АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ РАНГОВ ГРУПП ЦЕНТРАЛЬНЫХ ЕДИНИЦ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ГРУППОВЫХ КОЛЕЦ ЗНАКОПЕРЕМЕННЫХ ГРУПП А.В.Каргаполов Целью данной работы является нахождение приближенных формул для рангов групп U Z ZAn центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп. Для достижения описанной цели воспользуемся результатом Ферраза. Лемма 1. [Теорема 4. 5 [1]] Ранг группы U Z ZAn равен количеству разбиений) a a1 ,..., ak натурального числа n, удовлетворяющих следующим свойствам: 1 . ai нечетно, 1 i k ; 2. ai a j , где i j ; 3. n k mod 4 ; k 4. a i 1 i не является полным квадратом. Заметим, что ранг группы U Z ZAn соответствует количеству классов сопряженности группы S n , которые разбиваются на два класса сопряженности в An и дают нецелые значения характеров[2]. Определение. Разбиением натурального числа n называется последовательность a1 ,..., ak натуральных чисел такая, что a1 ... ak и a1 ... ak n . Таким образом, нужно подсчитать количество разбиений степени знакопеременной группы An на различные нечетные положительные слагаемые, причем их произведение не должно являться полным квадратом, и количество элементов должно быть сравнимо с n по модулю 4. Ранее автором был разработан и реализован параллельный алгоритм для нахождения рангов, получены точные значения для n≤800 [3], их будем использовать в качестве эталонных значений. Для вывода необходимых формул будем учитывать все условия или только некоторые из них. Будем обозначать согласно [4], все разбиения Pn , разбиения на различные числа Q n , разбиения на различные нечетные числа Rn . Также обозначим разбиения на различные нечетные числа с количеством элементов сравнимым с n по модулю 4 как Rmod 4 n . Ранг группы U Z ZAn − Rankn . В [6] приведена производящая функции для Pn : 1 2 2 4 (1) 1 x x ... 1 x x ... Pn x n m m 1 1 x n 0 Попытаемся получить аналогичную формулу и для Rn . Производящая функция будет выглядеть так: F x FR x 1 x 2m 1 (2) m0 Для Pn , Q n и Rn существуют асимптотические формулы. Например, для Pn при n имеет место следующая формула[6]: 1 2n / 3 Pn e (3) 4 3n Также в [5] приводится формула для Q n : 33 / 4 n / 3 (4) Qn e 12n3 / 4 При выводе формулы для Rn с помощью метода, изложенного в книге Постникова [7], аналогичная асимптотика для Q n была получена автором самостоятельно. Проведем аналогичные рассуждения, как и для Pn . Детали и строгое доказательство опустим. Заменим в (3) x e u , где u v iw , и обозначим FR e u f u . Получаем формулу: 1 x ( 2m 1)u f u (5) m0 Далее получим, что при выполнении условия ln f v n 0 : e ln f v nv Rn (6) 2 ln f v Вычислим значение логарифма f v : ln f v 1 n 1 ln 1 e 2 m 1v m0 1 n 1 m 0n 1 e 2 m 1nv n 1n 1 e nv 2 nv n n 1 e n 1 n 1 1n 1 e nv 1 1 1n 1 1 1 2 nv nv 2 nv n e 1 n 1 n e 1 e 1 n 1 n 1 1n 1 1 1 1 2 1 1 . n nv 2 2nv 2 n 1 2n 2v 24v n 1 e nv e 3nv e 5 nv ... Получаем все необходимые значения: ln f v (ln f v ) 2 , v 2 24v , (ln f v ) 2 24v 2 , . 2 6n 12v Подставив их в (6) получаем искомую формулу: e n / 6 (7) Rn 3 4 2 24n Учет условия 3 из 1 подразумевает разделение всех разбиений из Rn на два класса: если n четно, то k также четно, по модулю 4 дает 0 или 2, если n нечетно, то k также нечетно, по модулю 4 дает 1 или 3. Практика показывает, что разница между разбиением на k элементов и на k+2 невелика, асимптотическую зависимость найти пока не удалось, хотя, например, для Pn, k (количество разбиений положительного n на k слагаемых) можно записать следующее соотношение: 3 Pn, k k Pn k , m m 1 Гипотеза 1. При n имеет место формула Rmod 4 n Rn / 2 . (8) Основываясь на практических результатах, можно полагать, что достаточно редко произведение элементов разбиения дает полный квадрат. Гипотеза 2. При n имеет место формула e n / 6 . (9) Rankn Rmod 4 n 44 24n3 Получаем, что до 800 известны точные значения рангов, примерно до 10 4 можно вычислить Rmod 4 n на обычном персональном компьютере[3], далее можно пользоваться асимптотической формулой. Посмотрим на точность получаемых значений: Rank(n) n Rmod 4 n Rank(n) (9) 100 1006 1008 1.327 10 3 200 171988 172441 1.601 10 5 300 6521918 6524506 6.961 10 6 400 172468858 172512720 1.744 108 500 3044489334 3044709903 3.045 10 9 600 40127403414 40129477067 4.102 1010 700 445632142623 445640707015 4.529 1011 800 4235625351844 4235682008733 4.266 1012 Результаты вычислений. Видно, что с ростом n асимптотическая формула и точные значения Rmod 4 n дают неплохое приближение к рангу U Z ZAn . Библиографический список 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Ferraz R.A. Simple components and central units in group rings. / R.A. Ferraz // Journal of Algebra, 2004. Vol. 279, no. 1. P. 192-203. Фробениус Г. Теория характеров и представлений групп. / Г. Фробениус. Харьков: гос. науч.-техн. изд Украины, 1937. Каргаполов А.В. Параллельный алгоритм для нахождения рангов групп центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп. / А.В. Каргаполов // Труды 40-й Всероссийской молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2009. Стр. 395-401. Ayoub R. An introduction to the analytic theory of numbers. / R. Ayoub. American mathematical society, 1963. Flajolet P., Sedgewick R. Analytic Combinatorics. / P Flajolet, R Sedgewick. Cambridge University Press, 2009. Эндрюс Г. Теория разбиений. / Г. Эндрюс. М.:Наука, 1982. Постников А.Г. Введение в аналитическую теорию чисел. / А.Г. Постников. М.: Наука, 1971.