решение задачи дифракции электромагнитного поля на

либрационный вклад превышает ориентационный. С увеличением времени релаксации либрации их роль в усиление
слабого импульса уменьшается относительно ориентационного.
***
В данной работе проведено теоретическое исследование процесса попутно­
го ДВС в кубических средах с учетом молекулярных либрации. Получены
уравнения связанных волн, описывающие попутное ДВС. Рассмотрено явление
энергообмена между световыми импульсами, приводящее к усилению одного
из них. В случае, когда интенсивность одного из импульсов много больше ин­
тенсивности второго, с помощью метода последовательных приближений по­
лучены выражения, описывающие изменение интенсивности слабого импульса
и определяющие ориентационный и либрационный коэффициенты усиления.
Проведено компьютерное моделирование полученных выражений, построены
зависимости коэффициентов усиления от времени и от частотной расстройки
между импульсами. Показано, что в некоторой области частотных расстроек
усиление за счет либрации преобладает над ориентационным. С увеличением
времени релаксации либрации вклад последних в усиление слабого импульса
уменьшается относительно ориентационного.
1. В и н е ц к и й В.Л., К у х т а р е в Н.В., Одулов С.Г., Соскин М.С. // УФН.
1979. Т. 29. Вып. 1.С. 113.
2. Y е h. Р. // IEEE J. QE-25. 1989. № 3. Р. 484.
3. Чабан А.А. // ЖЭТФ. 1969. Т. 57. Вып. 4(10). С. 1387.
4. Mack М.Е. // Appl. Phys. Lett. 1968. Vol. 12. P. 329.
5. Afanas'ev A.A., Gubar N.B., Samson B.A. et al.// ICONO'95. 1995. Vol. 1. P. 164.
6. Iidem. // SPIE. 1995. Vol. 2800. P. 232.
7. A p a n a s e v i c h A . P . , Afanas'ev A.A., Gubar N . B . , U r b a n o v i c h A.I.// La­
ser Phys.1996. Vol. 6. № 6. P. 1050.
8.Губарь Н . Б . // ЖПС. 1997. Т. 64. №6. С. 841.
9. А ф а н а с ь е в А.А., Губарь Н . Б . , Вакульчик П.А., Урбанович А.И.//
Актуальные проблемы информатики: Сб. тр. VI Междунар. конф.: В 3 т. Мн., 1998. Т. 3. С. 585.
1 0 . А ф а н а с ь е в А.А., Губарь Н . Б . , Урбанович А. И. // ЖПС. 2000. Т. 67. № 3.
С. 398
11. C h e u n g А . С . , Rank D.M., Chiao R.Y., Townes С.N. // Phys. Rev. Lett.
1968. Vol. 20. № 15. P. 786.
12.Cubeddu R., P o l l o n i R., Sacchi C.A., Svelto О. // Phys. Rev. A. 1970. Vol. 2.
№5. P. 1955.
13. С т а р у н о в В. С. // ДАН СССР. 1968. Т. 179. № 1. С. 65.
Поступила в редакцию 02.11.2004.
Анатолий Александрович Афанасьев - член-корреспондент НАН Беларуси, доктор физикоматематических наук, профессор, первый заместитель председателя ВАК Республики Беларусь.
Александр Иосифович Урбанович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры
математической физики.
Физика
УДК 535.42:621.372
В.М. СЕРДЮК
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
НА ПОЛУПЛОСКОСТИ С ПОМОЩЬЮ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
The simple method of the solution of a diffraction problem of an arbitrary electromagnetic
beam on ideal conducting infinitely thin half plane with the help of the generalized functions is
proposed. The given solution is received as spectral integrals over propagation parameters of
various plane wave components of a falling field and more convenient for computation, than usual
recording of the similar solution through angular variables.
15
Физика
Задача дифракции электромагнитного поля на бесконечно тонкой идеально
проводящей полуплоскости относится к числу эталонных задач теории ди­
фракции, поскольку в ней рассматривается один из простейших составных мо­
дельных элементов дифракционных систем, и эта задача допускает строгое ре­
шение, представимое в достаточно компактном аналитическом виде. Впервые
такое решение для плоской падающей волны было найдено Зоммерфельдом
более сотни лет назад [1], а для падающего поля более общего вида решение
дифракционной задачи обычно строится путем суммирования отдельных ре­
шений для всех его плосковолновых компонент [2]. С тех пор решение Зоммерфельда постоянно используется в качестве наглядного примера строгой мо­
дели теории дифракции и служит критерием правильности новых математичес­
ких моделей, из которых оно выводится как частный случай (см., например, [3]).
Однако известные способы получения такого решения (см., например, [4-8])
представляются слишком сложными и громоздкими для неспециалистов и сту­
дентов. Это препятствует включению его в программу даже тех специальных
университетских курсов, где оно могло бы оказаться полезным и в фактиче­
ском, и в методологическом плане. В данной работе предлагается упрощенный
метод построения решения указанной задачи с привлечением обобщенных
функций. Такие функции давно и успешно используются в квантовой теории
поля [9], но в теории дифракции их применению уделяется незаслуженно мало
внимания.
В качестве примера обобщенной функции обычно приводят дельтафункцию Дирака
[10]. Ее можно представить в виде суммы двух обобщен­
ных функций:
[9], которые определяются следующим образом:
где символом 0 обозначается бесконечно малая положительная величина, при­
чем
На комплексной плоскости х каждая из этих функций имеет
только одну особую точку (простой полюс), расположенную на бесконечно ма­
лом смещении вниз (вверх) от начала координат. Применение данных функций
позволяет формализовать многие приемы решения граничных задач и упроща­
ет различные операции с фурье-преобразованиями. Например, пусть
- фурье-образ некоторой функции f(x), заданной для вещественного аргумента х,
причем
интегрируема на всей вещественной оси Тогда интегралы
есть два слагаемых, на которые разлагается функция
причем каждое из
них - это функция, аналитичная в нижней (верхней) полуплоскости комплекс­
ного переменного , и при
она стремится к нулю, как
. Интегралы (2)
представляют собой фурье-образы функций, получаемых из функции f(x) об­
нулением той ее части, которая определена на положительной (отрицательной)
полуоси аргумента х. Эти утверждения аналогичны теоремам, приведенным в
[8, 11], и легко проверяются прямой подстановкой (1) в (2), а также вычислени­
ем фурье-прообразов получающихся выражений.
Перейдем к рассмотрению дифракционной задачи. Пусть на идеально про­
водящую полуплоскость х=0,
падает поле в виде пучка электромагнитных
волн, частным случаем которого может быть единичная плоская волна (рису­
нок). Требуется определить суммарное стационарное поле, которое устанавли­
вается в результате дифракции заданного пучка на полуплоскости. Поэтому
предполагается, что поле монохроматическое и его зависимость от времени оп­
ределяется множителем
который будет опускаться. Заметим, что
16
Физика
плоскость х=0, содержащая проводник, разделяет
все пространство распространения поля на две об­
ласти:
и
При решении поставленной зада­
чи будем строить дифракционные поля в этих об­
ластях независимо друг от друга, а затем сшивать их
на данной плоскости с помощью граничных усло­
вий. Последние включают условие равенства нулю
тангенциальных компонент вектора электрического
поля на поверхности проводника, а также условия
непрерывности тангенциальных компонент электри­
ческого и магнитного векторов в точках, где его нет:
Помимо этого, следует потребовать, чтобы дифракционное поле оставалось
ограниченным по величине на бесконечно большом удалении от края полу­
плоскости.
Произвольно поляризованное падающее поле можно разложить на две ли­
нейные поляризации (H и E), для первой из которых электрический вектор на­
правлен перпендикулярно плоскости распространения
(т. е. в направлении
оси у), а для второй - параллельно данной плоскости. Это дает возможность
описать поле каждой поляризации всего одной скалярной функцией координат
[4-8]. Пространственные компоненты электрического и магнитного век­
торов H-поляризации можно выразить через эту функцию следующим образом:
(
- волновое число), а для E-поляризации
причем все остальные компоненты равны нулю. Разумеется, функции U у раз­
ных поляризаций различны; одинаковое обозначение для них используется ра­
ди единообразия последующих записей. Представления (4) будут удовлетво­
рять уравнениям Максвелла, если данные функции удовлетворяют скалярному
уравнению Гельмгольца [4-8]. Граничные условия для полевых функций U по­
лучаются после подстановки представлений (4) в граничные условия (3). От­
сюда в случае H-поляризации получаем:
а в случае E-поляризации будем иметь:
Полевую функцию в каждой из двух выделенных областей пространства
одновременно для обеих поляризаций представим следующим образом:
17
Физика
где
m=(1
1)/2. Здесь верхние знаки берутся для H-поляризации, а нижние - для E-по-
ляризации,
- фурье-образы падающего и дифракционного полей в
плоскости x=0, так что первые два слагаемых в правой части (8) описывают па­
дающее и отраженное от металла поле, а третье слагаемое - поле дифракции.
Чтобы это поле оставалось ограниченным на бесконечности х, необходимо вы­
бирать ветвь корня (10) с неотрицательной мнимой частью:
. Введение
подобного ограничения соответствует появлению на комплексной плоскости
двух разрезов [8]. Для вещественных k они описываются уравнением
, где t меняется от 0 до
, а для комплексных k эти разрезы пред­
ставляют собой части гипербол
, лежащие внутри интервала
. Если функцию
(10) представить в виде произведения
, то каждая из функций
или
будет отвечать только одному такому разрезу, проведенному в нижней
(верхней) полуплоскости , а на вещественной оси и в верхней (нижней) полу­
плоскости она оказывается аналитической и не имеет там нулей [6, 8].
Нетрудно заметить, что условие неотрицательности мнимой части
может
приводить к неограниченному возрастанию поля падающего пучка (8) при
. Однако это обстоятельство не противоречит физическому смыслу зада­
чи, поскольку данное поле будет возрастать в сторону его источников.
Выбранные представления (8) и (9) для полевой функции U слева и справа
от плоскости х=0 обеспечивают автоматическое выполнение граничных усло­
вий (6). Остается удовлетворить граничным условиям (5) и (7), которые после
подстановки в них представлений (8), (9) дают систему дуальных интегральных
уравнений [4-8]:
Умножим эти уравнения на
с некоторым
и проинтегрируем по
всем при которых справедливо каждое уравнение. Согласно определению (1)
получим:
Из второго уравнения (11) немедленно следует, что
, т. е. функция Q
аналитична в нижней полуплоскости, а из первого уравнения имеем:
где
- некоторая функция, аналитичная в верхней полуплоскости, которая
ведет себя на бесконечности как
. Разделим (умножим) последнее соотно­
шение на
и применим к обеим его частям операцию (2) выделения компо­
ненты, аналитичной в нижней полуплоскости:
18
Физика
Очевидно, что интеграл в правой части (12) равен нулю, в чем легко убедиться,
замыкая его контур интегрирования полуокружностью бесконечно большого
радиуса через верхнюю полуплоскость. Тогда
откуда
Тем самым найдено решение поставленной задачи для фурье-образа дифракци­
онного поля. Чтобы получить решение для полей в явном виде, надо (13) под­
ставить в (8) и (9):
Для вычисления этого интегрального выражения рассмотрим сначала вспо­
могательный интеграл
Возьмем две новые переменные интегрирования
где
. Поскольку
(16) преобразуется к виду:
где
, то с их помощью интеграл
- комплексные интегралы Френеля. В пределе при
для вспомогательного интеграла (18) получим:
Теперь преобразуем искомый интеграл (15), записывая его в виде
и используя метод дифференцирования по параметру
Тогда
Нижний предел интегрирования здесь берется равным
, поскольку для
этого значения выражение (19) обращается в нуль благодаря вещественной
части показателя подынтегральной экспоненты с малым положительным коэф­
фициентом 0.
19
Физика
Для вычисления интеграла (20) используем переменные интегрирования
и
(17),
но
теперь
в
качестве
функций
Для
них
, так что
где
- дополнительный интеграл Френеля. После
подстановки результата (21) в (14) получаем единую форму записи решения
для всех х:
где
Тем самым определено выражение для у-компоненты электрического (H-поляризация) или магнитного (E-поляризация) полного поля дифракции. Вычис­
ляя производные от него по координатам х и , согласно (4) найдем другие про­
странственные компоненты электрического и магнитного полей:
где п=(1 1)/2=1—т. Для непосредственного вычисления всех этих компонент
остается конкретизировать вид спектральной функции падающего пучка
и
вычислить интегралы (22), (23).
Если ограничить спектр данного пучка единственной плоской волной, т. е.
положить
где
- параметр распространения волны по оси
то все интегралы (22), (23) сведутся к своим подынтегральным выражениям
при
Тем самым наше решение перейдет в известное решение Зоммер-
фельда [1, 4-8]. Последнее обычно выражают через угловые переменные
которые связаны со спектральными и координатными переменными посредст­
вом соотношений:
Эти переменные используются с самого начала стандартной процедуры вывода
зоммерфельдовского решения, что при вычислении интегралов типа (16), (20)
требует выхода на комплексную плоскость угловых аргументов и нетривиаль­
ных преобразований контуров интегрирования [4-8]. Однако представленная
здесь процедура использует интегрирование только по вещественной оси пара­
метров распространения волн. Запись дифракционного решения в форме (22),
(23) непосредственно применима к случаям комплексных значений волнового
числа k и параметров распространения волн падающего поля, что соответствует
присутствию поглощения или усиления в среде, т. е. дифракции затухающих
волновых пучков. Кроме того, такая запись оказывается более удобной при
численных расчетах спектральных интегралов (22), (23) в случаях, когда па­
дающий пучок обладает сложной пространственной структурой.
20
Физика
l . S o m m e r f e l d A. //Math. Ann. 1896. В. 47. S. 317.
2. Х е с т а н о в P.X. // Радиотехника и электроника. 1970. Т. 15. № 2. С. 289.
3. В е с н и к М.В. // Радиотехника и электроника. 2000. Т. 45. № 1. С. 66.
4.Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М, 1973.
5.Хёнл X., Мауэ А., В е с т п ф а л ь К. Теория дифракции. М, 1964.
6. В а й н ш т е й н Л. А. Теория дифракции и метод факторизации. М, 1966. С. 393.
7. Л и т в и н е н к о Л . Н . , П р о с в и р н и н С. Л. Спектральные операторы рассеяния в за­
дачах дифракции волн на плоских экранах. Киев, 1984.
8. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М., 1974.
9. Б о г о л ю б о в Н.Н., Ширков Д . В . Введение в теорию квантованных полей.
М., 1973.
10. В л а д и м и р о в B.C. Уравнения математической физики. М, 1976.
1 1 . С в е ш н и к о в А.Г., Т и х о н о в А. Н. Теория функций комплексной переменной. М, 1974.
Поступила в редакцию 25.10.2004.
Владимир Михайлович Сердюк - кандидат физико-математических наук, ведущий
научный сотрудник лаборатории радиоголографии НИИПФП им. А.Н. Севченко БГУ.
21