Аналитическая геометрия. Избранные главы

Некоторые разделы курса «Аналитическая геометрия и линейная алгебра»
Логинов А.С.
Оглавление
Глава 1. Векторы
1.1 Понятие вектора. Линейные операции над векторами, их свойства.
Выражение координат суммы векторов и произведения вектора на число.
1.2. Линейно зависимые системы векторов на плоскости и в пространстве.
Геометрический смысл линейной зависимости
1.3. Базисы на плоскости и в пространстве. Ортонормированные базисы.
Разложение вектора по базису на плоскости и в пространстве
1.3.1.Базисы
1.3.2.Проекция вектора на ось.
1.4. Скалярное произведение двух векторов, его свойства и выражение через
координаты сомножителей
1.5. Векторное произведение двух векторов, его свойства и выражение через
координаты сомножителей
1.5.1.Определители второго и третьего порядка.
1.5.2.Решение систем. Правило Крамера.
1.5.3. Векторное произведение
1.6. Преобразование координат
1.6.1.Преобразование поворота
1.6.2.Преобразование сдвига
1.6.3. Полярные и сферические координаты
1.7. Смешанное произведение двух векторов, его свойства и выражение через
координаты сомножителей
1.7.1.Определение.
1.7.2. Выражение смешанного произведения в декартовых координатах
Глава 2. Прямые и плоскости
1
2.1. Уравнение прямой на плоскости и плоскости в пространстве,
ортогональных данному вектору и проходящих через данную точку
2.2. Общее уравнение первого порядка на плоскости и в пространстве, его
исследование
2.2.1.Общее уравнение первого порядка на плоскости
2.2.2.Общее уравнение первого порядка в пространстве
2.3. Нормальное уравнение прямой на плоскости и плоскости в пространстве.
Приведение общего уравнения первого порядка к нормальному виду
2.3.1.Нормальное уравнение прямой на плоскости
2.3.2. Нормальное уравнение плоскости в пространстве
2.4. Различные формы уравнения прямой на плоскости и в пространстве.
Переход от одной формы к другой
2.4.1.Общее уравнение прямой на плоскости
2.4.2.Параметрическое уравнение прямой на плоскости
2.4.3.Каноническое уравнение прямой на плоскости
2.4.4. Переход от одной формы уравнения прямой к другой на плоскости
2.4.5.Уравнение прямой в пространстве, как пересечение двух плоскостей
2.4.6.Параметрическое уравнение прямой в пространстве
2.4.7.Каноническое уравнение прямой в пространстве
2.4.8. Переход от одной формы уравнения прямой к другой в
пространстве
2.5. Барицентрические координаты. Деление отрезка в данном соотношении.
Пучок прямых. Пучок плоскостей.
2.6. Расстояние от точки до прямой в пространстве
2.7. Определение координат точки пересечения прямой и плоскости в
пространстве
2.8. Определение координат проекции точки на прямую на плоскости,
проекции точки на плоскость в пространстве
2.9. Базовые задачи
2.9.1. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки
2.9.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую
2
2.9.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку,
параллельно заданной плоскости
2.9.4.Составить уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую,
параллельно заданному вектору
2.10. Разные задачи
2.10.1. Определить расстояние между двумя скрещивающимися прямыми
2.10.2. Определить расстояние между двумя параллельными прямыми
2.10.3. Составить уравнение прямой, проходящую через точку M 0 ,
заданную прямую {M1, l1} и параллельно плоскости
0
2.10.4. Составить уравнение общего перпендикуляра двух
скрещивающихся прямых
2.10.5. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
{M 0, l } , перпендикулярно плоскости
{M , N } .
2.10.6. Проекция точки на прямую в пространстве
2.10.7. Симметричная точка относительно плоскости
2.10.8. Симметричная точка относительно прямой в пространстве
2.10.9. Уравнение плоскости, проходящей через прямую, параллельно
другой прямой
2.10.10. Уравнение прямой параллельной плоскостям, пересекающей две
прямые
Глава 3. Кривые второго порядка
3.1. Канонические уравнения кривых второго порядка
3.1.1. Эллипс
3.1.2. Гипербола
3.1.3. Парабола
3.1.4. Некоторые свойства эллипса, гиперболы и параболы
3.2. Общее уравнение кривой второго порядка
3.2.1. Преобразование координат при переходе к другой системе координат
3.2.2. Инварианты кривой второго порядка
3.2.3. Центр линии второго порядка
3
3.3.Упрощение уравнения линии второго порядка (приведение к
каноническому виду)
3.3.1.Классификация кривой 2-го порядка
3.3.2.Эллиптический тип
3.3.3.Гиперболический тип
3.3.4.Параболический тип
Глава 4. Поверхности второго порядка
4.1. Понятие поверхности 2-го порядка
4.1.1. Определения.
4.2. Каноническое уравнение поверхности 2-го порядка
4.2.1. Исследавание центральных поверхностей 2-го порядка
4.2.2. Исследавание нецентральных поверхностей 2-го порядка
Глава 5. Матрицы и определители
5.1. Определители и их свойства
5.1.1. Подстановки
5.1.2. Определитель
5.1.3. Миноры и их дополнения
5.2. Прямоугольные матрицы
5.2.1. Операции над матрицами
5.3. Обратные матрицы
5.4. Системы линейных уравнений
5.4.1. Запись системы линейных уравнений в матричной форме
5.4.2. Правило Крамера
4
Геометрия есть учение о вечном. Платон
Глава 1. Векторы
1.1.
Понятие вектора. Линейные операции над векторами, их свойства.
Выражение координат суммы векторов и произведения вектора на число.
Определения. Вектором называется направленный отрезок. Вектор
полностью определяется направлением и своей длинной. Таким образом, два
вектора считаются равными, если они имеют одинаковое направление и
одинаковую длину. В курсе рассматриваются только вектора на плоскости
или в пространстве.
В ряде случаев удобно откладывать вектор от определенной точки. В этом
случае различают начало и конец вектора.
«Точка»
Определенные таким образом вектора называются «скользящими». В
множество векторов добавляют нулевой вектор. Нулевой вектор имеет
длину, равную нулю и неопределенное направление. Противоположный вектор
для данного вектора определяется, как вектор, имеющий ту же длину, но
противоположное направление. Два вектора называются коллинеарными, если
они параллельны (вектора лежат на одной или на параллельных прямых).
Нулевой вектор можно считать параллельным любому другому вектору.
Вектора, образующие между собой угол в 90 градусов (при отложении из
одной точки) называются ортогональными. Условие ортогональности
обозначается значком . Вектор, имеющий длину 1, называется единичным
вектором. Единичный вектор, имеющий то же направление, что и данный
вектор называется ортом этого вектора. Обозначать вектор будем курсивом
и жирным шрифтом: 0, a , b, c,..., a, b, c,..., OM, AB,... ,…. Кроме того для
вектора будет использоваться стрелка сверху.
Длина вектора или модуль вектора обозначается | а | . Противоположный
вектор обозначается a . См. рис. 1.1.
5
Рис. 1.1. Векторы, длина вектора
Определение. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной
или параллельных плоскостях.
Если хотя бы один из трех векторов нулевой, то тройка вектров является
компланарной.
Вектора можно складывать и умножать на (вещественные) числа:
а
b, а .
Сложение двух векторов производится по правилу параллелограмма: оба
вектора откладываются из одной точки и на них строится параллелограмм.
Диагональ этого параллелограмма из точки приложения векторов с
направлением в противоположную вершину и является суммой данных
векторов (см. рис. 1.2).
Рис. 1.2. Сложение векторов
Сумму векторов можно получить, прикладывая второй вектор к вершине
первого и соединяя начало первого с вершиной второго (см. рисунок).
Умножение вектора на число определяется следующим образом:
1) если число равно 0, то результатом умножения вектора на это число
является нулевой вектор:
0 a = 0.
2) если число
0 , то | a | |
направлению с вектором a .
|| a | и вектор a совпадает по
6
3) если число
0 < 0 , то | a | | || a | и вектор a имеет направление,
противоположное с вектором a . В этом случае a | | ( a ) .
Замечание. Условие коллинеарности двух векторов означает, что один из
них равен другому, умноженному на некоторое число.
Пример скользящих векторов. Вектор скорости твердого тела при плоскопараллельном движении (см. рис. 1.3).
Рис. 1.3. Вектор скорости при плоско-параллельном движении тела
От геометрического определения перейдем к аналитическому определению.
Рассмотрим вектор V на плоскости в декартовой системой координат xOy.
Точку приложения вектора (начало вектора) обозначим A=(x1 ,y1) , конец
вектора обозначим B=(x2 ,y2) (см. рис. 1.4).
Рис. 1.4. Координаты вектора
Вектор V однозначно определяется упорядоченной парой чисел
(V1,V2 )
(x 2
x1, y2
y1) . В этом случае |V |
V12
V22 . Числа
V1,V2 называются координатами вектора. Операции сложения и умножения на
числа будут сводиться к соответствующим операциям над координатами
вектора. А именно, при сложении векторов их координаты складываются, при
умножении на число, координаты умножаются на это число:
1) Если a
c
(x1, y1),b
(x 2, y2 ) и c
a
b , то координаты вектора
(x 3, y3 )
7
получаются сложением координат векторов a ,b
x3
2) Если a
(x1, y1 ) и c
x1
x 2, y 3
y1
y2 .
a , то координаты вектора c
(x 2, y2 )
получаются умнжением координат вектора a на
x2
x1, y2
y1 .
Аналитическое определение вектора. Вектором называется упорядоченная
пара вещественных чисел (x, y ) с операциями сложения и умножения на числа,
производящимся по правилам 1), 2).
Указанные две операции называются линейными операциями и
удовлетворяют обычным свойствам операций сложения и умножения чисел.
Перечислим некоторые из этих свойств.
a
b
b
(a
b)
a
0
a
( a)
1a
a
c
(
a
(b
c)
a
( a)
(a
a
(
0
)a
b)
a
)a
a
b
a
Первое свойство называется свойством коммутативности сложения
векторов
Второе свойство называется свойством ассоциативности сложения векторов
До сих пор речь шла о векторах на плоскости, но все выше сказанное
можно повторить и для направленных отрезков в пространстве. В
координатной форме такие вектора будут записываться в виде: a (x, y, z ) .
Вектор, приложенный к началу координат O , называется радиус
вектором. Вектор OM называется радиус вектором точки M (см. рис. 1.5).
8
Рис. 1.5. Радиус вектор
1.2. Линейно зависимые системы векторов на плоскости и в пространстве.
Геометрический смысл линейной зависимости
Определние. Линейной комбинацией векторов a ,b ,..., c с числами
(коэффициентами) , ,..., назвается сумма a
b
...
c . Линейная
комбинация a
b ...
c называется нетривиальной, если хотя бы один
из коэффициентов , ,..., отличен от нуля.
Определние.Система векторов a ,b ,..., c называется линейно зависимой
(л.з.), если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов,
равная нулевому вектору:
a
b
...
c
0,
2
2
...
2
0.
В противном случае система векторов называется линейно независимой
(л.н.). Это можно сформулировать следующим образом: система векторов
линейно независима, если из равенства нулю линейной комбинации
a
b ...
c 0 следует, что все , ,..., равны нулю.
Отметим, что, если в системе есть хотя бы один нулевой вектор, то такая
система линейно зависима. Действительно, пусть первый вектор системы
нулевой: a 0 , в этом случае нетривиальная линейная комбинация
a
b ...
c , где
1,
0,...,
0 будет равна нулевому вектору.
Выясним геометрический смысл линейной зависимосити двух векторов на
плоскости (позднее будет показано, что любые три вектора на плоскости
являются линейно зависимыми).
Случай, когда один из векторов нулевой интереса не представляет. Пусть
вектора a ,b не нулевые и линейно зависимы. Следовательно, сущесвуют
9
, не равные нулю одновременно и такие, что a
0 , тогда b
a
b
0 . Пусть, например,
a . В результате мы имеем нетривиальную
линейную комбинацию, равную нулю: a
b
0.
Резюме. Линейная зависимость двух векторов на плоскости эквивалентна
их коллинеарности.
Геометрический смысл линейной зависимости пространственных векторов
будет рассмотрен позднее.
1.3. Базисы на плоскости и в пространстве. Ортонормированные базисы.
Разложение вектора по базису на плоскости и в пространстве
1.3.1.Базисы
Рассмотрим упорядоченную систему векторов (на плоскости или в
пространстве). Упорядоченность означает, что вектора пронумерованы:
e1,e2,...,en .
Разложением вектора a по системе {e1,e2,...,en } называтся равенство
a
x1e1
x 2e2
...
x nen
с некоторыми коэффициентами разложения x1, x 2,..., x n .
Определение. Упорядоченная система векторов e1,e2,...,en называется базисом
в L ( L – плоскость или пространство), если выполнены два условия:
1) любой вектор a может быть разложен по системе векторов
e1,e2,...,en :
a
x1e1
x 2e2
...
x nen ,
2) коэффициенты этого разложения x1, x 2,..., x n определяются
единственным образом.
Определение. Базис называется ортогональным, если его вектора попарно
ортогональны. Базис называется ортонормированным, если он
ортогональный и состоит из единичных векторов.
Теорема. Любые два упорядоченных линейно независимых вектора на
плоскости образуют базис.
10
Доказательство.Даны два линейно независимых вектора a
OA ,b
OB и
произвольный вектор c OC . Постром параллелограмм со сторонами
параллельными OA, OB и с диагональю OC (см. рис. 1.6). Полученные
вершины обозначим O, A ',C , B ' . Вектор OA ' можно выразить через OA :
OA '
c
OA '
OA . Точно также: OB '
OB '
OA
OB . Далее:
OB = a+ b.
Рис. 1.6. Разложение по базису
Докажем единственность разложения. Предположим, что имеется два
разложения c= 1 a+ 1 b и c= 2 a+ 2 b , тогда ( 1
) a+ ( 1
) b =0 . Так
2
2
как, a , b линейно независимы, то
1
0,
2
1
2
0.
Следствие. Любой набор из трех и более векторов на плоскости линейно
зависим. В частности, три компланарных вектора линейно зависимы.
Теорема. Любыя упорядоченная тройка линейно независимых векторов в
пространстве образует базис.
Геометрическое доказательство. Даны три линейно независимые вектора
a OA ,b OB , c OC и произвольный вектор d OD (см. рис. 1.7).
Построим параллелепипед с ребрами параллельными OA, OB, OC и с
диагональю OD. Полученные вершины обозначим O, A ', B ',C ', D . Вектор
OA ' можно выразить через OA : OA '
OC '
OC . Далее: d
OA '
OB '
OA . Точно также: OB '
OC '
OA
OB
OB и
OC =
= a+ b+ c.
11
Рис. 1.7. Базис в пространстве
Докажем единственность разложения. Предположим, что имеется два
разложения d= 1 a+ 1 b+ 1 c и d= 2 a+ 2 b+ 2 c, тогда
(
1
2
) a+ (
1
независимы, то
2
) b+ (
1
2
1
0,
2
1
) c =0 . Так как векторы a,b,с линейно
2
0,
1
2
0.
Следствие. Любой набор из четырех и более векторов в пространстве
линейно зависим.
Если задан базис (на плоскости или в пространстве), то любой вектор можно
отождествлять с коэффициентами его разложения по этому базису. Эти
коэффициенты называются координатами вектора в данном базисе. В общем
случае базис называется аффинным, а координаты вектора в этом базисе
называются аффинными координатами, в отличие от ортогонального или
ортонормированного базиса.
1.3.2.Проекция вектора на ось.
Осью называется линия с заданным направлением (задан орт оси), см. рис.
1.8.
Рис. 1.8. Ось
Проекцией вектора AB на ось l с направлением e называется величина
s A ' B ' , где A ' - проекция точки A (начало вектора) на ось l , B ' - проекция
точки B (конец вектора) на ось l ,
s
0 , если A '
B',
12
s
s
1 , если вектор A ' B ' и вектор e одинаково направлены,
1 , в противном случае (см. рис. 1.9).
Рис. 1.9. Проекции
Иллюстрация к этому определению в пространстве.
На рисунке 1.10 плоскости ,
перпендикулярны оси l и пректируют
начало и конец вектора AB на ось l .
Рис. 1.10. Проекция вектора на ось
Проекция вектора a на ось l с ортом e обозначается Прea или Прla .
Если обозначить угол между осью l и вектором AB через
от вектора e до вектора AB ), то Прe AB
(наименьший угол
AB cos (см. рис. 1.11).
13
Рис. 1.11. Проекция вектора на ось (зависимость от направления)
Рассмотрим ортонормированный базис i ,j на плоскости или i , j ,k в
пространстве, см. рисунок 1.12.
Любой вектор может быть единственным образом разложен по этому базису.
Рис. 1.12. Декартовы базисы
На плоскости
a =a1 i + a2 j = (Прi a) i +(Прj a) j (см. Рис. 1.13)
Рис. 1.13. Проекция (суммы) на плоскости
В пространстве a =a1 i + a2 j + a3 k = (Прi a) i +(Прj a) j +(Прk a) k (см. Рис.
1.14)
Рис. 1.14. Проекция (суммы) с пространстве
14
Базис i ,j на плоскости или i , j ,k в пространстве называют декартовым
базисом, а система координат векторов в этом базисе называется декартовой
системой координат.
Проекция вектора на ось обладает следующими свойствами линейности:
1) Прe( a ) =
Прe a ( * )
2) Прe(a+b ) = Прe a + Прe b ( * )
Первое свойство для
0 следует непосредственно из определения
проекции. Также из определения следует, что Прe(-a ) = -Прe a . Отсюда
следует справедливость первого свойства и для
0.
Для доказательства второго свойства воспользуемся разложением векторов
по ортонормированному базису. Выберем декартову систему координат
i , j ,k так, что бы вектор i совпал с ортом e оси l .
a =a1 i + a2 j+ a3 k , b =b1 i + b2 j+ b3 k .
Тогда
a + b =(a1 +b1) i + (a2 +b2) j+ (a3 +b3) k .
В силу единственности разложения по базису и равенства
a+b = (Прi (a+b)) i +(Прj (a+b)) j +(Прk (a+b)) k
получим
Прi (a+b) = a1 +b1= Прi a+ Прi b .
1.4. Скалярное произведение двух векторов, его свойства и выражение через
координаты сомножителей
Определение. Скалярным произведением векторов a ,b называется число,
равное произведению их модулей на косинус угла между этими векторами.
Обозначается скалярное произведение (a ,b )
(a ,b ) | a || b | cos = | a | Прab .
Отсюда, в частности, следует, что
Прab
(b,ea ) , где ea - орт вектора a .
Непосредственно из определения следуют следующие свойства скалярного
произведения:
1) (a , a )
0 тогда и тольго тогда, когда a
0.
15
2) (a ,b )
(b , a ) .
3) ( a ,b )
(a ,b ) .
Из свойства линейности проекции следует:
4) (a
b ,c )
(a , c )
Действительно, (a
(b , c ) .
b ,c )
Прc (a
b)
Прca
Прcb
(a , c )
(b , c ) .
Выражение скалярного произведения в ортонормированном базисе.
Рассмотрим ортонормированный базис e1 , e2 , e3 и два вектора
x =x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 , y =y1 e1 + y2 e2 + y3 e3 , или, кратко, x =(x1 , x2 , x3 ) , y
=(y1 , y2 , y3 ). Тогда скалярное произведение будет равно:
(x , y) =(x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 ,y1 e1 + y2 e2 + y3 e3)= x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 .
Для доказательства этого необходимо раскрыть скобки, используя свойства
2), 3) скалярного произведения и свойство ортонормированного базиса:
(ek , em)=
km
1, k
0, k
m
. Символ
m
km
называется символом Кронекера.
Теорема. Для равенства двух векторов необходимо и достаточно, чтобы
проекции этих векторов на любую ось совпадали.
Необходимость следует из формулы Прe a
a cos . Достаточност следует из
равенств:
a = (Прi a) i +(Прj a) j +(Прk a) k = (Прi b) i +(Прj b) j +(Прk b) k=b .
1.5. Определители второго и третьего порядка. Решение систем. Правило
Крамера. Векторное произведение двух векторов, его свойства и выражение
через координаты сомножителей
1.5.1. Определители второго и третьего порядка.
Матрицей типа n m называется прямоугольная таблица из чисел,
выстроенных в n строк и m столбцов.
Примеры матриц 2x3, 3x1:
1 0 2.1
2 3 1
2
,
0
.
1/ 3
16
В общем случае матрицу записывают, используя индексы для нумерации строк
и столбцов:
a11
a12
... a1m
a21 a22 ... a2m
...
.
an 1 an 2 ... anm
Матрица
a11
a21 ... an 1
a12
a22 ... an 2
...
a1m a2n
... anm
называется транспонированной матрицей для исходной матрицы.
Если n m , то матрица называется квадратной. Важной характеристикой
квадратной матрицы является определитель. Здесь мы ограничимся
рассмотрением определителей матриц втрого и третьего порядков.
Определитель матрицы 3x3:
Определитель матрицы 2x2:
a11 a12
a11a22 a12a21 .
a21 a22
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a11a22a 33
a12a23a 31
a13a21a 32
a 31 a 32 a 33
a13a22a31
a12a21a33
a11a23a32 .
Схема вычисления слагаемых для определителя третьего порядка (рис. 1.15).
Рис. 1.15. Вычисление определителя
17
Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен
нулю.
Разложение определителя по первой строке.
Для вычисления определителя третьего порядка удобно пользоваться
следующей формулой разложения:
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a22 a23
a11
a12
a 32 a 33
a 31 a 32 a 33
a21 a23
a13
a 31 a 33
a21 a22
a 31 a 32
.
Для элементов перовой строки a11 a12 a13 множителями служат
a22 a23
,
a 32 a 33
a21 a23 a21 a22
,
,
a 31 a 33 a 31 a 32
которые называются алгебраическими дополнениями соответствующих
элементов первой строки.
1.5.2.Решение систем. Правило Крамера
Решение системы
x 1a11
x 2a12
x 3a13
a1
x 1a21
x 2a22
x 3a23
a2
x 1a 31
x 2a 32
x 3a 33
a3
a11 a12 a13
с невырожденной матрицей коэффициентов a21 a22 a23
a 31 a 32 a 33
0 является
единственным и находится по правилу Крамера:
x1
a1 a12 a13
a11 a1 a13
a11 a12 a1
a2 a22 a23
a21 a2 a23
a21 a22 a2
a 3 a 32 a 33
a11 a12 a13
, x2
a 31 a 3 a 33
a11 a12 a13
,x3
a 31 a 32 a 3
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a21 a22 a23
a21 a22 a23
a 31 a 32 a 33
a 31 a 32 a 33
a 31 a 32 a 33
.
1.5.3. Векторное произведение
18
Тройка некомпланарных векторов a , b , c называется правой, если при
приведении их к общему началу поворот от a к b по кратчайшему пути
проводится против часовой стрелки, если смотреть из вершины вектора c. В
противном случае, тройка векторов a , b , c называется левой.
Векторным произведением векторов a , b называется вектор c ,
удовлетворяющий условиям:
1) | с | = | a | | b | sin , , -угол между векторами a , b ,
2) с
a,с
b,
3) тройка a , b , c - правая (см. рис. 1.16)
Рис. 1.16. Векторное произведение
Векторное произведение обозначается: с = [ a , b ] .
Из определения следуют простейшие свойства векторного произведения:
Условие коллинеарности двух векторов a , b можно записать в виде:
[a,b ]=0.
Модуль векторного произведения [ a , b ] равен площади параллелограмма,
построенного на векторах a , b (см. рис. 1.17).
Рис. 1.17. Модуль векторного произведения
Докажем, что векторное произведение обладает следующими свойствами:
1) [ a , b ] = - [ b , a ] (см. Рис. 1.18),
19
2) [
a,b ]=
[ a , b ],
3) [ a+с , b ] = [ a , b ]+ [ с , b ] (см. Рис. 1.19).
Первое свойство следует из определения (если тройка a , b , c - правая, то
правой будет тройка b , a , -c . см. рисунок).
Рис. 1.18. Антикоммутативность
Для доказательства второго и третьего свойств, обозначим через e единичный
вектор, лежащий в плоскости векторов a , b (a , b – приведены к общему
началу), перпендикулярный вектору b и такой, что тройка векторов ebc
правая, а через g – орт вектора с = [ a , b ], g = с / | с | (см. рисунок).
Рис. 1.19. Линейность
Тогда
[ a , b ]= | b | ( Прe a ) g
Действительно: [ a , b ]= | [ a , b ] | g = | a | | b | sin
(3)
g = | b | ( Прe a ) g .
Из (3) получим свойство 2):
[
a , b ]= | b | Прe ( a) g =
| b | ( Прe a ) g =
[ a , b ].
Аналогично выводится свойство 3):
[ a+с , b ] = | b | Прe (a+с) g= | b | Прe a g+ | b | Прe с g = [ a , b ]+ [ с , b ].
20
Выражение векторного произведения через координаты векторов
сомножителей в декартовой системе координат.
Пусть в декартовом базисе (i,j,k) выполнены разложения векторов:
x =x1 i + x2 j + x3 k , y =y1 i + y2 j + y3 k .
Используя свойства 1)-3) векторного произведения и равенства
k = [ i , j ] , j = [k, i] , i = [j, k] , получим:
[x1 i + x2 j + x3 k , y1 i + y2 j + y3 k ] =
= [x1 i , y1 i + y2 j + y3 k ]+ [ x2 j , y1 i + y2 j + y3 k ]+ [ x3 k , y1 i + y2 j + y3 k ]=
= x1 y2 k + x1 y3 (-j )+ x2 y1(-k)+ x2 y3 i + x3 y1 j + x3 y2(-i )=
=( x2 y3 – x3 y2 , x3 y1 – x1 y3 , x1 y2 – x2 y1) (см. Рис. 1.20).
Рис. 1.20. Перемножение ортов осей
Для вычисления векторного произведения удобно использовать символический
определитель:
i
j
k
[x1 i + x2 j + x3 k , y1 i + y2 j + y3 k ] = x 1 x 2 x 3 .
y1 y 2 y 3
1.6. Преобразование координат
1.6.1.Преобразование поворота
Рассмотрим две системы декартовых координам с общим началом в точке O,
полученные поворотом одна из другой на угол . Орты осей обозначим i,j в
старой системе координам x,y и I,J в новой системе координат X,Y. Таким
образом, для точки плоскости M будем иметь (см. рис. 1.21):
OM =x i + y j = X i + Y J
21
Рис. 1.21. Поворот осей
Выпишем соотношения между базисными векторами старой и новой
координатных систем.
I =(I,i) i+(I,j) j = cos i+ sin j ,где (I,i)= cos , (I,j)= sin . Далее J=[[I,j],I] =
[[I,j], cos i+ sin j]= cos [[I,j], i]+ sin [[I,j], j]= cos j+ sin (-i) . Таким
образом, J = - sin i + cos j .
Обозначим, для краткости, a = OM , тогда X=(a ,I) =(a , cos
x cos +y sin
. Аналогично, Y=(a ,J) =(a , sin
i+ cos
i+ sin
j )=
j )=
= - x sin +y cos . Получены:
формулы преобразования координат при повороте осей на угол
X
Y
x cos
x sin
y sin
y cos
или
x
y
X cos
X sin
:
Y sin
Y cos
Пример. В уравнении второго порядка a11x 2 2a12xy a22y 2 0 с помощью
поворота системы координат избавиться от смешанного произведения xy.
22
a11x 2
2a12xy
2a12 (X cos
a22y 2
Y sin )(X sin
Y cos )2
a22 (X sin
Y sin )2
a11(X cos
Y cos )
A11X 2
a22 cos sin )XY
A22Y 2
a22 cos sin )XY
A22Y 2 .
2( a11 cos sin
A11X 2
2( a11 cos sin
Коэффициент при xy приравняем нулю: (a11
tg2
a12 cos2
a22 )sin 2
a12 sin2
a12 cos2
a12 sin2
2a12 cos2
0 или
2a12
.
a11 a22
a12 cos2
a12 sin2
a22 cos sin
0 можно
Равенство a11 cos sin
записать в другом виде. Обозначим через t tg , тогда равенство
(a11
a12t 2
a22 )cos sin
(a11
a22 )t
a12 cos2
a12
a12 sin2
0 запишется в виде:
0.
Выпишем выражения для коэффициентов A11, A22 :
A11
a11 cos2
2a12 cos sin
a22 sin2 ,
A22
a11 sin2
2a12 cos sin
a22 cos2 .
Отметим, что A11
A22
a11
a22 .
1.6.2.Преобразование сдвига
Рассмотрим две системы декартовых координам с общим началом в точке O,
полученные сдвигом одна относительно другой. Орты осей обозначим i,j в
старой системе координам x,y и I,J в новой системе координат X,Y. Таким
образом, для точки плоскости M будем иметь (см. рис. 1.22):
OM
OO '
O ' M =x i + y j = X I + Y J
23
Рис. 1.22. Сдвиг осей
Пусть координаты нового начала O ' равны: OO '
(x 0, y0 ) . Тогда
(x, y ) =OM OO ' O ' M = (x 0, y0 ) (X,Y ) . Отсюда получаем соотношение
между старыми и навыми координатами:
формулы преобразования координат при сдвиге
X
Y
x
y
x0
y0
1.6.3. Полярные и сферические координаты
Положение точки на плоскости можно определять расстоянием r этой точки от
начала координат и углом поворота радиус вектора точки по отношению к
горизонтальной оси x. Ось x в этом случае называется полярной осью а пара
чисел r, называется полярными координатами. Связь между декартовыми и
полярными координатами выражается формулами:
x
r cos , y
r sin .
В пространстве положение точки можно определить тремя координатами (сферические
координаты), которые связаны с декартовыми координатами формулами:
x
cos cos
y
cos sin
z
,
sin
где - расстояние от точки до начала координат, - угол между радиус
вектором точки и плоскостью z 0 , - полярный угол проекции точки на
плоскость z 0 в системе координат xOy .
1.7. Смешанное произведение двух векторов, его свойства и выражение через
координаты сомножителей
1.7.1. Определение.
Смешанным произведением трех векторов a , b , c назвается выражение
( [ a , b ], с ). Обозначается смешанное произведение (a , b , c) .
(a , b , c) = ( [ a , b ], с ) .
Из определения получаем: | (a , b , c) | = | [ a , b ] | | с | cos = SH , где S площадь основания, а H - высота параллелепипеда, построенного на векторах
24
a , b , c . Модуль смешанного произведения | (a , b , c) | равен объему
параллелепипеда, построенного на векторах a , b , c . (a , b , c) > 0 , если тройка
векторов – правая, (a , b , c) < 0 , если тройка векторов – левая, (a , b , c) = 0 ,
если тройка векторов компланарная (см. рис. 1.23).
Рис. 1.23. Модуль смешанного произведения
Следствие. (a , b , c) = ( [ a , b ], с ) =(a , [ b , c ] ).
Равенство нулю смешанного произведения означает компланарность векторов
a,b,c .
1.7.2. Выражение смешанного произведения в декартовых координатах
Если x =x1 i + x2 j + x3 k , y =y1 i + y2 j + y3 k, z =z1 i + z2 j + z3 k , то
x1 x 2 x 3
(x , y , z) = y1 y2
z1 z 2
y3 .
z3
Доказательство:
(x , y , z) = ( [ x , y ], z ) = (( x2 y3 – x3 y2 , x3 y1 – x1 y3 , x1 y2 – x2 y1), c) =
x1 x 2 x 3
= (x2 y3 – x3 y2 )z1 +( x3 y1 – x1 y3 )z2 +( x1 y2 – x2 y1)z3= y1 y2
z1 z 2
y3 .
z3
Следствие. Необходимым и достаточным условием равенства нулю
определителя
25
x1 x 2 x 3
y1 y 2
y 3 =0, является компланарность векторов
z1
z3
z2
x =(x1 , x2 , x3 ) , y =(y1 , y2 , y3 ), z =(z1 , z2 , z3 ).
Глава 2. Прямые и плоскости
2.1. Уравнение прямой на плоскости и плоскости в пространстве,
ортогональных данному вектору и проходящих через данную точку
Выпишем уравнение прямой, проходящей через точку M 0 , перпендикулярно
заданному вектору N . Эта прямая может быть описана, как геометрическое
место точек M , для которых M 0M
N : M 0M , N
0 . Последнее
соотношение, записанное в декартовых координатах, будет выглядеть
следующим образом:
A(x
где N= (A, B) -нормаль, M 0
рис. 2.1).
x0)
B(y
y0 )
0,
(1)
(x 0, y0 ) , M= (x, y ) - текущая точка на прямой (см.
Рис. 2.1. Прямая на плоскости (общее уравнение)
Уравнение (1) называется общим уравнение прямой на плоскости. Уравнение
(1) можно записать в векторном виде:
r
r0, N
0
(1)
26
Отметим, что условием того, что уравнение (1) представляет уравнение прямой
должно выполняться условие A2 B 2 0 .
Аналогичные рассуждения можно провести и для плоскости в пространстве
(см. рис. 2.2).
Рис. 2.2. Общее уравнение плоскости
Уравнение прямой, не проходящей через начало координат можно представить
в виде (общее уравнение прямой Ax By C 0 поделить на C )
x
a
y
b
1.
Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках. Геометрически
числа a,b имеют смысл отрезков, отсекаемых прямой на соответствующих
осях.
Уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 , перпендикулярно
заданному вектору N , представляет собой геометрическое место точек M , для
которых M 0M
N : M 0M , N
0 . Последнее соотношение, записанное в
декартовых координатах, будет выглядеть следующим образом:
A(x
x0)
B(y
где N= (A, B,C ) -нормаль, M 0
r
y0 ) C (z
z0)
0,
(2)
(x 0, y0, z 0 ) , M= (x, y, z ) . Или в векторном виде
r0, N
0
(2)
Уравнения (2) называются общим уравнение плоскости в пространстве. Для
краткости, в этом случае, будем говорить, что задана плоскость {M 0, N } .
27
2.2. Общее уравнение первого порядка на плоскости и в пространстве, его
исследование
2.2.1.Общее уравнение первого порядка на плоскости.
Рассмотрим общее уравнение первого порядка:
Ax
By
C
0.
Если A B 0 , то при C 0 это уравнение определяет всю плоскость
(решением уравнения является любая точка X (x, y) на плоскости).
При C 0 уравнение не имеет решений и определяет, таким образом, пустое
множество.
Если A2 B 2 0 , то уравнение имеет бесконечно много решений.
Геометрически это множество является прямой на плоскости,
перпендикулярной вектору N (A, B) . Действительно, пусть M 0 (x 0, y0 )
некоторое решение уравнения Ax By C 0 : Ax 0 By0 C 0 . Тогда
для любого решения M (x, y) этого уравнения будет справедливо равенство:
A(x x 0 ) B(y y0 ) 0 , которое задает прямую на плоскости.
Отметим одно важное свойство общего уравнения прямой.
Отложим вектор нормали N
заданной уравнением Ax By
плоскости, тогда
1) если Ax
By
C
(A, B) из какой нибудь точки прямой,
C 0 . Пусть M (x, y) какая либо точка
0 , то точка M
(x, y) лежит с той же стороны от
прямой, что и вершина вектора N ,
2) если Ax By C 0 , то точка M
разных сторон от прямой,
3) если Ax By
рис. 2.3.).
C
0 , то точка M
(x, y) и вершина N лежат с
(x, y) принадлежит прямой (см.
28
Рис. 2.3. Расположение точек относительно прямой
Докажем это утверждение. Пусть M 0
Ax
By
C
0 , тогда A(x
x0)
(x 0, y0 ) точка прямой
B(y
y0 )
0 иC
Ax 0
By0 . Если
вектор N (A, B) отложен от прямой, например, из точки M 0 , то условие
того, что точка M лежит в той же стороны от прямой, что и вершина вектора
N можно записать в виде (M 0M , N )
другой стороны, то (M 0M , N )
развернутом виде: A(x
A(x x 0 ) B(y
а во втором Ax
y0 )
By
x0)
0 . Обозначим этот случай а). Если с
0 . Обозначим этот случай b). Или в
B(y
y0 )
0 в случае а) и
0 в случае b). Итак, в первом случае Ax
C 0 (см. рис. 2.4).
By
C
0,
Рис. 2.4. Разное расположение точек относительно прямой
2.2.2.Общее уравнение первого порядка в пространстве
Рассмотрим общее уравнение первого порядка в пространстве:
Ax
By
Cz
D
0.
Если A2 B 2 C 2 0 , то это, либо все пространство ( D
множества ( D 0 ).
0) , либо пустое
29
Если A2 B 2 C 2 0 , то это уравнение определяет плоскость с вектором
нормали N (A, B,C ) .
Проверяется так же, как и для прямой на плоскости. Важное свойство общего
уравнения плоскости в пространстве.
Отложим вектор нормали N
заданной уравнением Ax By
точка пространства, тогда
1) если Ax
By
Cz
D
(A, B,C ) из какой нибудь точки плоскости,
Cz D 0 . Пусть M (x, y, z ) какая либо
0 , то точка M
(x, y, z ) лежит с той же
стороны от прямой, что и вершина вектора N ,
2) если Ax By Cz D 0 , то точка M
с разных сторон от прямой,
(x, y, z ) и вершина N лежат
3) если Ax By Cz D 0 , то точка M
плоскости (см. рис. 2.5).
(x, y, z ) принадлежит
Рис. 2.5. Расположение точек относительно плоскости
Проверяется так же, как и для прямой на плоскости.
2.3. Нормальное уравнение прямой на плоскости и плоскости в пространстве.
Приведение общего уравнения первого порядка к нормальному виду
2.3.1.Нормальное уравнение прямой на плоскости.
Рассмотрим общее уравнение прямой на плоскости.
Ax
Определение. В случае C
уравнение
By
C
0 , A2
B2
0
(1)
0 нормальным уравнением прямой (1) называется
30
sign C
A2
B2
(Ax
By
C)
Это уравнение можно записать в виде: x cos
0.
y sin
p
0 (см. рис. 2.6)
Рис. 2.6. Нормальное (нормированное) уравнение прямой
n = (cos , sin ) – единичный вектор нормали, ориентированный так, что
будучи отложенным из начала координат, он будут «смотреть» в сторону
прямой.
Пример. Пронормировать уравнение прямой 3x
4y
25
0.
Модуль вектора нормали (3,4) равен 5. Делим уравнение прямой на 5 и берем
знак противоположный знаку свободного коеффициента 25, получим
3
4
нормальное уравнение прямой:
x
y 5 0.
5
5
С помощью нормального уравнения прямой определяют расстояние от точек
до прямых, именно:
Расстояние от точки M1
уравнением x cos
y sin
(x1, y1) до прямой Ax
p 0 равно
(M1, l ) | x1 cos
y1 sin
3
x
5
4
y
5
3
5
5
(1,2)
8
5
C
5
0 с нормальным
p |.
(1,2) до прямой 3x
Пример. Найти расстояние от точки M
(M , l )
By
4y
25
0 (l).
36
.
5
2.3.2. Нормальное уравнение плоскости в пространстве
Рассмотрим общее уравнение плоскости в пространстве
Ax
By
Cz
D
0 , A2
B2
C2
0
(1)
31
Определение. В случае D
называется уравнение
0 нормальным уравнением плоскости (1)
sign D
A2
B2
C2
(Ax
By
Это уравнение можно записать в виде: x cos
рис. 2.7)
Cz
D)
y cos
0 .
z cos
p
0 (см.
Рис. 2.7. Нормальное уравнение плоскости (через направляющие косинусы
нормали)
n = (cos , cos , cos )– единичный вектор нормали, ориентированный так, что
будучи отложенным из начала координат, он будут «смотреть» в сторону
плоскости.
Пример. Пронормировать уравнение прямой x
2y
z
4
0.
Модуль вектора нормали (1,2,1) равен 6 . Делим уравнение прямой на 6 и
берем знак противоположный знаку свободного коеффициента -4, получим
1
нормальное уравнение прямой:
(x 2y z 4) 0 .
6
С помощью нормального уравнения плоскости определяют расстояние от точек
до плоскостей, именно:
Расстояние от точки M1 (x1, y1, z1) до плоскости Ax
с нормальным уравнением x cos
y cos
z cos
p
(M1, ) | x1 cos
Пример. Найти расстояние от точки M
x 2y z 4 0 ( ).
y1 cos
z1 cos
By Cz
0 равно
D
0( )
p |.
(1,2, 0) до плоскости
32
(M , )
x
2y
z
6
4
1
4
4
1
6
(1,2,0)
6
.
2.4. Различные формы уравнения прямой на плоскости и в пространстве.
Переход от одной формы к другой
2.4.1.Общее уравнение прямой на плоскости
Ранее уже рассматривалось уравнение прямой: Ax
В векторной виде: r
r0, N
By
0, A2
C
B2
0,
0.
2.4.2.Параметрическое уравнение прямой на плоскости
x
y
x0
y0
lx t
,t
lyt
(
,
) , В векторном виде: r = r0 + l t , t
(
,
).
Рис. 2.8. Параметрическое уравнение прямой
Вектор l называется направляющим вектором прямой (см. рис. 2.8).
2.4.3.Каноническое уравнение прямой на плоскости
Каноническое уравнение, в действительности, является несколько другой
записью параметрического уравнения:
x
x0
lx
y
y0
ly
.
Для канонического уравнения прямой, так же как и для параметрического
уравнения, нужна точка на прямой и направляющий вектор. Для краткости, в
этом случае, будем говорить, что задана прямая {M 0, l } .
2.4.4. Переход от одной формы уравнения прямой к другой на плоскости
33
Не тривиальным является только переход от общего к уравнения к
параметрическому и обратно.
От общего к параметрическому.
Общее уравнение определяется нормалью N и точко M 0 (x 0, y0 ) на прямой.
Если точка не задана, то ее можно найти, задав x 1 (в случае A 0 ) или
y 1 (в случае B 0 ) и решив уравнение Ax By C 0 относительно
оставшейся неизвестной. Например, для уравнения x 2y 3 0 полагаем
y 1 и находим x
1 , M 0 ( 1,1) . После того, как точка M 0 найдена
находим направляющий вектор прямой l . В качестве направляющего вектора
берется любой вектор, ортогональный вектору нормали N . Для уравнения
x 2y 3 0 таким вектором может служить вектор l= (2,1) . В
параметрическом виде уравнение будет выглядеть следующим образом:
x
y
1 2t
,t
1 t
(
,
) , в каноническом:
x
y
1
2
1
1
.
От параметрического к общему.
Для обратного перехода дроби
виду: (x
(x
x 0 )ly
x 0 )ly
(y
(y
y0 )lx
x
x0
lx
y
y0
ly
формально преобразуются у
y0 )lx и далее получаем общее уравнение прямой:
0.
Пример. Привести к общему виду уравнение
преобразований получим: x
5
0.
x
y
5
0
1
2
. После указанных
2.4.5.Уравнение прямой в пространстве, как пересечение двух плоскостей
Прямую в пространстве можно задать, указав две плоскости, линией
пересечения которых, является данная прямая. При этом используют
следующую запись:
A1x
A2x
B1y
B2y
C 1z
C 2z
D1
D2
0
0
34
Рис. 2.9. Прямая, как пересечение двух плоскостей
Для того, чтобы указанные плоскости определяли прямую, они должны быть не
параллельны, то есть вектора N1
коллениарны (см. рис. 2.9).
(A1, B1,C 1), N 2
(A2, B2,C 2 ) не должны быть
2.4.6.Параметрическое уравнение прямой в пространстве
x
x0
lx t
y
y0
lyt , t
z
z0
lz t
(
,
) , в векторном виде: r = r0 + l t , t
(
,
) , (см. рис.
2.10).
Рис. 2.10. Парметрическое уравнение прямой
2.4.7.Каноническое уравнение прямой в пространстве
Каноническое уравнение, в действительности, является несколько другой
записью параметрического уравнения:
x
x0
lx
y
y0
ly
z
z0
lz
.
35
Для канонического уравнения прямой, так же как и для параметрического
уравнения, нужна точка на прямой и направляющий вектор. Для краткости, в
этом случае, будем говорить, что задана прямая {M 0, l } .
2.4.8. Переход от одной формы уравнения прямой к другой в пространстве
От общего к параметрическому
Задав какое нибудь значение одной из переменных x, y, z , и решая систему
A1x
A2x
B1y
B2y
C 1z
C 2z
D1
D2
0
относительно оставшихся переменных можно будет
0
найти какую нибудь точку M 0 (x 0, y0, z 0 ) на прямой. Направляющий вектор
можно найти, как векторное произведение нормалей плоскостей,
определяющих данную прямую: l = [ N1 , N2 ] .
Рис. 2.11. Переход от одного уравнения к другому
От параметрического к общему
Из дробей
ly (x
lz (x
x0)
x0)
x
x0
lx
lx (y
lx (z
y
y0
ly
z
z0
lz
формально выписываем два равенства:
y0 )
, которые и дадут две плоскости, определяющие данную
z0)
прямую (см. рис. 2.11).
2.4.9. Угол между двумя прямыми на плоскости и в простанстве, между двумя
плолоскостями в пространстве, между прямой и плоскостью
Угол между двумя прямыми на плоскости равен углу между их нормалями.
Угол между двумя прямыми в пространстве равен углу между их
направляющими векторами. Угол между двумя плоскостями определяется, как
угол между их нормалями. Угол между прямой и плоскостью в пространстве
36
определяется, как угол между направляющим вектором прямой и нормалью к
плоскости.
2.5. Барицентрические координаты. Деление отрезка в данном
соотношении. Пучок прямых. Пучок плоскостей.
b x
,
b a
показывающей в каком соотношении точка x делит отрезок. Величина
x a
также определяет положение точки x . Числа , , однозначно
b a
определяющие положение точки на отрезке, называются барицентрическими
координатами точки x . Отметим следующие свойства барицентрических
координат:
Положение точки x на отрезке [a,b ] можно задать величиной
1.
0,
0.
1.
2.
3. x
a
b.
Середина отрезка имеет координаты:
1 1
, .
2 2
Рассмотрим три точки на плоскости или в пространстве: A, B,C . Любая точка
X треугольника ABC однозначно определятся тремя барицентрическими
координатами: , , , обладающими следующими сваойствами:
1.
0,
0,
1.
2.
3. X
0.
A
B
C.
Линейные операции сложения и умножения на числа над точками
определяются так же, как и над векторами. Например, третье условие можно
записать в виде: OX
OA
OB
OC .
Геометрически числа , , определяются отношениями площадей
треугольников XBC , AXC , ABX ко всей прощади треугольника
ABC (см. рис. 2.12).
37
Рис. 2.12. Барицентрические координаты
Если в вершины треугольника поместить одинаковые массы, то центр тяжести
1 1 1
такой системы будет иметь барицентрические координаты , , .
3 3 3
Также как для треугольника вводятся барицентрические координаты для
тетраэдра ABCD (не обязательно правильного). Положение внутренней точки
X тетраэдра однозначно определяется четырьмя числами , , , ,
удовлетворяющими следующим свойствам:
1.
0,
0,
0.
1.
2.
3. X
0,
A
B
C
D.
Геометрически барицентрические координаты равны отношениям объемов
внутренних тетраэдров XBCD, AXCD, ABXD, ABCX к объему тетраэдра
ABCD (см. рис. 2.13).
Рис. 2.13. Смысл барицентрических координат
38
Если в вершины тетраэдра поместить одинаковые массы, то центр тяжести
1 1 1 1
такой системы будет иметь барицентрические координаты , , , .
4 4 4 4
Свойство 2 барицентрических координат называют еще разбиением единицы.
С помощью барицентрических координат описывают положение прямых и
плоскостей в пучках. Вначале дадим определение пучка прямых.
Рассмотрим точку, определяемую двумя не параллельными прямыми:
A1x
A2x
B1y
B2y
C1
C2
0
.
0
Множество всех прямых, проходящих через эту точку назывется пучком
прямых. Между множеством всех прямых пучка и множеством разбиения
единицы
1 имеется взаимно однозначное соответствие, именно, любая
прямая из пучка
A1x
A2x
B1y
B2y
C1
C2
0
имеет свои барицентрические координаты
0
, с помощью которых записывается ее уравнение:
(Ax
1
B1y
C1)
(A2x
B2y
C2)
0.
Аналогичное положение имеет место с пучком плоскостей.
Рассмотрим прямую, определяемую двумя плоскостями:
A1x B1y C 1z D1 0
. Пучком плоскостей называется множество
A2x B2y C 2z D2 0
плоскостей, проходящих через эту прямую. Любая плоскость пучка имеет свои
барицентрические координаты , через которые записывается ее уравнение:
(Ax
1
B1y
C1z
D1)
(A2x
B2y
C 2z
D2 )
0.
Пример. Даны уравнения сторон треугольника:
x 2y 1 0,5x 4y 17 0, x 4y 11 0 . Сотавить уравнение высоты,
опущенной из вершины
x
5x
2y
4y
Эта высота принадлежит пучку (x
тоже, (
5 )x (2
4 )y (
ортогональности высоты стороне x
1 0
.
17 0
2y 1)
(5x 4y 17) 0 или, что
17 ) 0 . Выпишем условие
4y 11 0 :
39
(
5 ) (2
4 )4
0 . Или 7
11
0.
Рис. 2.14. Уравнения сторон треугольника
В уравнении прямой коэффициенты определяются с точностью до множетиля,
отличного от нуля, поэтому возьмем
11,
7 . Таким образом,
уравнение высоты будет (см. рис. 2.14):
(11
24x
7 * 5)x
6y
(2 * 11
108
4 * 7)y
0, 4x
y
11
18
17 * 7
0,
0.
Геометрия – это исскуство правильно рассуждать над ни куда не годными
рисунками. Давид Гильберт.
2.6. Расстояние от точки до прямой в пространстве
40
Дано: уравнение прямой в параметрическом виде: r = r0 + t l и точка
M1 (x1, y1, z1), r1= (x1, y1, z1 ) .
Первый способ.
1) Составлям уравнение плоскости, проходящей через точку M 1 ,
перпендикулярно прямой:
(r – r1 , l )=0 .
2) Находим точку пересечения прямой и построенной плоскости:
(r0 + t l – r1 , l )=0,
t ( l , l )= (r1 – r0 , l )
t = (r1 – r0 , l ) / ( l , l ) . Радиус
вектор искомой точки M 2 будет равен: r2 = r0 + l (r1 – r0 , l ) / ( l , l ) .
Находим расстояние между двумя точками M1, M 2 (см. рис. 2.15).
Рис. 2.15. Пересечение прямой и плоскости
Второй способ.
Строим параллелограмм на векторах M 0M1 и l . Находим его площадь, как
модуль векторного произведения и делим на длину основания | l | (см. рис.
2.16).
Рис. 2.16. Перпендикуляр на прямую
41
2.7. Определение координат точки пересечения прямой и плоскости в
пространстве
Если прямая задана параметрически r = r0 + t l и уравнение плоскости
имеет вид: (r – r1 , l )=0 , то эта задача решалась в предыдущем параграфе.
Если прямая задана в виде:
A1x
A2x
B1y
B2y
C 1z
C 2z
D1
D2
0
, то ее пересечение с
0
плоскостью A3x B3y C 3z D3 0 сводится к решению системы трех
уравнений с тремя неизвестными (см. рис. 2.17)
A1x
B1y
C 1z
D1
0
A2x
B2y
C 2z
D2
0
A3x
B3y
C 3z
D3
0
Рис. 2.17. Точка пересечения трех плоскостей
2.8. Определение координат проекции точки на прямую на плоскости,
проекции точки на плоскость в пространстве
Проекция точки M 1 на прямую (r – r0 , N )=0 на плоскости.
Если прямая задана общим уравнением Ax By C 0 , N = (A, B) , то
составляется уравнение прямой r = r1 + t N, проходящей через точку M 1 и
направляющим вектором l = N . После чего находится точка пересечения этой
прямой с исходной прямой: (r1 + t N – r0 , N )=0
t (N , N )= (r0 – r1 , N ) .
Радиус вектор этой точки будет равен: r = r1 + N (r0 – r1 , N ) / (N , N ) (см.
рис. 2.18) .
42
Рис. 2.18. Проекция точки на прямую
Аналогично решается задача нахождения проекции точки M 1 на плоскость
(r – r0 , N )=0 в пространстве. В векторном виде решение выглядит точно так
же, как и в плоском случае.
Уравнение проектирующей прямой: r = r1 + t N , радиус вектор проекции
будет равен: r2
r1
(r0
r1, N )
(N , N )
N (см. рис. 2.19)
Рис. 2.19. Проекция точки на плоскость
2.9. Базовые задачи
Напоминание.
Прямую, проходящую через точку M с направляющим вектором l мы
договорились обозначать {M , l } . Плоскость, проходящую через точку M с
нормалью N будем обозначать {M 0, N } .
2.9.1. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки
Три точки M1(x1, y1, z1), M2(x 2, y2, z 2 ), M 3(x 3, y3, z 3 ) . Точки искомой плоскости
M (x, y, z ) удовлетворяют условию: вектора M 1M 2 , M 1M 3 , M 1M должны
быть компланарны, то есть,
43
должно быть равно нулю смешанное произведение (см. рис. 2.20)
( M 1M 2 , M 1M 3 , M 1M )=0,
x
x1
x2
x3
y
y1
z
z1
x 1 y2
y1 z 2
z1
x1 y3
y1 z 3
z1
0.
Рис. 2.20. Уравнение плоскости по трем точкам
2.9.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую
Дана точка M 1 и прямая r = r0 + t l .
Точки искомой плоскости M (x, y, z ) удовлетворяют условию: вектора
M 0M 1 , l, M 0M должны быть компланарны. Искомое уравнении плоскости:
( M 0M 1 , l, M 0M ) = 0.
2.9.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку,
параллельно заданной плоскости
Дана точка M 0(x 0, y0, z 0 ) и плоскость Ax
By
Cz
D
0.
У искомой плоскости общий перпендикуляр с заданной плоскостью,
поэтому уравнение искомой плоскости будет:
A(x x 0 ) B(y y0 ) C (z z 0 ) 0 .
2.9.4.Составить уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую,
параллельно заданному вектору
44
Дана прямая {M 0, l } . Искомая плоскость будет {M 0, N } , где N
(см. рис. 2.21).
[l , a ]
Рис. 2.21. Уравнение плоскости через точку
2.10. Разные задачи
2.10.1. Определить расстояние между двумя скрещивающимися прямыми
Первый способ. Заданы прямые:
r = r1 + t l1 , r = r2 + t l2 .
Рис. 2.22. Расстояние между прямыми
1) Вектор, перпендикулярный обеим прямым N = [l1 , l2] .
2) По N и точке M 2 составляем уравнение плоскости
2
, проходящей через
вторую прямую, параллельно первой прямой: плоскость { M 2 ,N } .
3) Находим расстояние от точки M 1 до плоскости
рис. 2.22).
2
:H
(M1,
2
) (см.
Второй способ.
Находим высоту параллелепипеда, построенного на векторах l1 , l2 , M 1M 2 и
с основанием параллелограмм, построенный на l1 , l2 (см. рис. 2.23).
Ответ:
H
| (l1, l2, M 1M 2 ) |
| [l1, l2 ] |
.
45
Рис. 2.23. Высота паллелепипеда
2.10.2. Определить расстояние между двумя параллельными прямыми
Рис. 2.24. Расстояние между параллельными прямыми
Задача решается одинаково, как для плоского, так и для пространственного
случаев (см. рис. 2.24). Искомое расстояние равно высоте
параллелелограмма, построенного на векторах l1 , M 1M 2 с основанием l1 .
[l1, M 1M 2 ]
l1
.
2.10.3. Составить уравнение прямой, проходящую через точку M 0 ,
заданную прямую {M1, l1} и параллельно плоскости
0
46
Рис. 2.25. Уравнение прямой
Уравнение прямой будем искать в виде пересечения двух плоскостей (см.
рис. 2.25).
1) Первая плоскость
2) Вторая плоскость
образом,
1
2
{M 0, N } .
проводится через точку M 0 и прямую {M1, l1} . Таким
2
{M 0,[l1, M 0M1 ]} .
2.10.4. Составить уравнение общего перпендикуляра двух скрещивающихся
прямых
Общий перпендикуляр будем искать в виде пересечения двух плоскостей
, 2.
1
Рис. 2.26. Общий перпендикуляр
47
Последовательность действий (см. рис. 2.26):
1) общий перпендикуляр к прямым N
2) нормаль к плоскости
1
[l1, l2 ]
проходящей через прямую l1 перпендикулярно
N:
N1
3) сама плоскость
1
[l1,[l1, l2 ]
:
{M1, N 1}
1
[l1, N ]
4) нормаль к плоскости
2
{M1,[l1, N ]}
{M1,[l1,[l1, l2 ]} .
проходящей через прямую l2 перпендикулярно
N:
N2
5) сама плоскость
2
2
[l2, N ]
[l2,[l1, l2 ]
:
{M2, N 2 }
{M2,[l2, N ]}
{M2,[l2,[l1, l2 ]} .
2.10.5. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую {M 0, l } ,
перпендикулярно плоскости
{M , N } .
Точка M для решения задачи не понадобится и на рисунке она не показана.
Рис. 2.27. Уравнение плоскости
1) Находим перпендикуляр N 1 к искомой плоскости (см. рис. 2.27):
N1
[N , l ] .
48
2) Искомая плоскость:
1
{M 0, N 1} .
2.10.6. Проекция точки на прямую в пространстве
Задана прямая {M 0, l } и точка M 1 .
1) Строим проектирующую плоскость
{M1, l }
2) Находим точку пересечения плоскоти
и прямой {M 0, l } .
2.10.7. Симметричная точка относительно плоскости
Дана плоскость
{M 0, N } и точка P .
Рис. 2.28. Симметричная точка
1) Строится прямая {P, N } , проходящая через точку P , перпендикулярно
плоскоси (см. рис. 2.28).
2) Находится точка Q пересечения этой прямой с плоскостью.
3) Искомая точка P ' находится из треугольника OPP ' :
OP '
OP
PP '
OP
2PQ .
2.10.8. Симметричная точка относительно прямой в пространстве
Задана прямая {M 0, l } и точка P .
1) Находим проекцию Q точки P на прямую, как это описывалось в задаче
6.
2) Искомая точка P ' находится из треугольника OPP ' :
OP '
OP
PP '
OP
2PQ (см. рис. 2.29).
49
Рис. 2.29. Симметричная точка относительно прямой
2.10.9. Уравнение плоскости, проходящей через прямую, параллельно
другой прямой
Заданы прямые {M 0, l0 } , {M1, l1} .
Плоскость, проходящая через первую прямую, параллельно второй прямай
определяется, как
{M 0,[l1, l2 ]} .
2.10.10. Уравнение прямой, параллельной плоскостям и пересекающей две
прямые
Прямая задана пересечением плоскостей
1
. Две прямые имеют
2
направляющие векторы l1 , l2 (см. рис. 2.30).
Рис. 2.30. Уравнение прямой
50
1
1) Находим направляющий вектор l прямой
:l
[N 1, N 2 ].
2
2) Строим плоскость
l (базовая задача 4).
1
, проходящую через прямую l1 , параллельно вектору
3) Строим плоскость
l (базовая задача 4).
2
, проходящую через прямую l2 , параллельно вектору
Ответ:
1
.
2
Глава 3. Кривые второго порядка
3.1. Канонические уравнения кривых второго порядка
3.1.1. Эллипс
Каноническое уравнение.
Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма
расстояний от которых до двух данных точек F1, F2 (фокусов) постоянна.
Для удобства предположим, что фокусы имеют координаты F1(-с,0), F2(0,с)
(см. рис. 3.1).
Рис. 3.1. Эллипс
r
l
2a,a
c.
Выведем уравнение эллипса. (x
возведем в квадрат (x
далее
c)2
y2
c)2
4a 2
y2
2a
4a (x
(x
c)2
y2
c)2
(x
y2
c)2
y 2,
51
c)2
a (x
(a 2
y2
c 2 )x 2
a2
a 2y 2
Обозначим b 2
xc, a 2 (x 2
a 2 (a 2
a2
2xc
c2
y2)
a4
2a 2xc
x 2c 2,
c 2 ).
c 2. Тогда полученное уравнение запишется в виде:
x2
a2
y2
b2
1
(1)
При возведении в квадрат новых решений не появилось. Действительно,
r
(x
2
c)
с2 2
x
a2
y
2
с2 2
x
a2
Откуда l
2
c)
b 1
x2
a2
x
2
2xc
c
2
b2 2
x
a2
a.
c
называется экцентриситетом (мера вытянутости) эллипса.
a
Таким образом, r
(x
c
x
a
a2
2xc
Величина e
l
(x
2
c)2
2xc
r
a
y2
ex. Аналогично,
(x
a2
c
x
a
c)2
b2 1
a ,l
a
x2
a2
x2
2xc
c2
b2 2
x
a2
ex .
2a.
Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипса, величины a,bполуоси эллипса.
2) Гипербола
Каноническое уравнение.
Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек,
абсолютная величина разности расстояний от которых до двух данных
точек F1, F2 (фокусов) постоянна.
Для удобства предположим, что фокусы имеют координаты F1(-с,0), F2(0,с)
(см. рис. 3.2).
52
Рис. 3.2. Фокусы
Рис. 3.3. Геометрическое построение
|r
l | 2a, a
c.
Выведем уравнение эллипса. (x
c)2
возведем в квадрат (x
далее
a (x
(a 2
c)2
c 2 )x 2
y2
a2
a 2y 2
Обозначим b 2
c2
a 2 (a 2
y2
xc, a 2(x 2
c)2
4a 2
2xc
y2
4a (x
c2
2a
c)2
y2)
(x
c)2
y2
y2
(x
c)2
a4
2a 2xc
y 2,
x 2c 2,
c 2 ).
a 2. Тогда полученное уравнение запишется в виде:
x2
a2
y2
b2
1
(2)
При возведении в квадрат новых решений не появилось. Действительно,
53
r
(x
2
c)
с2 2
x
a2
a2
2xc
(x
c
x
a
x2
b
a2
2
2
c)
x
1
2
2xc
c
2
b2 2
x
a2
b2
a.
c
называется экцентриситетом гиперболы. Таким образом,
a
Величина e
r
y
2
ex a, x
a ex, x
a,
a.
Аналогично,
l
(x
с2 2
x
a2
2
c)
2xc
Откуда | r
y
2
(x
a2
c
x
a
2
c)
x2
b
a2
a ,l
2
x
1
ex
a, x
ex
a, x
2
2xc
c
2
b2 2
x
a2
b2
a,
a.
l | 2a.
Уравнение (2) называется каноническим уравнением гиперболы.
3) Парабола
Каноническое уравнение.
Определение. Параболой называется геометрическое место точек,
расстояния от которых до заданной прямой (директрисы) и до заданной
точки (фокуса) равны (см. рис. 3.4.).
Рис. 3.4. Парабола
54
Для удобства предположим, что фокус расположен на оси Ox и имеет
p
координаты F , 0 (см. рис. 3.5).
2
Рис. 3.5. Фокус параболы
Выведем уравнение параболы. x
p
2
2
2
y
2
x
p
,
2
откуда y 2 2px . Полученное уравнение называется каноническим
уравнением параболы.
4) Некоторые свойства эллипса, гиперболы и параболы
Эллипс.
А) Эллипс
x2
a2
y2
b2
1
является симметричной относительно начала координат кривой,
расположенной в прямоугольние со сторонами 2a, 2b см. рис. 3.6.
55
Рис.3.6. Основной прямоугольник
Уравнение эллипса в параметрическом виде имеет вид:
x
y
x2
Директрисами эллипса 2
a
3.7.).
a cos t
,t
b sin t
y2
b2
[0,2 ].
1 называются прямые x
a
(см. рис.
e
Рис.3.7. Директрисы эллипса
r
l
e,
e. Действительно, ранее
dr
dl
ex. Расстояние от текущей точки M(x,y) эллипса до
Для директрис справедливы равенства
отмечалось, что r
a
56
a
e
l
e. Аналогично для левой директрисы
dl
прямой x
r
dr
a
e
0 (директрисы) равно dr
x . Откуда следует, что
e. .
b) Гипербола
Гипербола
x2
a2
y2
b2
1
является симметричной относительно начала координат кривой, имеющей
асимптотами диагонали прямоугольника со сторонами 2a, 2b см. рис. 3.8.
Рис.3.8. Гипербола
x2
Директрисами гиперболы 2
a
y2
b2
1 называются прямые x
a
.
e
Так же, как и для эллипса, для директрис гиперболы справедливы равенства
r
l
e,
e. Действительно, ранее отмечалось, что r ex a. Расстояние
dr
dl
от текущей точки M(x,y) гиперболы до прямой x
a
e
0 (директрисы)
57
равно dr
x
директрисы
l
dl
a
r
. Откуда следует, что
e
dr
e. Аналогично для левой
e.
Семейство однофокусных эллипсов и гипербол
3.2. Общее уравнение кривой второго порядка
3.2.1. Преобразование координат при переходе к другой системе координат
Рассмотрим алгебраическую линию второго порядка
a11x 2
2a12xy
a22y 2
2a13x
2a23y
a 33
0.
(1)
Здесь предполагается, что хотя бы один из коэффициентов при старших
степенях a11, a12, a22 не равен нулю.
А) Перенос
Рассмотрим новую систему координат x 'O ' y ' с началом координат
O '(x 0, y0 ) и без поворота осей (см. рис. 3.9)
Рис.3.9. Сдвиг
Связь между координатами точки M в старой и новой системах координат
будет выражена соотношениями
x
x0
x'
y
y0
y'
.
Подставляя эти выражения в исходное уравнение кривой, получим
58
a11(x 0
x ')2
2a12(x 0
x ')(y 0
2a13 (x 0
x ')
2a23(y 0
y ')
a '11 x '2
2a '12 x ' y ' a '22 y '2
y ')
a22(y 0
y ')2
a 33
2a '13 x ' 2a '23 y ' a '33
0
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменных,
получим
a '11
a11,
a '12
a12,
a '22
a22,
a '13
a11x 0
a12y 0
a13,
a '23
a12x 0
a22y 0
a23,
a '33
a11x 02
2a12x 0y 0
(1)
a22y 02
2a13x 0
2a23y 0
a 33
Можно отметить, что при пеносе группа старших коэффициентов не
изменяется. Отметим, что
a '33
a33
(a '13 a13 )x 0
(a '23 a23 )y0.
Б) Поворот
При повороте системы координат (см. рис. 3.10 )
Рис.3.10. Поворот
координаты преобразуются по закону
x
y
x ' cos
x ' sin
y ' sin
y ' cos
.
59
Подставляя эти выражения в левую часть общего уравнения кривой,
получим
y ' sin )2
a11(x ' cos
a22y 2
2a13 (x ' cos
2a12 (x ' cos
y ' sin )
(a11 cos2
2a12 cos sin
2a12 cos2
2a12 sin2
y ' sin )(x ' sin
2a23 (x ' sin
y ' cos )
y ' cos )
a 33
a22 sin2 )x '2 ( 2a11 cos sin
2a22 cos sin )x ' y ' (a11 sin2
a22 cos2 )y '2 (2a13 cos
2a23 sin )x ' (2a23 cos
2a12 sin cos
2a13 sin )y ' a 33.
Таким образом, для коэффициентов уравнения в новых координатах будут
выполнены равенства
a '11
a12 sin 2
a '12
a12 cos 2
a '22
a12 sin 2
a11
a11
a22
2
a22
2
a11
a '13
a13 cos
a23 sin ,
a '23
a23 cos
a13 sin ,
a '33
a 33 .
a22
2
,
sin 2 ,
a22
2
a11
cos 2
cos 2
a11
a22
2
, (2)
При повороте системы координат группа старших коэффицентов в новой
системе координат определяется группой старших коэффициентов в старой
системе координат и углом поворота системы координат.
Можно проверить, что
a '11 a '22 a '122
a11a22
a122.
(3)
5) Инварианты кривой второго порядка
Определение. Инвариантом кривой называется функция, зависящая от
коэффициентов уравнения кривой f (a11, a12,..., a33 ) и не изменяющаяся при
переходе к новой системе координат (поворот и сдвиг)
f (a '11, a '12,..., a '33 )
f (a11, a12,..., a33 ).
Теорема. Величины
60
I1
где aij
a11
a11 a12
a22, I 2
a21 a22
a11 a12 a13
,I3
a21 a22 a23 ,
a 31 a 32 a 33
a ji , являются инвариантами кривой второго порядка.
Доказательство. Для переноса инвариантность I 1, I 2 очевидна. Для I 3
I3 '
a11 ' a12 ' a13 '
a11
a12
a13 '
a21 ' a22 ' a23 '
a21
a22
a23 ' .
a 31 ' a 32 ' a 33 '
a 31 ' a 32 ' a 33 '
Умножим первую строку на x 0 , а вторую на y 0 , сложим и вычтем из третьей
строки.
a11
a12
a13 '
a11 a12
a13 '
a21
a22
a23 '
a21 a22
a23 '
a 31 ' a 32 ' a 33 '
a 31 a 32 a 33 ' a13 ' x 0
a11 a12
a13 '
a21 a22
a23 '
a 31 a 32 a 33
a13x 0
a23 ' y 0
.
a23y 0
Теперь умножаем первый столбец на x 0 , а второй на y 0 , сложим и вычтем из
третьего столбца.
a11 a12
a13 '
a11 a12 a13
a21 a22
a23 '
a21 a22 a23 .
a 31 a 32 a 33
a13x 0
a23y 0
a 31 a 32 a 33
Инвариантность I 3 для сдвига доказана.
Для поворота из (2) очевидно следует I 1 I 1 '. Равенство I 2 I 2 '
отмечалось в (3). Непосредственой проверкой можно доказать и
инвариантность I 3 для поворота системы координат.
6) Центр линии второго порядка
61
Предположима, что I 2
0 . Тогда переносом системы координат в точку
(x 0, y0 ) , являющуюся решением системы
a11x 0
a12x 0
0
0
a12y0
a22y0
a13
a23
(4)
можно избавиться от коэффициентов a13 ', a23 ' . В такой системе координат
уравнение кривой принимает вид
a11 ' x '2
2a '12 x ' y ' a22 ' y '2 a33 '
0.
Если точка (x ', y ') лежит на кривой, то и точка ( x ', y ') также принадлежит
кривой. Это означает, что при неравенстве нулю второго инварианта кривая
симметрична относительно начала координат. Такая кривая называется. Центр
кривой находися из уравнений (4).
Далее, в этом же случае,
I3
a11 a12
0
a21 a22
0 ,I3
0
0
I 2a 33 '.
(5)
a 33 '
3.3.Упрощение уравнения линии второго порядка (приведение к
каноническому виду)
3.3.1.Классификация кривой 2-го порядка
Как мы видели при повороте системы координат
a '12
Если коэффициент a12
a12 cos 2
a11
a22
2
0 , то полагая ctg 2
sin 2 .
a11 a22
, мы избавимся от
2a12
коэффициента a12 ' в новой системе координат
a11 ' x '2 a22 ' y '2
2a13 ' x ' 2a23 ' y ' a33 '
0.
Далее сделаем перенос системы координат
0
0
a11 ' x 0 ' 0 a13 '
.
0 a22 ' y 0 ' a23 '
62
В новой системе координат получим
a11 '' x ''2 a22 '' y ''2 a33 ''
В силу (5) a 33 '
0.
I3
и уравнение принимает вид
I2
I3
I2
a11 '' x ''2 a22 '' y ''2
0.
3.3.2.Эллиптический тип
I2
a11a22
При I 1
a122
0,
a11a22
0.
0 будет
I3
0 - мнимый эллипс,
I3
0 - вырожденный эллипс,
I3
0 - эллипс.
Аналогично, при I 1
0 будет
I3
0 - эллипс,
I3
0 - вырожденный эллипс,
I3
0 - мнимый эллипс.
3.3.3.Гиперболический тип
I2
a11a22
При I 3
I3
a122
0,
a11a22
0.
0 пара прямых.
0 - гипербола.
3.3.4.Параболический тип
I2
a11a22
a122
0 . Отсюда следует, что
a11 ' x '2 a22 ' y '2
2a13 ' x ' 2a23 ' y
Для определенности считаем, что a11 '
a33 '
0, a22 '
0, I 2
0,(I 1
a11 ' a22 '
0.
0). Тогда
63
a22 ' y '2
2a13 ' x ' 2a23 ' y
a33 '
0.
Выделяем полные квадраты
2
a23 '
a22 ' y '
a22 '
Обозначим
a23 '2
a 33 '
a22 '2
a23 '2
a 33 ' 2a13 ' x '
a22 '2
a23 '
a22 '
a 33 '', y '
I 1y ''2
0.
y ''. Получим уравнение параболы:
2a13 ' x ' a33 ''
0.
Тогда
I3
Если I 3
0
a12
a13 '
a21
I1
0
a13 '
0
a 33 ''
a13 '2 I 1.
0 , то сделаем перенос системы координат
2a13 ' x ' a 33 ''
2a13 ' x '
a 33 ''
,x '
2a13 '
a 33 ''
2a13 '
x ''.
Уравнение кривой принимает вид
I 1y ''2
Если I 3
0 , то a13 '
2a13 ' x ''
0.
0 и уравнение имеет вид I 1y ''2 a33 ''
0. В трех случаях
a33 '' 0, a33 '' 0, a33 '' 0 получаем соотвественно: пара слипшихся прямых,
пустое множество (пара мнимых прямых), пара параллельных прямых.
Глава 4. Поверхности второго порядка
4.1. Понятие поверхности 2-го порядка
4.1.1. Определения. Некоторые простейшие типы поверхностей
Определение. Поверхностью второго порядка называется геометрическое
место точек x, y, z , удовлетворяющих уравнению
a11x 2
2a14x
a22y 2
2a24y
a 33z 2
2a 34z
2a12xy
a 44
2a13xz
0
2a23yz
(1)
64
В этом уравнении не все старшие коэффициенты равны нулю.
a) Распадающиеся поверхности
Поверхность, уравнение которой можно преобразовать к виду
(x, y, z )
(Ax
1
B1y
C1z
D1)(A2x
B2y
C 2z
D2 )
0
представляет собой распадающуюся на две плоскости
A1x
B1y
C 1z
D1
0,
A2x
B2y
C 2z
D2
0
поверхность.
b) Цилиндрические поверхности
Цилиндрической поверхностью 2-го порядка называется поверхность
второго порядка, уравнение которой в некоторой системе координат не
содержит явно одно из переменных.
Например, уравнение
(x, y)
0,
где Ф – многочлен второй степени предсталяет собой цилиндрическую
поверхность с образующей, параллельной оси отсутствующего
переменного z , пересекающей плоскость z 0 по направляющей
кривой второго порядка (x, y) 0 в плоскости z 0 (см. рис 4.1, 4.2).
Рис.4.1. Цилиндрическая поверхность (параболический цилиндр)
65
Рис.4.2. Цилиндрическая поверхность (эллиптический цилиндр)
c) Поверхности вращения
Поверхностью вращения называется поверхность, уравнение которой в
некоторой системе координат имеет вид:
(x 2
y 2, z )
0,( (x 2
z 2, y )
0, (z 2
y 2, x )
0) .
В первом случае, для построения графика поверхности можно поступить
следующим образом: в плоскости yOz,(x 0) строится график функции
r f (z ) или z g(r ) , полученной из уравнения (r 2, z ) 0 . Исходная
поверхность получается вращением этой кривой вокруг оси Oz (см. рис.
4.3).
Рис.4.3. Поверхность вращения
d) Конические поверхности
66
Конической поверхностью второй степени называется поверхность,
уравнение которой в некоторой системе координат имеет вид
(x, y, z ) 0 , где (x, y, z ) -однонодный многочлен второй степени.
Однородной функцией называется функция, удовлетворяющаю
соотношению
( x, y, z )
n
(x, y, z ) ,(степень однородности n),
для любых допустимых , x, y, z .
Для многочлена второй степени степень однородности может быть равна
только двум.
Пример 1. (x, y, z )
xy sin
y
z
Пример 2. (x, y, z )
2x 2
yx
Пример 1. (x, y, z )
x
z 2 -степень однородности равна двум.
3z 2 -степень однородности равна двум.
z 2 -не является однородной функцией.
Из определения однородной функции следует, что для такой поверхности
S, если точка (x, y, z ) S , то и точка ( x, y, z ) S . Геометрически это
означает, что наряду с точкой (x, y, z ) поверхности обязана принадлежать
и вся прямая ( x, y, z ),
(
, ) , см. рис. 4.4.
Рис.4.4. Коническая поверхность
a. Каноническое уравнение поверхности 2-го порядка
Можно показать, что уравнение любой поверхности второго порядка
поворотами и сдвигами системы координат можно привести к виду
a11x 2
a22y 2
a33z 2
a44
0
(1)
67
или
a11x 2
a22y 2
2pz
q
0
(2)
4.2.1. Исследавание центральных поверхностей 2-го порядка
1) Расстотрим случай (1)
a11x 2
где a11
0, a22
0, a33
a22y 2
a33z 2
a44
0,
0 и имеют одинаковые знаки.
1.1) a44 0 . Вырожденный эллипсоид (единственная точка-начало
координат).
1.2) a 44 имеет тот же знак, что и a11, a22, a33 . Мнимый эллипсоид (пустое
множество).
1.3) a 44 имеет противоположный знак тому, который имеют a11, a22, a33 . В
этом случае поверхность представляет собой эллипсоид, см. рис. 4.5.
Рис.4.5. Эллипсоид
Эллипсоид (горизонтальные сечения)
Эллипсоид
После деления уравнения на соответствующую величину, уравнение может
быть приведено к виду
x2
a2
y2
b2
z2
c2
1.
(3)
Такой эллипсоид получается из единичной окружности «сжатием» по осям
x, y, z в a,b, c раз, соответственно. То же самое можно выразит другими
68
x
y
z
x ',
y ',
z ' (растяжения по
a
b
c
осям) в новых координатах x ', y ', z ' получим уравнение единичной сферы
x '2 y '2 z '2 1 . Для исследования поверхности (3) можно рассматривать
сечения поверхности плоскостями z const z 0 . В этих сечениях
получаются кривые второго порядка, эллиптического типа:
словами. При замене переменных:
x2
a2
В случае | z 0 | c,(c
y2
b2
1
z 02
c2
.
(4)
0) получаем мнимый эллипс. При z 0
c -
вырожденный эллипс. Если | z 0 | c , то в сечении получается эллипс с
полуосями a 1
z 02
c2
по оси x и полуосью b 1
z 02
c2
по оси y .
7) Расстотрим случай (1)
a11x 2
a22y 2
a33z 2
a44
0,
где a11 0, a22 0, a33 0 и имеют разные знаки. Это означает, что два из
этих коэффициентов имеют один знак, а оставшийся один коэффициент
имеет противоположный знак. Для определенности будем предполагать, что
a11 0, a22 0, a33 0 .
2.1) a44
a11x 2
0 . После небольшого преобразования уравнение
a22y 2
a33z 2
0 приводится к виду
x2
a2
y2
b2
z2
c2
0,
(5)
задающее коническую поверхность. После соответствующего изменения
x
y
z
x ',
y ',
z ' получим уравнение прямого,
масштаба по осям
a
b
c
кругового конуса x '2 y '2 z '2 , см. рис. 4.6.
69
Рис.4.6. Прямой, круговой конус
Конус
Для исследования поверхности (5) можно рассматривать сечения
поверхности плоскостями z const z 0 . В этих сечениях получаются
кривые второго порядка, эллиптического типа:
x2
a2
В случае z 0
a11x 2
c2
.
0 получаем вырожденный эллипс. Если z 0
получается эллипс с полуосями a
2.2) a44
z 02
y2
b2
0 , то в сечении
z0
z
по оси x и полуосью b 0 по оси y .
c
c
0 . После небольшого преобразования уравнение
a22y 2
a33z 2
a44 приводится к виду
x2
a2
y2
b2
z2
c2
1.
(6)
x
y
z
x ',
y ',
z ' , то получим уравнение
a
b
c
1 . Это уравнение определяет однополосной гиперболоид, см.
Если изменить масштаб по осям
x '2 y '2 z '2
рис. 4.7.
70
Рис.4.7. Однополосной гиперболоид, как линейчатая поверхность
Гиперболоид
Шуховская башня
Для исследования поверхности (6) можно рассматривать сечения
поверхности плоскостями z const z 0 . В этих сечениях получаются
кривые второго порядка, эллиптического типа:
x2
a2
В сечении z
const
x и полуосью b 1
y2
b2
1
z 02
c2
.
z 0 получается эллипс с полуосями a 1
z 02
c2
по оси
z 02
по оси y . Минимальный эллипс получается в
c2
горловине гиперболоида z z 0 0 , который имеет полуоси a,b , см. рис.
4.8.
71
Рис.4.8. Однополосной гиперболоид, сечения горизонтальными плоскостями
Однополосной гиперболоид
2.3) a44
a11x 2
0 . После небольшого преобразования уравнение
a22y 2
a33z 2
a44 приводится к виду
x2
a2
y2
b2
z2
c2
1.
(7)
x
y
z
x ',
y ',
z ' , то получим уравнение
a
b
c
1 . Это уравнение определяет двухполосной гиперболоид, см.
Если изменить масштаб по осям
x '2 y '2 z '2
рис. 4.9.
72
Рис.4.9. Двухполосной гиперболоид (сечения горизонтальными плоскостями)
Двухполосной гиперболоид
Для исследования поверхности (7) можно рассматривать сечения
поверхности плоскостями z const z 0 . В этих сечениях получаются
кривые второго порядка, эллиптического типа:
x2
a2
В случае | z 0 | c,(c
z0
y2
b2
z 02
c2
1.
0) получаем мнимый эллипс (пустое множество). При
c - вырожденный эллипс (точки). Если | z 0 | c , то в сечении
получается эллипс с полуосями a
z 02
c2
1 по оси x и полуосью b
z 02
c2
1 по
оси y .
3) Расстотрим случай (1)
a11x 2
a22y 2
a33z 2
a44
0,
где один или два из коэффициентов a11, a22, a33 равны нулю. В этом случае,
как уже отмечалось ранее, получается цилиндрическая поверхность.
4.2.2. Исследавание нецентральных поверхностей 2-го порядка
73
1) Расстотрим случай (2)
a11x 2
a22y 2
2pz
q
Сдвигом системы координат по оси z, z '
z
приводится к виду a11x 2
a22y 2
2pz '
0, p
0.
q
уравнение поверхности
2p
0.
где a11 0, a12 0 и a11, a12 имеют одинаковые знаки. Поверхность в этом
случае представляет собой эллиптический параболоид (см. рис. 4.10) с
каноническим уравнением
x2
a2
z'
y2
.
b2
(8)
Рис.4.10. Эллиптический параболоид (сечения горизонтальными
плоскостями)
Параболоид
Для исследования поверхности (8) можно рассматривать сечения
поверхности плоскостями z ' const z 0 . В этих сечениях получаются
кривые второго порядка, эллиптического типа (выберем для определенности
знак минус в правой части):
x2
a2
y2
b2
z 0.
74
В случае z 0
0 получаем мнимый эллипс (пустое множество). При z 0
вырожденный эллипс (точка). Если z 0
полуосями a
0-
0 , то в сечении получается эллипс с
z 0 по оси x и полуосью b
z 0 по оси y .
2) Расстотрим случай (2)
a11x 2
a22y 2
2pz
q
Сдвигом системы координат по оси z, z '
z
приводится к виду a11x 2
a22y 2
2pz '
0, p
0.
q
уравнение поверхности
2p
0,
где a11 0, a12 0 и a11, a12 имеют разные знаки. Поверхность в этом случае
представляет собой гиперболический параболоид (седло см. рис. 4.11) с
каноническим уравнением
z'
x2
a2
y2
z'
b2
x2
a2
y2
.
b2
(9)
Рис.4.11. Гиперболический парабалоид (седло)
Седло
Седло
Для исследования поверхности (9) можно рассматривать сечения
поверхности плоскостями z ' const z 0 . Для определенности рассмотрим
первый случай из (9).
z'
x2
a2
y2
.
b2
75
В этих сечениях получаются кривые второго порядка, гиперболического
типа :
x2
a2
В случае z 0
y2
b2
z 0.
0 в сечении получаем пару прямых, совпадающих с
координатными осями x, y . При z 0
0 - сечение представляет собой
гиперболу с вершинами ветвей, располагающихся на оси x . Если z 0
в сечении получается гипербола с ветвями по оси y .
0 , то
3) Расстотрим случай (2)
a11x 2
a22y 2
2pz
q
Сдвигом системы координат по оси z, z '
z
приводится к виду a11x 2
a22y 2
2pz '
0, p
0.
q
уравнение поверхности
2p
0,
где a11, a12 один или оба равны нулю. Поверхность в этом случае является
цилиндрической.
Глава 5. Матрицы и определители
В этой главе приводятся краткие справочные сведения из разделов,
относящихся к курсу линейной алгебры.
5.1. Определители и их свойства
5.1.1. Подстановки
Рассмотрим набор из первых n натуральных чисел (1,2,..., n) .
Набор этих чисел, расположенных в каком-либо порядке, называется
перестановкой. Число перестановок n ! .
Переход от одной перестановки к другой переменой мест двух чисел
называется транспозицией. Все n ! перестановок можно расположить в таком
порядке, что каждая последующая перестановка будет отличаться от
предыдущей одной транспозицией. Числа i, j образуют в данной перестановке
инверсию, если i j и i стоит раньше j
(..., i,..., j,...) .
Если число инверсий в перестановке четно, но она называется четной.
76
Всякая транспозиция меняет четность перестановки. Перемена четности
перестановки при транспозиции рядом стоящих чисел очевидно. Для
удаленных чисел доказательство проводится по индукции. Перестановку
удобно определять, как отображение
i1 i2 ... in
,i
j1 j2 ... jn 1
j1,..., in
jn .
При изменение мест столбцов это отображение не меняется. Таким образом,
любую подстановку можно задать отображением
1 2 ... n
.
j1 j2 ... jn
Подстановка будет четна, если четна нижняя подстановка.
5.1.2. Определитель
Рассмотрим квадратную матрицу
a11
A
a12
... a1n
a21 a22
... a2n
...
an 1 an 2 ... ann
и всевозможные произведения по n элементов, взятых по одному разу из
каждой строки и каждого столбца
a1 a2 ...an
1
2
n
,
(1)
Индексы 1 2... n образуют некоторую перестановку из n чисел (1,2,..., n) .
Число таких произведений n ! .
Определение. Определитель матрицы A обозначается detA и определяется,
как сумма всевозможных произведений вида (1), каждый из которых берется со
знаком +, если подстановка
1 2 ...
1
2
n
...
n
четна, и со знаком минус в противном случае.
77
Определение. Операция транспонирования определяется, как переход к
матрице, в которой элементы aij , a ji меняются местами. Операция
транспонирования обозначается звездочкой A * .
Свойства определителей.
Свойство 1. Определитель не меняется при трансронировании.
Следствие. Всякое свойство, касающееся строк, будет справедливо и для
столбцов.
Таким образом, все свойства 2-8 будут справедливы и для столбцов.
Свойство 2. Если одна из строк состоит из нулей, то определитель равен нулю.
Свойство 3. При перестановке двух строк определитель меняет знак.
Свойство 4. Определитель, содержащий две одинаковые строки равен нулю.
Свойство 5. Если все элементы строки умножить на некоторое число, то
определитель умножается на это число.
Свойство 6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки равен
нулю.
Свойство 7. Если одна из строк является линейной комбинацией других строк,
то определитель равен нулю.
Свойство 8. Определитель не изменится, если к одной строке прибавить
другую строку, умноженную на некоторое число.
5.1.3. Миноры и их дополнения
i i ...i
Минором k порядка (обозначается M j1j2 ... jk ) называется определитель матрицы
1 2
k
k -го порядка, стоящей на пересечении строк i1i2 ...in и столбцов j1 j2 ...jn
i1i2 ...ik
исходной матрицы. Дополнительный минор M j1j2 ... jk определяется, как
определитель матрицы составленный из строк с номерам, отличными от i1i2 ...in
и из столбцов с номерами, отличными от j1 j2 ...jn . Алгебраическое дополнение
i i ...i
Aj1j2 ... jk определяется, как
1 2
k
i i ...i
Aj1j2 ... jk
1 2
k
i
( 1) 1
i2 ...in
j1 j2 ... jn
i1i2 ...ik
M j1j2 ... jk .
Теорема (О разложении определителя по строке).
Определитель равен сумме элементов какой-либо строки, умноженных на
алгебраические дополнения к этим элементам.
78
i
det A
i
ai 1A11
ai 2A22
1
...
2
i
ai nAnn .
n
5.2. Прямоугольные матрицы
Рассмотрим прямоугольную матрицу
a11
A
a12
... a1m
a21 a22 ... a2m
...
aij
n m
,
an 1 an 2 ... anm
имеющую n строк и m столбцов. Говорят, что матрица имеет тип n m .
5.2.1. Операции над матрицами
1) Операция умножения матрицы на число определяется по правилу
A
a11
a12
...
a1m
a21
a22 ...
a 2m
...
an 1
an 2 ...
aij
n m
.
anm
8) Операция сложения двух однотипных матриц определяется по правилу
a11
A
B
a12
... a1m
a21 a22 ... a2m
b11 b12
b21 b22 ... b2m
...
...
an 1 an 2 ... anm
b11
a12
b12
... a1m
b1m
a21
b21
a22
b22
... a2m
b2m
...
bn 1 an 2
bn 2 ... anm
aij
n m
bij
bn 1 bn 2 ... bnm
a11
an 1
... b1m
n m
.
.
bnm
9) Операция умножения двух матриц (типы матриц должны быть
согласованы, как указано ниже) определяется по правилу
79
a11
AB
a12
... a1k b11 b12 ... b1m
a21 a22 ... a2k b21 b22 ... b2m
...
aij
...
n k
bij
k m
an 1 an 2 ... ank bk 1 bk 2 ... bkm
c11
c12
... c1m
c21 c22
... c2m
k
, cij
...
p 1
aipbpj .
cn 1 cn 2 ... cnm
Из свойств операции умножения матриц отметим свойство умножения
определителей
det AB
det A det B.
5.3. Обратные матрицы
Квадратная матрица A
aij
n n
называется вырожденной, если ее
определитель равен нулю, в противном случае матрица называется
вырожденной.
Символ Кронекера
определяется по правилу:
ij
ij
1 , если i
j и
ij
Матрица E
eij
E
n n
0 , если i
ij
1, i
0, i
j,
j.
называется единичной, если eij
1 0 ... 0
11
12
...
1n
0 1 ... 0
21
22
...
2n
...
...
0 0 ... 1
n1
j,
n2
...
ij
ij n n
.
nn
Для единичной матрицы справедливо свойство
EA
AE
A
для любой матрицы A того же типа .
80
Матрица B
bij
обозначается B
назыается обратной к матрице A
n n
aij
n n
и
A 1 , если она удовлетворяет свойству
A 1A
Матрица A
aij
n n
AA
1
E.
назыается обратимой, если для нее существует
обратная матрица.
Теорема. Матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырождена.
Определение. Матрица из алгебраических дополнений, поставленных на места
соответствующих элементов называется присоединенной матрицей
a11
A
a12
... a1n
a21 a22 ... a2n
...
,B
A11
A12
... A1n
A21
A22
... A2n
...
an 1 an 2 ... ann
.
An 1 An 2 ... Ann
B - присоединенная матрица к A .
Правило построения обратной матрицы к матрице
a11
A
a12
... a1n
a21 a22
... a2n
...
.
an 1 an 2 ... ann
1) Состаляется присоединенная матрица
B
A11
A12
... A1n
A21
A22
... A2n
...
.
An 1 An 2 ... Ann
2) Присоединенная матрица транспонируется
B*
A11
A21 ... An 1
A12
A22
... An 2
...
A1n
.
A2n ... Ann
81
3) Полученная матрица делится на det A.
A11
A
1
A21 ... An 1
1 A12
det A
A1n
A22
... An 2
...
A2n
.
... Ann
5.4. Системы линейных уравнений
5.4.1. Запись системы линейных уравнений в матричной форме
Рассмотрим систему линейных уравнений
a11x 1
a12x 2
...
a1mx m
b1
a21x 1
a22x 2
...
a 2m x m
b2
anmx m
bm
.
...
an 1x 1
an 2x 2
...
(1)
Решением системы (1) называется набор чисел x1, x 2,..., x m , при подстановке
которых в уравнения системы (1) они превращаются в верные равенства.
Система, имеющая хотя бы одно решение называется совместной, в
противном случае система называется несовместной. Если ввести матрицы
a11
A
a12
... a1m
a21 a22 ... a2m
...
x1
,X
an 1 an 2 ... anm
x2
...
b1
,B
xm
b2
...
,
bn
то система (1) согласно правилам умножения матриц запишется в виде
AX
B.
В случае, когда число уравнений системы совпадает с числом неизвестных и
матрица коэффициентов системы A невырождена ( det A 0 ), решение этой
системы можно записать в матричной форме A 1B . Действительно, домножим
равенство AX B слева на обратную к A матрицу. Получим
A 1AX
A 1B
EX
A 1B
X
A 1B .
5.4.2. Правило Крамера
Рассмотрим тот же случай, что и в предыдущем пункте: число уравнений
системы совпадает с числом неизвестных и матрица коэффициентов системы
82
A невырождена, det A 0 . Правило Крамера позволяет находить решение
такой системе по формуле
a11
det
xk
a12
... a1k
1
b1 a1k
1
... a1n
a21 a22
... a2k
1
b2 a2k
1
... a1n
... ... ... ... ...
an 1 an 2 ... ank
1
det A
bn ank
1
... ann
.
Другими словами, k - ое неизвестное системы уравнений равно дроби,
знаменателем которой является определитель матрицы коэффициентов
системы, а числитель равен определителю матрицы коэффициентов системы, в
которой k -й столбец заменен на столбец свободных членов системы.
83