ЛЕКЦИЯ 10 Орбитальный момент импульса. Движение в

Л Е К Ц И Я 10
ОРБИТАЛЬНЫЙ МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
Дальше мы намерены перейти к анализу движения частицы в центральном поле. Как
и в классической физике, здесь очень важную роль играет момент импульса. Но в квантовой
механике бывает два момента импульса - связанный с движением частицы и имеющий
классический аналог, и не связанный с движением частицы, собственный момент, не
имеющий классического аналога. Первый называется орбитальным, второй - спином. Сейчас
будем рассматривать только орбитальный момент импульса.
В классической механике
L = r×
×p.
Эта формула переносится и в квантовую механику, но для операторов:
L$ = r$ × p$
В декартовых координатах в r-представлении компоненты имеют вид:
∂
∂
L$ x = y$ P$z - z$ P$ y = -i h(y
−z )
∂z
∂y
∂
∂
L$ y = z$ P$ x - x$ P$z = -i h(z
−x )
∂x
∂z
∂
∂
L$ z = x$ P$ y - y$ P$ x = -i h(x
− y ).
∂y
∂x
Это можно записать единообразно:
∂
∂
− xl
).
L$ j = i hε j kl (x k
∂x l
∂x k
Здесь εjkl --символ Леви-Чевита: антисимметричен по всем индексам и нормирован условием
ε123 = +1. Компоненты с разными значками отличны от нуля, а если хотя бы одна пара
одинаковых индексов, то равны 0. При этом
ε123 = ε312 = ε231 = +1, ε213 = ε321 = ε132 = -1.
Используя коммутации
[x$ , x$ ] = [p$ , p$ ] = 0,[x$ , p$ ] = i hδ
j
легко показать, что
т.е.
[L$
x
k
j
]
j
[
]
k
[
jk
I$,
]
, L$ y = i hL$ z , L$ z , L$ x = i hL$ y , L$ y , L$ z = i hL$ x ,
[L$ , L$ ] = i hε
j
k
k
j kl
L$ l .
1
Важную роль играет оператор квадрата момента
L$ 2 = L$ 2 x + L$ 2 y + L$ 2 z ,
который коммутирует с операторами компонентов момента:
[L$ , L$ ] = 0$ .
2
j
Дальнейший анализ удобно проводить в сферических координатах
x = rcosϕsinθ, y =rsinϕsinθ, z =rcosθ.
Довольно нудные выкладки по замене переменных дают:
∂
∂
L$ x = i h(sin ϕ
+ ctgθ cos ϕ )
∂θ
∂ϕ
∂
∂
L$ y = -i h(cos ϕ
− ctgθ sin ϕ )
∂θ
∂ϕ
∂
L$ z = -i h
.
∂ϕ
Особенно важным является последнее соотношение. Проверим его
 ∂x ∂
∂
∂y ∂
∂z ∂ 
= − i h
+
+
=
∂ϕ
 ∂ϕ ∂x ∂ϕ ∂y ∂ϕ ∂z 


∂
∂
= − i h − r sin ϕ sin θ
+ r cos ϕ sin θ
+ 0 =
∂x
∂y



∂
∂
$ $ x = L$ z .
= − i h − y
+x
 = x$ p$ y − yp
∂x
∂y 

− ih
Не менее важен оператор L$ 2 .
В сферических координатах он с точностью до множителя совпадает с угловой
частью оператора Лапласа:
 1 ∂
∂
1
∂2 
2
2
2
2
$
L = − h ∇θ,ϕ = - h 
(sin θ ) +
.
∂θ
sin 2 θ ∂ϕ2 
 sin θ ∂θ
Напомним, что полный оператор Лапласа есть
1 ∂ 2 ∂
∇ 2 ≡ ∆ = ∇ r 2 + ∇ 2θ,ϕ = 2
(r
) + ∇ 2θ,ϕ .
∂r
r ∂r
Все операторы момента содержат только θ и ϕ, но не r. Поэтому их собственные
функции могут содержать любую зависимость от r, которая нас не интересует. Считаем
поэтому, что все происходит на сфере единичного радиуса, а потому
ψ = ψ(θ,ϕ).
2
Ставим задачу на отыскание общих собственных функций взаимно коммутирующих
операторов L$ 2 и L$ z :
L$ 2 ψ(θ,ϕ) = L2ψ(θ,ϕ)
L$ z ψ(θ,ϕ) = Lzψ(θ,ϕ)
и вводим обозначения
L2 = λ h 2 , Lz = m h ,
так что в явном виде уравнения запишутся как
 1 ∂

1
∂
∂2
(sin θ ) +

2
2 − λ  ψ(θ,ϕ) = 0
∂θ
sin θ ∂ϕ
 sin θ ∂θ

-i
∂
ψ(θ,ϕ) = mψ(θ,ϕ).
∂ϕ
Решения должны быть: непрерывными, конечными и однозначными. В курсе
математической физики доказывается, что решения нашей задачи существуют только при
λ = l(l+1), где l = 0,1.2,...
и m =m, где m- целые числа из интервала -l≤ m ≤l.
Таким образом, каждому неотрицательному целому l отвечает 2l+1 независимых
решения с разными m.
Они называются сферическими функциями (гармониками) и имеют вид
(l − m ) !(2l + 1) m
ψlm(θ,ϕ) = Ylm(θ,ϕ) =
Pl (cosθ)eimϕ,
(l + m )! 4π
присоединенные полиномы (хотя и не полиномы) Лежандра
m
1 d l +m 2 l
m
2 2
Pl (z) = (1- z )
(z -1) , m>0.
2l l ! dzl + m
и выражаются через обычные полиномы Лежандра:
m
m
1 dl 2 l
m
2 2 d
Ρ (z), Ρl (z) = l
Pl (z) = (1- z )
(z -1) .
2 l ! dzl
dz m l
Сферические гармоники образуют ортонормированную систему функций на сфере
единичного радиуса:
∫
dΩY lm∗ (θ,ϕ)Yl’m’(θ,ϕ) = δll’δmm’,
где
dΩ = sinθdθdϕ
есть элемент телесного угла (или элемент площади сферы с R=1). Кроме того, на этой сфере
они образуют базис, так что
3
ψ(θ,ϕ) =
∞
l
∑∑
l = 0 m =− l
ClmYlm(θ,ϕ), Clm = ∫ dΩY lm∗ (θ,ϕ)ψ(θ,ϕ).
Сферические функции обладают свойством
Y lm∗ (θ,ϕ) = (-1)m Y lm (θ,ϕ).
Итак, мы установили, что орбитальный момент квантуется. Квадрат его принимает
значения
L2 = h 2 l(l+1), l = 0,1,2,...
а проекция на ось z - значения
Lz = h m, -l ≤ m ≤ l
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
Центральное поле - это такое, для которого
V = V(r),r ≡ r.
Гамильтониан
h2 2
$
H = −
∇ +V(r)
2µ
записываем в сферических координатах. Учитывая, что
1
∇2 = ∇r2 + 2 ∇ϕθ2,
r
и вспоминая, что
∂
L$ 2 = - h 2 ∇ϕθ2, L$ z = -i h
,
∂ϕ
получим
1 $2
h2 2
$
H = −
∇r +
L +V(r).
2µ
2µr 2
Отсюда видно, что
H$ , L$ 2 = 0$ , H$ , L$ z = 0$ ,
[
]
[
]
[
]
∂
поскольку L$ 2 и L$ z не включают
, а потому коммутируют с V(r), и поскольку
∂r
L$ 2 , L$ z = 0$ .
Таким образом, энергия, квадрат момента импульса и его проекция совместно
измеримы. Поэтому они имеют общие собственные функции. Таковые и будем искать. Так
как собственные функции H$ - решения стационарного уравнения Шредингера:
H$ ψ(r,θ,ϕ) = Eψ(r,θ,ϕ),
4
то ищем решения с определенными L2 и Lz:
ψ = ψE,l,m(r,θ,ϕ),
где l характеризует L2, m характеризует Lz.
Но общие собственные функции L$ 2 и L$ z нам известны - при фиксированном r (на
сфере) это сферические гармоники Y lm (θ,ϕ):
L$ 2 Y lm (θ,ϕ) = h 2 l(l+1) Y lm (θ,ϕ),
L$ z Y lm (θ,ϕ) = h m Y lm (θ,ϕ).
Поэтому ищем решения в виде:
ψE,l,m(r,θ,ϕ) = fElm(r) Y lm (θ,ϕ).
Подставляем в уравнение
 h2

h2
2
2
∇r −
−
2 ∇ θ,ϕ + V ( r ) − E  ψE,l,m(r,θ,ϕ) = 0,
2µr
 2µ

учитывая, что вся угловая зависимость входит только в L$ 2 :
 h2

h 2l (l + 1)
∇r 2 +
+ V (r ) − E fElm(r) = 0,
−
2
2µr
 2µ

(на сферическую функцию сократили). В это уравнение m не входит, а потому радиальные
функции от m не зависят:
fElm(r) = fEl(r).
Логика, которая приводит к данному результату, такова: задача сферически
симметрична, отсюда нет выделенных направлений, отсюда волновые функции
стационарных состояний фактически не зависят от проекции момента m (точнее, от m не
зависит энергия, а значит радиальная часть волновой функции).
Итак, для радиальной волновой функции получаем уравнение
 h2 1 ∂ 2 ∂

h 2l (l + 1)
−
(
r
)
+
+ V (r ) − E fEl(r) = 0.

2
2
∂r
2µr
 2µ r ∂r

Удобно сделать замену неизвестной функции, вводя
REl(r) = rfEl(r).
Для функции REl(r) получаем уравнение

h 2 d 2 R El 
h 2l (l + 1)
−
+
V
(
r
)
+
− E REl = 0.

2
2
2µ dr
2µr


По форме оно очень похоже на одномерное уравнение Шредингера
h2 d 2ψ
−
+ [V(x) - E]ψ = 0,
2µ dx 2
5
но есть два существенных отличия:
• теперь задача ставится на полупрямой (0, +∞), а не на всей прямой, и граничное условие
нужно задавать не только на бесконечности, но и в точке r=0;
• потенциальная энергия заменяется на эффективную потенциальную энергию

h 2l (l + 1) 
Vэфф(r) = V (r ) +
 ≡ Vl(r),
2µr 2 

(сравн. с классической механикой).
ЧЕТНОСТЬ
Ранее мы ввели оператор четности Ρ$ как такой:
Ρ$ ψ(r) = ψ(-r).
Так как гамильтониан зависит только от r, то он коммутирует с Ρ$ :
[H$ , Ρ$ ] = 0$ .
Поэтому значения четности (собственные значения Ρ$ ) являются интегралами
движения. Кроме того, так как оператор четности коммутирует с L$ 2 и L$ z , то волновые
функции ψE,l,m(r,θ,ϕ) должны обладать и определенной четностью. Найдем ее.
В сферических координатах пространственная инверсия r→-r сводится к
подстановкам
r =r, θ → π-θ, ϕ → ϕ+π.
Поэтому
Ρ$ ψE,l,m(r,θ,ϕ) = fEl(r) Y lm (π-θ, ϕ+π).
Из явного вида сферических гармоник
Y lm (θ, ϕ) = AlmeimϕPlm(cosθ)
следует
Y lm (π-θ, ϕ+π) = e im(ϕ+π)Plm(-cosθ) = e imϕ e iϕπ e -imπ(-1)lPlm(cosθ),
а потому
Ρ$ ψE,l,m(r,θ,ϕ) = fEl(r)(-1)l Y lm (θ, ϕ) = (-1)lψE,l,m(r,θ,ϕ).
Таким образом, четность равна
P = (-1)l.
При четных l волновые функции стационарных состояний четные, а при нечетных l они
нечетные.
6
РЕЗЮМЕ
• стационарные состояния частицы в центральном поле характеризуются значениями
энергии En, или номерами n - значениями главного квантового числа;
• орбитальным (азимутальным) квантовым числом l;
• магнитным квантовым числом m.
Это есть полный набор наблюдаемых. Кроме того, каждое стационарное состояние
характеризуется четностью P. Но она не дает независимого квантового числа, ибо
выражается через l.
ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ
ze2
,
r
для которого эффективный потенциал
равен
Рассмотрим движение частицы в кулоновском поле V(r)= Ve(r)
r
0
ze2
h 2 l (l + 1)
Vl (r ) = −
+
r
2µr 2
(см. рисунок, а также полезно
вспомнить классическую механику).
Волновые функции стационарных
состояний имеют вид (см. выше)
ψE,l,m(r,θ,ϕ) = fEl(r) Y lm (θ, ϕ),
если ввести
REl(r) = fEl(r)
1
,
r
то функция REl подчиняется «одномерному» уравнению:
h2
ze2 h 2l (l + 1)
−
+
-E) R = 0.
R ′′(r ) + (−
2µ
r
2µr 2
Вводим боровский радиус
a≡
h2
≈ 0,53 10-8см
µe2
и ридберговскую энергию
E1 ≡
µe4
≈ 13,55эВ,
2h 2
играющие роль атомных единиц энергии и длины. Переходим к безразмерным переменным
ρ=
r
E
,ε =
a
E1
7
и вводим обозначение
α =
−ε
поскольку нас интересуют связанные состояния, т.е. состояния с отрицательными энергиями
E, а значит и ε. Тогда придем к уравнению
d 2R 
2z l (l + 1) 
2
−
 R(ρ) = 0.
2 + − α +
ρ
dρ
ρ2 

Найдем асимптотическое поведение его решений. При ρ → ∝ отбрасываем два последних
слагаемых:
d 2R
2
2 - α R = 0.
dρ
Общее решение этого уравнения есть
R = A e-αρ + Beαρ,
и чтобы волновая функция была ограниченной, надо положить B=0:
-αρ
R ≈
{ e .
ρ→∞
При ρ→0 оставляем самый сингулярный член с l(l+1):
d 2 R l (l + 1)
−
R = 0 ⇒ ρ2 R ′′ -l(l+1)R = 0.
dρ2
ρ2
Это есть уравнение Эйлера, решение которого ищем в степенном виде ρβ и получаем
R = Cρl+1 + Dρ-l .
Так как функция f(r) должна быть нормируемой, то функция R(r)=rf(r) должна обращаться в
0 при r→0, а потому должно быть D=0:
l +1
R ≈
{ρ .
ρ→ 0
Чтобы привести уравнение к стандартному виду, следует выделить асимптотики, т.е.
сделать замену функции:
R(ρ) = ρl+1e-αρU(ρ),
после которой уравнение переходит в
d 2U
dU
ρ 2 + 2(l − αρ + 1)
+ 2(z-α-αl)U = 0.
dρ
dρ
Вводя новую переменную
x = 2αρ,
8
окончательно получим следующую задачу:
z
x U ′′ + (2l + 2 − x )U ′ + ( - l - 1)U = 0.
α
x
2
U(x) = 1 + 0(x), x→0; U(x) = 0 ( e ), x → ∝.
Выписанное уравнение есть вырожденное гипергеометрическое уравнение, и его решение
ищем в виде ряда:
∞
U(x) = ∑ Ckxk.
k =0
Дифференцируя это разложение, подставляя результат в уравнение, приравнивая члены с
одинаковыми степенями, придем к рекуррентному соотношению для последовательных
коэффициентов (сравн. с осциллятором):
z
k + l + 1−
α
Ck+1 =
C.
(k + 1)(2l + 2 + k )
Если ряд бесконечный, то при больших k
Ck
(k + 1)(2l + 2 + k )
=
≈ k,
z
C k +1
k + l +1−
α
т.е. отношение соседних коэффициентов такое же, как в разложении
∞
ex =
1
∑k!
xk.
k =0
Это не годится, ибо решение слишком быстро возрастает при x→∝.
Ряд должен обрываться на некотором члене, т.е. коэффициенты Ck, начиная с
некоторого номера k = nr, должны обращаться в нуль. Для этого необходимо и достаточно,
чтобы
z
= nr+l+1,
α
где nr - произвольное целое число (включая ноль). Так как nr - неотрицательное целое число,
то nr+l+1 - натуральное число, которое обозначим как n:
nr + l + 1 ≡ n.
Терминология тут такая: nr - радиальное квантовое число, n - главное квантовое
число (только от него и зависит энергия). При фиксированном значении орбитального
момента
n ≥ l +1.
Наоборот, при фиксированном n число l может принимать лишь значения
l ≤ n-1 : l = 0, 1, 2,..., n-1.
Итак,
z
z
z2
z2
2
2
= n ⇒α =
⇒ α = 2 ⇒ ε = −α = − 2 ,
α
n
n
n
9
и для возможных значений энергии
En = εn E1 = εn
µe4
,
2h 2
и окончательно получаем:
µe4 1
En = -z 2 2 , n = 1, 2, 3,....
2h n
При заданном n орбитальный момент l принимает значения
l = 0, 1, ...,n-1.
При заданном l проекция момента m принимает 2l+1 значений. Поэтому данному
значению энергии En (данному значению главного квантового числа) отвечает всего
состояний
n −1
Kn =
∑
(2l+1) = n2.
l =0
Это есть кратность вырождения энергетических уровней атома водорода (при учете
спина она равна 2n2). Вырождение по m возникает в любом центральном поле - это связано с
изотропией пространства: все направления равноправны, и энергия не зависит от значения
проекции момента (ему «некуда» проектироваться). Вырождение по l специфично именно
для кулоновского поля и называется дополнительным (иногда случайным) кулоновским
вырождением.
Волновые функции можно выписать в явном виде:
ψnlm(r,θ,ϕ) = fnl (r) Ylm (θ,ϕ),
где
R nl (ρ)
2
=− 2
fnl (r)→fnl(ρ)=
ρ
n
(n − l − 1) !
[(n + 1) !]
3
−
e
zρ
n
(
2zρ l 2l +1 2zρ
) L n +l (
),
n
n
причем LSk - обобщенные полиномы Лагерра, которые выражаются
полиномы Лагерра:
dS
LSk(x) =
Lk(x),
dx S
которые сами равны:
k
x d
-x k
Lk(x) = e
k (e x ).
dx
через обычные
Выпишем несколько первых радиальных функций при z = 1:
f10(ρ) = 2e-ρ
ρ − ρ2
(1 − )e
2
2
f20( ρ ) =
1
f21(ρ) =
1
2 6
−
ρ
2
ρe .
10
Упомянем еще спектроскопическую терминологию. Состояния с l = 0, 1, 2, 3, 4...
называются соответственно s-, p-, d-, f-, g- - состояниями (дальше по алфавиту).
Происхождение - из серий щелочных металлов, которые именуются последовательно так:
sharp, principal, diffusive, fundamental.
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
Мы уже рассмотрели свойства момента импульса одной частицы, который был
связан с ее движением в пространстве и определялся как
L$ = r$ × P$
Это есть орбитальный момент. Теперь мы хотим обобщить это понятие, для чего
получим его несколько иным способом - из симметрийных соображений.
Рассматриваем систему нескольких частиц с волновой функцией
ψ(r1,...rN) ≡ ψ(ra).
Произведем вращение системы координат на угол δϕ (вектор δϕ) направлен по
оси вращения, а его модуль равен углу поворота). Это означает, что физическая система
осталась той же самой, а приборы повернулись на угол δϕ. Радиусы- векторы изменятся:
r′a = ra + δra , δra= δϕ× ra.
Преобразуются и значения ψ − функции, но так как в «новую» точку ra «придет»
«старая» точка ra - δra, то должно быть
ψ′′(ra) = ψ(ra-δra).
Разлагая в ряд Тейлора, найдем:
r
r
ψ′′(ra) = ψ(ra-δra) = ψ(ra) - ∑ δ ra ∇ aψ(ra) = ( I$ - ∑ δ ra ∇ a) ψ(ra)
a
a
r
r
= ( I$ - ∑ (δϕ× ra) ∇ a) ψ(ra) = ( I$ - δϕ ∑ ra ∇ a) ψ(ra) ≡
a
a
r
i
i
≡ ( I$ - δϕ ∑ ra × (-i h ∇ a)) ψ(ra) = ( I$ - δϕ ∑ L$ a )ψ(ra).
h
h
a
a
Итак,
ψ′′(ra) = ( I$ -
где
i
δϕ L$ )ψ(ra),
h
(∗),
L$ = ∑ L$ a = ∑ r$a × p$ a (∗∗)
a
a
В данном случае мы ничего нового не получили. Но важно, что момент импульса
можно трактовать двумя способами. Согласно определению (∗), оператор L$ описывает
11
преобразование волновой функции при малом вращении, т.е. L$ является генератором
вращения. Согласно определению (∗∗) оператор L$ выражается через координаты и
импульсы так же, как в классической механике. Еще раз: в данном случае получилось, что
это одно и то же. Но в общей ситуации определение (∗) может оказаться более общим.
Оператор (∗∗) действует только на координаты волновой функции. Но у нее могут быть и
другие какие-то переменные, на которые (∗∗) не действует, а (∗) - действует.
И такие дополнительные переменные действительно существуют у многих частиц
(прежде всего у электрона). Это - спиновые переменные, являющиеся внутренними,
врожденными степенями свободы частицы, никак не связанными с координатами.
Обозначая их буквой σ, запишем волновую функцию одной частицы как
ψ = ψ(r,σ),
и в полной аналогии с рассмотренным частным случаем введем по определению оператор
полного момента импульса как генератор вращений, т.е. преобразующий волновую
функцию по закону
i
ψ′′(r,σ) = ( I$ - δϕ J$ )ψ(r,σ).
h
$
Оператор J можно представить в виде двух слагаемых:
$.
J$ = L$ + S
Оператор L$ есть рассмотренный ранее оператор орбитального момента, который
$ есть новый оператор - оператор спина,
действует только на координаты. Оператор S
который действует только на спиновые переменные σ. Оператор спина можно определить
как оператор J$ , действующий в системе покоя частицы. Значит это действительно
внутренний, врожденный момент импульса частицы.
Найдем правила коммутации J$ с операторами других физических величин. Пусть
физическая величина F - векторная, и ей соответствует векторный оператор F$ .
Установим закон преобразования среднего значения F по произвольному состоянию ψ. С
одной стороны имеем:
δF ≡ δ⟨ F$ ⟩ψ = ⟨ψ′ F$ ψ′⟩-⟨ψ F$ ψ⟩ ≈
i
i
i
⟨ψ( I$ + δϕ J$ ) F$ ( I$ – δϕ J$ )ψ⟩ ≅ ⟨ψ[δ
δϕ J$ , F$ ]ψ⟩.
h
h
h
С другой стороны, как и для всякой векторной величины,
δF = δϕ × F = δϕ ⟨ψ F$ ψ⟩ = ⟨ψδϕ× F$ ψ⟩.
Сравнение дает
[ F$ ,δϕ J$ ] = i h δϕ × F$ .
Проектируем на ось 1:
[ F$ 1,δϕ1 J$ 1+δϕ2 J$ 2 + δϕ3 J$ 3] = i h (δϕ2 F$ 3-δϕ3 F$ 2).
Сравниваем коэффициенты при δϕ1, а потом при δϕ2 :
[ F$ 1, J$ 1]=0, [ F$ 1, J$ 2] = i h F$ 3.
12
Остальные случаи получаются проектированием на оси 2 и 3, или циклической
перестановкой индексов в выписанных соотношениях:
[ F$ j, J$ k] = i h εjkl F$ l.
В частности, полагая
компонентов самого момента:
F$ = J$ , получим коммутационные соотношения для
[ J$ j, J$ k] = i h εjkl J$ l.
$ , [ L$ , S
$ ]= 0$ (действуют на разные переменные) и
Так как J$ = L$ + S
[ L$ j, L$ k] = i h εjkl L$ l
то для спиновых операторов получаем те же коммутационные соотношения, что и для
орбитальных:
[ S$ j, S$ k] = i h εjkl S$ l.
Если оператор F-скалярный, то абсолютно
основывающиеся на том, что при вращении δF = 0, дают
аналогичные
рассуждения,
[ F$ , J$ k] = 0$ .
В частности, для квадратов полного момента и спина получаем
$ 2, S$ k]= 0$
[ J$ 2 , J$ k] = 0$ ⇒ [ S
13