= ∫ ∫

X Потенциал .
Постановка задачи: Используя формулу для потенциала точечного заряда, принцип
суперпозиции и связь напряженности поля и потенциала рассчитать потенциал электрических
полей различной конфигурации.
1. Потенциал электрического поля численно равен потенциальной энергии единичного заряда.
Потенциал на бесконечности условились считать равным нулю, поэтому потенциал данной
точки можно считать равным работе A∞ по перемещению единичного заряда из бесконечности
в данную точку:
ϕ = A∞/q , где q- заряд
2. Разность потенциалов двух точек численно равно работе по перемещению единичного
заряда меду этими двумя точками.
С последним определением связана единица энергии, широко используемая в атомной физике: 1 Электрон-вольт (эВ) это работа которую
совершает электрон при перемещении между точками, разность потенциалов между которыми равен 1 В.
3. Потенциал точечного заряда q - скалярная величина:
ϕ = kq/r , где r- расстояние до точки наблюдения.
4. Принцип суперпозиции потенциала
Потенциал совокупности точечных зарядов равен алгебраической сумме потенциалов
отдельных зарядов: ϕ = ∑ ϕ i . Для непрерывного распределения зарядов, находящихся в среде
в диэлектрической проницаемостью ε принцип суперпозиции позволяет разбить это
распределение зарядов на ряд точечных и записать:
kρdV
, где - r расстояние от элемента dV до точки наблюдения.
ϕ=∫
εr
V
5. Потенциал электрического поля заряженной металлической сферы или шара радиуса R:
ϕ = kq/R - внутри и на поверхности
ϕ = kq/r - вне, r- расстояние от центра шара
6. Связь напряженности поля и потенциала:
E= -grad ϕ,
!
!
∂ϕ r
Для частного случая сферического поля: E = −
×
∂r r
ϕ − ϕ2
Для однородного поля: E = 1
, где d- расстояние между точками 1 и 2.
d
2
7. Разность потенциалов между точками 1 и 2 : ∆ϕ = − ∫ Edl
1
8. Проводники. При помещении проводника в электрическое поле на его поверхности
выступают заряды таким образом, что поле внутри отсутствует. В заряженном проводнике
все заряды сконцентрированы в узком приповерхностном слое, потенциал его везде
одинаков. Потенциал заряженной проводящей сферы вне сферы вычисляется как потенциал
точечного заряда, расположенного в центре; внутри сферы потенциал постоянен и равен
потенциалу на поверхности.
Задачи X Потенциал
X-1 (Ч15-14) По тонкому кольцу радиусом R равномерно распределен заряд с линейной
плотностью λ. Определить потенциал ϕ в точке, лежащей на оси кольца на расстоянии a от
центра.
• Разделим кольцо на элементарные заряды dq=λdl, где dl – элемент кольца. Каждый из этих
элементарных зарядов находится на расстоянии (a2+R2)1/2 от точки наблюдения. Суммарный
потенциал будет интегралом по всему кольцу:
ϕ=
2πR
∫
kλ ⋅ dl
(a 2 + R 2 )1 / 2
0
=
2πRτ
4πε 0 (a 2 + R 2 )1/ 2
=
τR
2ε 0 (a 2 + R 2 )1 / 2
.
X-2 (Ч15-19) По тонкому диску радиуса R равномерно распределен заряд с поверхностной
плотностью σ. Определить потенциал ϕ в точке, лежащей на оси диска на расстоянии a от
центра.
• ϕ=σ[(R2+a2)1/2-a] /2ε0
X-3 По широкому тонкому кольцу с внешним и внутренним радиусами a и b равномерно
распределен заряд с поверхностной плотностью σ. Определить потенциал ϕ в и точке,
лежащей на оси кольца на расстоянии x от центра.
• ϕ=σ[(x2+b2)1/2-(x2+a2)1/2]/2ε0
X-4 (Ч 15-20) Имеются две концентрические сферы радиусами R1=3см и R2=6см. Пространство
между сферами заполнено парафином (ε=2). Заряд внутренней сферы q1=-1нКл, заряд
внешней сферы q2=2нКл . Найти потенциал в центре (ϕ3), между сферами (ϕ2)(радиус r2=5см), а
также на внешней сфере (ϕ3).
• Потенциал на поверхности (и вне внешней сферы) определяется по формуле для
потенциала точечного заряда (представляющего собой алгебраическую сумму q1 и q2):
k (q2 − q1 )
ϕ3 =
= 150в . Электрическое поле в слое диэлектрика определяется зарядом
R2
kq
внутренней сферы: E = 21 < 0 , а разность потенциалов между внутренней и внешней сферой:
εr
∆ϕ =
R2
kq1
∫ εr 2 dr =
R1
2=150-75=75в.
kq1 1
1
(
− ) = 75в. Таким образом, потенциал внутренней сферы равен ϕ
ε R 2 R1
Потенциал на расcтоянии r2 между сферами: ϕ 2 = 150 −
R2
∫
r2
kq1dr
εr 2
= 150 − 15 = 135в
Ответ: ϕ1= k(q2+q1)/ R2=150 в ; ϕ2=ϕ1-kq1(r2-R2)/ εr2R2=135 в; ϕ3=ϕ1-kq1(R1-R2)/ εR1R2=75 в
X-5 Ч 15-21 Металлический шар радиусом R несет заряд q. Шар окружен сферическим слоем
эбонита толщиной d. Определить разность потенциалов между центром шара и внешним краем
сферической оболочки.
• ∆ϕ=kqd/εR(R+d)
X-6 Ч 15-22 Металлический шар радиусом R1 заряжен до потенциала ϕ1. Определить потенциал
этого шара ϕ2 в двух случаях: 1) после того, как его окружат проводящей сферической
оболочкой радиуса R2>R1 и на короткое время соединят с ней проводником, 2) после того, как
его окружат заземленной проводящей сферической оболочкой радиуса R2>R1
• 1) Заряд внутреннего шара равен q=4πε0R1ϕ1. После соединения оболочек весь этот
заряд перетечет на внешнюю сферу, и внутренний шар становится несущественным.
kq ϕ1 R1
Потенциал внешней оболочки всего того, что внутри ее: ϕ 2 =
=
R2
R2
2)Внутренний шар в отсутствии заземленной оболочки дал бы на расстоянии R2 потенциал,
равный kq/R2. Но заземление означает, что потенциал здесь равен нулю, т.е. он изменяется на
kq/R2.
На
ту
же
величину
изменяется
и
потенциал
внутреннего
шара:
kq ϕ1 ( R2 − R1 )
ϕ 2 = ϕ1 −
=
R2
R2
X-7 Найти потенциал в центре 1)металлической сферы радиуса R, равномерно заряженной c
поверхностной плотностью σ; 2) металлического шара радиуса R, заряженного зарядом q.
• ϕ=σR/ε0; ϕ=kq/R;
X-8 (Ч 15-15) На отрезке тонкого прямого проводника равномерно распределен заряд с
линейной плотностью λ. Вычислить потенциал ϕ, создаваемый этим зарядом в точке,
расположенной на оси проводника и удаленной от ближайшего конца отрезка на расстоянии,
равное длине этого отрезка.
•ϕ=kτ ln2
X-9 Электрическое поле создано длинным цилиндром радиуса R, равномерно заряженным по
длине с плотностью λ. Определить разность потенциалов двух точек поля, находящихся на
расстоянии r1 и r2 (>R) от поверхности цилиндра.
• ∆ϕ=2kτln(r2/r1)
X-10 (Ч 15-23) Две бесконечные параллельные плоскости находятся на расстоянии d друг от
друга. Плоскости несут равномерно распределенный заряд σ1 и σ2 соответственно. Определить
разность потенциалов ∆ϕ между пластинами.
• ∆ϕ=(σ1-σ2)d/2ε0
X-11 Определить разность потенциалов между центром и поверхностью стеклянного шара
радиуса R, равномерно заряженного с объемной плотностью ρ.
• Напряженность электрического поля внутри заряженной сферы E=ρr/3ε0ε. Разность
потенциалов:
R
R
ρrdr
ρR 2
∆ϕ = − ∫ Edr = − ∫
=−
3ε 0 ε
6ε 0ε
0
0
.
X-12 (Ч 15-33) Определить потенциал на поверхности и в центре стеклянного шара радиуса R,
равномерно заряженного с объемной плотностью ρ.
• ϕпов=ρR2/3ε0; ϕцен=ρR2(1+1/2ε)/3ε0
X-13 (Ч 15-32) Плоская стеклянная (ε-известна) пластина толщиной d равномерно заряжена с
объемной плотностью ρ. Определить разность потенциалов между краем и центром пластины.
• ∆ϕ=ρl2/2εε0
X-14 Найти работу, необходимую для перемещения заряда q на бесконечность из центра
сферы радиуса R, равномерно заряженной с поверхностной плотностью σ.
X-15 Тонкий стержень согнут в полукольцо и заряжен с линейной плотностью λ. Какую работу
надо совершить, чтобы перенести заряд q из бесконечности в центр.
• A=2kqλ
X-16 Поле создано тонким стержнем, заряженным с линейной плотностью λ. Определить
потенциал в точке, удаленной от концов стержня на расстояние, равное его длине.
• ϕ=2kλ⋅lntg(π/3)
X-17 (Ч15-17) Тонкие стержни образуют квадрат и заряжены с линейной плотностью λ.
Определить потенциал в центре квадрата.
• ϕ=2τ lntg(3π/8)/πε0
X-18 Имеются два тонких кольца радиуса R, оси которых совпадают, центры находятся на
расстоянии a. Кольца несут заряды +q и –q. Найти разность потенциалов между центрами
колец.
•∆ϕ=2kq(1-1/v2)/R