Модулярные формы относительно SL_2(Z)

Модулярные формы
Листок 1
Модулярные формы относительно SL2(Z).
Задача 1. a) Покажите,
что для любой решётки Λ ⊂ C (т. е. для дискретной подгруппы
P
ранга два) ряд
1/|λ|σ сходится при всех σ > 2.
λ∈Λ\{0}
P
b) Выведите отсюда, что ряд Gk (z) =
(m,n)6=(0,0)
1
(mz+n)k
сходится равномерно на компактах
в верхней полуплоскости при целых k ≥ 4 и определяет модулярную форму веса k.
P P0
P P0
1
1
c∗ ) Положим G2 (z) =
n
m (m+nz)2 , G(z) =
m
n (m+nz)2 (штрих означает, что при
суммировании исключается пара (0, 0)). Докажите, что ряды G2 (z) и G(z) сходятся (неаб. Получите отсюда, что G2 (−1/z) = z 2 G2 (z) − 2πiz.
солютно), при этом G2 (z) − G(z) = 2πi
z
Задача 2. Для чётного k > 2 и неотрицательного целого D определим
X
fk (D, z) =
a,b,c∈Z,b2 −4ac=D
(az 2
1
+ bz + c)k
(если D = 0, мы исключаем слагаемое с a = b = c = 0).
a) Покажите, что fk ≡ 0, если D 6≡ 0, 1 mod 4.
b) Докажите, что fk (D, z) ∈ M2k (SL2 (Z)).
c) Убедитесь, что функция fk (0, z) с точностью до мультипликативной константы равна
ряду Эйзенштейна G2k (z).
Задача 3. Покажите, что пространство Mk (SL2 (Z)) модулярных форм веса k имеет в
качестве базиса семейство одночленов Ga4 Gb6 , где 4a + 6b = k, a, b ≥ 0. Выведите отсюда,
+∞
L
что градуированная алгебра M =
Mk изоморфна алгебре C[X, Y ] многочленов от
k=−∞
двух переменных.
Задача 4. Пусть f ∈ Mk (SL2 (Z)) — модулярная форма веса k, не равная тождественно
∞
P
нулю, f =
an q n — её q-разложение.
n=0
a) Покажите, что an 6= 0 для бесконечного множества n ∈ N.
b) Докажите, что an 6= 0 хотя бы для одного n ∈ {1, . . . , dim Mk − 1}.
c∗∗ ) Покажите, что множество таких n, что an 6= 0 имеет ненулевую нижнюю плотность.
Задача 5 (Значения дзета-функций). Определим числа Бернулли равенством exx−1 =
P Bk k
1
5
x , так что B0 = 1, B1 = − 21 , B2 = 16 , B3 = 0, B4 = − 30
, B5 = 0, B6 = 66
. . . , B7 = 0,
k!
691
7
3617
B8 = − 2730 , B9 = 0, B10 = 6 , B11 = 0, B12 = − 510 , . . . .
a) Убедитесь, что Bk = 0 при нечётном k > 1 и (−1)k+1 B2k ≥ 0 для всех k.
∞
P
2k
k+1 z 2k
b) Покажите, что z cot z = 1 −
B2k 2 (−1)
.
(2k)!
k=1
∞ Q
2
c) Используя бесконечное произведение sin z = z
1 − nz2 π2 , покажите, что z cot z =
1−2
∞ P
∞
P
n=1 k=1
n=1
z 2k
.
n2k π 2k
d) Получите, что ζ(2k) =
∞
P
k=1
1
n2k
=
22k−1 (−1)k+1
Bk π 2k .
(2k)!
e) Чему равно ζ(k) при целом k < 0?
Задача 6 (q-разложение рядов Эйзенштейна). a) Интегрируя по контуру, или любым
∞
P
1
1
другим способом докажите, что π cot(πz) = z1 +
( z+n
+ z−n
).
n=1
1
Модулярные формы
Листок 1
b) Убедитесь, что для π cot(πz) имеется q-разложение: π cot(πz) = πi − 2πi
∞
P
q n (как
n=1
обычно, q = e2πiz ).
c) Сравнивая, пункты a и b и дифференцируя, получите, что
∞
X
(2πi)k X k−1 n
1
n q .
=
k
(n
+
z)
(k
−
1)!
n=1
n∈Z
d) Покажите, что при целом k ≥ 4 имеет место q-разложение
∞
(2iπ)k X
Gk (z) = 2ζ(k) + 2
σk−1 (n)q n ,
(k − 1)! n=1
P
где σr (n) = dr — сумма r-х степеней делителей n.
d|n
Gk (z)
имеют рациональные коэффициенты и q-разложение
e) Получите, что формы Ek (z) = 2ζ(2k)
начинающееся с 1.
Задача 7 (суммы делителей). Покажите, что имеют место равенства:
n−1
P
a) σ7 (n) = σ3 (n) + 120
σ3 (m)σ3 (n − m);
m=1
b) 11σ9 (n) = 21σ5 (n) − 10σ3 (n) + 5040
n−1
P
σ3 (n)σ5 (n − m).
m=1
Задача 8. a) Найдите первые четыре ненулевых члена q-разложения ∆ = 2−6 3−3 (E43 −E62 ).
b) Не используя произведение для ∆, докажите, что коэффициенты её q-разложения целые.
∞
P
c) Пусть Mk (Z) — множество модулярных форм f =
an q n веса k с целыми коэффициn=0
ентами an . Покажите, что существует Z-базис Mk (Z), являющийся C базисом в Mk .
Подсказка: используйте ряды Эйзенштейна E4 , E6 , а также функцию ∆.
Задача 9 (оценки коэффициентов параболических форм). Пусть f ∈ Sk (SL2 (Z)).
a) Покажите, что найдется такая константа C1 (зависящая от f ), что |f (x + iy)| < C1 e−2πy
для всех достаточно больших y равномерно по x.
b) Убедитесь, что функция φ(x + iy) = y k/2 |f (x + iy)| инвариантна относительно SL2 (Z).
Выведите отсюда, что |f (x + iy)| < C2 /y k/2 для некоторой константы C2 .
c) Покажите, что коэффициенты q-разложения f удовлетворяют неравенству |an | < C3 nk/2 .
Подсказка: используйте формулу Коши, интегрируя по подходящей окружности с центром в
бесконечности.
Задача 10 (преобразование Меллина и L-функции модулярных форм). Пусть
∞
∞
P
P
f ∈ Sk (SL2 (Z)), f (q) =
an q n . Определим L-функцию f как ряд Lf (s) =
an n−s .
n=1
n=1
a) Убедитесь, что ряд абсолютно сходится и определяет аналитическую функцию Lf (s) в
области Re s > (k/2) + 1.
R∞
b) Преобразование Меллина функции f — это функция Mf (s) = 0 f (it)ts dtt . Как связаны
преобразования Фурье и Меллина?
c) Покажите, что для параболической формы f верно равенство Mf (s) = (2π)−s Γ(s)Lf (s).
R∞
d) Убедитесь, что для любого t0 > 0 интеграл t0 f (it)ts dtt абсолютно сходится при всех s
и определяет голоморфную функцию на всем C.
e) Разбивая интеграл в определении Mf в сумму интегралов по промежуткам (0, 1] и
[1, +∞), а также пользуясь модулярностью f, покажите, что Mf (s) является целой функцией и удовлетворяет функциональному уравнению ik Mf (k − s) = Mf (s).
2