ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ элементы теории кривых

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
элементы теории кривых
ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович
[email protected]
Санкт-Петербургский государственный университет
Факультет прикладной математики – процессов управления
Санкт-Петербург – 2014г.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
1 / 10
Понятие кривой I
Определение
Элементарной кривой называют множество точек пространства, являющееся
образом открытого отрезка при топологическом отображении его в
пространство.
Определение
Точки, соответствующие конечным точкам отрезка, называют конечными
точками элементарной кривой.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
2 / 10
Понятие кривой II
Определение
Две элементарные кривые называются примыкающими, если одна или обе пары
их конечных точек совпадают между собой.
Определение
Кривой линией называют множество точек пространства, которое состоит из
конечного или счетного множества элементарных кривых, примыкающих друг к
другу.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
3 / 10
Понятие кривой III
Пусть γ – элементарная кривая,
являющаяся образом промежутка a < t < b, при топологическом отображении
его в пространство R3 , x(t), y(t), z(t) – координаты точки на пространственной
кривой γ, соответствующей значению t ∈ (a, b).
Определение
Систему равенств

 x = x(t),
y = y(t),

z = z(t),
t ∈ (a, b),
называют параметрическими уравнениями пространственной кривой γ или
параметризацией пространственной кривой.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
4 / 10
Понятие кривой IV
Замечание
Если для некоторого значения t, например x0 (t) 6= 0, то параметрические
уравнения кривой γ можно записать в явном виде y = y(x), z = z(x).
Замечание
Любая пространственная кривая представима как пересечение двух
поверхностей, т. е. каждая её точка удовлетворяет системе уравнений
F (x, y, z) = 0,
Φ(x, y, z) = 0.
,.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
5 / 10
Понятие кривой V
Замечание
Считая x(t), y(t), z(t) координатами радиус-вектора r(t) соответствующей точки
кривой γ, получим векторную функцию r(t), t ∈ (a, b), годографом которой
является данная кривая.
Если в векторной функции r(t), t ∈ (a, b) заменить параметр t параметром
u с помощью соотношения t = g(u), u ∈ (α, β), где g – строго
возрастающая и непрерывная функция,
то получаем новую параметризацию той же кривой γ.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
6 / 10
Понятие кривой VI
Замечание
Если кривая γ является плоской, то ее параметрические уравнения имеют вид
x = x(t),
y = y(t),
где t ∈ (a, b).
Замечание
Плоская кривая описывается явным уравнением y = y(x), когда для некоторого
значения t, например, производная x0 (t) 6= 0.
Замечание
Неявное уравнение плоской кривой имеет вид F (x, y) = 0.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
7 / 10
Понятие кривой VII
Замечание
Пусть F (x, y, c) = 0 – уравнение однопараметрического семейства плоских
кривых.
Определение
Гладкая кривая называется огибающей указанного семейства, если каждой своей
точкой она касается хотя бы одной кривой этого семейства, а каждым своим
куском – бесконечного числа этих кривых.
Определение
Множество точек, координаты которых удовлетворяют системе уравнений
F (x, y, c) = 0,
Fc0 (x, y, c) = 0,
называется дискриминантной кривой (дискриминантой).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
8 / 10
Понятие кривой VIII
Замечание
Если однопараметрическое семейство допускает огибающую, то она входит в
состав дискриминанты. При этом любая точка дискриминанты, где
Fx02 + Fy02 6= 0,
является точкой огибающей.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
9 / 10
Понятие кривой IX
Замечание
Если семейство плоских кривых задано параметрическими уравнениями
x = x(t, c),
y = y(t, c),
при t ∈ (a, b), то дискриминанта удовлетворяет системе

 x = x(t, c),
y = y(t, c),
 0 0
xt yc + x0c yt0 = 0.
02
При этом любая точка дискриминанты, в которой x02
t + yt 6= 0, является точкой
огибающей однопараметрического семейства.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
10 / 10