Градиент и производная по направлению




1) Дана функция z  2 x  3 xy  y , точка A  2 ; 1 и вектор a  3i  4 j .
2
2
Найти:
а)
grad z в точке A ;
б) производную функции в точке

A по направлению вектора a .
а)
Определение. Градиентом скалярного поля u  x, y , z  называется векторная функция
u  u  u   u u u 
i
j k  ;
;
.
x
y
z
 x y z 
z  z   z z 
Для функции двух переменных grad  z  
i
j  ; .
x
y
 x y 
grad  u  
Смысл. Функция (скалярная функция) ≡ скалярное поле. Градиент функции ≡ скорость изменения функции в
конкретной точке; величина векторная.
Градиент функции есть вектор, направление которого указывает направление наибыстрейшего возрастания
функции, а модуль равен наибольшей скорости изменения функции в определённой точке. Строго говоря,
градиент является направленным отрезком (фиксирован в фиксированной системе координат, в то время как
вектор (свободный вектор) есть класс эквивалентности направленных отрезков).
В произвольной точке P  x ; y  :
z
 4x  3 y
x
z
 3x  2 y
y
grad  z  
z  z   z z 
i
j  ;
  4x  3 y ; 3x  2 y 
x
y
 x y 
В точке A  2 ; 1 :
z
x
z
y
 11
A
8
A
grad  z 
A


 11i  8 j   11 ; 8 
б)

Определение. Производная функции z по направлению a - это алгебраическая проекция вектора grad  z 

на направление a :
z
 grad  z   cos 
a
где


- угол между векторами grad  z  и a .

grad  z   a
z
Поскольку cos  
 , то в точке A получаем
a
grad  z   a

grad  z    a



A
A
a
.
1 Ранее был найден grad  z 
z
a
A

  11 ; 8  ; направление задано вектором a   3 ;  4  ; и тогда в точке A

grad  z    a 11  3  8   4  1





A
32   4 
a
A
2
5
Литература:
1) Письменный Д.Т. "Конспект лекций по высшей математике", 2005, стр. 502 (производная по направлению), стр. 504 (градиент
функции);
2) Бутузов В.Ф. и др. "Математический анализ в вопросах и задачах", 2001, стр. 385 (градиент функции).
x 
2
 sin 
  z  3 y  2 x и точки P  2 ; 1 ; 1 и Q  2 ; 4 ; 1 . Найти:
 z 

а) производную данной функции в точке P по направлению вектора PQ ;
u  x , y , z   ex
2) Дана функция
б) grad u
P
2
y 2
.

PQ  4 ; 3 ; 0
В произвольной точке P  x ; y ; z  :
2
2 
u
1
x  
  x 
 e x  y   2 x  sin 
   cos 
 
x
 z  z
 z 

z 2  3 y  2x
3
u
  x  x 2y 2
 2 y  sin 

e
y
 z 
2 z 2  3 y  2x
z
x
u
  x  x 2y 2
  2  cos 

e
z
z
 z 
z 2  3 y  2x
В точке P  2 ; 1 ; 1 :
u
x
u
y
u
z
 e2
2
1 2
P
P

 2
  2  2  sin 
 1

 2
 2  1  sin 
 1

P
 
 2
   cos 
 1
 1
1
2

 e3 
 
4

12  31 2 2
3
3 2
 2 2 1 2


e
8

2 12  31 2 2
2
1
2
 2  2 2 1 2
cos


 2 e 3 

e
2
4
1
 1 
12  31 2 2
Градиент функции в произвольной точке P  x ; y ; z  :
grad  u  
u  u  u 
i
j k
x
y
z
Градиент функции в точке P  2 ; 1 ; 1 :
grad  u 
P

u
x
 u
i
y
P
P
 u
j
z
  2
  3 2   2
 
k  
  e 3   i 
 j  
 2 e 3   k
8
P
 4

 4

2 
Производная функции u  x , y , z  по направлению a в точке
u
a
u
a

P

P
grad  u 

a
grad  u 

a
P
P

a

a
P:
 2

 2

3 2
  e 3    4  
3 
 2 e 3   0

4
8

 4
 

2
2
2
 4   3  0

 2  4 e 3 
5
9 2
8  1   9 2  2  4 e 3 


5  8

Литература:
1) Пяткова В.Б., Рузаков В.Я., Турова О.Е. "Математика, 3-й семестр", методичка УрГГУ (горный институт, Екатеринбург), 2005, стр.
18.

 
A  2 ; 1 и вектор a  i  2 j . Найти:
а) наибольшую скорость возрастания функции в точке A ;

б) скорость изменения функции в точке A по направлению вектора a .
2
3) Даны функция z  5 x  6 xy , точка
а)
Наибольшая скорость возрастания функции в указанной точке = модуль градиента функции в этой точке.
В произвольной точке P  x ; y  :
z
 10 x  6 y
x
z
 6x
y
z  z   z z 
j  ;
grad  z   i 
   10 x  6 y ; 6 x 
x
y
 x y 
В точке
A  2 ; 1 :
z
x
 26
A
z
y
grad  z 
grad  z 
 12
A
A


 26 i  12 j   26 ; 12 
A
 26 2  12 2  2 205 - наибольшая скорость возрастания функции в точке A .
3 б)
Ранее был найден grad  z 
A

  26 ; 12  ; направление задано вектором a   1 ; 2  ; и в точке A :

grad
z

a




26  1  12  2
z


 10

A
a
a
2
1 2
2
5
- скорость изменения функции (производная функции) в точке

A по направлению вектора a .
Литература:
1) Письменный Д.Т. "Конспект лекций по высшей математике", 2005, стр. 502 (производная по направлению), стр. 504 (градиент
функции);
2) Бутузов В.Ф. и др. "Математический анализ в вопросах и задачах", 2001, стр. 385 (градиент функции);
3) Тыртышников Е.Е. "Матричный анализ и линейная алгебра", 2007, стр. 86 (направленные отрезки и векторы).
4) Определить градиент z и норму градиента z в точке
Градиент функции
M  5 ; 7  для функции z  7  5 x 2  10 y 2 .
z обозначается как grad z или символом z .
Символический вектор (в декартовой системе координат)  
     
i
j  k называется оператором
x
y
z
Гамильтона (или набла-оператором). Он обладает как свойствами вектора, так и свойствами
дифференциального оператора. С его помощью выражения для градиента, дивергенции и ротора можно
кратко записать в следующем виде:
grad u   u ,


div F   F ,


rot F   F .
► В произвольной точке M  x ; y  :
z

 7  5 x 2  10 y 2  x  10 x
x
z

 7  5 x 2  10 y 2  y  20 y
y
z  z   z z 
z  i 
j  ;
   10 x ;  20 y 
x
y
 x y 
В точке M
 5 ;7  :
z
x
z
y
z
 10   5   50
M
 20  7  140
M
M


 50 i  140 j   50 ;  140 
► Норма градиента функции z в точке M  5 ; 7  (длина вектора z ):
2
z   5   7 2  74
Литература:
1) Данко П.Е. и др. "Высшая математика в упражнениях и задачах", 2003, часть 2, стр. 58 (оператор Гамильтона).
4