Оболочки ядра. Модель ядерных оболочек 1. Оболочечное

Оболочки ядра. Модель ядерных оболочек
1. Оболочечное строение ядра
Атомное ядро представляет собой квантовую систему многих тел, сильно
взаимодействующих друг с другом. Поэтому описание такой системы, исходя
из первопринципов, является трудной задачей. С одной стороны, число
нуклонов в ядре не столь велико, чтобы можно было использовать методы
статистической физики. С другой стороны, распространение микроскопических
расчетов даже на системы 3, 4, 5 нуклонов встречает принципиальные
трудности. Кроме того, мы знаем, что основные строительные блоки ядра —
протон и нейтрон — являются сложными структурными образованиями трех
валентных кварков. Поэтому последовательное решение проблем структуры
атомных ядер возможно только в рамках квантовой хромодинамики. В этой
связи для описания динамики ядерной материи широко используются
различные ядерные модели, каждая из которых имеет ограниченную цель —
описать какую-то определенную совокупность свойств атомного ядра.
Модели ядра можно разбить на два больших класса — микроскопические
(рассматривающие поведение отдельных нуклонов в ядре) и коллективные
(рассматривающие согласованное, скоррелированное движение больших групп
нуклонов в ядре). Пример коллективной модели ядра — модель жидкой капли.
Уже в рамках этого достаточно упрошенного представления удалось получить
весьма полезную формулу Вайцзеккера (6.9) для энергии связи ядра.
Среди микроскопических ядерных моделей выделяется модель ядерных
оболочек. Она аналогична модели атомных оболочек, в которой задача многих
тел сведена к одночастичной задаче - движению невзаимодействующих друг с
другом электронов, подчиняющихся принципу Паули, в кулоновском поле
ядра. Применение подобного подхода к ядру, однако, кажется неправомерным.
Ядро — это система сильно взаимодействующих плотно упакованных
нуклонов. Ядерное поле создается внутренними короткодействующими
межнуклонными силами. Нуклоны в ядре должны часто сталкиваться и
обмениваться энергиями. Средняя длина свободного пробега нуклона в ядре
должна быть меньше радиуса ядра. Все это приводит к выводу о
невозможности движения нуклонов внутри ядра по устойчивым орбитам, с
долго сохраняющимися квантовыми числами, т.е. нахождения их на
определенных
оболочках.
Однако
факты
свидетельствуют
в
пользу
существования в атомных ядрах оболочечной структуры.
Основной факт, подтверждающий оболочечное строение ядра, — это
«магические числа» протонов и нейтронов. Приведем основные экспериментальные факты в пользу существования магических чисел:
1. Повышенная распространенность магических ядер.
2. Относительное уменьшение массы магических ядер.
3. Увеличение энергии отделения нуклона в магических ядрах.
4. Резкое увеличение энергии первого возбужденного состояния у ядер с
магическим числом нейтронов и (или) протонов (рис.1).
Ядра, у которых магическими являются числа протонов и нейтронов,
называют дважды магическими. Например, ядра
,
.
Магическим числам нуклонов, как уже отмечалось выше, отвечают ядра с
заполненными оболочками, демонстрирующие особую устойчивость, подобно
благородным газам, имеющим заполненные атомные оболочки. Оболочечная
структура ядра свидетельствует о том, что нуклоны в ядре во многом ведут себя
как независимые частицы в потенциальной яме.
Возможность использования модели оболочек для описания свойств
атомного ядра означает, что многочастичная ядерная задача допускает такую
формулировку, при которой усреднение отдельных короткодействующих
межнуклонных потенциалов внутри ядра сводится к возникновению
рис. 1. Зависимость энергии первого возбужденного состояния ядра
от числа нейтронов в ядре
почти одинакового для всех нуклонов потенциала притяжения (яме), причем
нуклоны в этой яме можно приближенно рассматривать как независимые
частицы. Таким образом, ядро по своей внутренней структуре в первом
приближении представляет не жидкость, а скорее идеальный газ фермионов,
заключенный в объем ядра.
Фундаментальная роль в применимости модели оболочек к ядрам
принадлежит принципу Паули. Этот принцип существенно ограничивает
возможности взаимодействия между двумя фермионами при низких энергиях.
В основном состоянии ядра нижние одночастичные уровни вплоть до
некоторой энергии (уровня Ферми) заполнены. Взаимодействие двух нуклонов
с изменением их состояния требует их перехода на новые энергетические
уровни. При этом, если один нуклон увеличивает свою энергию и переходит в
более высокое свободное состояние, то другой должен уменьшить энергию и
обязан занять более низкое состояние. Но все нижние состояния уже заполнены
и на них не может появиться дополнительный фермион. Таким образом,
нуклоны продолжают находиться в прежних состояниях и длина свободного
пробега нуклона становится больше диаметра ядра. Возникает условие для
устойчивых нуклонных состояний.
Будем рассматривать “сферическую" модель оболочек, когда нуклоны
находятся в сферически симметричной потенциальной яме
( ⃗)
( ).
Пренебрегаем кулоновским взаимодействием. Рассмотрим три вида модельного
потенциала (рис.2):
1. Прямоугольная потенциальная яма
( )
{
(1)
2. Потенциал гармонического осциллятора
( )
где М- масса нуклона, а
(2)
– осцилляторная частота.
3. Потенциал Вудса-Саксона
( )
(
)
(3)
Потенциал Вудса-Саксона наиболее близок к реальному ядерному
потенциалу. Он является отражением распределения Ферми
плотности
ядерного вещества. Такая аппроксимация формы ядерного потенциала
оправдана малым радиусом действия нуклон-нуклонных сил. В потенциале (3),
как и в распределении Ферми ,
. Что касается глубины ядерной
потенциальной ямы V0, то она увеличивается при переходе от легких ядер к
тяжелым. В легких ядрах (А < 40) V0= 20-30 МэВ, в средних ядрах (А= 40-100)
V0 = 30-40 МэВ и в тяжелых ядрах (А > 100) V0 = 40-50 МэВ.
Если выбран модельный потенциал, то далее все сводится к решению
уравнения Шрёдингера для отдельного нуклона. Пусть ̂ — гамильтониан
ядра, a ̂
— гамильтониан отдельного нуклона (с индексом ). Тогда имеем
̂
Рис. 2. Аппроксимация ядерного потенциала в легких (слева) и тяжелых
(справа) ядрах. Потенциалы прямоугольной ямы, гармонического
осциллятора и Вудса—Саксона показаны соответственно сплошной,
пунктирной и точечной линиями. Реалистический ядерный потенциал
лучше всего воспроизводится потенциалом Вудса—Саксона.
̂
̂
∑
∑
(
⃗̂⃗
( ))
(4)
Уравнение Шрёдингера для отдельного нуклона
̂
(⃗ )
( ⃗ ).
(5)
Так как гамильтониан ̂ одинаков для всех нуклонов, то запишем
̂
Волновая функция нуклона
(6)
описывающая его орбитальное движение,
имеет вид
( )
(
)
(7)
где п — радиальное квантовое число (n = 1, 2, 3,...), l — орбитальный момент
нуклона, m — его проекция на ось z. При фиксированном l энергия
нуклона
тем больше, чем больше число п. Состояние нуклона обозначают в виде
комбинации п (буква) l (число). Последовательность одночастичных уровней
зависит от V(r).
На рис. 3 слева показана схема уровней для потенциала Вудса—Саксона.
Ядерные оболочки обычно обозначают по уровням гармонического осциллятора: 1s-оболочка, 1p-оболочка, 1d2s-оболочка, 1f2p, 1g2d3s и т.д.
Энергия ядра в модели оболочек является суммой одночастичных
энергий нуклонов, а волновая функция ядра может быть представлена с учетом
требований симметрии, налагаемых принципом Паули, в виде произведения
волновых функций отдельных нуклонов.
Заполнение оболочек нуклонами происходит в соответствии с принципом
Паули. В основном состоянии должны быть заняты самые нижние уровни. При
этом одночастичные уровни для протонов и нейтронов заселяются независимо.
Число нуклонов одного типа
на одночастичном уровне дается формулой
(
)
(8)
где (2l+1) – число ориентаций вектора ⃗, а 2 –число ориентаций спина нуклона.
Уровни гармонического осциллятора эквидистантны. Расстояние между
ними дается выражением
(
при
)
⁄
⁄
(9)
(радиус ядра R рассчитывается по эмпирической формуле ).
Из (9) видно, что с ростом числа нуклонов А «плотность» оболочек
растет (расстояние между оболочками уменьшается). Так, если при
имеем
МэВ, то при
получаем
МэВ. Пользуясь
формулой (8), можно найти максимальное число нуклонов одного типа на
уровне и максимальное число нуклонов одного типа в ядрах с заполненными
оболочками. Эти последние числа должны отвечать магическим ядрам. Для
потенциала типа Вудса—Саксона получаем следующие магические числа: N, Z
= 2, 8, 20, 34, 58, 92, 138. Лишь первые три числа (2, 8, 20) совпадают с
экспериментально установленными магическими числами. Для объяснения
всего набора магических чисел, как оказалось, необходимо учесть спинорбитальные силы, т.е. ту часть ядерного потенциала, которая зависит от
взаимной ориентации орбитального и спинового моментов нуклона.
Спин-орбитальные силы играют существенную роль в атомных ядрах. С учетом
спин-орбитальной добавки ядерный потенциал имеет вид
( )
( )
где
как и
( )
( ) ⃗⃗
(10)
( ) В потенциале (10) снимается вырождение по
полному моменту j нуклона в пределах одной оболочки, который при данном l
в зависимости от ориентации спина нуклона принимает два значеия j:
⁄ . Происходит расщепление состояния с данным l на два состояния с
разной взаимной ориентацией ⃗ и ⃗. Таким образом, каждый одночастичный
⁄ , так как
уровень расщепляется на два. Глубже опускается уровень с
в этом случае нуклон сильнее взаимодействует с остальными. Схема
одночастичных уровней с учетом ls - расщепления показана на рис. 3.
В обозначение одночастичных уровней вводится нижний индекс,
указывающий величину j. Так, вместо уровня lp появляются два уровня l
l
⁄
⁄
и
.
Состояния
ядра
расположением
в
одночастичной
нуклонов
на
модели
одночастичных
оболочек
уровнях
определяются
и
называются
конфигурациями. Основное состояние ядра отвечает расположению нуклонов
16
на самых нижних одночастичных уровнях. Так, в ядре
состоянии нуклоны полностью заполняют уровни
⁄
,
⁄
и
O в основном
⁄
.
Рис.3. Схематическое изображение одночастичных уровней в сферическисимметричном потенциале: слева без учета спин-орбитального взаимодействия,
справа — с учетом. Фигурные скобки объединяют уровни, входящие в одну
осцилляторную оболочку. В круглых скобках дано число вакантных мест на
уровне для нуклонов одного типа, в квадратных скобках приведено суммарное
число нуклонов одного типа, если заполнены все уровни вплоть до данного
включительно.
Кулоновское взаимодействие протонов увеличивает энергию протонных
одночастичных уровней по сравнению с нейтронными и видоизменяет
потенциальную яму для протонов (она мельче нейтронной и за пределами ядра
выходит на асимптотику кулоновского
потенциала). С
учетом этого
расположение нуклонов по одночастичным уровням в основном состоянии ядра
16
O показано на рис.4.
Рис.4. Нейтронные и протонные одночастичные уровни в ядре 16O
Приведенная на рис.3 последовательность уровней одинакова для
протонов и нейтронов вплоть до Z = N = 50. При Z и N, больших 50,
последовательности уровней и порядок их заполнения для протонов и
нейтронов различаются. Для нейтронов с N > 50 имеет место тенденция к
заполнению сначала уровней с меньшими моментами.
В
трех
случаях
одночастичная
модель
оболочек
предсказывает спин и четность основного состояния ядра:
однозначно
1. Ядро с заполненными уровнями. Так как на каждом уровне заняты
состояния со всеми возможными проекциями ⃗, результирующий момент
уровня и полный момент ядра ⃗ равны нулю. Каждому нуклону на уровне с
проекцией
будет соответствовать нуклон с
и суммарный момент
нуклонов уровня будет равен нулю. Возможные значения
даются следующим
набором чисел:
(
)
(
)
⁄
Например, если уровень имеет j = 3/2, то на нем
может находиться 4 нуклона одного типа (4 протона
и 4 нейтрона) и заполненный уровень с этими
четырьмя нуклонами можно изобразить так, как на
рис. 5
Рис 5. Нуклоны одного
типа на уровне с
⁄
Четность заполненного уровня положительна, так как она содержит четное
число ( 2 j + 1 ) нуклонов одинаковой четности. Поэтому для заполненного
уровня (оболочки)
(12)
2. Ядро с одним нуклоном сверх заполненных уровней. Остов заполненн ы х
уровней имеет характеристики 0+, поэтому момент и четность определяются
квантовыми числами единственного внешнего нуклона. Если этот нуклон в
состоянии
(
, то полный момент ядра J = j, а результирующая четность ядра
) . Поэтому для основного состояния ядра в этом случае имеем
(
)
(13)
3. Ядро с «дыркой» в заполненном уровне, т. е. когда до заполнения уровня не
хватает одного нуклона. Пусть квантовые числа нуклона на таком уровне
.
Обозначим момент и четность уровня с «дыркой» j’ и p’. Так как добавление
нуклона на уровень приводит к его заполнению, имеем
⃗
⃗
⃗⃗
(14)
т. е. для ядра с дыркой имеем те же правила определения спина и четности
основного состояния, что и для ядра с одним нуклоном сверх заполненных
уровней:
(
)
Рассмотрим теперь случай двух тождественных нуклонов на одном уровне.
Между любой парой нуклонов одного типа на уровне действует
дополнительное взаимодействие Vост помимо общего, сводящегося к
центрально симметричному V(r), и это взаимодействие Vост (не сводимое к V(r))
называется, поэтому, остаточным. Опыт показывает, что свойства Vост таковы,
что паре нуклонов одного сорта на одном уровне выгодно иметь
результирующий момент равный нулю. Vост снимает вырождение по J этой
пары, так что низшим оказывается состояние с J = 0. Это и есть упоминавшиеся
ранее при обсуждении формулы Вайцзеккера силы спаривания.
Дополнительная энергия связи ядра за счет этих сил 1-3 МэВ.
С учетом этого свойства легко сформулировать следующие правила для
спинов J и четностей P в основном состоянии ядра:
— четно-четное ядро
(
— нечетное ядро
— нечетно-нечетно ядро
где
|
|
)
(15)
(
)
,
относятся к полному и орбитальному моменту нечетного
нуклона (протона, нейтрона).
Возникновение
сил
спаривания
в
ядрах
обусловлено
особенностями
взаимодействия в системе нуклонов. На характерных ядерных расстояниях
нуклоны притягиваются, и им энергетически выгодно находиться на одном и
том же уровне в состояниях, характеризуемых одними и теми же числами n, l, j.
Поскольку кулоновское взаимодействие раздвигает протонные и нейтронные
состояния (рис. 5), то наиболее выгодной является ситуация «совместного»
нахождения в одном состоянии нуклонов одного типа. Однако это возможно
лишь при соблюдении принципа Паули, что и диктует необходимость таким
нуклонам при одинаковом ⃗ иметь различные
. Наиболее устойчивой при
этом оказывается пара нуклонов с противоположно направленными моментами,
т.е. с +jz и -jz . Такая пара нуклонов обладает максимально возможным набором
совпадающих квантовых чисел, и, соответственно, волновые функции нуклонов
этой пары характеризуются наибольшим перекрытием. Результирующий полный момент и четность такого состояния
2. Основное и возбужденные состояния ядра.
Диаграмма ядерных уровней
Атомное ядро — система с фиксированной полной энергией. Состояния
таких систем называются стационарными. Для них имеет место стационарное
уравнение Шредингера.
̂ ( )
( )
(1)
( ) полностью определятся видом гамильтона ̂ .
Состояние с наибольшей энергией связи (наименьшей полной энергией)
называют основным. Все остальные состояния (с большей полной энергией) —
возбужденные. Диаграмма уровней ядра строится следующим образом (рис. 7).
Нижнему
по
энергии
(наибольшему
по
энергии
приписывается нулевой индекс и энергия E0=0:
(
)
(2)
связи)
состоянию
W0 –энергия связи ядра в основном состоянии.
Энергии Ei остальных
состояний определяются как
(3)
т.е.
отсчитываются
состояния.
Таким
от
основного
образом,
—
это
энергии возбуждения. Нижние уровня
ядра дискретны. При
спектр
уровней уже непрерывен. При ядерных
превращениях (и распадах) происходят
переходы
между
различными
стационарными состояниями ядер.
Рис. 6. Диаграмма уровней ядра
3. Квантовые характеристики ядерных состояний.
Инвариантность гамильтониана и квантовые числа
Какие физические величины помимо энергии сохраняются в стационарных
ядерных
состояниях?
Этот
набор
определяется
симметрией
системы
(гамильтониана). А именно, неизменность (инвариантность) гамильтониана Н
относительно определенного преобразования (операции симметрии) приводит к
сохранению некоторой физической величины, а значит, и соответствующему
квантовому числу:
1. Инвариантность ̂ (системы) относительно сдвига (трансляций) во
времени приводит к закону сохранения энергии.
2. Инвариантность ̂ относительно параллельного переноса системы (или
осей координат) приводит к закону сохранения импульса.
3. Инвариантность ̂ относительно пространственных поворотов приводит
к закону сохранения момента количества движения.
Эти три закона универсальны, т.е. справедливы для всех систем.
Как найти другие сохраняющиеся физические величины (квантовые
числа)? Напомним некоторые сведения из квантовой механики. Значение
( ) дается средним значением <F>
наблюдаемой величины F в состоянии
соответствующего оператора ̂ (пусть он не зависит от времени):
̂
∫
.
(4)
Можно легко показать, что <F> сохраняется, (т.е. не зависит от времени),
если коммутатор операторов Гамильтона системы ̂ и ̂ обращается в нуль:
[ ̂ ̂]
̂̂
̂̂
или более точно
∫
т.е.
операторы
̂
и
̂
(̂ ̂
̂ ̂)
коммутируют.
Таким
образом,
нахождение
сохраняющейся величины (или соответствующего квантового числа) можно
свести к нахождению таких преобразований (операций симметрии), оператор
которых ̂ коммутирует с ̂ .
4. Особенности спинов ядер
Следующим (вслед за энергией E и импульсом) квантовым числом,
которое сохраняется у ядра в силу инвариантности к поворотам, является полный момент J количества движения покоящегося ядра или, как говорят, спин
ядра. Спин ядра является результатом сложения спинов
моментов
частиц (нуклонов), входящих в состав ядра.
и орбитальных
Очевидно, для ядра выполнение следующих правил:
а) А четно
J = n (n = 0,1,2,3,...), т. е. целое;
б) А нечетно
J = n + ⁄ т. е. полуцелое.
Кроме того, экспериментально установлено еще одно правило: у четно-четных
ядер в основном состоянии (ground state)
5. Четность. Орбитальная и внутренняя четность.
Четность системы частиц
Инвариантность системы (гамильтониана ̂ ) относительно пространственного
отражения — инверсии (замены
) приводит к закону сохранения
четности и еще одному квантовому числу — четности. Ядерный гамильтониан
обладает соответствующей симметрией.
Действительно,
̂
̂
∑
∑
̂(|
|)
̂
(
)
Это означает, что система (ядро) не меняет своих свойств при
(7)
.
Определим оператор пространственной инверсии ̂ (оператор четности)
для системы частиц следующим образом:
̂ (
или просто ̂ ( )
(
)
(
)
) если ввести обозначение
(8)
.
Подействуем на левую и правую части (8) еще раз оператором ̂ :
̂
( )
̂ (
)
( )
(9)
т.е. ̂ - оператор тождественного преобразования.
С другой стороны ̂ удовлетворяет уравнению на собственные значения
(так как в силу инвариантности к пространственному отражению должно быть
соответствующее сохраняющееся квантовое число):
̂ ( )
Из (9) и (10) следует, что
( )
(10)
̂
( )
( )
( )
{
( )
( )
т.е.
Итак, имеется две возможности
̂ ( )
(
)
(11)
или
( )
(
( ) - четные функции (состояния),
)
( ) - нечетные функции (состояния).
До сих пор волновая функция
(
) была волновой функцией
системы точечных (бесструктурных) частиц. Вообще говоря, волновая функция
частицы с индексом α имеет вид
( ),
где
(12)
описывает внутренне состояние частицы α, а ( ) - движение частицы
α как целого(точечного объекта по некоторой траектории (орбите). Вид
волновой функции
в форме (12) следует из того, что гамильтониан объекта
α можно представить как сумму гамильтонианов ̂
̂ , где ̂ описывает
объект как точку (без структуры), а ̂ внутреннюю структуру объекта.
Оператор четности действует на каждый множитель в
̂
̂
̂ ( )
( ):
(13)
причем, если ̂ - инвариантен к инверсии в пространстве внутренних
координат,
̂
где
— внутренние координаты,
(
)
(
)
(14)
— внутренняя четность (оператор ̂ в
последнем соотношении совершает инверсию в пространстве внутренних
координат частицы, от которых лишь и зависит
).
Волновая функция ( ) орбитального движения в центральном поле (т.е.
движения с определенным l) может быть представлена в сферических
координатах в виде
( )
Инверсия
( )
(
).
(15)
соответствует в сферических координатах преобразованию
(16)
( α)
при котором радиальная часть волновой функции
(
не меняется, a
) — собственная функция оператора орбитального момента
количества движения (так называемая сферическая функция или гармоника) —
преобразуется следующим образом:
̂
(
)
(
)
(
)
(17)
Итак, имеем
̂
(
(
)
(18)
) называют орбитальной четностью.
Волновую функцию системы независимых частиц можно представить в
виде произведения волновых функций отдельных частиц (точнее, в виде
линейной комбинации этих произведений):
(
)
(19)
( ). Откуда, если речь идет о движении частиц в центральном
где
поле,
̂ (
)
(
) (
)
(
)
(
)
т.е. четность такой системы
)∑
(
(20)
Для двух частиц
(
В системе центра инерции
)
(21)
– орбитальный момент относительного
движения.
Формулы (20), (21) можно применять к ядру как системе нуклонов,
рассматривая их как независимые частицы в общем ядерном потенциале, а
также к реакциям, когда частицы до и после столкновения можно считать
невзаимодействующими.
Имеют смысл лишь относительные внутренние четности. Для протона
принимают
. Нейтрон имеет ту же внутреннюю четность +1.
Остальные внутренние четности определяют относительно протона. Для
электрона, участвующего в электромагнитном взаимодействии,
фотона
. Для
.
6. Тождественность частиц. Статистика. Фермионы и бозоны
В микромире частицы одного типа неразличимы, т.е. имеет место принцип
тождественности частиц. Перестановка двух одинаковых частиц не меняет
состояния системы. Принцип тождественности можно сформулировать и так:
гамильтониан системы частиц инвариантен относительно перестановки всех
координат двух любых частиц одного типа. Поэтому должна быть новая
квантовая характеристика (квантовое число) или сохраняющаяся физическая
величина, отвечающая этому преобразованию.
Оператор перестановки ̂
и его собственные значения
следующим образом:
Поэтому
̂
(
)
̂
(
)
и
(
)
(
)
(
)
(
)
.
При
̂
(
)
(
)
т.е.
(
)
(
)
Частицы, входящие в состав таких систем, называют бозонами.
определяются
При
̂
(
(
)
(
)
)
(
)
Частицы, входящие в состав таких систем, - фермионы.
Примеры: бозоны –
фермионы –
.
У фермионов в одном состоянии может пребывать не более одной
частицы (принцип Паули), у бозонов — сколько угодно. В квантовой теории
поля показывается, что фермионы имеют полу целый спин, а бозоны — целый.
Лазер
существует
благодаря
тому,
что
)
(
фотоны
являются
бозонами.
Доказательство принципа Паули:
(
)
Пусть частицы 1 и 2 находятся в одинаковом состоянии. Тогда
(
) суть одна и та же функция и
,2
,
(
)и
, т. е. такого
состояния нет.
7. Классические статические электромагнитные моменты ядер
Ядро как система зарядов и токов обладает статическими электрическими и
магнитными мультипольными моментами. Обычно ограничиваются неравными
нулю моментами нижайшей мультипольности в основном состоянии —
электрическим квадрупольным и магнитным дипольным, которые дают ценные
сведения о свойствах ядра. Электрический дипольный момент ядра равен нулю,
что легко доказывается на основе закона сохранения четности (см. ниже).
Электрические моменты. Если
( ) — плотность распределения
электрического заряда в системе, то из классической электродинамики
известно, что
∫ ( )
есть электрический монополь, т.е. полный (скалярный) заряд системы.
∫
( )
(i = 1 (ось х), 2 (ось y), 3 (ось z))
(23)
есть i-я компонента вектора электрического дипольного момента
∫
( )
Компонента
) ( )
∫(
(24)
есть одна из пяти линейно-независимых компонент тензора электрического
квадрупольного момента. Электрический квадрупольный момент определяет
взаимодействие системы с градиентом внешнего электрического поля
(например, создаваемого электронной оболочкой). При наличии электрического
дипольного момента возникает его взаимодействие с напряженностью
внешнего электрического поля. При отличии от нуля электрического заряда
системы возникает его взаимодействие с внешним электрическим потенциалом.
Под электрическим квадрупольным моментом Q ядра условились
понимать величину
∫(
) ( )
(25)
Величины электрического дипольного и квадрупольного моментов
зависят от выбора системы координат. В дальнейшем мы будем использовать
так называемую собственную (или внутреннюю) систему координат. Эта
система, будучи жестко связана с ядром, перемещается и поворачивается
вместе с ним. Начало собственной системы координат совпадает с центром
распределения заряда и массы ядра. Можно легко показать, что электрический
дипольный момент обращается в нуль при совпадении центра заряда с центром
массы системы. Равенство нулю ядерного электрического дипольного момента
как раз и говорит о таком совпадении.
Если у ядра есть ось симметрии (как, например, у аксиально
симметричного эллипсоида), то значение Q зависит от ориентации оси z
собственной системы координат относительно этой оси симметрии. Модуль |Q|
максимален, если ось z совпадает с осью симметрии, и как раз эту величину
рассматривают
как
собственный
(внутренний),
квадрупольный момент ядра и обозначают
или
классический
.
.
Рис.7. Электрический квадрупольный момент Q0 ядра.
характеризует отличие распределения заряда ядра от сферически
симметричного
(
для
сферически
симметричного
ядра),
т.е.
характеризует форму ядра (рис.7).
Следует подчеркнуть, что ядерный спин J в основном состоянии всегда
направлен вдоль оси симметрии (если она существует). Понять это помогает
простая аналогия с классической механикой, где момент количества движения J
тела возникает за счет его вращения вокруг некоторой оси. В этом случае ось
вращения, совпадающая по направлению с J, и будет его осью симметрии.
Подавляющее большинство несферических ядер имеет форму аксиально
симметричнного эллипсоида. При
соид. При
ядро —вытянутый вдоль оси Z эллип-
ядро является сплюснутым (вдоль z) эллипсоидом (рис. 7).
Квадрупольный момент измеряется в барнах (1б= 10-24 см2).
Магнитный дипольный момент. Классическое определение магнитного
дипольного момента частицы с массой m и зарядом q:
[
. (26)
]
Риc.8. Орбитальный и спиновый магнитный
момент частицы
В микромире аналогом классического момента
является магнитный момент
орбитального движения
где величина
называется магнетоном. Если выражать
[
l в ħ, то
]
в магнетонах, а
[ ].
(28)
Обобщая (27) на случай магнитного момента, возникающего за счет спина,
запишем его в виде
,
(29)
или
[
где
]
[ ]
(30)
— безразмерная константа (спиновый, гиромагнитный множитель),
учитывающий отклонение собственного (спинового, а значит квантового)
магнитного момента от классического (орбитального). В значении
скрыта
информация о структуре частицы. Можно показать (впервые это было сделано
Дираком), что точечная заряженная частица со спином 1/2 массой m и зарядом
q (например, электрон) имеет величину собственного магнитного момента
т.е. для нее
. Отклонение
от этой величины для частицы со спином
говорит о внутренней структуре частицы. Экспериментальное определение
½
и
их объяснение – важная задача субатомной физики.
Можно ввести, обобщая, и орбитальные гиромагнитные множители
которые очевидно равны 1, например,
С помощью
которых
можно включить в эту схему и нейтральные частицы, для
, например нейтрон, полагая для него
Магнитные моменты нуклонов и ядер выражают в ядерных магнетонах
которые в
⁄
раз меньше магнетона Бора
Таким образом, магнитный дипольный момент ядра имеет орбитальную и
спиновую составляющие:
∑
(
)
(31)
Гидромагнитные факторы (g-факторы) электрона, позитрона и нуклонов даны в
табл. 1
Таблица 1
Гидромагнитные факторы
электрона/позитрона (в
) и нуклонов (в
)
Частица
Электрон
-1
-2
Позитрон
1
2
Протон
1
5,586
Нейтрон
0
-3,826
Значения
и
определены экспериментально Штерном в 1933 г.,
Альварецом и Блохом в 1940 г. Отличие
от 2 и неравенство нулю
говорит о сложной структуре (неточечности) нуклона, который, как известно,
состоит из кварков.
Вводят также понятие гиромагнитного фактора для каждого ядра:
.
Колинеарность
(32)
и J очевидна, так как при вращении заряда магнитный
момент должен совпадать или быть противоположным по направлению с J.
Ценность изучения
связана с возможностью получения информации о
спинах ядер.
ГЛАВНОЕ В ЭТОЙ ЛЕКЦИИ.
Модели ядра можно разбить на два больших класса — микроскопические
(рассматривающие поведение отдельных нуклонов в ядре) и коллективные
(рассматривающие согласованное, скоррелированное движение больших групп
нуклонов в ядре). Пример коллективной модели ядра — модель жидкой капли.
Уже в рамках этого достаточно упрошенного представления удалось получить
весьма полезную формулу Вайцзеккера (6.9) для энергии связи ядра.
Среди микроскопических ядерных моделей выделяется модель ядерных
оболочек. Она аналогична модели атомных оболочек, в которой задача многих
тел сведена к одночастичной задаче - движению невзаимодействующих друг с
другом электронов, подчиняющихся принципу Паули, в кулоновском поле
ядра.
Основной факт, подтверждающий оболочечное строение ядра, — это
«магические числа» протонов и нейтронов. Приведем основные экспериментальные факты в пользу существования магических чисел:
5. Повышенная распространенность магических ядер.
6. Относительное уменьшение массы магических ядер.
7. Увеличение энергии отделения нуклона в магических ядрах.
8. Резкое увеличение энергии первого возбужденного состояния у ядер с
магическим числом нейтронов и (или) протонов (рис.1).
Ядра, у которых магическими являются числа протонов и нейтронов,
называют дважды магическими. Например, ядра
,
.
Фундаментальная роль в применимости модели оболочек к ядрам
принадлежит принципу Паули. Этот принцип существенно ограничивает
возможности взаимодействия между двумя фермионами при низких энергиях.
Если выбран модельный потенциал, то далее все сводится к решению
уравнения Шрёдингера для отдельного нуклона.
Для потенциала типа Вудса—Саксона получаем следующие магические
числа: N, Z = 2, 8, 20, 34, 58, 92, 138.
Лишь первые три
числа (2, 8, 20) совпадают с
экспериментально
установленными магическими числами. Для объяснения
всего набора
магических чисел, как оказалось, необходимо учесть спин-орбитальные силы,
т.е. ту часть ядерного потенциала, которая зависит от взаимной ориентации
орбитального и спинового моментов нуклона.
Состояние с наибольшей энергией связи (наименьшей полной энергией)
называют основным. Все остальные состояния (с большей полной энергией) —
возбужденные. Диаграмма уровней ядра строится следующим образом (рис. 6).
Нижнему
по
энергии
(наибольшему
по
энергии
связи)
состоянию
приписывается нулевой индекс и энергия E0=0:
(
)
(2)
W0 – энергия связи ядра в основном состоянии.
Энергии Ei (i=1,2,…) остальных состояний определяются как
(3)
т.е. отсчитываются от основного состояния. Таким образом, — это энергии
возбуждения. Нижние уровня ядра дискретны. При
спектр уровней уже
непрерывен. При ядерных превращениях (и распадах) происходят переходы
между различными стационарными состояниями ядер.
Следующим (вслед за энергией E и импульсом) квантовым числом,
которое сохраняется у ядра в силу инвариантности к поворотам (см. п. 2, 3-я
инвариантность списка), является полный момент J количества движения
покоящегося ядра или, как говорят, спин ядра. Спин ядра является результатом
сложения спинов
и орбитальных моментов
частиц (нуклонов), входящих в
состав ядра.
Очевидно, для ядра выполнение следующих правил:
а) А четно
J = n (n = 0,1,2,3,...), т. е. целое;
б) А нечетно
J = n + ⁄ т. е. полуцелое.
Кроме того, экспериментально установлено еще одно правило: у четно-четных
ядер в основном состоянии (ground state)
Инвариантность системы (гамильтониана ̂ ) относительно пространственного
отражения — инверсии (замены
) приводит к закону сохранения
четности и еще одному квантовому числу — четности.
Волновую функцию системы независимых частиц можно представить в виде
произведения волновых функций отдельных частиц (точнее, в виде линейной
комбинации этих произведений):
(
)
(19)
( ). Откуда, если речь идет о движении частиц в центральном
где
поле,
̂ (
)
(
) (
)
(
)
(
)
т.е. четность такой системы
(
— внутренняя четность, а (
)∑
(20)
) называют орбитальной четностью.
В микромире частицы одного типа неразличимы, т.е. имеет место принцип
тождественности частиц. Перестановка двух одинаковых частиц не меняет
состояния системы. Принцип тождественности можно сформулировать и так:
гамильтониан системы частиц инвариантен относительно перестановки всех
координат двух любых частиц одного типа. Поэтому должна быть новая
квантовая характеристика (квантовое число) или сохраняющаяся физическая
величина, отвечающая этому преобразованию.
Если ( ) — плотность распределения электрического заряда в системе,
то из классической электродинамики известно, что
∫ ( )
есть электрический монополь, т.е. полный (скалярный) заряд системы.
∫
( )
(i = 1 (ось х), 2 (ось y), 3 (ось z))
(23)
есть i-я компонента вектора электрического дипольного момента
∫
( )
Под электрическим квадрупольным моментом Q ядра условились
понимать величину
∫(
) ( )
(25)
характеризует отличие распределения заряда ядра от сферически
симметричного
(
для
сферически
симметричного
ядра),
т.е.
характеризует форму ядра (рис.9).
Магнитные моменты нуклонов и ядер выражают в ядерных магнетонах
которые в
⁄
раз меньше магнетона Бора
Таким образом, магнитный дипольный момент ядра имеет орбитальную и
спиновую составляющие:
∑
(
)
(31)
Гидромагнитные факторы (g-факторы) электрона, позитрона и нуклонов даны в
табл. 1
Пример 1. Определить в сферической модели оболочек спины J и четности Р
основных состояний изотопов кислорода 15O – 23O.
Решение. Изотоп 16O имеет полностью заполненные оболочки
тонам и нейтронам, т.е. является дважды магическим ядром
по про-
⁄
(
)
. Конфигурацию основного состояния ядра 16O можно записать в виде
(
⁄
) (
⁄
) (
⁄
)
Числа над обозначением уровня — это числа нуклонов одного типа (нейтронов
или протонов) на данном уровне. Изотопам
следующие нейтронные конфигурации:
15
O –
22
O будут соответствовать
(
) (
⁄
) (
⁄
⁄
)
⁄
Ядро 15O имеет одну вакансию (дырку) на уровне 1
происходит заполнение нейтронами уровня 1
(
⁄
(
) (
⁄
(
⁄
(
(
⁄
(
) (
) (
) (
⁄
) (
⁄
⁄
В ядре 22O полностью заполнен уровень
начинается заполнение уровня
(
⁄
) (
⁄
) (
⁄
⁄
⁄
⁄
)
⁄
)
)
⁄
⁄
⁄
)
⁄
) (
) (
Начиная с изотопа 17O,
:
) (
) (
⁄
) (
⁄
) (
⁄
) (
⁄
) (
⁄
) (
⁄
⁄
) (
⁄
) (
⁄
) (
⁄
⁄
⁄
⁄
)
⁄
) (
)
⁄
. Со следующего изотопа 23O
⁄
:
) (
⁄
) (
⁄
)
⁄
Пример 2. Рассчитать в рамках модели оболочек магнитный момент ядра
трития —
.
Решение. Магнитный момент этого ядра должен быть равен собственному
магнитному моменту единственного протона, входящего в его состав, т.е.
должно быть
(
)
.
Действительно, в рассматриваемом ядре в основном состоянии имеем два
спаренных нейтрона на
⁄
-оболочке и один протон на этой же оболочке. У
спаренных нейтронов спины антипараллельны. Поэтому их собственные
магнитные моменты взаимно уничтожают друг друга. Орбитальный магнетизм
не имеющих электрического заряда нейтронов заведомо отсутствует. У протона
его тоже нет, так как орбитальный момент протона
. Поэтому магнитный
момент трития равен собственному магнитному моменту единственного
протона.
Экспериментальное значение магнитного момента трития
близко
к полученной оценке. Имеющееся различие можно объяснить отклонением от
простой модели оболочек за счет остаточных нуклон-нуклонных сил.