Лекция 7. Тема: Закон сохранения импульса.

Лекция 7.
Тема: Закон сохранения импульса.
Импульс тела. Импульс системы тел. Основное уравнение динамики
поступательного движения. Импульс силы. Закон сохранения импульса. Центр масс.
Движение центра масс системы. Реактивное движение. Уравнение Мещерского.
 



p  mv измеряется кг  м . Изменение импульса p  p2  p1 . Из
с

dp 
второго закона Ньютона следует, что
 F . Данное выражение называется основным
dt

 
уравнением динамики поступательного движения. Или p  Ft . Ft - называется
импульсом силы и измеряется в Н*с. Если имеется график зависимости проекции силы,
действующий на тело от времени Fx(t), то площадь фигуры под графиком будет численно
равен импульсу данной силы.
Импульс системы материальных точек равен векторной сумме импульсов всех
 N

частиц, входящих в систему: P   mi vi
(7.1)
Импульс тела:
i 1
Рассмотрим систему из N материальных точек. Разобьем силы, действующие на
каждую частицу на внешние и внутренние: Fi –сила, с которой действуют на i-ю частицу
все внешние тела, не входящие в рассматриваемую систему, Fik- сила, с которой частица k
системы действует на частицу i. Закон изменения импульса примет вид:


dp 
(7.2).
 Fi   Fik (i  1,2 N )
dt
k
Сложим почленно уравнения 7.2 для всех частиц системы, тогда в левой части будет
скорость изменения полного импульса системы, а сумма для внутренних сил обратится в


нуль, так как согласно третьему закону Ньютона Fik   Fki . Из этого следует, что импульс
системы может изменяться только под действием внешних сил:



dP
(7.3)
  Fi  Fвнешн
dt
i
Мы получили закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы частиц остается

постоянным (не изменяется со временем)  p i  const
Центр масс.
Когда мы имеем дело с системой частиц, удобно найти такую точку –центр масс,
которая характеризовала бы положение и движение системы, как целого. Положение этой
N

mi ri


точки (С) можно задать с помощью радиус - вектора: rc  i 1N
(7.4)
 mi
i 1
N
Или в координатном виде: xc 
m
i 1
N
i
m
i 1
xi
(7.5), аналогично для других координат.
i
Центр масс совпадает с центром тяжести тела. Центром тяжести называется точка,
через которую проходит равнодействующая всех параллельных сил тяжести,
действующих на отдельные элементы тела.
 '
v
Так как скорость частицы i  ri

центра масс системы: vc 
m v
i 1
N
i
m
i 1
то можно вывести формулу для скорости движения

N
i
(7.6)
i


(аналогично для ускорения центра масс.) Импульс системы P  Mvc ,
(7.7),
где M – масса всех частиц, входящих в систему. Сравнивая 7.7 и 7.3, мы видим,
что скорость центра масс может изменяться только под действием внешних сил, а если
таковые отсутствуют, то центр масс изолированной системы движется в инерциальной
системе отсчета равномерно и прямолинейно, либо покоится.
Mac   F
внешн.
Это выражение теоремы о движении центра масс механической системы в векторной
форме, которая формулируется следующим образом.
Центр масс механической системы движется как свободная материальная точка, если в
ней сосредоточить массу всех точек, входящих в систему и приложить все внешние силы,
действующие на точки системы.
Пример 1. Человек переходит с носа на корму неподвижной лодки. На сколько
сместится лодка относительно воды, если ее длина L, масса M, масса человека m?
Решение. Сделаем рисунок и выберем систему координат.
Выразим координату центра
масс системы человек – лодка,
согласно формуле 7.4:
X M  0m
xc  л
M m
После перехода человека на
корму:
( X л  s)  M  ( L  s)  m
xc 
M m
Если лодка покоилась, то
положение центра масс
системы, согласно нашему
выводу не должно измениться.
Приравнивая два выражения получим: s 
mL
.
mM
Реактивное движение.
С помощью закона сохранения импульса легко объяснить принцип реактивного
движения. При сжигании топлива образовавшиеся газы с большой скоростью вылетают из
сопла двигателя, а ракета движется в противоположном направлении, причем суммарный
импульс системы остается неизменным.
Получим формулу, описывающую движение ракеты. Пусть скорость ракеты,
относительно неподвижной системы отсчета v. Если двигатель за время t выбрасывает
газы массой m со скоростью vотн – относительно ракеты, то относительно
сопутствующей инерциальной системы отсчета, связанной с ракетой (движущейся так же
со скоростью v) скорость ракеты станет v. Применим закон сохранения импульс (ЗСИ) к
замкнуто системе ракета + газы. Напишем его относительно сопутствующей системы
отсчета. Так как в начальный момент ракета и газы покоились, то полный импульс


системы равен 0. Поэтому
(7.8)
Mv  mvотн  0
M- масса ракеты. Полная масса сохраняется, поэтому масса выброшенных газов равна
убыли массы ракеты m+M=0. Разделив уравнение 7.8 на промежуток времени t

 m
v
получим: M
(7.9)
 vотн
t
t
Уравнение для движения тел переменной массы в отсутствии внешних сил. Правую часть

 dm

выражение можно представить, как реактивную силу Fр  vотн
 vотн (7.10).
dt
Реактивная сила направлена противоположно скорости истечения газов (нужно учесть,
что dm<0). -расход топлива (кг/c). Если, кроме реактивной, действуют и другие внешние

v 
m 
силы, то выражение 7.9 примет вид: M
(7.11)
 vотн
F
t
t
Это уравнение носит имя Мещерского. При заданном режиме расхода топлива m(t)
уравнение позволяет рассчитать скорость ракеты в любой момент времени.
Найдем зависимость между скоростью ракеты и массой израсходованного топлива
в отсутствии действия на ракету внешних сил. Спроецировав уравнение 7.9 на
v
m
направление движения, получим: M
(7.12)
 vотн
t
t
Переходя к пределам t  0
dm dm dv
подставляя это соотношение в уравнение 7.12, получим:


dt
dv dt
dm
1
(7.13)

M
dv
vотн
Если масса истечение газов неизменна, что довольно точно выполняется в современных
ракетах, то можно получить функцию M(v). В этом случае (при неизменной скорости
истечения газов) производная в левой части уравнения пропорциональна самой функции
M(v). Такому решению удовлетворяет только экспоненциальная функция, то
есть M
 M 0e

v
vотн
, где M0- начальная масса ракеты.
Отсюда следует вывод о целесообразности
многоступенчатых ракет.
Пример2. Решение задач на движение тела переменной массы.
Платформа массой M начинает двигаться под действием постоянной силы F. Из
неподвижного бункера на нее высыпается песок. Скорость погрузки постоянна и равна 
кг/с. Найти зависимость ускорения а от времени в процессе погрузки. Определить
ускорение а1 платформы в случае, когда песок высыпается через отверстие в дне
платформы со скоростью .
(mv)
 F . Учитывая, что начальный импульс
t
платформы равен 0 получим зависимость импульса от времени mv=Ft. Так как m=M+t,
Ft
то зависимость скорости от времени примет вид v 
, беря производную по
M  t
FM
времени получаем a 
.
( M  t ) 2
Для ответа на второй вопрос воспользуемся уравнением Мещерского 7.11. Так как vотн=0


F
v
запишем m
 F или ma=F. Учитывая, что m=M-t, получим a1 
M  t
t
Решение. 1) воспользуемся уравнением