Разбиения. Производящие функции. Степенные ряды

Разбиения. Производящие функции. Степенные ряды.
Линейные рекуррентные соотношения.
29.10-05.11.2012
Разбиения
Определение 1. Разбиением натурального числа n на слагаемые называется представление n в виде
суммы n = x1 + ... + xt , где x1 > 0, . . . , xt > 0 - натуральные числа. При этом разбиения называются
неупорядоченными, если два таких разбиения одинаковы, коль скоро они отличаются только порядком
слагаемых. Например, неупорядоченные разбиения 5 = 3 + 2 и 5 = 2 + 3 совпадают. В противном случае
говорят об упорядоченных разбиениях.
1. а) Найти количество упорядоченных разбиений числа n на k слагаемых. б) Найти общее количество
упорядоченных разбиений числа n на слагаемые.
Решение. В первом случае надо поставить k − 1 перегородку в промежутках
n записанными
n между
k−1
k−1
единицами. Поэтому ответ Cn−1 . Во втором пункте надо просуммировать k=1 Cn−1 = 2k−1 .
2. Сколько существует диаграмм Юнга произвольного веса, но имеющих не более p строк и не более q
столбцов?
Решение. Каждой диаграмме Юнга можно сопоставить границу этой диаграммы. Если нарисовать сетку
размера p × q, то таким образом каждой диаграмме внутри можно сопоставить путь их левого верхнего
угла в правый нижний. Есть ещё путь вдоль границы. задающий пустую диаграмму Юнга. Поэтому
q
ответ: Cp+q
− 1.
3. На доске написано несколько целых положительных чисел: a0 , a1 , a2 , . . ., an . Пишем на другой
доске следующие числа: b0 — сколько всего чисел на первой доске, b1 — сколько там чисел, больших
единицы, b2 — сколько там чисел, больших двойки, и т.д., пока получаются положительные числа. На
этом заканчиваем — нули не пишем. На третьей доске пишем числа c0 , c1 , c2 , . . ., построенные по числам
второй доски аналогичным образом. Докажите, что наборы чисел на первой и третьей досках совпадают.
Решение. Если нарисовать диаграмму Юнга ∆, соответствующую последовательности ai , то bi соответствуют ∆T . Значит, ci соответствуют (∆T )T = ∆.
4. Докажите, что число способов неупорядоченного разбиения числа n на не более чем k слагаемых такое
же, как и способов неупорядоченного разбиения n + k на k слагаемых.
5. Докажите, что число способов неупорядоченного разбиения числа n на не более чем k слагаемых такое
на k различных слагаемых.
же, как и способов неупорядоченного разбиения n + k(k+1)
2
6. Докажите, что число неупорядоченных разбиений n на k слагаемых равно числу неупорядоченных
разбиений n в сумму слагаемых, наибольшее из которых равно k.
7. Докажите, что число неупорядоченных разбиений a − b на c − 1 слагаемых, не превосходящих b равно
числу неупорядоченных разбиений a − c на b − 1 слагаемых, не превосходящих c.
Решение. Биекция строится следующим образом: к разбиению a − b на c − 1 слагаемых, не превосходящих
b добавляется слагаемое b, получаем разбиение a на c слагаемых, максимальное из которых равно b.
Транспонируя соотв. диаграмму Юнга, получаем разбиение a на b слагаемых, максимальное из которых
равно c. Выкидывая максимальное слагаемое c, получаем требуемое разбиение.
Степенные ряды

1 k
2
8. а) Пусть F = 1 + t + t + . . . , G = 1 − t + t2 − t3 + . . . . Найдите F + G, F · G. б) Пусть F = ∞
k=0 k! t ,
∞ (−1)k k
G = k=0 k! t . Найдите F · G и F 2 .

1 2
Ответ: а) F + G = F · G = 1 + t2 + t4 + . . . ; б) F · G = 1, F 2 = ∞
k=0 k! t k.
Определение 2. Ряд G называется обратимым, если существует такой ряд F , что F · G = 1. F называется
обратным к G, и обозначается так: F = G−1 .
9. Докажите, что ряд G = a0 + a1 t + a2 t2 + a3 t3 + . . . обратим тогда и только тогда, когда a0 ̸= 0, причём
обратный ряд G−1 единственен.
10. Найдите а) (1 − t)−1 ; б) (2 − t)−1 ; в) ((1 − t)2 )−1 ; г) ((1 − t)m )−1 ; д) (t2 + t − 1)−1 .
Ответ: а) 1 + t + t2 + · · · +; б) 21 (1 + 2t + . . . ); в) (1 + t + t2 + . . . )2 ; 11. а) При каких условиях на степенной ряд F можно разделить на степенной ряд G (то есть уравнение
G · X = F разрешимо относительно неизвестного степенного ряда X). б) При каких условиях на
степенной ряд F разрешимо уравнение X 2 = F ? Найдите X такой, что X 2 = 1 + t. в) Существует ли
степенной ряд X, удовлетворяющий уравнению tX 2 − X + 1 = 0?
Решение. Если обозначить через q(F ) минимальное k: коэффициент при tk ненулевой, то F можно
разделить на G тогда и только тогда, когда q(F ) > q(G).
Разбиения. Производящие функции. Степенные ряды. Линейные рекуррентные соотношения.
Страница 2

i
а) Условия: q(F ) = 2k, aq(F ) > 0 (здесь F = ∞
i=0 ai t ).
Производящие функции
12. Пусть s(n) обозначает количество всех подмножеств A множества {1, 2, . . . , n}, таких, что для любых
двух a, b ∈ A выполнено неравенство |a − b| > 2. Найдите производящую функцию для s(n).
Решение. s(n) удовлетворяют соотношению s(n) = s(n − 1) + s(n − 2). Более того, так как s(0) = 1,
s(1) = 2, то s(n)
= Fn−2 (Fn — числа Фибоначчи, F0 = 0, F1 = 1).
∞
Пусть S = i=0 s(i)ti . Тогда из соотношения s(n) = s(n − 1) + s(n − 2) следует, что в ряде S(1 − t − t2 )
все коэффициенты при степенях 2, 3, . . . обнуляются. Значит, S(1 − t − t2 ) = s(0) + t(s(1) − s(0)) = 1 + t.
1+t
2 −1
Тогда S = 1−t−t
.
2 = (1 + t)(1 − t − t )
1
B
A
Так как 1−t−t2 = 1−t1 + 1−t2 .

1 k
13. Вычислите nk=1 k 2 Cnk ( 17
) .
14. Докажите, что число неупорядоченных разбиений n на нечетные слагаемые равно числу неупорядоченных разбиений n на попарно различные слагаемые.
Решение. Пусть H(n) — число неупорядоченных разбиений. Тогда
∞

H(i)xi = (1 + x + x2 + . . . )(1 + x2 + x4 + . . . ) · · · (1 + xk + x2k + . . . ) · · ·
i=0
(Обоснование формулы. В правой части коэффициент при xn — это количество всех способов набрать
степень n из разных скобок. Каждому такому способу можно сопоставить разбиение: если мы берем из
первой скобки xi1 , из второй x2i2 , из третий x3i3 , . . . , из n-й скобки xnin . Тогда i1 + 2i2 + · · · + nin = n, и
мы строим разбиение следующим образом: берем i1 единиц, i2 двоек, и.т.д. Несложно проверить, что
соответствие взаимно-однозначное.)
Пользуясь такой логикой, несложно посчитать производящую функцию для разбиений n на нечётные слагаемые: она равна (1 + x + x2 + . . . )(1 + x3 + x5 + . . . ) · · · (1 + x2k+1 + x4k+2 + . . . ) · · · (берем
только нечётные скобки); производящая функция для разбиений на попарно различные слагаемые:
(1 + x)(1 + x2 ) · · · (1 + xk ) · · · . Надо доказать, что эти функции равны. Имеем:
(1 + x)(1 + x2 ) · · · (1 + xk ) · · · =
1 − x2k
1 − x2 1 − x4 1 − x6
·
·
·
·
·
··· =
1 − x 1 − x2 1 − x3
1 − xk
1
1
1
1
·
·
···
· · · = (1 + x + x2 + . . . )(1 + x3 + x5 + . . . ) · · · (1 + x2k+1 + x4k+2 + . . . ) · · ·
3
5
1−x 1−x 1−x
1 − x2k+1
Линейные рекуррентные соотношения.
15. Для каждого из следующих линейных рекуррентных соотношений найдите общее решение:
а) an+2 − 7an+1 + 12an = 0;
б) an+2 + 9an = 0;
в) an+3 + 3an+2 + 3an+1 + an = 0.
16. Сколько существует строк из 20 нулей и единиц в которых никакие два нуля не стоят рядом?
Решение. Рекуррентное соотношение an = an−1 + an−2 , проверяя начальные значения получаем, что это
числа Фибоначчи со сдвигом an = Fn−2 .
17. Сколькими способами можно выложить 2 × 2 × n колонну кирпичами размера 2 × 1 × 1? (Найти
рекуррентное соотношение)
Решение. Обозначим через An — количество способов выложить колонну 2 × 2 × n, через Bn — количество
способов выложить колонну 2 × 2 × n без верхнего горизонтального кирпича. Напишем рекуррентные
соотношение:
An = 4Bn−1 + 2An−1 + An−2
Bn = An−1 + Bn−1
Тогда An+1 = 4Bn + An + An−1 , следовательно
=
An+1 − An = 4(Bn − Bn−1 ) + 2(An − An−1 ) + (An−1 − An−2 ) = 2An + 3An−1 − An−2 .
Рекуррентное соотношение An+1 − 3An − 3An−1 + An−2 = 0.
18. Докажите, что последовательность с общим членом an = nk−1 удовлетворяет соотношению
an+k − Ck1 an+k−1 + Ck2 an+k−2 + . . . + (−1)k Ckk an = 0.
Разбиения. Производящие функции. Степенные ряды. Линейные рекуррентные соотношения.
Страница 3
Решение. Многочлен для рекуррентного соотношения
λk − Ck1 λk−1 + Ck2 λk−2 + . . . + (−1)k Ckk = 0
Он равен (λ − 1)k , следовательно, 1 является корнем k-ой степени. Поэтому решением рекуррентного
соотношения является любой многочлен вида B0 + B1 n + B2 n3 + · · · + Bk−2 nk−1 . В частности, nk−1 является
решением, а значит удовлетворяет данному соотношению.
Числа Каталана
19. Найдите число сбалансированных скобочных последовательностей длины 2n. Например, последовательность ((()())()) сбалансирована, в отличие от последовательностей ())() и ()(()().
20. Билеты стоят 50 рублей, и 2n покупателей стоят в очереди в кассу. Половина имеет 100 рублей
(одной бумажкой), половина — 50. Кассир начинает продажу билетов, не имея денег. Сколько существует
различных порядков в очереди, таких, что кассир всегда может дать сдачу?
21. Найдите число триангуляций выпуклого n-угольника (триангуляции — разбиения на треугольники
диагоналями так, что диагонали пересекаются только в вершинах n-угольника).
Числа Фибонначчи
Обозначим через F0 = 0, F1 = 1, Fn = Fn−1 + Fn−2 последовательность чисел Фибоначчи.
22. Найдите а) F0 + F1 + · · · + Fn ; б) F02 + F12 + · · · + Fn2 ; в)* г) F03 + F13 + · · · + Fn3 .