МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Э. БАУМАНА ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП –НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СОРЕВНОВАНИЯ ОЛИМПИАДЫ «ШАГ В БУДУЩЕЕ» ПО КОМПЛЕКСУ ПРЕДМЕТОВ «ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИЯ» ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДМЕТ «ФИЗИКА» ВАРИАНТ № 7 З А Д А Ч А 1. Две частицы движутся с ускорением g в однородном поле тяжести . В начальный момент частицы находились в одной точке и имели равные скорости v1 = v2= v0 = 4,0 м/с , направленные горизонтально и в противоположные стороны. Найдите расстояние между частицами в момент, когда угол между векторами их скоростей будет равен 600 З А Д А Ч А 2. Абсолютные показатели преломления алмаза и стекла соответственно равны 2,42 и 1,5. Найдите отношение толщин этих веществ, если время распространения света в них одинаково. З А Д А Ч А 3. S1 В вертикально расположенном сосуде с сечениями S1= 200 см2 и S2 = 100 см2 находятся два невесомых поршня . Поршни соединены тонкой проволокой длины L = 0,5 м. Пространство между поршнями заполнено водой. Найдите силу натяжения проволоки T . Трением пренебречь. Концы сосуда открыты в атмосферу. Принять ускорение свободного падения g =10 м / c2 L S2 З А Д А Ч А 4. R/ 2 В однородном цилиндре радиуса R и массы m , на расстоянии R/2 от центра цилиндра, параллельно его оси просверлено сквозное отверстие радиуса R/2 . Цилиндр находится на горизонтальной поверхности в положении, показанном на рисунке. Определите величину минимальной работы, необходимой для перекатывания без скольжения цилиндра на расстояние L 3 R . 2 З А Д А Ч А 5. Сосуд вместимостью V = 30 дм3 разделен на три равные части неподвижными полупроницаемыми тонкими перегородками. В левую часть сосуда впускают азот массы mА = 84 г, в среднюю- водород массы mВ = 6 г и в правую - кислород массы mК = 96 г. Молекулы водорода и азота могут диффундировать через обе перегородки. Чему будет равно давление в правой части сосуда после установления равновесия, если N2 H2 О2 температура газа в сосуде поддерживается постоянной и равной Т = 300К ? З А Д А Ч А 6. Два моля неона и три моля гелия находятся в левой половине цилиндра, показанного на рисунке. Справа от поршня вакуум . В отсутствие Q газов поршень расположен вплотную к левому торцу цилиндра и пружина в этом положении не деформирована. Боковые стенки цилиндра и поршень адиабатные (нетеплопроводные). Газ нагревают через левый торец цилиндра. Пренебрегая трением, найдите теплоёмкость газовой смеси. З А Д А Ч А 7. Циклическая частота свободных малых колебаний материальной точки равна . Найдите наименьшее время, через которое её импульс уменьшится вдвое по сравнению с максимальным значением. З А Д А Ч А 8. Фотокатод с работой выхода А освещается монохроматическим светом с частотой . Вылетевшие из катода электроны попадают в однородное магнитное поле и движутся по окружностям, наибольший радиус которых равен R. Определите индукцию В магнитного поля. З А Д А Ч А 9. Определите заряд на конденсаторе С. Параметры элементов схемы, указанные на рисунке, считать известными. Внутренними сопротивлениями источников тока пренебречь. З А Д А Ч А 10. R C 2R 2Е 3Е Е Небольшой шарик, имеющий массу m и заряд q, находится на высоте h над землей. На одной вертикали с ним на высоте 2h находится второй шарик массы 2m и заряда q. Шарики одновременно бросили в одну сторону в горизонтальном направлении с одинаковыми скоростями v. Нижний шарик коснулся земли на расстоянии L от вертикали бросания. На какой высоте H в этот момент будет находиться второй шарик? Cопротивлением воздуха и влиянием индуцированных на земле зарядов пренебречь. 7-1 ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СОРЕВНОВАНИЯ ОЛИМПИАДЫ «ШАГ В БУДУЩЕЕ» ПО КОМПЛЕКСУ ПРЕДМЕТОВ «ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИЯ» ФИЗИКА РЕШЕНИЕ ВАРИАНТА № 7 З А Д А Ч А 1. (4 балла) 2 2v 0 3 vo1 vo1 vo2 vo2 C C 5, 6 м . g o 60 v Падая, обе частицы, находятся в одной горизонтальной плоскости, на одной высоте, определяемой составляющей vo1 vo2 v A v y gt . Расстояние между частицами L определяется B vy=gt горизонтальными составляющими скоростей, т.е. начальными скоростями vo1 и vo2, и временем падения частиц t до момента, когда скорости v 1 и v 2 . Ответ: L 1 2 образуют угол 60о. Время падения частиц находим из треугольников скоростей , где v y gt Треугольник ACB - прямоугольный v o1 v 01 gt , отсюда t L ( v 0 1 v 0 2 ) t 2 v o t , (2) т.к. v 0 1 v 0 2 v 0 (1) o tg 30 g tg 30 o Подставив (1) в (2), получим 2 v0 2v0 3 2 42 3 L 2v 0 t 2v 0 5,6 м . g 9 ,8 g tg 30 o З А Д А Ч А 2. (4 балла) Ответ: 2 1 n1 n2 1, 61 . n1 2,42 , n2 1,5 Абсолютные показатели преломления алмаза n1 2,42 и стекла n2 1,5 связаны со скоростями 1 и 2 распространения света в этих веществах соотношением n1 2 n 2 1 (1) Так как свет распространяется в однородной среде с постоянной скоростью, то 1 где 1 -толщина алмаза, 2 -толщина стекла., а Разделив почленно выражения (2), получим 2 1 2 Из сравнения уравнений (1) и (2) найдём 1 Ответ: T gL S1 S 2 , а 2 2 t t t время прохождения света сквозь вещество . 2 (3) . 1 n 2,42 1 1,61 . n2 1,5 З А Д А Ч А 3. (5 баллов) S1 S 2 1 T S1 100 H . P L Обозначим атмосферное давление через Po, давление P+gL воды на верхний поршень- через P. Давление воды на нижний поршень равно P gL , где - плотность воды. Запишем условия равновесия поршней: Принять ускорение свободного падения g =10 м / c2 1) PoS1 T PS1 2) P gL S 2 Po S 2 T Из этих соотношений находим силу натяжения проволоки S2 T , (2) 7-2 4 T gL S1 S 2 2,0 1,0 10 10 310 0.5 100 H S1 S 2 (2,0 1,0) 10 2 З А Д А Ч А 4. (5 баллов) Ответ: A mgR . 4 3 m . (Массы 4 пропорциональны соответствующим площадям сечения цилиндра). Масса цилиндра с отверстием равна m1 Для перекатывания цилиндра на расстояние L A 3 R , необходимо совершить минимальную работу 2 3 mg y C , где y C - перемещение центра масс цилиндра вдоль вертикальной оси y . 4 Представляя цилиндр с отверстием как сумму двух симметричных тел с m m массами m 2 и m3 и, взяв начало координат в центре цилиндра ( 2 4 R 2 в точке О ) , получим: y C ; m 2 m3 m3 Следовательно, y C 2 y C R 3 и m R 4 2 R . т.е. y C 3 6 m 4 3 R mgR работа A mg . 4 3 4 m2 yC О m3 y З А Д А Ч А 5. (5 баллов) Ответ: P RT ( B 3 K A ) 1,25 10 6 Па V N2 H2 О2 RT 3RT RT RT K A ( B 3 K A ) V V V V P 8,31 10 4 (3 3 3 3) 1,25 10 6 Па P PB PK PA B З А Д А Ч А 6. (5 баллов) Ответ: C 2R 10R . 1). Подводимая к газу теплота Q идет на изменение внутренней энергии газа и изменение потенциальной энергии сжатой пружины : 3 k 2 2 Q R T ( x 2 x 1 ) (1), где x величина деформации пружины; число молей 2 2 газовой смеси; k коэффициент жёсткости пружины. 2) Состояние идеального газа описывается уравнением: pV RT (2) F kx Из условия равновесия поршня следует, что p (3), где F сила упругости, S S S площадь поршня. Кроме того V xS (4) . Подставив (3) и (4) в левую часть уравнения (2), kx 2 получим: xS RT . То есть kx RT (5). S И для двух положений поршня имеем : Подставляя (6) в (1), получим 2 2 kx 2 kx 1 R T (6). 7-3 3 1 Q Q R T R T 2 R T . И теплоёмкость системы С 2 R . 2 2 T По условию задачи в левой половине цилиндра находятся два моля неона и три моля гелия , то есть 5 . Тогда С 2 5 R 10 R . З А Д А Ч А 7. (5 баллов) Ответ: t . 3 Импульс материальной точки , совершающей малые колебания p m , где p (t ) 1 1 m cos( t ) . (1) По условию задачи и, следовательно, m . p m (t 0) m 2 2 Подставляя это 1 t arccos ; 2 выражение t ; 3 в t (1) , получим m m cos( t ) 2 , откуда cos( t ) 1 ; 2 . 3 З А Д А Ч А 8. (5 баллов) Ответ: B 1) h A 1 2mh A . qR 2 2 m h A , откуда 2 m m 2 qB , 2) R откуда B (1) m m 2 h A 1 2mh A . qR qR m qR З А Д А Ч А 9. (6 баллов) I 14 Ответ: q CE . 3 1). Ток в контуре ( направление тока по часовой стрелке ) E I (1) 3R 2). Для контура АBDA ( Направление обхода контура показано на рисунке стрелочкой ) U I 2 R 3E E (2), Где U напряжение на конденсаторе. E 14 R E. Из (2) следует U 4 E 2 IR 4 E 2 3R 3 14 q CU CE . 3). Заряд конденсатора 3 A R C 2R D 2Е Е 3Е B З А Д А Ч А 10. (6 баллов) 5 3 L Ответ: Н 2 h g 2 4 2 Начальное положение центра масс находится на высоте h c скорость v направлена горизонтально. mh 2 m 2 h 5 h m 2m 3 и его начальная 7-4 В дальнейшем центр масс будет двигаться по параболе, характеризуемой уравнением h h c g 2 t . 2 L . Положение центра масс в момент падения нижнего шарика на землю определяется соотношением Нижний шарик упадет на землю в момент времени t 2 g 2 5 gL Hс hc t h - . 2 3 2 Найдем высоту, на которой будет находиться второй шарик в момент падения нижнего шарика на землю. m 0 2mH Нс 3m 2 2 H2, 3 откуда H2 3 5 3 L Hc h g 2 2 4 2