Первообразная

1
Лекция 1.
Тема: «Первообразная».
Цель урока:
Знать определение первообразной, признак постоянства функции,
основное свойство первообразной, таблицу первообразных, три правила
нахождения первообразных.
Уметь проверять, является ли данная функция F первообразной для
другой заданной функции f на данном промежутке; уметь находить
первообразную, график которой проходит через данную точку; уметь
находить первообразные функции в случаях, непосредственно
сводящихся к применению таблицы первообразных и трех правил
нахождения первообразных.
1.Определение первообразной.
Тесную связь понятия производной с механикой подчеркивает
механический смысл производной: если задана координата точки как
функция от времени (при движении точки по прямой ), то скорость точки
есть не что иное, как производная координаты по времени, а ускорениепроизводная скорости. Однако для механики такая ситуация не типична.
Обычно законы механики позволяют определить силу, действующую на
тело (или материальную точку), а следовательно, и ускорение в каждый
момент времени.
Таким образом, приходится решать обратную задачу: по известному
ускорению найти скорость и координату точки (как функции по
времени).
В таком виде решение не однозначно, и приходиться задавать
некоторые дополнительные условия; обычно это координата и скорость
точки, в какой-либо момент времени, после задания ,которых решение
становится однозначным.
2
В механике обычно известна сила, действующая на тело, в каждый
момент времени. А следовательно можно определить ускорение, а
значит скорость и координату. При этом решается задача: по известной
производной найти функцию.
При решении подобных задач используется операция интегрирования
– нахождения функции по её производной.
Первообразная для функции f задана на промежутке, на котором
определена функция f, причем первообразная F дифференцируема в
каждой точке этого промежутка.
Приведем пример из физики (механике). В начальный момент
времени t=0, скорость тела равна 0, то есть V(0)=0. При свободном
падении тела в момент времени t пройдет путь S(t)=
𝑞𝑡 2
2
. Эта формула
была найдена Галилеем экспериментально.S/(t)=V(t)=g(t). V/(t)=a(t)=q, то
есть ускорение постоянно.
Типично для механики иное положение: известно a(t)→ V(t) → S(t). По
заданной производной V/(t)=a(t), надо найти V(t), а затем по
производной S/(t)=V(t), найдем S(t).
Для решения таких задач служит операция интегрирования, обратная
операции дифференцирования.
Определение.
Функция F называется первообразной для функции f на заданном
промежутке, если для всех х из этого промежутка F/(х)= f(х).
Пример 1.
𝑥2
F(х)= , есть первообразная для функции f(х), на интервале (−∞; ∞),
2
так как
𝑥
F/(х)=(
2
2
1
)/= × 2х = х = f ( х ).
2
3
Но
𝑥2
2
+3 или
𝑥2
2
-3 имеют ту же самую производную f (х)= х, поэтому
они являются также первообразными для функции f ( х )=0, бесконечно
𝑥2
множество решений. F(х)= +с- первообразная для функции f ( х )= х.
2
Пример 2.
Для функции f ( х )=
3
2√х
на интервале (0; ∞) первообразной является
функция F(х)= 3√х, так как F/(х)=( 3√х)/=
3
2√х
= f ( х ).
F(х)= 3√х+с при любом постоянном с есть первообразная для функции
f ( х )=
3
2√х
на том же интервале (0; ∞).
Рассмотрим пример 3 учебника стр.175.
2.Основное свойство первообразной.
Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все её
первообразные.
Признак постоянства функции.
Если F/(х)=0 на некотором промежутке J, то функция F – постоянна на
этом промежутке.
Доказательство:
Возьмем х0∈ J. Дано F/(х)=0. Доказать: F – постоянна, тогда для любого
х∈ J ( используя формулу Лагранжа) можно указать такое число с,
заключенное между х и х0, что F(х)- F(х0)= F/(с)(х-х0). По условию F/(с)=0,
так как с∈ J, следовательно, F(х)- F(х0)=0. Итак, для всех х из промежутка
J F(х)=F(х0), т.е. функция F сохраняет постоянное значение.
4
Основное свойство первообразной.
Теорема: «Любая первообразная для функции f на промежутке J может
быть записана в виде F(х)+с, где F(х)- одна из первообразных для
функции f(х) на промежутке J, а с- произвольная постоянная».
Доказательство:
1) По условию F- первообразная для f на промежутке J. Следовательно
F(х)=F(х0), для х∈ J, поэтому (F( х )+с)/= F/(х)+с = f ( х )+0= f ( х ), то есть
F( х )+с первообразная для функции f.
2) Пусть 𝜑(х)- одна из первообразных для функции f на том же промежутке J,
то есть 𝜑(х)= f ( х ), х∈ J. Тогда (Ф(х)- F( х ))/= Ф/(х)- F/( х)= f ( х )- f ( х )=0.
Отсюда следует, в силу признака постоянства функции, что разность
Ф(х)- F( х ), есть функция , принимающая некоторое постоянное значение
с на J.
Вывод.
Таким образом для всех х∈ J справедливо равенство Ф(х)- F( х )=0.
Геометрический смысл основного свойства первообразной:
Графики любых двух первообразных для функции f получаются друг от друга
параллельным переносом вдоль оси ОУ. Рассмотреть рис. 118 стр.178
учебника.
Посмотреть таблицу первообразных
пользоваться ей на практике.
в
справочнике
и
3. Три правила нахождения первообразной.
Функция
Первообразная
f+q
F+ Q
кf
кF
1
к
f (кх+в)
F( кх + в )
научить
5
Правило 1.
Если F есть первообразная для функции f, а Q- первообразная для функции q, то
F+ Q= f + q.
(f + q)/= F/+ Q/= f + q.
Правило 2.
Если F есть первообразная для функции f, а к - постоянная, то функция кFпервообразная для к f
(кF)/= к F/= к f.
Правило 3.
Если F(х) есть первообразная для функции f(х), а к и в постоянные, причем к≠ 0,
то
1
к
F ( кх + в ) есть первообразная для f (кх+в).
1
1
к
к
( F ( кх + в ))/=
F /( кх + в )× к = f (кх+в).
Рассмотреть примеры учебника 1-5.
4. Решение опорных заданий.
Пример 1.
Докажите, что F(х)=F/(х)=(-
1 −6 /
х )=
6
-
1
6
1 −6
х 6
первообразная для f(х)= х−7 .
(х−6 )/= -
1
6
× (−6)х−7 =х−7 = f(х).
Пример 2.
Докажите, что F(х)=х-2+2- не является первообразной для f(х)=
1
2х3
, где х∈ (0; ∞).
2
F/(х)=(х-2+2)/= (х-2)/+2/=-2х-3+0=- 3 ≠ f(х).
х
Ответ: не является.
Пример 3.
Дана функция f (х)=sin х. Является ли F(х)=-cos х + 4 первообразной?
F/(х)=(-cos х + 4)/=(-cos х)/=sin х= f (х). Ответ: да.
6
Пример 4.
f (х)= х+cos х. Найти первообразную в общем виде.
𝑥2
F(х)=
+ sin х + с.
2
F/(х)= (
𝑥2
2
+ sin х + с)=х+cos х + 0 = f (х).
Ответ: F(х)=
𝑥2
2
+ sin х + с.
Пример 5.
f (х)=sin х. Найдите первообразную для данной функции,
условию F(-𝜋)=-1.
F(х)=-cos х + с;
удовлетворяющую
-cos(−𝜋) + с = −1; 1+с=-1; с=-2. F(х)=-cos х − 2.
F(х)=-cos х − 2.
Ответ:
Пример 6.
f (х)=-
2
х5
1
+
. Найдите первообразную.
cos2 (3х−1)
1
1
1
tan(3х−1)
2
3
2х
3
F(х)= х−4 + tan(3х − 1) + с=
Ответ: F(х) =
1
2х4
+
tan(3х−1)
3
+
4
+ с.
+ с.
Пример 7.
1
f (х)= 3 − 10х4 + 3. Найти первообразную, проходящую через точку М(1;5).
х
х−2
F(х)=
−
−2
1
2𝑥 2
−
10х5
5
+ 3х + с = −
1
2𝑥 2
− 2х5 + 3х + с.
1
1
1
2
2𝑥 2
− 2х5 + 3х + с=5; - -2+3+с=5; с=4 ; F(х)= −
Ответ: F(х)= −
2
1
2𝑥 2
1
− 2х5 + 3х + 4 .
2
1
− 2х5 + 3х + 4 .
2
7