3. Основные типы движения

3. Основные типы движения
3.1. Равномерное прямолинейное движение
Это самый простой вид механического движения из всех, который характеризуется бесхитростным уравнением
r
v = const .
(3.1)
Равномерность движения предполагает постоянство скорости по модулю, а прямолинейность −
по направлению. Формулу для определения средней скорости (2.17) для данного типа движения
можно представить так
v=
r
r
Δr
Δx
=
, Δr = r .
Δt t 2 − t1
(3.2)
Для любого момента времени уравнение равномерного прямолинейного движения записывается следующим образом
x (t ) = x 0 + vt .
(3.3)
На рис. 3.1 приведены графики зависимости скорости и проходимого пути от времени для
случая х0 = 0
Рис. 3.1. Зависимость скорости и пути от времени при
равномерном прямолинейном движении с х0 = 0
Если точка начитает движение не с начала системы отсчёта, т.е. х0 ≠ 0, то возможны два случая,
которые математически можно представить так
(рис. 3.2)
(3.4)
x (t ) = x 0 + vt, x (t ) = x 0 − vt .
Напомним, что совмещение геометрических
образов (прямых, окружностей, эллипсов, треугольников и т.д.) и алгебраических уравнений типа (3.4), введённое в обращение Рене Декартом,
позволяет алгебраическими методами и методами
дифференцирования и интегрирования решать
многие задачи классической механики
Рис. 3.2. График движения x(t) = x0 ± vt
45
Пример № 1. Спортсмены бегут колонной длины L со скоростью v. Навстречу бежит
тренер со скоростью u < v . Каждый спортсмен, поравнявшись с тренером, разворачивается и
начинает бежать назад с той же по модулю скоростью v . Какова будет длина колонны, когда
все спортсмены развернутся?
1. Движение колонны спортсменов и тренера происходят с постоянными скоростями, т.е. в
данном случае речь идёт о двух равномерных прямолинейных движениях (рис. 3.3.). Скорость
относительного движения колонны и тренера определится как v1 = v + u;
2. Время, в течение которого колонна перестраивается
Δt =
L
.
v+u
(1)
3. Скорость разворота (перестройки)
колонны
(2)
v2 = v − u .
4. Длина, колонны бегущей в сторону
тренера
L∗ = v 2 ⋅ Δt = L
v−u
.
v+u
(3)
Рис. 3.3. Схема движения спортсменов
Пример №2. С подводной лодки, погружающейся вертикально и равномерно, испускаются
звуковые импульсы длительности τ0. Длительность приема отраженного от дна импульса τ.
Скорость звука в воде с. С какой скоростью v погружается подводная лодка?
1. Скорость движения импульса от лодки к дну
c+v =
h
.
τ0
(1)
2. Скорость движения отражённого от дна импульса
c−v =
h
.
τ
(2)
3. Поделим уравнения (3.8) и (3.9) друг на друга
c+v τ
= ,
c − v τ0
Рис. 3.4. Погружение лодки
(3)
откуда следует, что
v = c⋅
τ − τ0
.
τ + τ0
46
(4)
Пример № 3. Два стержня пересекаются под углом 2α и движутся с равными скоростями v
перпендикулярно самим себе. Какова скорость точки пересечения стержней?
1. Определим перемещение точки пересечения стержней
r
u Δt
r
,
Δr =
sin 2α
(1)
r
u = v 2 + v 2 + 2v 2 cos(2α ) ,
(2)
или
u = v 2 1 + cos 2α .
(3)
2. Из тригонометрии известно, что
1 + cos 2α = 2 cos 2 α ,
(4)
поэтому
u = v 2 2 cos 2 α = v 2 cos α .
(5)
3. Скорость точки пересечения стержней, с учётом
уравнений (3.12) и (3.16) определится как
v0 =
Рис. 3.5. Движение стержней
u Δt
2 v cos α
2 v cos α
v
.
=
=
=
sin 2α
2 sin α cos α sin α
Δt sin 2α
47
(6)