Тема 3. Решение задачи квантовой механики «о частице в яме».

Тема 3. Решение задачи квантовой механики
«о частице в яме».
П.1. Частица в одномерной прямоугольной бесконечно
глубокой потенциальной яме.
П.2. Определение фазы ВФ и энергии частицы в яме
П.3. Определение амплитуды ВФ частицы в яме
П.4. Свойства ВФ частицы в яме
1
П.1. Частица в одномерной прямоугольной
бесконечно глубокой потенциальной яме.
Проблема: Решить до конца достаточно важную, но
достаточно простую задачу квантовой механики.
Решение: Таковой является задача о движении частицы
внутри одномерной бесконечно глубокой прямоугольной
потенциальной ямы.
2
U
Волновая функция вне ямы ψ = 0 , т.к.
невозможно попасть в область
бесконечных потенциальных энергий
(например, нельзя взобраться на
бесконечно высокую гору).
U= ∞
U= ∞
U= 0
ψ = 0
ψ = 0
ψ(x)
0
L
X
Внутри ямы U = 0 и уравнение Шредингера выглядит так:
d 2ψ ( x ) 8π 2 m
+
E ⋅ ψ ( x ) = 0.
2
2
dx
h
Это уравнение вида ψ xx + const ⋅ ψ = 0. Обращаемся к математике,
которая говорит, что мы получили дифференциальное уравнение
свободных колебаний координаты х.
''
Его решение: ψ(x) = A Sin(Ωx+ϕ0), где Ω =
const .
3
ТЕСТ
Ответ:
Решение для частицы в яме
ψ ( x ) = ψ 0 sin(Ω x + ϕ 0 ),
где Ω =
8π 2 m
E.
2
h
Замечание: Здесь 2 характеристики неизвестны – это
амплитуда ψ0 и начальная фаза ϕ0 . Их мы будем
находить в следующих пунктах.
4
П.2. Определение фазы ВФ и энергии частицы в яме
Задача: Определить начальную фазу ВФ частицы в яме.
Дополнительные уравнения, возникающие из граничных условий:
1) ψ(x=0) = 0 – первое граничное условие.
2) ψ(x=L) = 0 – второе граничное условие.
Рассмотрим первое: ψ(x=0) = ψ0Sin(0+ϕ0) = ψ0Sin(ϕ0) = 0.
Это выполняется в двух случаях:
1. ψ0 = 0 , но тогда ψ(x) = 0 и частица вообще отсутствует,
что неинтересно,
5
2. Sin(ϕ0) = 0 и тогда ϕ0 = 0.
Вопрос: Что дает второе
граничное условие?
Перепишем его:
ψ(x=L) = ψ0Sin(ΩL) = 0, отсюда Sin(ΩL) = 0, что выполняется,
π
если Ωn L = nπ или имеем ряд (набор чисел)
Ω
где n = 1, 2, 3, ... – любые целые числа.
Но
Ω =
отсюда
8π 2 m
E,
2
h
следовательно Ω
n
=
n
= n ,
L
8π 2 m
π
En = n ,
2
h
L
h 2Ω 2n
h 2 2 - формула квантования
En =
=
n
2
2
энергии частицы в яме.
8π m 8mL
Квантованием некоторой физической характеристики
называется явление, когда эта характеристика может
принимать значения только из определенного набора чисел.
6 ТЕСТ
П.3. Определение амплитуды ВФ частицы в яме
Задача: Найти амплитуду волновой функции ψ0 .
Используем: условие нормировки ВФ:
L
2
(
ψ
(
x
))
∫ n dx = 1.
0
Подставим сюда первую ВФ частицы в яме (n = 1):
x

ψ 1 ( x ) = ψ 0 sin  1 ⋅ π  :
L

L
1
Известно: sin α = (1 − cos 2α ) ,
2
x

ψ ∫ sin  π  dx = 1.
 L
0
2
0
2
2
L
Вычислим I(ψ n ) =
x

∫0 sin  π L  dx.
2
7
L
L
L

1 
x
1
x 




I( ψ 1 ) = ∫  1 − cos 2π   dx =  ∫ dx − ∫ cos 2π  dx  =
20
2 0
 L 
 L 
0
L
ψ1
x
0
Sin2(α)
L
1
L
x  L L

= L−
sin  2π   =
2
2π
 L  0 2
1
Используя условие нормировки, получаем:
1/2
0
1
1 L
x 
x

= ( L − 0) − ∫
cos 2π  d 2π  =
2
2 0 2π
 L  L
x
L
ψ ⋅ = 1⇒ ψ 0 =
2
2
0
ОТВЕТ: набор волновых
функций частицы в яме:
2
⇒
L
2 
x
ψn=
sin  nπ  .
L  L
8
ТЕСТ
П.4. Свойства ВФ частицы в яме
Вопрос: Как ведет себя частица в яме?
2 
x
sin  nπ  .
L  L
Ответ: Так, как показывает ее волновая ψ n ( x ) =
функция!
ψ 12
Стационарным
ψ1
x
x
состоянием движения
0
02
L
L
частицы называют
ψ
2
ψ2
x движение частицы,
x
описываемой
2
ψ3
ψ3
стационарной волновой
x
x
функцией (которая
является решением
Есть «излюбленные» места
стационарного уравнения
пребывания частицы в яме.
Шредингера).
9
Стационарное движение – это движение, не изменяющееся со
временем.
Каждая функция ψ n приписывается некоторому стационарному
состоянию движения частицы.
Энергия частицы в каждом состоянии:
2 π 2 2
En =
n .
2
2m L
Вывод: En ~ n2.
Уровни энергии расположены на разных расстояниях друг от
друга или неэквидистантно.
Значения, которыми физическая характеристика может
обладать, называются разрешенными или доступными, а
значения, которыми она не может обладать, называются
запрещенными.
10