НЕГОЛОНОМНЫЕ КООРДИНАТЫ

А.В. Гохман
НЕГОЛОНОМНЫЕ КООРДИНАТЫ
учебное пособие
для студентов механико-математического факультета
Саратов 2009
2
Содержание
Введение
3
1. Понятие дифференцируемого многообразия
4
1.1. n−мерное вещественое пространство Rn
4
1.2. О понятии дифференцируемого многообразия
4
1.3. Некоторые примеры дифференцируемых многообразий
5
2. Касательные векторы к дифференцируемому многообразию. Касательное
пространство в точке.
6
2.1. Касательное отображение
7
n
2.2. О касательном пространстве к афинному пространству A
8
3. Векторные поля на дифференцируемом многообразии
8
3.1. Скобка Ли векторных полей
9
3.2. Понятие неголономных координат
9
4. Примеры неголономных базисов на многообразиях
12
5. Неголономное поле базисов как сечение расслоения касательных реперов 14
3
Введение
Настоящее учебное пособие предназначено для углублённого понимания
координатных функций векторных и тензорных полей на дифференцируемом
многообразии, включая евклидовы пространства. Введённое Декартом понятие
координат играло и играет большую роль как в механике, физике, геодезии и т.п.
Вместе с тем с развитием этих дисциплин идея координат с характеристиками
точек множества стала распространяться на более сложные объекты, такие как
векторы, скорости и тензоры. В этих случаях сначала координаты новых объектов
инициировались обычными системами координат на подходящих множествах.
Однако затем координаты, скажем векторов скорости, приобрели самостоятельное
значение и никак не были связаны с обычными координатами. В механике
А. Пуанкаре называл их квази-координатами, другие авторы - неголономными.
Пособие рассчитано на студентов математиков и механиков, изучающих векторный
и тензорный анализ.
4
1. Понятие дифференцируемого многообразия
В определении вещественного n−мерного дифференцируемого многообразия
важную роль играет n−мерное координатное или, как его еще называют,
арифметическое пространство Rn .
1.1. n−мерное вещественое пространство Rn . Пусть R - поле вещественных
чисел, которые мы будем обозначать малыми греческими буквами. Пусть, далее,
Rn = R
. . × R} - декартово произведение, называемое n−мерным вещественным
| × .{z
n
(или арифметическим) пространством. В этом пространстве естественным образом
определяется так называемая стандартная линейная структура.
Если α = (α1 , . . . , αn ), β = (β 1 , . . . , β n ) ∈ Rn , а λ ∈ R,
то α + β = (α1 + β 1 , . . . , αn + β n ) ∈ Rn , λα = (λα1 , . . . , λαn ) ∈ Rn .
В линейном пространстве Rn определяется стандартный базис (ei ) =
((0, . . . , 1, . . . , 0)) (единица стоит на i-м месте). Так что для всякого α = (α1 , . . . , αn ) ∈
n
P
Rn α =
αi ei .
i=1
Затем в пространстве Rn определяется скалярное произведение (α, β) = α1 β1 +
√
p
. . . + αn βn , а следовательно и метрика, и норма ρ(α, β) = (α − β)2 ; kαk = α2 , и
топология с базой состоящей из открытых шаров.
Пусть U - открытая область в пространстве Rn и ϕ : U → Rn отображение,
задаваемое системой уравнений: γ i = ϕi (α1 , . . . , αn ).
Это отображение называется частичным диффеоморфизмом класса Cr , если
выполняются условия:
1) pr2 ϕ - открыта,
2) ϕ - инъективно,
3) ϕ−1 ∈ Cr на pr2 ϕ.
∂ϕi
При этом выполнение условия 3) обеспечивается требованием J = | i | 6= 0 в
∂α
каждой точке области U .
Очевидно, что если ϕ, ψ - частичные диффеоморфизмы класса Cr , то таковым же
является их произведение ψ ◦ φ.
1.2. О понятии дифференцируемого многообразия. Пусть X - некоторое
множество мощности континуума. n−мерной локальной картой этого множества с
областью определения U называется взаимнооднозначное отображение κ : U → Rn с
условием, что вторая проекция этого отображения pr2 κ открыта в Rn . Так, если
множество X - есть двумерная сфера, то его 2-мерной картой будет проекция
полусферы без экватора на диаметральную плоскость, проходящую через экватор.
Совокупность K некоторого множества локальных карт множества X называется
r
C -дифференцируемым атласом, если
5
1)
S
pr1 κ = X,
κ∈K
2) (∀κ, χ ∈ K) χ ◦ κ −1 является частичным диффеоморфизмом класса Cr .
Два Cr атласа множества X называются эквивалентными, если их обьединение
снова является Cr атласом множества X. Объединение всех эквивалентных между
собой Cr атласов образует максимальный Cr атлас множества X и определяет
на множестве X дифференцируемую структуру класса Cr , и вместе с этой
структурой множество X называется n-мерным вещественным дифференцируемым
многообразием класса Cr .
Известно (См. Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. М., 1977)
что на множестве X в этом случае определяется наименьшая топология, в
которой все первые проекции карт являются открытыми, а сами локальные карты
являются частичными гомеоморфизмами. Обычно требуют, чтобы эта топология
была хаусдорфовой.
1.3. Некоторые примеры дифференцируемых многообразий. Если X n-мерное дифференцируемое многообразие класса Cr , а U - его открытое
подмножество, то это подмножество с атласом, состоящим из ограничений
локальных карт многообразия X на множество U , снова яляется дифференцируемым
многообразием того же класса.
Координатное пространство Rn является дифференцируемым многообразием
класса C ∞ , структура которого определяется атласом, состоящим из единственной
канонической карты на Rn . Ясно, что соответствующая топология является
хаусдрфовой.
Далее n-мерное аффинное (а значит и n-мерное евклидово) пространство является
дифференцируемым многообразием класса C ∞ , структура которого определяется
C ∞ атласом, состоящим из всех аффинных карт, так как согласование карт
определяется частичными диффеоморфизмами вида:
xi = Aik y k + Ai0 .
Пусть теперь X - двумерная сфера в пространстве R3 . Рассмотрим атлас,
состоящий из 6 вышерассмотренных карт, являющихся проекциями на координатные
плоскости кононической системы координат. Элементарные вычисления показывают,
что мы имеем дело с атласом класса C ∞ . Можно исходить из другого C∞
атласа, образованного двумя стереографическими проекциями. Эти два атласа как
показывают вычисления будут эквивалентными.
Интересный и важный пример дифференцируемого многообразия доставляет
ортогональная группа SO3 , к рассмотрению которой мы еще вернемся.
Дифференцируемая структура на множестве X позволяет ввести в рассмотрение
на этом множестве дифференцируемые функции. Пусть f - отображение X в R.
6
Это отображение называется дифференцируемой функцией в точке x ∈ X, если
для любой локальной карты κ, окружающей эту точку, представление функции f˜ =
f ◦κ −1 дифференцируемо. Под дифференцируемостью понимаетрся принадлежность
функции к классу Cr . Важно отметить , что в силу свойств дифференцируемого
многообразия достаточно выполнение указанного условия для одной кокой-нибудь
локальной карты. Заметим также, что всякая координатная функция ui локальной
карты κ(ui ) является дифференцируемой функцией, так как ее представление в
соответствующей карте имеет вид (u1 , . . . , un ) → ui .
Обобщая, отображение ϕ между дифференцируемыми многообразиями X n и
Y n называется дифференцируемым в точке x ∈ X, если в этой точке в любой
паре локальных карт κ ∈ K(X n ), χ ∈ K(Y n ) отображение ϕ
e = χ ◦ ϕ ◦ κ −1
является дифференцируемым. Отображение ϕ называется дифференцируемым, если
оно дифференцируемо в каждой точке.
2. Касательные векторы к дифференцируемому многообразию.
Касательное пространство в точке.
Покажем, что каждой точке n-мерного вещественного дифференцируемого
многообразия класса Cr , r ≥ 1 соответствует вполне опеределенное n-мерное
линейное пространство Tx .
Итак, пусть X такое дифференцируемое многообразие и x ∈ X. Введем в
рассмотрение какую-нибудь локальную карту κ в окрестности точки x и пусть
κ(x) = (ui0 ). Рассмотрим далее, дифференцируемый путь γ : (α, β) → X, такой что
его параметрические ¯уравнения имеют вид: ui = ui (t) и ui (0) = ui0 . Рассмотрим
dui ¯¯
. Посмотрим как изменяются эти числа при переходе к
n-ку чисел ξ i =
dt ¯t=0
другой карте χ(v α ) и пусть v α = f α (ui ). В новой карте уравнения пути имеют вид:
v α = f α (ui (t)) и, следовательно,
¯
¯
∂f α dui ¯¯
∂f α i
dv α ¯¯
α
=
,
т.е.
η
=
ξ.
dt ¯
∂ui dt ¯
∂ui
t=0
t=0
Рассмотрим теперь множество всех таких путей Γ. Оно не пусто, ему всегда
принадлежит путь ui = ui0 + tai . Введем в множестве Γ отношение “касания” ω.
¯
¯
dui2 ¯¯
dui1 ¯¯
=
γ1 ∼ γ2 ⇔
dt ¯
dt ¯
t=0
t=0
и покажем, что оно не зависит от выбора локальной карты. Это сразу следует из
выше приведенной формулы
¯
¯
∂f α dui ¯¯
dv α ¯¯
=
.
dt ¯
∂ui dt ¯
t=0
t=0
7
Очевидно, что отношение касания является отношением эквивалентности и мы
можем рассмотреть фактормножество Tx (X) = Γ/ω.
В множестве Tx (X) естественно определяется n-мерная линейная структура. Для
этого каждому классу из множества Tx (X) поставим в соответствие n чисел ξ i и тем
самым получим биекцию hκ : Tx (X) ↔ Rn . Тогда линейные операции определяются
следующим образом: если ξ1 , ξ2 ∈ Tx (X), то
−1
ξ1 + ξ2 = h−1
κ (hκ (ξ1 ) + hκ (ξ1 )) и λξ = hκ (λhκ (ξ)).
Нетрудно видеть, что эти определения не зависят от выбора локальной карты.
Полученное линейное пространство Tx (X) называется касательным пространством
к дифференцируемому многообразию в точке x, а его элементы - касательными
векторами к многообразию в точке x.
Пусть κ - локальная карта и hκ : Tx (X) → Rn . Тогда в пространстве Tx (X)
выделяется базис, являющийся прообразом при биекциии hκ канонического базиса в
пространстве
Rn . Этот базис называют локальным в точке x и обозначают символами
µ
¶
∂
. Эти векторы определяются координатными путями данной локальной карты.
∂ui
При преобразовании координат v α = f α (ui ) локальные координаты преобразуются
по формуле
∂f α ∂
∂
=
.
∂ui
∂ui ∂v α
Когда говорят о координатах касательного вектора в точке x, то, если не
оговорено противное, имеют ввиду координаты относительно локального базиса,
соответствующего данной локальной карте.
Удобно истолковывать касательный вектор к многообразию как специальный
линейный оператор в алгебре дифференцируемых функций на X.
Пусть f - дифференцируемая функция на дифференцируемом многообразии, и
пусть γ - путь, определяющий вектор ξ. Рассмотрим функцию F (t) = f (γ(t)) и ее
производную. Эта производная очевидно не зависит от выбора определяющего пути.
Таким образом мы получаем отображение ξ алгебры функций на X в пространство
R. Это отображение линейно и обладает свойством:
ξ(f g) = (ξf )g + (ξg)f.
∂
d
∂f i
∂f
i
В частности
f
=
f
(u
+
δ
t)
=
δ
=
.
0
k
k
∂ui
dt
∂ui
∂uk
Заметим, что если рассматриваемое многообразие принадлежит классу C ∞ , то
всякий такой оператор соответствует касательному вектору.
2.1. Касательное отображение. Пусть X n и Y m два дифференцируемых
многообразия класса Cr и пусть ϕ : X n → Y m дифференцируемое отображение.
Определим отображение ϕ∗ : Tx (X) → Tϕ(x) (Y ) формулой (ϕ∗ ξ)g = ξ(g◦ϕ), где ξ ∈ Tx ,
а g ∈ F(Y ).
8
Сначала покажем, что ϕ∗ (ξ) ∈ Ty (Y ). Для этого заметим, что ϕ∗ (ξ) является
касательным вектором, определяемым путем η = ϕ(γ). Откуда следует
ϕ∗ (ξ)g =
d
∂g ∂ϕα dγ i
(g(ϕ(γ))) = α
dt
∂v ∂ui dt
∂ϕα i
ξ.
∂ui
Заметим, что если ϕ : X → Y , а ψ : Y → Z, то (ψ ◦ ϕ)∗ = ψ∗ ◦ ϕ∗ .
Заметим также, что касательное отображение индуцирует
отображение форм.
и ϕ∗ (ξ)α =
касательное
2.2. О касательном пространстве к афинному пространству An . Мы
уже отмечали, что n-мерное аффинное пространство является n-мерным
диференцируемым многообразием класса C ∞ . Его дифференцируемая структура
может быть определена атласом аффинных координатных систем, каждая из
которых определяется началом O и базисом (ei ) ассоциированного линейного
пространства Vn . Итак, пусть κ = (O, (ei )) аффинная система координат в
пространстве An . µ
Как известно,
эта карта определяет в некоторой точке x ∈ An
¶
∂
. Этот базис вместе с базисом (ei ) очевидно определяет
локальный базис
∂xi
изоморфизм пространств Tx и Vn . И этот изоморфизм не зависит от выбора карты
κ в силу формул преобразования аффинных координат и формул преобразования
базисов. Наличие этого канонического отождествления пространств Tx и Vn позоляет
рассматривать евклидово пространство как риманово многообразие, если применить
касательное отображение к этому отождествлению к скалярному произведению в
пространстве Vn .
3. Векторные поля на дифференцируемом многообразии
Отображение, которое каждой точке дифференцируемого многообразия ставит в
соответствие касательный вектор в этой точке называется векторным полем на этом
дифференцируемом многообразии. Пусть κ локальная карта на дифференцируемом
многообразии X. Тогда
ее первой проекции соотносится n базисных векторов
µ точкам
¶
∂
локального базиса
. Тогда ограничение всякого векторного поля X можно
∂ui
разложить в каждой точке по этим базисам. Если коэффициенты упомянутого
разложения являются дифференцируемыми функциями (и так для каждой карты),
то говорят, что данное векторное поле является дифференцируемым и принадлежит
соответствующему классу Cs , s ≤ r. Если не оговорено противное, мы все
рассматриваемые векторные поля будем относить к классу Cr . Очевидно, что
множество векторных полей X(X) на дифференцируемом многообразии X является
линейным пространством над полем действительных чисел, а также модулем над
кольцом дифференцируемых функций этого многообразия. Очевидно, что поля
9
базисных векторов локальных базисов являютсядифференцируемыми векторными
полями на области pr1 κ.
3.1. Скобка Ли векторных полей. В этом пункте мы ограничимся рассмотрением
дифференцируемого многообразия класса C ∞ .
Пусть ξ и η два векторных поля на X. Определим поточечно новое векторное
поле на X, обозначаемое символом [ξ, η] и называемое скобкой Ли данных векторных
полей. Для этого рассмотрим в точке x оператор
[ξ, η]x f = ξ(ηf ) − η(ξf ).
Здесь мы учитываем, что ξf и ηf - дифференцируемые функции. Выражая этот
оператор в координатах мы получаем:
µ
µ
¶
¶ µ
¶
i
i
∂f
i ∂f
i ∂f
k ∂η
k ∂ξ
ξ(ηf ) − η(ξf ) = ξ η
−
η
ξ
=
ξ
−
η
.
∂ui
∂ui
∂uk
∂uk ∂ui
Но
последнее ¶ выражение можно рассматривать как действие вектора
µ
i
∂
∂ξ i
∂η
на функцию f . Тем самым мы устанавливаем, что оператор
ξ k k − ηk k
∂u
∂u
∂ui
[ξ, η]x определяет касательный вектор в точке x и одновременно получаем его
координаты:
∂η i
∂ξ i
[ξ, η]i = ξ k k − η k k .
∂u
∂u
Билинейная операция взятия скобки Ли обладает рядом формальных свойств,
которые доказываются непосредственно по определению или с помощью координат.
1) [ξ, η] = −[η, ξ];
2) [f ξ, gη] = f g[ξ, η] + f (ξg)η − g(ηf )ξ;
3) [[ξ, η], ζ] + [[η, ζ], ξ] + [[ζ, ξ], η] = 0.
Заметим, что скобку Ли векторных полей называют еще скобкой Пуассона (См.
Арнольд В.И. “Математические методы классической механики”).
3.2. Понятие неголономных координат. В математике и механике давно
используется понятие неголономных координат (у А.Пуанкаре - “квази-координат”).
Природа этих координат проясняется в рамках теории дифференцируемых
многообразий и теории главных расслоенных пространств.
Мы уже отмечали, что каждой локальной карте на дифференцируемом
многообразии X соответствует на ее области определения поле локальных базисов
∂
. Возникает вопрос, всякое ли поле базисов, определенное на некоторой открытой
∂ui
области многообразия может быть получено таким же образом, хотя бы в некоторой
окрестности каждой точки? В случае отрицательного ответа координаты векторного
(или вообще тензорного поля) относительно такого поля базисов называются
неголономными. Такие координаты существуют уже на евклидовой плоскости E2 .
Такой пример мы сейчас укажем.
10
Пусть κ(ρ, ϕ) полярная система координат на евклидовой полоскости E2 с
координатными функциями u1 = ρ, u2 =µ ϕ. На области
этой карты {u1 > 0; 0 <
¶
∂ ∂
,
u2 < 2π} = U индуцируется поле базисов
.
∂ρ ∂ϕ
Эти векторы в каждой точке, точнее в касательном пространстве в каждой точке,
U являются касательными векторами к координатным линиям: лучам ρ = t, ϕ = ϕ0
и окружности ρ = ρ0 , ϕ = t и, следовательно, они ортогональны друг другу. Однако,
они не образуют ортонормированного базиса. Действительно, так как полярные
координаты сязаны с соответствующими декартовыми координатами уравнениями:
x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ,
¯ ¯
¯ ∂ ¯
¯ ¯ = ρ. Нормируем в каждой точке второй вектор локального базиса
¯ ∂ϕ ¯
∂
1 ∂
и мы получим поле ортонормированных базисов ei =
, e2 = ∂ϕ
. Существует ли
∂ρ
ρ
на плоскости локальная карта χ(v α ), такая что
¯ ¯
¯∂ ¯
то ¯¯ ¯¯ = 1,
∂ρ
∂
∂
= e1 ,
= e2 .
1
∂v
∂v 2
∂
∂
Но тогда, если применить операторы 1 и 2 к дифференцируемой функции ϕ, то
∂v
∂v
мы получим
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
1
=
= 0,
= ,
1
2
∂v
∂ρ
∂v
ρ
а следовательно
∂2ϕ
∂ 2ϕ
=
6
.
∂v 1 ∂v 2
∂v 2 ∂v 1
∂
Таким образом поле базисов
неголономно. Возникает ворпос о критерии
∂v α
голономности и неголономности поля касательных (локальных) базисов.
Имеет место следующая теорема:
Теорема 1. Если (ei ) дифференцируемое поле базисов на открытом множестве
U дифференцируемого многообразия X и скобка Ли попарно взятых векторов этого
поля тождественно обращается в нуль на множестве U , то у каждой точки x ∈ U
сущестует окрестность Ox такая, что ограничение поля (ei ) на этой окрестности
голономно.
Для доказательства этой теоремы мы восползуемся условиями полной
интегрируемости системы дифференциальных уравнений в полных дифференциалах
(теорема Фробениуса).
Пусть дана система уравнений в полных дифференциалах
∂ϕi
= Fαi (x1 , . . . , xn , ϕ1 , . . . , ϕm ),
∂xα
i = 1, . . . , m, α = 1, . . . , n
(∗)
11
где искомыми являются функции ϕi . Эта система называется вполне интегрируемой,
если при задании начальных условий у системы (∗) имеется единственное решение
ϕi (xα ), удовлетворяющее условиям ϕi (xα0 ) = C0i .
Теперь сформулируем теорему Фробениуса.
Теорема 2. Для того, чтобы система в полных дифференциалах (∗) была вполне
интегрируема, необходимо и достаточно, чтобы тождественно выполнялись
условия
∂Fβi
∂Fαi
∂Fαi k ∂Fβi k
−
+
F −
F = 0.
∂xβ
∂xα
∂ϕk β
∂ϕk α
(Доказательство см., например, в книге Нарасимхан Р. “Анализ на действительных
и комплексных многообразиях”, “Мир”, 1971)
Вернемся к доказательству теоремы 1.
Доказательство.
Пусть x ∈ U , и κ система координат с координатными
i
функциями u , такая что x ∈ pr1 κ. Обозначим через eki координаты i-того векторного
поля ei относительно карты κ. Пусть далее χ другая локальная система координат с
координатными функциями v α , область определения которой также содержит точку
x. Обозначим через τiα координаты векторного поля ei относительно карты χ. Пусть
T
на пересечении W = pr1 κ pr1 χ рассматриваемые координаты связаны уравнениями
uk = Ψk (v α ).
Тогда, как известно, координаты векторных полей относительно карт κ и χ связаны
соотношениями
∂Ψk α
eki =
τ .
∂v α i
Считая, что карта κ наперед задана, потребуем от карты χ, чтобы выполнялись
условия
∂
= ei ,
∂v i
то есть, чтобы τiα = δiα . Поскольку выбор карты χ определяется функциями Ψk , мы
получаем систему дифференциальных уравнений вида
∂Ψk
= eki (Ψl (v j )),
i
∂v
то есть систему в полных дифференциалах, правые части которой не содержат
независимых переменных явно. Применяя к этой системе теорему Фробениуса,
получаем условия полной интегрируемости в виде
∂ekj m
∂eki m
e
−
e = 0.
∂um j
∂um i
Но левая часть полученного соотношения есть ничто иное, как выражение координат
скобки Ли [ei , ej ], которые, таким образом, обращаются в 0 тождественно на U .
12
И, таким образом, при выполнении этих условий рассматриваемая система имеет
решения. ¤
В случае произвольного поля базисов возникает система величин ckij :
[ei , ej ] = ckij ek ,
которые составляют так называемый объект неголономности, обращение в нуль
которого обеспечивает голономность поля (ei ).
Для
читателя,
знакомого
с
понятием
внешнего
дифференциала
дифференциальной формы можно указать на соотношение
1
d∗ ek = ckij ∗ ei ∧ ∗ ej ,
(∗∗)
2
где (∗ ek ) базис, взаимный к базису (ei ). Соотношение (∗∗) проверяется, например, с
помощью формулы Маурера-Картана
dα(ξ, η) = ξα(η) − ηα(ξ) − α([ξ, η]),
примененной к векторным полям ei , ek .
d∗ ek (el , em ) = el ∗ ek (em ) − em ∗ ek (el ) − ∗ ek ([el , em ]) = −ckij ;
¯
¯
¶
µ
1 k ¯¯ ∗ ei (el ) ∗ ei (em ) ¯¯
1 k∗ i ∗ j
− cij e ∧ e (el , em ) = − cij ¯∗ j
¯ = −cklm .
2
2 ¯ e (el ) ∗ ej (em )¯
4. Примеры неголономных базисов на многообразиях
Примерами неглономных базисов на дифференцируемых многообразиях могут
служить поля базисов, образованных левоинвариантными векторными полями на
группе Ли. Компоненты объекта неголономности здесь совпадают со структурными
константами группы.
Часто используются неголономные поля ортонормироанных базисов на римановом
пространстве. Если κ с координатными фукциями ui ортогональная
система
µ
¶
∂
координат с полем естественных (локальных) ортогональных базисов
, то от
∂ui
него переходят к полю ортонормированных базисов
1 ∂
∂ 1
,
ei =
√ =
i
∂u gij
λi ∂ui
где gij компоненты метрического тензора риманова пространства, λi так называемые
параметры Ламэ. Условия голономности полученного базиса принимают вид
¶ µ
¶¸
µ ¶
µ ¶
·µ
1 ∂
1 ∂
1
1 ∂
1
1 ∂
,
=
ej −
ei = 0
[ei , ej ] =
i
j
i
j
λi ∂u
λj ∂u
λi ∂u λj
λj ∂u λi
1
1
−
∂λ =
∂j λi = 0.
2 i j
λi λj
λj λ2i
13
Полученные неголономные координаты иногда (см. Победря “Тензорный анализ”)
называют “физическими”. Они используются в тензорном анализе.
Пусть, например, En евклидово пространство, отнесенное к криволинейной системе
координат с метрическими параметрами gij . Пусть далее ϕ скалярное поле на
пространстве En . Как известно, этому полю ставится в соответствие градиентное
поле gradϕ, определяемое соотношением
dϕ(ξ) = (gradϕ, ξ),
где ξ произвольное векторное поле на En . Тогда
(gradϕ)i = (gradϕ, ∗ ei ) = dϕ(∗ ei ) = dϕ(ej )g ji = g ji (ej ϕ).
Пусть g ij = 0, если i 6= j. Переходя к ортонормированному (неголономному) базису
получаем физические координаты
1 ∂ϕ
(gradϕ)i = i i .
λ ∂u
Если ρ, ϕ полярные координаты на плоскости, то, учитывая что в этом случае
1
g11 = 1, g12 = g21 = 0, g22 = ρ2 ; g 11 = 1, g 12 = g 21 = 0, g 22 = 2 .
ρ
В естественных полярных координатах
∂ϕ
1 ∂ϕ
(gradϕ)1 =
, (gradϕ)2 = 2
∂ρ
ρ ∂ρ
и в физических
∂ϕ
1 ∂ϕ
(gradϕ)1 =
, (gradϕ)2 =
.
∂ρ
ρ ∂ρ
Пусть теперь X = SO3 , пространство конфигураций твердого тела, вращающегося
вокруг неподвижной точки. Пусть далее x1 = ϕ, x2 = ψ, X 3 = θ углы
Эилера, играющие роль координатных функций в некоторой области X. Тогда на
пространстве U выбирается поле касательных базисов (см., например, Вагнер В.В.
Уч. зап. Саратов. ун-та, 1938г. т.I(XIV)).
1
1
e11 = sin x2 sin x3 , e21 = 0, e31 = cos x3 ,
2
2
1
1
e12 = cos x2 sin x3 , e22 = 0, e32 = − sin x3 ,
2
2
1
1
e13 = cos x3 , e23 = , e31 = 0,
2
2
µ
¶
∂ ∂ ∂
заданные своими координатами относительно локальных базисов
,
,
∂ϕ ∂ψ ∂θ
Это поле играет важную роль в динамике рассматриваемого твердого тела. С
его помощью удобно выражаются компоненты угловой скорости относительно
подвижного базиса и кинетическая энергия. Непосредственный подсчет показывает,
что [ei , ej ] 6= 0, что означает неголономность данного поля базисов.
14
5. Неголономное поле базисов как сечение расслоения касательных
реперов
Пусть X вещественное n-мерное дифференцируемое многообразие класса C r , r ≥
2. Рассмотрим в точке x упорядоченую систему (ei ) линейно независимых
касательных векторов к многообразию X, то есть базис в касательном пространстве
Tx (X). Упорядоченную пару r = (x, (ei )) мы будем называть касательным репером
многообразия с началом x и базисом (ei ). Множество всех касательных реперов
многообразия X будем обозначать символом R(X).
Определим отображение p : R(X) → X такое, что p((x, (ei )) = x. Упорядоченная
тройка ρ = (R, p, X) называется расслоением касательных реперов многообразия
X. При этом множество R(X) называется тотальным прстранством реперов,
отображение p - проекцией расслоения, многообразие X - базой расслоения ρ.
Множество p−1 (x) называется слоем расслоения ρ над точкой x. Слой p−1 (x)
можно отождествить с множеством всех базисов в линейном пространстве Tx . На
множестве касательных реперов n-мерного дифференцируемого многообразия класса
C r естественно задается структура дифференцируемого многообразия размерности
n + n2 и класса C r−1 .
Будем называть локальным сечением расслоения ρ дифференцируемое
отображение σ открытого множества U ⊂ X в пространство R(X), при условии, что
σ(x) ∈ p−1 (x).
Если в пространстве X задана локальная карта κ с pr1 κ = U , то возникает
естественное локальное сечение на множестве U
¶
µ
∂
.
κ→
∂ui
Это и есть голономное поле базисов на многообразии X. Если же локальное
сечение не может быть определено таким образом, оно является неголономным.
Существование неголономных сечений было доказано выше, также как и
формулировка условий такого сечения.