Основы алгебры

Глава 1
Основы алгебры
Числовые множества
Рассмотрим основные числовые множества.
Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д.,
которые используются для счета предметов.
Множество целых чисел Z состоит из натуральных чисел 1, 2, 3, …, числа 0 и чисел, отрицательных к натуральным: –1, –2, –3, ….
Множество рациональных чисел Q содержит числа вида
, где n — на-
туральное, m — целое. Рациональные числа могут быть записаны в виде
конечных или бесконечных периодических десятичных дробей. Например,
, ,
,
.
К множеству иррациональных чисел I относятся числа, которые не
представляются в виде конечных десятичных дробей или в виде бесконечной периодической дроби. Например, числа π или .
При объединении множества рациональных чисел Q и множества иррациональных чисел I образуется множество действительных чисел R.
Действительные числа можно изображать в виде точек на числовой
прямой. Чтобы задать числовую прямую, необходимо отметить на прямой точку, которой будет соответствовать число 0, — начало отсчета,
а затем выбрать единичный отрезок и указать положительное направление.
Каждой точке на координатной прямой соответствует число, которое
определяется как длина отрезка от начала отсчета до рассматриваемой
точки, при этом за единицу измерения принимается единичный отрезок. Это число — координата точки. Если точка взята справа от начала отсчета, то ее координата положительная, а если слева — отрицательная. Например, точки О и А имеют координаты 0 и 2 соответственно, что
можно записать так: О(0), А(2) (рис. 1.1).
18
Числовые множества
Рис. 1.1. Числовая прямая
Модуль, или абсолютная величина числа x, обозначается
ние модуля запишем с помощью системы
Примеры:
. Определе.
. В геометрическом смысле модуль
точки А(х) до начала координат.
Задача 1.1. Переведите дроби ,
представляет собой расстояние от
и
из обыкновенных в десятич-
ные конечные или периодические дроби; дроби 0,4, 1,25 и 0,(3) из
десятичных в обыкновенные.
Решение
Первый способ:
— домножение числителя и знаме-
нателя на числа 2, 22 = 4, 23 = 8, …, 5, 52 = 25, … так, чтобы образовывалось
произведение 2 ∙ 5 = 10, 4 ∙ 25 = 100, 8 ∙ 125 = 1000, … в числителе.
Второй способ:
— деление числителя на знаменатель.
Если после сокращения дробь не содержит в знаменателе числа, при разложении на множители которых встречаются только числа 2 и 5, то она
не может быть переведена в конечную десятичную дробь. Такие дроби
переводят вторым способом в бесконечные периодические дроби.
Переведем оставшиеся дроби:
19
Глава 1. Основы алгебры
Ответ: 0,2, 0,(285714), 3,008.
Задача 1.2. Переведите дроби 0,4, 1,25 и 0,(3) из десятичных в обыкновенные.
Задача 1.3. Изобразите на числовой прямой точки, координатами которых являются числа 2, 5,2, –3,5, 0,7 и –6. Найдите модули этих чисел.
Простые и составные числа
Натуральное число n, отличное от единицы, называется простым, если
оно делится только на единицу и на само себя. Например: 2, 3, 5, 7, 11
и 13.
Остальные натуральные числа, за исключением единицы, называются
составными. Например: 4, 6, 8, 9, 10 и 12.
Любое натуральное число можно единственным образом разложить на
произведение простых множителей. Например: 24 = 3 ∙ 8 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3.
Дадим определение понятиям делителя и кратного.
Если натуральное число n = xy, где x и y — натуральные числа, то x называется делителем числа n.
Число n называется кратным числа x, если можно представить n в виде
n = xy.
Примеры: 3 является делителем 15, так как 15 = 3 ∙ 5, 26 кратно 13,
так как 26 = 13 ∙ 2.
Пусть даны два натуральных числа n и k. Наибольший общий делитель
чисел n и k — это наибольшее из тех чисел x, которое является делителем
и n, и k. Например, наибольший общий делитель чисел 60 и 24 — 12,
так как 60 : 12 = 5 и 24 : 12 = 2, 12 — наибольший из общих делителей
2, 3, 4 и 6.
Чтобы найти общий делитель, нужно каждое из чисел разложить на
простые множители и выбрать те множители, которые входят в оба
разложения.
Наименьшее общее кратное чисел n и k — это такое наименьшее число y, которое является кратным для n и k. Наименьшее общее кратное
20
Признаки делимости
можно определить, перемножив n на те множители, которые есть в разложении числа k, но нет в разложении n.
Задача 1.4. Найдите наименьший общий делитель чисел 75, 105 и 1500.
Задача 1.5. Найдите наименьшее общее кратное чисел 12 и 30.
Признаки делимости
Говорят, что натуральное число n делится на натуральное число m, если
частное
— натуральное число.
Для некоторых значений m делимость n на m можно определять по цифрам числа n. Особенно легко это можно сделать при m, равном 2, 3, 5, 9
и 10.
Пусть а0 — цифра единиц, а1 — десятков и так до аn числа n. Тогда число n может быть записано в таком виде:
.
Признак делимости на 2: число делится на 2 в том, и только в том случае,
когда его последняя цифра (цифра единиц) делится на 2, то есть число
заканчивается на 0, 2, 4, 6, 8.
Доказательство. Представим число n в виде следующей суммы:
. Все слагаемые пред­
став­ленной суммы делятся на 2. Значит, и само число n делится на 2.
Признак делимости на 3: число делится на 3 в том, и только в том случае,
когда сумма его цифр делится на 3.
Признак делимости на 9: число делится на 9 в том, и только в том случае,
когда сумма его цифр делится на 9.
Мультимедийный репетитор
Доказательство признаков делимости на 3 и 9 рассматривается на диске.
Признак делимости на 5: число делится на 5 в том, и только в том случае,
когда его последняя цифра есть 0 или 5.
Признак делимости на 10: число делится на 10 в том, и только в том
случае, когда его последняя цифра есть 0.
21
Глава 1. Основы алгебры
Задача 1.6. Докажите, что число 4518 делится на 2, 3 и 9.
Решение
Число 4518 делится на 2, так как его последняя цифра 8 делится на 2. Действительно, 4518 : 2 = 2259.
Число 4518 делится на 3, так как сумма его цифр 4 + 5 + 1 + 8 = 18
делится на 3. Действительно, 4518 : 3 = 1506.
Число 4518 делится на 9, так как сумма его цифр 4 + 5 + 1 + 8 = 18
делится на 9. Действительно, 4518 : 9 = 502.
Числовые неравенства и их свойства
Если число а меньше числа b, то это можно записать с помощью знака
«<»: а < b. На числовой оси точка с координатой а будет расположена
левее точки с координатой b.
Запись а < b можно представить и с помощью знака «больше»: b > a. Если а ¹ b, то верно одно из двух утверждений: либо а < b, либо а > b.
Рассмотрим свойства числовых неравенств.
Если а > b и b > c, то а > c.
Графически это свойство очевидно. Если точка c координатой а находится правее точки с координатой b, а точка с координатой b находится
правее точки с координатой с, то точка c координатой а находится правее точки с координатой с (рис. 1.2).
Рис. 1.2. Свойство числовых неравенств
Если а > b и c — любое число, то а + с > b + с.
Это свойство также можно пояснить графически. Пусть на числовой
прямой лежат точки с координатами а и b и выполнено условие а > b. Это
означает, что точка с координатой а лежит правее точки с координатой b. Прибавляя к координатам а и b число c, мы перемещаем данные
точки на равный отрезок и в одном направлении.
22
Степени и корни, арифметический корень
Если а > b и c > 0, то аc > bc.
Если а > b и c < 0, то аc < bc.
Таким образом, при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
Если а > b и c > d, то а + c > b + d.
Кратко можно сказать, что неравенство можно почленно складывать.
Пусть а, b, c, d — положительные числа, причем а > b и c > d. Тогда
аc > bd.
Степени и корни, арифметический корень
Пусть n натуральное число, а a — произвольное число.
Натуральная степень числа a определяется как произведение n множителей, каждый из которых равен a:
. По определению
Отрицательная целая и нулевая степень определяется так:
Корнем степени n из числа a (обозначается
ло b, что
.
.
.
) называют такое чис-
Если n — нечетное число, то существует только одно такое число b для
любого числа a. Если n — четнoe число, то при a < 0 корень не существует. Корень любой степени из нуля равен нулю. Если же n — четное
и a > 0, то можно указать два противоположных числа, удовлетворяющих определению корня.
Чтобы не было такой неопределенности, введено понятие арифметического корня.
Арифметическим корнем n-степени из неотрицательного числа a называют такое неотрицательное число b, что
. Арифметический корень
больше или равен нулю.
Задача 1.7. Вычислите:
а)
б)
;
;
23
Глава 1. Основы алгебры
в)
.
Решение
а)
б)
в)
, так как
;
, так как
;
, так как
.
Ответ: а) 8; б) 5; в) 2.
Задача 1.8. Вычислите:
.
Степень с рациональным показателем
Пусть а > 0. Определим степень с рациональным показателем
корень n-степени из
:
.
Правила действий со степенями:
Аналогично запишем правила действий для выражений с корнями:
Задача 1.9. Вычислите:
.
24
как
Формулы сокращенного умножения
Решение
Преобразуем выражение так, чтобы в нем все множители были представлены в виде степеней числа 2:
Ответ: 1.
Задача 1.10. Вычислите:
.
Формулы сокращенного умножения
Формулы сокращенного умножения следующие:

— квадрат суммы;

— квадрат разности;

— разность квадратов;

— куб суммы;

— куб разности;

— сумма кубов;

— разность кубов.
Мультимедийный репетитор
Доказательство формул рассматривается на диске.
Задача 1.11. Преобразуйте с помощью формул сокращенного умножения следующие выражения:
а)
б)
;
.
25