Lekciya8

Лекция 8
Бесконечно глубокая прямоугольная потенциальная яма. Спектр, стационарные состояния, разложения по собственным функциям гамильтониана, средние
Пусть потенциальная энергия частицы равна
0 xa
x  0, x  a
 0,
U ( x)  
,
U ( x)
(бесконечно глубокая потенциальная яма шириной a , см. рисунок). Найдем собственные значения и собственные функции опе-
x
a
ратора Гамильтона этой частицы.
Так как в областях x  0, x  a потенциальная энергия обращается в бесконечность, потребуем, чтобы при этих значениях координат волновая функция обращалась бы в нуль (в противном случае средняя потенциальная энергия частицы равнялась бы бесконечности). Далее, так
как согласно постулатам квантовой механики волновая функция непрерывна, то в точках x  0
и x  a волновая функция также равна нулю. Поэтому для нахождения волновых функций и
энергий стационарных состояний необходимо решить уравнение
d 2 f ( x) 2mE
 2 f ( x)  0
dx 2
(1)
в области 0  x  a с граничными условиями f ( x  0)  0 и f ( x  a)  0 .
Как было доказано на предыдущей лекции, все собственные значения должны быть больше минимального значения потенциала, поэтому будем решать уравнение (1) при E  0 .
Линейно независимыми частными решениями уравнения (1) при E  0 являются функции cos kx и sin kx , где k 
2mE
2
. Поэтому общее решение уравнения (1) имеет вид
f ( x)  C1 cos kx  C2 sin kx
(2)
Из граничного условия при x  0 находим C1  0 . Из второго граничного условия получаем
C2 sin ka  0 , то есть либо C2  0 , либо
ka   n ,
n  1, 2,3,
.
(3)
Первое условие приводит к нулевому решению. Таким образом, ненулевые непрерывные решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям, существуют только при значениях
E , при которых выполнено условие (3), из которого находим
1
En 
 2 2 n2
, n  1, 2,3,
(5)
2ma 2
Энергии (5) и являются собственными значениями оператора Гамильтона и согласно постулатам
квантовой механики являются возможными наблюдаемыми значениями энергии частицы, находящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме. Собственной функцией, отвечающей собственному значению En , является функция
f n ( x)  C sin kn x  C sin
 nx
(6)
a
где
kn 
2mEn
2

n
a
Как и должно быть, постоянная C осталась неопределенной. Она может быть определена из
условия нормировки. Легко проверить, что функции
f n ( x) 
2
 nx
sin
a
a
(7)
нормированы на единицу. Отметим, что эти функции не обладают определенной четностью, несмотря на то, что f n ( x) sin... , поскольку при значениях координат, лежащих вне ямы, все собственные функции равны нулю. Однако если бы яма была расположена симметрично относительно начала координат, то волновые функции стационарных состояний обладали бы определенной четностью. Действительно, в этом случае собственные функции можно получить из (7) с
помощью сдвига их аргумента на a / 2
f n ( x) sin
f1 ( x)
cos
x
a
,
 n( x  a / 2)
a
2 x
f 2 ( x) sin
,
a
  nx  n 
 sin 


2 
 a
3 x
f 3 ( x) cos
,
a

f 4 ( x) sin
4 x
,...
a
Знание спектра собственных значений и собственных функций частицы в потенциальной
яме позволяет согласно постулатам квантовой механики отвечать на вопросы о возможных значениях энергии частицы в тех или иных состояниях и их вероятностях. Рассмотрим несколько
примеров.
Пусть, например, частица в яме в момент времени t  0 имеет волновую функцию
 ( x, t  0)  A cos
5 x
8 x
sin
a
a
2
(8)
(где A - постоянная). Что можно сказать о результатах измерения энергии частицы в момент
времени t  t0 ? Какой будет средняя энергия частицы как функция времени?
Согласно основным принципам квантовой механики для ответа на вопросы такого рода
нужно разложить волновую функцию частицы по собственным функциям оператора Гамильтона. Пользуясь известной тригонометрической формулой, представим начальную волновую
функцию частицы в виде
 ( x, t  0) 
A  13 x
3 x 
 sin
 sin

2
a
a 
(9)
Формула (9) представляет собой разложение начальной волновой функции по собственным
функциям оператора Гамильтона, в котором, таким образом, с равными весами представлены
только третья и тринадцатая собственные функции; коэффициенты перед остальными собственными функциями равны нулю. Это значит, что измерения энергии в момент времени t  0 с
равными вероятностями w  1/ 2 дадут третье и тринадцатое
E3 
9 2 2
2ma 2
E13 
169 2 2
2ma 2
(10)
собственные значения. Отсюда легко найти среднюю энергию частицы в этот момент
9 2 2 1 169 2 2 1 89 2 2
E


2ma 2 2
2ma 2 2 2ma 2
(11)
Так как гамильтониан не зависит от времени, то вероятности различных значений энергии и
средняя энергия от времени не зависят, и, следовательно, останутся такими же в любой момент
времени.
Можно решать и обратные задачи – т.е. по результатам измерения энергий восстанавливать волновую функцию, а по ней находить вероятности возможных значений различных
наблюдаемых и их средние значения. Например.
Энергия частицы, находящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме, может принимать два значения
E1 
2
2
2ma 2
и
E3 
9 2 2
2ma 2
(12)
с вероятностями w 1 и w 3 соответственно. Будет ли среднее значение координаты частицы x в
этом состоянии зависеть от времени?
3
Будем рассуждать так. Поскольку гамильтониан частицы не зависит от времени, общее
решение временного уравнения Шредингера имеет вид
( x, t )   Cn f n ( x)e
i
Ent
(13)
n
где En и f n ( x) - собственные значения и собственные функции оператора Гамильтона, Cn произвольные постоянные. Поскольку в рассматриваемом состоянии энергия частицы может
принимать два значения E1 и E3 , то в сумме (1) присутствуют два слагаемых, отвечающие первому и третьему собственным состояниям, а остальные коэффициенты Cn равны нулю. То есть
волновая функция частицы в любые моменты времени имеет вид
 ( x, t )  C1 f1 ( x)e
i
E1t
 C3 f3 ( x)e
i
E3t
(14)
где C1  w1 , C3  w3 . (Отметим, что по данным условия волновая функция восстанавливается
2
2
неоднозначно, поскольку не определяется фазовые множители у коэффициентов C1 и C3 . Тем
не менее, эта неоднозначность не помешает однозначно ответить на вопрос задачи). Состояние
(14) не является стационарным, поэтому средние значения физических величин в этом состоянии, вообще говоря, зависят от времени. Среднее значение координаты частицы в состоянии
(14) можно найти по квантовомеханической формуле для средних
a
x(t )    * ( x, t ) x ( x, t )dx 
0
Et
Et
Et
Et
i 1
i 3  
i 1
i 3 
 *
*
   C1 f1 ( x)e  C3 f 3 ( x)e  x  C1 f1 ( x)e
 C3 f 3 ( x)e
dx 
 

0
a
a
 C1
2
 x f1 ( x)dx  C2
2
0
a
2
* i
 x f 2 ( x)dx  C1C3 e
2
0
(15)
( E3  E1 ) t a
 xf ( x) f ( x)dx  к.с.
1
3
0
(в (15) использована действительность собственных функций). Интегралы в первом и втором
слагаемом определяют среднее значение координаты в первом и третьем стационарных состояниях и, следовательно, равны a / 2 (это утверждение проверяется с помощью непосредственного
вычисления интегралов с использованием собственных функций f n ( x) ). Так как волновые
функции стационарных состояний f1 ( x) и f 3 ( x) четны относительно середины ямы и ортогональны, то интегралы в третьем и четвертом слагаемом равны нулю. Учитывая, что w1  w3  1,
получим из (3)
4
x
a
2
(16)
То есть среднее значение координаты в данном нестационарном состоянии не зависит от времени. Однако, если бы в разложении начальной волновой функции частицы по собственным
функциям гамильтониана содержались бы слагаемые, отвечающие как четным, так и нечетным
стационарным состояниям, перекрестные слагаемые в равенстве (15) не обращались бы в нуль и
среднее значение координаты частицы зависело бы от времени.
Рассмотрим еще один пример. Пусть волновая функция частица в яме в момент времени
t  0 имеет вид
 ( x, t  0)  Ax( x  a)
(17)
Какие значения энергии можно получить при измерениях?
Разложим волновую функцию (17) по собственным функциям Гамильтониана

Ax( x  a )   Cn f n ( x)
(18)
n 1
где Cn - коэффициенты разложения, которые согласно основным принципам квантовой механики и определяют вероятности различных значений энергии. Поскольку собственные функции
f n ( x) - ортонормированны, коэффициенты Cn можно найти, умножая равенство (18) на соб-
ственную функцию и интегрируя
a
Cn   Af n ( x) x( x  a )dx
(19)
0
Поскольку волновая функция частицы – четна относительно центра ямы (это парабола, обращающаяся в нуль на границах ямы), функции f n ( x) - четны для нечетных номеров, и нечетны
для четных, то интеграл (19) будет отличен от нуля только для нечетных номеров. Следовательно, при измерении энергии в рассматриваемом состоянии можно обнаружить первое (отвечающее основному состоянию), третье, пятое, седьмое и т.д. собственные значения. Второе, четвертое, шестое и т.д. собственные значения при измерениях в рассматриваемом состоянии невозможно.
5