В.Н. Иванов ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ И МЕТОДЫ

В.Н. Иванов ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению «Строительство» Москва Издательство Российского университета дружбы народов 2004 ББК 22.251.6 И 20 Утверждено РИС Ученого совета Российского университета дружбы народов Р е ц е н з е н т ы: профессор, доктор физико-математических наук Б.Ф. Власов, профессор, доктор технических наук С.Я. Маковенко Иванов В.Н. Вариационные принципы и методы решения задач теории упругости: Учеб. пособие − М.: Изд-во РУДН, 2004. − 176 с.: ил. ISBN 5 − 209 − 01172 − 0 В пособии дается краткое изложение элементов вариационного исчисления, на основе которых доказывается принцип Лагранжа. На базе принципа Лагранжа разработаны различные вариационные методы расчета строительных конструкций, используемых в инженерной практике и научных исследованиях. Рассматриваются вариационные методы решения задач теории упругости: метод Ритца−Тимошенко, метод Канторовича−Власова, а также метод Бубнова−Галеркина. Приводятся примеры расчета пластин и стержней вариационными методами. Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению «Строительство». Пособие может быть рекомендовано студентам и аспирантам различных технических специальностей. И 20 ISBN. 5 − 209 − 01172 − 0 ББК 22.251.6 © Издательство Российского университета дружбы народов, 2004 г. © В.Н.Иванов, 2004 г. ВВЕДЕНИЕ Пространственная задача теории упругости описывается системой 15 уравнений с 15 неизвестными [1,4,5]. При решении задачи в напряжениях к трем уравнениям равновесия добавляется система 6 уравнений неразрывности деформаций. Общая система уравнений теории упругости может быть приведена к системе 3 дифференциальных уравнений в частных производных в перемещениях или к системе 6 дифференциальных уравнений в частных производных в напряжениях. Общий порядок системы дифференциальных уравнений в перемещениях - 9-й, системы уравнений в напряжениях - 12-й. Для конкретной задачи решение должно удовлетворять также граничным условиям в перемещениях или напряжениях или смешанным граничным условиям. В каждой точке поверхности тела при решении пространственной задачи удовлетворяется 3 граничных условия. В декартовой прямоугольной системе координат получаем систему дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами. Если используются криволинейные системы координат цилиндрическая, сферическая, эллиптическая и другие, то получаем систему уравнений с коэффициентами, являющимися функциями координат. Применение криволинейных систем координат связано с формой рассматриваемых объектов - цилиндром, сферой, эллипсоидом и другими телами более сложных очертаний. Использование прямоугольной системы координат приводит в этом случае к усложнению формулировки граничных условий и их удовлетворению в процессе решения задачи. Сложность системы уравнений, описывающих задачи теории упругости, не позволяет получить точного решения большинства задач. Точные решения известны лишь для ограниченного числа задач пространственной теории упругости. Для решения ряда задач вводят гипотезы, понижающие порядок системы уравнений и позволяющие упростить процесс решения задачи - плоская задача теории упругости, теория изгиба тонких плит и оболочек, теория изгиба плит и оболочек средней толщины. Плоская задача теории упругости приводится к дифференциальному уравнению 4-го порядка в перемещениях или для функции напряжений. К разрешающему уравнению 4-го порядка приводится и задача изгиба тонких пластин. В теории тонких оболочек задача приводится к системе уравнений в частных производных 8-го порядка. Причем, за исключением цилиндрических и пологих оболочек, это система уравнений с переменными коэффициентами. И только для случая тел в виде стержней задача приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению 4-го порядка и может быть решена в общем виде. Последний тип задач рассматривается в курсах сопротивления материалов и строительной механики стержневых систем. О сложности задач теории упругости говорит тот факт, что в курсе математической физики, занимающейся теорией дифференциальных уравнений в частных производных, в основном рассматриваются дифференциальные уравнения 2-го порядка и лишь в некоторых курсах затрагиваются вопросы решения дифференциальных уравнений в частных производных 4го порядка. Для решения задач теории упругости часто приходится использовать различные численные и численно-аналитические методы [6−9]. К численным методам относятся метод конечных разностей, метод конечных элементов, вариационно-разностный метод, метод граничных элементов и другие. К численноаналитическим методам автор относит методы, в которых решение может быть записано в аналитической форме, но неопределенные коэффициенты или функции могут быть определены в результате реализации какого-то численного алгоритма. К таким методам относятся большинство вариационных методов: метод Ритца−Тимошенко, метод Канторовича - Власова, метод Трефца [6,9−13] , а также метод Бубнова−Галеркина, метод коллокаций, численная реализация метода интегральных уравнений, метод потенциала [18,19] и другие. В инженерной практике и научных исследованиях наиболее часто используются вариационные методы Ритца−Тимошенко и Канторовича−Власова, а также метод Бубнова−Галеркина, который не является вариационным, но этот термин часто к нему применяют. Из численных методов расчета наиболее используемым долгое время был метод конечных разностей (метод сеток) [14]. В последние три десятилетия он практически вытеснен методом конечных элементов - МКЭ [15-17] . В основе теории метода конечных элементов лежат вариационные принципы, что делает этот метод более гибким и более простым в реализации, чем метод конечных разностей, особенно при формулировке и удовлетворении граничных условий. Успешную конкуренцию этим методам может составить вариационно-разностный метод, который в настоящее время используется реже. В задачах для тел сложной формы и в случае наличия источников концентрации напряжений успешно применяется метод потенциала или метод интегральных граничных уравнений [18,19] и численный аналог этого метода - метод граничного элемента. В данном пособии рассматриваются вариационный принцип Лагранжа и методы решения задач теории упругости, основанные на этом принципе, а также метод Бубнова−Галеркина, так как они наиболее широко используются в проектной практике и научных исследованиях. Вариационные методы решения задач теории упругости, основаны на различных вариационных принципах, из которых наиболее известен принцип Лагранжа. Принцип Лагранжа известен студентам из курсов сопротивления материалов и строительной механики. Он используется при выводе интеграла Мора для определения перемещений стержневых систем, доказательства теоремы Бетти о взаимности работ, вывода системы канонических уравнений метода сил при расчете статически неопределимых стержневых систем. Строгое доказательство принципа Лагранжа и других вариационных принципов теории упругости может быть проведено методами вариационного исчисления, специального раздела математики. Элементы вариационного исчисления излагаются в первой главе настоящего пособия. В пособии приводится минимум сведений из курса вариационного исчисления, необходимый для доказательства принципа Лагранжа и обоснования вариационных методов решения задач теории упругости. Более полно с методами и задачами вариационного исчисления можно ознакомиться в курсах [20-231. I. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вариационное исчисление является одной из старейших математических дисциплин. Оно развивалось почти одновременно с математическим анализом. Обычно основателями вариационного исчисления считают братьев Бернулли, Эйлера, Лагранжа. Вариационное исчисление примыкает к теории максимумов и минимумов математического анализа и является основой методов оптимального проектирования. В вариационном исчислении исследуются функционалы - объекты, более сложные, чем функции. Вариационное исчисление тесно связано с приложениями математики к механике, физике, инженерному делу, технике, численному анализу. Приведем несколько примеров, которые дают представление о целях и задачах вариационного исчисления. 1. Задача о брахистохроне. Задача была сформулирована в 1696 году Иоганом Бернулли: отыскать кривую, двигаясь по которой под действием только силы тяжести (без трения) материальная точка попадет из точки A в точку B, находящихся в разных уровнях, в кратчайшее время (рис. 1.1). На основании закона движения 0 A твердого тела массой т под s(x,y) x действием сила тяжести имеем: • ds v= = 2 g ⋅ y - скорость двиB dt v(x,y) жения точки; у - расстояние по y вертикали; s(x,y) - длина дуги Рис. 1.1. К определению кривой кривой движения точки; наибыстрейшего спуска ds = dx 2 + dy 2 = 1 + y ′ 2 dx ; dy ; g - ускорение силы тяжести. dx y′ = t l l dt ds 1 T = ∫ dt = ∫ ds = ∫ = 2g 0 0 ds 0 v l ∫y − 1 2 ds 0 = 1 2g l ∫y − 1 2 (1 + y ′ ) dx . 2 (1.1) 0 Решение задачи о брахистохроне было дано И. Бернулли, Я. Бернулли, И. Ньютоном, Г. Лопиталем. Оказалось, что линией быстрейшего ската является циклоида. 2. Задача о геодезических кривых. Требуется определить линию наименьшей длины, соединяющую две точки. Решение этой задачи в обычном трехмерном пространстве известно - кратчайшим расстоянием, соединяющим две точки, является прямая линия. Однако задача осложняется, если рассматривать точки какой либо поверхности. Эта задача рассматривается в курсе дифференциальной геометрии. Линии кратчайшего расстояния, соединяющие точки поверхности, называются геодезическими кривыми. Эта задача имеет важное прикладное значение в геодезии. Если рассматривать точки сферы, то линия кратчайшего расстояния между двумя точками является дугой окружности в плоскости, проходящей через заданные точки и центр сферы. Если рассматривать точки цилиндрической или конической поверхностей, то ответ о линии кратчайшего пути между двумя точками уже не является столь простым и очевидным. 3. Задача о минимальных поверхностях. Минимальной поверхностью называют поверхность минимальной площади, натянутую на заданный контур. Сформулируем задачу о минимальной поверхности вращения (рис. 1.2). Площадь поверхности вращения определяется формулой x1 x1 0 0 S = 2π ∫ y ( x )ds =2π ∫ y ( x ) 1 + y ′ 2 dx . (1.2) На практике у минимальная поверхность может быть получена с помощью мыльной пленки, натянутой на за-данный контур. Минимальные у(х) поверхности могут 0 х использоваться для оптимального проектирования пространственных х оболочечных конструкций. 4. Задача о наибольшей площади. Определить Рис. 1.2. Минимальная поверхность вращения замкнутую кривую заданной длины, ограничивающую наибольшую площадь. Решением данной задачи является окружность. Однако, задача осложнится, если часть кривой, ограничивающей искомую площадь является заданной незамкнутой кривой, к которой необходимо добавить искомую незамкнутую кривую заданной длины, сопряженную с заданной кривой. Приведенные примеры позволяют получить представления о задачах, которыми занимается вариационное исчисление - из множества функций найти функцию - кривая движения тела, линия на поверхности, образующая поверхности вращения, площадь, ограничиваемая кривой линией, для которой достигается минимум (максимум) некоторого параметра - время движения, длина кривой, площадь поверхности или площадь внутри контура заданной длины. 1.1. Понятие о функционале. Линейный функционал. Вариация функционала. Объекты, для которых ищется экстремальное значение в приведенных примерах, называются функционалами. Можно сказать, что функционалы являются функциями, аргументами которых являются функции из заданного класса функций. Прежде чем дать окончательное определение функционала введем понятие класса функций - множество функций, обладающих заданными свойствами, называется классом функций. Чтобы задать класс функций достаточно перечислить свойства, которые налагаются на рассматриваемое множество функций. В курсах математики и приложениях рассматриваются некоторые классы функций, которые имеют общепринятые обозначения: 1. Класс непрерывных функций - С или С0. 2. Класс непрерывных функций с непрерывными первыми производными – C1. 3. Класс непрерывных функций с п непрерывными производными – Сn. 4. Класс интегрируемых функций - L1 - множество функций, имеющих конечное значение определенного b интеграла в заданном интервале (а, b) - ∫ f (x )dx ≤ A . a 5. Класс квадратично-интегрируемых функций – L2 множество функций, имеющих конечное значение определенного интеграла от квадрата функции, или произведения двух функций данного класса в заданном интервале (а, b) – b b 2 ∫ f (x )dx ≤ A или ∫ f (x ) ⋅ ϕ ( x )dx ≤ A a a Очевидно, класс непрерывных функций С включает в себя классы функций С1, С2, …, Сn. Класс функций С1 включает классы функций Сn при п > 1. Класс функций Ск включает классы функций Сn при п > к. В приложениях, в частности в вариационных методах теории упругости важное место занимает класс функций L2 - проблема минимума квадратичного функционала. Кроме перечисленных выше классов функций, могут рассматриваться классы кусочно-непрерывных или кусочнопостоянных функций, разрывных функций с конечным числом разрывов в рассматриваемом интервале и так далее. Опираясь на понятие класса функций, введем определение функционала - говорят, что в классе функций задан функционал, если каждой функции рассматриваемого класса функций поставлено в соответствие число. В приведенных выше примерах функционалами являются: время движения тела между двумя точками; длина кривой между двумя точками поверхности; площадь поверхности вращения; площадь, ограниченная замкнутой кривой, и т.д. В механике функционалами являются потенциальная и кинетическая энергия твердых тел. В теории упругости важной характеристикой является энергия деформаций - функционал, характеризующий напряженно-деформированное состояние твердого деформируемого тела. Будем далее функционал от функции у(х) обозначать J[y(x)]. Так для задачи о минимальной поверхности вращения (пример 3): x1 J [ y ( x )] = S = ∫ y( x ) 1 + y ′ 2 ( x )dx , y ( x ) ∈ C , 0 где, у(х) ∈ С означает, что функция у(х) принадлежит классу С классу непрерывных функций, ∈ читается, как входит в (принадлежит). Введем понятие линейного функционала. Функционал J[y(x)] называется линейным, если для любых функций у(х), у1(х), у2(х) из заданного класса функций: a) J[c⋅y(x)] = c⋅J[y(x)], б) J[y1(x) + y2(x)] = J[y1(x)] + J[y2(x)], или, обобщая случаи а и б, (1.1.1) J[c1⋅ y1(x) + c2⋅ y2(x)] = c1⋅ J[y1(x)] + c2⋅ J[y2(x)]. Основной задачей вариационного исчисления является задача об исследовании функционала на экстремум - из класса функций найти функцию, для которой исследуемый функционал достигает экстремального (наибольшего или наименьшего) значения. Задача об исследовании функционала на экстремум во многом сходна с задачей нахождения экстремума функций. При исследовании функции на экстремум изучается ее поведение в окрестности точки, при малом изменении аргумента. При исследовании на экстремум функционала нужно анализировать поведение функционала при малых изменениях аргумента (функции), для которой вычисляется заданный функционал. Приращением, вариацией δy аргумента у(х) функционала J[y(x)] называется разность между двумя функциями: δ y ( x ) = y1 ( x ) − y ( x ) . При этом предполагается, что у(х) меняется произвольно в некотором классе функций. Функционал J[y(x)] называется непрерывным, если малому у(х) соответствует малое изменение изменению функции функционала J[y(x)]. В последнем определении требуется уточнение понятия малого изменения функции - какие функции и в каком смысле можно считать мало изменяющимися - близкими? Введем понятие ε-окрестности функции: если модуль разности значений функций у(х) и у1(х) не превышает некоторой произвольной, как угодно малой, величины ε ( y1 ( x ) − y ( x ) ≤ ε ) для любого значения аргумента x в рассматриваемом интервале х ∈ [а, b], то говорят, что функция у1(х) находится в ε -окрестности функции у(х). На рис. 1.3 в εу у1(х) окрестности функции у(х) ε находятся функции у1(х) и ε у2(х). Однако, если функционал J[y(х)] будет у(х) зависить от длины кривой, определяемой функцией аргумента функционала у2(х) (например, масса кривой с х 0 заданной вдоль нее плотностью ρ (s)), тогда, Рис. 1.3. ε - окрестность кривой у(х) вероятно, значения функционала для функций у(х) и у1(х) могут иметь близкие значения, в то время как для функций у(х) и у2(х) эти значения могут оказаться существенно различными. Если ε-окрестность определяется формулой | у1(х) - у(х)| < ε, она называется ε-окрестностью нулевого порядка - ε0 , а кривые у(х) и у1(х) - кривыми нулевого порядка близости. Кроме ε - окрестности нулевого порядка, вводится понятие εокрестности первого порядка ε1, для которой должны выполнятся условия |у1(х) - у(х)| < ε и y1′ ( x ) − y ′( x ) < ε . Очевидно, функция y1(x), показанная на рис.3.1, лежит в εокрестности первого порядка - ε1, а функция у2(х) - в εокрестности нулевого порядка - ε0 функции у(х). По аналогии вводится εn-окрестность функции y(x) - ε-окрестность n-го порядка, если выполняются условия: y1 ( x ) − y ( x ) < ε , y1′ ( x ) − y ′( x ) < ε , …., y1′ (n ) ( x ) − y ( n ) ( x ) < ε . Соответствующие кривые являются кривыми n-го порядка близости. Функции, лежащие в εn-окрестности, должны быть п раз дифференцируемы, то есть принадлежать классу Сn. Вариацией (приращением) аргумента функционала у(х) называется разность функций у(х) и y1(x) во всем интервале изменения аргумента х ∈ [а,b], если функция y1(x) лежит в ε-окрестности функции у(х). Вариация обозначается символом δ : δ y ( x ) = y1 ( x ) − y ( x ) , х ∈ [a,b], y(x), y1(x) ∈ С. (1.1.2) Разность значений функционала для двух функций у(х) и y1(x), лежащих в ε-окрестности, называется приращением функционала ∆J [ y ( x )] = J [ y ( x )] − J [ y1 ( x )] . Функционал J[y(x)] называется непрерывным при у = у0(х) в смысле близости п-го порядка, если для любого, как угодно малого, положительного δ можно подобрать ε > 0, такое что модуль приращения функционала меньше δ, если у0(х) лежит в εn-окрестности функции у(х): ∆J [ y ( x )] = J [ y ( x )] − J [ y 0 ( x )] < δ , y( x ), y 0 ( x ) ∈ ε n . Вариацией функционала J[y(x)] называется линейная часть приращения функционала. Вариация функционала обозначается δJ[y(x)]: δ J [ y ( x )] = L[ y ( x ),δ y ( x )] . Представим приращение функционала в виде суммы линейной и нелинейной части функционала: ∆J [ y ( x )] = L[ y ( x ),δ y ( x )] + β [ y ( x ),δ y ( x )] ⋅ max δ y ( x ) , (1.1.3) где L[y(x),δ y(x)] - линейная часть приращения функционала J[y(x)]; max|δ y(x)| - максимальное значение приращения аргумента у(х) для х ∈ [а,b]; β [ y ( x ),δ y ( x )] ⋅ max δ y ( x ) → 0 при δ y ( x ) → 0 . Тогда δJ [ y ( x )] = lim ∆J [ y ( x )] = L[ y ( x ),δ y ( x )] . δ y →0 (1.1.4) При исследовании функционалов вариация функционала играет такую же роль, какую дифференциал функции играет в исследовании функций. Свойства оператора вариации δ при его действии на сумму и произведения функций аналогичны свойствам дифференциала функции: δ [c1 ⋅ u ( x ) + c 2 ⋅ v( x )] = c1 ⋅ δ u ( x ) + c 2 ⋅ δ v( x ) ; δ (u ⋅ v ) = u ⋅ δ v + v ⋅ δ u . (1.1.5) При одновременном действии оператора вариации δ и оператора дифференцирования d или оператора интегрирования (для собственных интегралов) они взаимно перестановочны: δ du d = δu , dx dx b b a a δ ∫ u ( x )dx = ∫ δ u ( x )dx . (1.1.6) Эти свойства сохраняются и для частных производных и при интегрировании по области двухмерного и трехмерного пространств. Вариацию функционала можно также определить, как производную от функционала J [ y ( x ) + α ⋅ δ y ( x )] , как функции двух переменных х, α по параметру α при α = 0: δ J [ y ( x )] = ∂J [ y ( x ) + α ⋅ δ y ( x )] . ∂α α =0 (1.1.7) 1.2. Условия экстремума функционала. Основная лемма вариационного исчисления. Формула Эйлера. Определение. Функционал J[y(x)] достигает на кривой y = у0(х) максимума, если значения функционала на любой кривой у(х), близкой к у0(х), не больше, чем J[y0(x)], т.е. ∆J [ y ( x )] = J [ y ( x )] − J [ y 0 ( x )] = J [ y ( x ) − y 0 ( x )] ≤ 0 . (1.2.1) Если ∆J ≤ 0 , причем ∆J = 0 только при у(х) = y0(х), то говорят, что на кривой y0(х) достигается строгий максимум. Аналогично определяется кривая у = y0(х), на которой достигается минимум функционала. В этом случае ∆J ≥ 0 для всех кривых, близких к кривой у = y0(х). Теорема. Если функционал J[y(x)] достигает максимума или минимума при у(х) = y0(х), где у(х) - внутренняя точка области вариация определения функционала, то при у(х) = y0(х) функционала равна нулю δ J[y0(x)] = 0. (1.2.2) Доказательство. При фиксированных y0(х) и δу J[y0(x) + α⋅δy(x)] = ϕ(x,α) является функцией параметра α, которая при α = 0, по предположению, достигает максимума или минимума, и, следовательно, в соответствии с формулой (1.1.7) имеем ∂ϕ (α , x ) ∂ J [ y 0 ( x ) + α ⋅ δ y ( x )] = =0, ∂α ∂α α =0 α =0 т.е. δJ[y0(x)] = 0. (1.2.3) Определение функционала J[y0(x)] включает понятие близости функций. Однако, как отмечалось выше, различают функции, близкие по модулю разности функций - ε-окрестность нулевого порядка, или функции, близкие как по разности функций, так и по направлению касательных - ε-окрестность первого, а при необходимости используется и ε-окрестность более высокого порядка. Поэтому различаются и типы экстремумов функционалов. Если функционал J[y(x)] достигает максимума или минимума по отношению ко всем кривым, для которых модуль разности |у(х) - y0(x)| мал, т.е. в ε-окрестности нулевого порядка, то экстремум (максимум, минимум) называют сильным. Если функционал J[y(x)] достигает экстремума лишь по отношению к кривым, лежащим в ε-окрестности первого или более высокого порядка функции y0(x)), то максимум или минимум называется слабым. Очевидно, если на кривой у(х) = y0(x) достигается сильный экстремум функционала, то тем более достигается и слабый, так как кривая, близкая в ε-окрестности п-го порядка, близка в ε-окрестности любого более низкого порядка, в том числе в ε-окрестности первого порядка. Однако возможно на кривой достигается слабый максимум или минимум и в то же время не достигается сильный максимум или минимум. При доказательстве многих положений вариационного исчисления используется следующая лемма, которая называется основной леммой вариационного исчисления: если для любой непрерывной функции η(х) ∈ С0 , η(а) = η(b) = 0, х ∈[a,b] b ∫ F ( x ) ⋅ η (x ) dx = 0 , a где функция F(x) непрерывна на отрезке интегрирования [a,b] (F(x) ∈ С0), то F(x) ≡ 0 на том же отрезке. Доказательство: у Предположим, что в точке х0 ∈ [a,b] y(х0)≠0 F(x0) ≠ 0. Тогда из y(х) η(х) непрерывности функции F(x) следует, что если F(х 0) х 0 ≠ 0, то F(x) сохраняет а x1 x2 b x0 знак в некоторой окрестности точки x1 < x0 < x2. Но тогда, Рис. 1.4. К доказательству основной леммы выбрав функцию η(х), вариационного исчисления также сохраняющей знак в окрестности x1 < x0 < x2 и равной нулю вне этой окрестности (рис. 1.4), получим: b ∫ F ( x ) ⋅ η ( x ) dx = x2 ∫ F ( x ) ⋅ η ( x ) dx ≠ 0 , x1 так как произведение F ( x ) ⋅ η( x ) сохраняет знак на отрезке a x1 < x0 < x2 и равно нулю вне этого отрезка. Так как, предположив, что в некоторой точке x0 отрезка [а, b] F(х0) ≠ 0, мы пришли к противоречию с условиями леммы, то, следовательно, F(x) ≡ 0 на отрезке интегрирования [а, b] . Замечание. Доказательство леммы не изменится, если функции F(x) и η(х) будут принадлежать к классу Сn, то есть быть непрерывными и иметь непрерывные производные до п-го порядка. Основная лемма может быть доказана также для произвольной области D на плоскости, т.е., если ∫∫ F (x , y ) ⋅ η (x , y ) dA = 0 , F (x , y ) ⋅ η (x , y )∈ C D при произвольной функции η(х,у) ∈ С (η(х,у) = 0 на границе области D), то F(x,y) ≡ 0. Далее лемма может быть обобщена на трехмерное и любое nмерное пространство. Как видно из приведенных выше примеров функционалов, большинство из них представляются в виде интегралов от некоторого класса функций в ограниченной области интегрирования. b Рассмотрим функционал вида J [ y( x )] = ∫ F [x , y ( x ), y ′( x )]dx , a у(х) ∈ С1 при у(а) = А, у(b) = В. Функцию F[x,y(x),y'(x)] будем считать дважды дифференцируемой. Рассмотрим ε-окрестность функции у(х), положив y1 ( x ) = y ( x ,α ) = y ( x ) + α ⋅ η ( x ) ; y1′ ( x ) = y ′( x ,α ) = y ′( x ) + α ⋅ η ′( x ) ; α ⋅ η( x ) = δ y( x ) b и ϕ ( x ,α ) = J [ y ( x ,α )] = ∫ F [x , y ( x ,α ), y ′( x ,α )]dx ; a η (a ) = η (b ) = 0 . Получим вариацию функционала, как производную функционала по параметру α, положив α = 0 (см. формулу (1.1.6)). Так как интеграл имеет конечные пределы и функция F ( x , y ( x ,α ), y ′( x ,α )) непрерывна и имеет непрерывные производные, можно проводить дифференцирование под знаком интеграла. При этом учитываем, что функция F[x,y(x,α),y'(x,α)] является сложной функцией аргументов х, α, y(x,α), y'(x,α). ∂ϕ ( x ,α ) b ∂F [x , y ( x ,α ), y ′( x ,α )] =∫ dx = ∂α ∂α a b b ∂y ∂y ′ ⎤ ⎡ = dx = ∫ ⎢ Fy + Fy′ ∫ Fy ⋅ η + F y′η ′ dx , ∂α ⎥⎦ ∂α a⎣ a [ Fy = где ∂F [x , y ( x ), y ′( x )] , ∂y F y′ = ] ∂F [x , y ( x ), y ′( x )] . ∂y ′ Проинтегрируем по частям второе слагаемое в полученном выражении b dF b dF b b y′ y′ ′ ( ) ( ) ( ) ⋅ η = η − η = − η ( x ) dx . x dx F x dx F x y′ ∫ y′ ∫ ∫ a a dx a dx a Подставляя полученное выражение в производную по α функции ϕ(х,α) и вычисляя ее при α = 0, получим вариацию функционала b J [ y ( x ,α )] = ∫ F [x , y ( x ), y ′( x )] dx ; a δ J [ y ( x )] = b⎡ b⎡ dF y′ ⎤ dF y′ ⎤ ∂ϕ ( x ,α ) = ∫ ⎢ Fy − ⎥ ⋅ η ( x ) dx = ∫ ⎢ F y − ⎥ ⋅ δy dx . ∂α α =0 a ⎣ dx ⎦ dx ⎦ a⎣ Необходимым условием экстремума функционала является равенство нулю его первой вариации, следовательно, получим b ⎡ a ⎣ δ J [ y ( x )] = ∫ ⎢ Fy − dFy′ ⎤ ⎥ ⋅ η ( x )dx . dx ⎦ (1.2.4) Так как η(x) является произвольной функцией, то на основании основной леммы вариационного исчисления получаем необходимое условие экстремума функционала в виде: Fy − dFy′ = 0. (1.2.5) dx Формула (1.2.5) была получена Эйлером и носит его имя. dFy′ В формуле (1.2.5) выражение представляет полную dx производную по х и вычисляется по формуле: dF y′ dx = d ∂F [x , y ( x ), y ′( x )] = ∂y ′ dx ′ ∂2F ∂2F ∂2F = + ⋅ y′ + ⋅ y ′′ = Fxy′ + F yy′ ⋅ y ′ + F y′y′ ⋅ y ′′ . 1.2.6) ∂x∂y ′ ∂y∂y ′ ∂y ′∂y ′ Формула Эйлера (1.2.5) является необходимым условием существования экстремума функционала b J [ y ( x ,α )] = ∫ F [x , y ( x ), y ′( x )]dx . a По аналогии с дифференциальным исчислением можно показать, что на функции у(х), удовлетворяющей условию (1.2.5), достигается минимум функционала, если вторая вариация функционала больше нуля δ 2J[y(x)] = δ{δ J[y(x)]} > 0, и максимум функционала, если вторая вариация меньше нуля δ 2J[y(x)] = δ{δ J[y(x)]} < 0. Если вторая вариация функционала равна нулю δ 2J[y(x)] = δ{δ J[y(x)]} = 0, у(х) функционал достигает то говорят, что на функции стационарного значения. Для доказательства представим функционал J[y0(x)] в ε-окрестности функции y(x), для которой первая вариация функционала равна нулю - δ J[y0(x)] = 0, в виде первых трех членов разложения функционала в ряд Тейлора: J [ y ( x )] = J [ y 0 ( x )] + δJ [ y 0 ( x )] + δ 2 J [ y 0 ( x )] . Так как δ J[y0(x)] = 0, то будем иметь δ 2 J [ y ( x )] = J [ y ( x )] − J [ y 0 ( x )] , и, следовательно 1) если δ 2J[y0(x)] > 0 , то J[y(x)] > J[y0(x)] в ε-окрестности функции y0(x) - функционал достигает минимума на кривой y0(x); 2) если δ 2J[y0(x)] < 0 , то J[y(x)] < J[y0(x)] в ε-окрестности функции y0(x) - функционал достигает максимума на кривой y0(x); 3) если δ 2J[y0(x)] = 0 , то J[y(x)] = J[y0(x)] в ε-окрестности функции y0(x) - признак стационарности функционала. Достижение функционалом стационарного значения соответствует точке перегиба функции в дифференциальном исчислении. Во многих вариационных задачах существование решения очевидно из физического или геометрического смысла задачи. Тогда, если решение уравнения Эйлера, удовлетворяющее граничным условияv единственно, то эта экстремаль и будет единственным решением рассматриваемой задачи. Без доказательства приведем некоторые обобщения формулы Эйлера. 1. Для функционала b ( ) J [ y ( x )] = ∫ F x , y ( x ), y ′( x ), y ′′( x ),..., y ( n ) ( x ) ( x )x , a при у(а) = уа, у(b) = уb, у'(а) = у'a, у'(b) = у'b, …, y ( n−1 ) ( a ) = y a( n−1 ) , y ( n−1 ) ( b ) = yb( n −1 ) , экстремум функционала реализуется для функции у(х), отвечающей условию: n ∂F d ∂F d 2 ∂F ∂F d 3 ∂F n d − + 2 − 3 + ... + (− 1) = 0. n ∂y dx ∂y ′ dx ∂y ′′ dx ∂y ′′′ dx ∂y (n ) (1.2.7) 2. Для функционала от функции нескольких переменных, например, в трехмерном пространстве х, у, z для взаимно независимых функций f(x, у, z), ϕ (x, у, z), ψ(x, у, z) ∈ С J = ∫∫∫ F ( x , y , z , f ,ϕ ,ψ , f x ,ϕ x ,ψ x , f y ,ϕ y ,ψ y , f z ,ϕ z ,ψ z )dΩ , Ω ∂f ∂ϕ ∂ψ . , ϕx = ,....., ψ z = ∂z ∂x ∂z На границе области интегрирования Ω функции f, ϕ, ψ удовлетворяют граничным условиям f = fs, ϕ =ϕs, ψ = ψs. Так как функции f(x, у, z), ϕ(x, у, z), ψ(x, у, z) - независимы, то и их вариации также являются независимыми, и, следовательно, для достижения минимума функционала должны равняться нулю вариации по каждому из независимых аргументов (функций) где fx = ∂f , ∂x fy = ∂f , ∂y δ J f = 0, fz = δ Jϕ = 0 δ Jψ = 0 , (1.2.8) которым соответствуют формулы Эйлера: δJf =0 → ∂F ∂ ∂F ∂ ∂F ∂ ∂F − − − ; ∂f ∂ x ∂f x ∂ y ∂f y ∂ z ∂f z δ Jϕ = 0 → ∂F ∂ ∂F ∂ ∂F ∂ ∂F − − − ; ∂ϕ ∂ x ∂ϕ x ∂ y ∂ϕ y ∂ z ∂ϕ z δJ ψ = 0 → ∂F ∂ ∂F ∂ ∂F ∂ ∂F − − − . ∂ψ ∂ x ∂ψ x ∂ y ∂ψ y ∂ z ∂ψ z (1.2.9) Частные производные по х, у, z являются полными частными производными и вычисляются по формулам: ∂ ∂F ∂2F ∂ 2 F ∂f ∂ 2 F ∂ 2 f ∂2F ∂2 f ∂2F ∂2 f = + + + + , ∂ x ∂f x ∂ x∂f x ∂f ∂f x ∂x ∂f x2 ∂x 2 ∂f y ∂f x ∂ x∂ y ∂f z ∂f x ∂ x∂ z ∂ ∂F ∂2F ∂ 2 F ∂f ∂2F ∂2 f ∂2F ∂2 f ∂2F ∂2 f = + + + + , ∂ y ∂f y ∂ y∂f y ∂f ∂f y ∂y ∂f x ∂f y ∂ x∂ y ∂f y2 ∂ y 2 ∂f z ∂f y ∂ y∂ z ∂ ∂F ∂2F ∂ 2 F ∂f ∂2F ∂2 f ∂2F ∂2 f ∂2F ∂2 f . = + + + + ∂ z ∂f z ∂ z∂f z ∂f ∂f x ∂ z ∂f x ∂f z ∂ x∂ z ∂f y ∂f z ∂ y∂ z ∂f z2 ∂ z 2 Аналогично могут быть получены формулы для полных частых производных подынтегральной функции F при вариациях функционала по аргументам ϕ(x, у, z), ψ(x, у, z). Приведенные сведения из вариационного исчисления отражают лишь минимум необходимых сведений, используемых для доказательства вариационных принципов теории упругости. Для более полного знакомства с вариационными методами можно обратиться к литературе по вариационному исчислению приведенной в конце пособия. 1.3. Задачи на экстремум функционалов. Рассмотрим несколько задач на минимум (экстремум) функционалов и использование формулы Эйлера. Пример 1. Определить функцию у(х), на которой достигается экстремум функционала π ⎛π ⎞ J 1 [ y( x )] = ∫ y 2 − y ′ 2 dx , у(0) = 0, y ⎜ ⎟ = 1. (1.3.1) ⎝2⎠ 0 Для решения задачи используем условия Эйлера (1.2.5) минимума функционала ( ) δJ 1 [ y ( x )] = 0 → F y − . d F y′ = 0 dx Для данного функционала имеем F ( x , y , y ′) = y 2 − y ′ 2 . Тогда получаем ∂ ∂ 2 Fy = y − y ′ 2 = 2 y ; F y′ = y 2 − y ′ 2 = −2 y ′ ; ∂y ′ ∂y d dy ′ = −2 y ′′ . F y′ = −2 dx dx Подставляя результаты в формулу Эйлера, получим 2у + 2у" = 0 или у" + у = 0. (1.3.2) Таким образом, условие Эйлера минимума функционала J1[y(x)] привело к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами (1.3.2) и граничными условиями, известными из постановки ⎛π ⎞ задачи у(0) = 0, y ⎜ ⎟ = 1 . ⎝2⎠ Составляя характеристическое уравнение к2 + 1 = 0, имеющее два чисто мнимых корня k1,2 = ±i, получим общее решение дифференциального уравнения (1.2.2) в виде: у(х) = С1 ⋅ sin x + C2 ⋅ cos x. Из граничных условий определяем ⎛π ⎞ у(0) = С2 = 0, y ⎜ ⎟ = C1 = 1 . ⎝2⎠ Окончательно получаем, что функционал J1[y(x)] достигает экстремума на кривой у(х) = sin x. Пример 2. Определить функцию на которой достигается экстремум функционала ( ) 2 ( ( ) J 1 [ y( x )] = ∫ y 2 + y ′ 2 dx , у(0) = 0, ) у(2) = 1. (1.3.3) 0 Подынтегральная функция F(x,y,y') отличается от предыдущего примера лишь знаком перед у', поэтому из условия Эйлера получим дифференциальное уравнение y − y ′ = 0 , общим решением которого является функция у(х) = С1⋅ ех+ С2⋅ е -х. Удовлетворяя граничным условиям, получим у(0) = C1 + С2 = 0, С2 = -C1; 1 . 2 sh 2 y(x), на которой функционал у(2) = С1⋅ е2+ С2⋅ е -2 = С1⋅(е2 - е -2 ) = 2 С1⋅ sh2 = 1, Откуда получаем функцию J2[y(x)] достигает экстремума C1 = y( x ) = ( ) 1 shx e x − e −x = . 2 sh 2 sh 2 Пример 3. Определить функцию, на которой достигается экстремум функционала 2 ( ) J 3 [ y( x )] = ∫ y ′ 2 + y ⋅ sin x dx , у(0) = 0, у(π) = 1. (1.3.4) 0 Решение: F = у′ 2 + у⋅ sinx, dF y′ Fy = sin х, Fy′ = 2y', dFy′ dx = 2 y ′′ ; 1 sin x . dx 2 Интегрируя дважды найденное из уравнения Эйлера выражение и используя граничные условия, получим: 1 1 y ( x ) = C1 x + C 2 − sin x , у(0) = С2 = 0, у(π) = С1⋅π = 1, C1 = . π 2 Окончательно получаем, что экстремум рассматриваемого функционала реализуется на кривой x 1 y ( x ) = − sin x . π 2 Пример 4. Найти линию минимальной длины, соединяющей две точки на плоскости с координатами х1, у1 и х2, у2. Хотя ответ на этот вопрос ясен, получим его, используя формулу Эйлера. Расстояние между двумя точками плоскости определяется функционалом: Fy − L[ y( ( x )] = x2 ∫ = sin x − 2 y ′′ = 0 , 1 + y′ , y ′′ = у(х1) = у1, у(х2) = у2. (1.3.5) x1 Так как функция F не зависит от у(х) , то Fy = 0, и формула Эйлера запишется в виде: dFy′ = Fy′y′ ⋅ y ′′ = 0 , dx откуда получим, что экстремуму функционала соответствуют условия: у" = 0 или Fy′y ′ = 0. Решением первого дифференциального уравнения будет функция у(х) = С1х + С2, которая определяет прямую линию на плоскости. Из граничных условий получим: y(x1) = C1x1 + С2 = y1 и y(x2) = C2x2 + С2 = y2. Решая полученную систему уравнений, имеем y − y1 y − y1 C1 = 2 , C 2 = y1 − 2 ⋅ x1 , x 2 − x1 x 2 − x1 и окончательно получим уравнение прямой, проходящей через заданные точки, известное из курса аналитической геометрии: y 2 − y1 ⋅ ( x − x1 ) x 2 − x1 Можно показать, что второе условие экстремума рассматриваемого функционала не даст новых, отличных от полученного, решений. y( x ) = y1 + Таким образом, как и следовало ожидать, мы получили, что кратчайшим расстоянием между двумя точками на плоскости является прямая линия. Рассмотрение задачи о геодезической линии (линии кратчайшего расстояния) на криволинейной поверхности, требует дополнительных знаний дифференциальной геометрии и в данном пособии не рассматривается. Пример 5. Рассмотрим задачу о минимальной поверхности вращения. у(х0)= у0, Найти кривую у(х), проходящую через точки которая при вращении вокруг оси х образует у(х1)= у1, поверхность минимальной площади. Площадь поверхности вращения определяется интегралом x1 S = ∫ y( x ) 1 + y ′ 2 ( x )dx . (1.3.6) x0 Находим минимум функционала (1.3.6), используя условие Эйлера. Предварительно заметим, что, так как F = y( x ) 1 + y ′ 2 ( x ) не зависит напрямую от х (F = F[y(x),y'(x)]), то в формуле (1.2.6) частная производная по х равна нулю, и, следовательно, условие Эйлера принимает вид: d Fy − Fy′ = Fy − Fyy′ y ′ − Fy′y′ y ′′ = 0 . (1.3.7) dx Если выражение (1.3.7) домножить на у', то оно становится полной производной по х (F y ) − Fyy′ − Fy′y′ ⋅ y ′′ ⋅ y ′ = ( . 1.3.8) В справедливости полученного выражения можно убедится непосредственным дифференцированием: ∂ F − Fy′ ⋅ y ′ ∂ F − F y′ ⋅ y ′ d F − F y′ ⋅ y ′ = y′ + y ′′ = dx ∂y ∂y ′ ( ) ( ) ( ) = F y ⋅ y ′ − F yy′ ⋅ y ′ 2 + F y′ ⋅ y ′′ − F y′y′ ⋅ y ′ ⋅ y ′′ − F y′ ⋅ y ′′ = ( ) = F y − F yy′ ⋅ y ′ − F y′y′ ⋅ y ′′ ⋅ y ′ . Интегрируя уравнение (1.3.8), получим F − F y ′ ⋅ y ′ = C 1. Так как F y′ = y ⋅ 1 + y′2 − (1.3.9) yy ′ ∂ ⎛ , то из (1.3.9) имеем: ⎜ y ⋅ 1 + y ′ 2 ⎞⎟ = ⎝ ⎠ ′ ∂y 1 + y′2 yy ′ 1 + y′ 2 y′ = ( ) y ⋅ 1 + y ′ 2 − yy ′ 2 1 + y′ 2 = y 1 + y′2 = C1 . Откуда получим y′ = y 2 − C12 C1 , или C1 dy y 2 − C12 Интегрирование последнего выражения дает ) d F − Fy′ ⋅ y ′ = 0 dx = dx . x + C 2 = C1 ⋅ ln y + y 2 − C12 C1 или y+ y 2 − C12 = C1 ⋅ e x + C2 C1 . Умножая последнее соотношение на ⎛⎜ y − y 2 − C12 ⎞⎟ ⋅ e ⎝ ⎠ получим y − y 2 − C12 = C1 ⋅ e Складывая полученное получим решение в явном виде: − x + C2 C1 − x + C2 C1 , . соотношение с предыдущим, x + C2 . (1.3.10) C1 Формула (1.3.10) определяет семейство кривых, называемых цепными линиями, от вращения которых вокруг оси х получаются поверхности минимальной площади, называемые катеноидами. Пример 6. Получить кривую, минимизирующую функционал: y ( x ) = C1 ⋅ ch l ⎡ EI ( x ) 2 ⎤ J [ y( x )] = ∫ ⎢ z y ′′ ( x ) − q( x ) ⋅ y( x )⎥ dx , 2 ⎦ 0⎣ (1.3.11) у(0) = 0, у′′(0) = 0, у( l ) = 0, у′′( l ) = 0, где у(х) - прогиб балки; ЕIz - изгибная жесткость балки (Iz момент инерции поперечного сечения балки, может быть переменным); q(x) - интенсивность распределенной нагрузки. Функционал (1.3.11) представляет собой полную энергию деформации изгиба балки, а минимизация этого функционала при заданных граничных условиях, как следует из принципа Лагранжа, который будет рассмотрен ниже, дает форму прогиба балки от действия распределенной нагрузки q(x). Приведенные граничные условия соответствуют шарнирному опиранию балки. ⎡ EI ( x ) ⎤ Функция F = ⎢ z ⋅ y ′′ 2 ( x ) − q( x ) ⋅ y( x )⎥ зависит от у"(х), 2 ⎣ ⎦ и условие Эйлера определяется формулой (1.2.7): ∂F d ∂F d 2 ∂F − + = 0; ∂ y d x ∂ y ′ d x 2 ∂ y ′′ ∂F = − q( x ) ; ∂y ∂F = 0; ∂ y′ ∂F = EI z ( x ) ⋅ y ′′ ; ∂ y ′′ d 2 ∂F d2 ⎛ d2y⎞ ⎜ ⎟ = (EI z ( x ) ⋅ y ′′)″ ; = EI ( x ) ⋅ z 2 2 ⎜ 2 ⎟ dx ∂y ′′ dx ⎝ dx ⎠ и, следовательно, условие минимума функционала получим в виде: ⎛ d2y⎞ ⎜ EI z ( x ) ⋅ 2 ⎟ − q( x ) = 0 . (1.3.12) ⎜ dx ⎟⎠ ⎝ Таким образом, условию Эйлера минимума функционала (1.3.12) соответствует дифференциальное уравнение изгиба балки. d2 dx 2 В случае балки постоянной жесткости это уравнение запишется в виде: q( x ) y IV − = 0, EI z интегрируя которое при q = const , получим: qx 4 . 24 EI z Удовлетворяем граничные условия задачи при х = 0: у(х) = С0 + С1 х + С2 х2 + С2 х3 − у(0) = С0 = 0; у′′(0) = 2С2 = 0. Учитывая вычисленные коэффициенты, удовлетворяем граничные условия при х = l: ql 4 ql 2 y (l ) = C1 ⋅ l + C 3 ⋅ l 3 − =0; ; y ′′(l ) = 6C 3 ⋅ l − 24 EI z 2 EI z C3 = ql , 12 EI z C1 = − ql 3 ql 3 ql 3 + =− . 12 EI z 24 EI z 24 EI z Подставляя коэффициенты интегрирования, получаем формулу прогибов шарнирно опертой балки при постоянной нагрузке: q y( x ) = − l 3 x − 2lx 3 + x 45 , 24 EI z ( ) что соответствует точному решению сопротивления материалов. В частности, при х = 0,5l получим прогиб в середине балки 3 4 q ⎡3 l 5 ql 4 ⎛l⎞ ⎛l⎞ ⎛l⎞ ⎤ − 2l ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ = − ⋅ . y⎜ ⎟ = − ⎢l 24 EI z ⎣⎢ 2 384 EI z ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ Как видно из приведенных примеров, условия Эйлера экстремума функционала приводят задачу к некоторому дифференциальному уравнению с граничными условиями. Решение дифференциального уравнения и является функцией, на которой функционал достигает экстремума. 1.4. Изопериметрическая задача вариационного исчисления. В простейшей задаче вариационного исчисления которая рассматривалась выше, класс допустимых кривых определялся условиями гладкости (дифференцируемости) и граничными условиями на концах отрезка. Однако ряд приложений вариационного исчисления приводит к задачам, в которых на искомые кривые, кроме граничных накладываются дополнительные условия иного типа. Типичным примером является так называемая изопериметрическая задача, формулируемая следующим образом. Среди кривых, удовлетворяющих условиям у(а) = А, у(b) = В, на которых функционал b J 1 [ y( x )] = ∫ G ( x , y , y ′)dx (1.4.1) a принимает заданное значение функционал l, найти ту, для которой другой b J [ y( x )] = ∫ F ( x , y , y ′)dx a достигает экстремума. (1.4.2) Решение этой задачи определяется теоремой [16,17], которая здесь приводится без доказательства. b Теорема. Если функционал J [ y( x )] = ∫ F ( x , y , y ′) dx достигает a экстремума на кривой у = у(х), у(а) = А, у(b) = В, а функционал J 1 [ y ( x )] на этой кривой удовлетворяет условию b J 1 [ y ( x )] = ∫ G ( x , y , y ′)dx = l , и кривая у = у(х) не является a экстремалью функционала J1[y(x)], то существует такая постоянная λ, что эта кривая является экстремалью функционала b J 0 [ y( x )] = ∫ (F + λ ⋅ G )dx . (1.4.3) a Иными словами, чтобы найти экстремаль функционала (1.4.2) с дополнительным условием, наложенным на функционал (1.4.1), необходимо составить условия Эйлера для составного функционала (1.4.3) и получить кривую, удовлетворяющую этим условиям и граничным условиям задачи. Решение, удовлетворяющее условиям Эйлера для функционала (1.4.3), даст семейство кривых, определяемых параметром λ, из которых искомое решение должно удовлетворять условию наложенному на функционал (1.4.1). Пример. Рассмотрим задачу о наибольшей площади, описанную выше. Найти кривую в верхней полуплоскости, проходящую через точки (-a,0) и (a,0), имеющую заданную длину 2l (l > а) и охватывающую вместе с отрезком [-а, а] максимальную площадь. Решение. Ищем кривую у = у(х), для которой J 1 [ y ( x )] = а интеграл a ∫ 1 + y ′ 2 dx = 2l , у(-a) = у(a) = 0, −a J [ y ( x )] = (функционал) a ∫ y(x )dx принимает −a максимальное значение. Составим функционал a J 0 [ y ( x )] = J [ y ( x )] + λ ⋅ J 1 [ y ( x )] = ∫ ⎛⎜ y + λ ⋅ 1 + y ′ 2 ⎞⎟dx . ⎝ ⎠ −a Тогда F = y + λ ⋅ 1 + y ′ 2 ; Fy =1; F y′ = λ y′ 1 + y′2 (1.4.4) . Составим условие Эйлера 1− λ y′ d =0, dx 1 + y ′ 2 Из этого условия, интегрируя его, находим y′ y′ x−λ = C1 или λ = x1 − C1 . 2 1 + y′2 1 + y′ Возводя правую и левую части последнего соотношения в квадрат, после очевидных преобразований, разделяя переменные, приходим к уравнению x − C1 , y′ = λ2 − ( x − C1 )2 интегрируя которое, получаем уравнение (x – C1)2 + (y – C2)2 = λ2, (1.4.5) которое представляет семейство окружностей радиуса λ с центром в точке (хс = С1, ус = С2) Определяя значения параметров C1, C2, λ из граничных условий у(-а) = у(b) = 0 и из условия J 1 [ y ( x )] = a ∫ 1 + y ′ 2 dx = 2l , −a получаем окружность, отвечающую условиям задачи. II. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ И ПЛОСКАЯ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. ПРИНЦИП ЛАГРАНЖА Напряженно-деформированное состояние твердого деформируемого тела в общем случае (пространственная задача) описывается системой 15-ти уравнений с 15-ю неизвестными: 1) компоненты тензора напряжений: σx, σy, σz - нормальные напряжения; τxy, τyz, τzx, - касательные напряжения; 2) компоненты тензора деформаций: εx, εy, εz, - линейные относительные деформации, γxy, γyz, γzx, - угловые деформации; 3) компоненты вектора перемещений - и, v, w. На тело действуют объемные силы - компоненты вектора и на границе тела действуют объемных сил - X, Y, Z поверхностные нагрузки - компоненты вектора поверхностных сил - Хν , Yν , Zν (qx, qy, qz). Компоненты вектора поверхностных сил связаны с напряжениями статическими граничными условиями. В состав уравнений пространственной теории упругости входят: а) 3 уравнения равновесия для шести функций напряжений; б) 6 уравнений деформаций, связывающих шесть функций деформаций с тремя функциями перемещений; в) 6 соотношений закона Гука, связывающих компоненты тензора напряжений с компонентами тензора деформаций. В законе Гука используются физические характеристики изотропного материала: λ, µ - параметры Ляме или Е, ν - модуль упругости и коэффициент Пуассона и G - модуль сдвига. Важнейшими характеристиками напряженнодеформирован-ного состояния твердого деформируемого тела являются потенциальная и полная энергии деформаций тела. В ряде случаев удается упростить задачу, вводя ограничения на форму и размеры рассматриваемых тел и характер действующих нагрузок. В случае плоской задачи (плоское напряженное состояние, плоская деформация) напряженно-деформированное состояние описывается системой 8-ми уравнений с 8-ю неизвестными: - напряжения - σх, σу, τxy; - деформации - εх, εу, γxy; - перемещения - и, v. Изгиб тонкой пластинки при введении гипотез Кирхгофа приводится к одному дифференциальному уравнению в частных производных 4-го порядка, с одной функцией - w - прогибами пластинки. Ниже приводятся основные уравнения пространственной и плоской теории упругости. 2.1. Основные уравнения теории упругости. А. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА 1) Уравнения равновесия (Навье, Коши) ∂σ x ∂τ xy ∂τ xz + + + X = 0б ∂x ∂y ∂z ∂τ yx + ∂x ∂σ y ∂y + ∂τ yz ∂z +Y =0, (2.1.1) ∂τ zx ∂τ zy ∂σ z + + +Z =0. ∂x ∂y ∂z 2) Уравнения деформаций (Коши) εx = ∂v ∂w ∂u , εx = , εx = , ∂x ∂y ∂z γ xy = ∂w ∂u ∂u ∂v ∂v ∂w + , γ yz = + , γ zx = + . ∂ y ∂x ∂z ∂ y ∂x ∂z (2.1.2) 3) Закон Гука (изотропный материал) а) прямой закон Гука σ x = λθ + 2µε x , τ xy = µγ xy , σ y = λθ + 2µε y , τ yz = µγ yz , σ z = λθ + 2 µε z , τ zx = µγ zx ; (2.1.3,а) б) обратный закон Гука εx = [ ( )] 1 1 σ x − ν σ y + σ z = [(1 + ν )σ x − νσ ] , E E γ xy = τ xy G , τ 1 1 σ y − ν (σ z + σ x ) = (1 + ν )σ y − νσ , γ yz = xz , (2.1.3,б) E E G τ 1 1 ε z = σ z − ν σ x + σ y = [(1 + ν )σ z − νσ ], γ zx = zx . E E G θ = ε x + ε y + ε z - первый инвариант тензора деформаций εy = [ [ ] ( [ ] )] (относительная объемная деформация), σ = σ x + σ y + σ z - первый инвариант тензора напряжений. Из формул для касательных напряжений и угловых деформаций прямого и обратного законов Гука, очевидно, что µ = G , т.е. коэффициент Ляме µ является модулем сдвига G. Модуль сдвига G определяется через модуль упругости Е и коэффициент Пуассона v по формуле: E G=µ= . (2.1.4) 2(1 + ν ) Складывая формулы для нормальных напряжений σx, σy, σz и линейных относительных деформаций εx, εy, εz прямого и обратного законов Гука, получим объемный закон Гука: θ= 1 − 2ν 1 σ= σ. E 3λ + 2µ (2.1.5) Формула (2.1.5) называется объемным законом Гука, так как первый инвариант тензора деформаций θ равен относительной объемной деформации, т.е. отношению приращения объема деформированного тела к первоначальному объему. Учитывая связь механических характеристик Е, G, v, µ и формулу объемного закона Гука, можно получить связь между механическими характеристиками материала - коэффициентами Ляме λ, µ и модулем упругости Е и коэффициентом Пуассона v : µ =G = E= E , 2(1 + ν ) λ= µ (3λ + 2 µ ) , λ+µ ν ⋅E ; (1 + ν )(1 − 2ν ) ν= λ 2(λ + µ ) . (2.1.6) 4) Уравнения неразрывности деформаций (Сан-Венан). Уравнения (2.1.1), (2.1.2), (2.1.3,а) или (2.1.3,б) представляют полную систему пространственной теории упругости. Однако, если задача решается в напряжениях, без привлечения уравнений деформаций, то к уравнениям равновесия и закон Гука добавляются уравнения неразрывности деформаций: 2 2 ∂ 2ε x ∂ ε y ∂ γ xy = , + ∂x∂y ∂x 2 ∂y 2 ∂ 2ε y ∂z 2 + 2 ∂ 2ε z ∂ γ yz = , ∂y∂z ∂y 2 ∂ 2ε z ∂ 2ε x ∂ 2γ zx , + = ∂z∂x ∂x 2 ∂z 2 ∂ 2ε x ∂ ⎛ ∂γ yz ∂γ zx ∂γ xy ⎞ ⎟, = ⎜− + + ∂y∂z ∂x ⎜⎝ ∂x ∂y ∂z ⎟⎠ 2 2 ∂ 2ε y ∂z∂x 2 = ∂ ⎛ ∂γ yz ∂γ zx ∂γ xy ⎞ ⎜ ⎟ , (2.1.7) − + ∂y ⎜⎝ ∂x ∂y ∂z ⎟⎠ ∂ 2ε z ∂ ⎛ ∂γ yz ∂γ zx ∂γ xy ⎞ ⎟. = ⎜ + − ∂x∂y ∂z ⎜⎝ ∂x ∂y ∂z ⎟⎠ Уравнения неразрывности, кроме сплошности тела при его деформировании, обеспечивают однозначность определения перемещений при интегрировании уравнений деформаций (2.1.2). При этом, если перемещения определяются интегрированием трех уравнений линейных деформаций, удовлетворяющих уравнениям неразрывности, то уравнения угловых деформаций удовлетворяются тождественно. Если перемещения определяются интегрированием уравнений угловых деформаций, то соотношения для линейных деформаций удовлетворяются тождественно. 5) Граничные условия. При решении конкретной задачи, решение должно удовлетворять системе уравнений теории упругости (2.1.1), (2.1.2), (2.1.3) и граничным условиям на поверхности тела: а) граничные условия в напряжениях (статические) σ x l + τ xy m + τ xz n = X ν ⎫ ⎪ τ yx l + σ y m + τ yz n = Yν ⎬ на Sσ , ⎪ τ zx l + τ zy m + σ z n = Zν ⎭ (2.1.8) где l = cos(x^v), m = cos(y^v), n = cos(y^v) - направляющие косинусы нормали v к поверхности тела; Sσ - часть поверхности тела, где задана поверхностная распределенная нагрузка; б) граничные условия в перемещениях (кинематические) и = us, v == vs, w = ws, на Su, (2.1.9) где us, vs, ws - перемещения, заданные на поверхности тела; Su часть поверхности, где заданы перемещения. б) Уравнения равновесия в перемещениях. При подстановке уравнений деформаций (2.1.2) в уравнения равновесия (2.1.3) и использовании соотношений закона Гука (2.1.З,а) система уравнений теории упругости приводится к трем уравнениям равновесия в перемещениях: (λ + µ ) ∂θ + µ ⋅ ∇ 2u + X = 0 , (λ + µ ) ∂θ + µ ⋅ ∇ 2v + Y = 0 , (λ + µ ) ∂θ + µ ⋅ ∇2w + Z = 0 , ∂x ∂y ∂z (2.1.10) ∂ 2 .. ∂ 2 .. ∂ 2 .. ∂u ∂v ∂w ; + + ∇ 2 .. = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z ∂z ∂y ∂x оператор Лапласа в декартовой системе координат. Статические граничные условия в напряжениях (2.1.8) на Sσ записываются в перемещениях в соответствии с формулами деформаций и закона Гука где θ = εx + εy + εz = ⎫ ⎛ ∂u ∂v ⎞ ∂u ⎞ ⎛ ⎛ ∂u ∂w ⎞ + ⎟⎟ ⋅ m + µ ⋅ ⎜ + ⎟ ⋅ n = Xν ⎪ ⎜ λθ + 2 µ ⎟ ⋅ l + µ ⋅ ⎜⎜ ∂x ⎠ ⎝ ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎝ ∂y ∂x ⎠ ⎪ ⎪ ⎛ ∂u ∂v ⎞ ⎛ ⎛ ∂v ∂w ⎞ ∂v ⎞ ⎪ ⎟⎟ ⋅ n = Yν ⎬ на Sσ . µ ⋅ ⎜⎜ + ⎟⎟ ⋅ l + ⎜⎜ λθ + 2µ ⎟⎟ ⋅ m + µ ⋅ ⎜⎜ + ∂y ⎠ ⎝ ∂y ∂x ⎠ ⎝ ⎝ ∂z ∂y ⎠ ⎪ ⎪ ⎛ ∂v ∂w ⎞ ∂w ⎞ ⎛ ⎛ ∂u ∂w ⎞ ⎟⎟ ⋅ m + ⎜ λθ + 2 µ µ ⋅⎜ + ⎟ ⋅ n = Zν ⎪ ⎟ ⋅ l + µ ⋅ ⎜⎜ + ∂z ⎠ ⎪⎭ ⎝ ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎝ ∂z ∂y ⎠ (2.1.11) 7) Уравнения теории упругости в напряжениях. При решении задачи в напряжениях используются уравнения равновесия (2.1.1) и уравнения неразрывности деформаций (2.1.7), которые с учетом соотношений закона Гука (2.1.3,б) и уравнений равновесия приводятся к системе уравнений неразрывности деформаций в напряжениях: ( 1 + ν )∇ 2σ x + 1 +ν ∂ 2σ =− 2 1 −ν ∂x ⎡ ⎛ ∂X ∂Y ∂Z ⎞⎤ ∂X ⎟⎟⎥ , + + + ν ⎜⎜ ⎢2(1 − ν ) ∂x ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠⎦ ⎣ ( 1 + ν )∇ 2σ y + 1 +ν ∂ 2σ =− 2 1 −ν ∂y ⎡ ⎛ ∂X ∂Y ∂Z ⎞⎤ ∂Y ⎟⎟⎥ , + ν ⎜⎜ + + ⎢2(1 − ν ) ∂y ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠⎦ ⎣ ( 1 + ν )∇ 2σ z + ⎛ ∂X ∂Y ∂Z ⎞⎤ 1 +ν ⎡ ∂ 2σ ∂Z ⎟⎟⎥ , + =− + ν ⎜⎜ + ⎢2(1 − ν ) 2 1 −ν ⎣ Z ∂z ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠⎦ ∇ 2τ xy + ⎛ ∂X ∂Y ⎞ 1 ∂ 2σ ⎟⎟ , = −⎜⎜ + 1 + ν ∂x∂y ⎝ ∂y ∂x ⎠ ∇ 2τ yz + ⎛ ∂Y ∂Z ⎞ 1 ∂ 2σ ⎟⎟ , = −⎜⎜ + 1 + ν ∂y∂z ⎝ ∂z ∂y ⎠ ∇ 2τ zx + 1 ∂ 2σ ⎛ ∂Z ∂X ⎞ = −⎜ + ⎟. 1 + ν ∂z∂x ⎝ ∂x ∂z ⎠ (2.1.12) Система неразрывности деформаций в напряжениях (2.1.12) решается совместно с уравнениями равновесия (2.1.1). 8) Потенциальная и полная энергия деформаций. Важнейшей характеристикой напряженно-деформированного состояния твердого деформируемого тела является потенциальная энергия деформаций, представляющая энергию деформаций или работу внутренних сил. Потенциальная энергия деформаций определяется интегралом удельной потенциальной энергии по объему деформируемого тела: 1 U = ∫∫∫ σ x ε x + σ y ε y + σ z ε z + τ xy γ xy + τ yz γ yz + τ zx γ zx dΩ , (2.1.13) 2 Ω ( ) где Ω - область (объем), занимаемая телом. Используя прямой и обратный законы Гука и уравнения деформаций, получим формулы потенциальной энергии деформаций в напряжениях, деформациях и перемещениях: U= [ ( ) 1 2 2 2 ∫∫∫ σ x + σ y + σ z − 2ν σ xσ y + σ yσ z + σ zσ x + 2E Ω ( ) + µ (γ )] )]dΩ ; (2.1.13,б) 2 2 + 2( 1 + ν ) τ xy + τ yz + τ zz2 dΩ ; (2.1.13,а) U= [ ( 1 2 2 2 2 ∫∫∫ λθ + 2µ ε x + ε y + ε z 2 Ω 2 xy 2 + γ yz + γ zx2 2 ⎡⎛ ∂u ⎞ 2 ⎛ ∂v ⎞ 2 ⎛ ∂w ⎞ 2 ⎤ ⎧ ⎛ ∂u ∂v ∂w ⎞ 1 ⎟ + 2 µ ⎢⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ + + + U = ∫∫∫ ⎨λ ⎜⎜ 2 Ω ⎩ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎟⎠ ⎢⎣⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎠ ⎥⎦ ⎡⎛ ∂u ∂v ⎞ 2 ⎛ ∂v ∂w ⎞ 2 ⎛ ∂w ∂u ⎞ 2 ⎤ ⎫⎪ ⎟⎟ + ⎜ + ⎟ ⎥ ⎬ dΩ . (2.1.13,в) + µ ⎢⎜⎜ + ⎟⎟ + ⎜⎜ + ⎢⎣⎝ ∂y ∂x ⎠ ⎝ ∂z ∂y ⎠ ⎝ ∂x ∂z ⎠ ⎥⎦ ⎪ ⎭ Полная энергия деформаций Э представляет комбинацию потенциальной энергии деформаций U и работы внешних сил T Э = U − T, T = ∫∫∫ ( X ⋅ u + Y ⋅ v + Z ⋅ w) dΩ + ∫∫ ( X ν ⋅ u + Yν ⋅ v + Zν ⋅ w)ds , (2.1.14) Ω S где объемный интеграл соответствует работе объемных сил, а интеграл по поверхности тела S - работе поверхностных сил. Кроме объемных и поверхностных сил, в работу внешних сил может быть включена работа сосредоточенных сил, равная сумме произведений сосредоточенных сил на соответствующие перемещения точек приложения сил по направлению действия этих сил. Б. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА Система уравнения теории упругости значительно упрощается, если ограничиться рассмотрением тел и нагрузок определенного типа, позволяющих применение упрощающих гипотез. К таким типам относят плоскую задачу теории упругости и задачу по расчету стержневых конструкций. Стержневые системы рассматриваются в курсе сопротивления материалов, где введение упрощающих гипотез позволяет свести задачу по расчету стержней к одномерной задаче. В плоской задаче теории упругости рассматриваются призматические тела. При этом рассматриваются два типа задач: плоское напряженное состояние и плоская деформация. Плоское напряженное состояние. Рассматриваются тонкие пластинки постоянной толщины, на которые действует равномерно распределенная по толщине пластинки нагрузка, параллельно плоскости пластинки (плоскость ху). В этом случае принимаются гипотезы об отсутствии нормальных напряжений, перпендикулярных плоскости пластинки - σz = 0, и касательных напряжений τzх = τzу = 0. Кроме того, в соответствии с законом γzх = γzу = 0 и ε z = − ν ( ) σ x + σ y . При этом все функции E напряжений, деформаций и перемещений (не равные нулю) становятся функциями координат х, у. Плоская деформация. Рассматриваются длинные (теоретически - бесконечно длинные) призматические тела (тело постоянного поперечного сечения) с нагрузкой, равномерно распределенной по длине тела (ось z) и действующей перпендикулярно оси тела. В этом случае принимают гипотезу об отсутствии перемещений вдоль оси z, вследствие чего εz = γzx = γzy = 0. При этом, согласно закону Гука, имеем τzх = τzу = 0 и σz = -ν(σx + σy). Системы уравнений плоской задачи теории упругости для плоского напряженного состояния и плоской деформации отличаются формой закона Гука. Однако их можно привести к общему виду, если для плоской деформации ввести так называемые приведенные модуль упругости Е1 и коэффициент Пуассона v1 по формулам: E ν . (2.1.15) E1 = , ν1 = 2 1 −ν 1 −ν Гука При этом, модуль сдвига остается неизменным E1 E E G1 = = = =G. ν ⎞ 2(1 + ν ) 2(1 + ν 1 ) 2 ⎛ 2 1 − ν ⎜1 + ⎟ ⎝ 1 −ν ⎠ ( ) Для плоского напряженного состояния Е1 = Е, ν1 = ν . Система уравнений плоской теории упругости. 1) Уравнения равновесия ∂σ x ∂τ xy + + X =0, ∂x ∂y ∂τ yx + ∂x ∂σ y ∂y +Y =0, (2.1.16) 2) Уравнения деформаций εx = ∂u , ∂x εx = ∂v , ∂y γ xy = ∂u ∂v + . ∂u ∂x (2.1.17) 3) Закон Гука а) прямой закон Гука σx = ( ) ( ) E1 E ε x + ν 1ε y , σ y = 1 2 ε y + ν 1ε x , τ xy = Gγ xy ; (2.1.18,а) 2 1 − ν1 1 − ν1 б) обратный закон Гука εx = ( ) 1 σ x − ν 1σ y , E1 εy = ( ) 1 σ y − ν 1σ x , E1 γ xy = 1 τ xy ; (2.1.18,б) G 4) Уравнение неразрывности деформаций. Из шести уравнений деформаций остается лишь одно уравнение (остальные удовлетворяются тождественно) 2 2 ∂ 2ε x ∂ ε y ∂ γ xy = + . ∂x∂y ∂x 2 ∂y 2 (2.1.19) Используя закон Гука и уравнения равновесия, получим уравнение неразрывности деформаций в напряжениях ⎛ ∂X ∂Y ⎞ ⎟⎟ , ∇ 2 σ x + σ y = − (1 + ν 1 ) ⎜⎜ + ⎝ ∂x ∂y ⎠ ( ) (2.1.20) ∂ 2 .. ∂ 2 .. - оператор Лапласа на плоскости. + ∂x 2 ∂y 2 Если объемные силы X, Y постоянны, то уравнение неразрывности деформаций принимает вид: где ∇ 2 .. = ( ) ∇2 σ x + σ y = 0 , (2.1.20,а) следовательно, сумма нормальных напряжений плоской задачи теории упругости в этом случае является гармонической функцией. 5) Граничные условия а) граничные условия в напряжениях (статические) σ x ⋅ l + τ xy ⋅ m = X ν ⎫⎪ ⎬ τ xy ⋅ l + σ y ⋅ m = Yν ⎪⎭ на Sσ ; (2.1.21) б) граничные условия в перемещениях (кинематические) и = us, v = vs на Sи. (2.1.22) 5) Уравнения плоской задачи теории упругости для функции напряжений Система уравнений плоской задачи теории упругости в напряжениях включает систему уравнений равновесия (2.1.16), к которым добавляется уравнение неразрывности деформаций в напряжениях (2.1.20). Если объемные силы являются константами или отсутствуют, то система трех уравнений в напряжениях приводится к одному разрешающему уравнению, если ввести функцию напряжений ϕ (х,у) по формулам: σx = ∂ 2ϕ , ∂y 2 σy = ∂ 2ϕ , ∂x 2 τ xy = − ∂ 2ϕ − X ⋅ y −Y ⋅ x. ∂x∂y (1.1.23) Тогда уравнения равновесия (2.1.16) удовлетворяются тождественно, а уравнение неразрывности принимает вид: ∇ 4ϕ = ∇ 2 ∇ 2ϕ = 0 , (2.1.24) 2 ⎛ ∂ 2 .. ∂ 2 .. ⎞ ∂ 4 .. ∂ 4 .. ∂ 24 .. где ∇ .. = ∇ ∇ .. = ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ = 4 + 2 2 2 + 4 ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y ⎠ ⎝ ∂x бигармонический оператор в двухмерной области. Таким образом, функция напряжений в этом случае является бигармонической функцией. 4 2 2 6) Уравнения плоской задачи теории упругости в перемещениях: 2 2 ∂ 2 v 2 1 − ν 12 ∂ u ∂ u 2 2 + (1 − ν 1 ) 2 + (1 + ν 1 ) + X =0, ∂x∂y E1 ∂y ∂x ( ) ( ) ∂ 2 v 2 1 − ν 12 u ∂ 2v + (1 − ν 1 ) 2 + 2 2 + Y =0. ∂x∂y E1 ∂y ∂x (2.1.25) Статические граничные условия в перемещениях запишутся в виде: (1 + ν 1 ) ∂ 2 ⎛ ∂u 1 − ν 1 ⎛ ∂u ∂v ⎞ 1 − ν 12 ∂v ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ Xν , + ⎟⎟ ⋅ m = + ν 1 ⎟⎟ ⋅ l + 2 ⎝ ∂y x⎠ E1 ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎛ ∂u ∂v ⎞ 1 − ν 1 ⎛ ∂u ∂v ⎞ 1 − ν 12 ⎜⎜ + ⎟⎟ ⋅ l + ⎜⎜ν 1 + ⎟⎟ ⋅ m = Yν . 2 ⎝ ∂y x⎠ E1 ⎝ ∂x ∂y ⎠ (1.1.26) 7) Потенциальная энергия деформаций и работа внешних сил 1 U = ∫∫ σ xε x + σ y ε y + τ xyγ xy dA = 2A ( = = = ) [ ] 1 2 2 2 ∫∫ σ x + σ y − 2ν 1σ xσ y + 2(1 + ν 1 )τ xy dA = 2 E1 A E1 2 1 − ν 12 ( ⎡ 2 ε x + ε y2 + 2ν 1ε x ε y + ∫∫ ⎢ ) A ⎣ (1 − ν 1 ) γ 2 ⎤ dA = 2 (2.1.27) xy ⎥ ⎦ 2 ⎡⎛ ∂u ⎞ 2 ⎛ ∂v ⎞ 2 ∂u ∂v (1 − ν 1 ) ⎛ ∂u ∂v ⎞ ⎤ ⎢ ⎥ dA ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ν + + ⋅ + + 1 ∫∫ ⎜ ⎟ ⎜ ∂y ⎟ 2 ⎜⎝ ∂y ∂x ⎟⎠ ⎥ ∂x ∂y 2 1 − ν 12 A ⎢⎣⎝ ∂x ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ . Работа внешних сил определяется по формуле ( E1 ) T = ∫∫ ( X ⋅ u + Y ⋅ v ) dA + A ∫ (Xν ⋅ u + Yν ⋅ v ) ds, Sσ (2.1.28) где Sσ - часть контура пластинке, на которой заданы статические граничные условия. 2.2. Принцип Лагранжа. Потенциальная и полная энергии деформаций представляют собой функционалы Эйлеровского типа и могут исследоваться на экстремум на основе формул Эйлера вариационного исчисления. Одним из основных вариационных принципов, использующим функционал полной энергии деформаций, является принцип Лагранжа, на основе которого разработаны различные вариационные методы решения задач теории упругости. Сформулируем и докажем принцип Лагранжа: Их всех кинематически возможных напряженно-деформированных состояний твердого деформируемого тела для действительного деформированного состояния полная энергия деформаций достигает минимального значения Э = Эmin. (2.2.1) Тогда, согласно принципам вариационного исчисления, вариация полной энергии деформаций равна нулю δЭ = 0. (2.2.2) Под кинематически возможным напряженно-деформированным состоянием понимается любое деформированное состояние тела, не противоречащее наложенным на тело кинематическим связям. Кинематические связи - связи наложенные на перемещения отдельных точек и частей тела. Другими словами, если некоторые точки тела закреплены, или для них заданы некоторые, вполне определенные перемещения, то в качестве возможных деформированных состояний должны приниматься функции, для которых выполнены эти условия. Доказательство 1. Докажем принцип Лагранжа, используя непосредственное варьирование функционала полной энергии деформаций, записанного в перемещениях, и проводя варьирование под знаком интеграла Э = δU - δT = 0, δU = [ ( )] ) ( 1 2 2 2 2 2 2 2 ∫∫∫ δ λθ + 2µ ε x + ε y + ε z + µ γ xy + γ yz + γ zx dΩ = 2 Ω [ ( ) = ∫∫∫ λθ ⋅ δθ + 2 µ ε x ⋅ δε x + ε y ⋅ δε y + ε z ⋅ δε z + Ω ( + µ γ xy ⋅ δγ xy + γ yz ⋅ δγ yz + γ zx ⋅ δγ zx )] dΩ , δT = ∫∫∫ δ ( X ⋅ u + Y ⋅ v + Z ⋅ w) dΩ + ∫∫ δ ( X ν ⋅ u + Yν ⋅ v + Zν ⋅ w) dS = Ω Sσ = ∫∫∫ ( X ⋅ δ u + Y ⋅ δ v + Z ⋅ δ w) dΩ + ∫∫ ( X ν ⋅ δ u + Yν ⋅ δ v + Zν ⋅ δ w) dS . Ω Sσ ( ) Учитывая, что δθ = δ ε x + ε y + ε z = δε x + δε y + δε z и группируя в выражении вариации потенциальной энергии деформаций слагаемые при вариациях одноименных деформаций и учитывая закон Гука (3.1.3,а), получим δU = ∫∫∫ [(λθ + 2 µε x )δε x + (λθ + 2 µε y )δε y + (λθ + 2µε z )δε z + Ω ( + µ γ xy δγ xy + γ yz δγ yz + γ zx δγ zx ( )] dΩ = ) = ∫∫∫ σ x δε xy + σ y δε y + σ z δε z + τ xy δγ xy + τ yz δγ yz + τ zx δγ zx dΩ . Ω (2.2.3) Формула (2.2.3) называется формулой Клапейрона. Используя уравнения деформаций (2.1.2) и меняя порядок производной и вариации, имеем: ∂v ∂δv ∂u ∂δu ∂w ∂δw = δε x = δ ; δε y = δ ; δε z = δ ; = = ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ⎛ ∂u ∂v ⎞ ∂δu ∂δv ⎛ ∂v ∂w ⎞ ∂δv ∂δw ⎟⎟ = + + ; δγ yz = δ ⎜⎜ + ; δγ xy = δ ⎜⎜ + ⎟⎟ = ∂x ∂y ⎝ ∂y ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂z ∂y ⎠ ∂z ⎛ ∂w ∂u ⎞ ∂δw ∂δu . + ⎟= + ∂z ⎝ ∂x ∂z ⎠ ∂x Рассмотрим известную из математического анализа формулу Гаусса-Остроградского δγ zx = δ ⎜ ⎛ ∂P ∫∫∫ ⎜⎜ ∂x + Ω где ∫∫ ⎝ ∂Q ∂R ⎞ ⎟ dΩ = ∫∫ (P ⋅ l + Q ⋅ m + R ⋅ n ) ds , + ∂y ∂z ⎟⎠ S (2.2.4) - интеграл по границе (поверхности) тела; l, m, n - S направляющие косинусы нормали к поверхности тела. Используя формулу Гаусса−Остроградского, получим формулу интегрирования объемного интеграла по частям. Учитывая, что ⎡∂ ∂ ∂ ⎤ ∫∫∫ ⎢ ∂x (G ⋅ P ) + ∂y (G ⋅ Q ) + ∂z (G ⋅ R )⎥ dΩ = Ω ⎦ ⎣ ⎛ ∂G ⎛ ∂P ∂Q ∂R ⎞ ∂G ∂G ⎞ ⎟ dΩ , ⎟⎟dΩ + ∫∫∫ ⎜⎜ P +Q +R = ∫∫∫ G ⋅ ⎜⎜ + + ∂x ∂y ∂z ⎟⎠ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ Ω Ω ⎝ и применяя к интегралу в левой части равенства формулу Гаусса− Остроградского, получим после группировки слагаемых ⎛ ∂P ∫∫∫ G ⋅ ⎜⎜ ∂x ⎝ Ω + ∂Q ∂R ⎞ ⎟dΩ = ∫∫ G (P ⋅ l + Q ⋅ m + R ⋅ n ) ds − + ∂y ∂z ⎟⎠ S ⎛ ∂G ∂G ∂G ⎞ ⎟ dΩ . (2.2.5) − ∫∫∫ ⎜⎜ P +Q +R ∂x ∂y ∂z ⎟⎠ Ω ⎝ P, Q, R, G ∈ С1 - произвольные, один раз Здесь дифференцируемые функции. Проинтегрируем по частям слагаемые в полученной ранее формуле вариации потенциальной энергии деформаций (2.2.3): ∂σ x ∂δ u ∫∫∫ σ x ∂x dΩ = − ∫∫∫ ∂x δ u dΩ + ∫∫ σ x l ⋅ δ u ds ; Ω σ S ∫∫∫ σ y ∂σ y ∂δ v dΩ = − ∫∫∫ δ v dΩ + ∫∫ σ y m ⋅ δ v ds ; ∂y ∂y σ S ∫∫∫ σ z ∂σ z ∂δ w dΩ = − ∫∫∫ δ w dΩ + ∫∫ σ z n ⋅ δ wds ; ∂z ∂z σ S Ω Ω ⎛ ∂δ u ∂δ v ⎞ ⎟ dΩ = + ∂x ⎟⎠ ⎝ ∂y ∫∫∫ τ xy ⎜⎜ Ω ∂τ yx ⎞ ⎛ ∂τ xy = − ∫∫∫ ⎜⎜ δu + δv ⎟⎟ dΩ + ∫∫ τ xy (m ⋅ δu + l ⋅ δv )ds ; ∂ y ∂ x Ω ⎝ S ⎠ ⎛ ∂δ v ∂δ w ⎞ ⎟ dΩ = + ∂y ⎟⎠ ⎝ ∂z ∫∫∫ τ yz ⎜⎜ Ω ∂τ ⎛ ∂τ yz ⎞ = − ∫∫∫ ⎜⎜ δv + zy δw ⎟⎟ dΩ + ∫∫ τ yz (n ⋅ δw + m ⋅ δv )ds ; ∂y Ω ⎝ ∂z S ⎠ ⎛ ∂δw ∂δ u ⎞ + ⎟ dΩ = ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∫∫∫ τ zx ⎜ Ω ∂τ ⎛ ∂τ ⎞ = − ∫∫∫ ⎜ zx δw + xz δu ⎟ dΩ + ∫∫ τ xy (l ⋅ δw + n ⋅ δu )ds . ∂z ⎠ Ω ⎝ ∂x S Подставляя полученные выражения в формулу вариации полной энергии деформаций (2.2.3) и группируя слагаемые при вариациях независимых функций перемещений δu, δv, δw, получим ⎧⎪⎛ ∂σ x ∂τ xy ∂τ xz ⎞ + X ⎟⎟δu + + + ∂z ∂y ⎪⎩⎝ ∂x ⎠ δЭ = δU − δT = − ∫∫∫ ⎨⎜⎜ Ω ⎫⎪ ∂τ zy ∂σ z ⎛ ∂τ yx ∂σ y ∂τ yz ⎞ ⎛ ∂τ ⎞ + ⎜⎜ + + + Y ⎟⎟δv + ⎜⎜ zx + + + Z ⎟⎟ ⋅ δw⎬dΩ + ∂y ∂z ∂y ∂z ⎪⎭ ⎝ ∂x ⎝ ∂x ⎠ ⎠ [( ) ( ) + ∫∫ σ x ⋅ l + τ xy ⋅ m + τ xz ⋅ n − X ν δu + τ yx ⋅ l + σ y ⋅ m + τ yz ⋅ n − Yν δv + S ( ) + τ zx ⋅ l + τ zy ⋅ m + σ z ⋅ n − Zν ⋅ δw . (2.2.6) Поскольку вариации δu, δv, δw являются независимыми, то для выполнения условия (2.2.6) необходимо, чтобы равнялись нулю интегралы при вариациях каждой независимой функции перемещений для объемного и поверхностного интегралов: ⎛ ∂σ x ∂τ xy ∂τ xz ⎞ ∫∫∫ ⎜⎜ ∂x + ∂y + ∂z + X ⎟⎟ δ u dΩ = 0 , Ω ⎝ ⎠ ⎞ ⎛ ∂τ yx ∂σ y ∂τ yz + Y ⎟⎟ δ v dΩ = 0 , + + ∂z ∂y Ω ⎝ ∂x ⎠ ∂ τ ⎛ ∂τ zx ⎞ ∂σ z zy ∫∫∫ ⎜⎜ ∂x + ∂y + ∂z + Z ⎟⎟ δ wdΩ = 0 ; Ω ⎝ ⎠ ∫∫∫ ⎜⎜ (2.2.7) ∫∫ (σ x ⋅ l + τ xy ⋅ m + τ xz ⋅ n )δ u d s = 0 , Sσ ∫∫ (τ yx ⋅ l + σ y ⋅ m + τ yz ⋅ n )δ v d s = 0 , Sσ ∫∫ (τ zx ⋅ l + τ zy ⋅ m + σ z ⋅ n )δ wd s = 0 . (2.2.8) Sσ Применяя к каждому из равенств (2.2.7) и (2.2.8) основную лемму вариационного исчисления, получим окончательные условия, при которых функционал полной энергии деформаций достигает минимального значения: ∂σ x ∂τ xy ∂τ xz + X =0, + + ∂z ∂x ∂y ∂τ yx ∂x + ∂σ y ∂y + ∂τ yz ∂z +Y =0, ∂τ zx ∂τ zy ∂σ z + + +Z =0; ∂x ∂y ∂z (2.2.9) σ x ⋅ l + τ xy ⋅ m + τ xz ⋅ n = 0 , τ yx ⋅ l + σ y ⋅ m + τ yz ⋅ n = 0 , τ zx ⋅ l + τ zy ⋅ m + σ z ⋅ n = 0 . (2.2.10) Но условия (2.2.9) являются уравнениями равновесия, а (2.2.10) статическими граничными условиями рассматриваемой задачи. Таким образом, если для функций перемещений u, v, w, удовлетворяющих кинематическим граничным условиям задачи, Э достигает функционал полной энергии деформаций минимального значения (δЭ = 0), то выполняются уравнения равновесия (2.2.7) и статические граничные условия (2.2.8), и следовательно, функции и, v, w являются решением задачи о напряженно-деформированном состоянии твердого деформируемого тела с заданными объемными силами X, Y, Z и кинематическими и статическими граничными условиями. Это и доказывает принцип Лагранжа. Можно сформулировать и обратное утверждение - если функции и(х,у,z), v(x,y,z), w(x,y,z) являются решением задачи о напряженно-деформированном состоянии твердого деформируемого тела, при действии заданных объемных сил X, Y, Z и заданных кинематических и статических граничных условиях, то выполняются условия равенства нулю вариации полной энергии деформаций (2.2.9) и (2.2.10) и, следовательно, полная энергия деформаций достигает минимального значения. Доказательство 2. Докажем принцип Лагранжа, используя Эйлеровские условия минимума функционала (1.2.9). Учитывая, что функционал полной энергии деформаций зависит от трех независимых функций и, v, w, условием минимума функционала будет равенство нулю вариаций по всем независимым функциям: ( ) Э = Э x , y , z , u , v , w, u x , u y , u z , v x , v y , v z , w x , w y , w z , (2.2.11) где ux, uy, uz, vx, vy, vz, wx, wy, wz - частные производные функций перемещений по аргументам х, у, z; δЭи = 0, → Э = Эmin δЭv = 0, δЭw = 0. (2.2.12) Используем формулы Эйлера в форме (1.2.9, 1.2.10) для функционала полной энергии деформаций в виде (2.1.13,б). 1 2 2 Э = U − T = ∫∫∫ λθ 2 + 2 µ ε x2 + ε y2 + ε z2 + µ γ xy + γ yz + γ zx2 − 2 Ω {[ ( )] ) ( − ( X ⋅ u + Y ⋅ v + Z ⋅ w)}dΩ − ∫∫ ( X ⋅ u + Y ⋅ v + Z ⋅ w) d s . Sσ [ Функция F для объемного интеграла имеет вид ( )] ) ( 2 2 F = λθ 2 + 2µ ε x2 + ε y2 + ε z2 + µ γ xy + γ yz + γ zx2 − ( X ⋅ u + Y ⋅ v + Z ⋅ w) . Тогда для первой вариации функционала полной энергии деформаций Э по аргументу и получим ⎞ ∂ ⎛ ∂F ⎞ ∂ ⎛ ∂F ⎞ ⎟− ⎜ ⎟⎟ − ⎜ ⎟⎟ = 0 . (2.2.13) ⎜ ⎜ ⎟ ⎠ ∂y ⎝ ∂u y ⎠ ∂z ⎝ ∂u z ⎠ Учитывая уравнения деформаций (2.1.2) и характер зависимости деформаций от функций u, v, w: εx = (ux); εy = (vy); εz = (wz); θ = εx + εy + εz = θ (ux, vу, wz); γxy = γxy(uy, vx); γyz = γyz(vz, wy); γzx = γzx(wx, uz), δ Эu = 0 → ∂F ∂ ⎛ ∂F − ⎜ ∂u ∂x ⎜⎝ ∂u x получим: ∂ε ∂F ∂θ = λθ + 2µε x x ; ∂u x ∂u x ∂u x ∂F = −X ; ∂u ∂γ xy ∂F = µγ xy ; ∂u y ∂u y ∂γ ∂F = µγ xz z ; ∂u z ∂u z ∂ε x ∂u x = =1; ∂u x ∂u x ∂θ ∂ = u x + v y + wz = 1 ; ∂u x ∂u x ∂γ xy ) ∂u y = ( ∂ u y + vx = 1 ; ∂u y ( ) ∂γ xz ∂ (u z + wx ) = 1 ; = ∂u z ∂u z ∂ ∂F ∂ ∂θ ∂ 2u = (λθ + 2µε x ) = λ + 2µ 2 ; ∂x ∂u x ∂x ∂x ∂x ∂γ xy ⎛ ∂ 2u ∂ ∂F ∂ ⎛ ∂u ∂v ⎞ ∂v ⎞ ⎟; =µ = µ ⎜⎜ + ⎟⎟ = µ ⎜⎜ 2 + ⎟ ∂y ∂u y x y ∂y ∂y ⎝ ∂y ∂x ⎠ ∂ ∂ y ∂ ⎝ ⎠ ⎛ ∂ 2u ∂ 2v ⎞ ∂γ ∂ ⎛ ∂u ∂w ⎞ ∂ ∂F ⎟. + = µ xz = µ ⎜ ⎟ = µ ⎜⎜ 2 + ∂z∂x ⎟⎠ ∂z ⎝ ∂z ∂x ⎠ ∂z ∂u z ∂z ⎝ ∂z Подставляя последние соотношения в условия Эйлера (2.2.13) и производя группировку слагаемых, получим: δ Эu = 0 → ⎛ ∂ 2u ⎛ ∂ 2u ⎛ ∂θ ∂v ⎞ ∂v ⎞ ∂ 2u ⎞ ⎟ − µ⎜ ⎟− X = + + 2µ 2 ⎟⎟ − µ ⎜⎜ 2 + → − ⎜⎜ λ 2 ⎜ ⎟ ∂z∂x ⎟⎠ ∂x∂y ⎠ ∂x ⎠ ⎝ ∂z ⎝ ∂x ⎝ ∂y = −λ ⎛ ∂ 2u ∂ 2 v ∂ 2 w ⎞ ∂θ ∂ ⎛ ∂u ∂v ∂w ⎞ ⎟⎟ − µ ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ − X = − µ ⎜⎜ + + ∂x ∂x ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂θ ⎡ ⎤ = − ⎢(λ + µ ) + µ∇ 2 u ⎥ = 0 . ∂x ⎣ ⎦ Проводя аналогичные действия для вариаций δ Эu и δ Эv , окончательно получим условия минимума функционала полной энергии деформаций: δЭu = 0 → (λ + µ ) ∂θ + µ∇ 2 u = 0 ; δЭv = 0 → (λ + µ ) ∂θ + µ∇ 2 v = 0 ; δЭ w = 0 → (λ + µ ) ∂θ ∂x ∂y + µ∇ 2 w = 0 . (2.2.14) ∂z Уравнения (2.2.14) являются уравнениями равновесия твердого деформируемого тела в перемещениях (см. 2.1.10). Таким образом, условия Эйлера экстремума функционала полной энергии деформаций, как и прямая вариация функционала, приводят к необходимости решения полной системы уравнений твердого деформируемого тела, т.е. к исходной задаче теории упругости. Равенство нулю первой вариации функционала является признаком экстремума функционала. Чтобы доказать, что функционал полной энергии деформаций достигает при этом минимума, рассмотрим вторую вариацию функционала δ 2 Э = δ 2U − δ 2T . (2.2.15) Учитывая зависимость подынтегральной функции функционала потенциальной энергии деформаций (3.1.13,б) от аргументов u, v, w 1 2 2 FU = λθ 2 + 2µ ε x2 + ε y2 + ε z2 + µ γ xy + γ yz + γ zx2 , 2 т.е., что функция FU зависит только от производных u, v, w по аргументам х, у, z (см. уравнения деформаций (2.1.2)), получим: [ ( δU = ∫∫∫ δ FU d Ω ; Ω δFU = LFU ; где L.. = )] ) ( δ 2U = ∫∫∫ δ 2 FU d Ω ; Ω δ 2 FU = L2 FU , (2.2.16) ∂ .. ∂ .. ∂ .. ∂ .. ∂ .. δu x + δu x + δu x + δv x + .... + δw z . ∂u x ∂u y ∂u z ∂v x ∂wz С учетом уравнений деформаций (2.1.2), получим Lεх = δux; Lεy = δvy; Lεz = δwz; ( ) [ ] L2 ε x2 = L Lε x2 = 2 L(ε x ⋅ Lε x ) = 2 (δu x ) + ε x δLu x = 2(δu x ) ; 2 2 ( ) L2ε z2 = 2(δwz ) ; 2 2 L2ε y2 = 2 δu y ; Lθ = L(εх + εy + εz) = δux + δvy + δwz, ( L2θ 2 = 2 L(θ ⋅ Lθ ) = 2 δu x + δv y + δwz ) 2 ; ( ) 2 Lγxy = δuy + δvx , 2 L2γ xy = 2 L( γ xy ⋅ Lγ xy ) = 2 δu y + δv y ; Lγyz = δvz + δwy , 2 L2γ xy = 2 δv z + δw y ; ( ) 2 Lγzx = δwx + δuz, L2γ zx2 = 2(δwx + δu z ) . (2.2.17) И, следовательно, вторая вариация функции FU имеет вид: 2 [ δ 2 FU = L2 FU = λ (δu x + δv y + δw z )2 + 2µ (δu x )2 + (δv y )2 + (δw z )2 [( + µ δu y + δv x ) + (δv 2 + δw y ) + (δw + δu z ) 2 2 ] ] + >0. (2.2.18) ⎞⎤ ⎛ ∂ 2 .. ∂ 2 .. ∂ 2 .. δ uδv + δvδw + δwδu ⎟⎟⎥ FT . + 2⎜⎜ ∂v∂w ∂w∂u ⎠⎦⎥ ⎝ ∂u∂v (2.2.19) z x Для работы внешних сил (2.1.14) FТ = X⋅u + Y⋅v +Z⋅w; ∂ .. ∂ .. ⎞ ⎛ ∂ .. δFT = ⎜ δu + δv + δw ⎟ FT ; ∂ ∂ u ∂ v w ⎠ ⎝ 2 ∂ .. ∂ .. ⎞ ⎛ ∂ .. δ FT = ⎜ δu + δv + δw ⎟ FT = ∂v ∂w ⎠ ⎝ ∂u ⎡⎛ ∂ 2 .. ⎞ ∂ 2 .. ∂ 2 .. 2 2 (δw)2 ⎟⎟ + = ⎢⎜⎜ 2 (δu ) + 2 (δv ) + 2 ∂v ∂w ⎢⎣⎝ ∂u ⎠ 2 Аналогичный результат можно получить для работы поверхностных сил. Учитывая линейную зависимость функции FТ от u, v, w, вторые производные равны нулю, и, следовательно, вторая вариация работы внешних сил также равна нулю δ 2T = 0 . (2.2.20) Окончательно получаем вторую вариацию полной энергии деформаций 1 δ 2 Э = δ 2U = ∫∫∫ δ 2 F ( U ) dΩ = 2 Ω = {( + µ [(δu 1 ∫∫∫ λ δu x + δv y + δwz 2 Ω y + δv x ) + (δv 2 z ) 2 [ ( ) + (δw ) ] + + 2 µ (δu x ) + δv y + δw y 2 ) + (δw 2 2 2 z ]} + δu z ) dΩ . 2 x (2.2.21) Поскольку подынтегральная функция строго положительна, то вторая вариация функционала полной энергии деформаций больше нуля, и, следовательно, функционал полной энергии деформаций достигает для функций перемещений u, v, w действительного напряженного состояния минимума: δЭ = 0 , δ 2Э > 0 , Э( u ,v , w ) = Эmin . (2.2.22) Таким образом, нами доказаны необходимый и достаточный признаки минимума функционала полной энергии деформаций – принцип Лагранжа. Отметим также, что формулы (2.2.6) можно рассматривать как принцип виртуальных (возможных) перемещений для твердого деформируемого тела: работа всех внешних и внутренних сил твердого деформируемого тела на возможных перемещениях равна нулю. В некоторых работах принцип Лагранжа доказывается на основе принципа возможных перемещений [9]. Принцип Лагранжа для плоской задачи теории упругости можно рассматривать как частный случай пространственной задачи. В то же время его можно доказать и независимо, выполнив аналогичные действия для функционала (2.1.26). В частности, варьируя функционал полной энергии деформаций (2.1.26), получаем соотношения метода возможных перемещений для плоской задачи: ∫∫ A ⎛ ) ( ) ∂ 2 v 2 1 − ν 12 ⎞⎟ Y ⎟ δv dA = 0 .(2.2.23) + E1 ∂y 2 ⎠ И для контурных сил (статических граничных условий): ∂ 2u ∂ 2v ∫∫ ⎜⎜ (1 + ν 1 ) ∂x∂y + (1 − ν 1 ) ∂x 2 A ( ⎛ ∂ 2u ⎞ ∂ 2u ∂ 2 v 2 1 − ν 12 ⎜2 ⎟ δu dA = 0 ; ( ) ( ) + 1 − ν + 1 + ν + X 1 1 2 ⎜ ∂x 2 ⎟ ∂ x ∂ y E ∂ y 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎡⎛ ∂u 1 −ν1 ∂v ⎞ ∫ ⎢⎜⎜ ∂x + ν 1 ∂y ⎟⎟ ⋅ l + 2 ⎠ Lσ ⎣⎝ +2 ⎤ ⎛ ∂u ∂v ⎞ 1 − ν 12 ⎜⎜ + ⎟⎟ ⋅ m − X ν ⎥ δu dL = 0 ; x⎠ E1 ⎝ ∂y ⎦ ⎡1 − ν 1 ⎛ ∂u ∂v ⎞ 1 − ν 12 ⎤ ⎛ ∂u ∂v ⎞ ⎜⎜ + ⎟⎟ ⋅ m − Yν ⎥δu dL = 0 . (2.2.24) + ⎟⎟ ⋅ l + ⎜⎜ν 1 2 ⎝ ∂y x ⎠ E1 ⎝ ∂x ∂y ⎠ Lσ ⎣ ⎦ Уравнения возможных перемещений могут использоваться для обоснования одного из вариантов метода Бубнова−Галеркина. ∫⎢ III. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ, ОСНОВАННЫЕ НА ПРИНЦИПЕ ЛАГРАНЖА Во втором разделе мы получили, что условия Эйлера минимума полной энергии деформаций приводят к системе уравнений равновесия и статическим граничным условиям рассматриваемой задачи. Решение этой системы с учетом всех граничных условий, статических и кинематических, определяет функции перемещений, на которых функционал полной энергии деформаций достигает минимума. Таким образом, казалось бы, мы вновь пришли к необходимости решения сложной системы уравнений теории упругости. Однако, для решения задачи минимизации функционала существуют и другие методы, не связанные с необходимостью точного решения системы уравнений теории упругости. Это, так называемые прямые методы минимизации функционала. Они связаны с аппроксимацией функционала рядами или разностными отношениями и приводят задачу к решению систем алгебраических или обыкновенных дифференциальных уравнений. В теории упругости к численноаналитическим методам относятся: метод Ритца−Тимошенко, метод Канторовича−Власова, метод Трефца (метод смягчения граничных условий). К численным методам, основанным на принципе Лагранжа, относятся метод конечных элементов и вариационно-разностный метод. Принцип Лагранжа не является единственным вариационным принципом теории упругости. Имеются и другие вариационные принципы и методы решения задач теории упругости, основанные на этих вариационных принципах. Наиболее известен принцип Кастельяно, который используется для решения задач теории упругости в напряжениях. В настоящем пособии автор остановился на принципе Лагранжа, как наиболее часто применяемом в расчетной и научно-исследовательской практике. Ниже рассматриваются численно-аналитические методы решения задач теории упругости, основанные на принципе Лагранжа, метод Ритца−Тимошенко, метод Канторовича−Власова. Метод Ритца−Тимошенко сводит задачу теории упругости к системе алгебраических уравнений, из решения которой определяются неизвестные коэффициенты. Метод Канторовича−Власова приводит ее к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (понижая размерность задачи), из решения которых определяются неизвестные функции, которые должны удовлетворят граничным условиям задачи на поперечных границах области, занимаемой телом. 3.1. Метод Ритца−Тимошенко. а) ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА При решении пространственной задачи методом Ритца−Тимошенко функции перемещений и, v, w принимаются в виде рядов с неизвестными коэффициентами: ∞ u( x , y , z ) = u 0 ( x , y , z ) + ∑ Am u m ( x , y , z ) , m =1 v( x , y , z ) = v 0 ( x , y , z ) + ∞ ∑ Bm v m ( x , y , z ) , m =1 w( x , y , z ) = w0 ( x , y , z ) + ∞ ∑ C m wm ( x , y , z ) , (3.1.1) m =1 где и0(х,у,z), v0(х,у,z), w0(х,у,z) - функции, удовлетворяющие неоднородным кинематическим граничным условиям; иm(х,у,z), vm(х,у,z), wm(х,у,z) - функции обязательно удовлетворяющие однородным кинематическим граничным условиям на поверхности Su; Аm, Вm, Сm - неизвестные коэффициенты, которые определяются из условия минимума функционала полной энергии деформаций. Функции иm, vm, wm могут не удовлетворять статическим граничным условиям. Как было показано при доказательстве принципа Лагранжа, статические условия удовлетворяются при минимизации функционала полной энергии деформаций. Если статические условия для каждого члена ряда не выполняются, то они оказываются выполнены при суммировании минимизированных рядов. Ниже это будет показано на примере. В то же время удовлетворение статических условий каждым членом ряда не противоречит методу Ритца−Тимошенко и принципу Лагранжа, и сходимость решения при этом обычно улучшается, ряды сходятся быстрее. Однако, возможность не удовлетворять статическим граничным условиям облегчает возможность подбора функций ит, vт, wn. Решение (3.1) подставляется в функционал полной энергии деформаций в перемещениях (2.1.3в), который при этом становится функцией неопределенных коэффициентов Аm, Вm, Сm: Э = Э(Аm, Вm, Сm), т = 1, 2, 3,... (3.1.2) Рассматривая теперь функционал полной энергии деформаций как функцию многих переменных Аm, Вm, Сm, получаем, что для достижения минимума функции Э(Аm, Вm, Сm) необходимо, чтобы производные этой функции по всем независимым аргументам равнялись нулю: ∂Э ∂Э ∂Э =0; =0; = 0 , n = 1, 2, 3,… (3.1.3) ∂Аn ∂Bn ∂C n В результате выполнения описанного алгоритма получаем систему алгебраических уравнений: ( ) ( ) ( ) ⎧∞ A A A A ⎪ ∑ a nm Am + bnm Bm + c nm C m = d n , m =1 ⎪ ⎪∞ B B B B ⎨ ∑ a nm Am + bnm Bm + c nm C m = d n , n = 1, 2, 3,… (3.1.4) ⎪m =1 ⎪∞ C C C C ⎪ ∑ a nm Am + bnm Bm + c nm C m = d n , ⎩m =1 A A A , c nm - коэффициенты, получаемые при неизвестных где a nm , bnm Аm, Вm, Сm в результате интегрирования функционала полной B B B , bnm , c nm , энергии деформаций и дифференцирования по Аn; a nm C C C a nm , bnm , c nm - аналогичные коэффициенты, получаемые при дифференцировании по Bn и Cn, соответственно; d nA , d nB , d nC коэффициенты, получаемые при интегрировании работы внешних сил и функций и0(х,у,z), v0(х,у,z), w0(х,у,z) и дифференцировании по Аm, Вm,, Сm соответственно. Получим коэффициенты системы уравнений (3.1.4), проводя дифференцирование под знаком интеграла и учитывая, что при дифференцировании функций по коэффициентам Аm, Вm, Сm имеем: ∂ ⎛ ∞ ∂u ∂ ⎞ ( A1u1 + A2 u 2 + ... + An u n + ...) = u n , = ⎜ ∑ Am u m ( x , y , z )⎟ = ∂An ∂An ⎝ m =1 ⎠ ∂An ∂ ⎛ ∞ ∂v ∂ ⎞ (B1v1 + B2 v 2 + ... + Bn v n + ...) = v n , = ⎜ ∑ Bm v m ( x , y , z )⎟ = ∂Bn ∂An ⎝ m =1 ⎠ ∂Bn ∂ ⎛ ∞ ∂w ∂ ⎞ (C1 w1 + C 2 w2 + .. + C n wn + ..) = wn , = ⎜ ∑ C m wm ( x , y , z ) ⎟ = ∂C n ∂C n ⎝ m =1 ⎠ ∂C n ∂u ∂u ∂v ∂v ∂w ∂w = = = = = =0. ∂Bn ∂C n ∂An ∂C n ∂An ∂Bn Дифференцируя выражение потенциальной перемещениях по Аn, Вп, Сn, получим: ∂U 1 ∂ = ∫∫∫ ∂An 2 Ω ∂An энергии ⎧ ⎛ ∂u ∂v ∂w ⎞ 2 ⎡⎛ ∂u ⎞ 2 ⎛ ∂v ⎞ 2 ⎛ ∂w ⎞ 2 ⎤ ⎪ ⎟⎟ + 2 µ ⎢⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ + + + ⎨λ ⎜⎜ ⎢⎣⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎠ ⎥⎦ ⎪⎩ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎡⎛ ∂u ∂v ⎞ 2 ⎛ ∂v ∂w ⎞ 2 ⎛ ∂w ∂u ⎞ 2 ⎤ ⎫⎪ ⎟⎟ + ⎜ + µ ⎢⎜⎜ + ⎟⎟ + ⎜⎜ + + ⎟ ⎥ ⎬ dΩ = ⎢⎣⎝ ∂y ∂x ⎠ ⎝ ∂z ∂y ⎠ ⎝ ∂x ∂z ⎠ ⎥⎦ ⎪ ⎭ ⎧ ⎛ ∂u ∂v ∂w ⎞ ∂u n ∂u ∂u n ⎟⎟ = ∫∫∫ ⎨λ ⎜⎜ + + + 2µ + ∂y ∂z ⎠ ∂x ∂x ∂x Ω ⎩ ⎝ ∂x ⎡⎛ ∂u ∂v ⎞ ∂u n ⎛ ∂w ∂u ⎞ ∂u n ⎤ ⎫⎪ + +⎜ + ⎟⎟ + µ ⎢⎜⎜ ⎟ ⎥ ⎬dΩ . ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ y x y x z z ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎣ ⎦ ⎪⎭ в Подставляя в полученные соотношения решение (3.1.1) и группируя свободные члены и слагаемые при коэффициентах Аm, Вm, Сm, получим: ∂U = ∫∫∫ ∂An Ω ⎧⎪⎡ m =1 ⎪ ⎩⎣ ∞ ∑ ⎨⎢(λ + 2µ ) ∂u m ∂u n ⎛ ∂u ∂u n ∂u m ∂u n ⎞⎤ ⎟⎥ Am + + + µ ⎜⎜ m ∂z ∂z ⎟⎠⎦ ∂x ∂x ⎝ ∂y ∂y ⎛ ∂v ∂u ∂w ∂u ⎞ ⎫ ∂v ∂u ⎞ ⎛ ∂w ∂u + ⎜⎜ λ m n + µ m n ⎟⎟ Bm + ⎜ λ m n + µ m n ⎟C m ⎬ dΩ + ∂x ∂z ⎠ ⎭ ∂x ∂y ⎠ ⎝ ∂z ∂x ⎝ ∂y ∂x ⎧⎪⎡ ⎛ ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ⎞⎤ + ∫∫∫ ⎨⎢(λ + 2µ ) 0 n + µ ⎜⎜ 0 n + 0 n ⎟⎟⎥ + ∂x ∂x ∂z ∂z ⎠⎦ ⎝ ∂y ∂y Ω ⎪ ⎩⎣ ⎛ ∂v ∂u ∂v ∂u ⎞ ⎛ ∂w ∂u ∂w ∂u ⎞⎫ + ⎜⎜ λ 0 n + µ 0 n ⎟⎟ + ⎜ λ 0 n + µ 0 n ⎟⎬ dΩ . ∂x ∂y ⎠ ⎝ ∂z ∂x ∂x ∂z ⎠⎭ ⎝ ∂y ∂x Для работы внешних сил после дифференцирования получим ∂T ∂ ( X ⋅ u + Y ⋅ v + Z ⋅ w ) dΩ + = ∫∫∫ ∂An Ω ∂An + ∂ ∫∫ ∂A Sσ n (X ν ⋅ u + Yµ ⋅ v + Zν ⋅ w) ds == ∫∫∫ Ω X ⋅ u n dΩ + ∫∫ X ν ⋅ u n ds . Sσ Окончательно получим систему уравнений коэффициенты которой определяются формулами: (3.1.4), ⎡ ⎛ ∂u ∂u ∂u ∂u ⎞⎤ ∂u ∂u A anm = ∫∫∫ ⎢(λ + 2µ ) m n + µ ⎜⎜ m n + m n ⎟⎟⎥ dΩ ; ∂z ∂z ⎠⎦ ∂x ∂x ⎝ ∂y ∂y Ω ⎣ ⎛ ∂v ∂u ∂v ∂u ⎞ A bnm = ∫∫∫ ⎜⎜ λ m n + µ m n ⎟⎟ dΩ ; ∂y ∂x ∂x ∂y ⎠ Ω ⎝ ∂w ∂u ⎞ ⎛ ∂w ∂u A cnm = ∫∫∫ ⎜ λ m n + µ m n ⎟ dΩ ; ∂z ∂x ∂x ∂z ⎠ Ω ⎝ ⎛ ∂u ∂v ∂u ∂v ⎞ B anm = ∫∫∫ ⎜⎜ λ m n + µ m n ⎟⎟ dΩ ; ∂x ∂y ∂y ∂x ⎠ Ω ⎝ ⎡ ∂v ∂v ∂v ∂v ⎞⎤ ⎛ ∂v ∂v B bnm = ∫∫∫ ⎢(λ + 2µ ) m n + µ ⎜ m n + m n ⎟⎥ dΩ ; ∂y ∂y ∂z ∂z ⎠⎦ ⎝ ∂x ∂x Ω ⎣ ⎛ ∂w ∂v ∂w ∂v ⎞ B cnm = ∫∫∫ ⎜⎜ λ m n + µ m n ⎟⎟ dΩ ; ∂z ∂y ∂y ∂z ⎠ Ω ⎝ ∂u ∂wn ⎞ ⎛ ∂u ∂wn C anm = ∫∫∫ ⎜ λ m +µ m ⎟ dΩ ; ∂x ∂z ∂z ∂x ⎠ Ω ⎝ ⎛ ∂v ∂wn ∂v ∂wn ⎞ C ⎟ dΩ ; bnm = ∫∫∫ ⎜⎜ λ m +µ m ∂y ∂z ∂z ∂y ⎟⎠ Ω ⎝ ⎡ ∂w ∂wn ⎛ ∂w ∂wn ∂wm ∂wn ⎞⎤ C ⎟ ⎥ dΩ ; c nm = ∫∫∫ ⎢(λ + 2µ ) m + µ ⎜⎜ m + ∂z ∂z ∂y ∂y ⎟⎠⎦ ⎝ ∂x ∂x Ω ⎣ d nA = ∫∫∫ X ⋅ u n dΩ + ∫∫ X ν ⋅ u n ds − Ω Sσ ⎧⎪⎡ ⎛ ∂u ∂u ∂u ⎞ ∂u ⎤ ∂u − ∫∫∫ ⎨⎢λ ⎜⎜ 0 + 0 + 0 ⎟⎟ + 2µ 0 ⎥ n + ∂y ∂z ⎠ ∂x ⎦ ∂x Ω ⎪ ⎩⎣ ⎝ ∂x ⎡⎛ ∂u ∂u ⎞ ∂u ⎤ ⎫⎪ ∂v ⎞ ∂u ⎛ ∂w + µ ⎢⎜⎜ 0 + 0 ⎟⎟ n + ⎜ 0 + 0 ⎟ n ⎥ ⎬ dΩ ; ∂z ⎠ ∂z ⎦ ⎪⎭ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂x ⎣⎝ ∂y d nB = ∫∫∫ Y ⋅ vn dΩ + ∫∫ Yν ⋅ vn ds − Ω Sσ ⎧⎪⎡ ⎛ ∂v ∂v ∂v ⎞ ∂v ⎤ ∂v − ∫∫∫ ⎨⎢λ ⎜⎜ 0 + 0 + 0 ⎟⎟ + 2 µ 0 ⎥ n + ∂y ∂z ⎠ ∂y ⎦ ∂y Ω ⎪ ⎩⎣ ⎝ ∂x ⎡⎛ ∂u ∂w ⎞ ∂v ⎤ ⎫⎪ ∂v ⎞ ∂v ⎛ ∂v + µ ⎢⎜⎜ 0 + 0 ⎟⎟ n + ⎜⎜ 0 + 0 ⎟⎟ n ⎥ ⎬ dΩ ; ∂y ⎠ ∂z ⎦ ⎪⎭ ∂x ⎠ ∂x ⎝ ∂z ⎣⎝ ∂y d nC = ∫∫∫ Z ⋅ wn dΩ + ∫∫ Zν ⋅ wn ds − Ω Sσ ⎧⎪⎡ ⎛ ∂w ∂w ∂w ⎞ ∂w ⎤ ∂w − ∫∫∫ ⎨⎢λ ⎜⎜ 0 + 0 + 0 ⎟⎟ + 2 µ 0 ⎥ n + ∂y ∂z ⎠ ∂z ⎦ ∂z Ω ⎪ ⎩⎣ ⎝ ∂x ⎡⎛ ∂u ⎛ ∂v ∂w ⎞ ∂w ⎤ ⎫⎪ ∂w ⎞ ∂w + µ ⎢⎜ 0 + 0 ⎟ n + ⎜⎜ 0 + 0 ⎟⎟ n ⎥ ⎬ dΩ . (3.1.5) ∂y ⎠ ∂y ⎦ ⎪⎭ ∂x ⎠ ∂x ⎝ ∂z ⎣⎝ ∂z Из решения системы уравнений (3.1.4) определяются коэффициенты Ат, Вт, Ст и далее суммированием рядов (3.1.1) вычисляются функции перемещений u, v, w, деформации и напряжения на основе уравнений деформаций (1.1.2) и закона Гука (1.1.3). Формулы (3.1.4) дают в общем случае бесконечную систему алгебраических уравнений, решение которых в общем виде возможно только при определенном характере коэффициентов системы. На практике обычно ограничиваются удержанием в рядах (3.1.1) конечного числа членов ряда, что приводит к конечной системе алгебраических уравнений, и в результате получается приближенное решение задачи. Сходимость решения в общем следует из физической сущности задачи. Точность решения зависит от числа удерживаемых членов ряда, а также от удачного подбора аппроксимирующих функций. Оценка точности получаемого решения является самостоятельной, и достаточно сложной задачей. На практике о точности получаемого решения часто судят из сравнения решений, вычисляемых с удержанием разного числа членов ряда. Однако близость двух решений не всегда гарантирует достаточную точность приближенного решения. Это может быть показано на примерах, для которых известны точные решения. Разность двух приближений в 1-2% может давать отличие от точного решения в 10% и более. Причем точность решения понижается для функций, для вычисления которых приходится дифференцировать ряды. Тем не менее, обычно 3−5 членов ряда позволяют оценить напряженнодеформированное состояние тела, а применение ЭВМ позволяет получать достаточно точные решения, удерживая необходимое число членов ряда. б) ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА Выполним действия, аналогичные пространственной задачи. Решение ищем в виде рядов: u(x, y ) = u 0 (x , y ) + ∞ проведенным ∑ Am u m ( x , y ) , m =1 для v( x , y ) = v 0 ( x , y ) + ∞ ∑ Bm v m ( x , y ) . (3.1.6) m =1 Как и в случае пространственной задачи, функции u0(x,y), v0(x,y) должны удовлетворять неоднородным, а функции um(x,y), vm(x,y) - однородным кинематическим граничным условиям. Ат, Вт определяются из Неизвестные коэффициенты системы алгебраических уравнений, получаемой в результате подстановки решения (3.1.6) в функционал полной энергии деформаций плоской задачи теории упругости (2.1.26) и дифференцирования по параметрам Аn, Вn. В результате получим систему алгебраических уравнений: ( ) ⎧∞ A A A ⎪⎪ ∑ a nm Am + bnm Bm = d n , m =1 ⎨∞ ⎪∑ a B A + bB B = d B , nm m n ⎪⎩m =1 nm m ( где ) n = 1, 2, 3,… (3.1.7) ⎛ ∂u ∂u 1 − ν ∂u m ∂u n ⎞ A ⎟ dA ; = ∫∫ ⎜⎜ m n + anm 2 ∂y ∂y ⎟⎠ A ⎝ ∂x ∂x ⎛ ∂v ∂u 1 − ν ∂vm ∂u n ⎞ A ⎟ dA ; = ∫∫ ⎜⎜ν 1 m n + bnm ∂y ∂x 2 ∂x ∂y ⎟⎠ A ⎝ ⎛ ∂u ∂v 1 − ν 1 ∂u m ∂vn ⎞ B ⎟ dA ; anm = ∫∫ ⎜⎜ν 1 m n + 2 ∂y ∂x ⎟⎠ ∂x ∂y A ⎝ ⎛ ∂v ∂v 1 − ν 1 ∂vm ∂vn ⎞ B ⎟ dA ; = ∫∫ ⎜⎜ m n + bnm 2 ∂x ∂x ⎟⎠ A ⎝ ∂y ∂y d nA = ⎤ 1 − ν 12 ⎡ ⎢ ∫∫ X ⋅ u n dA + ∫ X ν ⋅ u n dL ⎥ − E1 ⎣⎢ A Lσ ⎦⎥ ⎡⎛ ∂u ∂v ⎞ ∂u 1 − ν 1 ⎛ ∂u 0 ∂v0 ⎞ ∂u n ⎤ ⎜ ⎟ + − ∫∫ ⎢⎜⎜ 0 + 2ν 1 0 ⎟⎟ n + ⎥ dA ; ∂x ⎟⎠ ∂y ⎦ 2 ⎜⎝ ∂y ∂y ⎠ ∂x A ⎣⎝ ∂x d nB = 1 − ν 12 E1 ⎡ ⎤ ⎢ ∫∫ Y ⋅ vn dA + ∫ Yν ⋅ vn dL ⎥ − Lσ ⎢⎣ A ⎥⎦ ⎡⎛ ∂v ∂u ⎞ ∂v 1 − ν 1 ⎛ ∂u 0 ∂v0 ⎞ ∂vn ⎤ ⎜ ⎟ + − ∫∫ ⎢⎜⎜ 0 + 2ν 1 0 ⎟⎟ n + ⎥ dA . (3.1.8) ∂x ⎟⎠ ∂x ⎦ 2 ⎜⎝ ∂y ∂x ⎠ ∂y A ⎣⎝ ∂y Решив систему алгебраических уравнений (3.1.8), вычисляем перемещения на основе формул (3.1.7). Деформации и напряжения вычисляются с привлечением уравнений деформаций (2.1.17) и закона Гука (2.1.18,а). 3.2. Метод Канторовича−Власова. В отличие от метода Ритца−Тимошенко, метод Канторовича−Власова приводит задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, т.е. сводит пространственную или плоскую задачу теории упругости к одномерной. Метод Канторовича−Власова обычно применяется к призматическим телам, ограниченным плоскостями х1, х2 = const, перпендикулярными оси х. а) ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА Решение метода Канторовича−Власова принимается в виде: ∞ u( x , y , z ) = u 0 ( x , y , z ) + ∑ Am ( x )u m ( y , z ) , m =1 ∞ v( x , y , z ) = v0 ( x , y , z ) + ∑ Bm ( x )vm ( y , z ) , m =1 ∞ w( x , y , z ) = w0 ( x , y , z ) + ∑ C m ( x )wm ( y , z ) , (3.2.1) m =1 u0(x,y,z), v0(x,y,z), w0(x,y,z) - функции, удовлетворяющие где неоднородным кинематическим граничным условиям; um(y,z), vm(y,z), wm(y,z) - функции переменных у, z, удовлетворяющие однородным кинематическим граничным условиям на поверхности Su, кроме плоскостей х = х1 и х = х2; Аm(х), Bm(х), Cm(х) - неопределенные функции аргумента х, выполняющие в методе Канторовича−Власова роль, которая соответствует роли неопределенных коэффициентов Аm, Вm, Сm в методе Ритца −Тимошенко. Для определения неизвестных функций Аm(х), Вm(х), Сm(х), используем соотношения (2.2.6) метода возможных перемещений, полученные при доказательстве принципа Лагранжа, записанные через функции перемещений: ∂θ ⎛ ⎞ 2 ∫∫∫ ⎜⎝ (λ + µ ) ∂x + µ∇ u + X ⎟⎠ δu dΩ = 0 , Ω ∂θ 2 ∫∫∫ ⎜⎜ (λ + µ ) ∂y + µ∇ v + Y ⎟⎟ δv dΩ = 0 , Ω ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ∂θ ⎛ ⎞ 2 ∫∫∫ ⎜⎝ (λ + µ ) ∂z + µ∇ w + Z ⎟⎠ δw dΩ = 0 ; (3.2.2) Ω ∫∫ (σ x ⋅ l + τ xy ⋅ m + τ xz ⋅ n − X ν )δu ds = 0 , Sσ ∫∫ (τ yx ⋅ l + σ y ⋅ m + τ yz ⋅ n − Yν )δv ds = 0 , Sσ ∫∫ (τ zx ⋅ l + τ zy ⋅ m + σ z ⋅ n − Zν )δw ds = 0 . (3.2.3) Sσ Варьируя функции u, v, w и учитывая, что варьируются только неопределенные функции Аm(х), Вm(х), Сm(х), получим: ∞ δu( x , y , z ) = ∑ u m ( y , z )δAm ( x ) , m =1 ∞ δv( x , y , z ) = ∑ vm ( y , z )δBm ( x ) , m =1 ∞ δw( x , y , z ) = ∑ wm ( y , z )δC m ( x ) . (3.2.4) m =1 Подставляя вариацию функции u(x,y,z) в первое уравнение (3.2.2), интегрируя ряд почленно и разделяя в объемном интеграле интегрирование по аргументам х и у, z, имеем: ∂θ ⎛ ⎞ 2 ∫∫∫ ⎜⎝ (λ + µ ) ∂x + µ∇ u + X ⎟⎠ δu dΩ = Ω ∂θ ⎛ ⎞∞ = ∫∫∫ ⎜ (λ + µ ) + µ∇ 2 u + X ⎟ ∑ u n ( y , z )δAn dΩ = ∂x ⎠ n=1 Ω ⎝ ∞ x2 ⎧ ⎫⎪ ∂θ ⎪ ⎛ ⎞ + µ∇ 2 u + X ⎟ u n ( y , z )dydz ⎬δAn ( x )dx = 0 , = ∑ ∫ ⎨ ∫∫ ⎜ (λ + µ ) ∂x ⎪⎭ ⎠ n =1 x1 ⎪ ⎩ A( x ) ⎝ ∫∫ где - интеграл по площади поперечного сечения A( x ) призматического тела в точке с координатой х. Аналогично проводятся преобразования с статическими условиями для соотношений (3.2.3) граничными ∑ ∫∫ (σ x ⋅ l + τ xy ⋅ m + τ xz ⋅ n − X ν )u n ( y , z )δAn ( x )ds = ∞ n =1 Sσ ∞ x2 ⎛ ⎞ = ∑ ∫ ⎜ ∫ σ x ⋅ l + τ xy ⋅ m + τ xz ⋅ n − X ν u n ( y , z )dL ⎟ δAn ( x )dx =0 , ⎜ ⎟ n =1 x1 ⎝ L( x ) ⎠ ( ∫ где ) - интеграл по контуру сечения призмы с L( x ) координатой х. Интеграл учитывает невязки в выполнении статических граничных условий отдельным членом ряда. Далее рассматриваются призматические тела, для которых поперечное сечение А и контур L постоянны (не зависят от х), направляющий косинус на контурной поверхности тела l = 0 и слагаемое σ x в контурных интегралах опускается. Применяя к внешнему интегралу по х основную лемму вариационного исчисления, учитывая независимость функций Аn(х) при различных значениях n, и добавляя аналогичные соотношения для второго и третьего соотношений (3.2.2) и (3.2.3), получим основные функциональные соотношения метода Канторовича−Вла-сова. Соотношения для объемного и поверхностного интегралов при вариациях одноименных функций суммируются, напряжения выражаются через перемещения: ∂θ ⎛ ⎞ 2 ∫∫ ⎜⎝ (λ + µ ) ∂x + µ∇ u + X ⎟⎠ u n ( y , z )dydz + A ⎡ ⎛ ∂u ∂v ⎞ ⎤ ⎛ ∂u ∂w ⎞ + ∫ ⎢ µ ⎜⎜ + ⎟⎟ ⋅ m + µ ⎜ + ⎟ ⋅ n − X ν ⎥ u n ( y , z ) dL = 0 ; ∂x ⎠ ⎝ ∂z ∂x ⎠ L ⎣ ⎝ ∂y ⎦ ⎛ A⎝ ∂θ ∫∫ ⎜ (λ + µ ) ∂x + µ∇ 2 ⎞ u + X ⎟ vn ( y , z )dydz + ⎠ ⎡⎛ ⎤ ⎛ ∂v ∂w ⎞ ∂v ⎞ ⎟⎟ ⋅ n − Yν ⎥ vn ( y , z ) dL = 0 ; + ∫ ⎢⎜⎜ λθ + 2µ ⎟⎟ ⋅ m + µ ⎜⎜ + ∂y ⎠ ⎝ ∂z ∂y ⎠ L ⎣⎝ ⎦ ⎛ A⎝ ∂θ ∫∫ ⎜ (λ + µ ) ∂x + µ∇ 2 ⎞ u + X ⎟ wn ( y , z )dydz + ⎠ ⎡ ⎛ ∂v ∂w ⎞ ⎤ ∂w ⎞ ⎛ ⎟⎟ ⋅ m + ⎜ λθ + µ + ∫ ⎢ µ ⎜⎜ + ⎟ ⋅ n − Zν ⎥ wn ( y , z ) dL = 0 ; ∂y ⎠ ∂z ⎠ ⎝ L ⎣ ⎝ ∂z ⎦ n =1, 2, 3,... (3.2.5) Если функции u0(x,y,z), v0(x,y,z), w0(x,y,z) и um(y,z), vm(y,z), удовлетворяют не только кинематическим, но и wm(y,z) статическим граничным условиям на боковой поверхности призмы, то поверхностные интегралы в соотношениях (3.2.5) отбрасываются. Подставим в соотношения (3.2.5) функции u(x,y,z), v(x,y,z), w(x,y,z) в виде рядов (3.2.1), учитывая при этом, что ∂u ∂v ∂w ∂u 0 ( x , y , z ) ∂v0 ( x , y , z ) ∂w0 ( x , y , z ) θ= = + + + + + ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∞ ⎛ ∂v ( x , y ) ∂w ( x , y ) ⎞ ⎟⎟ . + ∑ ⎜⎜ Am′ ( x )u n ( y , z ) + Bn ( x ) n + Cn ( x ) n ∂y ∂z m =1⎝ ⎠ Проводя интегрирование для каждого члена ряда и группировку слагаемых при однотипных неизвестных Ат(х), Вт(х), Ст(х) и их производных, приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений: ⎧∞ A ′′ A Am′′ ( x ) + anm ′ A Bm′ ( x ) + cnm ′ A C m′ ( x ) = d nA ( x ), A( x ) + bnm ⎪ ∑ anm m =1 ⎪ ⎪∞ B B B ′′ B B ′′( x ) + bnm Bm ( x ) + cnm C m ( x ) = d nB ( x ), ⎨ ∑ a′nm Am′ ( x ) + bnm = m 1 ⎪ ⎪∞ C C C ′ Am′ ( x ) + bnm ′′ A C m′′ ( x ) + cnm Bm ( x ) + cnm C( x ) = d nC ( x ), ⎪ ∑ anm ⎩m=1 n = 1, 2, 3,... (3.2.6) [ ] [ ] [ ] ′′ A = (λ + 2µ )∫∫ u m ( y , z ) u n ( y , z )dA ; где anm A ⎛ ∂ u m ( y , z ) ∂ 2u m ( y , z ) ⎞ A ⎟ u n ( y , z ) dA + = µ ∫∫ ⎜⎜ anm + ⎟ ∂y 2 ∂z 2 A ⎝ ⎠ 2 ⎛ ∂u ( y , z ) ∂u ( y , z ) ⎞ + µ ∫ ⎜⎜ m ⋅m + m ⋅ n ⎟⎟ dA ; ∂z ∂y ⎠ L ⎝ ′ A = (λ + µ )∫∫ bnm A ′ A = (λ + µ )∫∫ c nm A ∂vm ( y , z ) u n ( y , z )dA + µ ∫ vm ( y , z ) u n ( y , z ) ⋅ m dL ; ∂y L ∂wm ( y , z ) u n ( y , z ) dA + µ ∫ wm ( y , z ) u n ( y , z ) ⋅ n dL ; ∂z L ∂θ ( x , y , z ) ⎛ d nA = − ∫∫ ⎜ (λ + 2µ ) 0 + µ∇ 2 u 0 + X ∂x A ⎝ ⎞ ⎟ ⋅ u n ( y , z ) dA − ⎠ ⎡ ⎛ ∂u ( x , y , z ) ∂v0 ( x , y , z ) ⎞ ⎟⎟ ⋅ m + − ∫ ⎢ µ ⎜⎜ 0 + ∂y ∂x ⎠ L⎣ ⎝ ⎤ ⎛ ∂u ( x , y , z ) ∂w0 ( x , y , z ) ⎞ + µ⎜ 0 + ⎟ ⋅ n − X ν ⎥ u n ( y , z ) dL ; ∂z ∂x ⎝ ⎠ ⎦ ∂u ( y , z ) ′ B = (λ + µ )∫∫ m a nm vn ( y , z ) dA + λ ∫ u n ( y , z )vn ( y , z )⋅ m dL ; ∂y A L ′′ B = µ ∫∫ vm ( y , z ) vn ( y , z ) dA ; bnm A ⎛ ∂ 2 vm ( y , z ) ∂ 2 vm ( y , z ) ⎞ B ⎟ vn ( y , z ) dA + = ∫∫ ⎜⎜ (λ + 2µ ) bnm + µ ⎟ ∂y 2 ∂z 2 A ⎝ ⎠ ⎛ ∂v ( y , z ) ∂v ( y , z ) ⎞ + ∫ ⎜⎜ (λ + 2µ ) m ⋅m + m ⋅ n ⎟⎟ vn ( y , z ) dA ; ∂y ∂z ⎠ L ⎝ B cnm = (λ + µ )∫∫ A ∂ 2 wm ( y , z ) vn ( y , z ) dA + ∂y∂z ⎛ ∂w ( y , z ) ∂w ( y , z ) ⎞ + ∫ ⎜⎜ λ m ⋅m_ µ m ⋅ n ⎟⎟ vn ( y , z ) ⋅ dL ; ∂z ∂y ⎠ L ⎝ ∂θ ( x , y , z ) ⎛ ⎞ d nB = − ∫∫ ⎜ (λ + 2µ ) 0 + µ∇ 2 v0 ( x , y , z ) + Y ⎟ ⋅ vn ( y , z ) dA − ∂x ⎠ A ⎝ ⎡⎛ ∂v ( x , y , z ) ⎞ ⎟⎟ ⋅ m + − ∫ ⎢⎜⎜ λθ 0 ( x , y , z ) + 2 µ 0 ∂y ⎠ L ⎣⎝ ⎤ ⎛ ∂v ( x , y , z ) ∂w0 ( x , y , z ) ⎞ + µ⎜ 0 + ⎟ ⋅ n − Yν ⎥ vn ( y , z ) dL ; ∂z ∂x ⎝ ⎠ ⎦ ′C = (λ + µ )∫∫ anm ∂u m ( y , z ) wn ( y , z ) dA + λ ∫ u m ( y , z )wn ( y , z ) ⋅ n dL ; ∂z L C bnm = (λ + µ )∫∫ ∂ 2 vm ( y , z ) wn ( y , z ) dA + ∂y∂z A A ⎛ ∂v ( y , z ) ∂v ( y , z ) ⎞ + ∫ ⎜⎜ λ m ⋅m + µ m ⋅ n ⎟⎟ wn ( y , z ) ⋅ dL ; ∂y ∂z ⎠ L ⎝ ′′C = µ ∫∫ wm ( y , z ) wn ( y , z ) dA ; cnm A ⎛ ∂ 2 wm ( y , z ) ∂ 2 wm ( y , z ) ⎞ C ⎟ wn ( y , z ) dA + cnm = ∫∫ ⎜⎜ (λ + 2µ ) + µ 2 2 ⎟ ∂ z ∂ y A ⎝ ⎠ ⎛ ∂w ( y , z ) ⎞ ∂w ( y , z ) ⋅ n + ⎟⎟ wn ( y , z )dA ; ⋅ m + (λ + 2 µ ) m + ∫ ⎜⎜ m ∂z ∂y ⎠ L ⎝ ∂θ ( x , y , z ) ⎞ ⎛ d nB = − ∫∫ ⎜ (λ + 2 µ ) 0 + µ∇ 2 w0 ( x , y , z ) + Y ⎟ ⋅ wn ( y , z ) dA − ∂ x ⎠ A ⎝ ⎡ ⎛ ∂v ( x , y , z ) ∂w0 ( x , y , z ) ⎞ + − ∫ ⎢µ ⎜ 0 ⎟⋅m + ∂x ∂z ⎠ L⎣ ⎝ ⎤ ∂w ( x , y , z ) ⎞ ⎛ + ⎜ λθ 0 ( x , y , z ) + 2µ 0 ⎟ ⋅ n − Yν ⎥ v n ( y , z ) dL . (3.2.7) ∂z ⎝ ⎠ ⎦ Система (3.2.6), представляет в общем случае бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. На практике обычно берут конечное число членов ряда (3.2.1), получая конечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Хотя теория решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений создана, это решение в общем случае является довольно трудоемким даже при использовании современных ЭВМ. Наиболее простым получается решение в случае ортогональности функций решения (3.2.1) и ортогональности их производных. Тогда система (3.2.5) распадается на систему отдельных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для каждого члена рядов (3.2.1). В частности это возможно, если используются системы тригонометрических функций, но это возможно лишь для некоторых частных граничных условий. Метод Канторовича−Власова применим и в случае тел, х1, х2 с произвольной боковой ограниченных плоскостями поверхностью. Тогда члены рядов решения (3.2.1) берутся в виде: Аm(х)⋅ u(x,y,z), Вm(х)⋅vm(x,y,z), Сm(х)⋅wm(x,y,z). Зависимость функций um, , vm„ wm от х, у, z связана с необходимостью удовлетворять граничные условия на боковой поверхности, которые будут включать уравнения боковой поверхности. В этом случае применение алгоритма метода Канторовича−Власова приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, т.е. коэффициенты системы (3.2.6) будут функциями аргумента х. В качестве функций перемещений для прямоугольных областей c прямоугольным поперечным сечением обычно используются функции в виде произведения функций от каждого независимого аргумента: u m ( x , y , z ) = U xm ( x ) ⋅ U ym ( y ) ⋅ U zm ( z ) ; v m ( x , y , z ) = V zm ⋅ V ym ( y ) ⋅ V zm ( z ) ; wm ( y , z ) = W xm ( x ) ⋅ W ym ( y ) ⋅ W zm ( z ) , ут, при этом индексы значения 1, 2, 3 .... (3.2.8) zт могут независимо пробегать все б) ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА Решение плоской задачи теории упругости Канторовича−Власова ищется в виде рядов: u(x , y ) = u 0 (x , y ) + v( x , y ) = v 0 ( x , y ) + методом ∞ ∑ Am (x )u m ( y ) , m =1 ∞ ∑ Bm (x )v m ( y ) , (3.2.9) m =1 где и0(х,у), v0(x,y) - функции, удовлетворяющие неоднородным граничным условиям на продольных сторонах плоской области; и(х) и v(y) - функции удовлетворяющие однородным граничным условиям на продольных сторонах плоской области; А(х), В(х) неизвестные коэффициенты аргумента х. Если решение ищется в виде (3.2.7), то рассматривается прямоугольная область (0 ≤ х ≤ а, 0 ≤ у ≤ b). За основу принимаются формулы уравнений возможных перемещений (2.2.22), (2.2.23). Проведем необходимые действия, аналогичные проведенным при решении пространственной задачи методом Канторовича−Власова. Подставляя решение (3.2.7) в левые части уравнений (2.2.22), получаем: ∂ u ∂ u ∂ v 2(1 − ν 1 ) ∫∫ ⎜⎜ 2 ∂x 2 + (1 − ν 1 ) ∂y 2 + (1 + ν 1 ) ∂x∂y + E X ⎟⎟ δu dA = ⎛ A 2 2 2 2 ⎝ 1 ⎞ ⎠ ⎛ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2v = ∫∫ ⎜⎜ 2 2 + (1 − ν 1 ) 2 + (1 + ν 1 ) + ∂x∂y ∂y A ⎝ ∂x + ( ) ⎞ ∞ 2 1 − ν 12 X ⎟⎟ ⋅ δ ∑ An ( x ) u n ( y ) dA = E1 ⎠ n =1 ∞ a ⎡b ⎛ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2v = ∑ ∫ ⎢ ∫ ⎜⎜ 2 2 + (1 − ν 1 ) 2 + (1 + ν 1 ) + ∂x∂y ∂y n =1 0 ⎣ ⎢ 0 ⎝ ∂x + ( ) ⎤ ⎞ 2 1 − ν 12 X ⎟⎟u n ( y ) dy ⎥ ⋅ δAn ( x )dx ; E1 ⎥⎦ ⎠ ( ) ⎛ ∂ 2u ∂ 2v ∂ 2 v 2 1 − ν 12 ⎞ ⎜ ( ) ( ) + + − + 1 1 2 ν ν + Y ⎟⎟ δv dA = 1 1 ∫∫ ⎜ ∂x∂y E1 ∂x 2 ∂y 2 A ⎝ ⎠ ∞ a ⎡b ⎛ ∂ 2v ∂ 2u ∂ 2u = ∑ ∫ ⎢ ∫ ⎜⎜ + (1 + ν 1 ) + (1 − ν 1 ) 2 + 2 2 + ∂x∂y ∂x ∂y n =1 0 ⎢ ⎣0 ⎝ ( ) ⎤ 2 1 − ν 12 ⎞ Y ⎟⎟v n ( y ) dy ⎥ ⋅ δ Bn ( x ) d x . E1 ⎠ ⎦⎥ Если решение (3.2.7) не удовлетворяет статическим граничным условиям, то добавляются контурные интегралы (2.2.3). При этом учитываем, что для прямоугольной области на продольных краях l = 0, на грани у = 0 m = -1, на грани у = b m = 1: + ⎡⎛ ∂u ⎤ 1 − ν 1 ⎛ ∂u ∂v ⎞ 1 − ν 12 ∂v ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ν ⋅ m − X ν ⎥δu dL = l + ⋅ + + ∫ ⎢⎜ ∂x 1 ∂y ⎟ ⎟ ⎜ x⎠ E1 2 ⎝ ∂y ⎠ Lσ ⎣⎝ ⎦ a⎡ ⎤ ∞ 1 − ν 1 ⎛ ∂u( x , y ) ∂v( x , y ) ⎞ 1 − ν 12 ⎜⎜ ⎟⎟ − = −∫ ⎢ + X ν ⎥ δ ∑ An ( x )u n ( y )dx + ∂y x E1 ⎠ 0⎣ 2 ⎝ ⎦ n =1 y =0 a⎡ ⎤ ∞ 1 − ν 1 ⎛ ∂u( x , y ) ∂v( x , y ) ⎞ 1 − ν 12 ⎜⎜ ⎟⎟ − +∫⎢ + X ν ⎥ δ ∑ An ( x )u n ( y )dx = ∂y x E1 ⎠ 0⎣ 2 ⎝ ⎦ n =1 y =b = ∞ b ∑∫ m =1 a y =b ⎧⎡ ⎫ 2 ⎤ ⎪ 1 − ν 1 ⎛ ∂u( x , y ) ∂v( x , y ) ⎞ 1 − ν 1 ⎪ ⎜⎜ ⎟⎟ − + X ν ⎥ u n ( y ) ⎬ δAn ( x )dx ⎨⎢ x E1 ⎠ ⎦ ⎪⎩⎣ 2 ⎝ ∂y y =0 ⎪ ⎭ ; ⎡1 − ν 1 ⎛ ∂u ∂v ⎞ ⎛ ∂u ∂v ⎞ 1 − ν 12 ⎤ ⎜⎜ Yν ⎥δu dL = + ⎟⎟ ⋅ m − + ⎟⎟ ⋅ l + ⎜⎜ν 1 E1 x⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎠ ⎝ ∂y Lσ ⎣ 2 ⎦ ∫⎢ b ⎧⎡ ⎫ 2 ⎤ ⎪ ⎛ ∂u( x , y ) ∂v( x , y ) ⎞ 1 − ν 1 ⎪ ⎟⎟ − + Yν ⎥ v n ( y ) ⎬ δBn ( x ) dx . = ∑ ∫ ⎨⎢⎜⎜ν 1 ∂y ⎠ ∂x E1 m =1 0 ⎪ ⎣⎝ ⎦ y =0 ⎪ ⎩ ⎭ Приравнивая нулю подынтегральные выражения (интеграл по аргументу х) при вариациях независимых функций Аn(x), Bn(x) (на основании основной леммы вариационного исчисления) и суммируя результаты от интеграла по площади и контурного интеграла, получаем систему дифференциальных уравнений относительно функций Ат(x), Bт(x): a ∞ [ ] [ ] ⎧∞ A ′ A Am′′ ( x ) + anm ′ A Bm′ ( x ) = d nA ( x ), A( x ) + bnm ⎪⎪ ∑ a′nm m =1 n = 1, 2, 3.. (3.2.10) ⎨∞ ⎪ ∑ a′ B A′ ( x ) + b′′ B B ′′( x ) + b B B ( x ) = d B ( x ), nm m nm nm m n ⎩⎪m=1 b ′′ A = 2 ∫ u m ( y ) ⋅ u n ( y )dy ; где anm 0 b ⎛ 1 − ν 1 ∂u m ( y ) ⎞ ∂ 2u m ( y ) u n ( y )⎟⎟ ; u n ( y )dy + ⎜⎜ 2 ∂y ∂y ⎝ 2 ⎠0 0 b A = (1 − ν 1 ))∫ anm ′A bnm b ∂v ( y ) ⎛ 1 −ν 1 ⎞ u n ( y )dy + ⎜ vm ( y ) ⋅ u n ( y )⎟ ; = (1 + ν 1 ))∫ m ∂y ⎝ 2 ⎠0 0 b a⎡ ∂ 2u0 ( x , y ) ∂ 2u0 ( x , y ) ( ) 1 ν + − + d nA = ∫ ⎢2 1 ∂x 2 ∂y 2 0⎣ + (1 + ν 1 ) ( ) ∂ 2 v0 ( x , y ) 2 1 − ν 12 ⎤ + X ⎥ u n ( y )dy + ∂x∂y E1 ⎦ y =b ⎡1 − ν 1 ⎛ ∂u 0 ( x , y ) ∂v0 ( x , y ) ⎞ 1 − ν 12 ⎤ ⎜⎜ ⎟⎟ − +⎢ + Xν ⎥ un ( y ) ; ∂y x E1 ⎠ ⎣ 2 ⎝ ⎦ y =0 ∂u m ( y ) b vn ( y )dy + (ν 1u m ( y ) ⋅ u n ( y )) 0 ; ∂y 0 b ′ B = (1 + ν 1 ))∫ anm b ′′ B = (1 − ν 1 ) ∫ vm ( y ) ⋅ vn ( y )dy ; bnm 0 B bnm b ⎛ ∂v ( y ) ⎞ ∂ 2 vm ( y ) u n ( y )⎟⎟ ; = 2∫ vn ( y )dy + ⎜⎜ m 2 ∂y ⎝ ∂y ⎠0 0 b b⎛ ∂ 2u0 ( x, y ) ∂ 2 v0 ( x , y ) ∂ 2 v0 ( x , y ) d nB = ∫ ⎜⎜ (1 + ν 1 ) 2 + (1 − ν 1 ) + + ∂x∂y ∂x 2 ∂y 2 0⎝ + ( ) 2 1 − ν 12 ⎞ Y ⎟⎟ ⋅ v n ( y ) dy + E1 ⎠ y =b ⎡⎛ ∂u ( x , y ) ∂v 0 ( x , y ) ⎞ 1 − ν 12 ⎤ ⎟⎟ − , Yν ⎥ v n ( y ) + ⎢⎜⎜ν 1 0 + E1 ∂x ∂y ⎠ ⎦ ⎣⎝ y =0 (3.2.11) где Ху0, Yyo, Хyb, Yyb - проекции распределенной нагрузки на гранях у = 0 и у = b по оси х и у соответственно. Если на продольных границах у = 0 и у = b статические b граничные условия выполнены, то слагаемые с подстановкой ... 0 , y =b ... y =0 отбрасываются. Таким образом, как и в пространственной задаче, получена бесконечная система обыкновенных дифференциальных уравнений. На практике берут конечное число членов в рядах (3.2.7), что приводит к конечной системе дифференциальных уравнений, и получают приближенное решение. Если удается построить ортогональную систему функций, отвечающую граничным условиям задачи, то получаем систему отдельных дифференциальных уравнений. В этом случае можно получить точное решение задачи. Если продольные границы области плоской задачи являются кривыми r1(х) и r2(х), r1(х) ≤ у ≤ r2(х), то решение плоской задачи можно искать в виде: u (x , y ) = u0 (x , y ) + v ( x , y ) = v0 ( x , y ) + ∞ ∑ Am (x )u m (x , y ) , m =1 ∞ ∑ Bm ( x )vm (x , y ) , (3.2.12) m =1 так как функции, удовлетворяющие граничным условиям на продольных краях, будут включать уравнения кривых r1(х) и r2(х). Метод Канторовича−Власова приводит в этом случае к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, вид которых зависит от типа кривых r1(х) и r2(х). Например, если продольные криволинейные границы области (рис. 4.1) плоской задачи теории упругости жестко защемлены, т.е. на краях r1(х) и r2(х) перемещения u = v = 0, то функции un(x), vn(x) можно принять в виде y − r1 ( x ) u m ( x , y ) = sin mπ . (3.2.13) r2 ( x ) − r1 ( x ) Основными трудностями в этом случае являются вопросы дифференцирования и интегрирования сложных функций и решения системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. r2(x) y r1(x) a x b Рис. 3.1. Плоская область с криволинейными продольными краями 3.3. Пример расчета. На тонкую пластинку, жестко защемленную с двух противоположных сторон, в плоскости пластинки действуют равномерно распределенные, нормальные к двум другим граням пластинки нагрузки р1 и р2, (рис. 3.2). Коэффициент Пуассона ν = 0.15. Требуется: Определить перемещения и нормальные усилия в пластинке методом Ритца−Тимошенко. Решение. Для удобства перейдем к безразмерным координатам, положив: y x a ξ= ; η= ; λ= . (3.3.1) a b b При этом производные по аргументам х, у переходят в производные по аргументам ξ, η в соответствии с формулами: ∂ k .. 1 ∂ k .. = ; ∂x k a k ∂ξ k ∂ k .. 1 ∂ k .. = . ∂y k b k ∂η k (3.3.2) В соответствии с условиями закрепления граней пластинки на гранях АВ и CD перемещения должны равняться нулю: u (0,η ) = u (1,η ) = 0 ; v(0,η ) = v(1,η ) = 0 . На гранях BC, AD заданы только статические граничные условия, однако, перемещения на этих гранях не у p2 B C b х A D p1 a Рис. 3.2. Плоская задача теории упругости. Изгиб пластинки в своей плоскости должны обращаться в ноль. Решение задачи будем искать в виде двойных рядов: p ⋅a ∞ ∞ u (ξ ,η ) = 0 ∑ ∑ Amn u x m (ξ ) ⋅ u y n (η ) , C m =1n =1 v(ξ ,η ) = p0 ⋅ a ∞ ∞ ∑ ∑ Bmn v x m (ξ ) ⋅ v y n (η ) , C m =1n =1 (3.3.3) Eh − жесткость пластинки на растяжение; h – толщина 1 −ν 2 пластинки; р0 − произвольное значение интенсивности нагрузки. Для определения коэффициентов Аmn, Вmn, в соответствии с алгоритмом метода Ритца−Тимошенко приходим с системе алгебраических уравнений (3.1.7) где C = ( ) ⎧ ∞ Amn Amn A ⎪⎪ ∑ a kl Amn + bkl Bmn = d kl , m =1 , ⎨∞ ⎪ ∑ a Bmn A + b Bmn B = d B , kl mn kl mn kl ⎩⎪m =1 ( ) k, l = 1,2,3… (3.3.4) Коэффициенты системы a klA mn , bklAmn , a klBmn , bklBmn , d klA , d klB в соответствии с формулами (3.1.8) с заменой индекса m при функциях u, v на mn и индекса n на kl вычисляются по формулам: ( ) ( ) a klA mn = cξ u 1m ⋅ u 1k ⋅ cη u n0 ⋅ u l0 + ( ) ( ) 1 −ν 2 λ cξ u m0 ⋅ u k0 ⋅ cη u 1n ⋅ u l1 ; 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 −ν ⎡ ⎤ bklA mn = λ ⋅ ⎢ν ⋅ cξ v m0 ⋅ u 1k ⋅ cη v 1n ⋅ u l0 + cξ v 1m ⋅ u k0 ⋅ cη v n0 ⋅ u l1 ⎥ ; 2 ⎣ ⎦ 1 −ν ⎡ ⎤ a klB mn = λ ⋅ ⎢ν ⋅ cξ u 1m ⋅ v k0 ⋅ cη u n0 ⋅ vl1 + cξ u m0 ⋅ v 1k ⋅ cη u 1n ⋅ vl0 ⎥ ; 2 ⎣ ⎦ 1 −ν a klB mn = λ 2 ⋅ cξ v m0 ⋅ v k0 ⋅ cη v 1n ⋅ vl1 + cξ v 1m ⋅ v 1k ⋅ cη v n0 ⋅ vl0 . (3.3.5) 2 Здесь введены обозначения: ( ) ( ( ) 1 ) ( cξ ϕ mp ⋅ ψ kq = ∫ ϕ x( pm) (ξ ) ⋅ ψ x(q ) (ξ )dξ ; 0 ) ( ) ( ) 1 cη ϕ np ⋅ ψ lq = ∫ ϕ x( pk ) (η ) ⋅ ψ y(ql ) (η )dη . (3.3.6) 0 т.е. берется интеграл произведения производных порядка p, q (верхние индексы) указанных в скобках функций аргумента ξ, η (нижний индекс). Учитывая симметрию нагрузки и граничных условий на гранях АВ и CD относительно среднего сечения пластинки по оси х (перемещения u - обратно симметричны, перемещения v симметричны), принимаем: u xm (ξ ) = sin 2mπξ ; v xm (ξ ) = sin(2m − 1)πξ . (3.3.7) Функции аргумента η, с условием того, что они не должны обращаться в ноль на границах BC и AD, принимаем в виде: u y n (η ) = cos(n − 1)πη ; v y n (η ) = cos(n − 1)πη . (3.3.8) Коэффициенты системы вычислим, используя формулы u xm (ξ ) , приложения I. Учитывая ортогональность функций v x m (ξ ) , u yn (η ) , v yn (η ) и их первых производных в интервале интегрирования (0,1), получим 1 1 cξ u m0 ⋅ u k0 = cη v m0 ⋅ v k0 δ mk ; cη u n0 ⋅ u l0 = cη v n0 ⋅ v l0 = ⋅ δ nl ; 2 2 2 2 ( ) m π 2 − 1 cξ v 1m ⋅ v 1k = ⋅ δ mk ; cξ u 1m ⋅ u 1k = 2π 2 m 2 ⋅ δ mk ; 2 π 2 (n − 1)2 ⋅ δ nl , (3.3.9) cη u 1n ⋅ u l1 = cη v 1n ⋅ v l1 = 2 ⎧1, m = k где δ mk = ⎨ - символ Кронекера. ⎩0, m ≠ k Для интегралов от произведения функций на производные функций, получим интегралы 1 4k (2m − 1) ; cξ v m0 ⋅ u 1k = 2kπ ∫ sin(2m − 1)πξ cos 2kπξ dξ = (2m − 1)2 − 4k 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ( ) ( ) ) ) ( 1 ) cξ v 1m ⋅ u k0 = (2m − 1) π ∫ cos(2m − 1)πξ sin 2kπξ dξ = −c x v m0 ⋅ u 1k ; 0 ( ) 1 cξ u 1m ⋅ v k0 = 2mπ ∫ cos 2mπξ sin(2k − 1)πξ dξ = 0 ( ) 4m(2k − 1) (2k − 1)2 − 4m 2 ( 1 ; ) cξ u m0 ⋅ v 1k = (2k − 1) π ∫ sin 2mπξ cos(2k − 1)πξ dξ = −c x u 1m ⋅ v k0 . 0 Для интегралов по аргументу η ( ) ( ) (3.3.10) 1 c y u 1s ⋅ v t0 = u t0 ⋅ v 1s = −(s − 1)π ∫ sin(s − 1)πη cos(t − 1)πη dη = 0 2 ⎧ 2 (s − 1) , s + t = 3,5,7 ,..., t ≠ 1 ⎪ = ⎨ (t − 1)2 − (s − 1)2 . ⎪ ⎩0 , s + t = 2,4,6..., или s = 1 (3.3.11) Таким образом, мы получаем, что интегралы по аргументу η отличны от нуля тогда, когда, либо функции uny(η) – имеют четные индексы, а функции vny(η) – нечетные индексы, либо наоборот, функции uny(η) – имеют нечетные индексы, а функции vny(η) – четные индексы. В первом случае в соответствии с формулами (3.3.6) функции vny(η) обратно симметричны (направлены в одну сторону) относительно среднего сечения пластинки по направлению оси у, во втором – симметричны. Очевидно, в первый случай соответствует задаче изгиба, второй - растяжению (сжатию) пластинки в плоскости пластинки по направлению оси у. Правые части системы уравнений при равномерно распределенной нормальной нагрузке р1 на грани АD и р2 на грани ВС, вычисляются по формулам: ⎡ p1 ⋅ v y l (0) + p 2 v y l (1) ⎤ 1 d klA = 0 ; d klB = ⎢ ⎥ ⋅ ∫ v x k (ξ )dξ = p0 ⎣ ⎦ 0 l 1 p + cos(l − 1)π p1 − (− 1) ⋅ p 2 ( ) = 1 sin 2 k − 1 πξ d ξ = 2 . (3.3.12) ∫ p0 π (2k − 1) p 0 0 Очевидно, нагрузку р1 и р2 можно разделить на p − p1 и обратносимметричную симметричную p c = 2 2 p + p1 p ac = 2 , нагрузки. Соответственно можно рассматривать 2 отдельно задачу растяжения пластинки от симметричной нагрузки (l – четные) и задачу изгиба пластинки в ее плоскости при действии обратносимметричной нагрузки (l - нечетные). Нагрузки рас и рс действуют на верхней ВС и нижней АD гранях и направлены в первом случае в одну сторону, во втором в противоположные стороны. В случае обратносимметричной нагрузки происходит изгиб пластинки в ее плоскости. При удлинение пластинки решение должно стремится к решению сопротивления материалов изгиба балки. Для обратносимметричной нагрузки формулы (3.3.6) для функций un(η), vn(η) удобнее записать в виде: u ny (η ) = cos(2n − 1)πη ; v ny (η ) = cos 2(n − 1)πη . (3.3.13,а) При симметричной нагрузке: u ny (η ) = cos 2(n − 1)πη ; v ny (η ) = cos(2n − 1)πη . (3.3.13,б) Теперь индекс n для обеих функций пробегает непрерывный ряд значений значения 1, 2, 3. Рассмотрим изгибную задачу. Очевидно, с переходом к функциям (3.3.13,а) аргумента η интегралы, включающие производные эти функции, изменят свои значения. Вычислим эти интегралы: ( ) cη u 1n ⋅ u l1 = ( ) cη v 1n ⋅ u l0 = π 2 (2n − 1)2 2 8(n − 1) ( 2 (2l − 1)2 − 4(n − 1)2 2 8(l − 1) cη (u n0 ⋅ vl1 ) = (2n − 1)2 − 4(l − 1)2 ) cη v 1n ⋅ vl1 = 2π 2 (n − 1) ⋅ δ nl ; ⋅ δ nl ; ( ) ( ) ; cη v n0 ⋅ u l1 = ; cη u 1n ⋅ vl0 = 2 2(2l − 1) 2 4(n − 1) − (2l − 1) 2 2(2n − 1) 2 ; 2 . 2 2 4(l − 1) − (2n − 1) (3.3.14) Используя формулы (3.3.7), (3.3.8), (3.3.11), запишем окончательные формулы определения коэффициентов системы уравнений (3.3.2): a klA mn = π2 ⎡ 1 −ν 2 ⎤ 4m 2 + λ (2n − 1)2 ⎥ ⋅ δ mk ⋅ δ nl ; ⎢ 4 ⎣ 2 ⎦ ( ) ( ) ( 1 −ν ⎡ ⋅ cη v n0 ⋅ u l1 bklA mn = λ ⋅ cξ v m0 ⋅ u 1k ⎢ν ⋅ ⋅cη v 1n ⋅ u l0 − 2 ⎣ )⎤⎥ ; ⎦ ( ) ( ) ( ) 1 −ν ⎡ ⎤ a klB mn = λ ⋅ cξ u 1m ⋅ v k0 ⎢ν ⋅ cη u n0 ⋅ v l1 − cη u 1n ⋅ v l0 ⎥ ; 2 ⎣ ⎦ 1 −ν 2 (2m − 1)2 ⎤⎥ ⋅ δ mk ⋅ δ nl . 4λ 2 (n − 1) + (3.3.15) ⎢ 4 ⎣ 2 ⎦ Правые части системы уравнений вычисляются по формулам: 1 p d klA = 0 ; d klB = ac v yl (0 ) + v yl (1) ∫ u xk (ξ )dξ = p0 0 1 p 4 p ac = ac (1 + cos 2(l − 1)π )∫ sin(2k − 1)πξ dξ = . (3.3.16) p0 π (2k − 1) p 0 0 bklB mn = π2 ⎡ [ ] Проведем расчеты для квадратной пластинки λ = 1, принимая р0 = рас. Вычислим коэффициенты системы уравнений (3.3.2) в первом приближении при m = n = k = l : π 2 ⎡ 1 − 0 ,15 ⎤ 1 − 0,15 ⎤ B 11 = 10 . 92 ; b = 0+ = 1.049 ; 11 2 ⎥⎦ 4 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 4 cξ v10 ⋅ u11 = cξ u11 ⋅ v10 = = −1.333 ; cη v 1n ⋅ u l0 = cη u n0 ⋅ v l1 = 0 ; 1− 4 2 0 cη v1 ⋅ u11 = cη u11 ⋅ v10 = = −2 ; 0 −1 1 − 0 ,15 ⎛ (− 2)⎞⎟ = −1,133 ; b11A 11 = a11B 11 = −1,333 ⋅ ⎜ 0 − 2 ⎝ ⎠ 4 p ac d klB = = 1,273 . π p0 Таким образом, в первом приближении получаем систему двух уравнений: ⎛ 10 ,92 − 1.133⎞ ⎛ A11(1) ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎟=⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜ ⎟⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ − 1.133 1,049 ⎠ ⎝ B11(1) ⎠ ⎝1,273⎠ Здесь и далее индекс в скобках указывает номер приближения. Решая систему уравнений, получим A11(1) = 0,142 ; B11(1) = 1,367 ; a11A11 = ( π2 ⎡ 4+ 4 ⎢⎣ ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) Вычислим вертикальное перемещение v и нормальное напряжение в средне нижней грани AD пластинки ξ = 0,5, η = 0,5, и напряжение σх нижней точке в заделке ξ = 0, η = 0: p a p a v (1) (0,5; 0 ) = ac B11(1) v x (0 ,5) ⋅ v y (0 ) = 1,273 0 . C C ∂v ⎞ C ⎛ ∂u σ x (1) (0 ,5; 0) = ⎜⎜ + ν ⎟⎟ = ∂y ⎠ x = a ; y =0 h ⎝ ∂x 2 ( ) p = ac A11(1) u ′x1 (0,5) ⋅ u y1 (0) + ν ⋅ B11(1) v x1 (0,5) ⋅ v ′y1 (0 ) = h p p = π ⋅ (0,142 ⋅ (− 1) ⋅ 1 + 0 ,15 ⋅ 1,367 ⋅ 1 ⋅ 0 ) ac = −0,45 0 ; h h p ac σ x (1) (0; 0 ) = A11(1) u ′x1 (0) ⋅ u y1 (0) + ν ⋅ B11(1) v x1 (0) ⋅ v ′y1 (0 ) = h p p = π ⋅ (0,142 ⋅ 1 ⋅ 1 + 0 ,15 ⋅ 1,367 ⋅ 1 ⋅ 0 ) 0 = 0,45 0 . h h При вычислении двойных рядов с целью упорядочивания нумерации членов ряда, ряды разбивают на группы, такие, что сумма двух индексов s = m + n в группе постоянна. В группе первый индекс m пробегает значения от 1 до s-1, второй индекс равен n = s – m. Первая группа s = 2 состоит из одного члена ряда m = n = 1. Вторая группа s = 3 – два ( ) члена ряда: m = 1, n = 2 и m = 2, n = 1. Третья группа s = 4 – три члена ряда. Если при использовании одинарных рядов в различных приближениях расчета используется конечное число членов ряда, то с двойными рядами целесообразно добавлять конечное число групп. Общее число членов ряда при этом определяется формулой N ⋅ ( N + 1) Np = , 2 где N – число групп членов ряда. Если во втором приближении взять две группы членов ряда, то N P( 2 ) = 2 ⋅ 3 / 2 = 3 . А так как мы имеем дело в данной задаче с двумя функциями, то во втором приближении мы приходим к системе шести уравнений. Так как решение системы шести уравнений и более довольно трудоемко, то последующие вычисления целесообразно проводить на ЭВМ. По результатам расчета во втором приближении получим p a P v c ( 2 ) = v (2 ) (0,5; 0) = 1.493 0 ; σ xc (2 ) = σ x ( 2 ) (0 ,5; 0) = −1,367 0 ; C h P0 σ xA(2 ) = σ x (2 ) (0,5; 0) = −1,367 , h Сравнение показывает существенные различия результатов счета второго приближения по сравнению с первым приближением. Были проведены вычисления последующих приближений. Результаты счета в различных приближениях в характерных точках пластинки приведены в табл. 3.1. Таблица 3.1 № прибл. Число членов ряда 1 2 6 7 8 9 10 11 1 3 21 28 36 45 55 66 vc 1,273 1,619 1,909 1,941 1,965 1,985 2,002 2,015 σ xc -0,45 -1,367 -2,106 -2,189 -2,244 2,297 2,334 2,370 σ xA 0,45 1,75 4,069 4,456 4,798 5,103 5,379 5,630 б 0,468 pa/C 1,17 pa/C В а у B а 2,01 pa/C C u (η = 0,25) C p v (η = 0,5) х D A a v (ξ = 0,5) А D в 03553 p/h 5,63 p/h 1,14 p/h В σx (ξ = 0) 2,37 p/h C σy (ξ = 0.5) σx (ξ = 0.5) А D Рис. 3.2. Изгиб пластинки в ее плоскости а - схема нагружения; б – эпюры перемещений; в – эпюры напряжений (11-е приближение) На рис. 3.2. приведены эпюры перемещений и напряжений в характерных сечениях пластинки ξ = 0, ξ = 0,25, ξ = 0,5, η = 0, η = 0,5. Эпюра горизонтальных перемещений uх в вертикальном сечении пластинки показывает существенное искажение (отклонение от плоскости) поперечного сечения при изгибе короткой (квадратной) пластинки. Также не соответствует гипотезе плоскости распределение нормальных напряжений σх в вертикальных сечениях. Эпюра перемещений uу в горизонтальном сечении напоминает эпюру жестко защемленной на опорах балки. Для нормальных напряжений σх не выполняются статические граничные условия на верхней и нижней гранях p σ y = ac . Это следствие аппроксимации вертикальных h перемещений uу системой косинусов. При этом получаем ∂u y = εy = 0 . Получаемое значение напряжения на η = 0 (η =1) ∂y η =0 (η =1) p ac = −νσ x соответствует с закону Гука h при нулевых продольных деформациях. Однако, в ближайших от верхний и нижней граней точках значение нормальных этих гранях σ y = 0 ,355 напряжений, как видно из графиков, близко к требуемому граничному значению, что говорит о равномерной сходимости при удовлетворении граничных статических условий. Аналогично можно решить и задачу растяжения пластинки. Суммируя оба решения можно получить решение исходной задачи от действия распределенных на гранях АD и ВС, не равных по величине и направлению нагрузок. IV. МЕТОД БУБНОВА−ГАЛЕРКИНА Метод успешно применялся замечательным русским кораблестроителем И.Г. Бубновым при расчете обшивки кораблей, и в дальнейшем получил развитие в трудах Б. Г. Галеркина. Метод Бубнова−Галеркина не относится к вариационным, хотя в некоторых вариантах может интерпретироваться как метод возможных перемещений. Но этот метод является одним из наиболее часто используемых методов расчета в инженерной практике, в частности при расчете пластин. 4.1. Ортогональные системы функций. В основе метода Бубнова−Галеркина лежит понятие ортогональности функций. Две функции f(x) и ϕ(х) называются ортогональными в интервале а ≤ х ≤ b, если выполняется условие b ∫ f (x ) ⋅ ϕ (x )dx = 0 . (4.1.1) a Например, из теории рядов Фурье известно, что функции sin nx, sin mx и cos nx, cos тх при n ≠ m и sin nx, cos mx при произвольных целых n, m ортогональны в интервалах −π ≤ х ≤ π и 0 ≤ х ≤ π. Известны также системы классических ортогональных полиномов. Кроме понятия ортогональности функций введем понятия линейной независимости и полноты системы функций. Система функций ϕ1(x) , ϕ2(x), ϕ3(x),… ϕn(x) называется линейно независимой, если сумма A1 ⋅ ϕ1 ( x ) + A2 ⋅ ϕ 2 ( x ) + ... + Ak ⋅ ϕ k ( x ) + ..... + An ⋅ ϕ n ( x ) = 0 при любых х только тогда, когда все коэффициенты (k = 1, 2, 3...п) равны нулю. Аk Иными словами, система функций считается линейно независимой, если ни одну из функций системы ϕ1(x) , ϕ2(x),… ϕk(x),…, ϕn(x) нельзя выразить линейной комбинацией других функций этой системы ϕ к ( x ) ≠ ∑ Aiϕ i ( x ) , к ≠ i, i при произвольных Аi, не все из которых равны нулю. Если две или несколько функций системы являются линейно зависимыми, то и вся система функций будет линейно зависимой. Действительно, пусть ϕ1(x) = А2ϕ2(x) +…+ Аkϕk(x) k < m, тогда суммируя систему функций ϕ1(x) , ϕ2(x),... ϕk(x),… ϕn(x) и положив A1 = -1 и нулю все коэффициенты Аm = 0 при т > k, получим что -ϕ1(x) + А2ϕ2(x) + А2ϕ3(x) +…+Аkϕk(x) + Аk+1ϕk+1(x) + …+Аmϕm(x) = 0, и, следовательно, система ϕ1(x) , ϕ2(x), ϕ3(x),…ϕn(x) линейно зависимая система функций. То, что принята линейная зависимость первых к членов системы функций, не существенно, так как при конечном числе функций всегда можно поменять порядок их нумерации. К бесконечным линейно независимым системам функций относятся системы упомянутых выше синусов и косинусов. Другим примером линейно независимых систем функций являются системы полиномов разных порядков. Полиномом п-го порядка называется выражение n Pn ( x ) = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + ... + a n x n = ∑ a k x k , an ≠ 0. k =0 В частности, xn нельзя выразить никакой линейной комбинацией полиномов порядка меньше п. На основе любой линейно независимой системы функций порядка п можно построить другую систему п линейно независимых функций, взяв некоторые линейные комбинации из некоторых функций первоначальной системы. В частности, можно построить систему линейно независимых, взаимно ортогональных функций. В пособии не рассматривается алгоритм построения ортогональных систем функций. С ним можно познакомится в курсах математической физики, функционального анализа и некоторых других. Введенные понятия ортогональности и линейной независимости системы функций имеют аналогию с понятиями ортогональности и линейной независимости векторов, а разложение функции в ряд по этой системе функций - с разложением векторов по линейно независимому базису векторов. В курсе линейной геометрии показывается: - два непараллельных вектора в плоскости линейно независимы; - любому вектору в плоскости можно построить вектор ортогональный данному; - любой вектор в плоскости можно выразить через линейную комбинацию двух линейно независимых векторов; - в трехмерном пространстве три некомпланарных (не лежащих в одной плоскости) вектора являются независимыми; - двум ортогональным векторам в плоскости можно построить третий, ортогональный им в трехмерном пространстве; - любой вектор в трехмерном пространстве можно представить линейной комбинацией трех линейно независимых векторов; - любые три линейно независимых вектора трехмерного пространства (два вектора двухмерного пространства) могут служить базисом этого пространства; - условием ортогональности векторов является равенство нулю их скалярного произведения (а,b) = a1b1 + a2b2 + a3b3 = 3 ∑ ai bi = 0, i =1 где аi, bi - коэффициенты разложения векторов в ортогональном базисе трехмерного пространства; - на основе произвольного базиса пространства можно построить ортогональный базис этого пространства; - любой вектор трехмерного (двухмерного) пространства можно представить в виде линейной комбинации базиса пространства, которая называется проекциями вектора на базис пространства; - вектор, не лежащий в плоскости, нельзя восстановить по его линейной комбинации (проекциям) линейно независимых векторов в плоскости; - двухмерное пространство называется подпространством трехмерного пространства; - вектор в трехмерном пространстве можно разложить по базису этого пространства - системе трех линейно независимых векторов; - разложение вектора, не лежащего в плоскости (вектор трехмерного пространства), по базису в плоскости называется проекцией вектора на плоскость или проекцией вектора в подпространство; - по проекции вектора в подпространство нельзя восстановить вектор, лежащей в пространстве большей размерности; - в курсах линейной алгебры и функционального анализа [22, 23] обобщают понятие двумерного и трехмерного пространств на понятие п-мерного и бесконечномерного пространств с соответствующими понятиями линейной независимости и ортогональности векторов, базиса и разложения произвольного вектора в базисе пространства и его проекции в подпространство; - если по разложению произвольного вектора из данного множества векторов в базисе n-мерного пространства нельзя восстановить его первоначальную (точную) величину, то говорят, что данное пространство является неполным для данного множества векторов (они лежат в пространстве большей размерности); - понятие полноты пространства особенно важно в бесконечномерном пространстве, так как, имея базис n-мерного пространства, всегда можно по определенному алгоритму построить базис пространства с размерностью n + 1, то построение по этому алгоритму базиса бесконечномерного пространства предполагает бесконечное число действий. В то же векторного время, наличие бесконечномерного базиса пространства не гарантирует его полноту. Данное отступление в теорию n-мерных пространств потребовалось, чтобы ввести аналогичные понятия в пространстве (множестве) функций и, в частности, ввести понятие полноты системы функций. Пусть имеется бесконечная система линейно независимых функций ϕm(х) и функция f(x), принадлежащая заданному классу функций. Если функция f(x) в интервале [а,b] может быть представлена в виде ряда f (x ) = ∞ ∑ c m ϕ m (x) , (4.1.2) m =1 то говорят, что функция f(x) разложена в ряд Фурье по ϕm(х), а само разложение - рядом Фурье системе функций функции f(x). Если ϕm(х) - система ортогональных функций, то коэффициенты ряда Фурье сn определяются по формуле b cm = ∫ f (x )ϕ m (x )dx a b 2 ∫ ϕ m (x )dx a . (4.1.3) В случае неортогональной системы функций коэффициенты ряда Фурье определяются из бесконечной системы cn алгебраических уравнений ∞ ∑ Bnm cm = d n , n = 1, 2, 3,… (4.1.4) m =1 b где Bnm = Bmn = ∫ ϕ m ( x )ϕ n ( x )dx , a b d n = ∫ f ( x )ϕ n ( x )dx . a В курсе математического анализа студентам дается теория тригонометрических рядов Фурье. Однако функцию можно раскладывать в ряды не только по системе тригонометрических функций, но и по любой другой полной системе линейно независимых функций. Для этой цели используются, например, функции Бесселя, или системы классических ортогональных полиномов и т.д. Линейно независимая система функций ϕm(х) называется полной на данном множестве функций в интервале [а,b], если при разложении любой функции из этого множества функций в ряд Фурье по системе функций ϕm(х) и любой точки х ∈ [а,b] для точки x′ из интервала (х -ε < х′ < х+ε) и как угодно малых ε и δ найдется такое N > 0, что будет выполняться условие f(x)− N ∑ c n ϕ n ( x ′) < δ . m =1 Иными словами, для любой точки x интервала [а,b] найдется точка x′ в как угодно малой ε-окрестности точки x, в которой разложение функции f(x) в ряд Фурье при удержании достаточного числа членов ряда N будет как угодно мало отличаться от значения функции в точке x. Понятие полноты системы функций позволяет раскладывать в ряд Фурье по системе непрерывных функций функции другого класса. Например, раскладывать кусочно-непрерывные (имеющие конечные разрывы в конечном числе точек на данном интервале) функции в ряды по синусам и косинусам - системе непрерывных функций. Так, константу С можно разложить в ряд Фурье по системе функций ϕm(х) = sinmx в интервале [0,π]. Несмотря на то, что в точках х = 0 и х =π разложение всегда принимает нулевое значение, т.е. не равным исходной константе С, это разложение дает значения, отличающиеся от единицы внутри интервала [0,π] на как угодно малую величину ε, в том числе в точках, как угодно близких к точкам х = 0 и х = π , если в ряде Фурье удерживается достаточное число членов ряда. Разложение константы в ряд Фурье по системе синусов представлено на рис. 4.1. Крайние участки N кривой разложения у Cm sin mπ ∑ константы в ряд m=1 δ Фурье, представленной С на рис. 4.1, δ приближаются к 0 вертикальным х π отрезкам х = 0, х = π ε Рис. 4.1. Разложение константы в ряд по синусам при увеличении числа удер-живаемых членов ряда. Лемма. Если функция f(x) ортогональна полной системе линейно независимых функций ϕm(х) в интервале [a,b], то эта функция тождественно равна нулю в этом интервале: b ∫ f (x )ϕ m (x )dx = 0 , m = 1, 2,3,…, → f (x ) ≡ 0 . (4.1.5) a Доказательство. Если разложить функцию f(x) в ряд Фурье по полной системе линейно независимых функций ϕm(х), то коэффициенты этого ряда сm согласно формулам (4.15) равны нулю, и, следовательно, равна нулю сумма ряда, т.е. тождественно равна нулю функция f(x). Полнота системы функций имеет в данном случае существенное значение. Это аналогично ортогональности вектора к двум линейно независимым векторам в плоскости для вектора в трехмерном пространстве - вектор, ортогональный двум векторам в трехмерном пространстве, не обязательно равен нулю, а вектор, ортогональный трем некомпланарным векторам трехмерного пространства, равен нулю. 4.2. Решение дифференциальных уравнений методом Бубнова−Галеркина. Пуст дано дифференциальное уравнение L[f(x)] - g(x) = 0, (4.2.1) где L - некоторый дифференциальный оператор; g(x) заданная функция. Функция f(x) удовлетворяет граничным условиям, число которых соответствует порядку дифференциального оператора f(a) = A, f(b) = В, f'(a) = A1, f'(b) = B1,... (4.2.2) Например, дифференциальное уравнение изгиба балки можно записать в виде L[ y ( x )] − q( x ) = d 2 y(x ) ⎞ d2 ⎛ ⎟ − q( x ) = 0 , ⎜ EJ z dx 2 ⎜⎝ dx 2 ⎟⎠ (4.2.3) где y(x) - функция прогиба балки; EJz - изгибная жесткость балки (в общем случае переменная); q(x) распределенная поперечная нагрузка. Для дифференциального уравнения изгиба балки, порядок которого равен четырем, задается четыре граничных условия. Так, если дана однопролетная шарнирно опертая балка с длиной пролета l, то граничные условия имеют вид: у(0) = 0, Мz(0) = 0, у(l) = 0, M(l) = 0, или в перемещениях y(0) = y'′ (0) = y(l) = y'′ (l) = 0. Принимаем решение дифференциального уравнения (4.2.1) в виде ряда f (x ) = ∞ ∑ Am f m ( x ) , m =1 (4.2.4) где fm(х) - произвольно выбранные функции, удовлетворяющие граничным условиям (4.2.2), но не удовлетворяющие в общем случае дифференциальному уравнению (4.2.1); Am - произвольные коэффициенты. Тогда, в общем случае, ряд (4.2.4) не удовлетворяет дифференциальному уравнению (4.2.1) ⎤ ⎡∞ L[ f ( x )] − g ( x ) = L ⎢ ∑ Am f m ( x )⎥ − g ( x ) = ⎣ m=1 ⎦ = ∞ ∑ Am L[ f m ( x )] − g( x ) = F ( x ) ≠ 0. m =1 (4.2.5) Очевидно, что невязка полученного решения (отличие от нуля) существенно зависит от значений неопределенных коэффициентов Аm. Потребуем выполнения условий ортогональности функции F(x) некоторой полной системе линейно независимых функций ϕn(x) b b ⎧∞ ⎫ ( ) ( ) = F x ϕ x d x n ∫ ∫ ⎨ ∑ Am L[ f m ( x )] − g ( x )⎬ϕ n (x )dx = ⎭ a a ⎩m =1 (4.2.6) = ∞ b b ∞ m =1 a a m =1 ∑ Am ⋅ ∫ L[ f m (x )] ⋅ ϕ n (x )dx − ∫ g (x ) ⋅ ϕ (x )dx = ∑ Bnm Am − C n = 0, b b a 0 где Bnm = ∫ L[ f m ( x )] ⋅ ϕ n ( x )dx , C n = ∫ g ( x ) ⋅ ϕ n ( x )dx . n = 1, 2, 3… Таким образом, получена система алгебраических уравнений ∞ ∑ Bnm Am = C n , n = 1, 2, 3,… (4.2.7) m =1 из решения которой определяются коэффициенты Аm, такие что функция F(x) ортогональна полной системе линейно независимых функций и, следовательно она тождественно равна нулю ⎡∞ ⎤ F ( x ) = L[ f ( x )] − g ( x ) = L ⎢ ∑ Am f m ( x )⎥ − g ( x ) = 0 , ⎣ m=1 ⎦ т.е. решение дифференциального уравнения (4.2.1) в виде ряда (4.2.4) с коэффициентами, определяемыми из системы уравнений (4.2.7), удовлетворяет дифференциальному уравнению и граничным условиям и, следовательно, является решением исходной задачи. Так как система алгебраических уравнений в общем случае является полной бесконечной системой, решение которой в общем виде возможно лишь при определенных соотношениях между коэффициентами системы, то на практике обычно ограничиваются конечным числом членов ряда, получая таким образом приближенное решение. Более простое решение получается, если системы функций L[fm(x)] и ϕn(х) взаимно ортогональны в интервале интегрирования. Тогда метод Бубнова−Галеркина приводит к системе независимых алгебраических уравнений для каждого неизвестного коэффициента Аm и, следовательно, можно получить точное решение задачи. На практике довольно часто в качестве функций fm(х) и ϕn(х) принимают одни и те же функции fm(x) = ϕn(x), но даже если сами функции системы ϕn(x) взаимно ортогональны, эта система может оказаться не ортогональной после воздействия оператора L на функции системы, т.е. b ∫ ϕ m (x )ϕ n ( x )dx a b ∫ L[ϕ m ] ⋅ ϕ n (x )dx =0, a m≠ n ≠0. m≠n В то же время, применение различных систем - системы функций fm(x), удовлетворяющих граничным условиям задачи, и полной системы линейно независимых функций ϕn(x) бывает удобным, так как часто для удовлетворения граничных условий приходится применять системы довольно сложные функций. Пример. Определить, применяя метод Бубнова−Галеркина, прогиб в y середине пролета Р однопролетной шарнирно A B x опертой балки l/2 l/2 постоянной жесткости EJz = const, загруженРис. 4.2. Шарнирно опертая балка, загруженная ной сосредоточенной силой сосредоточенной силой Р в середине пролета (рис. 4.2). Решение для прогиба балки принимаем в виде ряда ∞ y ( x ) = ∑ AmYm ( x ) . (4.2.8) m =1 Учитывая граничные условия шарнирно опертой балки x . l условия задачи у(0) = у′′(0) = у(l) = у′′(l) = 0, принимаем Ym ( x ) = sin mπ Нетрудно убедиться, что граничные выполняются. В качестве системы линейно независимых функций принимаем ту же систему функций, что использована для решения задачи. Вычисляем коэффициенты Вnт в соответствии с формулами (4.2.6), учитывая дифференциальное уравнение изгиба балки (1.3.12): x d 4 sin mπ 4 4 d 4Ym ( x ) l = π m sin mπ x ; L[Y ( x )] = = l dx 4 dx 4 l4 l Bnm = ∫ L[Ym ( x )]ϕ n ( x )dx = 0 π 4m4 l4 l ∫ sin mπ 0 x x π 4m4 ⋅ sin nπ dx == ⋅ δ mn l l 2l 3 , ⎧1, при m = n - символ Кронекера. где δ mn = ⎨ ⎩0 , при m ≠ n. Нагрузку - сосредоточенную силу Р представляем в виде расP пределенной по отрезку малой длины ∆ нагрузки q ( x ) = . При ∆ вычислении коэффициентов Сn в формуле (4.2.6) интеграл от нагрузки по длине балки заменяем интегралом по отрезку ∆ (интервал действия нагрузки) и ввиду малости отрезка ∆ значения подынтегральных функций принимаем в виде их значений в точке приложения сосредоточенной силы l C n = ∫ q( x )ϕ n ( x )dx = ∫ ∆ 0 P ∆ ϕ n (x p )dx = P ∆ xp = l 2 - ∆ ( ) ( ) P ϕn xp ⋅ ∆ = P ⋅ϕn xp , ∆ = где ϕ n (x p )∫ dx = координата ( ) сосредоточенной силы Р, ϕ n x p = sin n π 2 точки приложения , и, следовательно, n −1 nπ ⎧⎪(− 1) 2 P , n = 1,2,3,... C n = P ⋅ sin =⎨ 2 ⎪ 0, n = 2,4,6 ,... ⎩ Ввиду ортогональности системы функций интервале интегрирования следовательно, получаем Bmm Am = C m , откуда sin nπ x l в (0, l) Вnm =0 при т ≠ п, и, систему независимых уравнений Am = C . Bmm Окончательно получаем функцию прогибов для балки, загруженной сосредоточенной силой в середине пролета y(x ) = Pl 3 EJ z ∞ ∑ (− 1) m −1 2 m =1,3 ,5 x 2 ⋅ sin mπ = 4 l π m 4 Pl 3 2 =− ⋅ EJ z π 4 ∞ ∑ k =1 (− 1)k (2k − 1) 4 ⋅ sin(2k − 1 ))π x . l Прогиб в середине пролета балки 3 ⎛ l ⎞ Pl 2 y⎜ ⎟ = 4 ⎝ 2 ⎠ EJ z π ∞ ∑ (− 1) m =1,3 ,5 m −1 2 Pl 3 π 1 ⋅ = 0 02053 sin m , EJ z 2 m4 ∞ 1 = 4 m =1,3 ,5 m ∑ Pl 3 ∞ 1 . ∑ EJ z k =1 (2k − 1)4 Вычисляя значение прогиба с одним, двумя и тремя членами ряда, получим = 0 ,02053 Pl 3 ⎛l⎞ y(1) ⎜ ⎟ = 0,02053 , EJ z ⎝ 2⎠ Pl 3 ⎛ Pl 3 1⎞ ⎛l⎞ y(2 ) ⎜ ⎟ = 0 ,02053 ⎜1 + 4 ⎟ = 0 ,02079 EJ z ⎝ 3 ⎠ EJ z ⎝ 2⎠ , Pl 3 ⎛ Pl 3 1 1⎞ ⎛l⎞ y(3 ) ⎜ ⎟ = 0 ,02053 , ⎜1 + 4 + 4 ⎟ = 0 ,02082 EJ z ⎝ 3 EJ z 5 ⎠ ⎝ 2⎠ где индекс в скобках обозначает номер приближения (число суммируемых членов ряда). Точное значение прогиба в середине пролета шарнирно опертой балки, полученное методами сопротивления Pl 3 Pl 3 ⎛l⎞ = 0 ,02083 . материалов yсм ⎜ ⎟ = EJ z ⎝ 2 ⎠ 48 EJ z Следовательно, приближения невязки (ошибки) δ (k ) = дают относительные yсм − y(k ) 100% , yсм δ(1) = 1,4%, δ(1) = 0,2%, δ(1) = 0,05%. Таким образом, уже первое приближение (один член ряда) дает практически точное значение прогиба. Используя дифференциальные зависимости угла поворота, изгибающего момента и поперечной силы от прогиба и проводя соответствующие операции с решением (4.2.9), можно получить их значения в любой точке балки. Необходимо учитывать при этом, что операция дифференцирования ухудшает сходимость соответствующих рядов и для получения точных значений внутренних усилий необходимо удерживать больше членов ряда, чем при вычислении прогиба. 4.3. Метод Бубнова−Галеркина при решении задач теории упругости. Все понятия: ортогональность функций в заданной области интегрирования, линейная независимость и полнота системы функций, лемма о функции, ортогональной полной системе функций, переносятся из одномерного пространства на двухмерное и трехмерное пространства. Рассмотрим алгоритм решения дифференциальных уравнений в трехмерном и двухмерном пространствах на примере решения пространственной и плоской задач теории упругости. а) ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА Решение задачи теории упругости в перемещениях принимаем в виде рядов, аналогичных рядам, используемым при решении задач методом Ритца−Тимошенко: u ( x , y , z ) = u0 ( x , y , z ) + v ( x , y , z ) = v0 ( x , y , z ) + ∞ ∑ Am u m (x , y , z ) , m =1 ∞ ∑ Bm vm (x , y , z ) , (4.3.1) m =1 w( x , y , z ) = w0 ( x , y , z ) + ∞ ∑ Cm wm (x , y , z ) , m =1 где и0(х,у,z), v0(х,у,z), w0(х,у,z) - функции, удовлетворяющие неоднородным граничным условиям; иm(х,у,z), vm(х,у,z), wm(х,у,z) – функции, удовлетворяющие однородным граничным условиям на поверхности; Аm, Вm, Сm - неизвестные коэффициенты, которые определяются на из условия основе метода Бубнова−Галеркина ортогональности системы уравнений равновесия теории упругости в перемещениях полной системе линейно независимых функций ϕn(х). В отличие от метода Ритца−Тимошенко в методе Бубнова−Галеркина функции и0(х,у,z), v0(х,у,z), w0(х,у,z) должны удовлетворять всем граничным условиям задачи, а не только кинематическим, а функции иm(х,у,z), vm(х,у,z), wm(х,у,z) - всем соответствующим однородным граничным условиям задачи. Чтобы получить алгоритм решения пространственной задачи теории упругости запишем уравнения равновесия в перемещениях (2.1.10) в операторной форме ⎧ L11u ( x , y , z ) + L12 v( x , y , z ) + L13 w( x , y , z ) + X = 0 , ⎪ ⎨ L21u ( x , y , z ) + L22 v( x , y , z ) + L23 w( x , y , z ) + Y = 0, ⎪ L u ( x , y , z ) + L v( x , y , z ) + L w( x , y , z ) + Z = 0 , 32 33 ⎩ 31 (4.3.2) где в соответствии с уравнениями (2.1.10): L11 .. = (λ + µ ) ∂ 2 .. ∂ 2 .. ∂ 2 .. ∂ 2 .. 2 ( ) + µ ∇ .. = λ + 2 µ + µ + µ ; ∂ x2 ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2 L12 .. = (λ + µ ) ∂ 2 .. ; ∂ x∂ y L21 .. = (λ + µ ) ∂ 2 .. ; ∂y∂x L22 .. = µ L23 .. = (λ + µ ) ∂ 2 .. ; ∂y∂z L31 .. = (λ + µ ) L32 .. = (λ + µ ) ∂ 2 .. ; ∂z∂y L33 .. = µ L13 .. = (λ + µ ) ∂ 2 .. ; ∂ x∂ z ∂ 2 .. ∂ 2 .. ∂ 2 .. ( ) + λ + 2 µ + µ ; ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ∂ 2 .. ; ∂z∂x (4.3.3) ∂ 2 .. ∂ 2 .. ∂ 2 .. ( ) + + + µ λ 2 µ . ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 При подстановке решения (4.3.1) в уравнения равновесия (4.3.2) в общем случае произвольных коэффициентов Аm, Вm, уравнения равновесия не будут выполняться. Сm определим из условий Коэффициенты Аm, Вm, Сm ортогональности решения системы дифференциальных уравнений равновесия полной системе линейно независимых функций. Пусть ϕn(x,y,z) - полная система линейно независимых функций в области, определяемой границами рассматриваемого тела. Тогда из условия ортогональности уравнений равновесия (4.3.2), определяемого решением (4.3.1), полной системе линейно независимых функций, получим (здесь и далее аргументы функций для простоты опускаем) ∫∫∫ [L11u + L12 v + L13 w] ⋅ ϕ n dΩ = ∫∫∫ [L11u0 + L12 v0 + L13 w0 ] ⋅ ϕ n dΩ + Ω Ω ∞ ∞ ∞ ⎡ ⎤ + ∫∫∫ ⎢ L11 ∑ Am u m + L12 ∑ Bm vm + L13 ∑ C m wm + X ⎥ ⋅ ϕ n dΩ . (4.3.4) m =1 m =1 m =1 ⎦ Ω ⎣ Интегрируя ряды почленно и перенося интегралы от известных функций в правую часть равенства, получаем ∞ ∑ ∫∫∫ [ Am L11u m + Bm L12 vm + Cm L13 wm ] ⋅ ϕ n dΩ = m =1 Ω = − ∫∫∫ [L11u0 + L12 v0 + L13 w0 ] ⋅ ϕ n dΩ − ∫∫∫ X ⋅ ϕ n dΩ . Ω (4.3.5) Ω Выполняя аналогичные действия с другими уравнениями равновесия в результате интегрирования, получаем систему алгебраических уравнений ( ) ⎧∞ 1 1 1 1 ⎪ ∑ anm Am + bnm Bm + cnm C m = d n , ⎪m=1 ⎪∞ 2 2 2 2 ⎨ ∑ anm Am + bnm Bm + cnm C m = d n , ⎪m=1 ⎪∞ 3 3 3 3 ⎪ ∑ anm Am + bnm Bm + cnm C m = d n , ⎩m=1 ( ) ( ) k anm = ∫∫∫ (Lk1u m ) ⋅ ϕ n dΩ ; где (4.3.6) k bnm = ∫∫∫ (Lk 2 vm ) ⋅ ϕ n dΩ ; Ω k c nm n = 1, 2, 3,… Ω = ∫∫∫ (Lk 3 wm ) ⋅ ϕ n dΩ ; Ω d nk = − ∫∫∫ [Lk1u 0 + Lk 2 v 0 + Lk 3 w0 ] ⋅ ϕ n dΩ − ∫∫∫ q k ⋅ ϕ n dΩ ; Ω q1 (4.3.7) = Ω X; q2 = Y; q3 = Z. Здесь k = 1, 2, 3 - номера уравнения равновесия. Система алгебраических уравнений (4.3.6) и коэффициенты системы (4.3.7) получены в предположении, что используется одна система линейно независимых функций ϕn(х,у,z) для всех уравнений равновесия теории упругости в перемещениях (2.1.10). Можно использовать для каждого из уравнений равновесия свою систему линейно независимых функций ϕкn(х,у,z) (к = 1, 2, 3). Использование двух или трех полных систем линейно независимых функций может оказаться более удобным в зависимости от вида функций um(x,y,z), vm(x,y,z), wm(x,y,z), применяемых для удовлетворения граничных условий. В частности, если системы функций um(x,y,z), vm(x,y,z), wm(x,y,z), удовлетворяющие граничным условиям задачи, каждая из которых является полной системой линейно независимых функций, они могут использоваться и в качестве систем функций для ортогонализации системы уравнений равновесия при определении коэффициентов Аm, Вm, Сm решения (4.3.1). В этом случае обычно принимают соответственно: ϕ1n(х,у,z) = un(x,y,z); ϕ2n(х,у,z) = vn(x,y,z); ϕ3n(х,у,z) = wn(x,y,z), а коэффициенты системы алгебраических уравнений (4.3.4) определяются по формулам: k anm = ∫∫∫ (Lk1u m ) ⋅ u n dΩ ; Ω k bnm = ∫∫∫ (Lk 2 vm ) ⋅ u n dΩ ; Ω k cnm = ∫∫∫ (Lk 3 wm ) ⋅ u n dΩ ; (4.3.8) Ω d nk = − ∫∫∫ [Lk1u 0 + Lk 2 v 0 + Lk 3 w0 ] ⋅ u n dΩ − ∫∫∫ q k ⋅ u n dΩ ; Ω Ω Метод Бубнова−Галеркина в случае, когда для решения и его ортогонализации используются одни и те же системы линейно независимых функций ϕ1n(х,у,z) = un(x,y,z), ϕ2n(х,у,z) = ϕ3n(х,у,z) = wn(x,y,z), можно интерпретировать как vn(x,y,z), метод возможных перемещений и отнести к разряду вариационных методов, основанных на принципе Лагранжа. Для его обоснования можно использовать уравнения (2.2.6). Отметим также, что, как и при решении в рядах другими методами, решение методом Бубнова−Галеркина приводит к бесконечной системе алгебраических уравнений, и, чтобы избежать трудностей с их решением, на практике ограничиваются решением с конечным числом членов ряда, получая приближенные решения. Перед пользователем в этом случае стоит проблема оценки точности получаемого решения, что является достаточно сложной задачей и в данном пособии не рассматривается. В случае, если удается подобрать систему функций ϕin(х,у,z), ортогональных к системе уравнений равновесия f f f твердого деформируемого тела, т.е. если amn = bmn = cmn = 0 при m ≠ n (f = u, v, w), бесконечная система распадается на систему отдельных уравнений (или группы систем из трех алгебраических уравнений). В этом случае можно говорить, что получено точное решение задачи, так как расчет может быть проведен с необходимым для точности решения числом членов ряда. б) ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА При решении плоской задачи теории упругости используются дифференциальные уравнения в перемещениях (2.1.24), которые в операторном виде имеют вид: ( ) ( ) ⎧ 2 1 − ν 12 ( ) ( ) L u x , y + L v x , y + X (x , y ) = 0, ⎪ 11 12 E1 ⎪ ⎨ 2 ⎪ L u ( x , y ) + L v( x , y ) + 2 1 − ν 1 Y ( x , y ) = 0 , 21 22 ⎪ E1 ⎩ (4.3.9) где L11 .. = 2 ∂ 2 .. ∂ 2 .. ( ) + 1 − ν ; 1 ∂x 2 ∂y 2 L12 .. = L21 .. = (1 + ν 1 ) ∂ 2 .. ; ∂x∂y ∂ 2 .. ∂ 2 .. + 2 . ∂x 2 ∂y 2 Решение для функций перемещений принимается в виде рядов L22 .. = (1 − ν 1 ) ∞ ⎧ ( ) = + u ( x , y ) u x , y Am u m ( x , y ), ∑ 0 ⎪⎪ m =1 (4.3.10) ⎨ ∞ ⎪v( x , y ) = v ( x , y ) + ∑ B v ( x , y ), m m 0 ⎪⎩ m =1 где u0(x,y), v0(x,y) - функции, удовлетворяющие неоднородным граничным условиям задачи; um(x,y), vm(x,y) функции, удовлетворяющие соответствующим однородным граничным условиям; Am, Bm - неизвестные коэффициенты, определяемые из условий ортогональности уравнений равновесия (4.3.9) при подстановке в них решения (4.3.10) полной системе линейно независимых функций ϕn. Выполняя действия, аналогичные проведенным при решении пространственной задачи теории упругости методом получим систему алгебраических Бубнова−Галеркина, уравнений ( ) ⎧∞ u u u ⎪⎪ ∑ anm Am + bnm Bm = d n , m =1 ⎨∞ ⎪ ∑ av A + bv B = d v , nm m n ⎪⎩m=1 nm m ( где n = 1, 2, 3 … ) k anm = ∫ (Lk1u m ) ⋅ ϕ n dA ; (4.3.11) k bnm = ∫ (Lk 2 vm ) ⋅ ϕ n dA ; A ( A ) ⎛ ⎞ 2 1 − ν 12 d nk = − ∫ ⎜⎜ Lk1u0 + Lk 2 v0 + qk ⎟⎟ ⋅ ϕ n dA ; E1 A⎝ ⎠ k =1,2. (4.3.12) Если для решения задачи и условий ортогонализации используются одни и те же полные системы линейно независимых функций ϕ1n(х,у) = un(x,y), ϕ2n(х,у) = vn(x,y), то коэффициенты системы алгебраических уравнений (4.3.11) определяются по формулам: k a nm = ∫ (Lk1u m ) ⋅ u nk dA ; A k bnm = ∫ (Lk12 u m ) ⋅ u nk dA ; ( ) A ⎛ ⎞ 2 1 − ν 12 d nk = − ∫ ⎜⎜ Lk1u 0 + Lk 2 v 0 + q k ⎟⎟ ⋅ u nk dA ; (4.3.13) E1 A⎝ ⎠ Здесь k =1, 2 - номер уравнения равновесия плоской задачи теории упругости; u1n = u n , u n2 = vn ; q1 = X; q2 = Y. Если рассматривается прямоугольная область плоской задачи, то функции um(x,y), vm(x,y) обычно принимаются в виде произведения функций независимых аргументов: u m ( x , y ) = U mx 1 ( x ) ⋅ U my 2 ( x ) ; vm ( x , y ) = Vmx1 ( x ) ⋅ Vmy2 ( x ) , (4.3.14) где m = 1, 2, 3,…; m1 = 1, 2,..., m; m2 = m – m1 + 1 (m1 + m2 = m). Иными словами решение ищется в виде двойных рядов: ∞ u( x , y ) = U 0x ( x ) ⋅ U 0y ( y ) + ∑ m ∑U mx 1( x ) ⋅ U my 2 ( y ) . (4.3.15) m =1 m 2=1 Функции U mx 2 ( x ), Vmx2 ( x ) и U my 2 ( x ), Vmy2 ( x ) удовлетворяют граничным условиям на поперечных (х = х1, х = х2) и на продольных (у = у1, у = у2) краях прямоугольной области соответственно. Если рассматривается область, ограниченная прямыми х1, х2 (х1 ≤ х ≤ х2) и криволинейными продольными краями, то функции могут быть представлены в виде: u m ( x , y ) = U mx 1 ( x ) ⋅ U mxy2 ( x , y ) ; vm ( x , y ) = Vmx1 ( x ) ⋅ Vmxy2 ( x , y ) , (4.3.15) где U mx 2 ( x ), Vmx2 ( x ) - функции, удовлетворяющие граничным условиям на прямолинейных (поперечных) краях области (х = х1 и х = х2); U mxy2 ( x , y ), Vmxy2 ( x , y ) - функции, удовлетворяющие граничным условиям на криволинейных краях области. Если продольные криволинейные края пластинки, ограниченые кривыми y1 = r1(x), y2 = r2(x), жестко защемлены, и, следовательно, на криволинейных краях пластинки у = r1(x), у = r2(x) перемещения равны нулю u = v = 0, то функции U mxy2 ( x , y ) , Vmxy2 ( x , y ) можно принять в виде U mxy2 ( x , y ) = Vmxy2 ( x , y ) = sin mπ y − r1 ( x ) . r2 ( x ) − r1 ( x ) (4.3.16) V. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ РАСЧЕТА СТЕРЖНЕЙ ВАРИАЦИОННЫМИ МЕТОДАМИ Задачи по расчету стержней и стержневых систем рассматриваются в курсах сопротивления материалов и строительной механики. В этих курсах построены достаточно удобные методы практических расчетов стержневых конструкций. Поэтому использование вариационных методов расчета стержней, в частности решения задач изгиба балок, в общем случае нецелесообразно. Однако при освоении этих методов удобно начинать именно с расчета простых задач, для чего вполне подходят балки и простейшие стержневые системы. Возможность получить точное решение методами сопротивления материалов, позволяет проанализировать приближенное решение, полученное на основе вариационных методов, и исследовать сходимость этого метода. Именно эти цели преследовались в методическом пособии [29]. В то же время вариационные методы имеют и самостоятельное значение при решении более сложных задач расчета стержней, например, стержней переменного сечения, в частности статически неопределимых балок переменного сечения, балок на упругом основании, расчета стержней на устойчивость и колебания. Вариационные методы могут также применятся при расчете стержневых конструкций с учетом сдвига и при решении нелинейных задач расчета стержней и стержневых систем. 5.1. Потенциальная энергия деформаций плоской формы изгиба стержней При нагружении стержневых систем в сечениях стержней возникают нормальные и поперечные силы, изгибающие и крутящие моменты. В плоских рамных конструкциях, нагруженных системами сил в их плоскости, крутящие моменты отсутствуют. В сечениях стержней возникают нормальные напряжения σх (ось х направлена вдоль оси стержня), вызванные продольными нормальными силами NХ и изгибающими моментами Мz,, и касательные напряжения τху, вызванные поперечными силами Qy. Потенциальная энергия деформаций стержней вычисляется в соответствии с формулой потенциальной энергии деформаций теории упругости (2.1.13). Как показано в курсе сопротивления материалов, основной вклад в потенциальную энергию деформаций изгибаемых стержневых систем (прямые стержни) дают нормальные напряжения, вызываемые изгибающими моментами. Доля потенциальной энергии, приходящаяся на напряжения, вызываемые нормальными продольными и поперечными силами, обычно не превышает в этом случае 1−2% от общей величины энергии деформаций. Поэтому в дальнейшем будем учитывать только потенциальную энергию деформаций, вызываемую изгибающими моментами. Для плоской формы изгиба нормальные напряжения и линейные относительные продольные деформации определяются формулами: σx =− Mz y; Jz εx = σx E , (5.1.1) где J z = ∫∫ y 2 dA - момент инерции поперечного A сечения стержня плоскости изгиба. относительно оси перпендикулярной а) Стержень переменной жесткости EJz(x). Для потенциальной энергии деформаций, используя формулы (5.1.1), получим U = Uи = M z2 2 1 1 σ x2 1 dx = dx = y dx . σ ε x x ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ 2 Ω 2 Ω E 2 Ω EJ z2 Разделяя интегрирование по длине стержня и по площади сечения, получим ⎞ 1 M2 1 M2 dA ⎟⎟dx = ∫ z2 J z dx = ∫ z dx . 2 l EJ z 2 l EJ z A ⎠ (5.1.2) Чтобы получить формулу потенциальной энергии деформаций в перемещениях, воспользуемся дифференциальным уравнением изгиба балки: U= M z2 2 1 1 ⎛ M z2 y dx = ∫∫∫ ∫⎜ 2 Ω EJ z2 2 l ⎜⎝ EJ z2 ∫∫ y EJ z 2 d2y = Mz, dx 2 (5.1.3) где у(х) - прогиб балки - вертикальное перемещение оси балки - y( x ) = v( x , y ) y =−0 . Тогда ⎛ d 2 y(x ) ⎞ 1 M2 1 ⎟ dx . U = ∫ z dx = ∫ EJ z ( x )⎜⎜ 2 ⎟ 2 l EJ z 2l ⎝ dx ⎠ 2 (5.1.4) Формула (5.1.4) представляет потенциальную энергию изгибных деформаций стержня переменной жесткости (главные оси всех поперечных сечений стержня лежат в двух общих плоскостях). Она применима и для стержня постоянной жесткости. В этом случае жесткость балки ЕJz = const выносят за знак интеграла. Для балки постоянной жесткости формула (5.1.4) нами уже использовалась в ряде примеров. Работа внешних сил (распределенных нагрузок, поперечных сосредоточенных сил, сосредоточенных изгибающих моментов), действующих в главной плоскости стержня, определяется по формуле dy x мk , (5.1.5) T = ∫ q( x ) y ( x )dx + ∑ Pk y x pk + ∑ M k dx k k l ( ) ( ) где ( ) − y x pk прогиб в точке приложения сосредоточенной поперечной силы ( ) d y x мk Рk ; - угол dx поворота в точке приложения сосредоточенного изгибающего момента Мk. В формуле (5.1.5) предусмотрено наличие нескольких сосредоточенных сил и сосредоточенных моментов. В общем случае распределенных нагрузок также может быть несколько, каждая из которых действует на своем участке. Это может быть учтено при интегрировании. Запишем подынтегральную функцию полной энергии деформаций балки F = F ( x , y ( x ), y ′′( x )) = ⎛ d 2 y(x ) ⎞ 1 ⎟ − q( x ) y ( x ) , EJ z ( x )⎜⎜ 2 ⎟ 2 dx ⎝ ⎠ 2 и, следовательно, условие Эйлера экстремума функционала полной энергии деформаций балки, согласно формуле (1.2.7), имеет вид: d 2 Fy′′ Fy + =0; dx 2 (5.1.6) Fy′′ = EJ z ( x ) Fy = -q(x); После подстановки Fy и дифференциальное жесткости Fy′′ уравнение d2 dx 2 d 2 y(x ) . dx 2 в формулу (5.1.6) получим изгиба балки ⎛ d 2 y(x ) ⎞ ⎜ EJ z ( x ) ⎟ = q( x ) . 2 ⎟ ⎜ dx ⎝ ⎠ переменной (5.1.7) б) Балка на упругом основании. Для балки на упругом Винклеровском основании потенциальная энергия деформаций системы, кроме потенциальной энергии деформаций балки, определяемой формулой (5.1.4), будет включать потенциальную энергию деформаций упругого основания, или работу сил отпора основания р(х) = к(х)⋅у(х) на перемещениях, равных перемещениям оси балки у(х). Потенциальная энергия упругого основания определяется формулой U ос = 1 2 ∫ k ( x ) y (x )dx , 2l (5.1.8) где k(х) - коэффициент постели упругого основания, который в общем случае может быть переменным или постоянным по длине балки. Потенциальная энергия балки на упругом основании получается при суммировании формул (5.1.4) и (5.1.8). Работа внешних сил, как и в случае балки на опорах, определяется формулой (5.1.5). в) Балка на упругих опорах. Кроме упругого основания, балка может опираться на упругие опоры или в некоторых сечениях может быть упруго защемлена. Потенциальная энергия деформаций упругих опор и упругих защемлений определяется формулой U оп ( ) ⎞⎟ ⎛ dy xci 1 1 = ∑ c yi y 2 xci + ∑ cϕi ⎜⎜ 2 i 2 i ⎝ dx ( ) 2 ⎟ , ⎠ (5.1.9) где cуi - коэффициент упругости i-ой опоры (Н/м); сϕi коэффициент упругого защемления (Н⋅м/рад); i-ой упругой опоры; ( ) dy xci dx ( ) - прогиб y xci - угол поворота сечения в i-ом упругом защемлении. Потенциальная энергия деформаций упругих опор и упругих защемлений (5.1.9) вместе с потенциальной энергией деформации балки (5.1.4) составляет потенциальную энергию деформаций балки на упругих опорах. г) Устойчивость стержня. Для задачи устойчивости стержня (продольный изгиб) полная энергия деформаций стержня записывается для изгибной формы равновесия стержня после потери устойчивости. Следовательно, потенциальная энергия деформаций определяется изгибными деформациями стержня и вычисляется по формуле (5.1.4). Работа внешней продольной сжимающей силы Рс совершается этой силой на перемещении, определяемом сближением концов стержня при его изгибе. Работой продольной силы на перемещениях, вызванных продольными деформациями сжатия балки, пренебрегаем. Перемещения, вызванные продольными деформациями сжатия, оказываются обычно много меньше продольных перемещений, вызванных криволинейной формой оси стержня при изгибе. Определим стержня. сближение концов стержня при изгибе Узел A y dx l Pс Pс A x ϕ u0 l dx′ du Рис. 5.1. Потеря устойчивости стержня Участок стержня длиной dx поворачивается при изгибе стержня на угол ϕ (рис. 5.1, узел А). При этом его проекция на неискривленную ось стержня будет dx′ = dx⋅ cosϕ. Следовательно, его конец участка стержня перемещается вдоль оси стержня на величину du = dx − dx ′ = dx(1 − cos ϕ ) = 2dx ⋅ sin 2 ϕ 2 2 ≅ dx 2 1 ⎛ dy ⎞ ϕ = ⎜ ⎟ dx . 2 2 ⎝ dx ⎠ Интегрируя полученное выражение по длине стержня, получаем величину сближения его концов 2 1 ⎛ dy ⎞ u 0 = ∫ ⎜ ⎟ dx , 2 l ⎝ dx ⎠ и, следовательно, работа продольной силы определится по формуле 2 P l ⎛ dy ⎞ T = P ⋅ u 0 = ∫ ⎜ ⎟ dx . 2 0 ⎝ dx ⎠ (5.1.10) Суммируя вышерассмотренные случаи деформирования стержня, получим формулу потенциальной энергии деформации стержня переменного сечения на упругом основании и упругих опорах 2 ⎤ ⎛ d 2 y(x ) ⎞ 1 ⎡ 2 ⎢ ⎥ dx + ⎟ ( ) ( ) U = ∫ EJ z ( x )⎜⎜ + k x y x 2 ⎟ 2l⎢ dx ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ( ) ⎞⎟ ⎛ dy xϕi 1 1 + ∑ c yi y 2 ( xci ) + ∑ cϕi ⎜⎜ 2 i 2 i ⎝ dx 2 ⎟ . ⎠ (5.1.11) Работа внешних сил при продольно-поперечном изгибе l ( ) T = ∫ q ( x ) y ( x )dx + ∑ Pk y x pk + ∑ M k 0 k k2 ( ) dy x мk dx 2 + Pc l ⎛ dy ⎞ ∫ ⎜ ⎟ dx . (5.1.12) 2 0 ⎝ dx ⎠ Формулы (5.1.11, 5.1.12) определяют потенциальную энергию деформаций и работу внешних сил, а следовательно, и полную энергию деформаций произвольного стержня (стержневой системы) для задач статики и устойчивости. Все частные случаи могут быть получены на основе этой формулы: балка постоянного сечения - EJz = const; балка на опорах (без упругого основания) - к(х) = 0; без упругих опор суi = 0, cϕi = 0; устойчивость стержня (продольный изгиб) – Рk = Мk = 0, Рс = Ркр ≠ 0 и т.д. 5.2. Расчет стержней методом Ритца−Тимошенко. Для построения общего алгоритма расчета стержней методом Ритца -Тимошенко воспользуемся формулами (5.1.11, 5.1.12). Для удобства вычислений перейдем предварительно к безразмерным координатам, положив: ξ= x ; l d .. d .. dξ 1 d .. ; = = dx dξ dx l dξ d (k ) .. 1 d (k ) .. = k ; dx = l ⋅ dξ ; dx k l dξ k 0 ≤ ξ ≤ 1. 0≤ x≤l; (5.2.1) Тогда формулы потенциальной энергии деформаций и работы внешних сил запишем в виде: 2 ⎤ EJ z0 ⎧⎪1 ⎡ ~ ⎛ d 2 y (ξ ) ⎞ ~ 2 ⎢ ⎥ dξ + ⎜ ⎟ ( ) ( ) ( ) + u= J ξ k ξ y ξ ⎨ z ∫ ⎜ dξ 2 ⎟ ⎥ 2l 3 ⎪ 0 ⎢ ⎝ ⎠ ⎦ ⎩ ⎣ ( ) ⎞⎟ ⎛ dy ξϕi 1 1 + ∑ c~yi y 2 (ξ ci ) + ∑ ~ cϕi ⎜⎜ 2 i 2 i ⎝ dx ( ) 2 ⎟ ; ⎠ (5.2.2) ⎧1 ~ ~ dy ξ мk ⎫ T = q 0 l ⋅ ⎨∫ q~ (ξ ) y (ξ )dξ + ∑ Pk y ξ pk + ∑ M k ⎬+ dξ ⎭ k k ⎩0 ( ) P EJ z + c 30 2 l где ⎛ dy (ξ ) ⎞ ∫ ⎜⎜ dξ ⎟⎟ dξ , ⎠ 0⎝ 1 2 (5.2.3) q0, J z0 - произвольные значения распределенной нагрузки и момента инерции поперечного сечения балки; c y (ξ )l 3 cϕ (ξ )l J ~ k (ξ )l 4 ~ ~ c y (ξ ) = Jz = z ; c~ϕ (ξ ) = ; ; ; k (ξ ) = EJ z0 EJ z0 EJ z0 J z0 P q(ξ ) ~ q~ (ξ ) = ; Pk = k ; q0 q0 l P l2 M ~ ~ - безразмерные M k = k2 ; Pc = c EJ z0 q0 l величины - коэффициент постели упругого основания, коэффициенты упругости опор, момент инерции сечения балки и поперечные распределенные и сосредоточенные нагрузки. Функцию прогибов у(ξ) ищем в виде ряда y (ξ ) = q0 l 4 EJ z0 ∞ ⎡ ⎤ ⎢Y0 (ξ ) + ∑ AmYm (ξ )⎥ , m =1 ⎣ ⎦ (5.2.4) где Y0(ξ) - функция, удовлетворяющая неоднородным кинематическим граничным условиям; Ym(ξ) - функции, удовлетворяющие однородным кинематическим условиям задачи; Аm - неопределенные коэффициенты. Подставляя решение (5.2.4) в выражение полной энергии деформаций Э = U - Т, из условия минимума (равенства нулю вариации полной энергии деформаций) ∂Э =0, п = ∂Am 1,2,3,... получаем систему алгебраических уравнений ∞ ∑ Bnm Am = Cn , n = 1, 2, 3,... (5.2.5) m =1 где [ ] 1 ~ Bnm = ∫ J x (ξ ) ⋅ Ym′′ (ξ )Yn′′(ξ ) + k (ξ ) ⋅ Ym (ξ )Yn (ξ ) − Pc ⋅ Ym′ (ξ )Yn′ (ξ ) dξ + 0 ( ) ( ) ( ) + ∑ c yiYm ξ ci Yn (ξ ci ) + ∑ cϕiYm′ ξϕi Yn′ ξϕi ; i ( ) i ( ) 1 ~ ~ C n = ∫ q~ (ξ )Yn (ξ )dξ + ∑ Pk Yn ξ Pk + ∑ M k Yn′ ξ M k − k 0 k [ ] 1 ~ − ∫ J x (ξ ) ⋅ Y0′′(ξ )Yn′′(ξ ) + k (ξ ) ⋅ Y0 (ξ )Yn (ξ ) − Pc ⋅ Y0′(ξ )Yn′ (ξ ) dξ − 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ~ − ∑ Pk Y0 ξ Pk Yn ξ Pk − ∑ M k Y0 ξ M k Yn′ ξ M k ; k k (5.2.6) Решая систему алгебраических уравнений (5.2.5), определяем коэффициенты Аm. Прогибы определяются по формуле (5.2.4), в которой учитывается количество членов ряда, необходимое для расчетов с нужной точностью. Для определения внутренних усилий используются известные формулы сопротивления материалов: M z = EJ z ∞ d 2 y ( x ) EJ z d 2 y (ξ ) ⎤ ⎡ 2 ~ ′ ′ ( ) ( ) q l J ξ Y ξ AmYm′′ (ξ )⎥ ; = = ⋅ + ∑ 0 0 z ⎢ 2 2 2 dx l dξ m =1 ⎦ ⎣ Qy = ∞ dM z ( x ) 1 dM z (ξ ) ~ ⎤ ⎡ = = q 0 l ⋅ J z (ξ ) ⎢Y0′′′(ξ ) + ∑ Am Ym′′′(ξ )⎥ . dx l dξ m =1 ⎦ ⎣ (5.2.7) В общем случае мы получаем бесконечную систему алгебраических уравнений. Обычно задачу решают с конечным числом членов ряда, получая приближенное решение. Точность расчетов при дифференцировании решения ухудшается, поэтому для достижения необходимой точности при вычислении поперечных сил Qy требуется удерживать большее число членов ряда, чем для вычисления изгибающих моментов Му, а для вычисления изгибающих моментов удерживается большее число членов ряда, чем для вычисления прогибов. Рассмотрим несколько примеров по расчету стержней методом Ритца−Тимошенко. Пример 5.1. Определить прогиб в середине пролета шарнирно опертой балки переменного сечения, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой q = q0. Момент инерции поперечного сечения вдоль оси балки изменяется по закону ⎡ x ⎞⎤ ⎛ J z ( x ) = J z0 ⎢1 − λ ⎜1 − sin π ⎟⎥ ; λ = 0,8. l ⎠⎦ ⎝ ⎣ Очевидно, J z0 - момент инерции в середине пролета балки. На концах балки момент инерции J zк = (1 − λ )J z0 = 0,2 J z0 . Решение. Учитывая граничные условия шарнирного опирания балки, принимаем: x ~ ; J (ξ ) = 1 − λ ⋅ (1 − sin πξ ) . l Y0 = 0; Ym (ξ ) = sin mπξ ; ξ = Вычисляем коэффициенты системы уравнений (5.2.5) Ym′′ (ξ ) = −π 2 m 2 sin mπξ ; 1 ~ Bnm = ∫ J x (ξ ) ⋅ Ym′′ (ξ )Yn′′(ξ )dξ = 0 1 = π 4 m 2 n 2 ∫ (1 − λ + λ sin πξ ) sin mπξ sin nπξdξ = 0 где λ ⎞ ⎛1− λ δ nm − ϕ (n , m )⎟ , = π 4m2n2 ⎜ π 2 ⎝ ⎠ ⎧1, m = n δ mn = ⎨ (см. приложение 1) - символ ⎩0, m ≠ n Кронекера; 1 ϕ (n ,m ) = ϕ (m , n ) = ψ (1,n ,m ) = −π ∫ sin πξ sin nπξ sin mπξdξ = 0 4nm ⎧ , ⎪⎪ = ⎨ (n − m )2 − 1 (n + m )2 − 1 ⎪ ⎪⎩ 0, [ Для ψ (1,1,1) = ][ ] n + m = 2 ,4 ,6,... . n + m = 1,3,5,... m, n = 1, 2, 3 получаем 4 4 =− ; (− 1) ⋅ 3 3 ψ (1,1,3) = ψ (1,3,1) = 4⋅3 4 ; = 3 ⋅15 15 ϕ (1,2) = ϕ (2 ,1) = ϕ (2 ,3) = ϕ (3,2) = 0 ; ϕ (2,2) = 4⋅2⋅2 (− 1) ⋅15 =− 16 ; 15 ϕ (1,3) = ϕ (3,3) = 4 ⋅3⋅3 (− 1) ⋅ 35 =− 36 ; 35 ⎛1 − λ λ 4 ⎞ 4 ⎞ ⎛1 − λ λ 4 + B11 = ⎜ − ϕ (1,1)⎟ ⋅ π 4 = ⎜ ⎟ ⋅ π = (0 ,5 − 0 ,576λ ) ⋅ π ; 2 π 2 π 3 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ λ π B13 = B31 = −9 ϕ (1,3) ⋅ π 4 = − 36 λπ 4 = −0,764λπ 4 ; 15π ⎛1 − λ λ ⎞ ⎛ 1 − λ λ 16 ⎞ 4 4 B22 = 16 ⎜ − ϕ (2,2 )⎟ ⋅ π 4 = 16⎜ + ⎟ ⋅ π = (8 − 2 ,57λ ) ⋅ π π π 15 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ; ⎞ ⎛ 1 − λ λ 36 ⎞ ⎛1 − λ λ 4 B33 = 81π 4 ⎜ + − ϕ (3,3)⎟ = 81π 4 ⎜ ⎟ = π (40 ,5 − 14 ,0λ ) π π 35 ⎠ ⎠ ⎝ 2 ⎝ 2 ; B12 = B21 = B23 = B32 = 0 ; 1 1 0 0 C n = ∫ Yn (ξ )dξ = ∫ sin nπξdξ = − cos nπξ nπ 1 0 ⎧ 2 , n = 1,3,5,... ⎪ = ⎨ nπ . ⎪⎩ 0 , n = 2 ,4,6,... Так как коэффициенты Bnm с нечетной суммой индексов равны нулю, то система уравнений распадается на две независимые системы, для четных и нечетных номеров уравнений. А так как Сn = 0 при n = 2,4,6,..., т.е. правая часть равна нулю во всех четных уравнениях системы, то коэффициенты An = 0 при n = 2,4,6,... Впрочем, это следует и из симметрии системы (балки и нагрузки). При λ = 0,8 В11 = 0,4395π 4; В13 = В31 = 0,6112π 4; В33 = 29,3π 4; В первом приближении, удерживая 1 член ряда =1 при λ = 0,8, получим: A1(1) = m =1, n C1 2 = = 0 ,01487 ; B11 0 ,4395π 5 y c (1) = y( 0 ,5 ) = q0 l 4 q l4 A1(1)Y1 ( 0 ,5 ) = 0,01487 0 . EJ z0 EJ z0 Здесь индекс в скобках показывает номер приближения. Рассмотрим второе приближение: т, п = 1, 3. Составляем систему двух уравнений B11 A1( 2 ) + B13 A3( 2 ) = C1 , B31 A1( 2 ) + B33 A3( 2 ) = C 3 или 0,4395 A1( 2 ) − 0 ,6112 A3( 2 ) = − 0 ,6112 A1( 2 ) + 29 ,3 A3( 2 ) = 2 π5 2 3π 5 , . Решая систему, получим A1(2) =0,01542; А3(2)=0,000396. Вычисляем прогиб в середине пролета балки во втором приближении q l4 y c(2 ) = 0 A1(2 )Y1 ( 0 ,5 ) + A3(2 )Y3 ( 0 ,5 ) = EJ z0 [ = ] 4 q0l 4 [0,01542 + 0,000396] = 0,01582 q0 l ; EJ z0 EJ z0 Таким образом, во втором приближении мы получили поправку δ= y c( 2 ) − y c( 1 ) y c( 2 ) ⋅100 = 0 ,01582 − 0 ,01487 100 = 6% . 0 ,01582 Для уточнения значения прогиба можно провести решение с тремя членами ряда. Ограничиваясь вторым приближением, сравним прогиб балки переменной жесткости с прогибом балки постоянного сечения с моментом инерции сечения J z0 . Прогиб в середине пролета шарнирно опертой балки постоянной жесткости, распределенной нагрузкой, yc 0 = Увеличение составляет µ= yc 0 равномерно q l4 5 q0 l 4 = 0,01302 0 . EJ z0 384 EJ z0 прогиба y c( 2 ) − y c 0 загруженной 100 = балки переменной жесткости 0,01582 − 0,01302 100 = 21% . 0,01302 Отметим, что, так как шарнирно опертая балка статически определима, то изменение жесткости по длине балки не влияет на распределение моментов, которые изменяются по параболическому закону, что близко к синусоидальному закону изменения жесткости балки. Поэтому данную балку можно считать оптимальной, если изменение жесткости идет за счет изменения ширины балки. В случае изменения момента инерции сечений за счет высоты балки, момент сопротивления сечений и, следовательно, наибольшие нормальные напряжения, зависят дополнительно от закона изменения высоты сечения. Пример 5.2. Рассмотрим статически неопределимую однопролетную балку переменной жесткости с жестким защемлением концов балки. Момент инерции балки x⎤ ⎡ изменяется по закону J z ( x ) = J z0 ⎢1 − λ sin π ⎥ . Балка загружена l⎦ ⎣ равномерно распределенной нагрузкой q = - q0 (знак минус учитывает, что нагрузка направлена вниз – против оси у). Требуется: определить прогиб в середине пролета и изгибающие моменты в заделке и в середине пролета балки ξ = 0,5; при Решение. Учитывая граничные условия - жесткое = 0; защемление концов балки, принимаем: Y0 x ~ Ym (ξ ) = 1− cos 2mπξ ; ξ = ; J z = 1 − λ sin πξ . l Очевидно, J z0 - момент инерции на концах балки. В середине пролета балки момент инерции J zc = (1 − λ )J z0 Вычисляем коэффициенты системы уравнений (5.2.5) Ym′′ (ξ ) = 4π 2 m 2 cos 2mπξ ; 1 ~ Bnm = ∫ J x (ξ ) ⋅ Y0′′(ξ )Yn′′(ξ )dξ = 0 1 = 16π 4 m 2 n 2 ∫ (1 − λ sin πξ ) cos 2mπξ cos 2nπξdξ = 0 λ ⎞ ⎛1 = 16π 4 m 2 n 2 ⎜ δ nm − ϕ (n , m )⎟ , π ⎠ ⎝2 где, согласно приложения 1 1 ϕ ( n , m ) = ϕ (m , n ) = ψ (1,2n ,2m ) = π ∫ sin πξ cos 2nπξ cos 2mπξdξ = 0 =− Для 1 n 2 + m 2 − 0 ,25 . 2 [ (n − m )2 − 0,25 ][ (n + m )2 − 0,25 ] m, n = 1, 2, 3 получаем ϕ (1,1) = 1 1,75 = −0,933 ; 2 (− 0 ,25) ⋅ 3,75 ϕ (2,2 ) = 1 7 ,75 = −0,984 ; 2 (− 0 ,25) ⋅15,75 1 4 ,75 = 0 ,3619 ; 2 0,75 ⋅ 8,75 ϕ (1,2) = ϕ (2 ,1) = ⋅ 1 9 ,75 = 0 ,0825 ; 2 3,75 ⋅15,75 ϕ (1,3) = ϕ (3,1) = ⋅ 1 12 ,75 = 0 ,3434 ; 2 0 ,75 ⋅ 24 ,75 ϕ (2,3) = ϕ (3,2 ) = ⋅ ϕ (3,3) = 1 17 ,75 = −0,993 ; 2 (− 0,25) ⋅ 35,75 λ ⎛ ⎞ B11 = 16⎜ 0,5 − 0 ,933 ⎟π 4 = (8 − 4,753λ )π 4 ; π ⎝ ⎠ B12 = B21 = 16 ⋅ 4 ⋅ 0 ,3619λπ 3 = 7 ,373λπ 4 ; B13 = B31 = 16 ⋅ 9 ⋅ 0,0825λπ 3 = 3,782λπ 4 ; λ ⎛ ⎞ B22 = 16 ⋅ 16⎜ 0 ,5 − 0 ,984 ⎟π 4 = (128 − 80 ,18λ )π 4 ; π ⎝ ⎠ B23 = B32 = 16 ⋅ 4 ⋅ 9 ⋅ 0 ,3434λπ 3 = 62 ,96λπ 4 ; λ ⎞ ⎛ B33 = 16 ⋅ 81⎜ 0 ,5 − 0 ,993 ⎟π 4 = (648 − 384 ,9λ )π 4 ; π ⎠ ⎝ 1 1 q sin 2nπξ ⎞ ⎛ Yn (ξ )dξ = − ∫ (1 − cos 2nπξ )dξ = ⎜ ξ − ⎟ = −1 . 2nπ ⎠ 0 ⎝ 0 q0 0 1 Cn = ∫ При λ = 0,5 получим В11 = 5,623π4; В12 = В21 = 3,686π4; В13 = В31 = 1,891π4; В22 = 87,91π4; В23 = В32 = 31,48π4; В33 = 443,2π4. Получим формулы, необходимые для определения прогиба в середине пролете балки и изгибающих моментов в центре и на опорах: ⎧2, m = 1,3,5,... m Ym (0 ,5) = 1 − cos mπ = 1 − (− 1) = ⎨ ; ⎩0, m = 2 ,4,6,... ~ Ym′′ ( 0 ) = 4m 2π 2 ; J z ( 0 ) = 1 Y ′′( 0,5 ) = 4m 2π 2 cos mπ = (− 1) 4m 2π 2 = (− 1) Ym′′ ( 0 ) ; m ~ J z ( 0,5 ) = 1 − λ = 0,5 . В первом приближении получим: m A1(1) = C1 −1 = = −0 ,001778 ; B11 5,623π 4 y c (1) = y( 0 ,5 ) = q0 l 4 A1( 1 )Y1 ( 0 ,5 ) = EJ z0 = −0 ,001778 ⋅ 2 q0 l 4 q l4 = −0,003556 0 ; EJ z0 EJ z0 Мz0(1) = -0,001778⋅4π2ql2 = -0,07019ql2; Мzc(1)= 0,5⋅0,07019= 0,03510ql2. Второе приближение ⎧⎪5,623 A1( 2 ) + 3,686 A2( 2 ) = −1 / π 4 , ⎨ 4 ⎪⎩3,686 A1( 2 ) + 87 ,91A2( 2 ) = −1 / π ; А1 = -0,001798; y c(2 ) = А2 = -0,0000414; q0 l 4 A1( 2 )Y1 ( 0,5 ) + A2( 2 )Y2 ( 0 ,5 ) = ; EJ z0 [ ] = −0 ,001798 ⋅ 2 ⋅ q0 l 4 q l4 = −0 ,003596 0 ; EJ z0 EJ z0 [ ] M z 0( 2 ) = ql 2 A1( 2 )Y1′′( 0 ) + A2( 2 )Y2′′( 0 ) = = −0 ,001798 ⋅ 2 q0l 4 q l4 + 0 = −0 ,003596 0 = EJ z0 EJ z0 = −4π 2 ⋅ 10 −4 [17 ,98 + 0,414 ⋅ 4]ql 2 = −0,07752ql 2 ; M zc( 2 ) = [ ] ql 2 A1( 2 )Y1′(′ 0,5 ) + A2( 2 )Y2′′( 0,5 ) = 2 = −2π 2 ⋅ 10 −4 [− 17 ,98 + 0,414 ⋅ 4]ql 2 = 0,03222ql 2 . Таким образом, во втором приближении по сравнению с первым приближением: а) прогиб в середине пролета балки увеличился на δ y( 2 ,1 ) = y c ( 2 ) − y c( 1 ) y c( 2 ) ⋅100 = 0 ,003596 − 0,003556 ⋅100 = 1,1% ; 0,003596 б) изгибающий момент на опоре увеличился на δ M 0( 2 ,1 ) = M z 0( 2 ) − M zo( 1 ) M z 0( 2 ) ⋅100 = − 0 ,07752 + 0 ,07019 ⋅100 = 9,5% ; − 0,07752 в) изгибающий момент в середине пролета балки уменьшился на δ M 0( 2 ,1 ) = M z 0( 2 ) − M zo( 1 ) M z 0( 2 ) ⋅100 = 0 ,03222 − 0 ,03510 ⋅100 = 8,9% . 0 ,03222 Здесь индексы в скобках (2,1) показывают, что рассматривается относительное уточнение второго приближения в сравнении с первым. Таким образом, если для прогиба уже первое приближение дает практически точное значение, то для изгибающих моментов, очевидно, требуется дальнейшее уточнение. Третье приближение ⎧5,623 A1( 3 ) + 3,686 A2( 3 ) + 1,891A3( 3 ) = −1 / π 4 , ⎪⎪ 4 ⎨3,686 A1( 3 ) + 87 ,91A2( 3 ) + 31,48 A3( 3 ) = −1 / π , ⎪ 4 ⎪⎩1,891A1( 3 ) + 31,48 A2( 3 ) + 443,2 A3( 3 ) = −1 / π ; А1(3) = -17,97⋅10-4; y c (3 ) = А2(3) = -0,3681⋅10-4; А2(3) = -0,1288⋅10-4; [ ] q0 l 4 A1( 3 )Y1 ( 0 ,5 ) + A2( 3 )Y2 ( 0,5 ) + A1( 3 )Y1 ( 0 ,5 ) = EJ z0 = −(17 ,97 + 0 + 0,1288) ⋅ 2 ⋅ 10 −4 [ q l4 q0 l 4 = 0,003619 0 ; EJ z0 EJ z0 ] M z 0(3) = ql 2 A1( 3 )Y1′′( 0 ) + A2( 3 )Y2′′( 0 ) + A1( 3 )Y1′′( 0 ) = = −4π 2 ⋅ 10 −4 [17 ,97 + 0,3681 ⋅ 4 + 0,1288 ⋅ 9]ql 2 = −0 ,08133ql 2 ; [ ] ql 2 A1( 3 )Y1′′( 0 ,5 ) + A2( 3 )Y2′′( 0 ,5 ) + A1( 3 )Y1′′( 0 ,5 ) = 2 M zc (3) = = 2π 2 ⋅ 10 −4 [17 ,97 − 0 ,3681 ⋅ 4 + 0,1288 ⋅ 9]ql 2 = 0,03485ql 2 . Таким образом, в третьем приближении по сравнению со вторым приближением: а) прогиб в середине пролета балки увеличился на δ y( 3,2 ) = y c( 2 ) − y c( 1 ) y c( 2 ) ⋅100 = 0,003619 − 0 ,003596 ⋅100 = 0,6% ; 0,003619 б) изгибающий момент на опоре увеличился на δ M 0( 3,2 ) = M z 0( 2 ) − M zo( 1 ) M z 0( 2 ) ⋅100 = − 0 ,08133 + 0 ,07752 ⋅100 = 4 ,6% ; − 0 ,08133 в) изгибающий момент в середине пролета балки увеличился на δ M 0( 3,2 ) = M z 0( 2 ) − M zo( 1 ) M z 0( 2 ) ⋅100 = 0,03485 − 0 ,03222 ⋅100 = 7 ,5% . 0,03485 Таким образом, в третьем приближении мы получили лишь незначительное уточнение прогиба. Изгибающие моменты получили более значительные добавки, особенно изгибающий момент в середине пролета. Однако заметим, что третье приближение изгибающего момента в середине пролета попало в вилку (интервал) между первым и вторым приближениями. Вероятно, в последующих приближениях значения этого момента не выйдут из интервала, и вилка будет сужаться. Приведенные расчеты проведены на микрокалькуляторе для наглядности вычислительного процесса. Дальнейшие вычисления (как, впрочем, и предыдущие) целесообразно проводить на ЭВМ. Ниже в табл. 5.1 приведены результаты 4, 5, 6, 10 и 20 приближений, проведенных с применением ЭВМ. Данные таблицы подтверждают сделанные раньше выводы. Первое приближение дает удовлетворительное значения прогиба. Последующие приближения уточняют это значение менее 2%. Наибольшее приращение в последующих приближениях получает изгибающий момент на опоре, который последовательно увеличивается. Изгибающий момент в середине пролета оказывается в вилке первого и второго приближений, и поэтому окончательная ошибка первого приближения оказывается меньше относительного приращения второго приближения. Очевидно, результаты 5го, 6-го приближений можно считать точными для изгибающего момента в середине пролета. Изгибающий момент в жестко защемленной опоре после пятого приближения медленно увеличивается (менее 1% при добавлении 1-го члена ряда), однако суммарное изменение 20го приближения по отношению к 6-му достигает δ 6 ,20 = 0 ,08930 + 0,08569 100 = 4% . 0,08930 Истинные значения функций прогибов и изгибающих моментов вычисляются умножением коэффициентов αус, αМо, αМс в табл. 5.1 на размерные параметры: y c = α yc ⋅ q0 l 4 ; EJ z0 M z 0 = α M 0 ⋅ q0 l 2 ; M zc = α M 0 ⋅ q0 l 2 . Таблица 5.1 αус № прибл. δус (к,к-1), αМо % δМо (к,к-1), % αδМс Мс -0,003556 - -0,07019 - 0,03510 - -0,003596 1-0,07752 9 0,03222 8 ,1 -0,003619 ,5 0-0,08134 ,6 -0,003617 4 0,03486 0-0,08340 -0,003619 ,9 ,6 ,06 2 0,03341 ,5 - -0,08475 -0,003619 ,2 1 0,03369 - -0,08769 -0,003620 2 0,03385 - -0,08930 1 0,3393 1-0,09089 ,4 0 ,4 ,8 -0,003571 2 ,0 ,3 0 2 ,7 ,1 -0,003620 4 1 0,03439 - -0,08569 0 7 ,5 ,6 КР (к,к-1), % 0 ,2 1 0,03411 ,8 0 ,5 В последней строке табл. 5.1 приведены для сравнения результаты расчета аналогичной балки переменного сечения методом конечных разностей при разбивке пролета балки на 16 частей с постоянным шагом, а также относительные невязки вычисленных значений в сравнении с двадцатым приближением вариационного метода. Вычислим еще точность первого приближения по отношению к конечному результату (20-му приближению): δ yc( 20 ,1 ) = 0 ,003620 − 0 ,05356 ⋅ 100 = 1,7% ; 0 ,003620 δ M 0( 20 ,1 ) = 0 ,008930 − 0 ,07019 ⋅ 100 = 21,4% ; 0 ,008930 0 ,003393 − 0 ,03510 ⋅ 100 = 3,4 ,% . 0 ,003393 Дополнительной проверкой точности расчета может служить точность выполнения уравнений равновесия для половины балки. Так как из условия симметрии опорная реакция равна половине нагрузки, то для момента в середине пролета имеем δ Mc( 20 ,1 ) = M zc = M z 0 + V0 ⋅ − M z 0 + M zc = ql l l l l l l ql 2 − q0 = M z 0 + 0 − q0 = M z0 − ; 2 24 2 2 24 8 ql 2 , 8 Σα M = −α Mo + α mc = 0,125 . или Результаты сравнений приведены в табл. 5.2. Таблица 5.2 № 0 прибл. Σα M Σ, 0 0,1053 0,1097 0,1162 0,1168 0,1191 0,1194 0,1215 0,1232 15,8 6,6 12,2 7,0 4,7 4,5 2,8 1,4 % Здесь δ Σ = 0,125 − Σα M 0 ,125 100 . Пример 5.3. Определить значение сжимающей критической силы и коэффициент приведенной длины стержня с жестким закреплением одного конца и шарнирным опиранием другого. Решение. В соответствии с формулой (5.2.4) решение в первом приближении принимаем в виде y (ξ ) = Pl 3 Y (ξ ) , EJ z где принято q0 = Р/l. Для аппроксимации изогнутой оси стержня при потере устойчивости используем балочную статическую функцию изгиба балки с соответствующими условиями опирания от равномерно распределенной нагрузки (см. табл. П.2 приложения 2): Y (ξ ) = ξ 2 (1 − ξ )(3 − ξ ) ; ( ) Y ′(ξ ) = ξ 6 − 13ξ + 8ξ 2 ; Y ′′(ξ ) = 6(1 − ξ )(1 − 4ξ ) . Нетрудно убедится, что все граничные условия опирания рассматриваемого стержня выполнены - Y(0)=Y ‘(0)=Y(1)=Y ′ ′ (1)= 0. Отметим, что при решении задачи в первом приближении надо стремиться удовлетворять все граничные условия. Балочные функции и интегралы от них приведены в приложении. Там же в приложении приведены и другие системы функций, удовлетворяющие различным условиям опирания балок. Кроме статических балочных функций, которые удобно использовать при решении задач изгиба стержней и пластинок в первом приближении, приведены формулы динамических балочных функций - функций формы колебаний балки, а также системы тригонометрических функций. Балочные статические и динамические функции удовлетворяют всем условиям опирания балки и кинематическим, и статическим. Системы тригонометрических балочных функций, приведенных в приложении, удовлетворяют кинематическим условиям опирания балки и могут не удовлетворять статическим граничным условиям. Вычисляем коэффициент В11 в соответствии с формулой (5.2.5) для задачи устойчивости [ ] 1 36 12 ~ ~ B11 = ∫ Y ′′ 2 (ξ ) − PкрY ′ 2 (ξ ) dξ = − Pкр . 5 35 0 Значения интегралов от квадратов производных балочных функций взяты из табл. П.6 (см. приложение2). Так как поперечная нагрузка отсутствует, то и, следовательно коэффициент нагрузки С1 = 0, приравнивая нулю В11 (А1 ≠ 0, иначе не было бы потери 36 35 ~ Pкр = ⋅ = 21 , откуда находим устойчивости), получим 5 12 значение критической силы Pкр = 21EJ z π 2 EJ z π 2 EJ z π 2 EJ z = = = , 2 l2 (0,685l )2 (µ l )2 ⎛ π ⎞ ⎜⎜ l ⎟⎟ ⎝ 21 ⎠ где µ = 0,685 - коэффициент приведенной длины. Как известно из курса сопротивления материалов, коэффициент приведенной длины стержня с жестким и шарнирным закреплением его концов равен 0,7. Следовательно, применяя метод Ритца−Тимошенко, мы определили коэффициент приведенной длины в первом приближении с относительной ошибкой 0 ,7 − 0 ,685 100 = 2,1% . 0,7 δ= Пример 5.4. Определить величину критической силы для двух-пролетной балки постоянного сечения шарнирно опертой по концам и упругой опорой в середине (рис. 5.2). Изгибная жесткость баки EJ = const, коэффициент жесткости упругой опоры - су. Решение. Решение ищем в виде ряда (5.2.4) А2⋅sin2πξ у Ym (ξ ) = sin mπξ . Так как поперечная нагрузка отсутствует, то Сn = 0. Y0 = 0, так как кинематические граничные условия задачи однородные А1⋅sinπξ х l/2 l/2 Рис. 5.2. Формы потери устойчивости балки с упругой средней опорой (нулевые). Вычисляем коэффициенты Вnm [ ] 1 ~ Bnm = ∫ Ym′′ (ξ )Yn′′(ξ ) − PкрYm′ (ξ )Yn′ (ξ ) dξ + ~ c yYm (0,5)Yn (0 ,5) = 0 1 = π 4 m 2 n 2 ∫ sin mπξ sin nπξdξ − 0 1 mπ nπ ~ − Pкр ⋅ π 2 mn ∫ cos mπξ cos nπξdξ + c~y sin = sin 2 2 0 (mπ )2 ((mπ )2 − P~ = кр 2 )δ mn m+n+2 ⎧⎪ ~ ( ) 1 c y , m , n = 1,3,5,... − 2 +⎨ ⎪⎩ 0, m или n = 2,4 ,6 ,... Для двух членов ряда (m = 1,2) получим: m = n ( ) = ~ 2π 2 4π 2 − P2 = 0 . Откуда 1, π2 2 (π 2 ) ~ − P1 + ~ cy = 0 ; 2 ⎛π 4 ~ ⎞ ~ + c y ⎟⎟ ; P1 = 2 ⎜⎜ π ⎝ 2 ⎠ m = n = 2, ~ P2 = 4π 2 . Переходя к размерным величинам в соответствии с формулами (5.2.3), имеем: P1 = EJ z l2 c l3 ⎛ 2 ⎜ π + 2 y2 ⎜ π EJ z ⎝ ⎞ π 2 EJ z l ⎟= + 2 2 cy ; 2 ⎟ l π ⎠ P2 = 4π 2 EJ z . l2 Стержень потеряет устойчивость при наименьшем значении силы - Ркр = min (P1, P2). Так как критическое значение силы Р1 зависит от величины коэффициента жесткости упругой опоры су, а критическое значение силы Р2 постоянно при заданной изгибной жесткости балки EJz, то сравнивая значения сил Р1, Р2, получим 3 ~ ~ при P1 < P2 ( P 1 < P2 ) → c~y < π 4 или 2 3π 4 EJ z ⋅ 3 cy < 2 l Ркр = Р1; при c y ≥ 3π 4 EJ z ⋅ 3 2 l Ркр = Р2. Пример 5.5. Сравнить значения критической силы консольного стержня переменного сечения (рис. 5.3), полученные при аппроксимации прогиба различными функциями. Сечение стержня - квадрат, сторона которого меняется по высоте линейно. J z0 = a4 ; 12 J z (ξ ) = a 4y (ξ ) 12 J z ( ξ ) = J z0 ⋅ (1 − λξ ) ; 4 Рассмотрим ; a y (ξ ) = (1 − λξ )a ; ~ 4 J z (ξ ) = (1 − λξ ) . три варианта аппроксимации прогиба: а) принимаем функции прогиба в виде полиномов: Y1 (ξ ) = ξ 2 - парабола второго порядка, обеспечивающая выполнение кинематических граничных y условий; al = a(1-λ) ξ = x/l l ay x ay = a(1-λξ) a Рис. 5.3. Консольный стержень переменного сечения Y2 (ξ ) = 3ξ 2 − 5ξ 3 + 2ξ 4 - статическая балочная функция изгиба консольной балки (табл. П.3); Ym (ξ ) = Y2 (ξ ) ⋅ ξ m−2 , при m > 2; б) система тригонометрических функций, удовлетворяющих кинематическим условиям консольной балки (см. табл. П.2 приложения.2) Ym (ξ ) = 1 − cos 2m − 1 πξ ; 2 в) система динамических балочных функций (см. табл. П.4 приложения 2) Ym (ξ ) = F3m (γ mξ ) − C m F4 m (γ mξ ) , Cm = F1m (γ m ) , F2 m (γ m ) Fim (γ mξ ) , i =1, 2, 3, 4 - функции Крылова (см. раздел В приложения 2,); γm – собственные числа дифференциального уравнения колебаний консольной балки постоянного сечения (см. табл. 5 приложения 2) - γ1 = 1,8751, γ2 = 4,6941, γ3 = 7,8548. Сформулируем задачу в общей постановке для произвольного числа членов ряда, представив предварительно коэффициенты Вmn системы (5.2.5) в виде суммы ~ y p Bnm = Bnm + Bnm ⋅ Pc , (5.2.8) 1 1 ~ y p = ∫ J z (ξ )Ym′′ (ξ )Yn′′(ξ )dξ ; Bnm = ∫ Ym′ (ξ )Yn′ (ξ )dξ . где Bnm 0 0 Используя обозначения (5.2.8) систему (5.2.5) запишем в матричной форме ~ B y + B p ⋅ Pc A = 0 , (5.2.9) ( где B y , B p соответственно; A ) матрицы коэффициентов y p Bnm и Bnm вектор неизвестных An. Порядок матриц B , B и вектора A соответствует числу удерживаемых членов ряда решения (5.2.4) - nmax. y p −1 Умножая систему (5.2.9) справа на матрицу Bp , обратную матрице B p , получим −1 ~ D = Bp ⋅By ; D − E ⋅ Pc A = 0 , (5.2.10) где Е – единичная матрица. Так как правая часть системы (5.2.9) или эквивалентной ей системы (5.2.10) равна нулю, то для того чтобы система имела ненулевые решения необходимо, чтобы определитель системы равнялся нулю ~ det B y + B p ⋅ Pc = 0 , (5.2.11) или ~ det D − E ⋅ Pc = 0 . (5.2.12) ( ( ) ) ( ) Раскрывая определитель в форме (5.2.11) или (5.2.12), ~ получаем полином относительно аргумента Pc степени nmax, корни которого, собственные числа матрицы D, являются ~ искомыми значениями продольной сжимающей силы Pc , при которых рассматриваемый стержень теряет устойчивость. Из полученных значений нас интересует минимальное значение, рассчитываемая точность которого зависит от числа членов ряда, удерживаемых в решении (5.2.4). Форма записи решения в виде определителя (5.2.12) является стандартной математической формой записи при определении собственных чисел матрицы D. Для определения собственных чисел матрицы D (корней уравнения (5.2.12)) разработаны различные приближенные методы и программы математического обеспечения вычислительных компьютерных систем. В частности, в системе MathCad для определения корней уравнения (5.2.12) необходимо составить ~ матрицу D, а затем записать оператор Pc : = eigenvals (D ) и ~ вывести на печать вектор Pc со значениями корней уравнения (5.2.12). Уравнение (5.2.11) можно использовать в первом и втором приближениях. В первом приближении получим By ~ ~ Pc = P1кр = 11p . B11 ~ B11y − B11P ⋅ Pc = 0 , Во втором приближении, раскрывая определитель (5.2.11), получим квадратное уравнение ~ ~ ⎛ B11y − B11p ⋅ Pc B12y − B12p ⋅ Pc ⎞ ~2 ~ ⎜ det ⎜ y ~ ⎟⎟ = a ⋅ Pc − b ⋅ Pc + c = 0 , p ~ y p ⎝ B21 − B21 ⋅ Pc B22 − B22 ⋅ Pc ⎠ где ( ) ( ) ( ) 2 a = det B p = B11p ⋅ B22p − B12p ; ( ) 2 c = det B y = B11y ⋅ B22y − B12y ; ⎛ By − B12P ⎞ ⎟ + det ⎜ 12 P ⎟ ⎜By − B22 ⎝ 22 ⎠ ⎛ By b = − det ⎜⎜ 11y ⎝ B21 В формулах для y − B11P ⎞ P ⎟ = B11y ⋅ B22 + B22y ⋅ B11P − 2 B21y ⋅ B12P . P ⎟ − B21 ⎠ a, b, c учитывалась симметричность p матриц B , B . Далее значения корней определяются по формуле b ± b 2 − 4ac ~ . P1,2 = 2a Симметричность матриц By , Bp обеспечивает вещественные корни квадратного уравнения. В третьем и последующих приближениях целесообразно пользоваться формулой (5.2.12) и методами определения собственных чисел матрицы. Для построения матриц B y , B p необходимо вычислить 1 коэффициенты y Bnm = ∫ (1 − λξ ) Ym′′ (ξ )Yn′′(ξ )dξ 4 и 0 1 p Bnm = ∫ Ym′ (ξ )Yn′ (ξ )dξ . Для их вычисления можно 0 воспользоваться формулами, приведенными в приложениях 1, y 2 (за исключением коэффициентов Bnm для третьего варианта аппроксимирующих функций, вычисление которых в аналитическом виде довольно трудоемко) или средствами математического компьютерного обеспечения. Не останавливаясь на процессе вычисления коэффициентов, приведем результаты вычислений для всех вариантов аппроксимации с тремя членами ряда. ⎛ 1,550 5,014 4,348 ⎞ ⎜ ⎟ а) B = ⎜ 5,014 21,01 10 ,58 ⎟ ; ⎜ 4,348 10 ,58 1503 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1,333 3,6 4,348 ⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜ 3,6 10 ,29 11,19 ⎟ ⎜ 4,348 11,19 13,86 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1,733 6,168 5,184 ⎞ ⎜ ⎟ б) B = ⎜ 6,168 101,6 132,0 ⎟ ; ⎜ 5,184 132,0 754,4 ⎟ ⎝ ⎠ 0 0 ⎞ ⎛1,234 ⎜ ⎟ B =⎜ 0 11,10 0 ⎟; ⎜ 0 0 30 ,84 ⎟⎠ ⎝ y p ; y p ⎛ 2 ,144 3,831 3,079 ⎞ ⎛ 1,162 − 1,845 0,985 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ p в) B = ⎜ 3,831 56 ,36 67 ,16 ⎟ ; B = ⎜ − 1,845 8,104 − 1,588 ⎟ . ⎜ 3,079 67 ,16 394 ,6 ⎟ ⎜ 0,985 − 5,588 19 ,32 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ y Определим значения критических сил. 1-е приближение: 1,55 ~ а) P( 1 )кр = = 1,162 ; 1,333 1,733 ~ б) P( 1 )кр = = 1,405 ; 1,234 2,144 ~ = 1,845 ; в) P( 1 )кр = 1,162 Здесь индекс в скобках указывает номер приближения. Разброс значений критической силы, полученных аппроксимацией прогиба различными функциями, велик, в пределах 60% для наибольшего и наименьшего значений. Очевидно ни одно из значений нельзя считать достоверным. 2-е приближение. Используя формулы (5.2.13) получим: а) а = 0,754; b = 7,859; с = 7,429; 7 ,859 − 7 ,429 2 − 4 ⋅ 0 ,754 ⋅ 7 ,429 ~ P( 2 )кр = = 1,051 ; 2 ⋅ 0,754 б) а =13,70; b = 144,6; с = 138,1; 144 ,6 − 144 ,6 2 − 4 ⋅ 13,70 ⋅ 138,1 ~ P(2 )кp = = 1,062 ; 2 ⋅ 13,70 в) а =6,013; b = 97,00; с = 106,1; 97 ,00 − 97 ,00 2 − 4 ⋅ 6 ,013 ⋅ 106,1 ~ P( 2 )кр = = 1,18 . 2 ⋅ 6 ,013 Как видно из результатов расчета, разброс значений критической силы во втором приближении значительно уменьшился. Невязка наибольшего и наименьшего значений составляет 12%. Невязка значений критической силы между вариантами а и б составляет всего 1%. 3-е приближение. Приводим значения критических сил, полученных в третьем приближении с использованием системы MathCad: ~ ~ ~ а) P(3 )кр = 1,0505 ; б) P(3 )кр = 1,039 ; в) P(3)кр = 1,076 . Теперь разброс значений не превышает 2,5% при различной аппроксимации функции прогибов, т.е., при любой форме аппроксимации при увеличении числа членов ряда решение, очевидно, стремится к истинному значению. Заметим также, что при всех видах аппроксимации при увеличении числа членов ряда происходит снижение значения критической силы. Можно доказать теорему [26], что при использовании вариационных методов, основанных на принципе Лагранжа приближенное значение критической силы всегда больше истинного значения. Поэтому истинное ~ значение критической силы не превышает Pкр = 1,039 . VI. РАСЧЕТ ПЛАСТИНОК НА ИЗГИБ ВАРИАЦИОННЫМИ МЕТОДАМИ При расчете пластинок на изгиб вводятся гипотезы Кирхгофа о линейном распределении напряжений по толщине пластин и неискривляемой нормали, которая остается нормальной к деформированной срединной поверхности пластинки. Перемещения в срединной плоскости пластинки считаются бесконечно малыми и ими в линейной теории пренебрегают. Эти гипотезы позволяют интегрированием по толщине пластине перейти от напряжений к внутренним обобщенным усилиям - изгибающим моментам Мх и My, крутящему моменту Мху и поперечным силам Qy и Qy, (рис. 6.1), а от относительных деформаций к относительным изгибным кривизнам χх и χу, кривизне кручения χху. dx a h/2 h/2 0 dy m y n m′ z w ϕ = ∂ w/∂ x n′ б Qy My q(x,y) Mx х Mx M x Qx y z Qy Mxy Рис. 6.1. Изгиб пластинки а - схемы деформирования б - внутренние усилия Гипотезы Кирхгофа позволили описать напряженно-деформированное состояние изгиба пластинки формой ее деформированной срединой поверхности, которая описывается единственной функцией - прогибом срединной поверхности w(x,y). В пластинках обычно принимают, что ось z, перпендикулярная срединной поверхности пластинки, направлена вниз. Положительные изгибающие моменты Мх, My растягивают нижние волокна пластинки, Положительные поперечные силы в сечениях с нормалью, совпадающей с направлением осей х, у, совпадают с направлением оси z. 6.1. Основные уравнения изгиба пластинки. 1) Уравнение равновесия в усилиях ∂ 2 M xy ∂ 2 M y ∂ 2M x + + 2 +q = 0. ∂ x∂ y ∂ x2 ∂ y2 (6.1.1) 2) Уравнения деформаций χx = − ∂2w ; ∂x2 χy =− ∂2w ; ∂ y2 χ xy = − ∂2w . ∂ x∂ y (6.1.2) 3) Связь внутренних усилий с деформациями (закон Гука) ⎛ ∂2w ∂2w ⎞ ⎟; M x = D χ x + ν ⋅ χ y = − D ⎜⎜ 2 + ν ∂ y 2 ⎟⎠ ⎝ ∂x ( ) ⎛ ∂2w ∂2w ⎞ M x = D χ y + ν ⋅ χ x = − D ⎜⎜ 2 + ν 2 ⎟⎟ ; ∂x ⎠ ⎝∂y ( ) M xy = D (1 − ν )χ xy = − D (1 − ν ) ∂2w ; ∂ x∂ y (6.1.3) Qx = Qy = ∂M x ∂M xy ∂ ∇2w ∂ ⎛ ∂2w ∂2w ⎞ + = −D = − D ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ ; ∂x ∂y ∂x ∂x ⎝ ∂ x ∂y ⎠ ∂M y ∂y + ∂M xy ∂x = −D ∂ ∇2w ∂ ⎛ ∂2w ∂2w ⎞ = − D ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ , ∂y ∂y ⎝ ∂ x ∂y ⎠ Eh 3 - изгибная жесткость пластинки. 12(1 − ν 2 ) На свободном краю определяют обобщенные поперечные силы Q x∗ и Q ∗y , определяемые комбинацией поперечной силы и где D = производной от крутящего момента: ∂M xy ∂ ⎛ ∂2w ∂2w ⎞ Q x∗ = Q x + = − D ⎜⎜ 2 + (2 + ν ) 2 ⎟⎟ ; ∂y ∂x ⎝ ∂x ∂y ⎠ 2 ∂M xy ∂ ⎛∂ w ∂2w ⎞ Q ∗y = Q y + (6.1.4) = − D ⎜⎜ 2 + (2 − ν ) 2 ⎟⎟ . ∂x ∂y ⎝ ∂y ∂x ⎠ Обобщенные поперечные силы используются при удовлетворении граничных условий на свободном краю. 4) Уравнения равновесия в перемещениях (уравнение Софи Жермен − Лагранжа) q(x , y ) ∇ 4 w( x , y ) = ∇ 2 ∇ 2 w( x , y ) = , (6.1.5) D 2 ⎛ ∂ 4 .. ⎛ ∂ 2 .. ∂ 2 .. ⎞ ∂ 4 .. ⎞ ∂ 4 .. ⎟ ⎟ =⎜ где ∇ .. = ∇ ∇ .. = ⎜⎜ 2 + 2 + + 2 2 4 ⎟ 2 ⎟ ⎜ ∂x4 x y x y y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ бигармонический оператор Лапласа в плоскости. 4 2 2 5) Углы поворота и внутренние усилия (рис. 6.2). n - нормаль, τ - касательная в косом сечении ( ); ∧ l = cos x n dx = m⋅ds; в косых сечениях Мух dx ( ); Мх ∧ х m = cos y n Му dy = l⋅ds; ∂ .. ∂ .. ∂ .. =l⋅ + m⋅ ∂x ∂y ∂n ; Мху Мτ α α Мп n ∂ .. ∂ .. ∂ .. dy =l⋅ − m⋅ (6.1.6,a) ∂τ ∂y ∂x ds ∂ .. ∂ .. ∂ .. τ у =l⋅ − m⋅ ∂x ∂n ∂τ Рис. 6.2. Внутренние усилия в косом ∂ .. ∂ .. ∂ .. =l⋅ + m⋅ . (6.1.6,б) сечении пластинки ∂y ∂τ ∂n ; ; Углы поворота - ∂w ⎛ ∂ .. ∂ .. ⎞ ⎟w ; = ⎜⎜ l ⋅ + m⋅ ∂n ⎝ ∂ x ∂ y ⎟⎠ ∂w ⎛ ∂ .. ∂ .. ⎞ = ⎜⎜ l ⋅ − m ⋅ ⎟⎟ w . ∂τ ⎝ ∂ y ∂x ⎠ (6.1.7) Внутренние усилия M n = M x ⋅ l 2 + M y ⋅ m 2 + 2 M xy ⋅ l ⋅ m = 2 2 ⎡⎛ ∂ .. ⎛ ∂2w ⎛ ∂2w ⎞ ∂ .. ∂ .. ⎞ ⎤ ∂ .. ⎞ ⎟⎟ w + ν ⎜⎜ m ⋅ − l ⋅ ⎟⎟ w⎥ = − D ⎜⎜ 2 + ν 2 ⎟⎟ ; = D ⎢⎜⎜ l ⋅ + m⋅ ∂y ∂x ⎠ ⎥ ∂y⎠ ∂τ ⎠ ⎢⎣⎝ ∂ x ⎝ ⎝ ∂n ⎦ M τ = M x ⋅ m 2 + M y ⋅ l 2 − 2M xy ⋅ l ⋅ m = 2 2 ⎡⎛ ⎛ ∂2w ⎛ ∂ .. ∂2w ⎞ ∂ .. ⎞ ⎤ ∂ .. ∂ .. ⎞ ⎟⎟ w⎥ = − D ⎜⎜ 2 + ν 2 ⎟⎟ ; + m⋅ = D ⎢⎜⎜ m ⋅ − l ⋅ ⎟⎟ w + ν ⎜⎜ l ⋅ ∂y⎠ ⎥ ∂y ∂x ⎠ ∂n ⎠ ⎢⎣⎝ ⎝ ∂x ⎝ ∂τ ⎦ ( ( ) ) M nτ = M y − M x ⋅ l ⋅ m + 2M xy l 2 − m 2 = ⎡ ⎛ ∂ 2 .. ∂ 2 .. ⎞ ∂ 2 .. ⎤ = − D(1 − ν ) ⎢l ⋅ m ⋅ ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ + l 2 − m 2 ⎥w = ∂ x∂ y ⎥⎦ ∂x ⎠ ⎢⎣ ⎝∂y ( ) ⎛ ∂ .. ∂2w ∂ .. ⎞ ∂ .. ⎞⎛ ∂ .. ⎟⎟⎜⎜ l ⋅ . (6.1.8) − m ⋅ ⎟⎟ w = − D (1 − ν ) = − D (1 − ν )⎜⎜ l ⋅ + m⋅ ∂ n∂τ ∂x ⎠ ∂ y ⎠⎝ ∂ y ⎝ ∂x ⎛ ∂ .. ∂∇ 2 w ∂ .. ⎞ 2 ⎟⎟∇ w = − D n ; Qn = Qx ⋅ l + Q y ⋅ m = − D ⎜⎜ l ⋅ + m⋅ ∂y⎠ ∂n ⎝ ∂x ⎛ ∂∇ 2 w ∂ .. ∂ .. ⎞ 2 ⎟⎟∇ w = − D n ; Qτ = −Qx ⋅ m + Q y ⋅ l = − D ⎜⎜ − m ⋅ +l⋅ ∂x ∂y⎠ ∂τ ⎝ Qn∗ = Qx∗ ⋅ l + Q ∗y ⋅ m = Qn + ∂M nτ ∂ ⎛ ∂2w ∂2w ⎞ = − D ⎜⎜ 2 + (2 − ν ) 2 ⎟⎟ ; ∂τ ∂n ⎝ ∂n ∂τ ⎠ Qτ∗ = −Qx∗ ⋅ m + Q ∗y ⋅ l = Qτ + ∂M nτ ∂ = −D ∂n ∂τ ⎛ ∂2w ∂2w ⎞ ⎜ 2 + (2 − ν ) 2 ⎟ . (6.1.9) ⎜ ∂τ ∂ n ⎟⎠ ⎝ ∂ .. ∂ .. , - производные по направлению нормали и ∂ n ∂τ касательной в косом сечении; Мn, Мτ - изгибающие моменты, Qn, Qτ - поперечные силы, Qn∗ , Qτ∗ - обобщенные поперечные силы в сечениях с нормалями n и τ соответственно; M nτ = M τ n - крутящие моменты в этих сечениях; Здесь ∂ 2 .. ∂ 2 .. ∂ 2 .. ∂ 2 .. + = + = ∇ 2 .. - оператор Лапласа ∂ n 2 ∂τ 2 ∂ x 2 ∂ y 2 ортогональной прямоугольной системе координат n, τ. ∇ 2n .. = в 6) Граничные условия Граничные условия опирания пластинок можно разделить на простые и смешанные. К простым граничным условиям опирания пластинки относятся: шарнирное опирание, жесткое защемление и свободный край. Простые граничные условия всегда можно разделить на кинематические и статические граничные условия. К смешанным граничным условиям относятся опирание на упругие опоры и упругое защемление в сечениях пластинки или в отдельных точках. а − шарнирное опирание. B сечении х = хi = const - w( xi , y ) = 0 , M x ( xi , y ) = 0 . Очевидно, первое граничное условие является кинематическим, второе статическим. Записывая условие равенства нулю изгибающего момента через функцию прогибов w( x , y ) , получим ∂ 2 w( x , y ) ∂ 2 w( x , y ) + ν = 0. ∂ x2 ∂ y 2 x= x i Однако в силу первого граничного условия w( xi , y ) = 0 , ∂ k w( xi , y ) ≡ 0 . Поэтому, ∂ yk окончательно граничные условия шарнирно опертого края в сечении х = хi запишутся в виде ∂ 2 w(xi , y ) ( ) w xi , y = =0. (6.1.10,а) ∂x2 производные по у равны нулю Аналогично, для шарнирно опертого края граничные условия получим в виде w(x , y i ) = ∂ 2 w(x , y i ) ∂y2 =0. у = уi = const (6.1.10,б) Для шарнирно опертого прямолинейного края не параллельного осям координат y (x ) = k ⋅ x + c , вводя местные ортогональные координаты t, n (рис. 6.2), граничные условия получим в виде w( x , y ( x )) = 0 и M n (x , y (x )) = M n (t , n ) = 0 . Второе условия с учетом формул (6.1.9) для функции перемещений имеет вид ∂ 2 w(x , y ) ∂ 2 w(x , y ) + ν = 0. ∂n 2 ∂t 2 y= y(x ) ∂ 2 w(x , y ( x )) = 0 , и, ∂t 2 окончательно, для шарнирно опертого прямолинейного края пластинки, граничные условия запишутся в виде: Учитывая первое условия, получим w( x , y ( x )) = ∂ 2 w( x , y ( x )) =0. ∂n2 (6.1.11) Для края пластинки в сечении х = хi нормаль совпадает (или противоположна) с направлением оси х, производная по нормали является производной по координате х, и получаем формулу (6.1.10,а). Для границы, перпендикулярной оси у, нормаль совпадает с осью у и производная по нормали в формуле (6.1.11) заменяется на производную по координате у (формула (6.1.10,б). б − жесткое защемление. Для жестко защемленного края у = у(х) прогибы и углы поворота по нормали к границе равны нулю ∂w( x , y ( x )) w( x , y ( x )) = (6.1.12) = 0. ∂n При жестком защемлении оба граничных условия являются кинематическими. Если граница жестко защемленного края перпендикулярна одной из осей прямоугольной системы координат, то производная по нормали заменяется на производную по координате х, или у соответственно. для сечений х = хi, или у = уi в − свободный край. На свободном краю должны выполняться три граничных условия: равенство нулю изгибающего нормального момента, крутящего момента и поперечной силы. Однако дифференциальное уравнение 4-го порядка (6.5), описывающего деформированное состояние пластинки, позволяет удовлетворить только два граничных условия на краю. Это является следствием гипотез Кирхгофа, принятых в теории изгиба пластин. Поэтому Кирхгофом было предложено для свободного края приравнивать нулю комбинацию поперечных сил и производной крутящего момента – обобщенную поперечную силу. В результате, на свободном криволинейном крае у = у( х) приходим к следующим граничным условиям - M n ( x , y ( x )) = 0 , Qn∗ ( x , y ( x )) = 0 , или для функции прогиба: ∂ 2 w( x , y ( x )) ∂ 2 w( x , y ( x )) ν + = 0; ∂n2 ∂τ 2 ∂ 3 w( x , y ( x )) ∂ 3 w( x , y ( x )) ( ) + 2 − = 0. ν ∂ n3 ∂ n∂τ 2 (6.1.13) Оба граничных условия для свободного края относятся к статическим граничным условиям. Для свободного края х = хi перпендикулярного оси х в формуле (6.1.13) производные по нормали n заменяются производными по координате х, а производные по касательной - производными по координате у. Для свободного края у = уi, перпендикулярного оси у в формуле (6.1.13) ∂n заменяется на ∂ y , а ∂τ на ∂ x . г − упругое опирание. При упругом опирании обобщенная поперечная сила (опорная реакция) пропорциональна прогибу, а изгибающий момент равен нулю (рис. 6.3,а). Для упруго опертого криволинейного края у = у(х) граничные условия имеют вид: M n ( x , y ( x )) = 0 ; Qn∗ ( x , y ( x )) = −cw ⋅ w( x , y ( x )) , (6.1.14) где сw - погонная жесткость упругой опоры. Здесь первое граничное условие является статическим, второе смешанным. Запишем граничные условия через функцию прогиба: ∂ 2 w( x , y ( x )) ∂ 2 w( x , y ( x )) + = 0; ν ∂n2 ∂τ 2 ⎛ ∂ 3 w( x , y ( x )) ∂ 3 w( x , y ( x )) ⎞ ⎟ = c ⋅ w( x , y ( x )) . (6.1.15) ( ) ν D ⋅ ⎜⎜ 2 + − 3 2 ⎟ n n τ ∂ ∂ ∂ ⎠ ⎝ a б Qn∗ n w(x,y(x)) M n∗ M on = M n∗ ϕn = Ron = −Qn∗ z ∂w ∂n z Рис. 6.3. а - упругая опора; б - упругое защемление Для перехода к сечениям, перпендикулярным осям х, у, запишем второе условие, используя формулу нормальной производной (6.1.6) ⎛ ∂ ∂ 2 w( x , y ( x )) ⎞ cw ∂ ⎞⎛ ∂ 2 w( x , y ( x )) ⎟= ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎜ l ⋅ ( ) ν 2 + − + m⋅ ⎟ D ⋅ w( x , y ( x )) . ∂ y ⎠⎝ ∂n2 ∂τ 2 ⎝ ∂x ⎠ (6.1.16) Учитывая, что вторые производные по n и τ переходят в сечениях, перпендикулярных оси х, во вторые производные по х и у соответственно, а в сечениях, перпендикулярных оси у, во вторые производные по у и х соответственно, получим для этих сечений граничные условия в виде: сечение х = хi ∂ 2 w( xi , y ) ∂ 2 w( xi , y ) + ν =0; ∂ x2 ∂ y2 ∂ 3 w( xi , y ) ∂ 3 w( xi , y ) ( ) + 2 − ν = ± cw ⋅ w( xi , y ) ; ∂ x3 ∂ x∂ y 2 (6.1.17а) сечение у = уi : ∂ 2 w( x , yi ) ∂ 2 w( x , yi ) ν =0; + ∂ x2 ∂ y2 ∂ 3 w( x , yi ) ∂ 3 w( x , yi ) ( ) + 2 − ν = ± cw ⋅ w( x , yi ) . ∂ y3 ∂ y∂ x 2 (6.1.17,б) В формулах (6.1.17,а) и (6.1.17,б) знак плюс берется, если внешняя нормаль к опорному краю совпадает с направлением оси х (l = 1) или у (m = 1), а знак минус, если направление нормали противоположно направлению осей (l = -1) или (m = -1) соответственно. д − упругое защемление. При упругом защемлении криволинейного края прогиб равен нулю, а нормальный момент в сечении пропорционален углу поворота опорного сечения (рис. 6.3,б): w( x , y ( x )) = 0 ; ∂w( x , y ( x )) , (6.1.18) ∂n где сϕ - погонная жесткость упругого защемления; Первое граничное условие является кинематическим, второе смешанным. M n ( x , y ( x )) = cϕ ⋅ ϕ n ( x , y ( x )) = cϕ ⋅ Для функции перемещений второе условие с учетом первого граничного условия (производные по τ равны нулю) запишется в виде cϕ ∂w( x , y ( x )) ∂ 2 w( x , y ( x )) . (6.1.19) =− 2 D ∂n ∂n С учетом замечаний, сделанных при рассмотрении упругого опирания для упруго защемленных опорных сечений перпендикулярных осям х, у, второе граничное условие имеет вид: сечение х = хi cϕ ∂w( xi , y ) ∂ 2 w( xi , y ) ; (6.1.20,а) =m 2 D ∂x ∂x сечение у = уi cϕ ∂w( x , yi ) ∂ 2 w( x , yi ) =m . (6.1.20,б) 2 D ∂y ∂y В формулах (6.1.20,а), (6.1.20,б) верхний знак – минус соответствует совпадению направления внешней нормали к опорному краю с направлением осей х (l = 1) или у (m = 1)у, а при знаке плюс направление нормали противоположно направлению этих осей (l = −1) или (m = −1). Заметим, что при предельных значениях коэффициента погонной жесткости сw = 0 и сw = ∞ в формуле (6.16) (разделив во втором случае правую и левую части равенства на сw) получим условия свободного и шарнирно опертого края соответственно. При предельных значениях коэффициента упругого защемления сϕ = 0 и сϕ = ∞ - условия шарнирно опертого и защемленного краев соответственно. 7) Потенциальная и полная энергия деформаций. Потенциальная энергия деформаций определяется работой изгибающих Мх и Мх и крутящего Мху моментов на соответствующих им перемещениях χх, χу, χху (энергией деформаций сдвига от поперечных сил Qx и Qу, как и в случае стержней пренебрегаем). 1 U = ∫∫ M x χ x + M y χ y + 2 M xy χ y dA = 2A ( = ) ∂2w ⎞ ∂2w ⎛ ∂2w ∂2w ⎞ ∂2w D ⎧⎪⎛ ∂ 2 w ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ν ν + + + + ∫∫ ⎨ 2 A ⎪⎩⎜⎝ ∂ x 2 ∂ y 2 ⎟⎠ ∂ x 2 ⎜⎝ ∂ y 2 ∂ x 2 ⎟⎠ ∂ y 2 ⎛ ∂2w ⎞ ⎟ + 2(1 − ν )⎜⎜ ⎟ ⎝ ∂ x∂ y ⎠ 2 ⎫⎪ ⎬ dA = ⎪⎭ ⎧ ⎡⎛ ∂ 2 w ⎞ 2 ∂ 2 w ∂ 2 w ⎤ ⎫⎪ D ⎪ 2 2 ⎟ − 2 ⋅ 2 ⎥ ⎬ dA . = ∫∫ ⎨ ∇ w + 2(1 − ν ) ⋅ ⎢⎜⎜ 2 A⎪ ∂ x ∂ x ⎥⎪ ⎢⎝ ∂ x∂ y ⎟⎠ ⎣ ⎦⎭ ⎩ ( ) (6.1.21) Проинтегрируем дважды по частям интеграл от квадрата смешанной производной, учитывая при этом, что интегрирование производится не по объему, а по площади, интеграл по поверхности тела в формуле (6.2.2) заменяется на интеграл по контуру пластинки, формула интегрирования по частям принимает вид ⎛ ∂P ⎛ ∂G ∂Q ⎞ ∫∫ G⎜⎜ ∂ x + ∂ y ⎟⎟ dA = ∫ G (P ⋅ l + Q ⋅ m ) ds − ∫∫ ⎜⎜ P ∂ x A ⎝ ⎠ S A ⎝ +Q ∂G ⎞ ⎟ dA . (6.1.22) ∂ y ⎟⎠ При этом получим 2 ∂w ∂3w ∂ w ∂2w ∂2w ∂w ⋅ dA = ⋅ ⋅ md s − ∫∫ ∂ x∂ y ∂ x∂ y ∫ ∫∫ ∂ x ⋅ ∂ x∂ 2 y dA = A S ∂ x∂ y ∂ x A ⎛ ∂2w ∂2 w ∂2w ∂2w ⎞ ∂w d s + ∫∫ 2 ⋅ 2 dA . = ∫ ⎜⎜ ⋅ m − 2 ⋅ l ⎟⎟ ⋅ ∂ y ∂y S ⎝ ∂ x∂ y A ∂x ⎠ ∂x Тогда ⎡⎛ ∂ 2 w ⎞ 2 ∂ 2 w ∂ 2 w ⎤ ⎛ ∂2w ∂2w ⎞ ∂w ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ − ⋅ = ⋅ − ⋅l⎟⋅ dA m d s . (6.1.23) ∫∫ ⎢⎜ ∂ x∂ y ⎟ ∂ x 2 ∂ x 2 ⎥ ∫⎜ ∂ y 2 ⎟⎠ ∂ x A ⎝ S ⎝ ∂ x∂ y ⎠ ⎣ ⎦ Если контур пластинки защемлен, то первые производные функции прогиба на контуре произвольного очертания по любому ∂w = 0 , и контурный интеграл в направлению равны нулю, т.е. ∂x формуле (6.1.21) равен нулю, следовательно, равен нулю и интеграл по площади. Аналогичную картину получим, если сторона пластинки параллельна оси х. Тогда т = 0, l = 1 и ∂2w ∂w = 0 . Если сторона пластинки параллельна оси у, то =0. 2 ∂x ∂y Следовательно, если контур пластинки состоит из криволинейных или прямолинейных защемленных участков, включая шарнирно опертые участки, параллельные осям прямоугольной системы координат, то интеграл от слагаемых, заключенных в квадратные скобки в формуле (6.1.23), равен нулю, и потенциальная энергия деформаций определяется по упрощенной формуле ) (6.1.24) Полная энергия деформаций Э = U – Т. Работа внешних сил (6.1.25) U= ( 2 D ∇ 2 w dA . ∫∫ 2 A ( ) T = ∫∫ q( x , y ) ⋅ w( x , y )dA + ∑ Pi ⋅ w x Pi , y Pi + A ⎡ ∂w( x , y ( x )) + ∫ ⎢ p ( x , y ( x )) ⋅ w( x , y ( x )) + m x ( x , y ( x )) + ∂x S⎣ + m y ( x , y ( x )) ∂w( x , y ( x )) ⎤ ⎥ ds , ∂y ⎦ (6.1.26) где Рi – сосредоточенные силы, приложенные в точках с x Pi , y Pi ; р(х,у) m x ( x , y ( x )) , m y ( x , y ( x )) координатами распределенная вдоль линии у(х) поперечная нагрузка; m x ( x , y ( x )) и m y ( x , y ( x )) - проекции на оси х и у распределенного вдоль линии у(х) момента. Заметим, что составляющие момента mx и mу можно заменить на нормальную mn и касательную mτ (к линии у(х)) составляющие момента mn = m x ⋅ l + m y ⋅ m и mτ = − m x ⋅ m + m y ⋅ l , при этом ⎡ ∂w ⎤ ∂w ∫ ⎢mn (x , y( x )) ∂ n + mτ (x , y(x )) ∂τ ⎥ ds = S ⎣ ⎦ ⎡ ∂w ∂w ⎤ = ∫ ⎢m x ( x , y ( x )) + m y ( x , y ( x )) ⎥ ds . ∂x ∂y⎦ S⎣ (6.1.27) 6.2. Принцип Лагранжа при изгибе пластинки. Формулировка принципа Лагранжа не изменяется, т.е. остается такой же, как и в общем случае теории упругости (см. раздел II). Докажем его, варьируя функционал полной энергии деформаций − δ Э =δ U + δ Т = 0. Варьируя функционал потенциальной энергии, имеем ⎧ ⎡⎛ ∂ 2 w ⎞ 2 ∂ 2 w ∂ 2 w ⎤ ⎫⎪ D ⎪ 2 2 ⎟ − 2 ⋅ 2 ⎥ ⎬ dA = δ U = ∫∫ δ ⎨ ∇ w + 2(1 − ν )⎢⎜⎜ 2 A ⎪ ∂ x ∂ x ⎥⎪ ⎢⎝ ∂ x∂ y ⎟⎠ ⎣ ⎦⎭ ⎩ ( ) ⎧⎪ ⎡ ∂ 2 w ∂ 2δ w = D ∫∫ ⎨∇ 2 w ⋅ ∇ 2 δ w + (1 − ν ) ⎢2 ⋅ − A ⎪ ⎣ ∂ x∂ y ∂ x∂ y ⎩ − ∂ 2 w ∂ 2δ w ∂ 2 w ∂ 2δ w ⎫ ⋅ ⋅ − ⎬ dA . ∂ y2 ∂x2 ⎭ ∂x2 ∂ y2 (6.2.1) Преобразуем формулу (6.2.1), применив дважды интегрирование по частям. С учетом формулы (6.1.21) получим: ∫∫ G A ∂2P ∂P ∂G ∂ P dA = ∫ G ⋅ l ds − ∫∫ ⋅ dA = 2 ∂x ∂x S A ∂x ∂x ⎛ ∂ P ∂G ⎞ ∂2G = ∫ ⎜⎜ G P ⎟⎟ ⋅ l dL + ∫∫ ⋅ P dA ; − 2 ∂x ∂x ⎠ L⎝ A ∂x ∂2P ⎛ ∂P ∂G ⎞ ∫∫ G ∂ y 2 dA = ∫ ⎜⎜ G ∂ y − ∂ y P ⎟⎟ ⋅ m ds + ∫∫ A S⎝ ⎠ A ∂2 G ⋅ P dA ; ∂ y2 (6.2.2) ⎛ ∂2P ∂2P ⎞ 2 G PdA G ⋅ ∇ = ⋅ ∫∫ ∫∫ ⎜⎜ ∂ x 2 + ∂ y 2 ⎟⎟dA = A A ⎠ ⎝ ⎡ ⎛ ∂P ⎞ ⎛ ∂G ⎞ ⎤ ∂P ∂G = + ∫∫ P ⋅ ∇ 2 G dA + ∫ ⎢G ⎜⎜ ⋅l + ⋅ m ⎟⎟ − ⎜⎜ ⋅l + ⋅ m ⎟⎟ P ⎥ ds = ∂y ∂y ⎠ ⎝ ∂x A S ⎣ ⎝ ∂x ⎠ ⎦ ⎛ ∂ P ∂G ⎞ P ⎟ dL . − = ∫∫ P ⋅ ∇ 2 G dA + ∫ ⎜⎜ G ∂ n ∂ n ⎟⎠ A L⎝ Применяя эти формулы к слагаемым вариации потенциальной энергии деформаций, получим: ⎞ ⎛ 2 ∂ w ∂∇ 2 w 2 2 4 ⎜ w δ wdA w δ w dA w δ ∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ⋅ δw ⎟⎟ds ; ∫∫ ∫∫ ∫⎜ ∂n ∂n A A S⎝ ⎠ ∂δ w ∂ 3 w ∂ 2 w ∂ 2 δw ∂ 2 w ∂δ w ⋅ dA = ⋅ ⋅ md s − ∫∫ ∂ x∂ y ∂ x∂ y ∫ ∫∫ ∂ x ⋅ ∂ x∂ y 2 dA = ∂x A S ∂ x∂ y A ⎛ ∂2w ∂ 2 w ∂ 2δ w ∂ 2 w ⎞ ∂δ w ⋅ d s + ∫∫ dA , = ∫ ⎜⎜ ⋅ m − 2 ⋅ l ⎟⎟ ⋅ 2 ∂ x2 ∂y S ⎝ ∂ x∂ y A ∂y ⎠ ∂x или ∂δ w ∂ 3 w ∂ 2 w ∂δ w ∂ 2 w ∂ 2 δw dA l d s ⋅ − ⋅ = ⋅ ∫∫ ∂ x∂ y ∂ x∂ y ∫ ∫∫ ∂ y ⋅ ∂ y∂x 2 dA = ∂y A S ∂ x∂ y A ⎛ ∂2w ∂ 2 w ∂ 2δ w ∂ 2 w ⎞ ∂δ w ⋅ dA . = ∫ ⎜⎜ ⋅ l − 2 ⋅ m ⎟⎟ ⋅ d s + ∫∫ 2 ∂ y2 ∂x S ⎝ ∂ x∂ y A ∂x ⎠ ∂y Тогда ⎡ ∂ 2 w ∂ 2 δ w ∂ 2 w ∂ 2δ w ∂ 2 w ∂ 2 δ w ⎤ ∫∫ ⎢2 ∂ x∂ y ⋅ ∂ x∂ y − ∂ x 2 ⋅ ∂ y 2 − ∂ y 2 ⋅ ∂ x 2 ⎥ dA = A ⎣ ⎦ ⎡ ∂ ⎛ ∂w ∂w ⎞ ∂w ∂ ⎛ ∂w ∂w ⎞ ∂w⎤ ⎟⎟ ⋅ δ ⎜⎜ m ⋅ ⎟ ⋅δ = ∫ ⎢ ⎜⎜ l ⋅ −m⋅ + −l⋅ ⎥ ds = ∂x ⎠ ∂y ∂y ⎝ ∂x ∂ y ⎟⎠ ∂ x ⎥⎦ S⎢ ⎣∂x ⎝ ∂ y ⎡ ∂2w ∂w⎤ ∂w ∂2w = ∫⎢ ⋅δ − ⋅δ ⎥ ds = ∂ y ∂τ ∂ y ∂x ⎦ S ⎣ ∂τ ∂ x ⎡ ∂2 ⎛ ∂w ⎛ ∂w ∂2 ∂ w ⎞⎤ ∂w ⎞ ⎟⎥ ds = ⎟⎟ − − m⋅ ⋅ δ ⎜⎜ l ⋅ = ∫⎢ ⋅ δ ⎜⎜ m ⋅ +l⋅ ∂τ ⎟⎠⎦ ∂n ∂τ ⎠ ∂τ ∂ y ⎝ ∂ n S ⎣ ∂τ ∂ x ⎝ ⎡∂ = ∫⎢ S ⎣ ∂τ ⎛ ∂m ∂w ⎞ ∂ w ⎤ ∂w ⎞ ∂ w ∂ ⎛ ∂w ⎟ ⋅δ ⎟⎟ ⋅ δ ⎜⎜ m ⋅ + ⎜⎜ l ⋅ + m⋅ −l⋅ ⎥ ds = ∂ y ⎟⎠ ∂τ ⎦ ∂x ∂ y ⎠ ∂ n ∂τ ⎝ ∂ x ⎝ ⎛ ∂2w ∂w ∂2w ∂w ⎞ ⎟ds . = ∫ ⎜⎜ ⋅δ − ⋅δ ∂τ ∂τ 2 ∂ n ⎟⎠ S ⎝ ∂ n∂τ (6.2.3) Теперь вариацию потенциальной энергии получим в виде ⎧⎪ ⎛ ⎞ ∂ w ∂∇ 2 w δ U = D ⎨∫∫ ∇ 4 w ⋅ δ w dA + ∫ ⎜⎜ ∇ 2 w ⋅ δ − ⋅ δw ⎟⎟ds + ∂n ∂n ⎪⎩ A S⎝ ⎠ ⎛ ∂2w ∂ w ∂ 2 w ∂ w ⎞ ⎪⎫ ⎟ds ⎬ = − ⋅δ ⋅δ + (1 − ν )∫ ⎜⎜ ∂ n ⎟⎠ ⎪⎭ ∂τ ∂τ 2 S ⎝ ∂ n∂τ ⎧⎪ = D ⎨∫∫ ∇ 4 w ⋅ δ w dA + ∫ ⎪⎩ A S + (1 − ν ) ⎡⎛ ∂ 2 w ∂2w ⎞ ∂ w ⎟ ⋅δ + ⎢⎜⎜ 2 + ν 2 ⎟ ∂n ∂ ∂ τ n ⎠ ⎣⎢⎝ ⎤ ⎫⎪ ∂ w ∂∇ 2 w ∂2w ⋅δ − ⋅ δw⎥ ds ⎬ . ∂ n∂τ ∂τ ∂n ⎦ ⎪⎭ (6.2.4) Заменяя в контурных интегралах функции прогиба на внутренние усилия в соответствии с формулами (6.1.8), получим ⎛ ∂w ∂w⎞ ⎟ds . − M nτ ⋅ δ δ U = D ∫∫ ∇ 4 w ⋅ δ w dA + ∫ ⎜⎜ Qn ⋅ δw − M n ⋅ δ ∂n ∂τ ⎟⎠ A S⎝ (6.2.5) Вариация работы внешних сил определится формулой ⎛ ∂w ∂w ⎞ ⎟d s . + m nτ ⋅ δ ∂n ∂τ ⎟⎠ A Sk ⎝ (6.2.6) Здесь sk - контур пластинки. Интегралы вдоль линий действия распределенных нагрузок и вариации работы сосредоточенных сил опущены, так как эти нагрузки можно считать частью δT = ∫∫ q( x , y ) ⋅ δw dA + ∫ ⎜⎜ p( x , y ) ⋅ δw + mn ⋅ δ распределенной по площади нагрузки, и вычислить предельным переходом от интеграла по площади. Группируя члены при одноименных вариациях в потенциальной энергии и работе внешних сил, получим для вариации полной энергии деформаций δЭ = ∫∫ D∇ 4 w − q( x , y ) ⋅ δw dA + [ ] A + ∫ (Qn − p ) ⋅ δwd s − ∫ (M n + mn ) ⋅ δ Sk Sk − ∂w ds − ∂n ∂w ∫ (M nτ + mnτ ) ⋅ δ ∂τ Sk ds = 0. (6.2.7) Приравнивая вариацию полной энергии нулю, получаем условие минимума полной энергии деформаций. При этом, чтобы выражение (6.2.7) равнялось нулю, необходимо, чтобы независимо равнялись нулю - интеграл по площади и контурные интегралы при каждой независимой вариации (при вариациях прогиба и нормального и касательного к контуру пластинки углов поворота). Тогда на основании основной леммы вариационного исчисления, будут равны нулю подынтегральные функции: q(x , y ) =0; D Mn – mn = 0; Mnτ – mnτ = 0, ∇ 4 w( x , y ) − Qn – p = 0; (6.2.8) (6.2.9) т.е., если вариация функционала полной энергии деформаций равна нулю (полная энергия деформаций достигает минимума), то выполняется уравнение равновесия (6.2.8) и статические граничные условия (6.2.9). Следовательно, так как кинематические граничные условия опирания также выполнены (в соответствии с принципом Лагранжа), то функция прогибов w(х,у), на которой функционал полной энергии деформаций достигает минимума, является решением задачи изгиба пластинки. Соотношение (6.2.7) можно так же рассматривать, как уравнение принципа возможных перемещений задачи изгиба пластинки. 6.3. Метод Ритца −Тимошенко в задачах изгиба пластинок. Для удобства выкладок и проведения вычислений перейдем к безразмерным координатам: x y a ξ= ; η= , λ= , (6.3.1) a b b где а, b - характерные размеры пластинки, в частности можно принимать а = b. Для прямоугольной пластинки а, b - размеры пластинки. Область изменения координат 0 ≤ х ≤ а, 0 ≤ у ≤ b переходит для безразмерных координат в фиксированную область 0 ≤ ξ ≤ 1, 0 ≤ η ≤ 1. Дифференциальные операторы заменяются согласно формулам: ∂ .. ∂ .. ∂ξ 1 ∂ .. ; = ⋅ = ∂ x ∂ξ ∂ x a ∂ξ ∂ .. ∂ .. ∂η 1 ∂ .. ; = ⋅ = ∂ y ∂η ∂ y b ∂η ∂ k .. ∂ k .. 1 ∂ k .. 1 ∂ k .. ∂ k .. 1 ∂ k .. = ; = = ; ; ∂ x k a k ∂ξ k ∂ y k b k ∂η k ∂ x m ∂y k − m a m b k − m ∂ξ m ∂η k − m dx = adξ ; ~ dA = dxdy = ab ⋅ dξ dη = ab ⋅ dA . dy = bdη ; ⎛ ∂ 2 .. ∂ 2 .. ⎞ 1 ⎛ ∂ 2 .. ∂ 2 .. ⎞ 1 ~ ∇ 2 .. = ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ = 2 ⎜⎜ 2 + λ2 2 ⎟⎟ = 2 ∇ 2 .. ∂ x ⎠ a ⎝ ∂ξ ∂η ⎠ a ⎝ ∂x (6.3.2) Потенциальная энергия деформаций и работа внешних сил в безразмерных координатах определяются формулами: D U= 2λa 2 T= ⎧ ⎡⎛ ∂ 2 w ⎞ 2 ∂ 2 w ∂ 2 w ⎤ ⎫⎪ ~ ⎪ ~2 2 2 ∫∫ ⎨ ∇ w + 2(1 − ν )λ ⋅ ⎢⎢⎜⎜ ∂ξ∂η ⎟⎟ − ∂ξ 2 ⋅ ∂η 2 ⎥⎥ ⎬ dA ; (6.3.3) A⎪ ⎠ ⎦ ⎪⎭ ⎣⎝ ⎩ ( ) q(ξ ,η ) ⋅ w(ξ ,η )dA + ∑ Pi ⋅ w(ξ P ,η P ) + λ ∫∫A a2 ~ i i m y (ξ ,η (ξ )) ∂w ⎤ ~ ⎡ m (ξ ,η (ξ )) ∂w + a ∫ ⎢ p(ξ , y (η )) ⋅ w(ξ ,η (ξ )) + x +λ ⎥ ds . a a ξ η ∂ ∂ ⎥⎦ S⎢ ⎣ (6.3.4) При решении задачи изгиба пластинки функцию прогибов разыскиваем в виде ряда ∞ ∞ w(ξ ,η ) = G ∑ ∑ Amn wmn (ξ ,η ) , (6.3.5) m =1n =1 Аmn - неопределенные коэффициенты (определяются из где условия минимума полной энергии деформаций); wmn (ξ ,η ) функции, удовлетворяющие кинематическим граничным условиям опирания пластинки (статические граничные условия могут не выполняться); G – коэффициент, который принимается в процессе решения, для приведения решения к наиболее удобному виду. При подстановке решения в функционал полной энергии деформаций, функционал становится функцией неопределенных коэффициентов Аmn, которая достигает минимума, если частные производные по всем аргументам равны нулю, т.е. ∂U ∂T ∂T ∂U ∂Э = 0 или = , k , l = 1,2 ,3,... − = ∂Akl ∂Akl ∂Akl ∂Akl ∂Akl (6.3.6) В результате проведения этой операции, приходим к бесконечной системе алгебраических уравнений ∞ ∑ Bklmn Amn = Ckl , k , l = 1,2 ,3,... (6.3.7) m =1 Чтобы получить коэффициенты Bklmn и Сkl проведем операции дифференцирования, в соответствии с формулами (6.3.6). Так как интегралы энергии и работы внешних сил неособенные, то дифференцирование можно проводить под знаком интеграла: ⎧ ⎡⎛ ∂ 2 w ⎞ 2 ∂ 2 w ∂ 2 w ⎤ ⎫⎪ ~ ∂ ⎪ ~2 2 2 ∫∫ ∂A ⎨ ∇ w + 2(1 − ν )λ ⋅ ⎢⎢⎜⎜ ∂ξ∂η ⎟⎟ − ∂ξ 2 ⋅ ∂η 2 ⎥⎥ ⎬ dA = A kl ⎪ ⎠ ⎣⎝ ⎦ ⎪⎭ ⎩ ~ D ⎡ ~ 2 ∂∇ 2 w = 2 ∫∫ ⎢ ∇ w + ∂Akl λa A ⎣ ( ∂U D = ∂ Akl 2λa 2 ( ) ) ⎛ ∂ 2 w ∂ ∂ 2 w ∂ 2 w ∂ ∂ 2 w ∂ 2 w ∂ ∂ 2 w ⎞⎤ ~ ⎟⎥ dA . − 2⋅ + (1 − ν )λ2 ⋅ ⎜⎜ ⋅ − 2⋅ 2 ∂η ∂Akl ∂ξ 2 ⎟⎠⎦⎥ ⎝ ∂ξ∂η ∂Akl ∂ξ∂η ∂ξ ∂Akl ∂η Или, подставляя решение (6.3.5), получим [ ∞ D ∂U = 2 G 2 ∑ ∫∫ ∇ 2 wmn ⋅ ∇ 2 wkl + ∂ Akl λa m =1 A ⎛ ∂ 2 wmn ∂ 2 wkl ∂ 2 wmn ∂ 2 wkl ∂ 2 wmn ∂ 2 wkl ⋅ − ⋅ − ⋅ + (1 − ν )⎜⎜ ∂ξ 2 ∂η 2 ∂η 2 ∂ξ 2 ⎝ ∂ξ∂η ∂ξ∂η ( ⎞⎤ ~ ⎟ ⎥ dA ; ⎟ ⎠⎥⎦ ) P ∂T a 2 ~ = G ∫∫ q(ξ ,η )w(ξ ,η )dA + ∑ i ⋅ w ξ Pi ,η Pi + ∂A λ A ab m y (ξ ,η (ξ )) ∂w ⎤ ~ ⎡ p(ξ , y (η )) m (ξ ,η (ξ )) ∂w + λ∫ ⎢ ⋅ w(ξ ,η (ξ )) + x 2 +λ ⎥ ds . 2 ∂ ∂ ξ η a a a ⎥⎦ S⎢ ⎣ Приравнивая производные потенциальной энергии и работы q a4 внешних сил, сокращая общие множители и положив G = 0 , D где q0 – некоторое значение интенсивности произвольной нагрузки, окончательно получим: ~ ~ Bklmn = ∫∫ ∇ 2 wmn ⋅ ∇ 2 wkl + [ A ⎛ ∂ 2 wmn ∂ 2 wkl ∂ 2 wmn ∂ 2 wkl ∂ 2 wmn ∂ 2 wkl ⋅ − ⋅ − ⋅ + (1 − ν )⎜⎜ ∂ξ 2 ∂η 2 ∂η 2 ∂ξ 2 ⎝ ∂ξ∂η ∂ξ∂η C kl = ∫∫ A Pi q(ξ ,η ) ~ w(ξ ,η )dA + λ ∑ ⋅ w ξ Pi ,η Pi + q0 q0 ⋅ a 2 ( ⎞⎤ ~ ⎟ ⎥ dA ; ⎟ ⎠⎦⎥ ) m y (ξ ,η (ξ )) ∂w ⎤ ~ ⎡ p(ξ , y (η )) m (ξ ,η (ξ )) ∂w + λ∫ ⎢ ⋅ w(ξ ,η (ξ )) + x + λ ⎥ ds . q0 ⋅ a 2 ∂ξ q0 ⋅ a 2 ∂η ⎥⎦ S⎢ ⎣ q0 ⋅ a (6.3.8) Если пластинка произвольного очертания жестко закреплена по контуру или шарнирно оперта на участках границы, параллельных осям х, у прямоугольной системы координат, то коэффициенты системы уравнений могут быть определены по упрощенной формуле ~ ~ Bklmn = ∫∫ ∇ 2 wmn ⋅ ∇ 2 wkl dA . (6.3.9) A Получив значения коэффициентов из решения системы алгебраических уравнений (6.3.5), вычисляют прогибы и внутренние усилия в любой точке пластинки. Для прямоугольной пластинки обычно принимают функции прогиба в виде произведения функций аргументов х и у wmn ( x , y ) = X m ( x ) ⋅ Yn ( y ) , (6.3.10) X m ( x ), Yn ( y ) - функции, удовлетворяющие условиям где опирания пластинки на краях х = 0, х = а и у = 0, у = b соответственно, при этом удовлетворяются обычно балочные условия опирания, а сами функции X m ( x ), Yn ( y ) называют балочными функциями. В этом случае коэффициенты системы алгебраических уравнений определяются по формуле ( ) Bklmn = C xmk ⋅ Ayn l + ν λ2 Bxmk ⋅ B yl n + Bxkm ⋅ B yn l + 2(1 − ν )Dxmk ⋅ D yn l , (6.3.11) 1 1 0 0 Axmk = ∫ X m ( x ) ⋅ X k ( x ) dx ; Bxmk = ∫ X m′′ ( x ) ⋅ X n ( x )dx ; где 1 C xmk = ∫ X m′′ ( x ) ⋅ X k′′ ( x ) dx ; 0 1 Dxmk = ∫ X m′ ( x ) ⋅ X k′ ( x ) dx . 0 Коэффициенты с нижним индексом у получаются с соответствующей заменой функции Х(ξ) на функцию Y(η), dξ на dη. 6.3. Метод Канторовича−Власова в задачах изгиба пластинок. Решение методом Канторовича−Власова для прямоугольных пластин ищем в виде одинарного ряда ∞ w(ξ ,η ) = G ∑ X m (ξ )Ym (η ) , (6.4.1) m =1 где Ym (η ) - функция, удовлетворяющая граничным условиям опирания пластинки на продольных краях η = 0, η = 1 (y = 0, у = b); X m (ξ ) - неизвестные функции; G - коэффициент, задаваемый в процессе решения для придания ему более удобной формы записи. Для нахождения неизвестных функций X m (ξ ) используем функциональное соотношение (6.2.7), полученное при доказательстве принципа Лагранжа с учетом удовлетворения всех граничных условий (кинематических и статических) на продольных краях, в безразмерных координатах 11⎡ a4 ⎤ 4 ( ) ∇ w − q x , y ⎥ ⋅ δ w(ξ ,η ) d ξ dη =0. ∫∫⎢ D⎦ 00⎣ (6.4.2) Так как варьируются только неизвестные функции ∞ δ w( x , y ) = G ∑ Ym (η ) ⋅ δ X (ξ ) , m =1 то, разделяя интегрирование, получим 1 ⎧1 ⎡ ⎫⎪ a4 ⎤ ⎪ ~4 ( ) ∇ − w q x , y ⎨ ⎥ ⋅ Yn (η ) dη ⎬δ X n (ξ ) dξ = 0 . ∫ ⎪∫ ⎢ D⎦ ⎪⎭ 0 ⎩0 ⎣ Учитывая независимость вариаций функций δ X n (ξ ) на основании основной леммы вариационного исчисления, получим систему функциональных уравнений метода Канторовича−Власова ⎡~ 4 a4 ⎤ ( ) ∇ − w q x , y ⎥ ⋅ Yn (η ) dη = 0 , ∫⎢ D⎦ 0⎣ 1 n = 1, 2, 3… (6.4.3) Подставляя в соотношения (6.4.3) решение (6.4.1), получим 1 ∞ [ ] G ∫ ∑ X mIV (ξ ) Ym (η ) + 2λ2 X m′′ (ξ )Ym′′ (η ) + λ 4 X m (ξ )YmIV (η ) ⋅ Yn (η )dη = 0 m =1 = a4 1 ∫ q(ξ ,η )Yn (η )dη . D0 q(ξ ,η ) a 4 и интегрируя ряд почленно, получим q0 D систему обыкновенных дифференциальных уравнений для функций X m (ξ ) ∞ ~ ∑ Aynm X mIV (ξ ) + 2λ2 B ynm X m′′ (ξ ) + λ4C ynm X m (ξ ) = qn , n = 1, 2, 3,… Принимая G = [ ] m =1 (6.4.4) 1 где Aymn = ∫ Ym (η ) ⋅ Yn (η ) dη ; 0 1 B ymn = ∫ Ym′′ (η ) ⋅ Yn (η ) dη ; 0 q(ξ ,η ) Yn (η ) dη . q0 0 1 ~ C ymn = ∫ YmIV (η ) ⋅ Yn (η ) dη ; 1 qn = ∫ 0 ~ Проинтегрируем выражение C ymn дважды по частям 1 1 ~ 1 C ymn = ∫ YmIV (η ) ⋅ Yn (η ) dη = Ym′′′(η ) ⋅ Yn (η ) 0 − ∫ Ym′′′(η ) ⋅ Yn′ (η )dη = 0 0 1 = [Ym′′′(η ) ⋅ Yn (η ) − Ym′′ (η ) ⋅ Yn′ (η )] 0 − ∫ Ym′′ (η ) ⋅ Yn′ (η )dη . 1 0 При любых стандартных условиях опирания балки-полоски (шарнирное опирание, жесткое защемление, свободный край), вырезанной в поперечном направлении из пластинки, выражение в квадратных скобках при подстановке пределов интегрирования равно нулю. Следовательно, окончательно получаем 1 1 ~ C ymn = ∫ YmIV (η ) ⋅ Yn (η ) dη = ∫ Ym′′ (η ) ⋅ Yn′′(η ) dη = C ym n . 0 (6.4.5) 0 В общем случае метод Канторовича-Власова приводит задачу изгиба прямоугольной пластинки к бесконечной системе дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Так как решение бесконечной системы уравнений затруднительно, на практике используют расчет с конечным числом членов ряда, получая при этом приближенные решения задачи. Конечная система дифференциальных уравнений имеет в математике точное решение, но при большом порядке системы уравнений это чрезвычайно трудоемкий процесс. Более удобным является случай, когда система дифференциальных уравнений распадается на систему независимых дифференциальных уравнений для каждой функции X m (ξ ) . Это возможно, когда система функций Ym (η ) решения (6.4.1) оказывается ортогональной к дифференциальным операторам функционального уравнения (6.4.3). Иными словами необходимо построить систему ортогональных функций, которая будет одновременно ортогональна к системе вторых и четвертых производных этой системы, т.е. чтобы ~ Aymn = B ymn = C ymn = C ymn = 0 при m ≠ n. (6.4.6) Тогда получаем систему независимых дифференциальных уравнений 4-го порядка обыкновенных X mIV (ξ ) + 2λ2 Bm X m′′ (ξ ) + λ4 C m X m (ξ ) = Em , (6.4.7) где Bm = B ym m Aym m ; Cm = C ym m Aym m Em = ; qm . Aym m Условия (6.4.7) выполняются обычно для систем тригонометрических функций. Для прямоугольных пластин, опертых по контуру, можно использовать системы динамических балочных функций (функций формы колебаний балок). Правда, B ymn при m ≠ n для динамических балочных коэффициент функций для балок, имеющих опирание на обоих концах, не равен нулю, но их значения малы по сравнению со значениями диагональных коэффициентов при m = n (свойство квазиортогональности) и ими обычно пренебрегают. Характеристическое уравнение дифференциального уравнения (6.4.7) rm4 + 2λ4 Bm rm2 + λ4 C m = 0 . (6.4.8) Как показали практические расчеты, это уравнение имеет два типа корней: четыре комплексно-сопряженных корня (общий случай) 1) rm ,1−4 = ± (α m ± iβ m ) , (6.4.9) где i - мнимая единица, а α и β определяются формулами αm = λ 2) C m − Bm 2 ; βm = λ C m + Bm 2 . (6.4.10) два кратных, чисто мнимых корня (при использовании тригонометрических функций). Во втором случае решение получается при шарнирном опирании продольных сторон пластинки, и решение Канторовича−Власова совпадает с решением Леви. Остановимся на общем случае характеристических корней. В этом случае общее решение дифференциального уравнения (6.4.7) имеет вид 4 X m (ξ ) = ∑ Ami Φ im (α m , β m ,ξ ) + X m 0 (ξ ) , (6.4.11) i =1 где Φ im (α m , β m ,ξ ) - независимые частные решения однородного дифференциального уравнения (6.4.7); X m 0 (ξ ) - частное решение неоднородного дифференциального уравнения; Ami константы интегрирования, определяемые из условий опирания пластинки на поперечных краях пластинки ξ = 0, ξ = 1 (х = 0, х = а). 6.5. Метод Бубнова−Галеркина в задачах изгиба пластинок. В основу решения задач изгиба пластин методом Бубнова−Галеркина положено функциональное уравнение (6.2.7), полученное при доказательстве принципа Лагранжа. Решение принимается в виде двойного ряда w(ξ ,η ) = q0 a 4 D ∞ ∞ ∑ ∑ Amn wmn (ξ ,η ) , (6.5.1) m =1n =1 ξ, η - безразмерные координаты (см. формулы (6.3.2)); где а - характерный размер пластинки в плане; q0 - произвольное значение нагрузки; w(ξ,η) – функция, удовлетворяющая всем граничным условиям опирания пластинки; Аm,n - неизвестные коэффициенты. Функциональное уравнение (6.2.7) при переходе к безразмерным координатам имеет вид ⎡~ 4 q(ξ ,ξ )a 4 ⎤ ∇ w − ⎥ ⋅ wkl (ξ ,η ) dA = 0 , k, l = 1, 2, 3,… (6.5.2) ∫∫ ⎢ D A ⎣ ⎦ 4 ∂ .. ∂ 4 .. ∂ 4 .. ~ ∇ 4 .. = 4 + 2λ2 2 2 + 4 Здесь - бигармонический ∂ξ ∂ξ ∂η ∂ξ оператор в безразмерных прямоугольных координатах. Контурный интеграл отбрасывается, так как при выполнении всех граничных условий опирания пластинки он удовлетворяется тождественно. Подставляя в уравнение (6.5.2) решение (6.5.1) и интегрируя, получаем систему алгебраических уравнений ∞ ∑ Bklmn Amn = qkl , k, l = 1, 2, 3,… (6.5.3) m =1 где 4 ⎡ ∂ 4 wmn (ξ ,η ) ∂ 4 wmn (ξ ,η ) ⎤ 2 ∂ wmn (ξ ,η ) Bklmn = ∫∫ ⎢ 2 λ + + ⎥ ⋅ wkl (ξ ,η ) dξ dη ; ∂ξ 4 ∂ξ 2 ∂η 2 ∂ξ 4 A⎣ ⎦ q(ξ ,η ) wkl (ξ ,η ) d ξ dη . qkl = ∫∫ q0 A Для прямоугольной пластинки функция w(ξ,η) обычно принимается в виде произведения функций независимых аргументов w(ξ,η) = Хm(ξ)⋅Yn(η). Тогда коэффициенты системы алгебраических уравнений можно определять по формуле ~ ~ Bklmn = C xmk ⋅ Aynl + 2λBxmk B ynl + λ4 Axmk C ynl ; (6.5.4) 1 где 1 Axmk = ∫ X m ( x ) ⋅ X k ( x ) dx ; Bxmk = ∫ X m′′ ( x ) ⋅ X k ( x )dx ; 0 0 1 1 0 0 ~ C xmk = ∫ X mIV ( x ) ⋅ X k ( x )dx = ∫ X m′′ ( x ) ⋅ X k′′ ( x )dx = C xmk ; Коэффициенты с нижним индексом у получаются, соответствующей заменой функции Х(ξ) на функцию Y(η). Решая систему алгебраических уравнений (6.5.3), определяем коэффициенты Аmn. 6.6. Пример расчета пластинки на изгиб. Задача. Провести расчет прямоугольной пластинки методами Ритца−Тимошенко и Канторовича–Власова на равномерно распределенную нагрузку q0 в первом приближении при a различных соотношениях сторон λ = , правый поперечный край b пластинки (х = 0) жестко защемлен, остальные шарнирно оперты (рис.6.4). Коэффициент Пуассона принять ν = 0,3. Замечание. При решении задачи в первом приближении (с одним членом ряда) необходимо удовлетворять всем граничным условиям. Поэтому для аппроксимации прогиба будем использовать статические балочные функции. Так как два противоположных края пластинки шарнирно оперты, то эту задачу можно решать методом Леви, получая точное решение при использовании достаточного числа членов ряда. Не рассматривая здесь это решение, будем использовать его для оценки точности решения. Решение. В соответствии с граничными условиями опирания пластинки на левом поперечном шарнирно опертом крае ( ξ = 0 ) ∂ 2 w(0,η ) , на правом жестко ∂ξ 2 ∂w(1,η ) = 0. защемленном крае ( ξ = 1 ) w(1,η ) = 0 , ∂ξ а − расчет методом Ритца−Тимошенко. имеем w(0,η ) = 0 , M x (0 ,η ) = 0 → Граничные условия соответствуют условиям опирания балкиполоски, вырезанной из пластинки в поперечном направлении: X (0) = 0 , X ′′(0) = 0 , X (1) = 0 , X ′(1) = 0 . Балочную функцию в продольном направлении принимаем в виде: X (ξ ) = ξ − 3ξ 3 + 2ξ 4 = ξ (1 − ξ ) (1 + 2ξ ) ; X ′′(ξ ) = −6ξ (3 − 4ξ ) ; 2 ( ) X ′(ξ ) = 1 − 9ξ 2 + 8ξ 3 = (1 − ξ ) 1 + ξ − 8ξ 2 ; X ′′′(ξ ) = −6 (3 − 8ξ ) . (6.6.1) Соответственно на продольных краях имеем граничные условия опирания балки-полоски: Y (0) = 0 , Y ′′(0 ) = 0 , Y (1) = 0 Y ′′(1) = 0 , которым соответствует балочная функция: Y (η ) = η − 2η 3 + η 4 = η (1 − η )[1 + η (1 − η )] ; Y ′′(η ) = −12η (1 − η ) ; Y ′(η ) = 1 − 6η 2 + 4η 3 ; Y ′′′(η ) = −12(1 − 2η ) . (6.6.2) Легко убедиться, что все граничные условия опирания пластинки выполняются. В первом приближении решение методом Ритца−Тимошенко ищем в виде w(ξ ,η ) = q0 a 4 A ⋅ X (ξ ) ⋅ Y (η ) . D (6.6.3) Числовые индексы в первом приближении опускаем. Коэффициент А определяется из уравнения q1 , (6.6.4) B где В – коэффициент, определяемый в соответствии с формулами (6.3.9), (6.3.11) при m = n = k = l =1: A= B ⋅ A = q1 ; B = C x Ay + 2λ2 Bx B y + λ4 Ax C y ; 1 При q1 = q x ⋅ q y . q x = ∫ X (ξ )dξ ; q = q0 = const ; 0 (6.6.5) 1 q y = ∫ Y (η )dη . 0 В соответствии с формулами (6.5.4) вычисляем коэффициенты, используя для вычисления интегралов формулы из табл. П.4 приложения 2. 1 1 Ax = ∫ X 2 (ξ )dξ = ∫ ξ 2 (1 − ξ ) (1 + 2ξ ) dξ = 0 4 2 0 1 1 0 0 ( 2!⋅4! 3!4! 4!4! 19 +4 +4 = ; 7! 8! 9! 630 ) Bx = ∫ X ′′(ξ ) X (ξ )dξ = −6∫ ξ 2 (1 − ξ ) 3 + 2ξ − 8ξ 2 dξ = 2 3!2! 4!2!⎞ 12 ⎛ 2!⋅2! = −6 ⋅ ⎜ 3 +2 −8 ⎟=− ; 6! 7! ⎠ 35 ⎝ 5! 1 1 ⎛ 9 24 16 ⎞ 36 2 C x = ∫ X ′′ 2 (ξ )dξ = 36 ∫ ξ 2 (3 − 4ξ ) dξ = 36 ⋅ ⎜ − + ⎟= ; 5⎠ 5 ⎝3 4 0 0 1 1 0 0 q x = ∫ X (ξ )dξ = ∫ ξ (1 − ξ ) (1 + 2ξ )dξ = 2 1 1 0 0 2!2! 3 2! +2 = ; 5! 20 4! [ ] Ay = ∫ Y 2 (η )dη = ∫η 2 (1 − η ) 1 + 2η (1 − η ) + η 2 (1 − η ) dη = 2 2 = 1 1 0 0 2!⋅4! 3!3! 4!4! 31 +2 +4 = ; 5! 7! 9! 630 B y = ∫ Y ′′(η )Y (η )d = −12 ∫ η 2 (1 − η ) [1 + η (1 − η )]dξ = 2 17 ⎛ 2!⋅2! 3!3!⎞ = −12⎜ + ⎟=− ; 7! ⎠ 35 ⎝ 5! 1 1 C y = ∫ Y ′′ 2 (η )dη = 144 ∫η 2 (1 − η ) dη = 144 ⋅ 0 2 0 1 1 0 0 q y = ∫ Y (η )dη = ∫η (1 − η )[1 + η (1 − η )]dη = q1 = 3 1 ⋅ = 0,03 ; 20 5 B= 2!2! 24 = ; 5! 5 1 2!2! 1 + = ; 3! 5! 5 36 31 12 17 19 24 ⋅ + λ2 ⋅ 2 ⋅ ⋅ + λ4 ⋅ = 5 630 35 35 630 5 = 0 ,3343 + 0 ,3331λ 2 + 0,1448λ 4 . Значения коэффициентов В, А для различных отношений сторон λ приведены в табл. 6.1 Таблица 6.1 λ= a b 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 В 04266 0,8122 1,817 3,984 8,072 А 0,07032 0,03694 0,01651 0,007531 0,003716 При вычисленных значениях коэффициента А, прогибы в пластинке определяются по формуле (6.6.4), а внутренние усилия с учетом перехода к безразмерным координатам − по формулам: [ ] M (ξ ,η ) = − q a ⋅ A ⋅ [ν ⋅ X ′′(ξ ) ⋅ Y (η ) + λ X (ξ ) ⋅ Y ′′(η )] ; Q (ξ ,η ) = − q a ⋅ A ⋅ [X ′′′(ξ ) ⋅ Y (η ) + λ X ′(ξ ) ⋅ Y ′′(η )] ; Q (ξ ,η ) = − q a ⋅ A ⋅ [X ′′(ξ ) ⋅ Y ′(η ) + λ X (ξ ) ⋅ Y ′′′(η )]. M x (ξ ,η ) = − q0 a 2 ⋅ A ⋅ X ′′(ξ ) ⋅ Y (η ) + νλ2 X (ξ ) ⋅ Y ′′(η ) ; y 0 x 0 y 0 2 2 2 (6.6.6) 2 б − решение методом Канторовича−Власова. Решение в первом приближении ищем в виде w(ξ ,η ) = q0 a 4 X (ξ ) ⋅ Y (η ) . D (6.6.7) Функцию формы прогиба в поперечном направлении пластинки Y(η) принимаем в виде статической балочной функции по формуле (6.6.2). Интегрируя функциональное уравнение (6.4.3), получаем дифференциальное уравнение для функции формы прогиба в продольном направлении пластинки X mIV (ξ ) + 2λ2 B ⋅ X m′′ (ξ ) + λ4 CX m (ξ ) = E , где B= E= By Ay =− 17 630 ⋅ = 9 ,871 ; 35 31 C= Cy Ay = (6.6.8) 24 630 ⋅ = 97 ,55 ; 5 31 qy 1 630 =− ⋅ = 4,065 . 5 31 Ay Здесь значения Ay , By , C y , qy взяты из вычислений соответствующих коэффициентов в методе Рица−Тимошенко, так в обоих вариантах принята одинаковая функция прогибов в поперечном направлении пластинки. Составляем характеристическое уравнение дифференциального уравнения (6.6.8) и определяем его корни r 4 + 2λ 2 B ⋅ r 2 + λ 4 C ⋅ r 4 = 0 , r1−4 ± (α ± i ⋅ β ) , (6.6.9) где α = λ C −B =λ 2 97 ,55 + 9,871 = 3,142 ⋅ λ ; 2 β =λ C +B =λ 2 97 ,55 − 9 ,871 = 0 ,05357 ⋅ λ . 2 Так как корни характеристического уравнения комплексные, то решение дифференциального уравнения (6.6.8) ищем в виде ⎤ ⎡4 X (ξ ) = X 0 ⎢∑ AiΦ i (ξ ) + 1⎥ , ⎦ ⎣ i =1 (6.6.10) где Φ 1 (ξ ) = chαξ ⋅ cos βξ ; Φ 2 (ξ ) = shαξ ⋅ sin βξ ; Φ1 (ξ ) = shαξ ⋅ cos βξ ; Φ 4 (ξ ) = chαξ ⋅ sin βξ ; E частное решение неоднородного λ4 C дифференциального уравнения (6.6.8); Аi – коэффициенты, определяемые при удовлетворении условий опирания поперечных краев пластинки. Для удобства дифференцирования гиперболо-тригонометриΦ (ξ ) и матрицу ческих функций введем вектор-функцию дифференцирования [B ] по формулам: X0 = ⎧Φ1 (ξ ) ⎫ ⎪ ( )⎪ ⎪Φ 2 ξ ⎪ Φ (ξ ) = ⎨ ⎬; ⎪Φ 3 (ξ )⎪ ⎪⎩Φ 4 (ξ )⎪⎭ ⎧0 ⎪0 [B ] = ⎪⎨ ⎪α ⎪⎩ β Дифференцируя вектор-функцию получим 0 0 α β −β 0 0 α Φ (ξ ) −β⎫ α ⎪⎪ ⎬. 0 ⎪ 0 ⎪⎭ (6.6.11) по аргументу ξ, ⎧Φ1′ (ξ ) ⎫ ⎧α ⋅ Φ 3 (ξ ) − β ⋅ Φ 4 (ξ )⎫ ⎪ ⎪Φ ′ (ξ )⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ β ⋅ Φ 3 (ξ ) + α ⋅ Φ 4 (ξ )⎪ Φ ′(ξ ) = ⎨ = ⎬ ⎨ ⎬ = [B ] ⋅ Φ (ξ ) . ′ ( ) Φ ξ ( ) ( ) ⋅ Φ − ⋅ Φ α ξ β ξ 3 1 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩Φ ′4 (ξ )⎪⎭ ⎪ β ⋅ Φ (ξ ) + α ⋅ Φ (ξ ) ⎪ 1 2 ⎩ ⎭ (6.6.12) Φ (ξ ) Таким образом, производная вектор-функции определяется умножением матрицы [B ] на исходную векторфункцию. Так как компонентами матрицы [B ] являются константы, то при последующем дифференцировании получим Φ (k ) (ξ ) = [B ] Φ (ξ ) . k Вычисление степеней матрицы могут быть двух типов: 0 ⎧0 ⎪0 0 [B ]k = ⎪⎨ ⎪α k − β k ⎪⎩ β k α k k = 1, 3, 5,... αk βk 0 0 − βk ⎫ α k ⎪⎪ ⎬; 0 ⎪ 0 ⎪⎭ (6.6.13) [B] показывает, что они 0 ⎧0 ⎪0 0 [B ]k = ⎪⎨ ⎪α k − β k ⎪⎩ β k α k k = 2 , 4, 6,... αk βk 0 0 − βk ⎫ α k ⎪⎪ ⎬; 0 ⎪ 0 ⎪⎭ (6.6.14) Коэффициенты αk, βk определяются либо непосредственным перемножением матрицы [B ] , либо по формулам: α k = Re(α + i ⋅ β )k ; β k = Im(α + i ⋅ β )k , (6.6.15) где Re , Im - действительная и мнимая части комплексного числа. Выполняя необходимые вычисления, получим: α2 = α 2 − β 2 ; β 2 = 2αβ ; α 3 = α 3 − 3αβ 2 ; β 3 = 3α 2 β − β 3 . Замечая, что при ξ = 0 - Φ ∗ (0 ) = {1, 0 , 0, 0 } (здесь операция транспонирования вектора или матрицы), получим, удовлетворяя условиям опирания пластинки на поперечных краях ( X (0 ) = X ′′(0 ) = 0 , X (1) = X ′(1) = 0 ), систему четырех алгебраических уравнений * 0 0 0 ⎞ ⎛ A1 ⎞ ⎛ − 1⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 ⎟ ⎜ A2 ⎟ ⎜ 0 ⎟ β2 ⎜ α2 ⎜ Φ (1) Φ (1) Φ (1) Φ (1)⎟ ⋅ ⎜ A ⎟ = ⎜ − 1⎟ . 2 2 2 ⎜ 1 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Φ ′ (1) Φ′ (1) Φ′ (1) Φ ′ (1)⎟ ⎜ A ⎟ ⎜ 0 ⎟ 1 3 4 ⎝ 1 ⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ ⎠ (6.6.16) Из первых двух уравнений (6.6.16) получим: А1 = −1; A2 = α2 . β2 Для коэффициентов А3, А4 получаем систему двух уравнений α ⎛ ⎞ ⎜ Φ1 (1) − 2 Φ 2 (1) − 1⎟ β2 ⎛ Φ 3 (1) Φ 4 (1)⎞ ⎛ A3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ ⎟. ′ ′ ( ) ( ) 1 1 Φ Φ A α 4 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎜ Φ ′ (1) − 2 Φ ′ (1) ⎟ 2 ⎜ 2 ⎟ β2 ⎝ ⎠ Полученную систему двух уравнений целесообразно решать численно, предварительно вычислив значения функций Φ i (1) и их производных. Например, при λ = 1 Φ 1 (1) = chα ⋅ sin β = ch (3,142 ) ⋅ sin (0,05357 ) = 11,6 ⋅ 0.05354 = 0,6211 . После вычисления коэффициентов Аi, прогибы определяются по формуле (6.6.7), а внутренние усилия по формуле (6.6.6) при А = 1. Ниже в табл. 6.2, 6.3, 6.4, 6.5 приведены результаты расчетов пластин методом Ритца−Тимошенко и Канторовича–Власова при различных отношениях сторон - прогибов и изгибающих моментов в центре пластинки и изгибающего момента в середине защемленной стороны. В таблицах приведены расчетные ~ ~ и M x . Истинные значения величин коэффициенты w определяются по формулам: w= qc 4 −2 ~ ~ ~ 10 ⋅ w ; M x = 10qc 2 ⋅ M x ; M y = 10qc 2 ⋅ M y ; c = min(a ,b ) . D Прогибы в центре пластинки w(a / 2 , b / 2) Таблица 6.2 a b 0,5 ~ w метод Р.−Т. 0,525 метод К.−В. 0,525 λ= точн. реш. δ w ~ 1,0 % 7 1,5 δ % ~ w 2,0 δ % ~ w 2,5 δ ~ w % δ % 0,7 0,646 0,94 0,938 086 1,133 2,8 0,7 0,647 1,1 0,930 0 1,102 0 - 0,640 - 0,930 - 1,102 0 0,282 7 0,282 0,490 0,280 Изгибающий момент в центре пластинки M x (a / 2 , b / 2 ) Таблица 6.3 λ= a b 0,5 δ ~ Mx % метод Р.−Т. 0,667 11 метод К.−В. 0,660 10 точн. реш. 1,0 ~ Mx δ % 1,5 ~ Mx δ % 2,0 ~ Mx 2,5 δ % Mx δ % 7,4 0,531 12,8 0,551 17,2 0,543 23,7 3,1 0,483 0,6 0,472 0,4 0,441 0,46 - 0,480 - 0,470 - 0,439 0 0,419 0,402 - 0,390 0,600 Изгибающий момент в центре пластинки M y (a / 2, b / 2) Таблица 6.4 λ= a b метод Р.−Т. 0,5 δ ~ My % 1,0 δ ~ My % 0,315 37 9,4 0,372 1,5 δ ~ My % 0,724 4,9 2,0 δ ~ My % 0,984 4,7 2,5 δ ~ My % 1,151 6,7 метод К.−В. точн. реш. 0,313 36 7,9 0,710 2,9 0,953 1,4 1,094 0,6 - 0,690 - 0,940 - 1,088 0 0,367 0,230 0,340 Изгибающий момент в середине защемленной стороны пластинки M x (a ,b / 2 ) Таблица 6.5 ~ My -0,126 -0,676 -0,135 -0,876 -0,122 -0,840 В таблицах введены обозначения - метод Р.−Т. - метод Ритца−Тимошенко, К.-В. - метод Канторовича –Власова; w − wТ .Р . δ = П .Р . 100% - относительная невязка приближенного wТ .Р . решения - wП .Р . . В качестве точного решения - wТ .Р . взяты данные из кн.: С.П. Тимошенко, Войновский-Кригер С. «Пластинки и оболочки» [1]. Аналогичные результаты получаются при расчете данной пластинки методом Леви с тремя-четырьмя членами ряда. Как видно из приведенных результатов, при расчете прогиба в центре пластинки оба метода дают удовлетворительные результаты, особенно для квадратной и вытянутой в продольном направлении (шарнирно опертые стороны пластинки больше или равны поперечным сторонам) пластинки. При расчете изгибающих моментов метод Ритца−Тимошенко в первом приближении дает неудовлетворительные результаты для продольных и опорных моментов. Минимальная невязка для продольных моментов составляет 7,4% и увеличивается до 25% для длинных пластинок Это связано с тем, что в первом приближении кривая прогиба аппроксимируется параболой четвертого порядка с максимальной кривизной в средней части, в то время как для длинных пластин средняя часть в продольном направлении выполаживается, т.е. кривизна в средней части снижается. Поэтому решение в первом приближении дает завышенные значения продольного изгибающего момента. Особенно плохую точность метод Ритца−Тимошенко дает для изгибающих моментов в защемлении, невязка которых достигает для удлиненных пластин 65%. Причем расчет методом Ритца−Тимошенко дает заниженные значения момента в защемлении. Более удовлетворительные результаты получаются для поперечного изгибающего момента для удлиненных пластин λ ≥ 1,5, когда влияние защемления перестает сказываться на характере изгиба пластинки в поперечном направлении. Метод Канторовича−Власова дает удовлетворительные результаты расчета изгибающих моментов удлиненных пластин. Для квадратной пластинки невязка поперечного изгибающего момента достигает 7,9%, продольного – 3,1%, момента в защемлении - 4,%. При удлинении пластинки невязка снижается. Большая точность метода Канторовича−Власова по сравнению с методом Ритца−Тимошенко объясняется тем, что решение дифференциального уравнения функции прогиба в продольном направлении (по направлению длинной стороны пластинки) более точно отражает характер изгиба пластинки, чем статическая балочная функция. Для укороченных пластин оба метода дают неудовлетворительные результаты в первом приближении. Для метода Ритца−Тимошенко оба направления равнозначны. Поэтому наилучшие результаты этот метод дает в первом приближении для квадратной пластинки. При этом нужно учесть, что защемление любого края пластинки приводит как бы к укорочению длины пластинки в направлении, перпендикулярно защемленной стороне (примерно на 20-30%). При расчете пластинки методом Канторовича−Власова целесообразно выбирать решение в таком виде, чтобы в направлении короткой стороны пластинки функция прогиба задавалась, а в направлении длинной - определялась из решения дифференциального уравнения. Из приведенных расчетов видно, что в первом приближении целесообразно проводить расчеты методом Канторовича-Власова. Метод Ритца−Тимошенко в первом приближении можно использовать лишь для приближенной оценки напряженнодеформиро-ванного состояния квадратных и близких к квадратным пластин. С исследованиями сходимости результатов расчета методом Ритца−Тимошенко при расчете пластин с несколькими членами ряда можно ознакомиться, например, в пособии [28], при расчете балок в пособии [29]. Методы построения динамических балочных функций (функций формы колебаний балки) и методы вычисления квадратур (интегралов от произведения производных) рассматриваются в работе [30]. функций и их Библиографический список 1. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. – М.: Наука, 1975. – 576 с. 2. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. − М.: Наука, 1966. − 636 с. 3. Тимошенко С.П., Колебания в инженерном деле. – М.: Физматиздат, 1959. – 440 с. 4. Лурье А.И. Теория упругости. – М.: Наука, 1970. – 940 с. 5. Лейбензон Л.С. Собрание трудов. Т.1. «Теория упругости». – М.: Изд-во АН СССР, 1951. – 468 с. 6. Лейбензон Л.С. Вариационные методы решения задач теории упругости. − М., Л.: ОГИЗ, 1943. 7. Безухов Н.И., Лужин О.В. Приложение теории упругости и пластичности к решению инженерных задач. – М.: Высшая школа, 1974. – 200 с. 8. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. – М.: Изд-во МГУ, 1981. – 344 с. 9. Розин Л.А. Задачи теории упругости и численные методы их решения. – СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1998. − 532 с. 10. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. – М.: Наука, 1978. – 288 с. 11. Пратусевич Я.А. Вариационные методы в строительной механике. – М.: ОГИЗ, 1948. – 400 с. 12. Розин Л.А. Вариационные постановки задач для упругих систем. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1978. – 244 с. 13. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. – М.: Мир, 1987. – 542 с. 14. Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. – М.: Стройиздат, 1977. – 160 с. 15. Варвак П.М., Бузун И.М. и др. Метод конечных элементов. – Киев: «Вища школа», 1981. – 176 с. 16. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. – М.: «Мир», 1975. − 542 с. 17. Хечумов Р.А., Кепплер Х., Прокофьев В.И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. − М.: Изд-во АСВ, 1994. – 352 с. 18. Верюжский Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики. – Киев: «Вища школа», 1978. – 184 с. 19. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. − М.: «Мир», 1984. – 494 с. 20. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. − М.: Наука, 1965. – 424 с. 21. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. – М.: Физматиздат, 1961. – 288 с. 22. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. IV. Ч. 1 − М.: Физматиздат, 1974. – 336 с. 23. Карташев А.П., Рожденственский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. – М.: Физматиздат, 1976. – 256 с. 24. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. –М.: «Мир», 1985. –636 с. 25. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М., Л.: ГИТТЛ, 1952. –696 с. 26. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Наука, 1977. – 456 с. 27. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1974. – 296 с. 28. Иванов В.Н. Расчет пластинок вариационным методом Ритца−Тимошенко. – М.: Изд-во РУДН, 1992. − 36 с. 29. Иванов В.Н. Расчет балок вариационным методом Ритца−Тимошенко. Методические указания к выполнению курсовой работы по курсу «Численные методы расчета конструкций. – М.: Изд-во РУДН, 1997. − 50 с. 30. Иванов В.Н. Динамические функции и вычисление их квадратур//Строительная механика и расчет сооружений. Вып.9. – М.: Изд-во АСВ, 2000. – С. 14-24. Приложения 1. Математические формулы Тригонометрические функции и интегралы sin(α ± β ) = sinα cos β ± cosα sin β ; cos(α ± β ) = cos α cos β m sinα sin β ; sinα cos β = cos sin β = 1 [sin(α + β ) + sin(α − β )] ; 2 sin 2α = 2 sin α cos α ; 1 [sin(α + β ) − sin(α − β )] ; 2 cos 2α = cos 2 α − sin 2 α ; α sinα sin β = 1 [cos(α − β ) − cos(α + β )] ; 2 sin 2 cos α cos β = 1 [cos(α − β ) = cos(α + β )] ; 2 cos 2 cos mπ = (− 1) , m sin(2m ± 1) π 2 = ± (− 1) , m ⎧2 1 , m = 1, 3, 5,... ⎪ πξ ξ ; sin m d = ⎨π m ∫ 0 ⎪⎩0, m = 2 , 4, 6,... 1 1 ∫ sin 0 2m ± 1 2 1 ; πξ dξ = 2 π 2m ± 1 2 = α 2 1 (1 − cos 2α ) ; 2 = 1 (1 + cos 2α ) ; 2 m = 1, 2, 3,... 1 ∫ cos mπξdξ = 0 ; 0 1 ∫ cos 0 2m ± 1 2 (− 1) ; πξ dξ = 2 π 2m ± 1 m ⎧1 1 ⎪ ,m = n ; ∫ sin mπξ sin nπξ dξ = ∫ cos mπξ cos nπξ dξ = 2 δ mn ; δ mn = ⎨ 2 0 0 ⎪⎩0 , m ≠ n 1 1 1 ∫ sin 0 1 2m ± 1 2n ± 1 2m ± 1 2n ± 1 1 πξ sin πξ dξ = ∫ cos πξ cos πξ dξ = δ mn 2 2 2 2 2 0 ; m ⎧2 , m + n = 1,3,5,... ⎪ 2 ; ∫ sin mπξ cos nπξ dξ = ⎨π m − n 2 0 ⎪0, m + n = 2,4 ,6,... ⎩ 1 ⎧ 1 ⎪⎪ m − n , m + n = 1,3,5,... 2m ± 1 2n ± 1 ; ∫ sin 2 πξ cos 2 πξ dξ = ⎨ 1 0 ⎪ , m + n = 2,4 ,6 ,... ⎪⎩ m + n ± 1 1 1 ∫ sin kπξ sin mπξ sin nπξ dξ = 0 = 11 1 sin kπξ [cos(m − n )πξ − cos(m + n )πξ ] dξ = − ψ (k , m , n ) ; ∫ π 20 4kmn ⎧ ⎪ ψ (k , m , n ) = ⎨ (m − n ) − k 2 (m + n ) − k 2 ⎪ ⎩0 , [ ][ ] , k + m + n = 1,3,5,... k + m + n = 2,4 ,6 ,... ; 1 ∫ sin kπξ cos mπξ cos nπξ dξ = 0 = 11 1 sin kπξ [cos(m − n )πξ + cos(m + n )πξ ] dξ = Ψ (k , m , n ) ; ∫ π 20 ( ) ⎧ 2k k 2 − m 2 − n 2 ⎪ Ψ (k , m , n ) = ⎨ (m − n ) − k 2 (m + n ) − k 2 ⎪ ⎩0, [ ][ ] , k + m + n = 1,3,5,... ; k + m + n = 2,4,6,... 1 ∫ sin kπξ cos mπξ cos nπξ dξ = 0 = 11 1 ∫ sin kπξ [cos(m − n )πξ + cos(m + n )πξ ] dξ = π Ψ (m , k , n ) ; 20 1 ∫ sin kπξssimπξ cos nπξ dξ = 0 = 11 ∫ sin kπξ [cos(m + n )πξ + cos(m − n )πξ ] dξ = 20 = 1 ⎧⎪(δ k ,m+ n + δ k ,m−n ), m > n⎫ ⎨ ⎬, k > 0 ; 2 ⎪⎩(δ k ,m+ n − δ k ,n−m ), n > m ⎭ 1 ∫ cos kπξ cos mπξ cos nπξ dξ = 0 ( ) 11 1 cos kπξ [cos(m + n )πξ + cos(m − n )πξ ]dξ = δ k ,m + n + δ k , m − n , ∫ 20 2 k >0; 1 2m ± 1 2n ± 1 ∫ sin kπξ sin 2 πξ cos 2 πξ dξ = 0 = = 11 ∫ sin kπξ [cos(m − n )πξ − cos(m + n ± 1)πξ ]dξ = 20 k ⎧ , k + m + n = 1,3,5,... ⎪ 2 2 2 ⎪ (m − n ) − k . =− ⎨ k π⎪ , k + m + n = 2,4 ,6 ,... ⎪⎩ (m + n − 1)2 − k 2 2. СИСТЕМЫ БАЛОЧНЫХ ФУНКЦИЙ Обозначения Ym (ξ ) - функция, удовлетворяющая условиям опирания балки; 1 amn = ∫ Ym (ξ )Yn (ξ )dξ ; 0 1 ′ = ∫ Ym′ (ξ )Yn′ (ξ )dξ ; bmn 0 1 bmn = ∫ Ym′′ (ξ )Yn (ξ )dξ ; 0 1 cmn = ∫ Ym′′ (ξ )Yn′′(ξ )dξ ; 0 1 c′mn = ∫ YmIV (ξ )Yn (ξ )dξ ; 0 1 emn = ∫ Yn (ξ )dξ ; 0 ′ + Ym′ (ξ )Yn (ξ ) 0 = bnm + [Ym′ (ξ )Yn (ξ ) − Ym (ξ )Yn′ (ξ )]0 ; bmn = −bmn 1 1 ′ + [Ym′′ (ξ )Yn′ (ξ ) − Ym′′′(ξ )Yn (ξ )]0 ; cmn = cnm 1 При удовлетворении всех граничных условий опирания балки cmn = c′nm . А. Тригонометрические балочные функции Тип нагрузки: П – произвольная; С – симметричная; Ас - асимметричнаяю Таблица П. 1 № 1 2 Ym (ξ ) Тип нагрузки sin mπξ П sin(2m − 1)πξ С sin 2mπξ Ас Схема балки cos(m − 1)πξ − cos(m + 1)πξ П 1) cos 2(m − 1)πξ − cos 2mπξ ; 2) 1− cos 2mπξ ; С cos(2m − 1) πξ − cos(2m + 1)πξ Ас ( ) π 3 sin ξ − − 1m sin 2 4 con ξ − cos 2 5 1 − cos 6 1 + − 1m sin π ( ) 2m + 1 πξ 2 2m + 1 πξ 2 2m − 1 πξ 2 2m − 1 πξ 2 П П П П Тригонометрические балочные функции удовлетворяют кинематическим условиям опирания балки, но могут не удовлетворять части статических граничных условий. В этом случае они используются при решении задач методом Ритца−Тимошенко. Б. Статические балочные функции Статические балочные функции – функции прогиба. Статические балочные функции определяются из общего интеграла дифференциального уравнения прогиба балки Y IV (ξ ) = q , EJ (П.Б.1) общее решение которого при q = q0 = const ( формулой ( q0 = 1 ) определяется EJ ) Y (ξ ) = G c0 + c1ξ + c2ξ 2 + c3ξ 3 + ξ 4 . (П.Б.2) Константы интегрирования сi определяются из условий опирания балки; G – константа, назначаемая для придания функции наиболее простого вида. При использовании статических балочных функций в первом приближении (с одним членом ряда) интеграл дифференциального уравнения изгиба балки должен учитывать характер нагрузки. При линейно-распределенной нагрузке q = q0ξ интеграл определяется формулой ( ) Y (ξ ) = G c0 + c1ξ + c2ξ 2 + c3ξ 3 + ξ 5 . (П.Б.3) Балочные статические функции и их производные для стандартных условий опирания балок приведены в табл. П.2 и П.3. При вычислении квадратур (П.1) статических балочных функций удобно пользоваться формулой интеграла от произведения бинома на степенную функцию 1 n m ∫ (1 − ξ ) ξ dξ = 0 = 1 1 1 (1 − ξ )n ξ m+1 + n ∫ (1 − ξ )n−1ξ m+1dξ = .... = m +1 m +10 0 1 ⎤ ⎡ n ⋅ (n − 1)....3 ⋅ 2 m + n −1 1 + ∫ ξ m + n +1 dξ ⎥ = ⎢(1 − ξ )ξ 0 (m + 1) ⋅ (m + 2) ⋅ ...(m + n ) ⎣ 0 ⎦ = n ⋅ (n − 1)....3 ⋅ 2 ⋅ 1 m!n! 1 ξ0= . (m + n + 1)! (m + 1) ⋅ (m + 2) ⋅ ...(m + n ) (П..Б.4) В. Динамические балочные функции (функции формы колебаний балки) Динамические балочные функции отвечают дифференциальному уравнению формы колебаний балки, получаемому при решении методом разделения переменных (метод Фурье) дифференциального уравнения колебаний балки [3] - дифференциального уравнения в частных производных. Функция прогибов ищется в виде y (ξ ) = Y (ξ ) ⋅ sin ω t . При этом получаем дифференциальное уравнение формы колебаний балки Y IV (ξ ) − γ 4Y (ξ ) = 0 . (П.В.1) ρl 4 x ω 2 ; ξ = ; l – длина балки; ρ - масса EJ z l единицы длины балки; ω - частота собственных колебаний балки. Решением дифференциального уравнения (В.1) являются функции формы колебаний балок – динамические балочные функции. Для представления решения уравнения (В.1) обычно используются функции Крылова: Здесь γ4 = F0 m (ξ ) = 1 (chγ mξ + cos γ mξ ) ; 2 F0 m (ξ ) = 1 (chγ mξ − cos γ mξ ) ; 2 F0 m (ξ ) = 1 (shγ mξ + sin γ mξ ) ; 2 F0 m (ξ ) = 1 (shγ mξ − sin γ mξ ) . 2 (П.В.2) Здесь γ m - собственные числа дифференциального уравнения (В.1), зависящие от условия опирания балки. Отметим некоторые свойства функций Крылова: F0 m (0) = 1 ; Fi m (0) = 0 , i = 1,2,3 (i ≠ 0); Fi (mk ) (ξ ) = γ mk ⋅ Fi −k + 4 p , m (ξ ) , 0 ≤ i − k + 4p ≤ 3 ; (П.В.3) 1 ∫ Fi , m (ξ )dξ = γ Fi +1−4 p , m (ξ ) + c , 0 ≤ i + 1 − 4 p ≤ 3 . m С учетом формул (В.3) решение дифференциального уравнения (В.1) при стандартных условиях опирания балок может быть записано в виде Ym (ξ ) = Fi m (ξ ) − C m ⋅ F j m (ξ ) . (П.В.4) Здесь i, j = 0, 1, 2, 3 подбираются так, чтобы решение (В.4) удовлетворяло условиям опирания балки на левой опоре (ξ = 0). Учитывая свойства (В.3) при граничных условиях Ym(k ) (0 ) = Ym(l ) (0 ) (k, l = 0, 1, 2, 3), получим i, j ≠ k, l. Коэффициент Сm подбирается из граничных условий опирания на правом конце балки. При этом для одновременного удовлетворения двух граничных условий получаем функциональное уравнение, из решения которого находим значения собственных чисел γ m . Формулы динамических балочных функций для различных условий опирания балок приведены в табл. П.4. Динамические балочные функции № Схема балки Граничные условия Таблица П. 4 Ym(γmξ) Сm F2 m (γ m ) F1m (γ m ) = F3m (γ m ) F2 m (γ m ) 1 Y(0) =Y ′(0), Y (1) =Y ′(1) 2 Y(0) =Y ′(0), Y (1) =Y ′′(1) 3 Y(0) =Y ′(0), Y ′′(1) =Y ′′′(1) F0 m (γ m ) F3m (γ m ) = F1m (γ m ) F0 m (γ m ) 4 Y(0 =Y ′′(0), Y(1)=Y ′(1) F1m (γ m ) F0 m (γ m ) = F3m (γ m ) F2 m (γ m ) 5 Y(0) = Y ′′(0), Y(1) = Y ′′(1) 6 Y(0)=Y ′′(0), Y′′(1) =Y ′′′(1) F2m(γmξ) CmF3m(γmξ) F1m(γmξ) CmF3m(γmξ) F2 m (γ m ) F0 m (γ m ) = F3m (γ m ) F1m (γ m ) F1m (γ m ) F3m (γ m ) = F3m (γ m ) F1m (γ m ) F3m (γ m ) F2 m (γ m ) = F1m (γ m ) F0 m (γ m ) Таблица П. 4 (продолжение) № Схема балки Граничные Ym(γmξ) условия 7 Y ′′(0) =Y ′′′(0), Y(1) =Y ′(1) 8 Y ′′(0) =Y ′′′(0), Y(1) =Y ′′(1) 9 Y ′′(0) =Y ′′′(0), Y′ ′(1) =Y ′′′(1) F0m(γmξ) CmF1m(γmξ) Сm F0 m (γ m ) F3m (γ m ) = F1m (γ m ) F0 m (γ m ) F0 m (γ m ) F2 m (γ m ) = F1m (γ m ) F3m (γ m ) F2 m (γ m ) F1m (γ m ) = F3m (γ m ) F2 m (γ m ) Функциональные уравнения и собственные числа динамических балочных функций Таблица П. 5 Схемы балок, в табл.П.4 1,9 2, 4, 6, 8 3, 7 5 Функциональное уравнение F1m (γ m ) ⋅ F3m (γ m ) = = F22m (γ m ) F1m(γ m)⋅F2m(γ m) = =F0m(γ m)⋅F3m(γ m) F02m (γ m ) = = F1m (γ m ) ⋅ F3m (γ m ) F1m(γ m) = F3m(γ m); Cm = 1 cos γ m 1 =− chγ m tg (γ m ) = th(γ m ) cos γ m 1 = chγ m sin γ m = 0 γm 4,73004; 7,85320; 10,99561; 1413717; γ m > 4 ≈ (m + 0,5)⋅π 3,92660; 7,06858; 10,21018; 13,35177; γ m > 4 ≈ (m + 0,25)⋅π 1,87510; 4,69409; 7,85476; 10,99554; γ m > 4 ≈ (m - 0,5)⋅π γ m = m ⋅π Функциональное уравнение получаем приведением соотношений для Сm к общему знаменателю, подстановкой в полученное выражение функций Крылова и упрощений с использованием свойств тригонометрических и гиперболических функций. Собственные числа являются корнями функционального уравнения. Корни трансцендентного функционального уравнения находятся путем подбора. В табл. П.5 приведены значения первых четырех собственных чисел функциональных уравнений с пятью значащими цифрами после запятой. Последующие значения собственных чисел (m > 4) могут быть определены с той же точностью по асимптотическим формулам? приведенным в табл. П. 5. Функции формы колебаний балки удовлетворяют свойствам ортогональности в интервале интегрирования (0, 1) 1 1 1 0 0 0 IV ∫ Ym (ξ ) ⋅ Yn (ξ )dξ = ∫ Ym′′ (ξ ) ⋅ Yn′′(ξ )dξ = ∫ Ym (ξ ) ⋅ Yn (ξ )dξ = 0 , m ≠ n. (П.В.5) Не обладают свойством ортогональности вторые производные балочных функций по отношению самих функций 1 ∫ Ym′′ (ξ ) ⋅ Yn (ξ )dξ ≠ 0 . 0 В то же время последний интеграл для балок, опертых по обjим концам, обладает свойством квазиортогональности 1 1 0 0 ∫ Ym′′ (ξ ) ⋅ Yn (ξ )dξ << ∫ Ym′′ (ξ ) ⋅ Ym (ξ )dξ . Интегралы от произведения балочных одноименных функций (m = n) и их производных вычисляются по формулам, полученным интегрированием по частям и предельным переходом [3, 28]: 1 d m = a mm = ∫ Ym2 (ξ )dξ = 0 [ ] ⎫ 1⎧ 2 1 2 ⎨Ym (0) + 4 Ym′′ (0 ) − 2Ym′ (0)Ym′′′(0 ) ⎬ ; 4⎩ γm ⎭ 1 1 0 0 ′ = ∫ YmIV (ξ ) ⋅ Yn (ξ )dξ = ∫ Ym′′ (ξ ) ⋅ Yn′′(ξ )dξ = c mm = c mm 1 = γ m4 ∫ Ym (ξ ) ⋅ Yn (ξ )dξ = γ m4 ⋅ d m ; 0 d m′′ = bmm γ 2 m = 1 γ m2 =− 1 ∫ Ym′′ (ξ )Ym (ξ )dξ = 0 1 ⎧⎪ 2 1 Y ′ (0 ) − 2Ym (0)Ym′′ (0) + 4 Ym′′′ 2 (0 ) + 2 ⎨ m γm 4γ m ⎪⎩ 1 ⎤ ⎫⎪ ⎡ 1 ′ ′ ′ ′ ′ ′ ( ) ( ) ( ) ( ) + ⎢Ym ξ Ym ξ + 4 Ym ξ Ym ξ ⎥ ⎬ . γm ⎥⎦ 0 ⎪⎭ ⎢⎣ (П.В.6) При m ≠ n интеграл от произведения динамической балочной функции на ее вторую производную получается интегрированием по частям 1 bmn = ∫ Ym′′ (γ mξ )Yn (γ nξ )dξ = 0 = 1 {Ym′′ (γ mξ ) ⋅ Yn′′′(γ nξ ) − Ym′′′(γ mξ ) ⋅ Yn′′(γ nξ ) + γ − γ m4 4 n } + γ m4 [Ym (γ mξ ) ⋅ Yn′ (γ nξ ) − Ym (γ mξ ) ⋅ Yn′ (γ nξ )] . 1 0 (П.В.7) Как видно из первой формулы (П.В.6) интеграл от квадрата динамической балочной функции dm зависит только от граничных условий опирания балки на правой опоре, в то же время численные их значения для различных условий опирания балки на левой опоре могут отличаться. Для балок с симметричными условиями опирания формул вычисления интеграла от произведения балочной функции на ее вторую производную можно упростить d m′′ = 1 γ 1 1 ∫ Y ′′ (ξ )Y (ξ )dξ = − 4 {Y& (0) + Y&&& (0) − 2Y (0)Y&& (0) + 2 m 0 m 2 m m + В табл. П.6 – П.9 функций. 2 γm [Y m 2 m m ⎫ (0)Y&m (0) + Y&&m (0)Y&&&m (0)]⎬ . m (П.В.8) ⎭ приведены интегралы от систем балочных Интегралы статических балочных функций Равномерно распределенная нагрузка (q = q0) Таблица П. 7 № Схема балки q = q0 а11 b11 c11 e11 1 = 0 ,001587 630 − 2 = −0,01905 105 4 = 0,8 5 1 = 0 ,0333 30 2 4 19 = 0,03016 630 − 12 = −0,3426 35 36 = 7 ,2 5 3 = 0 ,15 20 3 6 104 − 2 ,311 45 12 = 1,714 7 144 = 28,8 5 6 = 1,2 5 5 31 = 0 ,04921 630 24 = 4,8 5 1 = 0 ,2 5 1 − 17 = −0,4857 35 Линейно распределенная нагрузка (q = q0ξ) Таблица П.8 № Схема балки а11 b11 c11 e11 1 q = q0ξ 23 = 0,00996 2310 − 38 = −0 ,1206 315 36 = 5,143 7 3 = 0 ,04286 70 2 181 = 0,2351 770 − 872 = −2 ,768 315 396 = 56 ,57 7 33 = 0 ,236 140 3 21128 = 30 ,49 693 4 2640 = 377 ,1 7 1580 = 26 ,08 63 128 128 = 0,03694 − = −0 ,4063 3465 315 5 640 = 2 ,771 231 6 1000 = 4,329 231 − 22 = 3,143 7 64 8 = 9,143 = 0,0762 7 105 192 = −27 ,43 7 1920 = 274 ,3 7 16 = 0 ,7619 21 20 = 2 ,222 9 400 = 57 ,14 7 10 = 0 ,4762 21 Интегралы от динамических балочных функций 1 d m = ∫ Ym2 (ξ )dξ Таблица П. 9 0 Опирание левой опоры балки схемы балок в табл. П. 4 Жестко защемлен Шарнирно оперт Свободный 1÷3 4÷6 9÷12 1 4 1 Cm 2 1 4 dm d m′′ = Схемы балок 2, 8 6 5 γ m2 1 ∫ Y ′′ (ξ )Y (ξ )dξ Таблица П. 10 d m′′ Асимптотическая формула (m > 4) 1⎛ 2 ⎞ ⎟ − ⎜⎜1 − 4 ⎝ γ m ⎟⎠ m m 0 1 ⎛ 2 ⎞ ⎟ − C m ⎜⎜ C m − γ m ⎟⎠ 4 ⎝ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎟ − C m ⎜⎜ C m − γ m ⎟⎠ 4 ⎝ 1, 3, 7, 9 4 1 − − 1 F0 m (γ m ) ⎡ F2 m (γ m ) 1 ⎤ − ⎥ ⎢ 2 F3m (γ m ) ⎣ F3m (γ m ) γ n ⎦ 1 F2 m (γ m ) ⎡ F0 m (γ m ) 1 ⎤ − ⎥ ⎢ 2 F1m (γ m ) ⎣ F1m (γ m ) γ n ⎦ − 1 2 1⎛ 1 ⎞ ⎟ − ⎜⎜1 − 4 ⎝ γ m ⎟⎠ − 1⎛ 1 ⎜1 − 2 ⎜⎝ γ m ⎞ ⎟⎟ ⎠ - Как видно из табл. П.9, интегралы от квадратов балочных функций являются константами (не зависят от номера члена ряда m), за исключением балок с шарнирным опиранием на левой опоре. Интегралы от произведения балочных функций на их вторые производные зависят от номера члена ряда, но для старших членов ряда они вычисляются по простым асимптотическим формулам, приведенным в табл. П. 10. Статические балочные функции равномерно распределенная нагрузка q = q0 Таблица П. 2 № q = q0 1 Y1′ Y1′′ ξ 2 − 2ξ 3 + ξ 4 = 2ξ − 6ξ 2 + 4ξ 3 = = 2ξ (1 − ξ )(1 − 2ξ ) 2 1 − 6ξ + 6ξ 2 = = ξ (1 − ξ ) 2 2 3ξ − 5ξ 3 + 2ξ 4 = 2 2 ( ξ 6 − 15ξ + 8ξ = ξ 2 (1 − ξ )(3 − 2ξ ) 3 ( ξ 6 − 4ξ + ξ 2 5 2 ) [ = (1 − ξ ) 1 + ξ − 8ξ 2 ξ − 2ξ 3 + ξ 4 = = ξ (1 − ξ )[1 + ξ (1 − ξ )] 1 − 6ξ 2 + 4ξ 3 ( ( = (1 − ξ ) 2 + 2ξ + ξ 2 2 − 41−ξ3 = ) ( ) 24 − 6(5 − 8ξ ) 48 − 24(1 − ξ ) 24 − 6ξ (3 − 4ξ ) − 6(3 − 8ξ ) 48 − 12ξ (1 − ξ ) − 12(1 − 2ξ ) 24 12ξ 2 24ξ 24 12(1 − ξ ) ] = ξ (1 − ξ )2 (1 + 2ξ ) ) ( = −4(1 − ξ ) 1 + ξ + ξ 2 2 ) Y1IV − 12(1 − 2ξ ) = 6(1 − ξ )(1 − 4ξ ) 1 − 9ξ 2 + 8ξ 3 = ( ) 6 1 − 5ξ + 4ξ 2 = ) = 4ξ 3(1 − ξ ) + 2ξ 2 ( = 2[1 − 6ξ (1 − ξ )] 12ξ − 12ξ 2 + 4ξ 3 = 3 − 4ξ + 4ξ 4 = 6 2 ξ − 3ξ 3 + 2ξ 4 = 4 Y1′′′ Y1 Схема балки ) Статические балочные функции линейно распределенная Таблица П. 3 нагрузка q = q0ξ № Схема балки q = q0ξ 1 2 3 4 5 6 Y1′ Y1 ( ) ( ) ξ 2 2 − 3ξ + ξ 3 = ξ 4 − 9ξ + 5ξ 3 = = ξ (1 − ξ ) (2 + ξ ) = ξ (1 − ξ ) 4 − 5ξ − 5ξ 2 2 ( ) ξ 2 7 − 9ξ + 2ξ 3 = ( = ξ (1 − ξ ) 7 − 2ξ − 2ξ 2 ( ξ 2 20 − 10ξ + ξ 3 ( 2 ) ) ( 2 ) ξ (14 − 27ξ + 10ξ ) ( ξ 7 − 10ξ + 3ξ 3 = ( 2 3 − 5ξ + ξ 5 == (1 − ξ )2 × × (4 + 3ξ + 2ξ 2 +ξ 2 ) ) )= ( ) 51 − ξ 4 = ( )( = 51 − ξ 2 1 + ξ 2 ( ( − 4ξ 3 − 5ξ 2 ) − 60ξ (1 − ξ )(1 + ξ ) 7 − 30ξ 2 + 12ξ 4 )(7 − 3ξ ) ( = 20(1 − ξ ) (2 + ξ ) = (1 − ξ )(1 + ξ )(1 − 3ξ )2 =ξ 1−ξ ) 2 = ξ (1 − ξ )2 (1 + ξ )2 ) ( 20 2 − 3ξ + ξ 3 ) 1 − 6ξ 2 + 5ξ 3 = 2 ) Y1IV ( ) 120ξ − 6 9 − 20ξ 2 ( ) 340ξ ( ) 120ξ ( ) 120ξ ( ) 120ξ − 6 3 − 10ξ 2 ⋅ 7 − 20ξ + 20ξ 2 ξ 1 − 2ξ 2 + ξ 4 = ( ( 2 2 − 9ξ + 10ξ 3 2 7 − 27ξ + 20ξ 3 = = 2(1 − ξ ) ⋅ 3 5ξ 8 − 6ξ + ξ 3 ) Y1′′′ Y1′′ ) − 60 1 − ξ 2 − 12 1 − 5ξ 2 − 60 1 − 3ξ 2 20ξ 3 Интегралы от тригонометрических балочных функций Нагрузки: а – симметричная; б – асимметричная; в – произвольная; Таблица П. 6 60ξ 2 120ξ № Схема балки amn 1,а bmn 1 δ mn 2 − 1,б 1 δ mn 2 1,в 1 δ mn 2 2,а 1 − [δ m ,n − 2 − 2 − 2δ m ,n + δ m ,+21 ] 2,б1 − 1− 8 π 2 ( 2 2 [(n − 1) δ 2 π2 π4 m 2δ m n 32 π2 (2m − 1)2 δ m n 8 − 1 − [δ m ,n −1 − 2 − 2δ m ,n + δ m ,n +1 ] 2,б2 π2 π2 cmn 32 m ,n − 2 2 − − ) − 2 n 2 + 1 δ m n + (n + 1)2 δ m ,n + 2 [ ( ) − 2 n − 2 n + 1 δ m n + n δ m ,n + 1 2 1 δ mn 2 − m ,n − 2 2 1, n = 1 ) − 2 n + 6n + 1 δ m n + 4 2 + (n + 1) δ m ,n + 2 4 0, n > 1 ] 4 [ ] 1, n = 1 − 2 n 4 + (n − 1) δ m n + ] 1 0 4 { 2 2 π 2n − 1 m 4δ m n − 8π 4 (n − 1) δ m ,n −1 − 2π ⋅ (n − 1) δ m ,n −1 − 2 m 4δ m n [(n − 1) δ 2 π4 ( ] ⎧ 2 , n = 1,3,5,... ⎪ ⎨π n ⎪0, n = 2 ,4 ,6 ,... ⎩ (2m − 1)2 δ m n π4 m 2δ m n en 4 + n 4δ m ,n +1 − 2π 2 m 2δ m n } 0, n > 1 1 8π 4 m 4δ m n Таблица П.6 (продолжение) 2,в 1 − [δ m ,n −1 − 2 − 2δ m ,n + δ m ,n +1 ] ) − 1 δ mn + 2 m 2 ⎡ (− 1) (− 1)n ⎤ + ⎢ + ⎥ π ⎢⎣ 2m − 1 2n − 1 ⎥⎦ 1− 6 ) ( 1 1 + δm n 2 1 δ mn + 2 2 ⎡ (− 1)m (− 1)n ⎤ + ⎢ + ⎥ π ⎣⎢ 2m − 1 2n − 1 ⎥⎦ 1− ( − 4 2 2 2 − 2 4n 2 + 1 δ m n + (2n + 1) δ m ,n +1 ) 1 1 + δm n 2 − ⋅ (2n − 1) δ m ,n −1 − ( 3 5 [ π2 − π4 − 2 2 mn m ⎡ (2m − 1)4 ⎢ 2 (− 1) + ⎣⎢ π 2m − 1 1 ⎤ + δmn ⎥ 2 ⎦ ) ] 2⎡ (− 1)n ⎤ ⎢1 − ⎥ π ⎣⎢ 2n + 1 ⎥⎦ [1 + (2m − 1) δ ] 16 2⎡ (− 1)n ⎤ ⎢1 − ⎥ π ⎢⎣ 2n + 1 ⎥⎦ 4 mn 4 mn − − 0 [1 + (2m − 1) δ ] 16 π4 2 ⎣⎢ π 2m − 1 1 ⎤ + δm n ⎥ 2 ⎦ − ( π4 [1 + (2m − 1) δ ] 4 + m ,n − 2 + (n + 1) δ m ,n + 2 2 m ⎡ (2m − 1)4 ⎢ 2 (− 1) 4 4 mn π2 [(n − 1) δ − 2 n 4 + 6n + 1 δ m n + [1 + (2m − 1) δ ] 4 π2 π4 2 ] π 2 π4 2 π4 2 m ⎡ (2m − 1)4 ⎢ 2 (− 1) + ⎣⎢ π 2m − 1 1 ⎤ + δ mn ⎥ 2 ⎦ 1+ 2 (− 1)m π 2m − 1 1+ 2 (− 1)m π 2m − 1 m ⎡ (2m − 1)4 ⎢ 2 (− 1) + ⎢⎣ π 2m − 1 1 ⎤ + δ mn ⎥ 2 ⎦ СОДЕРЖАНИЕ Введение..………………………………………………….. 3 I. Основы вариационного исчисления.….…………………. 5 1.1. Понятие о функционале. Линейный функционал. Вариация функционала...…………………………………. 1.2. Условия экстремума функционала. Основная лемма вариационного исчисления. Формула Эйлера…………… 1.3. Задачи на экстремум функционалов……………………… 1.4. Изопериметрическая задача вариационного исчисления.. 12 19 26 II. Пространственная и плоская задачи теории упругости. Принцип Лагранжа.………………………………………... 29 7 2.1. Основные уравнения теории упругости..………………... 2.2. Принцип Лагранжа..………………………………………. 30 40 III. Методы решения задач теории упругости, основанные на принципе Лагранжа.…………………………………… 50 3.1. Метод Ритца−Тимошенко..……………………………….. 3.2. Метод Канторовича−Власова..…………………………… 3.3. Пример расчета……………………………………………. 51 57 IV. Метод Бубнова−Галеркина..……………………………… 78 4.1. Ортогональные системы функций..……………………… 4.2. Решение дифференциальных уравнений методом Бубнова−Галеркина.………………………………………. 4.3. Метод Бубнова−Галеркина при решении задач теории упругости………………………………………………….. 78 V. Решение задач расчета стержней вариационными методами…………………………………………………… 68 84 89 96 5.1. Потенциальная энергия деформаций плоской формы изгиба стержней..………………………………………….. 96 5.2. Расчет стержней методом Ритца−Тимошенко….……….. 102 VI. Расчет пластинок на изгиб вариационными методами … 123 6.1. Основные уравнения изгиба пластинки..………………... 6.2. Принцип Лагранжа при изгибе пластинки………………. 6.3. Метод Ритца−Тимошенко в задачах изгиба пластинок… 6.4. Метод Канторовича−Власова в задачах изгиба пластинок……………………………… …………………………. 6.5. Метод Бубнова−Галеркина в задачах изгиба пластинок.. 6.6. Пример расчета пластинки на изгиб…………………….. Литература………………………………………………… 124 134 138 141 145 146 157 Приложение. 1. Математические формулы. …………… 159 2. Системы балочных функций…………... 161 Иванов Вячеслав Николаевич Вариационные принципы и методы решения задач теории упругости Учебное пособие Редактор Ж.В. Медведева Технический редактор Ю.В. Чванова Корректор О. Бельтран-Легас Дизайн обложки В.И. Хозин Лицензия серия ЛР № 20458 от 4 марта 1997 г. Гигиенический сертификат № 77.ФЦ.8.953.П.123.3.99 от 01.03.1999 г. Подписано к печати 24.11.2000 г. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 10.23. Уч.-изд. л. 11.12. Усл. кр.-отт 10.48

В.Н. Иванов ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ И МЕТОДЫ

Related documents

Products

Support

В.Н. Иванов ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ И МЕТОДЫ

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib