Магнитное поле в среде Закон Био–Савара в среде

1. Магнитостатика
1.
1
Магнитостатика
Урок 20
Магнитное поле в среде Закон Био–Савара в среде:
dB =
µ J [dl × r]
µ [j × r] dV
µ [v × r]
=
=
dq.
3
3
c
r
c
r
cr3
Сила Ампера в среде:
J [dl × B]
[j × B] dV
[v × B] dq
=
=
.
c
c
c
Вектор намагниченности M – средний магнитный момент единицы объема
dF =
dm = MdV, jмол = c rot M;
B = H + 4πM.
Дифференциальные уравнения Максвела в среде:
4π
div B = 0, rot H =
j, где H = B − 4πM.
c
В интегральной форме:
ZZ
I
ZZ
4π
° Bn dS = 0,
Hl dl =
jn dS.
c
Граничные условия:
4π
[Iпов × n21 ] .
c
Магнитная проницаемость µ = 1 – вакуум, µ & 1 – парамагнетик, µ . 1 – диамагнетик, µ = 0
– сверхпроводник (эффект Мейснера), µ À 1R– ферромагнетик.
µH 2
dV , сила давления магнитного поля
Энергия магнитного поля W
=
8π
R
R µH 2
Fn = pdS =
dS.
8π
Правила Кирхгофа для потока магнитного поля:
X
X
X
Φk = 0,
EM =
Φ k Jk ,
B1n | = B2n |, H1τ | − H2τ | =
где
EM =
1.1.
(Задача
5.1)
В
пространстве,
4π
JN.
c
заполненном
магнетиком
с
проницаемостью
2
µ1 , расположен бесконечный прямолинейный проводник с током J вдоль оси
Z. Проводящая сфера с центром в начале координат (радиус a ) заменяет соответствующую часть линейного проводника. Внутри сферы – магнетик с проницаемостью µ2 . Найти B и H всюду.
Решение В силу осевой симметрии силовые линии магнитного поля имеют только α-тую составляющую т.е.
Hz = Hr = 0.
Записывая теорему Стокса с использованием интеграла по силовой линии вне сферы и проводника
мы получим
I
4π
Hd` = Hα 2πr =
I,
c
откуда
2J
Hα =
, Bα = µ1 Hα .
cr
Внутри сферы
H = 0, B = 0.
Легко показать, что на сфере выполняются все граничные условия - непрерывность нормальной
составляющей B (она равна нулю с обеих сторон поверхности), и граничное условие для Hτ . Покажите это сами.
1.2.
(Задача 5.2) Цилиндрический проводник радиуса a проходит перпендикулярно через плоскую границу раздела двух магнетиков с проницаемостями µ1 и
µ2 . По проводнику идет постоянный ток J. Найти распределение полей H и B во
всем пространстве.
Решение Так же как и в предыдущей задаче система осесимметрична, поэтому Hr = Hz =
Br = Bz = 0 всюду. Отлична от нуля только α-тая составляющая H и B. Предположим также,
что ток распределен равномерно по сечению проводника. Тогда, используя теорему Стокса, мы
можем записать внутри проводника r ≤ a
I
4π Jπr2
Hd` = Hα 2πr =
,
c πa2
откуда
2Jr
Hα = Bα = 2 , при r ≤ a.
ca
Снаружи при r > a
Hα =
2J
2µ1 J
2µ2 J
и Bα =
для z > 0 и Bα =
для z < 0.
cr
cr
cr
1. Магнитостатика
3
1.3. (Задача 5.3) Прямой провод с постоянным током J проходит по оси симметрии толстой трубы с радиусами a, b (a < b). Одна половина трубы имеет
магнитную проницаемость µ1 , вторая – µ2 . Найти B во всем пространстве.
Решение Задача решается аналогично предыдущим. Br = Bz = 0 всюду, (Bα )i = µi 2J
для
cr
i = 1, 2 при a ≤ r ≤ b; Bα = 2J
в
остальном
пространстве.
cr
1.4. (Задача 5.4) Ток J течет по прямолинейному проводу, совпадающему с осью Z. От
оси расходятся веерообразно три полуплоскости, образующие три двугранных угла α1 , α2 , α3 ,
(α1 + α2 + α3 = 2π). Пространство внутри каждого из углов заполнено однородным магнетиком
с магнитными проницаемостями соответственно µ1 , µ2 , µ3 . Определить магнитное поле во всем
пространстве.
Решение Предположим, что по прежнему имеется только α-ая составляющая векторов B и
H. Используя теорему Стокса для окружности с центром на проводе, получим (подразумевая
Hi = Hα,i
X
X
4π
Hi rαi =
J =r
Hi αi .
c
i
i
Умножая и деля каждый член под суммой на µi , получим
X
X µi
4πJ
=
Hi αi =
Hi αi ,
cr
µi
i
i
используя определение Bi = µi Hi и непрерывность нормальных компонент (т.е. Bα ) на каждой
из границ, выражение перепишется в виде
B1 = B2 = B3 = Bα =
2π
2J
.
cr (α1 /µ1 + α2 /µ2 + α3 /µ3 )
Hα,i = Bα /µi , i = 1, 2, 3.
1.5. (Задача 5.5) Найти магнитное поле в тонкой плоской щели, если поле в среде (µ) можно
считать однородным.
Решение Предположим, что поле в среде вдали от щели направлено под углом θ к нормали к
щели и обозначим индексом 0 поле в щели, а индексом 1 поле в среде. Тогда из граничных условий
можно написать
H0n =Bn1 = B cos θ
B
B1τ
= sin θ.
H0τ =H1τ =
µ
µ
4
Это можно записать в векторном виде
H0 = n (Bn) +
1
n × [B × n] ,
µ
или используя известное соотношение для двойного векторного произведения, можно это выражение переписать в виде
¶
µ
1
1
(Bn) n.
H= B+ 1−
µ
µ
1.6. (Задача 5.7) В однородное магнитное поле H0 вносится шар радиуса a с магнитной проницаемостью µ1 . Определить результирующее поде, индуцированный магнитный момент шара m
и плотность токов jмол , эквивалентных приобретаемой шаром намагниченности. Магнитная проницаемость окружающей среды µ2 .
Решение В области, в которой нет токов, магнитное поле определяется системой уравнений
rot H = 0; div B = 0;
С граничными условиями на границе раздела сред (на границе шар-окружающая среда)
H1τ = H2τ ; B1n = B2n .
Поскольку rot H = 0, то можно ввести скалярную функцию ψ такую, что H = −∇ψ. Если
записать уравнения и граничные условия через потенциал, то мы получим в точности такую же
математическую задачу, как и задачу о электростатическом поле при наличии границы раздела
двух диэлектриков (задача 2.8а). Тогда, выполнив замену
ε1,2 → µ1,2 , E → H, B → D
можно записать решение для магнитного поля, используя ранее полученное решение для электростатического поля
3µ2 H0
,
µ1 + 2µ2
m 3 (mr) r
,
H2 =H0 − 3 +
r
r5
µ1 − µ2
m=
H0 a3 .
µ1 + 2µ2
H1 =
Поскольку поле внутри шара однородное, то намагниченность
M=
m
,
4/3πa3
1. Магнитостатика
5
плотность объемных токов
jмол = c rot M = 0,
а плотность поверхностных токов
iмол = c [n × (M2 − M1 )] , iα =
.
3 µ1 − µ2
cH0 sin θ
4π µ1 + 2µ2