Аномальные магнитные моменты протона и электрона
advertisement
Ю. Э. Зевацкий АНОМАЛЬНЫЕ МАГНИТНЫЕ МОМЕНТЫ ПРОТОНА И ЭЛЕКТРОНА КАК РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ЭФФЕКТ СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ На основе отношения неопределенностей Гейзенберга предложена бивекторная модель основного (гауссова) состояния элементарной частицы. Предложена новая трактовка наблюдаемой физической величины. Показано, что учет релятивисткой массы приводит к появлению дополнительного (углового) момента импульса у частиц в основном состоянии. Проведен расчет аномальных значений магнитных моментов протона и электрона, достигнуто приемлемое соответствие экспериментальным данным. Предложен иной подход к определению взаимосвязи спина, углового и полного моментов элементарной частицы. Факт аномальных значений магнитных момен тов протона и электрона до самого последнего вре мени играет в построении квантовых моделей важ ную роль. Общеизвестно, что рассматривая анома лию магнитного момента электрона как объектив ное явление, Швингер заложил основы релятивист ской квантовой электродинамики [1]. Используя эк спериментальные значения магнитного момента электрона при аналитическом решении релятивист ского уравнения Дирака в работе [2] рассчитан с высокой точностью сдвиг Лэмба для некоторых пе реходов в спектрах водородоподобных ионов. Наличие отклонений экспериментальных зна чений магнитных моментов протона и электрона от теоретических значений, предсказанных теорией Дирака, в настоящей работе предлагается рассмат ривать как следствие наличия угловых моментов у частиц в основных (самых низколежащих) состоя ниях. Косвенно об этом упоминал еще Борн [3], классифицируя отсутствие аддитивности при расче те момента ядра дейтерия по моментам протона и нейтрона как отсутствие чистого Sсостояния про тив ожидаемого. Рассматривая элементарную частицу как мате риальную точку с радиусвектором r и импульсом P, особого внимания заслуживает величина их ска лярного произведения. Учитывая статистический ха рактер в определении этих величин и вводя тради ционное понятие среднего значения [4], можно за писать (r, P) = (rср, Pср) + (Δr, ΔP) (1) где rср и Pср – вектора средних значений коор динаты и импульса соответственно. Квадрат второ го члена суммы в правой части равенства (1) связан с произведением дисперсий координат и импульсов очевидным соотношением 10 (Dr, DP )2 = Dr 2 ×DP 2 - [Dr, DP ]2 (2) По критерию устойчивости в среднем положе нии допустимо равенство (3) [Dr, DP ]2 = 0 Рассматривая стационарное движение частицы в полярных координатах, требуем, чтобы позицион ная координата r2 была постоянной [5]. Это достига ется при условии (rср, Pср) = 0 (4) Согласно соотношению неопределенностей в формулировке Гейзенберга [4] 2 Dr 2 ×DP 2 ³ h (5) 4 причем равенство соблюдается в состоянии ми нимальной неопределенности, так называемом га уссовом. Таким образом, в стационарном гауссо вом состоянии частицы имеет место следующее ра венство: (r, P )2 = 1 4 (6) Здесь и в дальнейшем будут использоваться атомные единицы [6]. Тот факт, что вследствие прин ципа неопределенности частица в покое, в отсутст вие взаимодействий обладает ненулевыми импуль сом и координатой указывает, что эти величины нельзя рассматривать в виде обычных векторов в трехмерном эвклидовом пространстве. Иначе го воря, в квантовом рассмотрении для определения координаты и импульса недостаточно трех чисел, соответственно. Ниже приводится развитие этого положения, полагая импульсы и координаты бивек торами. В контексте данной статьи бивектор опре делен как пара векторов, имеющих общее начало в начале координат. При этом, любой из них может быть получен из второго ортогональным преобразо ванием координат. Следовательно, нормы указан ной пары векторов по правилам эвклидовых прос транств равны между собой. Норма бивектора при Известия СанктПетербургского государственного технологического института (технического университета) №1 (27) нимается равной норме составляющих его векто ров. Далее предполагается, что существует некото рая неподвижная ось, проходящая через начало ко ординат и вектор угловой скорости Ω, направлен ный вдоль неё таким образом, что P = m [W , r ] (7) где m – масса частицы, и (W ,W )= W 2 (8) Подставляя (7) в (6), а также используя (8), полу чим 2 2 1 m2 ( W , [r, r ]) = m2W 2 [r, r ] = 4 (9) Это равенство свидетельствует сразу о трех фактах. Вопервых, следствием принципа неопреде ленности является невозможность выбора непо движной системы координат с неподвижной в прос транстве осью. Иными словами, фиксируя какоели бо направление, рассматривать квантовые явления необходимо с учетом вращения вокруг этого на правления с некоторой конечной угловой скорос тью. Второе – это то, что векторное произведение координаты самой на себя ни при каких условиях не обращается в нуль, что допустимо для бивекто ров. Иначе говоря, скалярное произведение ради усвектора квантовой частицы на себя в любой сис теме координат оказывается меньше квадрата его нормы. И последнее – неопределенность координа ты по направлению (бивектор координаты) находит ся в плоскости, перпендикулярной выбранному фиксированному направлению. Равенство (9) позволяет сделать некоторые предположения о характере измеряемой физичес кой величины. Если некоторый параметр, имеющий физический смысл, может быть выражен как бивек тор, то потенциально определяемой величиной это го параметра может являться скалярное произведе ние его самого на себя. Выражаясь в традициях ко пенгагенской школы, наблюдаемой физической ве личиной может только та, скалярное произведение которой самой на себя не обращается в нуль. Опи раясь на это предположение, можно говорить, что импульс и координата частицы в стационарном га уссовом состоянии не наблюдаемы (P,P )= (r, r )= 0 (10) несмотря на то, что нормы величин P и r не рав ны нулю. В противоположность этому, момент им пульса L, который определен как векторное произ ведение радиусвектора на импульс частицы, на блюдаем всегда при не нулевой норме L = m (r , r )W (11) 1 (L, L )= m2W 2r 4 (12) 4 Квадрат энергии вращения частицы – величина существенно положительная2 1 2 W Wâð2 = (L,W ) + (13) 4 16 т. к. даже при нулевом моменте импульса (в ста ционарном гауссовом состоянии) не равна нулю. Это значит, что находясь на самом низшем враща тельном уровне, частица обладает некоторой конеч ной энергией вращения, аналогично тому, как ведет себя квантовый осциллятор на нулевом колебатель ном уровне. Последнее обстоятельство устраняет давнее противоречие между старой квантовой тео рией и закономерностями, обнаруженными во вра щательных (ИК) спектрах молекул [7]. Аналогичное равенство получаем для скаляр ных и векторных произведений импульсов, сумма квадратов которых не обращается в нуль æmW ö (14) P = (P, P ) + [P, P ] = ( m W (r , r ))+ ç ÷ 4 2 2 2 2 2 2 Уравнение Эйнштейна в атомных единицах за пишем следующим образом 2 2 æm ö æm ö (15) = P2 + 0 ç ÷ èa ø ça ÷ è ø ê где α – постоянная Зоммерфельда (тонкой структу ры), P^e – кинетический импульс частицы, m0 – ее масса покоя. Принципиальным допущением в предлагаемой модели является определение свя зи между элементами равенств (14) и (15). Одним из вариантов является предложение рассматри вать равными импульс, фигурирующий в левой час ти (14), и полный (релятивистский) импульс, стоящий в левой части (15). Выделяя константы, находим 4m 2 (16) W2 = 0 a4 что в точности совпадает с частотой так называ емого дрожательного движения релятивистской час тицы (Zitterbewegung по Шредингеру). Энергия ука занного движения по величине равна энергии массы покоя частицы. Введем обозначение λ для компто новской длины волны частицы в атомных единицах l =a m (17) Проводя алгебраические преобразования, по лучим следующее выражение для нормы момента импульса L 1 (r, r ) 1 (18) L= + 2 64 l4 8 Рассматривая скалярное произведение бивекто ра на себя как наблюдаемую в экспериментах величи ну, можно сопоставить ей полное сечение частицы при упругом рассеянии на такой же частице, получаемое в пределе нулевой кинетической энергии движения (r, r )= u ×s (19) где u – безразмерный постоянный коэффици ент. Основания для этого очевидны и заключаются в малости возмущения, вносимого в основное со стояние частицы при взаимодействии с одноимен ной частицей с низкой кинетической энергией W. Второе – это то, что указанное рассеяние целиком определяется нулевой фазой η0 Sрассеяния, при чем полное эффективное сечение равно [8,9] 2p s = 4p a = sin h (20) mW Длина рассеяния a не зависит от энергии нале тающей частицы W. Третье основание базируется на том, что при столкновении одинаковых частиц се чение рассеяния определяется исключительно па раметрами их строения. Экспериментальные данные по длине рассея ния медленных протонов на протонах из работ [9–12] приведены ниже в таблице 1: 2 2 0 Èñòî÷íèê app, ôì ïîãðåøíîñòü, ôì [9] – 7,784 0,030 [10] –7,7856 0,078 [11] –7,802 0,004 [12] –7,66 0,05 ñðåäíåå –7,75 Таблица 1 Используя среднее значение в (20) и полагая u = 2,34x10–4 в (19), получим по формуле (18) для протона L p = 1,97 (21) Указанная величина углового момента с учетом gфактора, равного 1, дает вклад в магнитный мо è 2 ø Известия СанктПетербургского государственного технологического института (технического университета) №1 (27) 11 мент протона в размере 1,97 ядерного магнетона. Это менее чем на 9,7 % отличается от эксперимен тального значения 1,792847337 [13]. Данные по электронэлектронному рассеянию в литературе приводятся в виде зависимости диф ференциальных сечений от кинетических энергий электронов. В этом случае длины рассеяния могут быть получены путем экстраполяции по методу эф фективного радиуса [9,14]. Переход от дифференци ального сечения к нулевой фазе рассеяния η0 рас считывали в приближении рассеяния барьером ку лоновского поля [9]. В таблице 2 приводятся ре зультаты расчетов по экспериментальным данным [15–17] с указанием интервала энергий падающих электронов. r 2 P 2 = L2 + 1 4 (26) Вводя, согласно Дираку, j – целое число полно го момента, имеем 2 1 æ 1ö 2 çj + ÷ = L + 4 è 2ø (27) Отсюда непосредственно вытекает закон кван тования для оператора квадрата углового момента частицы æ 1 1 öæ 1 1 ö L2 = ç j + - ÷ç j + + ÷= j (j +1) è 2 2 øè 2 2 ø (28) Вводя для состояний, в которых не достигается минимальная неопределенность [4], спиновое це лое число s, выражение (27) преобразуется к виду 2 2 æ 1ö æ 1ö ç j + ÷ = l (l +1)+ çs + ÷ è 2ø è 2ø (29) где l – целое число углового момента, s = 0 для гауссовых состояний. Полученное равенство равно [15] – 186 0,47 – 1,16 сильно общепринятому закону о сложении квадра [16] –150 0,6 – 1,7 тов операторов моментов, выраженному через соб ственные значения операторов [17] –160 0,6 – 1,2 j (j + 1)= l (l + 1)+ s (s +1) (30) Таким образом, связывая величину спина час ñðåäíåå –165 тицы со скалярным произведением импульса и ко Таблица 2 ординаты в гауссовом состоянии частицы, получены Подставляя это значение в (20), а затем в (19) достоверные соотношения, связывающие квадраты полного, углового и спинового моментов. и (18) при u = 2,34x10–4, получим Èñòî÷íèê aee, ôì èíòåðâàë ýíåðãèé W, Ìý Le = 0, 00107 (22) что с учетом gфактора, равного 1 дает вклад в магнитный момент электрона 0,00107 магнетона Бора. Сравнение с экспериментально определен ным значением – 0,0011596521869 [13] обнару живает расхождение в 7,7 %. По формулам (14) – (16) и (18) можно найти значения релятивистских коэффициентов β – отно шения кинетического импульса к полному импульсу частицы, при которых расчетные значения угловых моментов будут соответствовать эксперименталь L ным. b= L + 0, 25 (23) При подстановке значений моментов из [13], получим be = 0, 00232 (24) для электрона и b p = 0,963 (25) для протона. Такое существенное отличие доли кинетического импульса протона от аналогичной доли у электрона может быть истолковано с помо щью концепции Герца о кинетическом происхожде нии потенциальной энергии [18] следующим обра зом. Рассматривая импульсы и моменты в основ ных состояниях частиц как результат скрытых дви жений по циклическим координатам, иначе говоря, в квантовой терминологии, исключая степень сво боды частицы, связанную со спином, мы получим наличие потенциального поля, весьма существен ного в случае протона и незначительного в случае электрона. Радиус действия сил указанного поля по рядка комптоновской длины волны частицы, обсуж дение характера данного поля выходит за рамки на стоящей статьи. Последнее замечание касается еще одного вы вода из формулы (6). При наличии у частицы не ну левого момента импульса в стационарном гауссо вом состоянии имеет место следующее соотноше ние, вытекающее из векторных правил 2 12 Выводы Допускается рассматривать спин не только как оператор в виде матриц Паули, но и как скалярное произведение импульса и координаты частицы в стационарном гауссовом состоянии. Это допуще ние не идет в разрез с рядом экспериментальных фактов и с некоторыми положениями квантовой тео рии. Преимущество данного предложения заключа ется в наглядности правила квантования углового момента, при этом нет нужды определять норму угло _____ вого момента как l(l+1) при максимальном значе нии l – его проекции на пространственную ось. Аномальные значения магнитных моментов электрона и протона можно рассматривать как про явление угловых моментов в основных состояниях, связанных со спином исключительно релятивист ским эффектом изменения массы. Для физических величин, представимых в виде бивекторов, предлагается ввести понятие наблюда емого значения. Численно это значение равно квадратному корню из скалярного произведения величины на себя. Вследствие принципа неопреде ленности это значение далеко не всегда в точности равно норме. Равенство имеет место всегда в пре деле – h → 0. Показано, что невозможно выбрать не враща ющуюся систему отсчета с неподвижной в простран стве осью при описании состояний квантовой части цы. Величина частоты вращения системы равна час тоте дрожательного движения (Zitterbewegung). К очевидному недостатку предлагаемой модели стоит отнести то, что в ней подразумевается нали чие у частицы некоторой гипотетической массы по коя m0, которой она обладала бы в пределе β → 0. Для электрона эта гипотетическая масса покоя сравнима с наблюдаемой и составляет 0,999997 атомных единиц массы. Что касается про тона, то ему следует приписать массу покоя Известия СанктПетербургского государственного технологического института (технического университета) №1 (27) [7]Герцберг Г. Спектры и строение двухатомных молекул. М.: ИЛ, 1949. С. 56. [8] Мак$Даниель И. Процессы столкновений в ионизированных газах. М.: Мир, 1967. С. 115. [9] Мотт Н., Месси Г. Теория атомных столкнове ний. М.: Мир, 1969. С. 50, 51, 60, 279, 286. [10] Brolley J.E. // Aust. J. Phys., 1969. Vol. 22. P. 332. [11] Howell C.R. // AIP Conf. Proc. (Application of Accelerators in Research and Industry: 17th Int. Conference), 2003. № 680. P. 261. [12] Jackson J.D., Blatt J.M. // Rev. Mod. Phys., 1950. Vol. 77. № 22. P. 109. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ [13]Mohr P.J., Taylor B.N. // Physics Today, 2003. № 8. BG. 9,10. [14] Хастед Дж. Физика атомных столкновений. [1] Рамзей Н. Молекулярные пучки. М.: ИЛ, М.: Мир, 1965. С. 87. 1960. С. 229. [15] Page L.A., Woodward W.M. // Phys. Rev., [2] А. В. Андреев // Оптика и спектроскопия, 1950. Vol. 79. № 1. Р. 228. 2004. 96. № 5. С. 711–715. [16]Page L.A. // Phys. Rev., 1951. Vol. 81. № 6. Р. [3] Борн М. Атомная физика. М.: Мир, 1965. С. 1063. 244. [17]Ashkin A., Page L.A., Woodward W.M. // Phys. [4] А. С. Холево Статистическая структура кван товой теории. МоскваИжевск: Институт компьютер Rev., 1954. Vol. 94. № 2. Р. 360. [18] Герц Г. Принципы механики, изложенные ных исследований, 2003. С. 14, 33, 41. [5] Ф. Р. Гантмахер Лекции по аналитической в новой связи. М.: Издво АН СССР, 1959. С. 243. механике. М.: Физматлит, 2002. С. 249. [6] В. А. Фок Начала квантовой механики. М.: Наука, 1976. С. 193. в 3,72 раза ниже наблюдаемой, т. е. примерно 493 а. е. м. К сожалению, проверить данное поло жение в настоящее время автору не представляет ся возможным. Точность метода планируется увеличить, путем установления более строгой связи между величина ми, фигурирующими в (14) и (15), т. е. между наблю даемыми и релятивистскими значениями импуль сов. Кроме того, в качестве наблюдаемой величины (r, r) можно предложить использовать какойлибо другой экспериментальный параметр, связанный с линейными размерами частицы. Известия СанктПетербургского государственного технологического института (технического университета) №1 (27) 13
