3.10 Граничные условия для векторов магнитного поля Файл

1
3.10. Граничные условия для векторов магнитного поля.


B
и H , исходя из теоремы о
 

потоке вектора через замкнутую поверхность:  BdS  0 и из теоремы о циркуляции вектора H по
  4
замкнутому контуру:  Hdl 
I.
c

Сосчитаем поток вектора B через поверхность малого
Рассмотрим границу двух магнетиков. Получим граничные для векторов
2

n2
цилиндра, охватывающего границу раздела 2-х сред:
B1n1 S  B2 n2 S  B S бок  0 ,

n
S
1
где S - площадь основания цилиндра, Sбок - площадь боковой
поверхности. Устремляя высоту цилиндра h  0 и
S бок  0 , получаем на границе:
B1n1   B2 n2
h
n1 и n2 - противоположно направленные

нормали, и вводя общую нормаль n , имеем:
B1n  B2 n
(3.10.1)

Итак: нормальные составляющие вектора B непрерывны на
и, учитывая, что

n1
Рис. 10.1.
границе раздела двух магнетиков.

 1 
Нормальные составляющие вектора H получим, используя соотношение (3.9.20) H  B . Тогда из

(3.10.1) имеем:
 1 H 1n   2 H 2 n .
Откуда получаем соотношение для нормальных составляющих напряженности магнитного поля:
H 1n  2

H 2n 1

(3.10.2)
Нормальные составляющие вектора H терпят разрыв на границе двух магнетиков.
Предположим для общности, что вдоль поверхности раздела магнетиков течет ток проводимости
I.

Применим теорему о циркуляции вектора H к очень малому прямоугольному контуру, пересекающего
границу 2-х сред, причем высота контура b пренебрежимо мала по сравнению с его длиной a (см рис. 10.2):
 
4
4
H
(3.10.3)
L dl  H 2  a  H 1 a  2  H n  b  c I  c j N ab .
Здесь

n
2
к выбранному контуру, т.е. перпендикулярно к


векторам n ,  (если  - единичный вектор вдоль
b
контура, а N - единичный вектор, перпендикулярный
к плоскости контура, как показано на рис. 10.2). Тогда
устремляя b  0 , получаем:

a


j N - нормальная составляющая плотности тока
1
b
a

N
Рис. 10.2.
H 2   H 1 


4
iN ,
c
(3.10.4)
где i  j b плотность поверхностного тока, т.е. ток,
текущий через единицу длины поверхности. Перейдем
к векторной форме записи полученного выражения,
учитывая, что
 

 


  N , n , H   H и i N  i N :
2
H

2
   
 
 

 


 
 
   4  
 H1   H 2  H1  N ,n  n , H 2  n , H1 N 
iN ,
c
Здесь мы воспользовались циклической перестановкой векторов в смешанном скалярно-векторном
произведении. Из последнего равенства имеем:
n , H  n , H   4c i .
2
(3.10.5)
1

Итак, тангенциальная составляющая вектора H при переходе границы раздела магнетиков, вообще
говоря, претерпевает скачок, связанный с наличием поверхностных токов проводимости. Если токов
проводимости вдоль поверхности раздела нет, то тангенциальные составляющие вектора
непрерывны:
H 1  H 2 .

H также
(3.10.6)
Итак, если на границе раздела двух однородных магнетиков тока проводимости нет, то при переходе
этой границы проекции векторов Bn и H  изменяются непрерывно, без скачка. Составляющие B и H n
при этом претерпевают скачок.
B2
2
B2 n
2
1

B
B1  1n
1

На границе раздела двух магнетиков линии вектора B испытывают
преломление (рис. 10.3). Найдем отношение тангенсов углов 1 и  2 ,

B2

B по разные стороны границы раздела:
tg 2 B2  B 2 n

.
(3.10.7)
tg1
B1 B1n
определяющих направление вектора
Ограничимся случаем, когда на поверхности раздела тока нет, то есть
B2  B1

2
1
и
B2 n  B1n .
B1
В этом случае закон преломления линий вектора
Рис. 10.3.
вектора


H ) имеет вид:

tg 2  2

.
tg1  1

B (а значит, и линий
(3.10.8)
Изобразим поле векторов B и H вблизи границы раздела двух магнетиков при отсутствии токов
проводимости и, полагая  2   1 (см рис. 10.4). Из сравнения густоты линий видно, что B2  B1 , а
2
Поле

B
Поле

H

H 2  H 1 . Линии вектора B не терпят
разрыва при переходе границы раздела, а

линии вектора H терпят в этом случае
разрыв (из-за наличия на поверхностях
2
магнетиков токов намагничивания).
На явлении преломления магнитных
1
линий на поверхностях раздела магнетиков
основана магнитная защита. При внесении в
1
магнитное поле замкнутой оболочки из
сильномагнитного материала линии этого
поля будут концентрироваться (сгущаться)
Рис. 10.4.
преимущественно
в
самом
материале
оболочки. Внутри же полости, окруженной
оболочкой, магнитное поле оказывается сильно ослабленным по сравнению с внешним полем. Таким
образом, такая оболочка обладает экранирующим действием. Это свойство используют для предохранения
чувствительных приборов от внешних магнитных полей.
Экраны из сильномагнитных материалов не позволяют свести к нулю действие внешнего магнитного
поля. Полностью экранируют магнитное поле лишь сверхпроводники.