Уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера
Волновая функция и её
статистический смысл
Волновая функция и её
статистический смысл
Квантовая механика описывает законы
движения и взаимодействия
микрочастиц с учѐтом их волновых
свойств.
Сравнение дифракции световых волн и
микрочастиц
• Для света: дифракционная картина –
ослабление или усиление света в
различных точках пространства.
Интенсивность ~ A2 световой волны.
Сравнение дифракции световых волн и
микрочастиц
• Для частиц: дифракционная картина
объясняется неодинаковым распределением
потоков микрочастиц в различных
направлениях после рассеяния (отражения),
т.е. проявляются вероятностные
(статистические) закономерности
распространения волн де Бройля.
Но по волновому закону меняется не
вероятность обнаружить частицу в точке
пространства, а амплитуда вероятности, т.к.
вероятность не может меняться по
гармоническому закону, поскольку она не
может быть отрицательной.
В квантовой механике положение
частицы в пространстве в данный
момент времени определяется
волновой функцией (пси-функцией)
 x, y, z, t  амплитуда вероятности.
Вероятность dW того, что частица
находится в элементарном объѐме dV,
2
пропорциональна 
и dV :


dW   dV   dxdydz.
2
2
• ψ может быть комплексной.
• Квадрат модуля волновой функции:
    *,
2
ψ* - функция комплексно сопряженная с
ψ.
Описание состояния микрообъекта с
помощью волновой функции имеет
статистический (вероятностный)
характер.
dW
2
 
 плотность вероятности, т.е.
dV
определяет вероятность
нахождения частицы в момент времени
t в единичном объѐме dV в окрестности
точки с координатой (x,y,z).
Физический смысл имеет не ψ– функция, а
2
  интенсивность волн де Бройля.
Вероятность найти частицу в момент t в
конечном объѐме V:
W   dW    dV .
2
V
V
При интегрировании по бесконечному V
вероятность обнаружить частицу равна 1.
Из этого следует условие нормировки:



2
dV  1.
Ограничения на ψ– функцию:
1. конечная (т.к. вероятность не может
быть > 1),
2. однозначна (вероятность не может
быть неоднозначной величиной),
3. непрерывна (вероятность не может
изменяться скачком).
Следовательно, ψ– регулярная.
ψ– функция удовлетворяет принципу
   С n  n 
суперпозиции:
n
если система может находиться в
различных состояниях, описываемых
волновыми функциями ψ1, ψ2… ψn, то
она может находиться в состоянии ψ,
описываемом линейной комбинацией
этих функций.
ψ– функция – основная характеристика
состояния микрообъекта, позволяет
вычислять средние значения
физических величин, характеризующих
данный микрообъект:

L   L   dV ,
2

L – физическая величина, например,
энергия или координата.
Временное и стационарное уравнение
Шредингера
Т.к. микрообъекты (в соответствии с
предположением де Бройля) обладают
волновыми свойствами, то уравнение,
описывающее их движение в различных
силовых полях должно быть волновым
уравнением подобно уравнению
электромагнитной волны.
В 1926 г. Шредингер постулировал
временное уравнение Шредингера для
частицы массой m, движущейся в поле
с потенциальной энергией U(x,y,z,t) со
скоростью v << c:



  U x, y, z, t    i
, (1) 
2m
t
2
общее уравнение
Шредингера
2
2
2



  2  2  2  оператор Лапласа,
x
y
z
i   1 – мнимая единица.
Условия, накладываемые на ψ– функцию:
1. ψ– функция регулярная, т.е. конечная,
непрерывная, однозначная,






2.
;
;
 непрерывные,
x y z
3.

2
удовлетворяет условию
нормировки.
● Во многих случаях силовое поле, в
котором движется частица, –
стационарное, т.е. потенциальная
энергия U(x,y,z) не зависит от t. Для
этого случая записывается
стационарное уравнение Шредингера
(уравнение Шредингера для
стационарных состояний).
Решение стационарного уравнения
Шредингера можно представить в виде
произведения двух функций:
E
i t

x
 x, y, z, t   
, y, z   e , (2)


функция
координат
функция
t
E = const – полная энергия частицы для
стационарного поля.
Уравнение (2) подставляем в (1):


e
2m
2
E
i t

  Ue
E
i t

 E
 i  i e





E
i t

i 2 E
2m
  2 E  U   0, (3) 

стационарное уравнение Шредингера.
,
2m
  2 E  U   0, (3) 

стационарное уравнение Шредингера.
Решение этого уравнения имеет бесконечное
множество решений, но с учѐтом условий,
накладываемых на ψ– функцию (регулярная,
непрерывны первые производные, т.е. на ψ–
функцию накладываются граничные
условия), отбираются только решения,
имеющие физический смысл – собственные
функции.
Собственные функции существуют лишь при
определѐнных значениях полной энергии Е,
называемых собственными значениями
энергии. Совокупность собственных значений
Е образуют энергетический спектр частицы.
Если потенциальная энергия U –
монотонная функция и U → 0 на
бесконечности, то в области Е < 0
собственные значения энергии
образуют дискретный спектр.
Отыскание собственных значений
энергии Е и собственных ψ– функций
составляет основную задачу квантовой
механики.
Движение свободной частицы
Частица движется в отсутствие внешних полей,
т.е. U = 0, E = Eк (полная энергия частицы
равна кинетической энергии).
Уравнение Шредингера для одномерного
случая движения вдоль оси x:
  2m
 2 E  0 (3) 
2
x


2
k2
дифференциальное уравнение плоской волны.
Движение свободной частицы
Решением (методом подстановки) является
функция:
 x, t    x   t   Ae e  Ae
i
Формула Эйлера: e  cos  i sin  .
ikx
 it
 i t  kx 
 x, t  ~ A cost  kx(4) 
уравнение плоской волны.
.
Движение свободной частицы
 x, t   Ae
 i t  kx 
,
E
h
  , т.к. E  h ,   ,

2
px p
h
2
k
 , (5) т.к. p  , k 
.
 

 i
 x, t   Ae


 Et  px 
(6) 
плоская волна де Бройля.
В последнем уравнении экспонента с минусом,
но это не играет роль, т.к. физический смысл
2
имеет
 .
 x, t  ~ A cost  kx(4)
Движение свободной частицы
 x, t   Ae

i
 Et  px 

(6)
Из уравнений (4), (6) следует, что
свободная частица описывается
плоской монохроматической волной де
Бройля.
Все положения свободной частицы в
пространстве равновероятны, т.к.
вероятность обнаружить частицу в
любой точке пространства
    *  A  const .
2
2
Движение свободной частицы
mv
p
k
E

 (5)  p  k  

2
2m
2m
2m
2
k  2 E  коэффициент в уравнении (3).

2 2
k
E
 собственные значения
2m
энергии, как для обычной
2
2
2
2
нерелятивистской частицы, т.е.
энергетический спектр свободной
частицы – непрерывный.
Частица в одномерной прямоугольной
потенциальной яме (ящике)
с бесконечно высокими стенками
U = ∞
Частица движется вдоль
оси x.
Энергия отсчитывается от
дна ямы.
Яма описывается
потенциальной энергией
U = ∞
U = 0
0
l
l – ширина ямы
x
, x  0,

U  x   0, 0  x  l ,
, x  l ,

Частица в одномерной прямоугольной
потенциальной яме
Уравнение Шредингера для стационарного
состояния в одномерном случае:
  2m



E

U
  0.
2
2
x

2
Из граничных условий следует:
1. бесконечно высокие стенки → частица не
проникает за пределы ямы →  вне ямы  0,
2. на границе ямы (x = 0, x = l) непрерывная
функция ψ обращается в нуль: 0   l   0,
3. в яме U = 0
Частица в одномерной прямоугольной
потенциальной яме
  2m
 2  2 E  0. 
x


2
в яме U = 0
k2
Дифференциальное уравнение гармонического
2
осциллятора:

2
x
2
 k   0. 
Общее решение диф. уравнения:
 x   Asin kx  B cos kx,
 B  0. 
условие на границе:  0  0.
Частица в одномерной прямоугольной
потенциальной яме
 x   Asin kx,
 l   Asin kl  0
условие на границе: l   0.
n
n
2
kl  n  k 
, k  2 .
l
l
2
2 2
p
k
2m
2
E

 k  2 E.
2m 2m

2
2 2
n 
 En 
,
n

1
,
2
,
3
...,
2
2ml
2
2
n 
En 
, n  1,2,3...,
2
2ml
2
2
2
т.е. уравнение Шредингера
удовлетворяется только при
собственных значениях En = En(n).
Т.о. En принимает дискретные значения
– квантуется. Квантованные значения
En называются уровнями энергии.
n – главное квантовое число определяет
энергию уровня.
Частица в одномерной прямоугольной
потенциальной яме
 x   Asin kx,
n
 n x   A sin
x,
l

2
Условие нормировки:   dV  1,
n
k
.
l

В одномерном случае:


2
dx  1.

 n
A  sin 
 l
0
l
2
2

x dx  1

 n 
A  sin 
x dx  1
 l 
0
на концах промежутка интегрирования
l
2
2
 n
sin 
 l
2

x   0,

 n
A  sin 
 l
0
l
2
2
 n
sin 
 l
2
 1
x  
2


2 1
x dx  A l  1 
2

2
A

l
2
n
 n x  
sin
x
l
l
Частица в одномерной прямоугольной
потенциальной яме
2
n
 n x  
sin
x
l
l
Собственным функциям
2
2 2
соответствуют уровни энергии E  n   .
n
2
2ml
Следовательно, энергетический интервал
между двумя соседними уровнями:
En  En1  En 
 
2
2
n  1  n  
2
2
2ml
2 2
2 2
 
 



2
n

1

n
.
2
2
2ml
ml
2
 n x  
П лотн ость вероятн ости о бн аруж и ть
части ц у.
 n x 
E
E
3
E
2
E
2
n
sin
x
l
l
0
n
E
3
E
3
2
E
2
1
1
l
 n x 
x
2
n
3
2
1
E
1
0
l
x
– в точ ках части ц а н е м ож ет н аходи ться .
Частица в одномерной прямоугольной
потенциальной яме
 2 2
En 
• Критерий l.
ml
2
n.
Свободный электрон в металле, размер ямы
l  10 м  En  10 n Дж  10 nэВ,
1
35
16
т.е. энергетические уровни расположены так
тесно, что спектр можно считать
непрерывным для зоны проводимости.
Размер ямы соизмерим с атомом
l  10 м  En  10
10
17
n Дж  10 nэВ,
2
т.е. дискретные значения энергии, спектр –
линейчатый.
Частица в одномерной прямоугольной
потенциальной яме
• Критерий n.
En 2
n  1 
  1 
En
n
соседние уровни расположены очень тесно,
можно говорить о непрерывных уровнях, т.е.
о энергетической зоне (квазинепрерывные
уровни).
2 2
n  1  Emin 
 
2ml
2

частица в потенциальной яме и не может иметь
энергию меньше Emin.
Все остальные уровни n >1 имеют Е > Emin.
Задачи
1. Частица находится в основном состоянии в
потенциальной яме шириной l с абсолютно
непроницаемыми стенками. Найти вероятность
нахождения частицы в первой трети ямы.
2
 n x 
n 1
0 xl
1
0 x l
3
E
n
E
3
E
2
3
2
1
E
1
W-?
0
1 /3 l
2 /3 l
l
x
Задача 1
Вероятность нахождения частицы в интервале
2
dx связана с плотностью вероятности 
соотношением: dW   2 dx, где
ψ(x)– волновая функция, которая для частицы,
находящейся в бесконечно глубокой
одномерной потенциальной яме:
n  1  dW 
2
n
 n x  
sin
x.
l
l
2
2 1 
2 2 x
sin
x dx  sin
dx.
l
l
l
l
Задача 1
2 2 x
1
 2

W   sin
dx   sin   1  cos 2  
l
2


0 l
l
3
2 1 3
2
   1  cos
l 2 0
l
l
1
l
2
 x
sin
l
2
l
1
3
 
 0,195.
3 4

x dx 

l
1 1
2

x  
sin

3
 0 3 2
3
Задача 2
r
a
A
ψ – функция некоторой частицы имеет вид   e ,
r
где r – расстояние этой частицы до силового центра,

a – некоторая константа. Используя условие
нормировки вероятности, определить
нормировочный коэффициент A.
r
a
A
 e
r
a  const



2
dV  1.

r
dV  4r dr.
2
А-?
dr
dV
Задача 2

2
A
0 r 2 e

4A  e
2
0
2r

a
2r

a
 4r dr  1.
2
4A a
dr  
e
2
2
2r 

a
1
A
.
2a
0
 2A a  1 
2
Задача 3
r2
Волновая функция, описывающая некоторую

2
частицу, имеет вид
2
a
  Ae
где r – расстояние этой частицы до силового центра,
a – некоторая константа. Определить среднее
расстояние частицы до силового центра.
  Ae

r2
2a2
a  const
r  r ?
Из условия нормировки
ищется нормировочный
коэффициент А:
A
1
3
 a
2
.
3
,
dV  4r dr.
2

Задача 3

r   r   dV   rA e
2
2
0
r2

a2
 4r dr 
2
0


r2

a2
4
3
  4r 3 e dr 
r
e
dr
.

3
2 3
a 0
0
 a
1 2
1
3  cx
 x e  2 c ; c  a2 .
3
1
r2

a2
2
4
1  2  2 2a


r 

a

.
3
a 2

Задача 4
Волновая функция, описывающая основное состояние
r

электрона в атоме водорода, имеет вид

 Ae a ,
где r – расстояние электрона от ядра,
a – первый Боровский радиус. Определить наиболее
вероятное расстояние электрона до ядра.
  Ae

r
a
a  const
rвер- ?
dW   dV , dV  4r dr.
2
2
2r

2 2
a
dW  4A r e
dr .
Задача 4
Вероятность обнаружить частицу на dr:
dW
2 2

 4A r e
dr
Наиболее вероятное расстояние:
d
2
2 2
 8A re  4A r e
dr
d
 0  extr .
dr

2r
a

2r
a

2r
a
.
 2
  ,
 a
Задача 4
8A re
2

2r
a
 r
 1    0 
 a
rвер
1
 0  rвер  a.
a