2.2. примеры систем с затуханием

2.4. Примеры колебательных систем с затуханием
Пример № 1. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за время
τ1=5 мин уменьшилась в два раза. За какое время, считая от начального момента, амплитуда уменьшится в восемь раз?
1. Запишем уравнение логарифмического декремента колебаний
A(t )
θ=
= e −δt ,
(1)
A (t + T )
где А(t) − амплитуда колебаний в начальный момент времени, А(t + T) − значение амплитуды через один период колебания, δ − коэффициент затухания.
2. Определим из уравнения (1) величину коэффициента затухания, переписав его следующим образом
A
ln 0 = δτ1 ; ln 2 = 300δ; δ ≅ 2,3 ⋅10 −3 c −1 .
A
(2)
3. Воспользовавшись соотношениями (2) определим искомое время, соответствующее
уменьшению амплитуды в восемь раз
ln 8
2,1
ln 8 = δτ2 ; τ 2 =
=
≅ 504 c ≅ 15,1мин .
δ
2,3 ⋅10−3
(3)
Пример № 2. Логарифмический декремент маятника θ = 0,003. Определите число полных колебаний N, которые совершит маятник при уменьшении амплитуды в два раза.
1. Запишем уравнение логарифмического декремента колебательного процесса, воспользовавшись уравнением
A(t )
1
A(t )
,
(1)
θ = ln
= δτ = ; ⇒ Nθ = ln
A(t + τ )
N
A(t + τ )
где N − число полных колебаний, соответствующих моменту времени τ.
2. Из уравнения (1) определим искомую величину
1
N = ln 2 = 231 .
(2)
θ
Пример № 3. Определите период затухающих колебаний, если период собственных колебаний системы без потерь равен Т0 = 1с, а логарифмический декремент составляет θ =
0,628.
1. Период затухающих колебаний
2π
2π
T=
=
=
ω
ω02 − δ 2
2π
4π 2 θ 2
−
T02 T 2
,
(1)
откуда
T2 =
4π 2
;
4π 2 θ 2
−
T02 T 2
4π 2 T 2
− θ2 = 4π 2 ; 4π 2 T 2 = T02 4π 2 + T02 θ2 ,
2
T0
75
(2)
T 2 = T02 +
T02 θ2
θ2
0,39438
; T = T0 1 + 2 ≅ 1 1 +
≅ 1,00498 c .
2
4π
4π
39,478
(3)
Пример № 4. Известно, что при затухающих колебаниях за τ = 0,25 Т смещение тела
составило х = 4,5 см, период затухающих колебаний Т = 8 с, логарифмический декремент θ
= 0,8. Начальная фаза колебаний равна ϕ = 0. Подучить уравнение затухающих колебаний и
представить его графически.
1. Определим величину циклической частоты затухающих колебаний
2π π рад
ω=
=
.
(1)
T
4 с
2. Коэффициент затухания δ определим из уравнения логарифмического декремента
θ
θ = δT; ⇒ δ = = 0,1c −1 .
(2)
T
3. Значение амплитуды колебаний для момента времени τ определим, воспользовавшись
уравнением затухающих колебаний
⎛ δT ⎞ ⎛ πT ⎞
(3)
x (τ ) = Ae−δτ sin ωτ = A exp⎜ −
⎟ sin ⎜
⎟,
⎝ 4 ⎠ ⎝ 16 ⎠
π
x (τ ) = A exp(− 0,2)sin ; x (τ ) = A ⋅ 0,819 ⋅ 1;
(4)
2
x (τ )
A=
≅ 5,5 см .
(5)
0,819
4. Запишем уравнение затухающих колебаний применительно к полученным данным
⎛π ⎞
(6)
x (t ) = 5,5 exp(− 0,1t )sin ⎜ t ⎟ .
⎝4 ⎠
5. Для построение графика колебаний вычислим значение x(t) для моментов времени: τ1
= T/4 = 2 c; τ2 = T/2 = 4 c; τ3 =3T/4 = 6 c; τ4 = T = 8 c; τ5 = 5T/4 = 10 c; τ6 = 3T/2 = 12 c. Для чего эти величины времени, кратные Т/4, последовательно подставим в уравнение (6)
τ, с
х(τ), см
2
4,5
4
0
6
−3
76
8
0
10
1,98
12
0
Пример № 5. Задано уравнение затухающих колебаний точки
⎛π ⎞
x (t ) = 10 exp(− 0,1t )sin ⎜ t ⎟ ,
⎝3 ⎠
Найти зависимость скорости движения точки в функции времени, представить зависимость графически.
1. В данном случае амплитуда колебаний равна А = 10 см, циклическая частота ω = (π/3)
рад/с, коэффициент затухания − δ = 0,1 с − 1, начальная фаза равна нулю.
2. Определим скорость затухающих колебаний, для чего продифференцируем по времени заданное уравнение движения
dx d ⎧
⎛ π ⎞⎫
(1)
x& (t ) =
= ⎨10 exp(− 0,1t )sin ⎜ t ⎟⎬ ,
dt dt ⎩
⎝ 3 ⎠⎭
π
π ⎤
⎡π
x& (t ) = 10 exp(− 0,1t )⎢ cos t − 0,1sin t ⎥ .
3
3 ⎦
⎣3
3. Определим период колебаний
2π
2π 2 ⋅ 3 ⋅ π
ω=
; T=
=
= 6c .
T
ω
π
4. Вычислим значение скорости в следующие моменты времени:
t1 =0,
π
π ⎤
м
⎡π
x& (t 1 ) = 10 exp(0 )⎢ cos ⋅ 0 − 0,1sin ⋅ 0⎥ ≅ 10,47 ;
3
3 ⎦
с
⎣3
t2 = T/4 = 1,5 с
π
π
м
⎡π
⎤
x& (t 2 ) = 10 exp(− 0,1 ⋅1,5)⎢ cos ⋅1,5 − 0,1sin ⋅1,5⎥ ≅ −0,32 ;
3
3
с
⎣3
⎦
t3 = T/2 = 3 c
π
π ⎤
м
⎡π
x& (t 3 ) = 10 exp(− 0,3)⎢ cos ⋅ 3 − 0,1sin ⋅ 3⎥ ≅ −7,4 ;
3
3 ⎦
с
⎣3
t4 = T = 6 с
π
π ⎤
м
⎡π
x& (t 4 ) = 10 exp(− 0,6 )⎢ cos ⋅ 6 − 0,1sin ⋅ 6⎥ ≅ 5,5 ;
3
3 ⎦
с
⎣3
t5 = 5T/4 = 7,5 с
π
π
м
⎡π
⎤
x& (t 5 ) = 10 exp(− 0,75)⎢ cos ⋅ 7,5 − 0,1sin ⋅ 7,5⎥ ≅ −4,7 ;
3
3
с
⎣3
⎦
t6 = 3T/2 = 9 c
x& (t 6 ) = 10 exp(− 0,9 ) ×
π
π ⎤
м ; (9)
⎡π
× ⎢ cos ⋅ 9 − 0,1sin ⋅ 9⎥ ≅ −4
3
3 ⎦
с
⎣3
t7 = 2T = 12 c
x& (t 7 ) = 10 exp(− 1,2)
π
π
м.
⎡π
⎤
⋅
−
⋅
≅
cos
12
0
,
1
sin
12
3
⎢3
⎥
3
3
с
⎣
⎦
77
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Пример № 6. Математический маятник колеблется в среде, обеспечивающей величину
логарифмического декремента θ = 0,5. Во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний по
истечении одного полного периода колебаний?
1. Запишем уравнение затухающих колебаний в общем виде
(1)
x (t ) = A 0 exp(− θt )sin (ωt + ϕ0 ) .
2. Для определения амплитудных значений отклонений маятника уравнение (1) необходимо переписать при условии sin(ωt + ϕ0) = 1
t⎞
t+T⎞
⎛
⎛
θ
(2)
A1 = A 0 exp⎜ − θ ⎟; A 2 = A 0 exp⎜ − θ
⎟ = A 0e ,
T⎠
T ⎠
⎝
⎝
A1
(3)
= exp(0,5) = 1,65 .
A2
Пример № 7. Математический маятник в течение 120 секунд уменьшил амплитуду колебаний в 4 раза. Определить величину логарифмического декремента, если длина нити подвеса составляет l = 2,28 м.
1. Запишем уравнение затухающих колебаний
t⎞
⎛
(1)
A1 = A 0 exp⎜ − θ ⎟ .
T⎠
⎝
2. Определим период незатухающих колебаний маятника
l
(2)
T = 2π
≅ 3c .
g
3. Перепишем уравнение (1) с учётом заданных значений величин и найденного периода
A0
ln 4
⎛ 120 ⎞
= exp⎜ θ
≅ 0,035 .
(3)
⎟; 40θ = ln 4; θ =
A1
40
⎝ 3 ⎠
Пример № 8. Математический маятник длиной колеблется в среде с коэффициентом
затухания δ = 0,045.Определить время τ, в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в 10 раз.
1. Уравнение колебаний математического маятника можно записать, представив отклонение грузика в угловых величинах
(1)
ϕ(t ) = ϕ0 exp(− δt )sin ωt ,
где ω − частота затухающих колебаний.
2. Запишем уравнение (1) применительно к амплитудным значениям отклонения
(2)
ϕ1 = ϕ0 exp(− δt ); ϕ 2 = ϕ0 exp[− δ(t + τ )] .
3. Определим, используя уравнения (2) отношение амплитуд
ϕ1
ln 10
(3)
= exp(δτ); ln 10 = δτ; τ =
≅ 51 c .
ϕ2
δ
Пример № 9. Математический маятник длиной l = 1,09 м колеблется в вязкой среде с
коэффициентом затухания δ = 0,3 с − 1. Во сколько раз должен возрасти коэффициент затухания, чтобы гармонические колебания оказались невозможными?
1. Запишем уравнение периода затухающих колебаний
2π
,
T=
ω02 − δ 2
78
(1)
из которого следует, что предельное значение коэффициента затухания соответствует δmax =
ω0, или
g
(2)
δ max =
≅ 3 c −1 .
l
2. Коэффициент затухания должен увеличиться в ζ - раз
δ
ζ = max = 10 .
(3)
δ
Пример № 10. Амплитуда затухающих колебаний за время τ1 = 100 с уменьшилась в n1 =
20 раз. Во сколько раз амплитуда уменьшится за время τ2 = 200 с?
1. Запишем уравнение для амплитуд затухающих колебаний
A(t ) = A 0 exp(− δt ) .
2. В данном случае
A0
= n1 ; ln n1 = θτ1 .
A (τ1 )
3. Запишем уравнение, аналогичное (2) для момента времени t = τ2
ln n 2 = θτ 2 ,
4. Решая совместно уравнения (1) и (2) относительно величины n2, получим
τ
− 2
⎛ τ2
⎞
A0
n2 =
; A(τ 2 ) = A 0 exp⎜⎜ − ln n1 ⎟⎟ = A 0 n1 τ1 ,
A(τ2 )
⎝ τ1
⎠
(1)
(2)
(3)
(4)
откуда
τ2
200
n 2 = n1τ1 = 20 100 = 20 2 = 400 .
(5)
Пример № 11. Колебания некой точки происходят в соответствие с уравнением x(t) =
100exp(−0,01t)cos8πt, мм. Определить амплитуду после того, как будут выполнены N = 100
полных колебаний.
1. Из заданного уравнения движения следует что: циклическая частота колебаний составляет ω = 3π рад/с; коэффициент затухания − δ = 0,01 с − 1; начальная амплитуда колебаний − 100 см.
2. Определим период колебаний и логарифмический декремент
2π
T=
= 0,67c , θ = δT = 6,7 ⋅10 −3 .
(1)
ω
3. Амплитуда после истечения заданного числа колебаний определится на основании заданного уравнения так
(2)
A N = A 0 exp(θN ) = 100 exp(− 1) = 36,78 мм .
Пример № 12. Математический маятник длиной l = 2 м, колеблющийся в среде с потерями, за время τ = 10 мин потерял 50 % своей энергии. Определить логарифмический декремент маятника.
1. В первом приближении можно считать, что энергия затухающих колебаний пропорциональна квадрату амплитуды
⎫⎪
E1 ≅ A 02 exp(− 2δt1 );
(1)
⎬
E 2 ≅ A 02 exp[− 2δ(t1 + τ)].⎪⎭
79
2. По условию задачи
E2
= 0,5 .
E1
3. Совместим условие (2) в системой уравнений (1)
E2
= exp(− 2δτ ) = 0,5; ⇒ − 2δτ = ln 0,5;
E1
(2)
(3)
ln 0,5
− 0,693
=−
≅ 5,8 ⋅10 −4 c −1 .
(4)
2τ
1200
4. Период колебаний маятника, ввиду малости коэффициента затухания можно приближённо определить уравнением
2
l
(5)
T = 2π
= 6,28
≅ 2,83 c .
g
9,81
5. Логарифмический декремент колебаний определится как
θ = δT = 1,6 ⋅10 −3 .
(6)
δ=−
Пример № 13. Математический маятник длиной l = 2 м колеблется в среде с логарифмическим декрементомθ = 0,01, так что энергия колебаний уменьшилась в ζ = 10 раз. Какое время τ прошло при этом с момента начала колебаний?
1. Запишем уравнение амплитуд затухающего колебания и определим относительную
амплитуду
t⎞
A0
⎛ θt ⎞
⎛
(1)
= exp⎜ ⎟ ;
A1 = A 0 exp⎜ − θ ⎟; ⇒
T⎠
A1
⎝T⎠
⎝
2. Подставим в уравнение (2) соотношение для периода колебаний
⎛ θt g ⎞
⎟;
(2)
ξ = exp⎜⎜
⎟
⎝ 2π l ⎠
3. Для того чтобы связать величины ξ и ζ необходимо проанализировать уравнение энергии колебательного движения
mv 2 m(ωA ) 2 m 2π 2 A 2
;
(3)
E=
=
=
2
2
T2
2
⎛ θt g ⎞
E0 ⎛ A0 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
=⎜
;
⇒
ζ
=
exp
(4)
⎜ π l ⎟;
E1 ⎝ A1 ⎟⎠
⎝
⎠
ln ζ =
θt g
π l
3,14
2
; t=
ln ζ =
⋅ 2,3 ≅ 326 c = 5,4мин .
2π l
θ g
0,01 9,81
(5)
Пример № 14. Определите число полных колебаний N, в течение которых энергия системы уменьшится в два раза. Логарифмический декремент колебаний θ = 0,01.
1. Для решения задачи воспользуемся уравнением (2) задачи 2.1.2
1 A
1
E0 1
1
N1 = ln 0 = ln
= ln 2 =
ln 1,41 ≅ 35 .
θ A1 θ
E1 θ
0,01
80
(1)
Пример № 15. Найти период затухающих колебаний математического маятника если
период его собственных колебаний составляет Т0 = 1 с, а логарифмический декремент равен θ = 0,628
1. Определим циклическую частоту собственных колебаний математического маятника
2π
рад
ω0 =
= 6,28
.
(1)
T
с
2. Определим коэффициент затухания
θ = δT; δ = θ T = 0,628 c −1 .
(2)
3. Найдём период затухающих колебаний
2π
6,28
T=
≅
≅ 1,0054 с.
(3)
2
2
39,4 − 0,39
ω0 − δ
Пример № 16. Тело массой m = 5кг совершает гармонические затухающие колебания. За
первые 50с колебаний тело теряет 60% своей первоначальной энергии. Определите коэффициент сопротивления среды.
1. Определим коэффициент затухания δ из следующих соображений
2
E0 ⎛ A0 ⎞
⎟ = exp(− 2δτ); ln 0,4 = −2δτ ,
=⎜
E1 ⎜⎝ A1 ⎟⎠
ln 0,6
δ=
= 9,16 ⋅10 −3 c −1 .
2τ
2. Найдём коэффициент сопротивления среды, в которой колеблется тело
δ = r 2m; r = 2δm = 0,0916 кг с .
A0
= exp(δτ);
A1
(1)
(2)
(3)
Пример № 17. Некое тело массой m = 1 кг находится в вязкой среде с коэффициентом
сопротивления r = 0,05 кг/с. Тело соединено с двумя одинаковыми недеформированными
пружинами жёсткости k = 50 Н/м. Определить логарифмический декремент при возникновении малых колебаний, период колебаний и коэффициент затухания.
1. Определим коэффициент затухания, воспользовавшись
уравнением (3) предыдущей задачи
(1)
δ = r 2m = 0,05 2 = 0,025 c −1 .
2. Найдём циклическую частоту и период свободных и затухающих колебаний системы с
учётом того, то пружины соединены параллельно
2k
рад
ω
(2)
ω0 =
= 10
; ν0 =
= 1,59 Гц .
m
с
2π
T=
2π
ω −δ
2
0
2
=
6,28
100 − 6,25 ⋅ 10−4
3. Логарифмический декремент колебаний
θ = δT = 0,0157 .
81
≅ 0,628 c .
(3)
(4)