Динамика тела переменной массы

ДИНАМИКА
МАТЕРИАЛЬНОЙ
СИСТЕМЫ
ЛЕКЦИЯ 5:
ДИНАМИКА ТЕЛА ПЕРЕМЕННОЙ
МАССЫ
1. Изменение количества движения
тела переменной массы
Под телом переменной массы понимается тело, масса которого
изменяется вследствие процесса отделения от него или присоединения к
нему материальных точек
dm
Q  t   M (t )V(t )  v dm
Q  t  dt   M (t  dt )V(t  dt )  v dm
dQ  d
dm
dm
Fe 
  MV   v 
 v
dt
dt
dt
dt
Теорема об
изменении
кол. движ.
t
M (t )
v
M (t  dt )
dm
t  dt
v
Q
dm
dm
dQ
 Fe  v   v 
dt
dt
dt
Теорема об изменении
количества движения тела
переменной массы
2. Уравнение Мещерского
dm
dm
dQ
 Fe  v
 v
dt
dt
dt
dm
dm
dm
mw  v
 Fe  v
 v
dt
dt
dt
mw  F e   v   v 
dm
dm
  v  v  
dt
dt
mw  F  Φ Φ    v   v 
e
Q  mv
dm dm dm


dt
dt
dt
Уравнение Мещерского
dm
dm
  v  v  
dt
dt
Реактивная сила
Наибольший технический интерес (ракеты) представляет отделение частиц
Φ
mw  F e   v   v 
dm
dm
dm
 Fe   v  v 
 F e  v отн
dt
dt
dt
0
Φ направлена в сторону, противоположную v отн
3. Задача Циолковского
В пренебрежении всеми внешними силами (гравитация, сопротивление
атмосферы) движение ракеты описывается уравнением
dv
dm
m
 vотн
dt
dt
m0 - начальная масса ракеты
dm
dv  vотн
m* - масса ракеты без топлива
m
m
z - число Циолковского
v  vотн ln m  C  vотн ln 0
m
Формула
Циолковского
vmax  vотн ln z
z
m0
m*
4. Задача Циолковского: оценки
vmax  vотн ln z
vотн
м
 2500
с
vmax  8000
m0
z
m*
м
м
м
 1000  9000
с
с
с
первая космическая потери на гравитацию,
сопротивление,…=10-15%
скорость
z  exp(vmax / vотн )  exp  9000 / 2500  exp(3.6)  42.5
масса топлива должна составлять 98% начальной массы ракеты
Вывод : получение космических скоростей с помощью одноступенчатой
ракеты в настоящее время вряд ли возможно
5. Двухступенчатая ракета
1
1-й этап: выгорание 1-й ступени
 vmax 
начальная масса
mпг  m01  m02
 ln

  ln
1
2
v
масса
в
конце
1
этапа
m

m

m
пг
*
0
 отн I
mпг - масса полезного груза

Обозначения:
m0i - начальная масса i-ой ступени
m*i - масса i-ой ступени без топлива
2-й этап: выгорание 2-й ступени
 vmax 
 vmax 
начальная масса на 2 этапе
mпг  m01  m02
mпг  m02
 ln
 ln

 
  ln
1
2
2
v
v
масса
в
конце
2
этапа
m

m

m
m

m
пг
*
0
пг
*
 отн II  отн I
 vmax 
1 M
1  (1   ) M

V
(

,
M
,
z
)

ln

ln


v
1  (1   ) M   z 1M
1  (1   ) z 1M
 отн II
m01  m02 масса бесполезного груза
M

mпг
масса полезного груза
m01
 1
m0  m02
m01 m02
z 1  2
m* m*
m02
1  1
m0  m02
6. Двухступенчатая ракета: как
распределить массу по ступеням

Оптимизация распределения масс по ступеням V ( , M , z ) 
 max
1

V ( , M , z )  ln
1 M
1  (1   ) M

ln
1  (1   ) M   z 1M
1  (1   ) z 1M
z 1  1 M

V
M
z 1M




1  (1   ) M   z 1M 1  (1   ) M 1  (1   ) z 1M
z 1  1 M
z 1  1 M




1  (1   ) M   z 1M 1  (1   ) M  1  (1   ) z 1M 
V
 0   1  (1   ) M   z 1M   1  (1   ) M  1  (1   ) z 1M   0

1  (1   ) z 1M  (1   ) M  (1   ) 2 z 1M 2
(1   )2 M  1  2  0    1 
1  1  4M
1
 1
2M
M
M
1
7. Двухступенчатая ракета:
каков выигрыш?
1  (1  opt ) M
 vmax 
1 M

V
(

,
M
,
z
)

ln

ln


opt
v
1  (1  opt ) M  opt z 1M
1  (1  opt ) z 1M
 отн II
1
 ln

opt  1 
1
M
M
1 M
M

ln

2ln
 2ln z
1
1
1
1 M  z M
1 z M
1 z M
M
z
Оптимум характеризуется тем, что приращение скоростей
на обоих этапах полета одинаково
Оценка
z  exp(vmax / 2vотн )  exp 1.8  6.5
Для одноступенчатой ракеты
vmax
mпг  m01  m02
1 M
 ln

ln
 ln z
1
2
1
vотн
mпг  m*  m*
1 z M
z  exp(vmax / vотн )  exp 3.6  42.5
8. Задача о ракете в поле
силы тяжести
Ракета движется вертикально вверх в поле силы тяжести с постоянным
ускорением (k  1) g . Найти высоту подьема.
k -к-т перегрузки
1-й этап : вплоть до времени выгорания топлива
m
m
kgt  vотн ln 0
m
m
Топливо должно расходоваться по
 kg 
m
 exp  
t
экспоненциальному закону
m0
 vотн 
2
2
vотн
v
ln
z
k

1
k

1
tfin 
ln z
vfin 
vотн ln z
hfin  2 отн
kg
k
k
2g
2-й этап : свободный полет
2
m(k  1) g  mg  vотн m
kg  vотн
2
2
k  1 vотн

ln 2 z
vfin
hII 

2g
k2
2g
2
vотн
ln 2 z
k 1
h  hfin  hII 
 H max
H max 
k
2g
9. Задача о ракете в поле
силы тяжести
k 1
h  hfin  hII 
 H max
k
H max
2
vотн
ln 2 z

2g
Наилучшая стратегия: выбрать все топливо как можно быстрее
k    h  H max
Мгновенное сгорание топлива
При ограничении перегрузки неизбежен проигрыш в высоте