Дополнение к лекции 4

Дополнение к лекции 4 Силовые линии электрического поля, создаваемого точечным диполем Для наглядного изображения векторных полей используют силовые линии.
Силовой линией называю кривую, касательная к которой в любой точке совпадает по
направлению с вектором, являющимся элементом векторного поля в этой точке. Из этого
определения непосредственно вытекает уравнение с помощью
 которого можно найти форму
силовых линий. Рассмотрим произвольное векторное поле F(M ) (см рис.1).

В каждой точке силовой линии
вектор dr
M1 

z
dr
коллинеарен
с
вектором
Условие
F(M ).



коллинеарности можно записать в виде: dr = λ F(M ) ,
 F(M )
r
где λ - некоторое число. Это условие можно также
 
записать следующим образом: !"dr, F(M )#$ = 0. Эти
1
выражения являются полностью аналогичными. В
декартовой системе координат они принимают

dr
dx
dy
dz

следующий вид:
.
=
=
x
F(M )
Fx (M ) Fy (M ) Fz (M )
Рисунок 1.
Вспомнив общее определение силовых линий,
уравнения силовых линий, перейдем к рассмотрению нашей задачи. Точечный диполь – это
система из двух зарядов одинаковой величины, но разного знака, размеры которых и
расстояние между ними существенно меньше расстояния до точки наблюдения. За
направление вектора дипольного момента принято направление от отрицательного заряда к
положительному. Дипольный момент, как полярный вектор имеет аксиальную симметрию –
при любом повороте вокруг оси диполя положения зарядов не изменяются. Поскольку
конфигурация электрического поля полностью определяется расположением зарядов,
электрическое поле, создаваемое диполем, также имеет аксиальную симметрию. Для нас это
означает, что мы можем найти уравнение силовых линий в любой плоскости, содержащей
дипольный момент. Зная картину силовых линий в этой плоскости, мы легко можем найти
конфигурацию силовых линий во всем пространстве,
поворачивая нашу плоскость относительно оси диполя. Для z
M
удобства расположим дипольный момент в начале координат,
направив его вдоль оси z . Найдем силовые линии
Θ

напряженности электрического поля в плоскости zy (см.
r
рис.2). Напряженность электрического поля диполя
определяется следующим выражением:
  


1 " 3 ( pr ) r p %
p
E=
− 3 ' . $
4πε 0 # r 5
r &
y
O
Уравнение
для
нахождения
силовых
линий
поля Рисунок 2.
dz dy
электрического диполя принимает вид: =
. В полярной
Ez E y
€
системе координат (z = rCosΘ, y = rSinΘ) проекции напряженности поля равны:

r
y
2
2
1 3pzy
1 3pSinΘCosΘ
1 # 3pz 2 p &
1 p (3Cos Θ −1)
Ey =
=
, Ez =
− 3(=
. %
4πε 0 r 5
4πε 0
r3
4πε 0 $ r 5
r ' 4πε 0
r3
В полярной системе координат dz и dy принимают вид:
dz = CosΘdr − rSinΘdΘ, dy = SinΘdr + rCosΘdΘ.
Таким образом, для нахождения силовых линий нам необходимо решить дифференциальное
уравнение:
SinΘdr + rCosΘdΘ CosΘdr − rSinΘdΘ
=
, 1 3pSinΘCosΘ
p (3Cos 2Θ −1)
1
4πε 0
r3
4πε 0
r3
которое после упрощений сводится к простому дифференциальному уравнению:
dr 2CosΘ
dSinΘ
dΘ = 2
. SinΘdr = 2rCosΘdΘ или =
r
SinΘ
SinΘ
Решение последнего уравнения не вызывает трудностей, в результате получаем:
r = ConstSin 2Θ. Используя это выражение легко нарисовать конфигурацию силовых линий
напряженности поля, создаваемого электрическим диполем (см. рис.3). Обратим внимание,
что согласно полученной формуле силовые
z
линии являются замкнутыми. Однако из условия
потенциальности
электростатического
поля
следует, что силовые линии должны начинаться
на положительных зарядах и заканчиваться на

отрицательных, либо одним концом уходить на
p
бесконечность или приходить из бесконечности.
противоречия здесь нет. Мы получили
y Реального
выражение для силовых линий в приближении
точечного
диполя,
размерами
которого
пренебрегли. В действительности силовые линии
электрического диполя начинаются на его
положительном заряде и заканчиваются на
отрицательном, за исключением силовых линий
направленных вдоль оси z (одна силовая линия
Рисунок 3.
приходит из −∞ и заканчивается на
отрицательном заряде, другая от положительного заряда уходит на +∞.