02 + η 2 (τ0 − 1)
∂a a=0
(59)
Воспользовавшись (29) и переходя к пределу при a → 0,
получаем
∂Chτ ∂τ (h) ε2 ε22 γ 2 − ε3 + ε23 ε2 − γ 2
=2 2
. (60)
∂a a=0
γ
∂a a=0
γ 2 ε23 + ε22 (γ 2 − ε3 )
Используя τ (h) =
получаем
τ (h)|a=0
ε2
= 2;
γ
(h)
Hy
γXh
и переходя к пределу при a → 0,
γ 2 ε23 + ε22 γ 2 − ε3 2
∂τ (h) Zh .
=
∂a a=0
γ 2 ε22 (γ 2 − ε3 )
(61)
Имея в виду (61), окончательное вычислим (60):
ε22 γ 2 − ε3 + ε23 ε2 − γ 2 2
∂Chτ Zh .
=2
∂a a=0
γ 4 ε2 (γ 2 − ε3 )
(62)
Из выражения (29), используя (61), ясно, что при a → 0
Chτ |a=0
=
ε2
γ2
2
.
(63)
Далее из (25) при a → 0 находим
ε2
∂τ = −2 3 .
∂γ a=0
γ
(64)
Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин.
153
При помощи формулы (56) вычислим значения, используемые в (55):
γε1
ε1
=
G 0, γ, 2
γ − ε1
(γ 2 − ε )3
1
=
G 0, γ, − ε3
γ 2 − ε3
γε1 ε2
,
2
γ 2 − ε1 ε2 (γ 2 − ε1 ) + ε21 (ε2 − γ 2 )
=
γε3
(γ 2
3
(65)
=
− ε3 )
γε2 ε3
.
2
γ 2 − ε3 ε2 (γ 2 − ε3 ) + ε23 (ε2 − γ 2 )
Теперь мы можем выписать явные выражения для функций
G1 (γ, η) и G2 (γ, η) из формул (54) и (55); используя (57), (59) и
(62), получим
G1 (γ, η) = −k где k = γ 4
ε22 (γ 2 −ε3 )+ε23 (ε2 −γ 2 )
ε22 (γ 2 −ε3 )(ε2 −γ 2 )3
G2 (γ, η) =
ε22
γ2
+ η2
ε22
ε2 −γ 2
+
2
η2
3 ,
(66)
Zh2 ; используя (58) и (64), получаем
2γε2
(ε2 − γ 2 )2
η2
ε22
ε2 −γ 2
+ η2
2 .
(67)
Воспользовавшись выражениями (66) и (67), мы можем выписать искомую производную (50) в такой форме:
γ 3 ε22 γ 2 − ε3 + ε23 ε2 − γ 2 Zh2 P (γ)
dγ (a) , (68)
=
γ1 ≡
da a=0
Q (γ)
2ε32 (γ 2 − ε3 ) (ε2 − γ 2 )
где
2
2
2
2
η(0)
ε2
ε2
+∞
2
2
+
η
+
η
γ2
γ2
P =−
2
3 dη + (N + 1)
2
3 dη, (69)
ε2
ε2
2
2
+η
+η
−∞
η(h)
ε2 −γ 2
ε2 −γ 2
Часть I. Краевые задачи в слое
154
η(0)
Q=−
η(h)
+
+∞
η2
ε22
ε2 −γ 2
+ η2
2 dη + (N + 1)
−∞
2 2
η2
ε22
ε2 −γ 2
+ η2
2 dη+
ε2 − γ
ε1
+
2
2
2
2
γ − ε1 ε2 (γ − ε1 ) + ε21 (ε2 − γ 2 )
2
ε2 − γ 2
ε3
+
, (70)
2
2
2
2
γ − ε3 ε2 (γ − ε3 ) + ε23 (ε2 − γ 2 )
η(0) = √ ε21
γ −ε1
, η(h) = − √ ε23
γ −ε3
(см. формулы (28)).
Из формул (68)–(70) видно, что при соблюдении условий,
наложенных на ε1 , ε2 , ε3 , γ и a (см. §1), производная (50) всегда
неотрицательна.
Интегралы в (69) и (70) вычисляются элементарно. Найдя
необходимые интегралы и используя, где необходимо (45), получим искомую производную в такой форме:
2 2
ε2 γ − ε3 + ε23 ε2 − γ 2 Zh2 P1
dγ (a) =
,
(71)
γ1 ≡
da a=0
Q1
8γε32 (ε2 − γ 2 ) (γ 2 − ε3 )
где
P1 = 2γ 2 − ε2 2ε22 k1 + 3ε2 + 2γ 2 k2 +
+
3ε22 − 4γ 2 ε2 + 4γ 4
h (72)
ε2
и
Q1 = где
ε1 (ε2 − ε1 )
+
γ 2 − ε1 ε22 (γ 2 − ε1 ) + ε21 (ε2 − γ 2 )
h
ε3 (ε2 − ε3 )
+
+ , (73)
2
2
2
2
2
ε
2
γ − ε3 ε2 (γ − ε3 ) + ε3 (ε2 − γ )
Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин.
ε1
(γ 2 − ε1 )3
ε3
155
(γ 2 − ε3 )3
k1 = 2 + 2
2 ,
ε22 (γ 2 − ε1 ) + ε21 (ε2 − γ 2 )
ε2 (γ 2 − ε3 ) + ε23 (ε2 − γ 2 )
ε3 γ 2 − ε3
ε1 γ 2 − ε1
+
.
k2 = 2 2
ε2 (γ − ε1 ) + ε21 (ε2 − γ 2 ) ε22 (γ 2 − ε3 ) + ε23 (ε2 − γ 2 )
Используя (71)–(73), запишем (50) в точке γ = γ0 , a = 0 :
ε22 γ 2 − ε3 + ε23 ε2 − γ 2 P1 (γ0 ) 2
dγ (a) Z . (74)
=
γ1 ≡
da a=0
8γε32 (ε2 − γ 2 ) (γ 2 − ε3 ) Q1 (γ0 ) h
Теперь, используя (74), можно найти γ1 и, таким образом,
получить разложение (49). Величина γ1 представляет собой поправку в первом приближении к значению γ0 .
Рассмотрим функцию F (a, γ) − h = 0 в окрестности точки
a = 0, γ = γ0 . Из формул (27), (29) и (34) ясно, что указанная
функция непрерывна в этой окрестности, поскольку функция
τ = τ (η) является решением алгебраического уравнения (27),
коэффициенты которого непрерывно зависят от a и γ. Как видно из формул (51) и (52), в окрестности этой точки рассматриваемая функция имеет частные производные и по a, и по γ. Из
формулы (73) ясно, что частная производная по γ не обращается
в нуль в точке a = 0, γ = γ0 . Замечая, что F (a, γ) − F (0, γ0 ) = 0
в указанной точке, получаем, что уравнение F (a, γ) − h = 0 однозначно разрешимо относительно γ в некоторой окрестности
точки a = 0, γ = γ0 и γ ≡ γ(a). Из формулы (72) мы видим,
что частная производная по a рассматриваемой функции также
непрерывна в точке a = 0, γ = γ0 . Из этого следует, что функция
γ ≡ γ (a) имеет производную в точке a = 0 и для нее справедлива формула (50) [31]. Таким образом, мы полностью обосновали возможность получения первого приближения. Необходимо
помнить, что все выводы сделаны с учетом ограничений, наложенных на ε1 , ε2 , ε3 , a и γ (см. §1).
ГЛАВА 8
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ТМ-ВОЛН В АНИЗОТРОПНОМ СЛОЕ
С КЕРРОВСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
Здесь мы рассматриваем задачу распространения ТМ-волн
в анизотропном слое, заполненном средой, диэлектрическая проницаемость которой является произвольной функцией от напряженности электрического поля1 .
Результаты этой главы опубликованы в [19].
§1. Уравнения Максвелла и постановка задачи
Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся через однородный, анизотропный, немагнитный диэлектрический слой, расположенный между двумя полупространствами
x < 0 и x > h в декартовой системе координат Oxyz. Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость
ε1 ≥ ε0 и ε3 ≥ ε0 соответственно, где ε0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. Вообще говоря, условия ε1 ≥ ε0 и ε3 ≥ ε0
необязательны, они не используются при выводе дисперсионных уравнений, однако могут оказаться полезными при анализе
разрешимости дисперсионных уравнений. Считаем, что всюду
μ = μ0 – магнитная проницаемость вакуума.
1
Изложение сжатое, т.к. многое подробно изложено в гл. 6, 7.
Гл. 8. ТМ-волны в анизотр. слое с керровской нелин.
157
Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:
Ẽ (x, y, z, t) = E+ (x, y, z) cos ωt + E− (x, y, z) sin ωt,
H̃ (x, y, z, t) = H+ (x, y, z) cos ωt + H− (x, y, z) sin ωt,
где ω – круговая частота; Ẽ, E+ , E− , H̃, H+ , H− – вещественные искомые функции.
Образуем комплексные амплитуды полей E и H:
E = E+ + iE− ,
H = H+ + iH− .
Везде ниже множители cos ωt и sin ωt будем опускать.
Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе уравнений Максвелла
rot H = −iωεE,
rot E = iωμH,
(1)
условию непрерывности касательных составляющих компонент
поля на границе раздела сред x = 0, x = h и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально
затухает при |x| → ∞ в областях x < 0 и x > h.
Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается
диагональным тензором:
⎞
⎛
0
εxx 0
εyy 0 ⎠ ,
ε̃ = ⎝ 0
0
0
εzz
где εxx = ε2 + b |Ex |2 + a |Ez |2 , εzz = ε2 + a |Ex |2 + b |Ez |2 и a, b,
ε2 > max (ε1 , ε3 ) – положительные постоянные1 .
Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.
На рис. 1 схематически представлена геометрия задачи.
1
В §6 решение будет найдено в гораздо более широких предположениях.
Часть I. Краевые задачи в слое
158
x
h
ε = ε3
ε = ε̃
0
ε = ε1
z
Рис. 1. Геометрия задачи
§2. ТМ-поляризованные электромагнитные волны
Рассмотрим ТМ-поляризованные волны:
E = (Ex , 0, Ez )T ,
H = (0, Hy , 0)T ,
где Ex = Ex (x, y, z), Ez = Ez (x, y, z), Hy = Hy (x, y, z) и ( · )T –
операция транспонирования.
Подставляя поля E и H в уравнения Максвелла (1), получим
⎧ ∂E
z
⎪
⎪
∂y = 0,
⎪
⎪
∂Ez
x
⎪
⎪ ∂E
⎨
∂z − ∂x = iωμHy ,
∂Ex
∂y = 0,
⎪
⎪
∂Hy
⎪
⎪
⎪ ∂z = iωεxx Ex ,
⎪
⎩ ∂Hy
∂x = −iωεzz Ez .
Из первого и третьего уравнений этой системы следует, что
Ez = Ez (x, z) и Ex = Ex (x, z) не зависят от y. Поскольку Hy
выражается через Ex и Ez , то Hy также не зависит от y.
Волны, распространяющиеся вдоль границы z раздела сред
(а мы ищем именно их), гармонически зависят от z. Значит, компоненты полей E и H имеют представление
Ex = Ex (x)eiγz , Ez = Ez (x)eiγz , Hy = Hy (x)eiγz .
Тогда из рассмотренной выше системы получаем [60]
⎧
⎪
⎨iγEx (x) − Ez (x) = iωμHy (x),
Hy (x) = −iωεzz Ez (x),
⎪
⎩
iγHy (x) = iωεxx Ex (x),
(2)
Гл. 8. ТМ-волны в анизотр. слое с керровской нелин.
159
из нее следует, что
Hy (x) =
1 iγEx (x) − Ez (x) ,
iωμ
(3)
здесь γ – неизвестный спектральный параметр – постоянная рас∂
.
пространения электромагнитной волны, (. . .) ≡ ∂x
Дифференцируя выражение (3) и используя второе и третье
уравнения системы (2), получим
γ (iEx (x)) − Ez (x) = ω 2 μεzz Ez (x) ,
γ 2 (iEx (x)) − γEz (x) = ω 2 μεxx (iEx (x)) .
(4)
Введем обозначения k2 = ω 2 με0 с μ = μ0 и выполним норd
d
= k dx̃
, γ̃ = γk ,
мировку в соответствии с формулами x̃ = kx, dx
ε
ε̃j = ε0j (j = 1, 2, 3), ã = εa0 , b̃ = εb0 . Переобозначаем Ez ≡ Z (x̃),
iEx ≡ X (x̃) и, опуская значок тильды, систему (4) приведем
к виду
−Z + γX = εzz Z,
(5)
−Z + γX = γ1 εxx X.
Будем искать те значения спектрального параметра γ (собственные значения), для которых существуют действительные
решения X(x), Z(x) системы (5), γ полагаем действительным
(так что |E|2 не зависит от z, см. сноску на с. 38, а также замечание на с. 82). Считаем, что
⎧
⎪
⎨ε1 , x < 0;
ε = ε̃, 0 < x < h;
⎪
⎩
ε3 , x > h.
(6)
Также полагаем, что спектральный параметр γ удовлетворяет неравенствам max(ε1 , ε3 ) < γ 2 < ε2 . Это неравенство естественно возникает при рассмотрении аналогичной задачи в линейном слое (подробности см. в гл. 4, неравенство (14)).
160
Часть I. Краевые задачи в слое
Считаем, что функции X, Z дифференцируемы так, что
X(x) ∈C (−∞, 0] ∩ C[0, h] ∩ C [h, +∞) ∩
∩C 1 (−∞, 0] ∩ C 1 [0, h] ∩ C 1 [h, +∞) ,
Z (x) ∈C(−∞, +∞) ∩ C 1 (−∞, 0] ∩ C 1 [0, h] ∩ C 1 [h, +∞) ∩
∩C 2 (−∞, 0) ∩ C 2 (0, h) ∩ C 2 (h, +∞).
Указанные условия непрерывности и дифференцируемости
функций Y и Z продиктованы физическим содержанием задачи. Видно, что система (5) является автономной. Такую систему,
если привести ее к нормальной форме, что будет сделано позднее, можно рассматривать как динамическую систему с аналитическими по X и Z правыми частями1 . Известно (см., например, [5]), что решения X, Z такой динамической системы сами
являются аналитическими функциями независимой переменной.
Этот факт окажется очень важным при выводе дисперсионных
уравнений.
Система (5) – это на самом деле система уравнений в слое,
однако из нее легко получаются системы для изотропных полупространств при εxx = εzz = εi , где i = 1, 3.
Считаем, что γ 2 > max(ε1 , ε3 ). Отметим, что последнее условие имеет место только в случае, если хотя бы одна из величин
(или обе) ε1 или ε3 положительна, если же ε1 < 0 и ε3 < 0, то
γ 2 > 0.
§3. Решение системы
дифференциальных уравнений
При x < 0 имеем ε = ε1 . Из (5) получаем
X = γZ,
2
1
Z = γ −ε
γ X.
2
Отсюда получаем уравнение X = (γ −ε1 )X, его общее решение
1
Разумеется, в соответствующей области, в которой правые части аналитичны по X и Z.
Гл. 8. ТМ-волны в анизотр. слое с керровской нелин.
161
√
√
2
2
X (x) = A1 e−x γ −ε1 + Aex γ −ε1 . Учитывая условие излучения
на бесконечности, получаем решение рассматриваемой системы:
X (x) = A exp x γ 2 − ε1 ,
√
γ 2 −ε1
2−ε
A
exp
x
γ
Z (x) =
1 .
γ
(7)
Здесь мы считаем γ 2 −ε1 > 0, ибо в противном случае мы получим общее решение, выраженное через синусы и косинусы действительного аргумента, и, таким образом, не сможем удовлетворить условию излучения на бесконечности. Случай γ 2 − ε1 = 0
тоже невозможен, так как в этом случае мы получаем при x < 0
постоянное решение, которое не удовлетворяет условию излучения на бесконечности. Значит, γ 2 > ε1 .
X = γZ,
При x > h имеем ε = ε3 . Из (5) получаем
2
3
Z = γ −ε
γ X.
(γ 2 −ε3 )X, его общее решение
Отсюда получаем√уравнение X = √
2
2
X (x) = Be−(x−h) γ −ε3 + B1 e(x−h) γ −ε3 . Учитывая условие излучения на бесконечности, получаем решение рассматриваемой
системы:
X (x) = B exp − (x − h) γ 2 − ε3 ,
√ 2
γ −ε
Z (x) = − γ 3 B exp − (x − h) γ 2 − ε3 .
(8)
Здесь по тем же причинам, что и при x < 0, мы считаем
− ε3 > 0. Значит, γ 2 > ε3 .
Постоянные A и B в (7) и (8) определяются условиями сопряжения и начальными данными.
Внутри слоя 0 < x < h система (5) принимает вид
γ2
2
2
2
− ddxZ2 + γ dX
dx = ε2 + aX + bZ Z,
1
2
2 X.
− dZ
dx + γX = γ ε2 + bX + aZ
(9)
Часть I. Краевые задачи в слое
162
Систему (9) можно привести к виду1
⎧
γ 2 (ε2 +aX 2 +bZ 2 )+2a(ε2 +bX 2 +aZ 2 −γ 2 )X 2
⎨ dX
=
Z,
dx
γ(ε2 +3bX 2 +aZ 2 )
⎩ dZ = − 1 ε2 − γ 2 + bX 2 + aZ 2 X.
dx
(10)
γ
Из системы (10) получаем обыкновенное дифференциальное
уравнение:
dX
=
− ε2 + 3bX 2 + aZ 2
dZ
ε2 + aX 2 + bZ 2 Z
. (11)
ε2 + bX 2 + aZ 2 − γ 2 X
После умножения на ε2 + bX 2 + aZ 2 − γ 2 X уравнение (11)
становится уравнением в полных дифференциалах. Его решение
(первый интеграл системы (9)) легко находится и его можно привести к виду1
= 2aXZ + γ 2
X 2 2 ε2 + bX 2 + aZ 2 ε2 + bX 2 + aZ 2 − γ 2 − γ 2 bX 2 +
+ γ 2 2ε2 + bZ 2 Z 2 = C, (12)
где C – постоянная интегрирования.
§4. Условия сопряжения и задача сопряжения
Как известно, касательные составляющие электромагнитного поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматриваемом случае касательными составляющими являются компоненты Hy и Ez . Отсюда получаем
Hy (h + 0) = Hy (h − 0), Hy (0 − 0) = Hy (0 + 0),
Ez (h + 0) = Ez (h − 0), Ez (0 − 0) = Ez (0 + 0).
1
Как видно, система (10) записана в нормальной форме, и об аналитичности решений именно такой системы при аналитических по X и Z правых
частях мы говорили в конце §2.
1
Здесь мы не стали подробно проводить выкладки, ибо аналогичные вещи были проделаны уже дважды в гл. 5 и 6.
Гл. 8. ТМ-волны в анизотр. слое с керровской нелин.
163
Из условий непрерывности касательных составляющих полей E и H получаем
(h)
(0)
γX(0) − Z (0) = Hy ,
γX(h) − Z (h) = Hy ,
(h)
(0)
Z(h) = Ez (h + 0) = Ez , Z(0) = Ez (0 − 0) = Ez ,
(h)
где Hy
√
(0)
μ
= i √ε0 Hy (h + 0), Hy
(h)
√
(13)
μ
= i √ε0 Hy (0 − 0).
Постоянная Ez = Z(h) = Z(h + 0) считается известной.
Обозначим X0 := X(0), Xh := X(h), Z0 := Z(0), Zh := Z(h).
Тогда из (13) получаем
ε3
ε1
, Hy(0) = Z0 .
(14)
Hy(h) = −Zh 2
2
γ − ε3
γ − ε1
В соответствии с (9) в слое
−Z (x) + γX(x) =
1
ε2 + bX 2 (x) + aZ 2 (x) X(x).
γ
(15)
Тогда для x = h, используя (13), получаем из (15)
1
ε2 + bXh2 + aZh2 Xh = Hy(h) .
γ
(16)
Из (16) получаем уравнение относительно Xh :
(h)
ε2 + aZh2
γHy
Xh −
= 0.
(17)
b
b
При наших предположениях относительно ε2 , a и b величина
ε2 +aZh2
> 0, и, следовательно, уравнение (17) имеет по крайней
b
мере один действительный корень, который мы и будем рассматривать:
Xh3 +
⎛
(h)
γHy
Xh = ⎝
2b
+
⎛
+
(h)
⎝ γHy
2b
1
27
−
1
27
ε2 + aZh2
b
3
⎞1/3
1 γ 2 (h) 2 ⎠
+
+
Hy
4 b
3
aZh2
ε2 +
b
⎞1/3
2
2
1 γ
(h) ⎠
+
.
Hy
4 b
Часть I. Краевые задачи в слое
164
Используя первый интеграл (12) при x = h, найдем значение
постоянной ChX := C|x=h :
ChX = γ 2 2ε2 + bZh2 Zh2 − γ 2 bXh4 +
+ 2Xh2 ε2 + bXh2 + aZh2 ε2 + bXh2 + aZh2 − γ 2 .
(18)
Для того чтобы найти значения X0 и Z0 , необходимо решить
систему двух уравнений, полученную использованием формулы
(15) в точке x = 0 и первого интеграла в этой же точке:
⎧
2
2
√ γε1
⎪
⎪
⎨ γ 2 −ε1 Z0 = ε2 + bX0 + aZ0 X0 ,
γ 2 2ε2 + bZ02 Z02 − γ 2 bX04 +
⎪
⎪
⎩
+ 2X02 ε2 + bX02 + aZ02 ε2 + bX02 + aZ02 − γ 2 = ChX .
(19)
Из второго уравнения системы (19) видно, что X0 и Z0 могут входить в это уравнение с произвольными знаками. В то же
время из первого уравнения видно, что X0 и Z0 должны быть одновременно либо положительными, либо отрицательными (этот
факт окажется очень важным в дальнейшем).
Как известно, нормальные компоненты электромагнитного поля терпят разрыв первого рода на границе раздела сред.
В нашем случае нормальной компонентой является Ex . Также
известно, что величина εEx непрерывна на границе раздела сред.
Из сказанного и из непрерывности касательной компоненты Ez
следуют условия сопряжения для функций εX и Z:
[εX]x=0 = 0,
[εX]x=h = 0,
[Z]x=0 = 0,
[Z]x=h = 0,
(20)
где [f ]x=x0 = lim f (x) − lim f (x) обозначает скачок функx→x0 −0
x→x0 +0
ции на границе раздела сред.
Считаем, что функции X (x) и Z (x) удовлетворяют условию
X(x) = O
1
|x|
и Z(x) = O
1
|x|
при |x| → ∞.
(21)
Гл. 8. ТМ-волны в анизотр. слое с керровской нелин.
165
Пусть
D=
d
dx
0
0
d
dx
, F(X, Z) =
X
Z
, G(F, γ) =
G1
G2
,
где X ≡ X(x) и Z ≡ Z(x) являются искомыми функциями, а
G1 ≡ G1 (F, γ) и G2 ≡ G2 (F, γ) являются правыми частями уравнений системы (10). Число γ является спектральным параметром. Перепишем задачу, используя введенные обозначения.
Для полупространства x < 0, ε = ε1 получаем
DF −
0
γ 2 −ε1
γ
γ
0
F = 0.
(22)
Внутри слоя 0 < x < h мы имеем ε = ε̃, и система принимает
вид
L(F, γ) ≡ DF − G(F, γ) = 0.
(23)
Для полупространства x > h, ε = ε3 получаем
DF −
0
γ 2 −ε3
γ
γ
0
F = 0.
(24)
Сформулируем задачу сопряжения (ее можно переформулировать как краевую задачу). Требуется найти собственные
значения γ и соответствующие им ненулевые векторы F такие,
что F удовлетворяет уравнениям (22)–(24), условиям сопряжения (20), компоненты вектора F удовлетворяют условию (21) и
X0 , Z0 удовлетворяют уравнениям (19).
Определение 1. Число γ = γ0 , при котором существует ненулевое решение F задачи (22)–(24) при условиях (19)–
(21), будем называть собственным значением задачи. Решение
F, которое соответствует собственному значению, будем называть собственным вектором задачи, а компоненты X(x) и Z(x)
вектора F – собственными функциями (см. замечание на с. 42).
Часть I. Краевые задачи в слое
166
§5. Дисперсионное уравнение
и теорема об эквивалентности
Введем новые переменные:
τ (x) =
ε2 + bX 2 (x) + aZ 2 (x)
,
γ2
Обозначим τ0 =
X2 =
ε2
,
γ2
η(x) = γ
X(x)
τ (x).
Z(x)
(25)
тогда
γ 2 η 2 (τ − τ0 )
γ 4 τ 2 (τ − τ0 )
γ 3 τ η (τ − τ0 )
2
,
Z
=
,
XZ
=
.
bη 2 + aγ 2 τ 2
bη 2 + aγ 2 τ 2
bη 2 + aγ 2 τ 2
Система (10) и уравнение (12) в этих переменных примут
вид
⎧
⎨ dτ =
dx
⎩ dη =
dx
2γ 2 ητ 2 (τ −τ0 )(τ (bη2 +aγ 2 τ 2 )(b−a(τ −1))+b(a−b)(τ −τ0 )(η2 −γ 2 τ 2 ))
,
(bη2 +aγ 2 τ 2 )(τ (bη2 +aγ 2 τ 2 )+2b(τ −τ0 )η2 )
aη2 +bγ 2 τ 2
τ −1 2
2
2
τ η + γ τ0 + γ (τ − τ0 ) bη2 +aγ 2 τ 2 ,
(26)
2γ 2 τ 2 (τ − τ0 ) (aτ (τ − 1) + bτ0 ) − a C − τ02 2
η +
η =
b
C + 3τ 2 − 2τ 3 − 2τ (2 − τ )τ0
γ 4 τ 4 b(τ − τ0 ) (2aτ0 + b(τ − τ0 )) − a2 C − τ02
, (27)
+ 2
b
C + 3τ 2 − 2τ 3 − 2τ (2 − τ )τ0
4
здесь постоянная интегрирования C не равна одноименной величине в формуле (12).
Уравнение (27) – алгебраическое уравнение шестой степени
относительно τ и биквадратное относительно η.
Для того чтобы выписать дисперсионные уравнения для постоянных распространения электромагнитных волн, необходимо
найти значения η (0), η (h).
X(h)
Ясно, что η(0) = γ X(0)
Z(0) τ (0), η(h) = γ Z(h) τ (h), но поскольку
X(x)τ (x) = εX(x), то, учитывая (13) и (14), легко получаем, что
ε3
ε1
> 0, η(h) = − < 0.
(28)
η(0) = γ 2 − ε1
γ 2 − ε3
Гл. 8. ТМ-волны в анизотр. слое с керровской нелин.
167
Значение постоянной C, мы ее обозначим как Chτ , легко находится из первого интеграла (27), поскольку τ (h) и η(H) известны, то подставляя x = h в (27), находим, что
Chτ =
1
ε43
2
(γ −ε3 )2
+
ε43
×
+
2γ 2 τ 2 ε23
γ4τ 4 2
b γ 2 −ε3 a + b2 a
2
×
−3τ 2 + 4τ0 τ + 2τ 2 (τ − τ0 ) +
(γ 2 − ε3 )
ε23 (τ − τ0 ) (aτ (τ − 1) + bτ0 ) + aτ02 +
2
b γ − ε3
γ4τ 4 2 2
, (29)
+ 2 b(τ − τ0 ) (2aτ0 + b(τ − τ0 )) + a τ0
b
2γ 2 τ 2
H
(h)
y
.
где τ = τ (h) = γX
h
Из положительности правой части второго уравнения системы (26) ясно, что функция η(x) монотонно возрастает на интервале (0, h). Учитывая знаки выражений (28), получаем, что
функция η(x) не может быть дифференцируемой на всем интервале (0, h), а необходимо имеет точку разрыва. Пусть это будет
x∗ ∈ (0, h). Из (27) ясно, что x∗ таково, что τ ∗ = τ (x∗ ) является
корнем уравнения Chτ +3(τ ∗ )2 −2(τ ∗ )3 −2τ ∗ (2−τ ∗ )τ0 = 0. Причем
η(x∗ − 0) → +∞ и η(x∗ + 0) → −∞.
Естественно полагать, что функция η(x) на интервале (0, h)
имеет несколько точек x0 , x1 , ..., xN таких, что
η(xi − 0) = +∞, η(xi + 0) = −∞, где i = 0, N .
(30)
Обозначим
w ≡ w(η) =
τ
(τ −
1)η 2
+
γ2τ
0τ
2
2 2
+bγ τ
+ γ 2 τ (τ − τ0 ) aη
bη2 +aγ 2 τ 2
где τ = τ (η), которое выражается из уравнения (15).
,
Часть I. Краевые задачи в слое
168
Учитывая только что сказанное, будем разыскивать решения на каждом из отрезков [0, x0 ], [x0 , x1 ], ..., [xN , h]:
⎧
η(x
0)
⎪
⎪
⎪−
wdη = x + c0 ,
0 ≤ x ≤ x0 ;
⎪
⎪
⎪
η(x)
⎪
⎪
⎪
⎨ η(x)
wdη = x + ci ,
xi ≤ x ≤ xi+1 , i = 0, N − 1;
(31)
⎪
⎪
η(x
)
i
⎪
⎪
⎪
η(x)
⎪
⎪
⎪
wdη = x + cN , xN ≤ x ≤ h.
⎪
⎩
η(xN )
Подставляя x = 0, x = xi+1 , x = xN в уравнения (31)
(в первое, второе и третье соответственно) и учитывая (30), найдем постоянные c1 , c2 , . . . , cN +1 c1 , c2 , ..., cN +1 :
⎧
+∞
⎪
⎪
⎪
c
=
−
wdη;
0
⎪
⎪
⎪
η(0)
⎪
⎪
⎨
+∞
wdη − xi+1 , i = 0, N − 1;
ci+1 =
(32)
⎪
−∞
⎪
⎪
⎪
η(h)
⎪
⎪
⎪
⎪
wdη − h.
⎩cN +1 =
−∞
С учетом (32) уравнения (31) примут вид
⎧
η(x
+∞
0)
⎪
⎪
⎪
wdη = −x +
wdη,
0 ≤ x ≤ x0 ;
⎪
⎪
⎪
η(x)
η(0)
⎪
⎪
⎪
⎨ η(x)
+∞
wdη = x +
wdη − xi+1 , xi ≤ x ≤ xi+1 , i = 0, N − 1;
⎪
−∞
⎪
η(xi )
⎪
⎪
⎪
η(h)
⎪ η(x)
⎪
⎪
wdη
=
x
+
wdη − h,
xN ≤ x ≤ h.
⎪
⎩
η(xN )
−∞
Введем обозначение T ≡
+∞
−∞
(33)
wdη. Из формул (33) следует,
что 0 < xi+1 − xi = T < h, где i = 0, N − 1. Отсюда следует
сходимость несобственного интеграла (позднее мы докажем это
Гл. 8. ТМ-волны в анизотр. слое с керровской нелин.
169
из других соображений). Теперь, полагая в уравнениях (33) x
таким, чтобы все интегралы слева обратились в нуль (т.е. x = x0 ,
x = xi , x = xN ), сложим все уравнения (33), получим
η(h)
+∞
wdη+x0 +T −x1 +...+xN −1 +T −xN +xN +
wdη−h.
0 = −x0 +
−∞
η(0)
Из последнего выражения окончательно получаем
√ ε1
2
γ −ε1
wdη + (N + 1) T = h,
−
(34)
−√
ε3
γ 2 −ε3
где N ≥ 0 – целое число.
Формула (34) есть дисперсионное уравнение, справедливое
для любого конечного h. Надо отметить, что когда N = 0, то
возникает несколько уравнений при различных значениях N .
Необходимо решать относительно γ каждое из получающихся
уравнений.
Отметим, что несобственные интегралы в дисперсионном
уравнении (34) сходятся. Действительно, при η → ∞ функция
2
2
τ = τ (η) остается ограниченной, поскольку τ = ε2 +bXγ 2+aZ ,
а X, Z – ограниченные функции. Тогда
1
τ
,
|w| = 2 +bγ 2 τ 2 ≤
2
aη
αη + β
(τ − 1)η 2 + γ 2 τ0 τ + γ 2 τ (τ − τ0 ) 2
2 2 bη +aγ τ
где α > 0, β > 0 – постоянные, тогда несобственный интеграл
∞ dη
сходится. Поскольку мы требуем, чтобы правая часть
αη2 +β
−∞
второго уравнения (26) была положительна, то из этого следует
сходимость интегралов в (34) во внутренних точках.
Если рассматривать первое или второе уравнение системы
(26) совместно с первым интегралом, то это уравнение можно
Часть I. Краевые задачи в слое
170
проинтегрировать, и это приведет к так называемым абелевым
интегралам (см., например, [6, 39]). Если расширить область
определения независимого переменного x на всю комплексную
плоскость, то можно рассматривать функции, обратные к этим
интегралам, которые и будут решениями системы (26). Это абелевы функции, которые являются мероморфными периодическими функциями. А поскольку функция η выражается через
τ алгебраически, то она также является мероморфной периодической функцией. Таким образом, точка разрыва x∗ является
одним из полюсов функции η.
Теорема 1 (об эквивалентности). Краевая задача на собственные значения (22)–(24) с условиями (19)–(21) имеет решение (собственное значение) тогда и только тогда, когда это
собственное значение является решением дисперсионного уравнения (34).
Доказательство. Достаточность. Очевидно, что, найдя
решение γ дисперсионного уравнения (34), мы сможем найти
функции τ (x) и η(x) из системы (26) и первого интеграла (27).
Зная функции τ (x) и η(x) и пользуясь формулами (25), найдем
X(x) = ±γη
τ − τ0
и Z(x) = ±γ 2 τ
2
bη + aγ 2 τ 2
τ − τ0
. (35)
+ aγ 2 τ 2
bη 2
Вопрос о выборе знака является существенным, и поэтому обсудим его подробнее. Нам известно поведение функции
η = γτ X
Z : функция η является монотонно возрастающей, если
x = x∗ таково, что η (x∗ ) = 0, то η (x∗ − 0) < 0, η (x∗ + 0) > 0,
и если x = x∗∗ таково, что η (x∗∗ ) = ±∞, то η (x∗∗ − 0) > 0 и
η (x∗∗ + 0) < 0. Других точек перемен знака у функции η нет.
(h)
Из краевых условий следует, что Z (h) = Ez (>0). Учтем, что
если η > 0, то функции X и Z имеют одинаковые знаки, а если η < 0, то X и Z имеют разные знаки, и, помня о том, что
X и Z – гладкие функции, выбираем соответствующие знаки
в выражениях (35).
Необходимость. Из самого способа получения дисперсионного уравнения (34) из системы (26) следует, что собственные
Гл. 8. ТМ-волны в анизотр. слое с керровской нелин.
171
значения краевой задачи являются решениями дисперсионного
уравнения.
Также необходимо заметить, что собственные функции, отвечающие собственному значению γ0 , легко могут быть найдены
численно из системы (9) или (10), например, методом РунгеКутты.
η(h)
wdη + (k + 1)T , где правая
Введем обозначение J(γ, k) :=
η(0)
часть рассматриваемой формулы определяется из дисперсионного уравнения (34) и k = 0, N .
Пусть
hkinf =
inf
γ 2 ∈(max(ε1 ,ε3 ),ε2 )
J(γ, k),
hksup =
sup
γ 2 ∈(max(ε1 ,ε3 ),ε2 )
J(γ, k).
Сформулируем достаточное условие существования по крайней мере одного собственного значения рассматриваемой краевой задачи.
Теорема 2. Если h таково, что для некоторого k = 0, N
выполняется неравенство
hkinf < h < hksup ,
то краевая задача на собственные значения (22)–(24) с условиями (19)–(21) имеет по крайней мере одно решение (собственное
значение).
Величины hkinf и hksup можно находить численно.
§6. Обобщенное дисперсионное уравнение
В этом параграфе мы получим общее дисперсионное уравнение, справедливое при любых действительных значениях ε2 .
Кроме того, мы откажемся от требования, чтобы правая часть
второго уравнения системы (26) была положительна (см. сноску на с. 50), а также от условий max(ε1 , ε3 ) < γ 2 < ε2 или
0 < γ 2 < ε2 . Эти условия возникали в линейном случае и были
нами использованы при выводе дисперсионного уравнения (34).
Часть I. Краевые задачи в слое
172
Однако в нелинейном случае нет требований, которые ограничивают значения γ 2 справа, хотя ограничение слева остается, так
как оно возникает из решений в полупространствах (где среда
линейна). Теперь мы считаем, что γ удовлетворяет одному из
следующих двух неравенств:
max(ε1 , ε3 ) < γ 2 < +∞,
когда хотя бы одна из величин ε1 или ε3 положительна, или
0 < γ 2 < +∞,
когда ε1 < 0 или ε3 < 0.
Сначала мы выведем дисперсионное уравнение из системы
уравнений (26) и первого интеграла (27), а потом обсудим детали
вывода и условия, при которых сам вывод возможен и справедливо полученное дисперсионное уравнение.
Имея в своем распоряжении первый интеграл, формально
можно проинтегрировать любое из двух уравнений системы (26).
Как и ранее, будем интегрировать второе уравнение этой системы. Но мы не можем получить решение на всем интервале, поскольку функция η(x) может иметь разрывы в некоторых точках
интервала (0, h). Как нам известно, функция η(x) имеет разрывы только второго рода (так как η – аналитическая функция).
Пусть функция η(x) на интервале (0, h) имеет несколько точек x0 , x1 , ..., xN , в которых она обращается в бесконечность.
Отметим, что η(xi − 0) = ±∞ и η(xi + 0) = ±∞, i = 0, N , причем
знаки ± в этих формулах независимы и нам неизвестны.
Учитывая сказанное, будем разыскивать решения на каждом из отрезков [0, x0 ], [x0 , x1 ], ..., [xN , h]:
⎧
η(x0 −0)
⎪
⎪
⎪−
wdη = x + c0 ,
0 ≤ x ≤ x0 ;
⎪
⎪
⎪
η(x)
⎪
⎪
⎪
⎨
η(x)
wdη = x + ci+1 ,
xi ≤ x ≤ xi+1 , i = 0, N − 1; (36)
⎪
⎪
η(x
+0)
i
⎪
⎪
⎪
η(x)
⎪
⎪
⎪
wdη = x + cN +1 , xN ≤ x ≤ h.
⎪
⎩
η(xN +0)
Гл. 8. ТМ-волны в анизотр. слое с керровской нелин.
173
Из уравнений (36), подставляя x = 0, x = xi+1 , x = xN
в первое, второе и третье уравнения (36), найдем необходимые
константы c1 , c2 , ..., cN +1 :
⎧
η(x0 −0)
⎪
⎪
⎪
=
−
wdη;
c
⎪
0
⎪
⎪
η(0)
⎪
⎪
⎪
⎨
η(xi+1
−0)
wdη − xi+1 , i = 0, N − 1;
ci+1 =
⎪
⎪
η(xi +0)
⎪
⎪
⎪
η(h)
⎪
⎪
⎪
=
wdη − h.
c
⎪
N
+1
⎩
(37)
η(xN +0)
С учетом (37) уравнения (36) примут вид
⎧
η(x0 −0)
η(x0 −0)
⎪
⎪
⎪
wdη
=
−x
+
wdη,
0 ≤ x ≤ x0 ;
⎪
⎪
⎪
η(x)
η(0)
⎪
⎪
⎪
⎨ η(x)
η(xi+1
−0)
wdη = x +
wdη − xi+1 , xi ≤ x ≤ xi+1 ;
⎪
⎪
η(xi +0)
η(xi +0)
⎪
⎪
⎪ η(x)
η(h)
⎪
⎪
⎪
wdη
=
x
+
wdη − h,
xN ≤ x ≤ h,
⎪
⎩
η(xN +0)
(38)
η(xN +0)
где i = 0, N − 1.
Из формул (38) получаем, что
η(x
i+1 −0)
xi+1 − xi =
wdη,
(39)
η(xi +0)
где i = 0, N − 1.
Поскольку 0 < xi+1 − xi < h < ∞, то отсюда следует, что
при наших предположениях (относительно наличия особых тоη(xi+1
−0)
wdη > 0. Таким же
чек) интеграл справа сходится, и
η(xi +0)
Часть I. Краевые задачи в слое
174
образом из первого и последнего уравнений (38) получаем, что
η(x0 −0)
wdη, так как 0 < x0 < h, тогда
x0 =
η(0)
η(x
0 −0)
wdη < h < ∞;
0<
η(0)
h − xN =
η(h)
η(xN +0)
wdη, так как 0 < h − xN < h, тогда
η(x
0 −0)
wdη < h < ∞.
0<
η(0)
Из этих рассуждений следует, что функция η(x) имеет конечное число точек разрыва второго рода и функция w(η) не
имеет неинтегрируемых особенностей при η ∈ (−∞, ∞).
Теперь, полагая в уравнениях (38) x таковым (т.е. подставляя x = x0 , x = xi , x = xN в первое, второе и третье уравнения
(38)), чтобы все интегралы слева обратились в нуль, сложим все
уравнения (38), получим
η(x
0 −0)
0 = −x0 +
η(x
1 −0)
wdη + x0 +
wdη − x1 + ...
η(x0 +0)
η(0)
η(xN −0)
... + xN −1 +
η(h)
wdη − xN + xN +
η(xN−1 +0)
wdη − h. (40)
η(xN +0)
Из (40) получаем
η(x
0 −0)
η(h)
wdη +
η(0)
wdη +
η(xN +0)
N
−1
i=0
η(x
i+1 −0)
wdη = h.
η(xi +0)
(41)
Гл. 8. ТМ-волны в анизотр. слое с керровской нелин.
175
Из формулы (39) следует, что
η (xi + 0) = ±∞ и η (xi − 0) = ∓∞, где i = 0, N ,
причем ясно, что бесконечности должны выбираться различных
знаков.
Таким образом, получаем, что
η(x
1 −0)
η(xN −0)
wdη = ... =
η(x0 +0)
wdη ≡ T,
η(xN−1 +0)
и, значит, x1 − x0 = ... = xN − xN −1 .
Теперь уравнение (41) можно переписать так:
η(x
0 −0)
η(h)
wdη +
f dη + N T = h
η(xN +0)
η(0)
или в окончательной форме
η(0)
wdη + (N + 1) T = h,
−
(42)
η(h)
где N ≥ 0 – целое число; η (0), η (h) определены формулами (28).
Формула (42) есть дисперсионное уравнение, справедливое
для любого конечного h. Отметим, что когда N = 0, то возникает
несколько уравнений при различных значениях N . Необходимо
решать относительно γ каждое из получающихся уравнений.
Теперь можно сформулировать теорему, аналогичную теореме 1, но уже для обобщенного дисперсионного уравнения (42).
Теорема 3. Множество решений (собственных значений)
краевой задачи на собственные значения (22)–(24) с условиями (19)–(21) содержится в множестве решений дисперсионного уравнения (42).
176
Часть I. Краевые задачи в слое
Доказательство. Ясно, что эта теорема обобщает теорему 1. Также ясно, что всякое собственное значение рассматриваемой краевой задачи будет решением дисперсионного уравнения.
Легко понять, откуда появляются лишние решения (решения
дисперсионного уравнения, которые не являются собственными
значениями краевой задачи). Если величины ε2 , a и b являются произвольными вещественными числами, то может оказаться
так, что среди корней уравнения (17) и корней системы (19) мы
не сможем выделить те, которые отвечают решению краевой задачи. Таким образом, мы для каждой тройки корней будем получать дисперсионное уравнение вида (42). Ясно, что решения
лишь одного такого дисперсионного уравнения могут являться собственными числами. Того, которому отвечает «истинная»
тройка корней указанных уравнения (17) и системы (19). При
численном решении дисперсионного уравнения это легко проверить. Вычислив решение γ дисперсионного уравнения, подставив его в исходную систему (9) или (10) и используя начальные
условия, можно вычислить значения X0 и Z0 . Если полученные
таким образом значения совпадают с найденными из системы
(19), то вычисленное γ является собственным значением (и не
является таковым в противном случае).
Теперь мы перейдем к теоретическому обоснованию вывода
дисперсионных уравнений (34) и (42). Мы намеренно не говорили об условиях, при которых решение системы (10) существует
и единственно, предпочитая сначала проделать все технические
вычисления и дать читателю возможность проследить за выводом и используемой техникой, не отвлекаясь на факты теории
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Воспользуемся векторной формой записи (23) системы (10):
DF = G(F, λ).
(43)
Пусть правая часть G определена и непрерывна в области
Ω ⊂ R2 , G : Ω → R2 . Также считаем, что G удовлетворяет в Ω
условию Липшица по F локально1 .
1
По поводу условия Липшица см. сноску на с. 54.
Гл. 8. ТМ-волны в анизотр. слое с керровской нелин.
177
При указанных условиях система (10) или, что то же самое,
система (43) имеет единственное решение в области Ω [8, 38, 49].
Ясно, что накладывая эти условия на систему (26), для
нее получим единственность решения (разумеется, область единственности Ω в переменных τ , η будет отлична от Ω).
Поскольку мы ищем ограниченные решения X и Z, то
Ω ⊂ [−m1 , m1 ] × [−m2 , m2 ], где max |Y | < m1 , max |Z| < m2 .
x∈[0,h]
x∈[0,h]
Из последнего мы получаем, что
Ω ⊂ [εf , εf + m21 ] × (−∞, +∞).
Из теории автономных систем известно (см., например, [38]),
что при сделанных предположениях относительно правой части, фазовые траектории такой системы не пересекаются в ее
фазовом пространстве. Поскольку X ≡ 0 и Z ≡ 0 являются
стационарными решениями системы (10), то ясно, что рассматриваемые непостоянные решения X и Z не могут одновременно
обратиться в нуль в некоторой точке x∗ ∈ Ω (иначе они будут пересекаться с указанным стационарным решением, чего быть не
может). То есть мы показали, что не существует точки x∗ ∈ Ω ,
такой, что X|x=x∗ = 0 и Z|x=x∗ = 0.
Еще одно замечание относительно интегралов в дисперсионных уравнениях (34) и (42). Если при некотором значении γ∗2
какие-то из входящих в дисперсионные уравнения интегралов
расходятся во внутренних точках, то это попросту обозначает,
что выбранное значение γ∗2 не является решением дисперсионного уравнения и, тем более, не является собственным значением.
Мы выводили дисперсионные уравнения из второго уравнения системы (26). Однако точно так же можно это сделать,
исходя из первого уравнения этой системы (см. с. 144).
Для положительных значений коэффициентов нелинейностей a и b и ε2 > 0 поведение дисперсионных кривых отражено
на рис. 2, 3 гл. 7 (см. с. 145, 146).
ЧАСТЬ II
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
В КРУГЛЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДАХ
ГЛАВА 9
ТЕ- И ТМ-ПОЛЯРИЗОВАННЫЕ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ,
НАПРАВЛЯЕМЫЕ КРУГЛЫМ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ ВОЛНОВОДОМ
В этой главе приводятся известные результаты о том, что в
круглом цилиндрическом волноводе с постоянной диэлектрической проницаемостью вместо электромагнитного поля, у которого все координаты отличны от нуля, достаточно рассматривать
ТЕ- и ТМ-поляризованные электромагнитные волны. Это позволит перейти от уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Излагая вопрос о ТЕи ТМ-волнах, направляемых слоем, мы в основном следовали
работам [1, 35], также мы обращались к книге [10].
Пусть все трехмерное пространство R3 с декартовыми координатами Oxyz заполнено изотропной средой без источников
с постоянной диэлектрической проницаемостью ε1 ≥ ε0 , где ε0 –
диэлектрическая проницаемость вакуума. В эту среду помещен
цилиндрический диэлектрический волновод с однородным анизотропным немагнитным заполнением и образующей
параллель
ной оси Oz с поперечным сечением W := x : x2 + y 2 < R2 . Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся вдоль
образующей волновода, т.е. собственные волны структуры.
Введем цилиндрические координаты (ρ, ϕ, z) так, чтобы ось
Oz цилиндрических координат совпадала с осью Oz декартовых.
Гл. 9. ТЕ- и ТМ-волны, направляемые цилиндр. волноводом
181
Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:
Ẽ (ρ, ϕ, z, t) = E+ (ρ, ϕ, z) cos ωt + E− (ρ, ϕ, z) sin ωt,
H̃ (ρ, ϕ, z, t) = H+ (ρ, ϕ, z) cos ωt + H− (ρ, ϕ, z) sin ωt,
где ω – круговая частота; Ẽ, E+ , E− , H̃, H+ , H− – вещественные искомые функции.
Образуем комплексные амплитуды полей E и H:
E = E+ + iE− ,
H = H+ + iH− ,
где
E = (Eρ , Eϕ , Ez )T ,
H = (Hρ , Hϕ , Hz )T ,
знак ( · )T обозначает операцию транспонирования и
Eρ = Eρ (ρ, ϕ, z), Eϕ = Eϕ (ρ, ϕ, z), Ez = Ez (ρ, ϕ, z),
Hρ = Hρ (ρ, ϕ, z), Hϕ = Hϕ (ρ, ϕ, z), Hz = Hz (ρ, ϕ, z).
Везде ниже множители cos ωt и sin ωt будем опускать.
Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе уравнений Максвелла
rot H = −iωεE,
rot E = iωμH,
(1)
условию непрерывности касательных составляющих компонент
поля на границе раздела сред (на границе волновода) и условию
излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при ρ → ∞.
Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается
диагональным тензором:
⎞
⎛
0
ερρ 0
εϕϕ 0 ⎠ ,
ε̃ = ⎝ 0
0
0
εzz
где ερρ , εϕϕ , εzz – постоянные величины.
182
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.
На рис. 1 схематически представлена геометрия задачи. Цилиндр неограниченно продолжается в направлении z.
z
ρ
ε1
μ1
ϕ
ε2
μ2 0
R
Рис. 1. Геометрия задачи
Выпишем систему (1) в развернутом виде:
⎧ 1 ∂E
∂Eϕ
z
⎪
⎨ ρ ∂ϕ − ∂z = iωμHρ ,
∂Eρ
∂Ez
∂z − ∂ρ = iωμHϕ ,
⎪
⎩ 1 ∂(ρEϕ ) 1 ∂Eρ
− ρ ∂ϕ = iωμHz .
ρ ∂ρ
(2)
Так как рассматривается структура с круговой симметрией, будем искать решения, периодические по координате ϕ, т.е.
решения вида
⎧ 1 ∂H
∂Hϕ
z
⎪
⎨ ρ ∂ϕ − ∂z = −iωερρ Eρ ,
∂Hρ
∂Hz
∂z − ∂ρ = −iωεϕϕ Eϕ ,
⎪
⎩ 1 ∂(ρHϕ ) 1 ∂Hρ
− ρ ∂ϕ = −iωεzz Ez ,
ρ ∂ρ
Eρ = Eρ (ρ, z)einϕ , Eϕ = Eϕ (ρ, z)einϕ , Ez = Ez (ρ, z)einϕ ,
Hρ = Hρ (ρ, z)einϕ , Hϕ = Hϕ (ρ, z)einϕ , Hz = Hz (ρ, z)einϕ ,
(3)
где n = 0, 1, 2, . . .
Учитывая формулы (3) из системы (2), получаем
⎧ in
∂Hϕ
⎪
⎨ ρ Hz − ∂z = −iωερρ Eρ ,
∂Hρ
∂Hz
∂z − ∂ρ = −iωεϕϕ Eϕ ,
⎪
⎩ 1 ∂(ρHϕ ) in
− ρ Hρ = −iωεzz Ez ,
ρ ∂ρ
⎧ in
∂Eϕ
⎪
⎨ ρ Ez − ∂z = iωμHρ ,
∂Eρ
∂Ez
∂z − ∂ρ = iωμHϕ ,
⎪
⎩ 1 ∂(ρEϕ ) in
− ρ Eρ = iωμHz .
ρ ∂ρ
(4)
Гл. 9. ТЕ- и ТМ-волны, направляемые цилиндр. волноводом
Положив n = 0, после группировки получаем из (4)
⎧ ∂Eϕ
⎧ ∂Hϕ
⎪
⎪
⎨ ∂z = −iωμHρ ,
⎨ ∂z = iωερρ Eρ ,
∂Eρ
∂Hρ
∂Ez
∂Hz
∂z − ∂ρ = iωμHϕ ,
∂z − ∂ρ = −iωεϕϕ Eϕ ,
⎪
⎪
⎩ 1 ∂(ρEϕ )
⎩ 1 ∂(ρHϕ )
= −iωεzz Ez ,
= iωμHz .
ρ ∂ρ
ρ ∂ρ
183
(5)
Таким образом, исходная система (1) распалась на две независимые друг от друга системы (5).
Система
⎧ ∂Hϕ
⎪
⎨ ∂z = iωερρ Eρ ,
∂Eρ
∂Ez
∂z − ∂ρ = iωμHϕ ,
⎪
⎩ 1 ∂(ρHϕ )
= −iωεzz Ez
ρ ∂ρ
возникает из системы (1), если поля E, H имеют вид
E = (Eρ , 0, Ez )T ,
H = (0, Hϕ , 0)T .
(6)
Причем здесь можно считать, что
Eρ = Eρ (ρ, ϕ, z), Ez = Ez (ρ, ϕ, z), Hϕ = Hϕ (ρ, ϕ, z);
после подстановки этих выражений в уравнения (1) получим,
что функции Eρ , Ez , Hϕ не зависят от ϕ.
Система
⎧ ∂Eϕ
⎪
⎨ ∂z = −iωμHρ ,
∂Hρ
∂Hz
∂z − ∂ρ = −iωεϕϕ Eϕ ,
⎪
⎩ 1 ∂(ρEϕ )
= iωμHz
ρ ∂ρ
возникает из системы (1), если поля E, H имеют вид
E = (0, Eϕ , 0)T ,
H = (Hρ , 0, Hz )T .
(7)
Причем здесь можно считать, что
Eϕ = Eϕ (ρ, ϕ, z), Hρ = Hρ (ρ, ϕ, z), Hz = Hz (ρ, ϕ, z);
после подстановки этих выражений в уравнения (1) получим,
что функции Eϕ , Hρ , Hz не зависят от ϕ.
184
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
Волны вида (6) называются ТМ-поляризованными электромагнитными волнами1 , или волнами электрического типа, или
волнами типа E.
Волны вида (7) называются ТE-поляризованными электромагнитными волнами 2 , или волнами магнитного типа, или волнами типа H.
Обсуждение вопроса о ТЕ- и ТМ-волнах в линейных и нелинейных структурах см. на с. 22, с очевидной заменой слоя на
цилиндрический волновод.
В случае, когда n = 0, уже не получается таких простых
типов волн, как мы только что рассмотрели (см., например, [23]).
В этом случае также существует две поляризации, а именно:
E = (Eρ , Eϕ , 0)T , H = (Hρ , Hϕ , Hz )T
(8)
E = (Eρ , Eϕ , Ez )T , H = (Hρ , Hϕ , 0)T .
(9)
и
Можно легко показать, что в нелинейных случаях, рассматриваемых в главах 11 и 13, не существует волн (нелинейных),
определяемых поляризациями (8) и (9). По этой причине в случае нелинейной среды в волноводе мы будем рассматривать поляризации, определяемые формулами (6) и (7).
1
2
от англ. transverse-magnetic.
от англ. transverse-electric.
Г Л А В А 10
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ТЕ-ВОЛН В ЛИНЕЙНОМ КРУГЛОМ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ
В этой главе изучается распространение электромагнитных
ТЕ-волн в круглом цилиндрическом волноводе с постоянной диэлектрической проницаемостью (так называемый линейный волновод). Несмотря на то, что эта задача является классической
в электродинамике, нам не удалось найти источник с изложением, подходящим для наших целей. Поэтому мы предпочли вывести все необходимые результаты здесь, тем более, что эти результаты часто используются в дальнейшем изложении.
§1. Уравнения Максвелла и постановка задачи
Пусть все трехмерное пространство R3 с декартовыми координатами Oxyz заполнено изотропной средой без источников
с постоянной диэлектрической проницаемостью ε1 ≥ ε0 , где ε0 –
диэлектрическая проницаемость вакуума. В эту среду помещен
цилиндрический диэлектрический волновод однородного заполнения с образующей
параллельной оси Oz и поперечным сече
нием W := x : x2 + y 2 < R2 . Рассмотрим электромагнитные
волны, распространяющиеся вдоль образующей волновода, т.е.
собственные волны структуры. Считаем, что всюду μ = μ0 –
магнитная проницаемость вакуума.
Введем цилиндрические координаты (ρ, ϕ, z) так, чтобы ось
Oz цилиндрических координат совпадала с осью Oz декартовых.
186
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:
Ẽ (ρ, ϕ, z, t) = E+ (ρ, ϕ, z) cos ωt + E− (ρ, ϕ, z) sin ωt,
H̃ (ρ, ϕ, z, t) = H+ (ρ, ϕ, z) cos ωt + H− (ρ, ϕ, z) sin ωt,
где ω – круговая частота; Ẽ, E+ , E− , H̃, H+ , H− – вещественные искомые функции.
Образуем комплексные амплитуды полей E и H:
E = E+ + iE− ,
H = H+ + iH− .
Везде ниже множители cos ωt и sin ωt будем опускать.
Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе уравнений Максвелла
rot H = −iωεE,
rot E = iωμH,
(1)
условию непрерывности касательных составляющих компонент
поля на границе раздела сред (на границе волновода) и условию
излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при ρ → ∞.
Диэлектрическая проницаемость внутри волновода является постоянной ε = ε2 .
Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.
§2. ТЕ-поляризованные электромагнитные волны
Рассмотрим ТЕ-поляризованные волны:
E = (0, Eϕ , 0)T ,
H = (Hρ , 0, Hz )T ,
где Eϕ = Eϕ (ρ, ϕ, z), Hρ = Hρ (ρ, ϕ, z), Hz = Hz (ρ, ϕ, z).
Гл. 10. ТЕ-волны в линейном круглом цилиндр. волноводе
187
Подставив поля E и H в уравнения Максвелла (1), учитывая, что мы работаем в цилиндрических координатах, получим
⎧ 1 ∂H
z
⎪
ρ ∂ϕ = 0,
⎪
⎪
⎪
∂H
ρ
∂Hz
⎪
⎪
⎨ ∂z − ∂ρ = −iωεEϕ ,
∂H
ρ
1
ρ ∂ϕ = 0,
⎪
⎪
∂Eϕ
⎪
⎪
⎪
∂z = −iωμHρ ,
⎪
⎩ 1 ∂(ρEϕ )
= iωμHz .
ρ ∂ρ
Из первого и третьего уравнений этой системы видно, что
Hz и Hρ не зависят от ϕ; поскольку Eϕ выражается через Hz и
Hρ , то Eϕ также не зависит от ϕ.
Волны, распространяющиеся вдоль образующей Oz волновода (а мы ищем именно их), гармонически зависят от z. Значит,
компоненты полей E, H имеют представление
Eϕ = Eϕ (ρ)eiγz , Hρ = Hρ (ρ)eiγz , Hz = Hz (ρ)eiγz .
Тогда рассмотренная выше система принимает вид
⎧
⎪
⎨iγHρ (ρ) − Hz (ρ) = −iωεEϕ (ρ),
iγEϕ (ρ) = −iωμHρ (ρ),
⎪
⎩1
ρ (ρEϕ (ρ)) = iωμHz (ρ),
(2)
∂·
; γ – неизвестный спектральный параметр (постогде ( · ) ≡ ∂ρ
янная распространения электромагнитной волны).
γ
1 1
Тогда Hz (ρ) = iωμ
ρ (ρEϕ (ρ)) и Hρ (ρ) = − ωμ Eϕ (ρ). Из первого уравнения системы (2) получаем
1
(ρEϕ (ρ))
ρ
+ ω 2 με − γ 2 Eϕ (ρ) = 0.
Обозначив u(ρ) = Eϕ (ρ), получаем
1
1
u + u − 2 u + ω 2 με − γ 2 u = 0,
ρ
ρ
(3)
188
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
где
ε=
ε1 , ρ > R,
ε2 , ρ < R.
Будем искать те действительные значения спектрального
параметра γ, для которых существует не равное тождественно
нулю действительное решение u(ρ) уравнения (3).
Замечание. Мы считаем γ действительным, хотя в линейном случае можно считать спектральный параметр комплексным числом. Однако в нелинейном случае при используемом
подходе уже не удается рассматривать комплексные γ.
Считаем, что функция u дифференцируема так, что
u(x) ∈ C[0, +∞) ∩ C 1 [0, R] ∩ C 1 [R, +∞) ∩
∩ C 2 (0, R) ∩ C 2 (R, +∞).
Считаем, что γ 2 > ε1 . Отметим, что последнее условие имеет
место только в случае, если ε1 > 0, если же ε1 < 0, то γ 2 > 0.
§3. Решение системы
дифференциальных уравнений
Пусть ρ > R, тогда имеем k = k1 . Из (3) получаем уравнение u + ρ1 u − ρ12 u + k12 u = 0, где k12 = ω 2 με1 − γ 2 . Это уравнение
(1)
Бесселя, его общее решение возьмем в виде u(ρ) = AH1 (k1 ρ) +
(2)
(1)
(2)
+A1 H1 (k1 ρ), где H1 и H1 – функции Ханкеля первого и второго рода соответственно. Учитывая условие на бесконечности,
получаем решение
(1)
(4)
u(ρ) = AH1 (k1 ρ),
где A – постоянная; если Re k1 = 0, то1
u(ρ) = −2π −1 AK1 (|k1 |ρ),
где K1 (z) – функция Макдональда.
1
(1)
Поскольку в этом случае H1 (iz) = −2π −1 K1 (z).
(5)
Гл. 10. ТЕ-волны в линейном круглом цилиндр. волноводе
189
Пусть ρ < R, тогда имеем ε = ε2 . Из (3) получаем уравнение
u + 1ρ u − ρ12 u + k22 u = 0, где k22 = ω 2 με2 . Это уравнение Бесселя,
его общее решение возьмем в виде u(ρ) = BJ1 (k2 ρ) + B1 N1 (k2 ρ),
где J1 и N1 – функции Бесселя и Неймана соответственно. Учитывая, что решение должно быть ограничено в нуле, получаем
u(ρ) = BJ1 (k2 ρ),
(6)
где B – постоянная; если Re k2 = 0, то1
u(ρ) = iBI1 (|k2 |ρ),
(7)
где I1 (z) – модифицированная функция Бесселя.
§4. Условия сопряжения
и дисперсионное уравнение
Как известно, касательные составляющие электромагнитного поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматриваемом случае касательными составляющими являются компоненты Eϕ и Hz . Из этого условия получаем
Eϕ (R + 0) = Eϕ (R − 0), Hz (R + 0) = Hz (R − 0),
где постоянная EϕR = u(R) = Eϕ (R + 0) считается известной.
1
1
(ρ) . Но так как E (ρ) и
E
(ρ)
+
E
Далее Hz (ρ) = iωμ
ϕ
ϕ
ϕ
ρ
Hz (ρ) непрерывны при ρ = R, то, значит, и Eϕ (ρ) непрерывна
при ρ = R. Из этих условий получаем условия сопряжения для
функций u(ρ) и u (ρ)
[u]ρ=R , [u ]ρ=R ,
(8)
где [f ]x=x0 = lim f (x) − lim f (x) обозначает скачок функx→x0 −0
x→x0 +0
ции на границе раздела сред.
1
Поскольку в этом случае J1 (iz) = iI1 (z).
190
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
Учитывая решения (4)–(7) и условия сопряжения (8), получаем дисперсионное уравнение
(1)
(1)
(9)
k1 H1 (k1 R) J1 (k2 R) − k2 H1 (k1 R)J1 (k2 R) = 0.
Используем формулы (см., например, [7])
1
J1 (z) = J0 (z) − J1 (z),
z
1 (1)
(1)
(1)
H1 (z) = H0 (z) − H1 (z).
z
С помощью приведенных формул преобразуем дисперсионное уравнение (9), окончательно получаем
(1)
(1)
k1 H0 (k1 R)J1 (k2 R) − k2 H1 (k1 R)J0 (k2 R) = 0.
(10)
Г Л А В А 11
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ТЕ-ВОЛН В КРУГЛОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ
ВОЛНОВОДЕ С КЕРРОВСКОЙ
НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
Здесь изучаются ТЕ-волны, распространяющиеся в диэлектрическом волноводе кругового сечения, заполненного средой
с керровской нелинейностью. Проблема сводится к нелинейному
интегральному уравнению с ядром в виде функции Грина для
уравнения Бесселя. Существование распространяющихся волн
доказывается с помощью принципа Шаудера и методом сжимающих отображений. Для численного решения задачи предложен итерационный алгоритм, доказана его сходимость. Доказано существование корней дисперсионного уравнения – постоянных распространения волновода. Получены условия, когда
могут распространяться несколько волн, указаны области локализации постоянных распространения.
Результаты главы опубликованы в работах [41–43, 76, 81].
§1. Уравнения Максвелла и постановка задачи
Пусть все трехмерное пространство R3 с декартовыми координатами Oxyz заполнено изотропной средой без источников
с постоянной диэлектрической проницаемостью ε1 ≥ ε0 , где ε0 –
диэлектрическая проницаемость вакуума. В эту среду помещен
192
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
цилиндрический диэлектрический волновод однородного заполнения с образующей
параллельной оси Oz и поперечным сече
нием W := x : x2 + y 2 < R2 . Рассмотрим электромагнитные
волны, распространяющиеся вдоль образующей волновода. Считаем, что всюду μ = μ0 – магнитная проницаемость вакуума.
Введем цилиндрические координаты (ρ, ϕ, z) так, чтобы ось
Oz цилиндрических координат совпадала с осью Oz декартовых.
Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:
Ẽ (ρ, ϕ, z, t) = E+ (ρ, ϕ, z) cos ωt + E− (ρ, ϕ, z) sin ωt,
H̃ (ρ, ϕ, z, t) = H+ (ρ, ϕ, z) cos ωt + H− (ρ, ϕ, z) sin ωt,
где ω – круговая частота; Ẽ, E+ , E− , H̃, H+ , H− – вещественные искомые функции.
Образуем комплексные амплитуды полей E и H:
E = E+ + iE− ,
H = H+ + iH− .
Везде ниже множители cos ωt и sin ωt будем опускать.
Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе уравнений Максвелла
rot H = −iωεE,
rot E = iωμH,
(1)
условию непрерывности касательных составляющих компонент
поля на границе раздела сред (на границе волновода) и условию
излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при ρ → ∞.
Диэлектрическая проницаемость внутри волновода описывается законом Керра:
ε = ε2 + a|E|2 ,
где ε2 – постоянная составляющая диэлектрической проницаемости; a – коэффициент нелинейности. Считаем, что ε2 и a –
вещественные постоянные.
Гл. 11. ТЕ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин.
193
Требуется отыскать поверхностные волны, распространяющиеся вдоль образующей волновода.
Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.
§2. ТЕ-поляризованные электромагнитные волны
Рассмотрим ТЕ-поляризованные волны:
E = (0, Eϕ , 0)T ,
H = (Hρ , 0, Hz )T ,
где Eϕ = Eϕ (ρ, ϕ, z), Hρ = Hρ (ρ, ϕ, z), Hz = Hz (ρ, ϕ, z).
Подставив поля E, H в уравнения Максвелла (1), получим
⎧ 1 ∂H
z
⎪
ρ ∂ϕ = 0,
⎪
⎪
⎪
∂Hρ
∂Hz
⎪
⎪
⎨ ∂z − ∂ρ = −iωεEϕ ,
1 ∂Hρ
ρ ∂ϕ = 0,
⎪
⎪
ϕ
⎪
⎪ ∂E
⎪
∂z = −iωμHρ ,
⎪
⎩ 1 ∂(ρEϕ )
= iωμHz .
ρ ∂ρ
Из первого и третьего уравнений этой системы видно, что
Hz и Hρ не зависят от ϕ; поскольку Eϕ выражается через Hz и
Hρ , то Eϕ также не зависит от ϕ.
Волны, распространяющиеся вдоль образующей Oz волновода (а мы ищем именно их), гармонически зависят от z. Значит,
компоненты полей E, H имеют представление
Eϕ = Eϕ (ρ)eiγz , Hρ = Hρ (ρ)eiγz , Hz = Hz (ρ)eiγz .
Тогда рассмотренная выше система принимает вид
⎧
⎪
⎨iγHρ (ρ) − Hz (ρ) = −iωεEϕ (ρ),
iγEϕ (ρ) = −iωμHρ (ρ),
⎪
⎩1
ρ (ρEϕ (ρ)) = iωμHz (ρ),
(2)
∂·
; γ – неизвестный спектральный параметр (постогде ( · ) ≡ ∂ρ
янная распространения электромагнитной волны).
194
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
γ
1 1
Тогда Hz (ρ) = iωμ
ρ (ρEϕ (ρ)) и Hρ (ρ) = − ωμ Eϕ (ρ). Из первого уравнения системы (2) получаем
1
(ρEϕ (ρ))
ρ
+ ω 2 με − γ 2 Eϕ (ρ) = 0.
Обозначив u(ρ) = Eϕ (ρ), получаем
1
1
u + u − 2 u + ω 2 με − γ 2 u = 0.
ρ
ρ
(3)
Будем искать те значения спектрального параметра γ (собственные значения), для которых существует действительное не
равное тождественно нулю решение u(ρ) уравнения (3). Полагаем γ действительным (так, что |E|2 не зависит от z) и считаем
ρ > R;
ε1 ,
ε=
2
ε2 + au , ρ < R.
(4)
Считаем, что функция u дифференцируема так, что
u(x) ∈ C[0, +∞) ∩ C 1 [0, R] ∩ C 1 [R, +∞) ∩
∩ C 2 (0, R) ∩ C 2 (R, +∞).
Считаем, что γ 2 > ε1 . Отметим, что последнее условие имеет
место только в случае, если ε1 > 0, если же ε1 < 0, то γ 2 > 0.
§3. Решение дифференциальных уравнений
и условия сопряжения
При ρ > R имеем ε = ε1 . Из (3) получаем уравнение
1
1
u + u − 2 u + k12 u = 0,
ρ
ρ
где k12 = ω 2 με1 − γ 2 . Это уравнение Бесселя.
(5)
Гл. 11. ТЕ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин.
195
При ρ < R имеем ε = ε2 + au2 . Из (3) получаем уравнение
1
1
u + u − 2 u + k22 u + αu3 = 0,
ρ
ρ
(6)
где k22 = ω 2 με2 , α = aω 2 μ. Это нелинейное уравнение и найти
его решение в явном виде не удалось.
Как известно, касательные составляющие электромагнитного поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматриваемом случае касательными составляющими являются компоненты Eϕ и Hz . Из этого условия получаем
Eϕ (R + 0) = Eϕ (R − 0), Hz (R + 0) = Hz (R − 0),
где постоянная EϕR = u(R) = Eϕ (R + 0) считается известной.
1
1
(ρ) . Но так как E (ρ) и
E
(ρ)
+
E
Далее Hz (ρ) = iωμ
ϕ
ϕ
ϕ
ρ
Hz (ρ) непрерывны при ρ = R, то, значит, и Eϕ (ρ) непрерывна
при ρ = R. Из этих условий получаем условия сопряжения для
функций u(ρ) и u (ρ):
[u]ρ=R = 0, [u ]ρ=R = 0,
(7)
где [f ]x=x0 = lim f (x) − lim f (x) обозначает скачок функx→x0 −0
x→x0 +0
ции на границе раздела сред.
Сформулируем теперь краевую задачу на собственные значения (задача P), к которой свелась исходная задача о распространяющихся поверхностных волнах цилиндрического волновода. Требуется отыскать собственные значения γ и соответствующие им не равные тождественно нулю собственные функции u(ρ)
такие, что u(ρ) удовлетворяет уравнениям (5), (6), условиям сопряжения (7) и условию излучения на бесконечности: функция
u(ρ) экспоненциально убывает при ρ → ∞.
Обратимся к уравнению (5), его общее решение1 возьмем
(1)
(2)
(1)
(2)
в виде u(ρ) = CH1 (k1 ρ) + C1 H1 (k1 ρ), где H1 и H1 – функции Ханкеля первого и второго рода соответственно.
1
Мы сначала сделали замену ρ̃ = k1 ρ, решили получившееся уравнение,
а потом в решении сделали обратную замену.
196
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
Учитывая условие излучения на бесконечности, получаем
решение
(1)
(8)
u(ρ) = C1 H1 (k1 ρ), ρ > R,
где C1 – постоянная; если Re k1 = 0, то1
2
u(ρ) = − C1 K1 (|k1 |ρ),
π
ρ > R,
(9)
где K1 (z) – функция Макдональда. Условие излучения на бесконечности выполняется, так как K1 (|k1 |ρ) → 0 при ρ → ∞.
Обозначив поле на границе волновода как u(R + 0) ≡ E0 , из
формул (8) и (9) получаем, что
u(ρ) = E0
и
u(ρ) = E0
(1)
H1 (k1 ρ)
(1)
H1 (k1 R)
K1 (|k1 |ρ)
.
K1 (|k1 |R)
(8∗ )
(9∗ )
§4. Нелинейное интегральное уравнение
и дисперсионное уравнение
Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение (6),
записанное в виде
1
2
u + αρu3 = 0,
(10)
ρu + u + k2 ρ −
ρ
и линейное уравнение Бесселя
1
2
u = 0.
ρu + u + k2 ρ −
ρ
(11)
Перепишем последнее уравнение в операторной форме:
d
1
d2
2
+ k2 ρ −
.
(12)
Lu = 0, L = ρ 2 +
dρ
dρ
ρ
1
(1)
Поскольку в этом случае H1 (iz) = − π2 K1 (z).
Гл. 11. ТЕ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин.
197
Рассмотрим краевую задачу для уравнения (11) с условиями
(7). Построим функцию Грина G для этой краевой задачи
LG = −δ (ρ − s) ,
G |ρ=0 = G |ρ=R = 0
(0 < s < R)
(13)
в виде1 (см., например, [22])
G(ρ, s) =
⎧
1 (k2 R)N1 (k2 s)
⎨ π J1 (k2 ρ) J1 (k2 s)N1 (k2 R)−J
, ρ < s ≤ R,
2
J1 (k2 R)
= π
(k R)−J (k R)N (k ρ)
J
(k
ρ)N
1
2
2
2
1
2
1
1
⎩ J1 (k2 s)
, s < ρ ≤ R.
2
J (k2 R)
(14)
1
Функция Грина существует при таких значениях параметров, что J1 (k2 R) = 0.
Запишем уравнение (10) в операторном виде:
Lu + αρu3 = 0.
(15)
Используя вторую формулу Грина
R
R (vLu − uLv)dρ =
v ρu − u ρv dρ =
0
0
= R u (R)v(R) − v (R)u(R) (16)
и полагая v = G, получаем
R
(GLu − uLG)dρ = R u (R − 0)G(R, s) − G (R, s)u(R − 0) =
0
= Ru (R − 0)G(R, s), (17)
так как из (14) видно, что G (R, s) = 0.
1
В качестве линейно независимых решений уравнения Lu = 0, удовлетворяющих условиям u|ρ=0 = u |ρ=R = 0, мы взяли u1 = J1 (k2 ρ) и
u2 = N1 (k2 R)J1 (k2 ρ) − J1 (k2 R)N1 (k2 ρ).
198
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
Из (13) получаем, что
R
R
uLGdρ = −
0
u(ρ)δ(ρ − s)dρ = −u(s).
0
Далее, используя формулу (15), получаем, что
R
R
GLudρ = −α
0
G(ρ, s)ρu3 (ρ)dρ.
0
Теперь, применяя только что полученные результаты и формулу (17), получаем нелинейное интегральное уравнение относительно u(s) (u(ρ) – решение уравнения (6)) на интервале (0, R):
R
u(s) = α
G(ρ, s)ρu3 (ρ)dρ + Ru (R − 0)G(R, s),
0 ≤ s ≤ R.
0
(18)
Используя свойства функций Бесселя и Неймана (точнее,
определителя Вронского от этих функций), легко видеть, что
(k2 s)
. Учитывая последний результат и условия
G(R, s) = k21R JJ1(k
1 2 R)
сопряжения (7) из уравнения (18), мы получаем
R
u(s) = α
G(ρ, s)ρu3 (ρ)dρ + u (R + 0)
0
1 J1 (k2 s)
,
k2 J1 (k2 R)
0 ≤ s ≤ R. (19)
K (|k |R)J (k s)
Используя (9∗ ) и обозначив f (s) = E0 |kk12 | K11(|k11|R)J 1(k22R) , мы
1
можем переписать уравнение (19) в окончательной форме
R
u(s) = α
0
G(ρ, s)ρu3 (ρ)dρ + f (s),
0 ≤ s ≤ R.
(20)
Гл. 11. ТЕ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин.
199
Используя уравнение (20) и условия сопряжения (7), получим дисперсионное уравнение для постоянных распространения:
R
u(R + 0) = α
G(ρ, R)ρu3 (ρ)dρ + f (R),
0
применяя формулу (9∗ ), получим дисперсионное уравнение в такой форме:
R
E0 = α
G(ρ, R)ρu3 (ρ)dρ + f (R).
(21)
0
Положим N (ρ, s) = αG(ρ, s)ρ и рассмотрим интегральное
уравнение (20) на интервале C[0, R] [48]:
R
u(s) =
N (ρ, s)u3 (ρ)dρ + f (s).
(22)
0
Предполагается, что f ∈ C[0, R] и J1 (k2 R) = 0. Нетрудно видеть, что ядро N (ρ, s) является непрерывной функцией
в квадрате 0 ≤ ρ, s ≤ R.
Рассмотрим в C[0, R] линейный интегральный оператор
R
N (ρ, s)ω(ρ)dρ.
Nω =
(23)
0
Он ограничен, вполне непрерывен и
R
|N (ρ, s)|dρ.
N = max
s∈[0,R]
0
(24)
200
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
Поскольку нелинейный оператор B(u) = u3 (ρ) ограничен и
непрерывен в C[0, R], то нелинейный оператор
R
F (u) =
N (ρ, s)u3 (ρ)dρ + f (s)
(25)
0
является вполне непрерывным оператором на каждом ограниченном в C[0, R] множестве.
В последующих рассуждениях нам понадобится следующее
вспомогательное числовое кубическое уравнение:
N r 3 + f = r,
(26)
где норма оператора N > 0 определяется формулой (24), а
f = max |f (s)|.
(27)
s∈[0,R]
Рассмотрим уравнение
и функцию
r − N r 3 = f (28)
y(r) := r − N r 3 .
(29)
Функция y(r) имеет только одну положительную точку максимума:
1
,
(30)
rmax = 3 N значение функции y в этой точке равно
2
.
ymax = y (rmax ) = 3 3 N Тогда при условии 0 ≤ f ≤ √ 2
два неотрицательных корня r∗ и
творяющих неравенствам
0 ≤ r∗ ≤ 1
3 N ;
r∗
3
3N (31)
уравнение (28) имеет
таких, что r∗ ≤ r ∗ , и удовле-
1
3 N ≤ r∗ ≤ 1
N .
(32)
Гл. 11. ТЕ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин.
201
Эти корни легко выписать как решения кубического уравнения:
f 1
r+
= 0.
(33)
r3 − N N Имеем
⎛
⎞
2π
2
⎠,
cos ⎝
−
r∗ = − 3
3
3 N √
⎛
⎞
3 3
arccos
f
N
2
2π ⎠
2
cos ⎝
+
.
r∗ = − 3
3
3 N arccos
√
3 3
2
f Если f = 0, то r∗ = 0 и r ∗ = √ 1
то r∗ < √
1
.
3N При f = 23 √
1
3N N N (34)
(35)
; если 0 < f < √ 2
имеем r∗ = r ∗ = √
3
1
.
3N 3N ,
Итак, доказано следующее утверждение.
Лемма 1. Если выполняется неравенство
2
,
0 ≤ f < 3 3 N (36)
то уравнение (26) имеет два неотрицательных решения r∗ и
r ∗ , причем r∗ < r ∗ .
Используя принцип Шаудера [48, 86], можно доказать, что
для каждого f ∈ Sr̃ (0) ⊂ C[0, R], где r̃ = √ 2 , существует
3
3N решение u(ρ) уравнения (20) внутри шара S ∗ = Sr∗ (0).
Лемма 2. Если f ≤ √ 2 , то уравнение (20) имеет
3
3N по крайней мере одно решение u(ρ) такое, что u ≤ r ∗ .
Доказательство. Так как F (u) абсолютно непрерывен, то
необходимо только проверить, что F переводит шар в себя. Предположим, что u ∈ S ∗ . Используя (23)–(25), получаем
F (u) ≤ N · u3 + f ≤ N (r ∗ )3 + f = r ∗ .
Это означает, что F S ∗ ⊂ S ∗ . Лемма доказана.
202
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
Теперь докажем, что если выполняется условие (28), то (20)
имеет единственное решение u в шаре S∗ = Sr∗ .
Теорема 1. Если α ≤ A2 , где
A=
1
2
3 f 3 N0 (37)
и
R
N0 = max
s∈[0,R]
|ρG(ρ, s)| dρ,
0
то уравнение (20) имеет единственное решение u, являющееся непрерывной функцией: u ∈ C[0, R] и u ≤ r∗ .
Доказательство. Если u ∈ S∗ , то
F (u) ≤ N · u3 + f ≤ N (r∗ )3 + f = r∗ .
Если u1 , u2 ∈ S∗ , то
! R
!
!
!
!
!
3
3
!
F (u1 ) − F (u2 ) = ! N (ρ, s) u1 (ρ) − u2 (ρ) dρ!
!≤
!
!
0
≤ 3 N r∗2 u1 − u2 .
Так как α ≤ A2 , то f (s) удовлетворяет условию (36). Поэтому выполняется неравенство r∗ < √ 1 , откуда 3 N r∗2 < 1.
3N Следовательно, F отображает S∗ в себя и является сжимающим оператором на S∗ . Поэтому уравнение (20) имеет единственное решение в S∗ . Теорема доказана.
Отметим, что A > 0 и не зависит от α.
В дальнейшем нам понадобится утверждение о зависимости
решений интегрального уравнения (20) от параметра.
Гл. 11. ТЕ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин.
203
Теорема 2. Пусть ядро N и правая часть f интегрального уравнения (20) непрерывно зависят от параметра λ ∈ Λ0 ,
N (λ, ρ, s) ⊂ C (Λ0 × [0, R] × [0, R]), f (λ, s) ⊂ C (Λ0 × [0, R]) на
некотором отрезке Λ0 вещественной числовой оси. Пусть
также
2
.
(38)
0 < f (λ) < 3 3 N (λ)
Тогда решения u(λ, ρ) уравнения (20) при λ ∈ Λ0 существуют, единственны и непрерывно зависят от параметра λ,
u(λ, ρ) ⊂ C (Λ0 × [0, R]).
Доказательство. Рассмотрим уравнение
R
u(s, λ) =
N (λ, ρ, s)u3 (ρ, λ)dρ + f (s, λ).
(39)
0
Существование и единственность решений u (λ) при условиях теоремы 2 следует из теоремы 1.
Докажем непрерывную зависимость этих решений от параметра λ.
Нетрудно видеть из формулы (34), что r∗ (λ) непрерывно зависит от λ на отрезке Λ0 . Пусть r0 = max r∗ (λ), и максимум
λ∈Λ0
достигается в точке λ0 , r∗ (λ)
= r0 .
Далее пусть Q = max 3r∗2 (λ) N (λ) , и максимум достигаλ∈Λ0
!
!
!
!
ется в точке λ̃ ∈ Λ0 , Q = 3r∗2 (λ̃) !N (λ̃)!. Тогда Q < 1 в силу
условия (38) теоремы 2.
Предположим сначала, что u(λ) ≥ u(λ + Δλ). Тогда
имеют место следующие оценки:
|u(s, λ + Δλ) − u(s, λ)| =
R
= N (λ + Δλ, ρ, s)u3 (ρ, λ + Δλ)dρ−
0
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
204
R
−
0
3
N (λ, ρ, s)u (ρ, λ)dρ + (f (s, λ + Δλ) − f (s, λ)) ≤
R
≤
|N (λ + Δλ, ρ, s) − N (λ, ρ, s)| · |u(ρ, λ + Δλ)|3 dρ+
0
R
+
|N (λ, ρ, s)| · u3 (ρ, λ + Δλ) − u3 (ρ, λ) dρ+
0
+ |f (s, λ + Δλ) − f (s, λ)| ≤
3
R
|N (λ + Δλ, ρ, s) − N (λ, ρ, s)| dρ+
≤ u(λ + Δλ)
0
+ u(λ + Δλ) − u(λ) ×
× u(λ + Δλ)2 + u(λ + Δλ) · u(λ) + u(λ)2 ×
R
|N (λ, ρ, s)| dρ + f (λ + Δλ) − f (λ) ≤
×
0
≤ r03 N (λ + Δλ) − N (λ) +
+ u(λ + Δλ) − u(λ) 3r∗2 (λ) N (λ) + f (λ + Δλ) − f (λ) .
Отсюда получаем, что
u(λ + Δλ) − u(λ) ≤
≤
и
r03 N (λ + Δλ) − N (λ) + f (λ + Δλ) − f (λ)
,
1 − 3r∗2 (λ) N (λ)
Гл. 11. ТЕ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин.
205
u(λ + Δλ) − u(λ) ≤
≤
r03 N (λ + Δλ) − N (λ) + f (λ + Δλ) − f (λ)
, (40)
1−Q
где Q и r0 не зависят от λ.
Пусть теперь u(λ) < u(λ + Δλ). Тогда все предыдущие
оценки остаются в силе, если заменить аргументы λ на λ + Δλ, а
λ + Δλ на λ. Таким образом, оценка (40) также остается в силе,
откуда следует утверждение теоремы. Теорема доказана.
§5. Итерационный метод
Приближенные решения un интегрального уравнения (20),
представимого в виде u = F (u), могут быть определены итерационным процессом un+1 = F (un ), n = 0, 1, ...,
R
u0 = 0, un+1 = α
G(ρ, s)ρu3n dp + f, n = 0, 1, ...
(41)
0
Последовательность un равномерно сходится к решению u
уравнения (20) вследствие того, что F (u) – сжимающий оператор. Известна также оценка для скорости сходимости итерационного алгоритма (41). Сформулируем эти результаты в виде
следующего утверждения.
Утверждение 1. Последовательность приближенных решений un уравнения (20), определяемых посредством итерационного алгоритма (41), существует и сходится в норме
пространства C[0, R] к (единственному) точному решению
u этого уравнения, и верна оценка скорости сходимости:
un − u ≤
qn
f (u0 ), n → ∞,
1−q
где q := 3N r∗2 < 1 – коэффициент сжатия отображения F .
(42)
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
206
§6. Существование решений
дисперсионного уравнения
Введем безразмерные переменные и постоянные: ρ̃ = k0 ρ,
ε̃2 − γ̃ 2 ,
z̃ = k
0 z, R̃ = k0 R, ε̃ = ε/ε0 , μ̃ = μ/μ0 = 1, k̃2 =
2
2
k1 = γ̃ − ε2 (ε̃2 > ε̃1 ), γ̃ = γ/k0 , k0 = ω̃ ε0 μ̃0 . Опуская тильду
и используя формулы
J1 (k2 R) = J0 (k2 R) − (k2 R)−1 J1 (k2 R),
K1 (|k1 |R) = −K0 (|k1 |R) − (k1 R)−1 K1 (|k1 |R),
дисперсионное уравнение (21) можно представить в нормализованной форме:
(43)
g(R, γ 2 ) = αF (R, γ 2 ; u3 ),
где
g(R, γ 2 ) = k2 RJ0 (k2 R)K1 (|k1 |R) + |k1 |RJ1 (k2 R)K0 (|k1 |R),
K1 (|k1 |R)
F (R, γ ; u ) =
E0
2
3
R
J1 (k2 R)ρu3 (ρ, γ 2 )dρ.
0
Нули функции Φ(γ) ≡ g(γ) − αF (γ) – это значения γ, для
которых существует нетривиальное решение задачи P , сформулированной ранее. Следующее утверждение дает достаточные
условия существования нулей функции Φ.
Пусть j0m – m-й положительный корень функции Бесселя
–
J0 ; j1m – m-й положительный корень функции Бесселя J1 ; j1m
m-й положительный корень функции Бесселя J1 ; где m = 1, 2, ...
Мы имеем
j11
j12
j13
j14
= 1.841, ...,
= 5.331, ...,
= 8.536, ...,
= 11.706, ...,
j01
j02
j03
j04
= 2.405, ...,
= 5.520, ...,
= 8.654, ...,
= 11.792, ...,
j11
j12
j13
j14
= 3.832, ...,
= 7.016, ...,
= 10.173, ...,
= 13.324, ...
Гл. 11. ТЕ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин.
207
Введем обозначения
2
/R2 ;
λ1m = ε2 − j1m
2
λ2m = ε2 − j0m
/R2 ,
и
Λi = [λ1i , λ2i ] , Λ =
m
"
m = 1, 2, . . . ;
Λi .
i=1
Теорема 3. Пусть ε1 , ε2 , α – три числа, удовлетворяющие
условиям ε2 > ε1 > 0, 0 < α ≤ α0 , где
⎛
⎞
⎜
⎜
α0 = min ⎜min A(λ),
⎝ λ∈Λ
min
|g(λli )| ⎟
⎟
3 ⎟ ,
⎠
0.3 · R2 max r∗ (λ)
1≤l≤2, 1≤i≤m
(44)
λ∈Λ
и выполняются условия
(45)
λ1m > ε1
при m ≥ 1. Тогда существует по крайней мере m значений
γi , i = 1, m таких, что задача P имеет ненулевое решение.
Доказательство. Пусть λ = γ 2 и u ≤ r∗ = r∗ (λ).
∈
/ Λ для i = 1, 2, 3, 4, то функция Грина (14) суТак как j1i
ществует для γ 2 ∈ Λ. Из формулы (37) и свойств функции Грина
следует, что A2 = A2 (λ) – непрерывная относительно λ функция на промежутке Λ, λ ∈ Λ. Пусть A20 = min A2 (λ) и α ≤ A20 .
λ∈Λ
Согласно теореме 1 существует единственное решение u = u(λ)
уравнения (15) для каждого λ ∈ Λ, причем это решение – непрерывная функция, u ≤ r∗ = r∗ (λ). Пусть r0 = max r∗ (λ). Так
λ∈Λ
как |J1 (x)| ≤ 0.6 при неотрицательных x, то, используя простейшую оценку интеграла F (λ), мы получаем, что |F (λ)| ≤ 0.3·R2 r03 .
Согласно свойствам функций Макдональда K0 (x) и K1 (x) –
положительны при положительных x. Функция g(λ) непрерывна
относительно λ, g(λ1i ), g(λ2i ) < 0, i = 1, ..., m. Таким образом,
g(λ) = 0 имеет корень λ0i на интервале Λi , λ1i < λ0i < λ2i .
208
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
Обозначим M1 = min |g(λ1i )|, M2 = min |g(λ2i )|, далее
1≤i≤m
1≤i≤m
пусть M = min{M1 , M2 }; M > 0 не зависит от α.
M
Если α ≤ 0.3·R
2 r 3 , то
0
(g (λ1i ) − αF (λ1i )) (g (λ2i ) − αF (λ2i )) < 0.
Так как g(λ)−αF (λ) – тоже непрерывная функция, то уравнение g(λ) − αF (λ) = 0 имеет корень λi на интервале Λi , т.е.
λ1i < λi #< λ2i . Мы $можем выбрать α0 таким образом, что
M
α0 = min A20 , 0.3·R
2 r 3 . Теорема доказана.
0
Из теоремы 3 следует, что при условиях, сформулированных выше, существуют осесимметричные распространяющиеся
ТЕ-поляризованные волны без затухания в цилиндрических
диэлектрических волноводах кругового сечения, заполненных
немагнитной, изотропной средой с нелинейностью, выраженной
законом Керра. Этот результат обобщает известное соответствующее утверждение для диэлектрических волноводов круглого
сечения с заполнением линейной средой (при α = 0).
§7. Численный метод
Для численного решения задачи предложим метод отыскания приближенных решений. На практике, как правило, интересуются постоянными распространения волноведущей структуры, т.е. такими (собственными) значениями γ (или, соответственно, λ), при которых существуют нетривиальные решения
краевой задачи P . Ответ на вопрос о существовании и локализации собственных значений γ дает теорема 3. Рассмотрим метод
приближенного определения таких γ.
Пусть собственные значения γ ищутся на отрезке [A1 , A2 ]
(выбор которого может быть сделан с помощью результатов теоремы 3 или исходя из практических соображений). Введем на
этом отрезке сетку с узлами γ (j) , причем A1 + j(A2 − A1 )/N ,
j = 0, ..., N , где N удовлетворяет условию A2 − A1 < N δ,
если собственное значение γ требуется найти с точностью δ. Вычисляем значения функции Φ в узлах γ (j) , причем при каждом
Гл. 11. ТЕ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин.
209
γ (j) решаем интегральное уравнение (20) с помощью итерационного алгоритма (41) с требуемой точностью. Далее
определяем
перемену знака в последовательности чисел Φ γ (j) . Если для
некоторого j выполняется неравенство Φ γ (j) Φ γ (j+1) < 0, то
приближенно полагаем γ = γ (j) + γ (j+1) /2.
Г Л А В А 12
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ТМ-ВОЛН В ЛИНЕЙНОМ КРУГЛОМ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ
В этой главе изучается распространение электромагнитных
ТМ-волн в круглом цилиндрическом волноводе с постоянной диэлектрической проницаемостью (так называемый линейный волновод). Несмотря на то, что эта задача является классической
в электродинамике и рассматривается во многих книгах, нам не
удалось найти источник с изложением, подходящим для наших
целей. Поэтому мы предпочли вывести все необходимые результаты здесь, тем более, что эти результаты часто используются
в дальнейшем изложении.
§1. Уравнения Максвелла и постановка задачи
Пусть все трехмерное пространство R3 с декартовыми координатами Oxyz заполнено изотропной средой без источников
с постоянной диэлектрической проницаемостью ε = ε1 ε0 ≥ ε0 ,
где ε0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. В эту среду помещен цилиндрический диэлектрический волновод однородного заполнения с образующей
параллельной оси Oz и попе
2
2
речным сечением W := x : x + y < R2 . Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся вдоль образующей волновода, т.е. собственные волны структуры. Считаем, что всюду
μ = μ0 – магнитная проницаемость вакуума.
Гл. 12. ТМ-волны в линейном круглом цилиндр. волноводе
211
Введем цилиндрические координаты (ρ, ϕ, z) так, чтобы ось
Oz цилиндрических координат совпадала с осью Oz декартовых.
Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:
Ẽ (ρ, ϕ, z, t) = E+ (ρ, ϕ, z) cos ωt + E− (ρ, ϕ, z) sin ωt,
H̃ (ρ, ϕ, z, t) = H+ (ρ, ϕ, z) cos ωt + H− (ρ, ϕ, z) sin ωt,
где ω – круговая частота; Ẽ, E+ , E− , H̃, H+ , H− – вещественные искомые функции.
Образуем комплексные амплитуды полей E и H:
E = E+ + iE− ,
H = H+ + iH− .
Везде ниже множители cos ωt и sin ωt будем опускать.
Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе уравнений Максвелла
rot H = −iωεE,
rot E = iωμH,
(1)
условию непрерывности касательных составляющих компонент
поля на границе раздела сред (на границе волновода) и условию
излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при ρ → ∞.
Диэлектрическая проницаемость внутри волновода описывается диагональным тензором:
⎞
⎛
0
ερρ 0
ε̃ = ⎝ 0 εϕϕ 0 ⎠ ,
0
0 εzz
где ερρ , εzz – постоянные величины. Какой вид имеет εϕϕ , не имеет значения, поскольку при рассмотрении ТМ-поляризованных
волн εϕϕ не содержится в рассматриваемых ниже уравнениях.
Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.
212
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
§2. ТМ-поляризованные электромагнитные волны
Рассмотрим ТМ-поляризованные волны:
E = (Eρ , 0, Ez )T ,
H = (0, Hϕ , 0)T ,
где Eρ = Eρ (ρ, ϕ, z), Ez = Ez (ρ, ϕ, z), Hϕ = Hϕ (ρ, ϕ, z).
Подставив поля E и H в уравнения Максвелла (1), учитывая, что мы работаем в цилиндрических координатах, получим
⎧ ∂Hϕ
⎪
∂z = iωερρ Eρ ,
⎪
⎪
⎪ 1 ∂(ρHϕ )
⎪
⎪
⎨ ρ ∂ρ = −iωεzz Ez ,
1 ∂Ez
ρ ∂ϕ = 0,
⎪
⎪
⎪ ∂Eρ − ∂Ez = iωμHϕ ,
⎪
⎪
∂z
∂ρ
⎪
⎩ 1 ∂Eρ
ρ ∂ϕ = 0.
Из третьего и пятого уравнений этой системы видно, что Ez
и Eρ не зависят от ϕ; поскольку Hϕ выражается через Ez и Eρ ,
то Hϕ также не зависит от ϕ.
Волны, распространяющиеся вдоль образующей Oz волновода (а мы ищем именно их), гармонически зависят от z. Значит,
компоненты полей E, H имеют представление
Eρ = Eρ (ρ)eiγz , Ez = Ez (ρ)eiγz , Hϕ = Hϕ (ρ)eiγz .
Тогда рассмотренная выше система принимает вид
⎧
⎪
⎨γHϕ = ωερρ Eρ ,
1
ρ (ρHϕ ) = −iωεzz Ez ,
⎪
⎩
iγEρ − Ez = iωμHϕ ,
(2)
∂·
; γ – неизвестный спектральный параметр (постогде ( · ) ≡ ∂ρ
янная распространения электромагнитной волны).
Используя третье уравнение системы (2), легко находим, что
1
(iγEρ (ρ) − Ez (ρ)). Используя это, получаем из сиHϕ (ρ) = iωμ
стемы (2)
γ
ωμ (γEρ (ρ) + (iEz ) (ρ)) = ωερρ Eρ (ρ),
1 1
ωμ ρ
(γρEρ (ρ) + ρ(iEz ) (ρ)) = −ωεzz (iEz ).
Гл. 12. ТМ-волны в линейном круглом цилиндр. волноводе
213
Удобно считать, что ερρ = ε0 ερ и εzz = ε0 εz , где ε0 – диэлектрическая проницаемость вакуума.
Обозначив u1 (ρ) := Eρ (ρ), u2 (ρ) := iEz (ρ) и k02 := ω 2 με0 , из
последней системы получаем (мы будем опускать обозначение
независимой переменной, когда это не будет вызывать двусмысленности)
γ 2 u1 + γu2 = k02 ερ u1 ,
γ
1
2
ρ (ρu1 ) + ρ (ρu2 ) = −k0 εz u2 .
Из первого уравнения находим, что u1 = k2 εργ−γ 2 u2 . Тогда
0
из второго уравнения получаем ρ1 (ρu2 ) + εεzρ k02 ερ − γ 2 u2 = 0.
Таким образом, окончательно получаем, что внутри волновода функции u1 и u2 определяются из системы
u1 =
γ kρ2 u2 ,
εz 2
1
ρ (ρu2 ) + ερ kρ u2
= 0,
(3)
где kρ2 = k02 ερ − γ 2 .
Очевидно, что вне волновода функции u1 и u2 определяются
из системы (3), в которой εz = ερ = ε1
u1 = − kγ2 u2 ,
1
ρ
1
(ρu2 ) − k12 u2 = 0,
(4)
где k12 = γ 2 − k02 ε1 .
Вторые уравнения систем (3) и (4) являются уравнениями
Бесселя.
Будем искать те действительные значения спектрального
параметра γ, для которых существуют действительные решения
u1 (ρ) и u2 (ρ) систем уравнений (3) и (4).
Замечание. Мы считаем γ действительным, хотя в линейном случае можно считать спектральный параметр комплексным числом. Однако в нелинейном случае при используемом
подходе уже не удается рассматривать комплексные γ.
214
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
Считаем, что функции u1 и u2 дифференцируемы так, что
u1 (x) ∈ C[0, R] ∩ C [R , +∞) ∩ C 1 [0, R] ∩ C 1 [R, +∞) ,
u2 (x) ∈ C [0 , +∞) ∩ C 1 [0, R] ∩ C 1 [R, +∞) ∩
∩ C 2 (0, R) ∩ C 2 (R, +∞).
Считаем, что γ 2 > ε1 . Отметим, что последнее условие имеет
место только в случае, если ε1 > 0, если же ε1 < 0, то γ 2 > 0.
§3. Решение системы
дифференциальных уравнений
При ρ < R решения системы (3) запишем в виде1 [36]
√ √ √ βρ + C2 N0
βρ ,
u1 (ρ) = kγ2 β C1 J0
ρ
√ √ βρ + C2 N0
βρ ,
u2 (ρ) = C1 J0
где β = εεzρ kρ2 .
Функции J0 и N0 – функции Бесселя и Неймана нулевых
порядков соответственно. Функция Неймана N0 (ρ) имеет особенность при ρ = 0. С другой стороны, ясно, что амплитуда поля
в центре волновода остается конечной. Учитывая сказанное и
формулу J0 (z) = −J1 (z) [25], получаем
√ √
βρ ,
u1 (ρ) = − kγ2 βC1 J1
ρ
(5)
√ βρ ,
u2 (ρ) = C1 J0
где β = εεzρ kρ2 .
При ρ > R решения системы (4) запишем в виде [36]
u1 (ρ) = − kγ1 (C3 I0 (k1 ρ) + C4 K0 (k1 ρ)) ,
u2 (ρ) = C3 I0 (k1 ρ) + C4 K0 (k1 ρ).
Функции I0 и K0 – функции Бесселя мнимого аргумента
(модифицированные функции Бесселя). Функция I0 (ρ) стремится к бесконечности при ρ → +∞, а функция K0 (ρ) стремится к
1
При решении уравнения
1
(ρu )
ρ
+ βu = 0 мы сделали замену ρ =
√t .
β
Гл. 12. ТМ-волны в линейном круглом цилиндр. волноводе
215
нулю при ρ → +∞. Учитывая то, что K0 (z) = −K1 (z) [25], получаем
u1 (ρ) = kγ1 C4 K1 (k1 ρ),
(6)
u2 (ρ) = C4 K0 (k1 ρ).
§4. Условия сопряжения
и дисперсионное уравнение
Как известно, касательные составляющие электромагнитного поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматриваемом случае касательными составляющими являются компоненты Ez и Hϕ . Из этого условия получаем
Ez (R + 0) = Ez (R − 0), Hϕ (R + 0) = Hϕ (R − 0),
где постоянная EzR = u2 (R) = Ez (R + 0) считается известной.
Известно, что нормальные составляющие электромагнитного поля на границе раздела сред испытывают разрыв первого рода. Здесь нормальной компонентой является Eρ . Также известно, что величина εEρ на границе раздела сред остается непрерывной. Из всего сказанного получаем условия сопряжения для
функций u1 , u2 :
[ε̃u1 ]ρ=R = 0, [u2 ]ρ=R = 0,
где [f ]x=x0 =
lim f (x) −
x→x0 −0
(7)
lim f (x) обозначает скачок функ-
x→x0 +0
ции на границе раздела сред, ε̃ = ε1 при ρ > R, ε̃ = εz при
ρ < R.
Учитывая решения (5), (6) и условия сопряжения (7), получаем дисперсионное уравнение:
βR K0 (k1 R) + ε1 βJ0
βR K1 (k1 R) = 0, (8)
εz k1 J1
где β = εεzρ kρ2 , kρ2 = k02 ερ − γ 2 , k12 = γ 2 − k02 ε1 и k02 = ω 2 με0 .
Необходимо отметить, что уравнение (8) может быть применено и для изучения метаматериалов.
216
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
В случае изотропного волновода, т.е. когда ερ = εz = ε2 и
kρ2 = k22 = k02 ε2 − γ 2 , получаем известное (см., например, [83])
дисперсионное уравнение
ε2 k1 J1 (k2 R) K0 (k1 R) + ε1 k2 J0 (k2 R) K1 (k1 R) = 0.
(9)
Г Л А В А 13
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ТМ-ВОЛН В КРУГЛОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ
ВОЛНОВОДЕ С КЕРРОВСКОЙ
НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
В этой главе изучаются ТМ-волны, распространяющиеся
в диэлектрическом волноводе кругового сечения, заполненного
средой с нелинейностью, выраженной законом Керра. Проблема сводится к нелинейной задаче на собственные значения для
нелинейной интегральной оператор-функции. Для решения используется метод сжимающих отображений. Строится итерационный алгоритм, с помощью которого определяются значения
собственных функций и спектрального параметра.
Результаты главы опубликованы в [45–47, 50].
§1. Уравнения Максвелла и постановка задачи
Пусть все трехмерное пространство R3 с декартовыми координатами Oxyz заполнено изотропной средой без источников
с постоянной диэлектрической проницаемостью ε = ε0 ε1 ≥ ε0 ,
где ε0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. В эту среду
помещен цилиндрический диэлектрический волновод однородного заполнения с образующей
параллельной оси Oz и попереч
2
2
ным сечением W := x : x + y < R2 . Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся вдоль образующей волновода. Считаем, что всюду μ = μ0 – магнитная проницаемость
вакуума.
218
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
Введем цилиндрические координаты (ρ, ϕ, z) так, чтобы ось
Oz цилиндрических координат совпадала с осью Oz декартовых.
Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:
Ẽ (ρ, ϕ, z, t) = E+ (ρ, ϕ, z) cos ωt + E− (ρ, ϕ, z) sin ωt,
H̃ (ρ, ϕ, z, t) = H+ (ρ, ϕ, z) cos ωt + H− (ρ, ϕ, z) sin ωt,
где ω – круговая частота; Ẽ, E+ , E− , H̃, H+ , H− – вещественные искомые функции.
Образуем комплексные амплитуды полей E и H:
E = E+ + iE− ,
H = H+ + iH− .
Везде ниже множители cos ωt и sin ωt будем опускать.
Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе уравнений Максвелла
rot H = −iωεE,
rot E = iωμH,
(1)
условию непрерывности касательных составляющих компонент
поля на границе раздела сред (на границе волновода) и условию
излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при ρ → ∞.
Диэлектрическая проницаемость внутри волновода описывается законом Керра:
ε = ε0 ε2 + α|E|2 ,
где ε2 – постоянная составляющая диэлектрической проницаемости; α – коэффициент нелинейности. Считаем, что ε2 и α –
вещественные постоянные.
Требуется отыскать поверхностные волны, распространяющиеся вдоль образующей волновода, т.е. собственные волны рассматриваемой структуры.
Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.
Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин.
219
§2. ТМ-поляризованные электромагнитные волны
Рассмотрим ТМ-поляризованные волны:
E = (Eρ , 0, Ez )T ,
H = (0, Hϕ , 0)T ,
где Eρ = E( ρ, ϕ, z), Ez = Ez (ρ, ϕ, z), Hϕ = Hϕ (ρ, ϕ, z).
Подставив поля E и H в уравнения Максвелла (1), учитывая, что мы работаем в цилиндрических координатах, получим
⎧ 1 ∂E
z
⎪
ρ ∂ϕ = 0,
⎪
⎪
⎪
∂Eρ
∂Ez
⎪
⎪
⎨ ∂z − ∂ρ = iωμHϕ ,
ρ
1
ρ ∂ϕ = 0,
⎪
⎪
∂Hϕ
⎪
⎪
⎪
∂z = iωεEρ ,
⎪
⎩ 1 ∂(ρHϕ )
= −iωεEz .
ρ ∂ρ
∂E
Из первого и третьего уравнений этой системы видно, что
Ez и Eρ не зависят от ϕ; поскольку Hϕ выражается через Ez и
Eρ , то Hϕ также не зависит от ϕ.
Волны, распространяющиеся вдоль образующей Oz волновода (а мы ищем именно их), гармонически зависят от z. Значит,
компоненты полей E, H имеют представление
Eρ = Eρ (ρ; γ)eiγz , Ez = Ez (ρ; γ)eiγz , Hϕ = Hϕ (ρ; γ)eiγz .
Тогда рассмотренная выше система принимает вид
⎧
⎪
⎨iγEρ (ρ) − Ez (ρ) = iωμHϕ (ρ),
iγHϕ (ρ) = iωεEρ (ρ),
⎪
⎩1
ρ (ρHϕ (ρ)) = −iωεEz (ρ),
(2)
∂·
; γ – неизвестный спектральный параметр (постогде ( · ) ≡ ∂ρ
янная распространения электромагнитной волны).
Из первого уравнения системы (2) получаем
Hϕ (ρ) =
1 iγEρ (ρ) − Ez .
iωμ
(3)
220
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
Подставляя выражение (3) в оставшиеся два уравнения системы (2), получаем
−γ (iEz ) = γ 2 − ω 2 εμ Eρ ,
(4)
−γ 1ρ (ρEρ ) − 1ρ ρ (iEz ) = ω 2 εμ (iEz ) .
Обозначим
Eρ (ρ; γ) = u1 (ρ, γ), iEz (ρ; γ) = u2 (ρ, γ).
(5)
Внутри и вне волновода ε = ε̃ε0 , где
ρ > R;
ε1 ,
2
ε̃ =
2
ε2 + α u1 + u2 , ρ < R,
также пусть k02 = ω 2 ε0 μ, где k0 > 0 – волновое число вакуума.
Будем предполагать, что u1 (ρ; γ), u2 (ρ; γ) – вещественные
функции. Зависимость от γ и/или ρ будем опускать там, где это
не приводит к неясности.
Тогда из системы (4), используя (5), получаем
γu2 + γ 2 − k02 ε̃ u1 = 0,
(6)
γ 1ρ (ρu1 ) + 1ρ (ρu2 ) + k02 ε̃u2 = 0.
Будем искать те значения спектрального параметра γ (собственные значения), для которых существуют действительные
не равные тождественно нулю решения u1 , u2 уравнения (6).
Полагаем γ действительным (так, что |E|2 не зависит от z, см.
сноску на с. 38, а также замечание на с. 213).
Считаем, что функции u1 и u2 дифференцируемы так, что
u1 (x) ∈ C[0, R] ∩ C [R , +∞) ∩ C 1 [0, R] ∩ C 1 [R, +∞) ,
u2 (x) ∈ C [0 , +∞) ∩ C 1 [0, R] ∩ C 1 [R, +∞) ∩
∩ C 2 (0, R) ∩ C 2 (R, +∞).
Считаем, что γ 2 > ε1 . Отметим, что последнее условие имеет
место только в случае, если ε1 > 0, если же ε1 < 0, то γ 2 > 0.
Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин.
221
§3. Решение дифференциальных уравнений
и условия сопряжения
Вне волновода ε = ε1 ε0 . Тогда система дифференциальных
уравнений (6) при ρ > R примет вид
k12 u1 + γu2 = 0,
(7)
−γ ρ1 (ρu1 ) − 1ρ (ρu2 ) − k02 ε1 u2 = 0,
где k12 = γ 2 − k02 ε1 .
Выражая функцию u1 из первого уравнения u1 = − kγ2 u2 и
1
подставляя ее во второе уравнение системы (7), получим уравнение для функции u2 :
γ 2 1 1 ρu2 −
ρu2 − k02 ε1 u2 = 0.
ρ
k12 ρ
Последнее уравнение после элементарных преобразований
приводится к уравнению Бесселя:
1 ρu2 − k12 u2 = 0.
ρ
(8)
Обозначая k22 = k02 ε2 − γ 2 , из (6) получим систему дифференциальных уравнений внутри волновода:
−k22 u1 + γu2 = f1 ,
(9)
−γ 1ρ (ρu1 ) − 1ρ (ρu2 ) − k02 ε2 u2 = f2 ,
где f1 = k02 α |u|2 u1 , f2 = k02 α |u|2 u2 и |u|2 = u21 +u22 , u = (u1 , u2 )T .
Как известно, касательные составляющие электромагнитного поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматриваемом случае касательными составляющими являются компоненты Ez и Hϕ . Из этого условия получаем
Ez (R + 0) = Ez (R − 0), Hϕ (R + 0) = Hϕ (R − 0),
где постоянная EzR = u2 (R) = Ez (R + 0) считается известной.
222
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
Компонента Eρ является нормальной компонентой и на границе раздела сред испытывает конечный скачок, однако величина ε̃Eρ на границе раздела сред непрерывна.
Из вышесказанного мы получаем условия сопряжения для
функций u1 и u2 :
[ε̃u1 ]ρ=R = 0, [u2 ]ρ=R = 0,
(10)
где [f ]x=x0 = lim f (x) − lim f (x) обозначает скачок функx→x0 −0
x→x0 +0
ции на границе раздела сред.
Из первого условия (10) легко получаем, что
(11)
ε2 u1 |ρ=R−0 − ε1 u1 |ρ=R+0 + αu1 |u|2 ρ=R−0 = 0.
Сформулируем теперь краевую задачу на собственные значения (задача Р), к которой свелась исходная задача о распространяющихся поверхностных волнах цилиндрического волновода. Требуется отыскать собственные значения γ и соответствующие им не равные одновременно тождественно нулю на полубесконечном интервале ρ > 0 функции u1 (ρ), u2 (ρ), удовлетворяющие условиям непрерывности (см. §3) и такие, что u1 (ρ), u2 (ρ)
удовлетворяют системе уравнений (9) на интервале (0, R), уравнениям (7) на интервале (R, +∞), условиям сопряжения (10) и
условиям экспоненциального убывания функций u1 (ρ), u2 (ρ) на
бесконечности при ρ → ∞. Спектральным параметром задачи
является вещественное число γ.
С учетом условий на бесконечности решение системы уравнений (7) имеет вид
u1 ≡ Eρ = −
γ
CK0 (k1 ρ), u2 ≡ Ez = CK0 (k1 ρ),
k1
(1)
(12)
где C – произвольная постоянная; K0 (z) = πi
2 H0 (iz) – функция
Макдональда [25].
Заметим, что при формулировке задачи Р можно было требовать только ограниченности функций u1 (ρ), u2 (ρ) на бесконечности, а не экспоненциального убывания. Действительно, общее
Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин.
223
решение уравнения (8) является линейной комбинацией двух цилиндрический функций [22], одна из которых (функция Макдональда K0 (z)) экспоненциально убывает на бесконечности, а
другая – экспоненциально возрастает на бесконечности, и поэтому должна быть отброшена в силу условия ограниченности
решений. Таким образом, любое ограниченное решение u1 (ρ),
u2 (ρ) системы (7) будет экспоненциально убывающим на бесконечности.
§4. Нелинейное интегральное уравнение
и дисперсионное уравнение
Рассмотрим систему нелинейных уравнений (9). Из первого
уравнения системы получаем1
u1 =
1
(γu2 − f1 )
k22
(13)
и подставляем
ее во второе уравнение, которое и будем решать:
1
1
−γ ρ ρ k2 (γu2 − f1 ) − 1ρ (ρu2 ) − k02 ε2 u2 = f2 . Оно приводится
2
к дифференциальному уравнению второго порядка
k22
γ
2
(ρf1 ) − ρf2
(14)
Lu2 ≡ ρu2 + k2 ρu2 = 2
k0 ε2 k22
с линейной частью Lu2 ≡ (ρu2 ) + k22 ρu2 .
С помощью введения соответствующей функции Грина линейную часть (дифференциальный оператор L) можно обратить
и получить более удобное для исследования интегродифференциальное уравнение.
Уравнение (15) может быть переписано в виде
(15)
ρu2 + k22 ρu2 = F, 0 < ρ < R,
где
1
k2
W (ρ) = 2 2
k0 ε2
Помним, что f1 зависит от u1 .
γ
(ρf1 ) − ρf2 .
k22
224
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
Построим функцию Грина для краевой задачи:
LG = δ(ρ − s),
G|ρ=0 − ограничена, G|ρ=R = 0, 0 < s < R,
(16)
где дифференциальный оператор определяется формулой
L=ρ
d
d2
+ k22 ρ.
+
2
dρ
dρ
Используя метод построения функции Грина, описанный
в [22], получаем
G(ρ, s) =
=
N0 (k2 s)J0 (k2 R)−J0 (k2 s)N0 (k2 R)
π
,
2 J0 (k2 ρ)
J0 (k2 R)
N0 (k2 ρ)J0 (k2 R)−J0 (k2 ρ)N0 (k2 R)
π
,
2 J0 (k2 s)
J0 (k2 R)
ρ < s ≤ R,
s < ρ ≤ R.
(17)
Здесь J0 (ρ) – функция Бесселя нулевого порядка; N0 (ρ) –
функция Неймана нулевого порядка [25]. Функция Грина существует при таких значениях параметров, что J0 (k2 R) = 0.
Рассмотрим уравнение (15). Используем вторую формулу
Грина:
R
R (vLu − uLv)dρ =
v ρu − u ρv dρ =
0
0
= R u (R)v(R) − v (R)u(R) ,
и, полагая v = G, получаем
R
(GLu − uLG)dρ = R u (R − 0)G(R, s) − G (R, s)u(R − 0) =
0
так как из (17) видно, что G(R, s) = 0.
= −Ru(R − 0)G (R, s),
Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин.
225
Используя формулу (15), получаем, что
R
R
GLu2 dρ =
0
G(ρ, s)F (ρ)dρ.
0
Далее из (16) получаем, что
R
R
u2 LGdρ =
0
u2 (ρ)δ(ρ − s)dρ = u2 (s).
0
Теперь, применяя только что полученные результаты, из
(14) получаем нелинейное интегральное уравнение относительно
u2 (s) на интервале (0, R):
R
u2 (s) =
0
∂G(ρ, s) G(ρ, s)W (ρ)dρ + Ru2 (R − 0)
,
∂ρ ρ=R
(18)
тогда из (13) получаем
γ ∂
u1 (s) = 2
k2 ∂s
R
G(ρ, s)W (ρ)dρ −
0
f1 (s)
+
k22
∂ 2 G(ρ, s) γR
, (19)
+ 2 u2 (R − 0)
∂ρ∂s ρ=R
k2
где ρ ≤ s ≤ R.
Легко видеть, что при умножении в (1) функций E, H на
произвольную константу C0 = 0 и коэффициента нелинейности
α на C0−2 система уравнений Максвелла не изменяется. Это обстоятельство дает возможность выбора дополнительного условия нормировки. Выберем условие нормировки в виде C = 1.
Тогда из условий сопряжения (10), (11) и формул (12) получаем
u2 (R − 0) = K0 (k1 R)
(20)
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
226
и
ε2 u1 |s=R−0 + αu1 |u|2 |s=R−0 = −ε1
γ K (k1 R).
k1 0
(21)
Из формул (12) и (21) получаем дисперсионное уравнение
Δ(γ) ≡ ε2 u1 (R−0)+αu1 (R−0)|u(R−0)|2 +ε1
γ K (k1 R) = 0 (22)
k1 0
при условии, что функции u1 , u2 являются решением системы
уравнений (здесь использованы формулы (12), (18), (19) и (20))
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨u1 (s) =
γ ∂
k22 ∂s
R
0
G(ρ, s)W (ρ)dρ −
f1 (s)
k22
+
γR
∂2G
K0 (k1 R) ∂ρ∂s
(R, s),
k22
R
⎪
⎪
⎪
(s)
=
G(ρ, s)W (ρ)dρ + RK0 (k1 R) ∂G
u
2
⎩
∂ρ (R, s).
0
(23)
Отметим, что в системе (23) все функции определены только
на интервале (0, R) и могут быть найдены независимо от условий
сопряжения и дисперсионного соотношения. Ниже будет показано, что при определенных условиях система (23) имеет единственное решение и будет указан способ его нахождения.
Преобразуем систему (23) к более удобному виду, не содержащему производных под интегралом от неизвестных функций.
Для этого сначала преобразуем первое слагаемое в правой части
уравнений системы (23), используя формулу интегрирования
по
k22
γ
частям и учитывая, что W = k2 ε k2 (ρf1 ) − ρf2 :
0 2
R
G(ρ, s)(ρf1 ) dρ =
0
2
R
G(ρ, s)(ρf1 )|R
0
−
0
∂G(ρ, s)
ρf1 (ρ)dρ =
∂ρ
R
= G(R, s)Rf1 (R) − G(0, s) · 0 · f1 (0) −
0
∂G(ρ, s)
ρf1 (ρ)dρ.
∂ρ
Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин.
227
Далее имеем
∂
∂s
R
G(ρ, s)(ρf1 ) dρ =
0
⎛
=
∂ ⎝
G(R, s)Rf1 (R) −
∂s
R
0
∂
∂G
(R, s)Rf1 (R) −
=
∂s
∂s
⎞
∂G(ρ, s)
ρf1 (ρ)dρ⎠ =
∂ρ
R
0
∂G(ρ, s)
ρf1 (ρ)dρ =
∂ρ
∂
=−
∂s
R
0
∂G(ρ, s)
ρf1 (ρ)dρ.
∂ρ
Теперь подставим в формулу явное выражение для функции
Грина, получим
∂
∂s
R
0
π ∂
=
2 ∂s
+
π ∂
2 ∂s
∂
G(ρ, s)ρf1 (ρ)dρ =
∂ρ
s
k2 J0 (k2 ρ)
0
R
k2 J0 (k2 s)
s
⎡
J0 (k2 s)N0 (k2 R) − N0 (k2 s)J0 (k2 R)
ρf1 (ρ)dρ+
J0 (k2 R)
J0 (k2 ρ)N0 (k2 R) − N0 (k2 ρ)J0 (k2 R)
ρf1 (ρ)dρ =
J0 (k2 R)
π ∂ ⎣ k2
J0 (k2 s)N0 (k2 R)
=
2 ∂s J0 (k2 R)
−
k2
N0 (k2 s)J0 (k2 R)
J0 (k2 R)
s
0
s
J0 (k2 ρ)ρf1 (ρ)dρ−
0
J0 (k2 ρ)ρf1 (ρ)dρ+
228
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
k2
J0 (k2 s)N0 (k2 R)
+
J0 (k2 R)
−
R
J0 (k2 ρ)ρf1 (ρ)dρ−
s
k2
J0 (k2 s)J0 (k2 R)
J0 (k2 R)
R
π J (k2 s)
N0 (k2 R)
= k22 0
2 J0 (k2 R)
⎤
N0 (k2 ρ)ρf1 (ρ)dρ⎦ =
s
s
J0 (k2 ρ)ρf1 (ρ)dρ+
0
π N0 (k2 R)
J0 (k2 s)J0 (k2 s)sf1 (s)−
+ k2
2 J0 (k2 R)
s
π 2 J0 (k2 R) N (k2 s) J0 (k2 ρ)ρf1 (ρ)dρ−
− k2
2 J0 (k2 R) 0
0
π k2 J0 (k2 R)
N0 (k2 s)J0 (k2 s)sf1 (s)+
2 J0 (k2 R)
R
π 2 N0 (k2 R) J (k2 s) k2 J0 (ρ)ρf1 (ρ)dρ−
+ k2
2 J0 (k2 R) 0
−
s
π k2 N0 (k2 R)
J0 (k2 s)J0 (k2 s)sf1 (s)−
−
2 J0 (k2 R)
R
π 2 J0 (k2 R) J (k2 s) N0 (k2 ρ)ρf1 (ρ)dρ+
− k2
2 J0 (k2 R) 0
s
+
π J0 (k2 R)
k2
J0 (k2 s)N0 (k2 s)sf1 (s) =
2 J0 (k2 R)
R 2
∂ G
(ρ, s)ρf1 (ρ)dρ−
=
∂s∂ρ
0
π
− k2 sf1 (s) J0 (k2 s)N0 (k2 s) − N0 (k2 s)J0 (k2 s) = −f1 (s).
2
Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин.
229
После преобразований получим окончательный вид системы
интегральных уравнений:
⎧
R
R
⎪
γ2 ∂2G
γ ∂G
⎪
(s)
=
−
ρf
dρ
−
u
⎪
1
1
2
2
2
∂s∂ρ
∂s ρf2 dρ−
⎪
k0 ε 2 k2
k0 ε 2
⎪
0
0
⎨
− k12 f1 (s) + h1 (s),
(24)
2
⎪
⎪
R
R
⎪
∂G
⎪
k22 ⎪
⎩u2 (s) = − k2γε
Gρf2 dρ + h2 (s),
∂ρ ρf1 dρ − k 2 ε
0 2
0 2
0
где
h1 (s) =
0
γR ∂ 2 G(R, s)
K0 (k1 R),
∂ρ∂s
k22
h2 (s) = R
∂G(R, s)
K0 (k1 R).
∂ρ
(25)
(26)
Для представления системы (24) в виде матричного оператора введем матрицу ядер:
q11 Gρs q12 Gs
2
,
(27)
K(ρ, s) = {Knm (ρ, s)}n,m=1 = −ρ
q21 Gρ q22 G
где индексы у функции G обозначают частные производные, и
матрицу коэффициентов:
1 (γ/k2 )2 γ
q11 q12
=
,
(28)
Q=
q21 q22
γ
k22
ε2
а также матричный линейный интегральный оператор:
K = {Knm }2n,m=1
с операторами Kmn , связанный с системой (24),
R
Kg =
K(ρ, s)g(ρ)dρ,
0
где g = (g1 , g2 )T .
(29)
230
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
Тогда система интегральных уравнений может быть записана в операторном виде
u = αK(|u|2 u) − αJ(|u|2 u) + h,
(30)
где h = (h1 , h2 )T , а оператор J определяется формулой
k02 1 0
.
J= 2
k2 0 0
(31)
Отметим, что операторы K, J являются линейными.
Введем также два линейных оператора N := α(K − J) и
N0 := K − J.
Будем рассматривать уравнение (30) в пространстве непрерывных функций C[0, R] = C[0, R] × C[0, R] с нормой
u2C = u1 2C + u2 2C ,
где uC = max u(x).
x∈[0,R]
§5. Исследование ядер интегральных операторов
Для изучения интегрального оператора (29) рассмотрим ядра соответствующих интегральных операторов.
Пусть Π = (0, R) × (0, R). Используя свойства функций Бесселя и Неймана, докажем, что функции k11 (ρ, s) и k22 (ρ, s) непрерывны в (замкнутом) квадрате Π = [0, R] × [0, R]. Функция
+
−
k12 (ρ, s) ограничена в Π и непрерывна в T и в T \{0}, функция
+
−
k21 (ρ, s) ограничена в Π и непрерывна в T и в T , где
T
+
= {(ρ, s) ∈ Π, ρ ≥ s}, T
−
= {(ρ, s) ∈ Π, ρ ≤ s}.
Под непрерывностью функции f (ρ, s) в T
+
ется, что для любой точки (ρ0 , s0 ) ∈ T
lim
ρ→ρ0 ,s→s0
+
+
(ρ,s)∈T ,(ρ0 ,s0 )∈T
+
f (ρ, s) = f (ρ0 , s0 )
−
(в T ) понима-
Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин.
или для (ρ0 , s0 ) ∈ T
231
−
lim
ρ→ρ0 ,s→s0
−
−
(ρ,s)∈T ,(ρ0 ,s0 )∈T
f (ρ, s) = f (ρ0 , s0 ).
−
Под непрерывностью функции f (ρ, s) в T \{0} понимается,
−
что функция непрерывна во всех точках T (в вышеуказанном
смысле), за исключением точки ρ = 0, s = 0. При этом функция
+
−
f (ρ, s), непрерывная в T и в T , не будет непрерывна в Π.
Для того чтобы доказать сформулированные выше свойства
ядер, необходимо проверить только поведение функций k11 (ρ, s),
k22 (ρ, s), k12 (ρ, s) и k21 (ρ, s) в нуле, т.е. в точке ρ = 0, s = 0.
Вычислим пределы функции Грина и ее производных при ρ → 0,
s → 0. При x → 0 имеем
2
2
+ O(1),
N0 (x) = − ln
π γx
J0 (x) = 1 + O(x),
2
+ O(1),
πx
x
J0 (x) = − + O(x2 ).
2
N0 (x) =
Запишем функцию Грина в виде
1
π
×
G(ρ, s) =
2 J0 (k2 R)
J0 (k2 ρ) (N0 (k2 s)J0 (k2 R) − J0 (k2 s)N0 (k2 R)) , ρ ≤ s ≤ R,
×
J0 (k2 s) (N0 (k2 ρ)J0 (k2 R) − J0 (k2 ρ)N0 (k2 R)) , s ≤ ρ ≤ R.
Тогда, вычисляя производную, будем иметь
∂G =
∂s ρ≤s
=
π J0 (k2 ρ) N0 (k2 s)J0 (k2 R)k2 − J0 (k2 s)N0 (k2 R)k2 =
2 J0 (k2 R)
π J0 (k2 ρ) N0 (k2 s)J0 (k2 R) − J0 (k2 s)N0 (k2 R) .
= k2
2 J0 (k2 R)
232
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
Теперь вычислим при ρ → 0, s → 0
∂G · ρ
=
∂s
ρ≤s
π J0 (k2 ρ) k2
N0 (k2 s)J0 (k2 R) − J0 (k2 s)N0 (k2 R) ρ =
2 J0 (k2 R)
2
k2 s
1
π
J0 (k2 R) − −
N0 (k2 R) ρ + o(1) =
= k2
2 J0 (k2 R) πk2 s
2
1
= ρ + o(1),
s
=
где o(1) означает функцию α(ρ, s), для которой lim α(ρ, s) = 0.
ρ→0
s→0
Так как ρ ≤ s, то функция ограничена в окрестности точки
ρ = 0, s = 0. Отметим, что предел этой функции при ρ → 0,
s → 0 не существует. Аналогично имеем
∂G =
∂s s≤ρ
=
π J0 (k2 s)
k2
(N0 (k2 ρ)J0 (k2 R) − J0 (k2 ρ)N0 (k2 R)) =
2 J0 (k2 R)
π J (k2 ρ)
(N0 (k2 ρ)J0 (k2 R) − J0 (k2 ρ)N0 (k2 R)) .
= k2 0
2 J0 (k2 R)
Вычисляя предел, получаем
∂G · ρ
lim
ρ→0 ∂s
s→0
=
s≤ρ
π J (k2 ρ)
(N0 (k2 ρ)J0 (k2 R) − J0 (k2 ρ)N0 (k2 R)) ρ =
= lim k2 0
ρ→0 2
J0 (k2 R)
s→0
k2 s 2
2
k2 s
π
1
ln
· J0 (k2 R) +
N0 (k2 R) ρ =
= lim k2
ρ→0 2
J0 (k2 R)
2 π γk2 ρ
2
s→0
= lim
ρ→0
s→0
1
k2 s
π
· k2 ·
N0 (k2 R)ρ = 0.
2 J0 (k2 R)
2
Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин.
233
Таким образом, функция
π
k2
∂G
=−
×
∂s
2 J0 (k2 R)
J0 (k2 ρ) (N1 (k2 s)J0 (k2 R) − J1 (k2 s)N0 (k2 R)) , ρ ≤ s,
×
J1 (k2 s) (N0 (k2 ρ)J0 (k2 R) − J0 (k2 ρ)N0 (k2 R)) , ρ ≥ s,
не будет непрерывной в нуле, но остается ограниченной в окрестности нуля. Здесь N1 (ρ) – функция Неймана 1-го порядка [25].
Далее вычислим производную:
π J0 (k2 ρ)
∂G k2
(N0 (k2 s)J0 (k2 R) − J0 (k2 s)N0 (k2 R)) .
=
∂ρ ρ≤s
2 J0 (k2 R)
Теперь вычислим предел:
∂G · ρ
lim
ρ→0 ∂ρ
s→0
=
ρ≤s
π J (k2 ρ)
(N0 (k2 s)J0 (k2 R) − J0 (k2 s)N0 (k2 R)) ρ =
= lim k2 0
ρ→0 2
J0 (k2 R)
s→0
k2
k2 ρ 2
2
k2 ρ
π
ln
J0 (k2 R) +
N0 (k2 R) ρ = 0.
= lim
ρ→0 2 J (k R)
2 π γk2 s
2
0 2
s→0
Аналогично имеем
π J0 (k2 s) ∂G k
N
=
(k
ρ)J
(k
R)
−
J
(k
ρ)N
(k
R)
.
2
2
0
2
2
0
2
0
0
∂ρ s≤ρ
2 J0 (k2 R)
Вычисляя предел, получим
∂G · ρ
lim
ρ→0 ∂ρ
s→0
=
ρ≤s
= lim
ρ→0
s→0
π J0 (k2 s) k2
N0 (k2 ρ)J0 (k2 R) − J0 (k2 ρ)N0 (k2 R) ρ =
2 J0 (k2 R)
234
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
= lim
ρ→0
s→0
k2
π
2 J0 (k2 R)
k2 ρ
2
· J0 (k2 R) +
N0 (k2 R) ρ =
πk2 ρ
2
= lim
ρ→0
s→0
k2
2
π
J0 (k2 R)ρ = 1.
2 J0 (k2 R) πk2 ρ
Таким образом, функция
π
k2
∂G
=−
×
∂ρ
2 J0 (k2 R)
J1 (k2 ρ) (N0 (k2 s)J0 (k2 R) − J0 (k2 s)N0 (k2 R)) , ρ ≤ s,
×
J0 (k2 s) (N1 (k2 ρ)J0 (k2 R) − J1 (k2 ρ)N0 (k2 R)) , ρ ≥ s,
тоже не будет непрерывной в нуле, но остается ограниченной
в окрестности нуля.
Для вторых производных находим
π 2 J0 (k2 ρ) ∂ 2 G k2
N0 (k2 s)J0 (k2 R) − J0 (k2 s)N0 (k2 R) .
=
∂ρ∂s ρ≤s
2 J0 (k2 R)
Вычислим предел:
∂2G
· ρ
lim
ρ→0 ∂ρ∂s
s→0
= lim
ρ→0
s→0
=
ρ≤s
π 2 J0 (k2 ρ)
k
2 2 J0 (k2 R)
N0 (k2 s)J0 (k2 R) − J0 (k2 s)N0 (k2 R) ρ =
2
k2 s
J0 (k2 R) +
N0 (k2 R) ρ =
πk2 s
2
k2 ρ
2
π 2
1
−
J0 (k2 R)ρ =
= lim k2
ρ→0 2
J0 (k2 R)
2
πk2 s
s→0
2 k ρ 1
1
− 2
J0 (k2 R)ρ = 0.
= lim
ρ→0 J (k R)
2
r
0 2
s→0
π
1
= lim k22
ρ→0 2
J0 (k2 R)
s→0
k2 ρ
−
2
Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин.
235
Далее аналогично получаем
π 2 J0 (k2 s) k2
N0 (k2 ρ)J0 (k2 R) − J0 (k2 ρ)N0 (k2 R) .
=
∂ρ∂s s≤ρ
2 J0 (k2 R)
∂2G
Вычисляя предел, будем иметь
∂2G
· ρ
=
lim
ρ→0 ∂ρ∂s
s→0
s≤ρ
π J (k2 s) N0 (k2 ρ)J0 (k2 R) − J0 (k2 ρ)N0 (k2 R) ρ =
= lim k22 0
ρ→0 2
J0 (k2 R)
s→0
k22
k2 s
2
k2 ρ
π
−
J0 (k2 R) +
N0 (k2 R) ρ = 0.
= lim
ρ→0 2 J (k R)
2
πk2 ρ
2
0 2
s→0
Таким образом, функция
π
k22
∂2G
=
×
∂ρ∂s
2 J0 (k2 R)
J1 (k2 ρ) (N1 (k2 s)J0 (k2 R) − J1 (k2 s)N0 (k2 R)) , ρ ≤ s,
×
J1 (k2 s) (N1 (k2 ρ)J0 (k2 R) − J1 (k2 ρ)N0 (k2 R)) , ρ ≥ s,
является непрерывной в нуле.
Итак, доказано
Утверждение 1. Функции k11 (ρ, s) и k22 (ρ, s) непрерывны в квадрате Π = [0, R]×[0, R]. Функция k12 (ρ, s) ограничена
+
−
в Π и непрерывна в T и в T \{0}, функция k21 (ρ, s) огра+
−
ничена в Π и непрерывна в T и в T .
Далее вычислим значения остальных функций, входящих
в (25) и (26). Имеем
∂G(R, s)
=
∂ρ
π J0 (k2 s) N0 (k2 R)J0 (k2 R) − J0 (k2 R)N0 (k2 R) =
= k2
2 J0 (k2 R)
1 J0 (k2 s)
π J0 (k2 s) 2
=
.
= k2
2 J0 (k2 R) πk2 R
R J0 (k2 R)
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
236
Аналогично для второй производной получим
k2 J1 (k2 s)
∂ 2 G(R, s)
=−
.
∂ρ∂s
R J0 (k2 R)
Тогда
γ J1 (k2 s)
K0 (k1 R),
k2 J0 (k2 R)
J0 (k2 s)
K0 (k1 R).
h2 (s) =
J0 (k2 R)
h1 (s) = −
(32)
(33)
Перечисленные свойства ядер позволяют утверждать ограниченность оператора K : C[0, R] → C[0, R]. Очевидно, что оператор J : C[0, R] → C[0, R] также ограничен. Соответствующее
утверждение с оценками норм операторов будет дано в следующем параграфе.
§6. Оценки норм интегральных операторов
Оценим нормы интегральных операторов в пространстве
C[0, R] = C[0, R] × C[0, R], которые потребуются в дальнейшем.
Рассмотрим сначала скалярный случай. Пусть интегральный
оператор задан формулой
R
Kϕ =
(34)
K(x, y)ϕ(y)dy
0
с ограниченным, кусочно-непрерывным в квадрате [0, R] × [0, R]
ядром K(x, y), тогда
R
R
K(x, y)ϕ(y)dy ≤ |K(x, y)| |ϕ(y)|dy ≤
0
0
R
≤ max |ϕ(x)|
x∈[0,R]
R
|K(x, y)|dy ≤ ϕC max
0
x∈[0,R]
|K(x, y)|dy.
0
Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин.
237
Следовательно,
R
KϕC = max K(x, y)ϕ(y)dy ≤ M0 ϕC ,
x∈[0,R] 0
где M0 = max
R
x∈[0,R] 0
|K(x, y)|dy.
Таким образом, для нормы оператора K : C[0, R] → C[0, R]
имеем оценку KC→C ≤ M0 . Отметим, что если ядро интегрального оператора K(x, y) непрерывно в квадрате [0, R] × [0, R], то
имеет место равенство KC→C = M0 [29]. Итак, верно
Утверждение 2. Пусть K : C[0, R] → C[0, R] – интегральный оператор, заданный формулой (34) с кусочно-непрерывным в квадрате [0, R] × [0, R] ядром K(x, y). Тогда он ограничен и верна оценка для его нормы
KC→C ≤ M0 ,
где
R
M0 = max
x∈[0,R]
|K(x, y)|dy.
0
Рассмотрим векторный случай. Пусть матричный линейный
интегральный оператор K = {Kmn }2m,n=1 задан формулой
R
Kϕ =
K(x, y)ϕ(y)dy
(35)
0
с ограниченными ядрами Knm (x, y), обладающими свойствами,
сформулированными в утверждении 1.
Тогда имеют место оценки
Kϕ2C = K11 ϕ1 + K12 ϕ2 2C + K21 ϕ1 + K22 ϕ2 2C ≤
≤ (K11 ϕ1 C + K12 ϕ2 C )2 + (K21 ϕ1 C + K22 ϕ2 C )2 ≤
≤ (K11 C→C ϕ1 C + K12 C→C ϕ2 C )2 +
+ (K21 C→C ϕ1 C + K22 C→C ϕ2 C )2 ≤
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
238
≤ 2 K11 2C→C ϕ1 2C + 2 K12 2C→C ϕ2 2C +
+ 2 K21 2C→C ϕ1 2C + 2 K22 2C→C ϕ2 2C ≤
≤ 2 max K11 2C→C , K12 2C→C · ϕ2C +
+ 2 max K21 2C→C , K22 2C→C · ϕ2C = M 2 ϕ2C ,
где
M2
=2
max K1j 2C→C
j=1,2
+ max K2j 2C→C
j=1,2
.
Тогда KC→C ≤ M .
Утверждение 3. Пусть K : C[0, R] → C[0, R] – интегральный оператор, заданный формулой (35) с ограниченными
в квадрате [0, R] × [0, R] ядрами Knm (x, y), заданными формулами (27) и (28). Тогда он ограничен и верна оценка для его
нормы
KC→C ≤ M,
где
2
M =2
max K1j 2C→C
j=1,2
+
max K2j 2C→C
j=1,2
.
§7. Итерационный метод решения
системы интегральных уравнений
Приближенные решения un (r) = (un1 (r), un2 (r))T , r ∈ [0, R]
системы интегральных уравнений (24) могут быть определены
с помощью итерационного процесса метода сжимающих отображений:
(r)
un+1
1
−
αγ
ε2
R
0
αγ 2
=−
ε2 k22
R
0
∂ 2 G(r, ρ)
ρ |un (ρ)|2 un1 (ρ)dρ−
∂r∂ρ
αk2
∂G(r, ρ)
ρ |un (ρ)|2 un2 (ρ)dρ− 20 |un (ρ)|2 un1 (ρ)+h1 (r),
∂r
k2
Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин.
un+1
(r)
2
αγ
=−
ε2 k22
R
0
−
239
∂G(r, ρ)
ρ |un (ρ)|2 un1 (ρ)dρ−
∂ρ
αk22
ε2
R
(36)
G(r, ρ)ρ |un (ρ)|2 un2 (ρ)dρ + h2 (r).
0
Докажем, что последовательность un1 (r), un2 (r) равномерно
сходится к решению системы уравнений (24) вследствие того,
что правая часть системы уравнений (24) определяет сжимающий оператор. Ниже при записи норм операторов не будем писать индекс, поскольку из контекста ясно о каком – векторном
или скалярном – пространстве идет речь.
Теорема 1. Пусть Br0 ≡ {u : u ≤ r0 } – шар радиуса r0
с центром в нуле и выполнены два условия:
q := 3ar02 K − J < 1,
αr03 K
− J + h ≤ r0 .
(37)
(38)
Тогда существует и единственно решение u ∈ Br0 уравнения (30) (или системы (24)), и последовательность приближенных решений un ∈ Br0 уравнения (30) (или системы (24)),
определяемых посредством итерационного алгоритма
un+1 = αK(|un |2 un ) − αJ(|un |2 un ) + h
(или (36)), сходится в норме пространства C[0, R] к (единственному) точному решению u ∈ Br0 уравнения (30) (или
системы (24)) при любом начальном приближении u0 ∈ Br0 со
скоростью геометрической прогрессии с показателем q.
Доказательство. Рассмотрим уравнение u = A(u) с нелинейным оператором
A(u) ≡ αK |u|2 u − αJ |u|2 u + h
в пространстве C[0, R], где h определяется формулами (32), (33).
240
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
Пусть u, v ∈ Br0 ; u ≤ r0 , v ≤ r0 , тогда
!
!
!
!
A(u) − A(v) = α !K(|u|2 u − |v|2 v) − J(|u|2 u − |v|2 v)! ≤
≤ 3α K − J r02 u − v . (39)
Докажем оценку (39). Действительно,
! !
! 2
!
!|u| u − |v|2 v! = ! |u|2 u − |v|2 u + |v|2 u − |v|2 v ! ≤
!
! !
!
≤ ! |u|2 u − |v|2 u ! + ! |v|2 u − |v|2 v ! ≤
!
!
!
!
≤ ! |u|2 − |v|2 ! u + ! |v|2 ! u − v =
= (|u| − |v|) (|u| + |v|) u + v2 u − v ≤
≤ (|u| − |v|) (u + v) u + v2 u − v .
Учитывая, что
|u| ≤ |u − v| + |v|, |u| − |v| ≤ |u − v|
и, аналогично,
|v| ≤ |u − v| + |u|, |v| − |u| ≤ |u − v|,
получаем, что
|(|u| − |v|)| ≤ |u − v| ≤ |u − v,
поэтому
(|u| − |v|) ≤ u − v.
Тогда
(|u| − |v|) (u + v) u + v2 u − v ≤
≤ u − v (u + v) u + v2 u − v ≤
≤ 2r02 + r02 u − v = 3r02 u − v.
Получаем, что
!
! 2
!|u| u − |v|2 v! ≤ 3r02 u − v.
(40)
Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин.
241
Отсюда следует оценка (39). Так как
!
!
A(u) = !αK |u|2 u − αJ |u|2 u + h! ≤ αr03 K − J + h ,
то при выполнении условия (38) оператор A отображает шар
Br0 в себя. Из оценок (37) и (38) следует, что оператор A является сжимающим в шаре Br0 . Тогда все утверждения теоремы
следуют из принципа сжимающих отображений [48]. Теорема доказана.
Нетрудно видеть, что выбрав достаточно большой радиус
шара r0 , чтобы выполнялась оценка h < r0 , а потом выбрав
достаточно малое α, можно удовлетворить оценкам (37) и (38).
Разберем условие (38) более подробно. В последующих рассуждениях нам понадобится следующее вспомогательное числовое кубическое уравнение:
Nr03 + h = r0 ,
(41)
где норма оператора N = αK − J > 0.
Рассмотрим уравнение
r0 − Nr03 = h
(42)
и функцию y(r0 ) := r0 − Nr03 .
Легко показать, что функция y(r0 ) имеет только одну положительную точку максимума: rmax = √ 1 , значение функции
в которой равно ymax = y (rmax ) = √ 2
3N
.
3 3N
Тогда при условии 0 ≤ h < 23 √ 1
3N
неотрицательных корня r∗ и r ∗ , r∗ ≤
два
неравенствам
0 ≤ r∗ ≤ уравнение (42) имеет
r ∗ , удовлетворяющих
1
1
1
; ≤ r∗ ≤ .
3N
3N
N
Эти корни нетрудно выписать как решения следующего кубического уравнения:
r03 − 1
N
r0 +
h
= 0.
N
242
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
Имеем
⎛
arccos
√
3 3
h
N
2
⎞
2π ⎠
2
cos ⎝
−
,
r∗ = − 3
3
3N
√
⎛
⎞
3 3
arccos
h
N
2
2π ⎠
2
cos ⎝
+
.
r∗ = − 3
3
3N
Если h = 0, то r∗ = 0 и r ∗ = √ 1
Если 0 < h <
2
3
N
√1
3N
2
3
√1
3N
(44)
.
, то
r∗ < При h =
(43)
1
.
3N
(45)
имеем r∗ = r ∗ = 23 √ 1
3N
.
Итак, доказано следующее утверждение.
Лемма 1. Если выполняется неравенство
0 ≤ h <
1
2
,
3 3N
(46)
то уравнение (41) имеет два неотрицательных решения r∗ и
r ∗ , причем r∗ < r ∗ .
Докажем, что если выполняется условие (46), то уравнение
(30) имеет единственное решение в шаре Br∗ ≡ {u : u ≤ r∗ }.
Теорема 2. Если α ≤ A2 , где
A=
1
2
3 h 3N0 и N0 := K − J(> 0), то уравнение (30) имеет единственное
решение в шаре Br∗ ≡ {u : u ≤ r∗ }, являющееся непрерывной
функцией: u ∈ C[0, R], u ≤ r∗ .
Доказательство. Если u ∈ Br∗ , то
!
!
A(u) = !αK |u|2 u − αJ |u|2 u + h! ≤ αr∗3 K − J+ h = r∗ .
Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин.
243
Если u, v ∈ Br∗ , то
! !
A(u) − A(v) = α !K |u|2 u − |v|2 v − J |u|2 u − |v|2 v ! ≤
≤ 3αK − Jr∗2 u − v.
Так как α ≤ A2 , то вектор h удовлетворяет условию (46).
Поэтому выполняется неравенство (45), откуда получаем, что
q = 3αr∗2 K − J = 3Nr∗2 < 1. Следовательно, выполняются
оба неравенства (37) и (38).
Таким образом, A отображает Br∗ в себя и является сжимающим оператором на Br∗ . Поэтому уравнение (30) имеет единственное решение в Br∗ . Теорема доказана.
Отметим, что A > 0 и не зависит от α.
В нескольких следующих параграфах будут доказаны результаты о свойствах решений краевой задачи, в частности
утверждение о существовании собственных значений для нелинейной задачи на собственные значения, т.е. существование решений дисперсионного уравнения (22) при некоторых достаточных условиях, наложенных на параметры задачи. Основным методом при доказательстве будет метод малого параметра. В данном случае малым является параметр нелинейности α. Такой
подход является естественным, так как известно [3], что закон
Керра (который предполагается выполненным в этой работе)
справедлив именно при малых α.
§8. Теорема о непрерывной зависимости решения
от спектрального параметра
В дальнейшем нам понадобится утверждение о зависимости
решений интегрального уравнения (30) от параметра. Перепишем уравнение (30) в форме
u = N |u|2 u + h,
где оператор
N := α(K − J)
244
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
с матричными ядрами
N (ρ, s) := α(K(ρ, s) − J(ρ, s))
определен формулами (24)–(31).
Теорема 3. Пусть ядра матричного оператора N и правая часть h уравнения (30) непрерывно зависят от параметра
γ ∈ Γ0 , N(γ) ⊂ C(Γ0 ), h(γ) ⊂ C(Γ0 ), на некотором отрезке Γ0
вещественной числовой оси. Пусть также
h(γ) ≤
1
2
.
3 3N(γ)
(47)
Тогда решения u(γ) уравнения (30) при γ ∈ Γ0 существуют, единственны и непрерывно зависят от параметра γ,
u(γ) ⊂ C(Γ0 ).
Доказательство. Рассмотрим уравнение (30). Существование и единственность решений u(γ) при условиях теоремы следует из теоремы 2. Докажем непрерывную зависимость этих решений от спектрального параметра γ.
Нетрудно видеть из формулы (43), что r∗ (γ) непрерывно зависит от γ на отрезке Γ0 . Пусть r∗∗ = max r∗ (γ) и максимум
γ∈Γ0
достигается в точке γ∗ , r∗ (γ∗ ) = r∗∗ . Выберем γ + Δγ ∈ Γ0 , тогда
r∗ (γ) ≤ r∗∗ и r∗ (γ + Δγ) ≤ r∗∗ .
Далее, пусть Q0 = max(3r∗2 (γ)N(γ)) и максимум достигаγ∈Γ0
γ ) N()
γ ). Тогда Q0 < 1 в силу
ется в точке γ
) ∈ Γ0 , Q0 = 3r∗2 ()
условия (47) теоремы.
Предположим сначала, что
u(γ) ≥ u(γ + Δγ).
(48)
Тогда имеют место следующие оценки:
|u(s, γ + Δγ) − u(s, γ)| =
R
= N (γ + Δγ, ρ, s)|u(ρ, γ + Δγ)|2 u(ρ, γ + Δγ)dρ−
0
Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин.
R
−
0
245
2
N (γ, ρ, s)|u(ρ, γ)| u(ρ, γ)dρ + h(s, γ + Δγ) − h(s, γ) ≤
R
≤ (N (γ + Δγ, ρ, s) − N (γ, ρ, s)) |u(ρ, γ + Δγ)|2 u(ρ, γ + Δγ)dρ+
0
R
2
2
+ N (γ, ρ, s) |u(ρ, γ + Δγ)| u(ρ, γ + Δγ) − |u(ρ, γ)| u(ρ, γ) dρ +
0
+ |h(s, γ + Δγ) − h(s, γ)|,
поэтому (см. доказательство теоремы 2)
u(γ + Δγ) − u(γ) ≤
≤ r∗3 (γ)N (γ + Δγ) − N (γ)+
+ u(γ + Δγ) − u(γ)3r∗2 (γ)N (γ) + h(γ + Δγ) − h(γ).
Здесь было использовано условие (48).
Отсюда получаем, что
u(γ + Δγ) − u(γ) ≤
≤
r∗3 (γ)N (γ + Δγ) − N (γ) + h(γ + Δγ) − h(γ)
1 − 3r∗2 (γ)N (γ)
и
u(γ + Δγ) − u(γ) ≤
≤
3 N (γ + Δγ) − N (γ) + h(γ + Δγ) − h(γ)
r∗∗
, (49)
1 − Q0
где Q0 и r∗∗ не зависят от γ.
Пусть теперь u(γ) ≤ u(γ + Δγ). Тогда все предыдущие
оценки остаются в силе, если заменить аргументы γ на γ + Δγ, а
γ + Δγ на γ. Таким образом, оценка (49) также остается в силе,
откуда следует утверждение теоремы. Теорема доказана.
246
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
§9. Теоремы о существовании и единственности
решений дисперсионного уравнения
и задачи на собственные значения
Перепишем дисперсионное уравнение (22) более подробно
в следующем виде:
Δ(γ) ≡ ε2 u1 (R − 0) + αu1 (R − 0)|u(R − 0)|2 + ε1
γ K (k1 R) = 0,
k1 0
где u1 (R − 0) найдем из первого уравнения системы (24).
Используя формулу (17) для функции Грина и формулу
2
, легко показать, что справедливы
J1 (z)N0 (z) − J0 (z)N1 (z) = πz
следующие соотношения:
1 J0 (k2 ρ) ∂ 2 G k2 J1 (k2 ρ)
∂G ,
.
=
=−
∂s s=R−0 R J0 (k2 R) ∂ρ∂s s=R−0
R J0 (k2 R)
Теперь, используя только что полученные результаты и первое уравнение системы (24), найдем
1
γ2
u1 (R − 0) =
2
k2 k0 ε2 R J0 (k2 R)
R
ρJ1 (k2 ρ)f1 dρ−
0
1
γ
− 2
k0 ε2 R J0 (k2 R)
−
R
ρJ0 (k2 ρ)f2 dρ−
0
γ J1 (k2 R)
1
K0 (k1 R),
f1 (R − 0) −
k2 J0 (k2 R)
k22
мы помним, что f1 = αk02 |u|2 u1 и f2 = αk02 |u|2 u2 .
Соберем все слагаемые, не содержащие параметр нелинейности a, в левой части уравнения, а остальные слагаемые –
в правой части, получим
ε2
γ J1 (k2 R)
γ
K0 (k1 R) − ε1 K0 (k1 R) = αF*(γ),
k2 J0 (k2 R)
k1
(50)
Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин.
247
где
1
γ2
F*(γ) =
k2 R J0 (k2 R)
R
ρJ1 (k2 ρ)|u|2 u1 dρ−
0
γ
1
−
R J0 (k2 R)
−
k2
ε2 02 |u(R
k2
R
ρJ0 (k2 ρ)|u|2 u2 dρ−
0
− 0)|2 u1 (R − 0) + |u(R − 0)|2 u1 (R − 0). (51)
Умножим на k1γk2 J0 (k2 R) левую и правую части уравнения
(50); учитывая, что k22 = k02 ε2 − γ 2 и K0 (z) = −K1 (z), получим
ε2 k1 J1 (k1 R)K0 (k1 R) + ε1 k2 J0 (k2 R)K1 (k1 R) = αF (γ),
(52)
где
k1
F (γ) =
R
R
ρ (γJ1 (k2 ρ)u1 (ρ) − k2 J0 (k2 ρ)u2 (ρ)) |u|2 dρ−
0
−γ
k1
J0 (k2 R)|u(R − 0)|2 u1 (R − 0). (53)
k2
Видно, что функция (53) неявно зависит от параметра нелинейности α, поскольку она выражается через решение системы
интегральных уравнений (24), которое, в свою очередь, зависит
от α. Однако эту функцию можно будет оценить константой
(в некотором шаре), не зависящей от α, что позволит сделать
правую часть (52) достаточно малой, выбрав достаточно малое α. Смысл вышеприведенных преобразований состоит в том,
что правая часть (52) содержит параметр нелинейности α, который, вообще говоря, является малым (исходя из физических
соображений) в законе Керра. Ниже это обстоятельство будет
использовано. Уравнение (52) и система (24), по существу, будут рассматриваться как уравнения с малым параметром.
248
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
Рассмотрим левую часть уравнения (52). Она соответствует
дисперсионному уравнению для линейной среды внутри волновода, т.е. при α = 0 (см., например, [32, 83]):
g(γ) ≡ ε2 k1 J1 (k1 R)K0 (k1 R) + ε1 k2 J0 (k2 R)K1 (k1 R) = 0.
j2
j2
2
0m
Обозначим λ1m := k02 ε2 − R1m
2 , λ2m := k0 ε2 − R2 , где j0m –
m-й положительный корень уравнения J0 (x) = 0, а j1m – m-й
положительный корень уравнения J1 (x) = 0; m = 1, 2, ...
Известно [25], что j01 < j11 < j02 < j12 < j03 < j13 < ...
Тогда λ21 > λ11 > λ22 > λ12 > λ23 > λ13 > ...
Очевидно, что
sign J1 R k02 ε2 − λ2m = sign J1 (j0m ) = (−1)m+1 ,
2
sign J0 R k0 ε2 − λ1m = sign J0 (j1m ) = (−1)m .
Отсюда следует (учитывая, что при x > 0 функции K0 (x) и
K1 (x) положительны), что
λ1m = (−1)m , sign g
λ2m = (−1)m+1 .
sign g
√
√ λ1i , λ2i есть по крайней
Таким образом, на интервале
k02 ε1 < λ1i и
мере один корень γ0i уравнения g(γ)
√ = √0, если
2
λ1i , λ2i .
λ2i < k0 ε2 , т.е. g(γ0i ) = 0 при γ0i ∈
Прежде чем доказывать теорему о существовании собственных значений
для нелинейной краевой задачи P , заметим, что
√
точки λ2i являются полюсами функции Грина (17). В этих точках функция Грина не определена. Поэтому выберем такие (достаточно малые) числа δi > 0, чтобы выполнялись условия:
λ2i − δi = (−1)i+1 ,
(54)
sign g
λ2i − δi > γ0i .
(55)
+√
,
√
λ1i , λ2i − δi . При условиях (54)
Образуем отрезки Γi :=
и (55) функция g(γ) имеет разные знаки на разных концах Γi и
Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин.
249
√
√
λ1i , λ2i − δi . Пусть
m
> k02 ε1 для некоторого m ≥ 1. Обозначим Γ :=
Γi . То-
обращается в ноль в точке γ0i ∈
λ1m
i=1
гда верна
Теорема 4. Пусть числа ε1 , ε2 , α удовлетворяют условиям
ε2 > ε1 > 0, 0 < α ≤ α0 ,
⎛
⎞
√
min
g( λli ) ⎟
⎜
1≤l≤2,1≤i≤m
⎜
⎟
2
(56)
α0 = min ⎜min A (γ),
3 ⎟ ,
γ∈Γ
⎝
⎠
2
0.3R max r∗ (γ)
γ∈Γ
2 1
3N0 (γ),
A(γ) =
3 h(γ)
и выполняется условие
λ1m > k02 ε1
(57)
для определенного m ≥ 1. Тогда
существует
по крайней мере
√
√
m значений γi , i = 1, ..., m, λ1i < γi < λ2i − δi таких, что
задача P имеет ненулевое решение.
Доказательство. В силу выбора чисел δi > 0 (i ≥ 1) (см.
условия (54) и (55)) функция Грина существует для всех γ ∈ Γ.
Из ядер и правых частей матричного интегрального оператора следует, что A = A(γ) – непрерывная функция на отрезке
γ ∈ Γ. Пусть A1 = min A(γ) и выберем α < A21 . В соответствии
γ∈Γ
с теоремой 2 существует единственное решение u = u(γ) системы уравнений (24) для каждого γ ∈ Γ. Это решение является непрерывной функцией, причем u ≤ r∗ = r∗ (γ). Положим
r00 = max r∗ (γ). Оценивая функцию (53), получаем
γ∈Γ
3
.
|F (γ, R; u)| ≤ Cr00
Функция g(γ) непрерывна,
√ и уравнение
√ g(γ) = 0 имеет корень γ0i внутри отрезка Γi , λ1i < γ0i < λ2i . Обозначим
λ1i , M2 = min g
λ2i − δi .
M1 = min g
1≤i≤m
1≤i≤m
250
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
. = min{M1 , M2 } положительно (M
. > 0) и не
Тогда число M
зависит от параметра a.
.
M
Если α ≤ Cr
3 , то
00
< 0.
λ2i − δi − αF
λ2i − δi
(g(λ1i ) − αF (λ1i )) g
Так как g(γ) − αF (γ, R; u) также непрерывная функция, то
уравнение g(γ) − αF (γ, R; u) = 0 имеет корень γi #внутри Γ$i ,
√
√
.
M
λ1i < γi < λ2i − δi . Мы можем выбрать α0 = min A21 , Cr
.
3
00
Теорема доказана.
Из теоремы 4 следует, что при условиях, сформулированных выше, существуют осесимметричные распространяющиеся
ТМ-поляризованные волны без затухания в цилиндрических
диэлектрических волноводах кругового сечения, заполненных
немагнитной, изотропной средой с нелинейностью, выраженной
законом Керра. Этот результат обобщает известное соответствующее утверждение для диэлектрических волноводов круглого
сечения с заполнением линейной средой (при α = 0) [37].
j2
Из условия λ1m > k02 ε1 следует, что R2 > (ε −ε11 )k2 . Таким
2
1 0
образом, радиус R не может быть произвольно малым (по аналогии с существованием радиуса «отсечки» в линейном случае).
Учитывая этот факт, достаточные условия для существования
нетривиального решения рассматриваемой проблемы зависят не
только от малости параметра нелинейности a, но также и от радиуса R и параметра ε2 волновода.
§10. Итерационный метод решения
системы интегральных уравнений
и оценка скорости сходимости
Приближенные решения un (s) = (un1 (s), un2 (s))T системы интегральных уравнений (24) могут быть определены с помощью
итерационного процесса
(58)
un+1 = α(K − J) |un |2 un + h.
Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин.
251
Как доказано в теореме 1, последовательность u(s) равномерно сходится к решению u(s) = (u1 (s), u2 (s))T уравнения (24).
Известна также оценка для скорости сходимости итерационного
алгоритма [48]. В частности, если выбрать в качестве начального приближения u0 (s) = (0, 0)T , то получаем следующую оценку
скорости сходимости итерационного процесса.
Утверждение 4. Пусть u0 = (0, 0)T . Последовательность
приближенных решений un = (un1 , un2 )T системы уравнений (24),
определяемых посредством итерационного алгоритма (58), существует и сходится в норме пространства C[0, R] к (единственному) точному решению u системы уравнений (24) и верна оценка скорости сходимости:
qn
h, n → ∞,
u − un ≤
1−q
где q := 3αr∗2 K − J < 1 – коэффициент сжатия отображения.
§11. Теорема о сходимости
итерационного метода
Теперь сформулируем итерационный метод нахождения
приближенных собственных значений краевой задачи P и докажем теоремы о существовании и сходимости приближенных
собственных значений к точным.
Теорема 5. Пусть существуют ε1 , ε2 , a, удовлетворяющие
условиям ε2 > ε1 > 0, 0 < α ≤ α0 , где α0 определяется соотношением (56), и выполняется условие (57) для определенного
m ≥ 1. Тогда для каждого n ≥ 0 существует по крайней мере
(n)
m значений γi , i = 1, ..., m, удовлетворяющих неравенствам
√
√
(n)
λ1i < γi < λ2i − δi и являющихся корнями уравнения
(n)
(n)
(n)
(n)
(n)
(n)
k1 ε2 K1 k1 R J0 k2 R + k2 ε1 K0 k1 R J1 k2 R =
= αF (γ (n) ), (59)
2
2
(n)
(n)
γ (n) − ε1 , k2 = ε2 − γ (n) , а un определяетгде k1 =
ся соотношением (58).
252
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
Доказательство. Для каждого n ≥ 0 функции un непрерывны согласно (58). Таким образом, для доказательства достаточно повторить доказательство теоремы 4, если заменить u на
un и проверить условия un ≤ r∗ = r∗ (γ). Это неравенство
выполняется, так как все итерации un лежат внутри шара Br∗
[48], если начальное приближение лежит в шаре Br∗ (что имеет
место).
Теорема 5 утверждает существование приближенных собственных значений краевой задачи P . Уравнение (59) является приближенным дисперсионным уравнением для краевой задачи P . Оно отличается от точного дисперсионного уравнения
только тем, что вместо (вообще говоря, неизвестного) вектора u
в формулах используется (известный!) вектор un .
Следующая теорема утверждает сходимость приближенных
собственных значений к точным.
Теорема 6. Пусть существуют ε1 , ε2 , a, удовлетворяющие
условиям ε2 > ε1 > 0, 0 < α ≤ α0 , где α0 определяется соотношением (56), и выполняется условие (57) для определенно(n)
го m ≥ 1. Пусть γi и γi – соответственно точное и приближенное собственные значения проблемы P на отрезке Γi
(n)
(γi , γi – корни точного и приближенного дисперсионных
урав
(n)
нений соответственно, i ≤ m, m ≥ 1). Тогда γi − γi → 0
при n → ∞.
Доказательство. Рассмотрим функции
Φ(γ) = g(γ) − αF (γ; u), Φn (γ) = g(γ) − αF (γ; un ).
Тогда, используя оценку (40) и формулы (51)–(53), находим
|Φ(γ) − Φn (γ)| = α|F (γ; u) − F (γ; un )| ≤
n
* q h,
* − un ≤ αC
≤ αCu
1−q
* не зависит от n, а все другие величины опрегде постоянная C
делены выше.
Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин.
Имеем
max |Φ(γ) − Φn (γ)| ≤ α
γ∈Γ
Qn
C∗ ,
1−Q
253
(60)
#
$
*
, Q = max(3r∗2 (γ)N(γ)) и Q < 1.
где C∗ = max h(γ)C(γ)
γ∈Γ
γ∈Γ
При выполнении условий теорем 4 и 5 существуют реше(n)
ния γi и γi точного и приближенного дисперсионного уравнений Φ(γ) = 0 и Φn (γ) = 0 (n ≥ 0). Также при доказательстве теорем 4 и 5 было установлено, что непрерывные функции
Φ(γ), Φn (γ) меняют свой знак на концах отрезка Γi . Тогда доказательство теоремы следует из оценки (60).
§12. Численный метод
Численный метод для расчета приближенных собственных
значений и приближенных собственных векторов нелинейной
краевой задачи P реализован следующим образом.
На отрезке [0, R] вводится равномерная сетка ρj = jH0 ,
j = 0, N − 1, где H0 = R/N . Все интегралы от функций по отрезку [0, R] вычисляются методом прямоугольников на этой сетке
с узлами ρ∗j = jH0 + H0 /2. Функция un рассматривается как сеточная функция, заданная в узлах ρ∗j . Точнее, un (ρ) = un (ρ∗j )
при ρ ∈ ρ∗j − H0 /2, ρ∗j + H0 /2 .
√
равномерная√сетка
На отрезке Γi вводится √
γij = λ1i + jhi ,
λ2i − δi − λ1i /Ni (шаг выбираj = 0, Ni − 1, с шагом hi =
ется достаточно мелким). Затем вычисляются значения Δ(γij ) и
определяются отрезки перемены знака Δ(γij ) на концах отрезков, т.е. находятся отрезки [γij , γi,j+1 ], для которых выполняется
условие Δ(γij )Δ(γi,j+1 ) < 0. На каждом из этих отрезков значение локализованного корня уравнения Δ(γ) = 0 уточнялось методом дихотомии. Таким образом, получаются приближенные
(n)
собственные значения *
γi , которые за счет выбора шагов H0 и
(n)
hi могут быть сделаны сколь угодно близкими к значениям γi .
Итерационный процесс (58) решения системы интегральных
уравнений (24) (при фиксированном γ) начинается с нулевого
254
Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах
приближения u0 (s) = (0, 0)T и заканчивается,
когда выполняет
n+1 ∗
n
∗
(ρj ) − u (ρj ) < δ для некоторого достася оценка max u
0≤j≤N −1
точно малого δ > 0.
Список литературы
[1] Адамс М. Введение в теорию оптических волноводов. – М.:
Мир, 1984.
[2] Ахманов С. А., Хохлов Р. В. Проблемы нелинейной оптики. – М.: ВИНИТИ, 1964.
[3] Ахмедиев Н. Н., Анкевич А. Солитоны, нелинейные импульсы и пучки. – М.: Физматлит, 2003.
[4] Банков С. Е. Аналитическое исследование фокусировки
электромагнитного поля линзой Веселаго // Радиотехника
и электроника. – 2009. – Т. 54. – № 2. – С. 133–143.
[5] Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. – М.: Наука, 1990.
[6] Бейкер Г. Ф. Абелевы функции. Теорема Абеля и связанная с ней теория тэта-функций. – М.: МЦНМО, 2008.
[7] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. – М.: Наука, 1974. Т. 2.
[8] Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных
уравнений. – М.: Высшая школа, 1991.
[9] Бломберген Н. Нелинейная оптика. – М.: Мир, 1966.
255
256
Список литературы
[10] Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. – М.: Советское радио, 1957.
[11] Валовик Д. В. Задача о распространении электромагнитных волн в слое с произвольной нелинейностью (I. ТЕволны) // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. –
№ 1. – С. 18–27.
[12] Валовик Д. В. Задача о распространении электромагнитных волн в слое с произвольной нелинейностью (II. ТМволны) // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. –
№ 2. – С. 55–66.
[13] Валовик Д. В. О существовании решений нелинейной краевой задачи на собственные значения для ТМполяризованных электромагнитных волн // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. – 2008. – № 2. – С. 86–94.
[14] Валовик Д. В. Электромагнитная задача дифракции ТМволн на нелинейном полубесконечном слое // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. – 2007. – № 2. – С. 19–25.
[15] Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Дисперсионные уравнения в
задаче о распространении электромагнитных волн в линейном слое и метаматериалы // Известия высших учебных
заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2010. – № 1. – С. 28–42.
[16] Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Нелинейная задача на собственные значения для ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое // Известия вузов. Математика. – 2008. – № 10. – С. 70–74.
[17] Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. О распространении ТМполяризованных электромагнитных волн в нелинейном
Список литературы
257
слое с нелинейностью, выраженной законом Керра //
Журн. выч. мат. и мат. физ. – 2008. – T. 48. – № 12. –
С. 2186–2194.
[18] Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Распространение ТМполяризованных электромагнитных волн в нелинейном
слое с нелинейностью, выраженной законом Керра // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2007. – № 3. – С. 35–45.
[19] Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Расчет постоянных распространения и полей для поляризованных электромагнитных
ТМ-волн в нелинейном анизотропном слое // Радиотехника и электроника. – 2009. – T. 54. – № 4. – С. 411–417.
[20] Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Расчет постоянных распространения ТМ-поляризованных электромагнитных волн в
нелинейном слое // Радиотехника и электроника. – 2008. –
T. 53. – № 8. – С. 934–940.
[21] Веселаго В. Г. Электродинамика веществ с одновременно
отрицательными значениями ε и μ // Усп. физ. наук. –
1967. – Т.92. – № 7. – С.517–526.
[22] Владимиров В. С. Уравнения математической физики. –
М.: Наука, 1981.
[23] Гольдштейн Л. Д., Зернов Н. В. Электромагнитные поля
и волны. – М.: Советское радио, 1971.
[24] Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных
несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. – М.: Наука, 1965.
[25] Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов,
сумм, рядов и произведений. – М.: ГИФМЛ, 1962.
[26] Дубровин Б. А. Римановы поверхности и нелинейные уравнения. – М.; Ижевск, 2001.
258
Список литературы
[27] Ефимов И. Е., Шермина Г. А. Волноводные линии передачи. – М.: Связь, 1979.
[28] Зигель К. Автоморфные функции нескольких комплексных переменных. – М.: ИЛ, 1954.
[29] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций
и функционального анализа. – М.: Наука, 1989.
[30] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных
работников и инженеров. – М.: Наука, 1968.
[31] Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. – М.:
Высшая школа, 1981. Т. 2.
[32] Левин Л. Теория волноводов. – М.: Радио и Связь, 1981.
[33] Маныкин Э. А. Взаимодействие излучения с веществом.
Феноменология нелинейной оптики. – М.: МИФИ, 1996.
[34] Маркушевич А. И. Введение в классическую теорию абелевых функций. – М.: Наука, 1979.
[35] Мидвинтер Дж. Э. Волоконные световоды для передачи
информации. – М.: Радио и связь, 1983.
[36] Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. – М.: Наука, 1978.
[37] Никольский В. В. Теория электромагнитного поля. – М.:
Высшая Школа, 1961.
[38] Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Изд-во МГУ, 1984.
[39] Риман Б. Сочинения. – М.: ГИТТЛ, 1948.
[40] Самарский А. А., Тихонов А. Н. О представлении поля в
волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ // Журнал теоретической физики. – 1948. – Т. 18. – № 7. – С. 971–985.
Список литературы
259
[41] Смирнов Ю. Г., Куприянова С. Н. Распространение электромагнитных волн в цилиндрических волноводах, заполненных нелинейной средой // Журн. выч. мат. и мат.
физ. – 2004. – Т. 44. – № 10. – С. 1850–1860.
[42] Смирнов Ю. Г., Куприянова С. Н. Метод интегральных
уравнений для неоднородного волновода с нелинейным заполнением по закону Керра // Известия высших учебных
заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2008. – № 4. – С. 3–9.
[43] Смирнов Ю. Г., Куприянова С. Н. Численный метод в
задаче о распространении электромагнитных волн в цилиндрических диэлектрических волноводах, заполненных
нелинейной средой // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. – 2003. – № 6. – С. 29–42. – (Естественные науки).
[44] Смирнов Ю. Г., Сысова Е. В. Решение задачи дифракции электромагнитной ТЕ-волны на диэлектрическом слое
с нелинейностью некерровского типа // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. – 2006. – № 5. –
С. 116–121. – (Естественные науки).
[45] Смирнов Ю. Г., Хорошева Э. А. Распространение электромагнитных ТМ-волн в круглых диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. – 2006. – № 5. –
С. 106–115. – (Естественные науки.)
[46] Смирнов Ю. Г., Хорошева Э. А. О разрешимости нелинейной краевой задачи на собственные значения для распространяющихся ТМ-волн в круглом нелинейном волноводе // Известия высших учебных заведений. Поволжский
регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 3 [принята к печати].
260
Список литературы
[47] Смирнов Ю. Г., Хорошева Э. А., Медведик М. Ю. Численное решение задачи о распространении электромагнитных
ТМ-волн в круглых диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой // Известия высших учебных
заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2010. – № 1. – С. 2–13.
[48] Треногин В. А. Функциональный анализ. – М.: Наука,
1993.
[49] Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Мир, 1970.
[50] Хорошева Э. А. Задача о распространении электромагнитных ТМ-волн в цилиндрических диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой // Труды XXVIII
конференции молодых ученых механико-математического
факультета МГУ. – М.: МГУ, 2006. – С. 218–223.
[51] Чеботарев Н. Г. Теория алгераических функций. – М.:
ГИТТЛ, 1948.
[52] Шатров А. Д. О разрешимости задач возбуждения плоскослоистых сред из метаматериалов // Радиотехника и электроника. – 2007. – Т. 52. – № 8. – С. 909–916.
[53] Шатров А. Д. Электродинамический анализ линзы Пендри // Радиотехника и электроника. – 2007. – Т. 52. – № 12. –
С. 1430–1435.
[54] Шевченко В. В. К волновой теории плоской линзы из отрицательного материала // Радиотехника и электроника. –
2008. – Т. 53. – № 9. – С. 1121–1127.
[55] Agranovich V. M., Babichenko V. S., Chernyak V. Ya. Sov.
Phys. JETP Lett. – 1981. – № 32. – Р. 512.
[56] Boardman A. D., Egan P. IEEE J. Quantum Electron. –
1985. – № 21. – Р. 1701.
Список литературы
261
[57] Boardman A. D., Maradudin A. A., Stegeman G. I.,
Twardowski T., Wright E. M. Phys. Rev. – 1987. – A 35. –
Р. 1159.
[58] Chen Qin, Zi Hua Wang Exact dispersion relation for TM
waves guided by thin dielectric films bounded by nonlinear
media // Optics letters. – 1993. – Vol. 18. – № 4. – P. 1–3.
[59] Chiao R. Y., Garmire E., Townes C. Phys. Rev. Lett. – 1964. –
№ 13. – Р. 479.
[60] Eleonskii P. N., Oganes’yants L. G., Silin V. P. Cylindrical
Nonlinear Waveguides // Soviet Physics Jetp. – 1972. –
Vol. 35. – № 1. – P. 44–47.
[61] Eleonskii P. N., Silin V. P. Nonlinear theory of penetration of
p-polarized waves into a conductor // Soviet Physics JETP. –
1971. – М. 33. – № 5. – P. 1039–1044.
[62] Joseph R. I., Christodoulides D. N. Exact field decomposition
for TM waves in nonlinear media // Opt. Lett. – 1987. –
Vol. 12. – № 10. – P. 826–828.
[63] Kaplan A. E. JETP Lett. – 1976. – № 24. – Р. 114.
[64] Kaplan A. E. Sov. Phys. JETP. – 1977. – № 45. – Р. 896.
[65] Khoo I. C. Phys. Rev. – 1982. – A 25. – Р. 1040.
[66] Kumar D., Choudhury P. K. Introduction to modes and their
designation in circular and elliptical fibers // Am. J. Phys. –
2007. – Vol. 75. – № 6. – P. 546–551.
[67] Langbein U., Lederer F., Peschel T., Ponath H.-E. Opt. Lett. –
1985. – № 10. – Р. 571.
[68] Leung K. M., Lin R. L. Scattering of transverse-magnetic
waves with a nonlinear film: Formal field solutions in
quadratures // Phys. Rev. B. – 1991. – Vol. 44. – № 10. –
P. 5007–5012.
262
Список литературы
[69] Leung K. M. Р-polarized nonlinear surface polaritons in
materials with intensity-dependent dielectric functions //
Physical Review B. – 1985. – Vol. 32. – № 8. – Р. 5093-5101.
[70] Marques R., Martin F., Sorolla M. Metamaterials with
Negative Parameters. Theory, Design, and Microwave
Applications. – Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons Inc.,
2008.
[71] Sammut R. A., Pask C. Gaussian and equivalent-step-index
approximations for nonlinear waveguides // Journal of the
Optical Society of America B. – 1991. – Vol. 8. – № 2. – P. 395–
402.
[72] Schürmann H. W., Schmoldt R. Optical response of a
nonlinear absorbing dielectric film // Optics Letters. – 1996. –
Vol. 21. – № 6. – P. 387–389.
[73] Schürmann H. W., Serov V. S., Shestopalov Yu. V. Reflection
and transmission of a plane TE-wave at a lossless nonlinear
dielectric film // Physica D. – 2001. – № 158. – P. 197–215.
[74] Schürmann H. W., Serov V. S., Shestopalov Yu. V. Solutions
to the Helmholtz equation for TE-guided waves in a three-layer
structure with Kerr-type nonlinearity // J. Phys. A: Math.
Gen. – 2002. – Vol. 35. – Р. 10789-10801.
[75] Schürmann H. W., Serov V. S., Shestopalov Yu. V. TEpolarized waves guided by a lossless nonlinear three-layer
structure // Phys. Rev. E. – 1998. – Vol. 58. – Р. 1040-1050.
[76] Schürmann H. W., Smirnov Yu. G., Shestopalov Yu. V.
Propagation of TE-waves in cylindrical nonlinear dielectric
waveguides // Physical Review E. – 2005. – Vol. 71. – № 1. –
P. 016614-1–016614-10.
[77] Seaton C. T. , Valera J. D., Shoemaker R. L., Stegeman G. I.,
Chilwel J. T., Smith S. D. IEEE J. Quantum Electron. –
1985. – № 21. – Р. 774.
Список литературы
263
[78] Seaton C. T., Valera J. D., Svenson B., Stegeman G. I. Opt.
Lett. – 1985. – № 10. – Р. 149.
[79] Serov V. S., Shestopalov Yu. V., Schürman H. W. Propagation
of TE waves through a layer having permittivity depending on
the transverse coordinate and lying between two half-infinite
nonlinear media // Dokl. Maths. – 1999. – Vol. 60. – Р. 742–
744.
[80] Serov V. S., Shestopalov Yu. V., Schürmann H. W. Existence
of eigenwaves and solitary waves in lossy linear and lossless
nonlinear layered waveguides // Dokl. Maths. – 1996. –
Vol. 53. – Р. 98–100.
[81] Smirnov Yu. G., Schürmann H. W., Shestopalov Yu. V.
Integral equation approach for the propagation of TE-waves
in a nonlinear dielectric cylindrical waveguide // Journal of
Nonlinear Mathematical Physics. – 2004. – Vol. 11. – № 2. –
P. 256–268.
[82] Smirnov Yu. G., Valovik D. V. Boundary eigenvalue problem
for Maxwell equations in a nonlinear dielectric layer // Applied
Mathematics. – 2010. – № 1. – P. 29–36.
[83] Snyder A., Love J. Optical Waveguide Theory. – London:
Chapman and Hall, 1983.
[84] Solymar L., Shamonina E. Waves in Metamaterials. – Oxford:
Oxford University Press, 2009.
[85] Tomlinson W. J. Opt. Lett. – 1980. – № 5. – Р. 323.
[86] Zeidler E. Aplied Functional Analysis. – New York, Berlin,
Heidelberg: Springer, 1997.
Научное издание
ВАЛОВИК Дмитрий Викторович
СМИРНОВ Юрий Геннадьевич
РАСПРОСТРАНЕНИЕ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
В НЕЛИНЕЙНЫХ СЛОИСТЫХ СРЕДАХ
Редактор А. Г. Темникова
Корректор Ю. В. Коломиец
Компьютерная верстка Д. В. Валовика
Подписано в печать 20.08.2010. Формат 60×90 1 /16.
Усл. печ. л. 16,5
Заказ № 500. Тираж 100
Издательство Пензенского государственного университета
Пенза, ул. Красная, 40, т.: 8(8412)56-47-33