Прогрессии. Сумма последовательности чисел.

28. Прогрессии. Сумма последовательности чисел.
Много олимпиадных задач на доказательство тождеств, алгебраических
выражений, решение уравнений, разложение на множители, поиск суммы чисел
имеют ключом к своему доказательству или решению сумму арифметической
или геометрической прогрессии. Используются известные формулы для
прогрессий и их сумм.
k - ый член арифетической прогресси u 1 , u 2 , u 3 ,..., u k ,... :
u k  a  k  1d ,
1
где а  первый член прогрессии u 1 , d  разность прогресии.
Сумма п членов арифметической прогрессии
u  u п п , 2 или S  2а  п  1d п
Sn  1
n
2
2
2 *
Задачи взяты из [22], [5], [16], [17], [33]. Литература
Задача 1. Найти сумму всех нечетных чисел от 1 до 2k+1 включительно.
Решение. Здесь имеется конечная арифм. пр., первый член равен 1, последний
член 2k+1 и разность равна 2. Искомую сумму обозначим буквой х:
х  1  3  5  ...  2k  1
Применяя формулу (1) к нашей прогрессии, получим:
2k+1=1+(n1)·2.
Отсюда находим неизвестное п. т.е. число членов прогрессии п=k+1. Применим
формулу (2):
1  2k  1k  1 , или х  k  12
х
2
Задача 2. Найти сумму квадратов всех натуральных чисел от 1 до п
включительно.
Решение. Возьмем формулу куба суммы (q+1)3= q3+3q2+3 q+1 и положим q
последовательно равным 1,2, 3,…,(п-1), п. Получим п равенств:
2 3  13  3  12  3  1  1
33  2 3  3  2 2  3  2  1
4 3  33  3  3 2  3  3  1
         
         
n 3  n  1  3n  1  3n  1  1
3
2
n  13  n 3  3n 2  3n  1
Складывая по столбцам, получим :


2 3  33  ...  п 3  n  1  13  2 3  33  ...  п 3  3 12  2 2  3 2  ...  п 2  31  2  3  ...  п   п.
3
Опустив одинаковые члены, стоящие в левой и правой частях равенства,
обозначив сумму квадратов от 1 до п буквой х и заменив сумму чисел от1 до п
на (1+ п) п / 2, получим, что
(n  1) 3  1  3x  3
1  n n  n
2
Отсюда 3х  (n  1) 3  3
1  п п  п  1
2
пп  12п  1
в результате получаем х 
,
6
пп  12п  1
.
т.о. 12  2 2  3 2  ...  п 2 
6
Задача 3.Найти сумму кубов всех натуральных чисел от 1 до п включительно.
Указание
Для геометрической прогрессии u1, u2, u3,…, un
k  ый член u k  aq k 1
Сумма п членов
3,

a 1 q n
1 q
a  un q
Sn 
1 q
Sn 

a  u1 , q  знаменатель геометрич. прогрессии
4,
q 1
4 *,
q  1.
Применяя формулы 4,4 * для геом. пр.1, q, q 2 ,..., q n 1 получаем, что т  N :
1 x m
 1  x  x 2  ...  x m 1
1 x
5
Задача 4. Доказать, что
(1+b) (1+b2) (1+b4) (1+b8)… (1+b2n)=1+ b+ b2+ b3+…+ b 2
n 1
1
, где bQ,
nN, n1.
Указание
Задача 5. Найти сумму п членов последовательности 1, 11, 111, 1111,….
Решение
Задача 6. Какому числу равно выражение:
3 5 3 5 3 5... ?
Решение
Задача 7. Цифры трехзначного числа образуют арифметическую прогрессию.
Если к нему прибавить 990, получится число, цифры которого
образуют геометрическую прогрессию. Найдите это трехзначное
число.
Решение
Задача 8. Сумма номеров домов на одной стороне квартала 247. Найдите номер
дома, седьмого от угла.
Решение
Задача 9. Если a2, b2,c2 образуют арифметическую прогрессию, то
1
1
1
,
,
тоже образуют арифметическую прогрессию. Доказать.
bc ca ab
Указание. Используйте характеристическое свойство арифметической
прогрессии.
Содержание