1.13. Действия с векторами в координатной форме

1.13. Действия с векторами в координатной форме. Как и координата вектора на
прямой, координаты вектора на плоскости обладают следующими свойствами:
С в о й с т в о 1. При сложении векторов их соответствующие координаты
складываются.
r
r
r r r
1 Пусть а =(ах , ау), b =(bx, by) и с = а + b . Покажем, что
r
с =(ах+bx ,aу+by),
т.е.
сх= ах+bx и су= aу+by .
(20)
Действительно,
r
r
r r r
с = а + b = (ах+bx) i +(aу+by) j .
(21)
Из равенства (21) и единственности координатного представления вектора вытекают
равенства (20). g
С в о й с т в о 2. При умножении вектора на число его координаты умножаются на
это число.
r
r
r
r
1 Пусть а =(ах , ау) и b =α а . Покажем, что b =( αах, αау),
т.е.
bx= αax и by= αar y .
(22)
r
r
Действительно, b = αах i + αау j , т.е. выполняются равенства (22). g
Свойство 2 позволяет по-другому сформулировать
признак коллинеарности векторов
r
r
(теорему пункта 5): два вектора а =(ах , ау) и b =(bx , by) коллинеарны тогда и только тогда,
когда их координаты пропорциональны, т.е. выполняются равенства (22).
Это утверждение докажите самостоятельно.
Вопросы для самоконтроля
1. Чему равны координаты суммы векторов, если координаты слагаемых известны?
2. Что происходит с координатами вектора при умножении его на число?
Задачи
r
r
Дополняем теорию. 13.1. Дан вектор а =(х, у). Каковы координаты вектора - а ?
r
r
13.2. Каковы координаты вектора а - b , если а =(х1, у1) и b =.(х2, у2)? Дайте словесную
r
формулировку этому свойству координат. Каковы координаты вектора α а +β b ?
r
r
r
r Вычисляем. 13.3.Дан вектор а =(2, -1). Запишите координаты вектора: а) - а ; б) 2 а ;
в) − a .
r
r
13.4. Даны векторы а =( -2, 2) и b =(2, -2). Найдите координаты векторов: а) а + b ;
r
r
r
r
1 r
б) а - b ; в) - а - b ; г) - а + b ; д) 2 а -3 b ; е) а -2 b .
2
r
13.5. Пусть вектор а длины 2 образует с осью х угол 30о и тупой угол с осью у, а вектор
b длиной 4 образует с осью х угол 120о и острый угол с осью у. Каковы координаты векторов:
r
r
r
а) а и b ; б) а + b ; в) а -2 b ?
13.6. Коллинеарны ли векторы: а) (4, -2) и (2, 1); б) (4, -2) и (-2, 1); в) (4,-2) и (4, 0);
г) (−4, 2) и (2, –1); д) (3, 0) и (-5, 0); е) (3, 0) и (0, 3)?
r
13.7. Векторы а и b - коллинеарны. Найдите их недостающие координаты:
r
r
r
а) а =(-2, 1), b =(…, 3); б) а =(2, -1), b =(4, …); в) а =(0, 3), b =(…, у);
r
г) а =(1, 0), b =(х,…).
13.8. Заданы точки А( 2, -3), В(-1, -1), С(4, -2), Р(3, 3). Вычислите координаты векторов:
1
а) АВ + ВС ; б) АВ - СВ ; в) 2 АС - 3 ВС ; г) РА + ВС +2 АВ .
3