Муниципальное образовательное учреждение
реклама
Муниципальное образовательное учреждение
«Трубинская муниципальная основная общеобразовательная школа»
Доклад на тему
«Подготовка к итоговой аттестации по математике учащихся 9 класса»
Комкова Татьяна Викторовна,
учитель первой категории
с. Трубино
2011 год
Содержание
1.
2.
3.
4.
5.
Введение…………………………………………………………………………………………3
Факторы, влияющие на успешность сдачи экзамена……………………4
Практическая часть…………………………………………………………………………6
Список литературы………………………………………………………………………….7
Приложения…………………………………………………………………………………….8
2
Введение.
Цель моей работы - показать значимость роли всех участников
образовательного процесса при подготовке к итоговой аттестации
учащихся.
Опыт прошлых лет показал, что учащиеся недостаточно подготовлены
для сдачи экзамена в новой форме. В чем причина? Мне, как и многим
учителям, я думаю, нужно было найти ответ на этот вопрос. Поэтому в
течение года я принимала участие в работе РМО учителей математики,
пыталась отыскать более эффективные методы подготовки.
ГИА в новой форме требует предварительной подготовки всех
участников образовательного процесса. Учителям следует активнее
вводить тестовые технологии в системе обучения, ведь не зря говорят,
что "нельзя научиться плавать, стоя на берегу". Я ввожу тесты, начиная
с 5 класса. Зная типовые конструкции тестовых заданий, ученик
практически не будет тратить время на понимание инструкции. Во
время таких тренировок формируются соответствующие
психотехнические навыки саморегуляции и самоконтроля.
3
Факторы, влияющие на успешность сдачи экзамена.
Я считаю, что для успешной сдачи экзамена необходимо
взаимодействие учителя, учеников и их родителей.
В работе учителя важно правильно организовать уроки повторения,
чтобы систематизировать все знания, полученные в школе.
Я проводила следующую работу. Как правило, на обычных уроках
времени на повторение недостаточно. Основная подготовка к
экзаменам пришлась на практикум по решению задач (34 ч.). В первом
полугодии повторили следующие темы:
- числа (приложение 1);
- буквенные выражения (приложение 2);
- преобразования выражений (приложение 3);
- уравнения и их системы (приложение 4);
- неравенства и их системы (приложение 5);
- функции и их свойства (приложение 6);
- последовательности и прогрессии (приложение 7).
По каждой теме мною разработаны тестовые задания. Урок повторяем,
урок - контроль по теме. Далее каждый учащийся отрабатывает свои
"минусы" (с полным решением), пока по теме не получит "зачет".
Во втором полугодии повторяем тему "Элементы комбинаторики и
теории вероятностей" (приложение 8), решаем тренировочные
варианты работ, заполняем бланки. Урок - тест, урок - анализ.
Результаты проделанной работы отмечаются в листах
индивидуального контроля. (См. приложения 9, 10)
Успешность сдачи экзамена во многом зависит от настроя и отношения
родителей.
В течение года проводились встречи с родителями учащихся, где
родителям давались советы. Замечено, что детям передается волнение
родителей, поэтому очень важно правильно настроить и их. Кроме
того, возраст девятиклассников требует еще постоянного контроля и
режима. Ребенок вовремя должен покушать, вовремя лечь спать,
правильно распределить учебную нагрузку. А в ответе за это родители.
Вот несколько советов родителям:
- не повышайте тревожность ребенка накануне экзамена;
4
- подбадривайте детей, хвалите их за то, что получилось;
- повышайте их уверенность в себе;
- наблюдайте за самочувствием ребенка;
- контролируйте режим подготовки ребенка;
- обеспечьте удобное место для занятий;
- обратите внимание на питание ребенка;
- приучайте ребенка ориентироваться во времени и уметь его
распределять;
- накануне экзамена обеспечьте ребенку полноценный отдых;
Самым главным, конечно, является снижение напряжения и
тревожности ребенка и обеспечение подходящих условий для занятий.
Очень важен психологический настрой самого ребенка. Ученые
считают, что психотехнические навыки сдачи экзаменов не только
повышают эффективность подготовки к экзаменам, позволяют более
успешно вести себя во время экзамена, но и вообще способствует
развитию навыков мыслительной работы, успешно мобилизовать себя
в решительной ситуации, овладевать собственными эмоциями. Детям
можно выдать так называемые рецепты для более успешной тактики
тестирования:
- Сосредоточься!
- Начни с легкого!
- Пропускай!
- Читай задание до конца!
- Думай только о текущем задании!
- Исключай!
- Запланируй два круга! (две трети времени - пройди по легким
заданиям, треть – вернись на те, которые пропустил)
- Проверь!
- Угадывай! (если не уверен в выборе ответа, доверь интуиции, но
выбирай тот ответ, который имеет большую вероятность)
- Не огорчайся! (учитывай, что тестовые задания рассчитаны на
максимальный уровень сложности, и количества решенных заданий
может оказаться достаточным для хорошей оценки)
5
Практическая часть.
Анализ проведенной работы показал, что выбранный мною способ
подготовки является приемлемым для учащихся. Он имеет свои
результаты. Для сравнения привожу данные:
2010 год
2011 год
Число учащихся,
сдававших ЕМЭ
5
6
Сдали на "5"
0
0
Сдали на "4"
0
2
(16 б.; 19 б.)
Сдали на "3"
0
3
(10 б.; 12 б.; 12 б.)
Сдали на "2"
5
1
(6 б.)
(пересдал на «4»)
Привожу листы индивидуального контроля (см. приложения 9, 10).
Надеюсь, что такая подготовка будет эффективна и для нынешних
девятиклассников. Желаю всем успешной подготовки и сдачи ЕМЭ.
6
Литература.
1. Алгебра. 9-й класс. Тематические тестовые задания для подготовки к
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
ГИА./авт.-сост.: С.Д. Данилова, Е.В. Корнева.- Ярославль: Академия
развития, 2010.
Алгебра: Экспресс-репетитор для подготовки к ГИА: 9 кл./Г.В. Сычева,
Н.Б. Гусева, В.А. Гусев.- М.: АСТ: Астрель, 2010
ГИА выпускников 9 классов в новой форме. Алгебра.2009/ФИПИ.-М.:
Интеллект-Центр, 2009.
ГИА-2011: Экзамен в новой форме: Математика: 9-й кл.: Тренировочные
варианты экзаменационных работ для проведения государственной
итоговой аттестации в новой форме/авт.-сост. Л.В. Кузнецова и др.-М.:
АСТ: Астрель, 2011. (ФИПИ)
Математика. 9 класс. ГИА. Типовые задания/ С.С. Минаева, Т.В.
Колесникова.- М.: Издательство «Экзамен», 2008
Математика. 9-й класс. Подготовка к ГИА-20011: учебно-методическое
пособие /Под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова.- Ростов-на-Дону:
Легион.,2010.
Демонстрационные варианты э.р. прошлых лет.
Интернет-ресурсы: mailto: support@ uztest. ru.
7
Приложение 1. Итоговое повторение по алгебре. Числа.
А1. Расположите в порядке убывания числа: 0,0216; 0,12; 0,016.
1) 0,0216; 0,016; 0,12
2) 0,016; 0,0216; 0,12
3) 0,12; 0,0216; 0,016
4) 0,12; 0,016; 0,0216
А2. Какому из данных промежутков принадлежит число
0,5;0,6
1)
А3. Какое из чисел
2)
6,4 ,
0,81 , 2
2)
0,81
6,4
1)
0,6;0,7
3)
0,7;0,8
7
?
9
4) 0,8;0,9
1
является иррациональным?
4
3)
2
1
4
4) все эти числа
А4. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу
точка?
7
А
В 8
1) точка А
С
77 . Какая это
D 9
2) точка В
3) точка С
4) точка D
А5. На координатной прямой отмечены числа х и у. Какое из следующих утверждений является
верным?
Х
0
1) ху>0
у
2) х+у <0
3) у(х+у) <0
4) х(х+у) <0
А6. Какое из указанных чисел не делится на 9?
1) 81234
2) 3219
3) 30159
4) 8883
А7. Известно, что a и b –четные числа. Какое из следующих чисел также является четным?
1) a+b+1
2) а(b+1 )
3) аb+1
4) (а+1)(b+1)
А8. На банке с краской имеется надпись, гарантирующая, что масса краски в ней составляет
3±0,05 кг. Какой не может быть масса краски при этом условии?
1) 3,1 кг
2) 3 кг
3) 2,96 кг
4) 3,02 кг
А9. Найдите десятичную дробь, равную 1,18·10-5
1) 0,00000118
2) 0.0000118
3) 0,000118
4) 0,00118
А10. Площадь территории России составляет 1,7·107 км2, а Норвегии-3,2·105 км 2. Во сколько раз
территория России больше территории Норвегии?
8
1) примерно в 1,9 раза
2) примерно в 5,3 раза
3) примерно в 53 раза
4) примерно в 530 раз
А11. Из объявления фирмы, проводящей обучающие семинары: «Стоимость участия в семинаре2000 р. с человека. Группам от организаций предоставляются скидки: от 2 до 5 человек-3%; более
5 человек-5%». Сколько должна заплатить организация, направившая на семинар группу из 6
человек?
1) 600 р.
2) 1900 р.
3) 12000 р.
4) 11400 р.
А12. После завершения регистрации на авиарейс оказалось, что число занятых мест в самолете
относится к числу свободных, как 3:2. Сколько процентов всех мест в самолете свободно?
1) 20%
2) 40%
3) 50%
4) 60%
А13. Меркурий находится на расстоянии 58 млн. км от Солнца. Выразите эту величину в
километрах.
1) 5,8· 10 6 км
2) 5,8 ·10 7км
3) 5,8 ·10 8км
А14. Укажите все целые числа, которые заключены между числами
1) 32, 33, …, 51
2) 5, 6, 7
А15. Представьте дробь
1) 0,40
31 и 52 .
4) 6, 7
3
в виде десятичной с точностью до сотых.
7
2) 0,41
А16. Выберите наибольшее из чисел: 3,833; 3
1) 3,833
3) 6, 7, 8
4) 5,8· 10 9км
2) 3,38
3) 0,42
4) 0,43
3 5
;3 ; 3,38
5 6
3) 3
3
5
4)3
5
6
А17. Для смеси сухих трав взяли душицу и мяту в отношении 13:7. Какой процент смеси составляет
мята?
1) 7%
2) 70%
3) 65%
4) 35%
А18. Укажите неверное утверждение.
1)
2)
1
1
урожая меньше 20% этого урожая 3)
урожая меньше 33% этого урожая
20
3
1
1
урожая меньше 17% этого урожая 4)
урожая меньше 40% этого урожая
6
4
А19. На координатной прямой точка А(-3) является серединой отрезка, один конец которого имеет
координату, равную -11. Какую координату имеет другой конец этого отрезка?
1)-14
2) 8
3) -7
4) 5
9
В1. Содержание некоторого вещества в таблетке витамина составляет 7, 5%. Выразите эту часть
десятичной дробью.
Ответ:-----------------В2. Результаты районной контрольной работы по алгебре в 9 классе представлены в виде
диаграммы. Сколько учащихся получили отметку «2», если всю работу писали 400
девятиклассников?
Отметка «5» (26%)
Отметка «2» (?)
333
Отметка «3» (30%)
36%3
Отметка «4» (36%)
Ответ:--------------------В3. Представьте значение выражения (1,3 10-2)(3 10-1) в виде десятичной дроби.
Ответ:-----------------------------
В4. На координатной прямой найдите координату середины отрезка с концами в точках А(-7) и
В(2).
Ответ:---------------------------В5. Найдите значение выражения
3 1,4 2,5
.
7,5 0,02
Ответ:---------------------В6. Найдите значение произведения 0,0012 0,0003. Полученный результат запишите в
стандартном виде.
Ответ:-----------------------В7. Для биологической лаборатории купили оптический микроскоп, который дает возможность
различить объекты размером до 2,5 10-5 см. Выразите эту величину в миллиметрах.
Ответ:----------------------В8. Население России составляет 1,4 108 человек, ее территория равна 1,7 107 км2. Сколько в
среднем приходится жителей на 1 км2? (ответ округлите до десятых)
Ответ:-----------------------
10
С1. Сосна на 50% выше ели. Если каждое дерево подрастет еще на 10 м, то сосна будет выше ели
на 25%. Найдите первоначальную высоту ели.
С2. В свежих яблоках 80% воды, а в сушеных- 20%. На сколько процентов уменьшается масса
яблок при сушке?
С3. Абрикосы при сушке теряют 60% своей массы. Сколько процентов воды содержат свежие
абрикосы, если в сушеных абрикосах 25% воды?
С4. Имеются два раствора одной и той же соли разной концентрации-35% и 60%. В каком
отношении нужно взять первый и второй растворы, чтобы получить раствор, концентрация
которого 40%?
С5. Из ведра в бочку перелили сначала половину имевшейся в нем воды, затем 1 л и, наконец,
20% остатка. В итоге количество воды в бочке увеличилось на 10%. Сколько воды было в ведре,
если в бочке первоначально было 38 л воды?
С6. Сахар подорожал на 30%. Сколько сахара можно теперь купить на те же деньги, на которые
раньше покупали 3,9 кг?
Ответы и решения.
Часть 1.
А1
3
А10
3
А19
4
А2
3
А11
4
В1
0,075
А3
1
А12
2
В2
32
А4
4
А13
2
В3
0,0039
А5
4
А14
4
В4
-2,5
А6
2
А15
4
В5
70
А7
2
А16
4
В6
3,6 10-7
А8
1
А17
4
В7
0.00025
А9
2
А18
3
В8
8,2
Часть 2.
С1. Пусть х м- первоначальная высота ели. По условию задачи составляем уравнение
1,5х+10=1,25(х+10). Решив его, получим х=10.
Ответ: 10 м
С2. Доля сухого вещества в свежих яблоках составляет 0,2, после сушки доля сухого вещества
составляет 0,8. Значит, сушеные яблоки составляют 0,2:0,8=0,25 свежих. Следовательно, масса
яблок при сушке уменьшается на 75%.
Ответ: на 75%.
С3. Т.к. абрикосы теряют при сушке 60% своей массы, то сушеные абрикосы составляют 0,4
свежих. Т.к. в сушеных абрикосах 25% воды, то доля сухого вещества в них 75%, а, значит, в
свежих абрикосах 0,75 0,4= 0,3, т.е. , 30%. А тогда воды в них 70%.
11
Ответ: 70%.
С4. Пусть х-масса первого раствора, у-масса второго раствора (выраженные в одних единицах).
Тогда количество соли в первом растворе составляет 0,35х, а во втором- 0,6у. Масса нового
раствора равна х+у, а количество соли в нем 0,4(х+у). Получим уравнение:
0,35х+0,6у=0,4(х+у)
35х+60у=40х+40у
5х=20у
х=4у;
х
=4
у
Ответ: первый и второй растворы надо взять в отношении 4:1.
С5. Пусть в ведре было х л воды. По условию задачи составим уравнение
х
х
1 0,2 1 0,1 38
2
2
Решив его, получим х=5.
Ответ: 5 л.
С6. Т.к. сахар подорожал на 30%, то теперь стоимость 1 кг составляет 1,3 от прежней стоимости. А,
значит, на те же деньги можно купить 3,9:1,3=3 (кг).
Ответ: 3 кг
12
Приложение 2. Буквенные выражения.
А1. Какой из следующих квадратных трехчленов нельзя разложить на линейные
множители:
1) х2+4х-1;
2) х2+6х+13;
3) х2-6Х+8;
4) х2+2х+1?
А2. Какое из следующих выражений равно произведению 25·5п:
1) 125п;
2) 25п;
3) 52п;
4) 5п+2?
А3. Площадь круга, диаметр которого равен d, вычисляется по формуле S
d 2
4
.
Выразите из этой формулы диаметр d.
1) d
4s
;
2) d
4s
;
3) d
S
4
А4. Укажите выражение, тождественно равное дроби
1)
2 х
;
х 1
2)
2х
;
1 х
3)
4) d
;
4S
.
х2
.
1 х
2 х
;
1 х
а
4а
,
2)
,
4а
а
Какие из этих выражений не имеют смысла при а =0?
1) только 2;
2) 1 и 2;
3) 1 и 3;
А5. Даны выражения: 1)
4)
х2
.
х 1
3) а
4а
а
4) 2 и 3
А6. При каких из указанных значений х выражение 2 х 10 не имеет смысла?
1) при х=0;
2) при х = -3
3) при х = -5;
4) при х = -7
А7. Автобус проехал х км, при этом расход топлива составил 27 литров. Сколько литров
топлива потребуется, чтобы проехать 200 км?
х 27
х 200
х
27 200
л;
л ;
л;
л
1)
2)
3)
4)
100
27
27 200
х
А8. Длина шага человека a см. По какой формуле можно вычислить расстояние s (в
метрах), которое пройдет человек, сделав n шагов?
an
a
1) s= an ;
2) s=100 an ;
3) s=
;
4) s=
100
100 n
В1. Найдите значение выражения
ав
с
при а=2,5;
в=6,7;
с=2,4
Ответ:-------------13
В2. Найдите значение выражения 0,6х-1,5х3
Ответ:---------------
В3. Найдите значение выражения
при х=-1
в
при в=0,04 и с=0,16
1 с
Ответ:------------------В4. Расстояние в метрах до эпицентра грозы можно приближенно вычислить по формуле
S=330t, где t- число секунд, прошедших между вспышкой молнии и ударом грома.
Определите, на каком примерно расстоянии от эпицентра грозы находится наблюдатель,
если t=25. Ответ дайте в километрах, округлив его до целых.
Ответ:------------------------В5. Соотнесите каждое выражение с множеством значений переменной, при которых оно
имеет смысл.
2
4 с 3 с
4с
А)
Б)
В)
2
3с
4 с 3 с
1) с 3ис 4
Ответ:
А
Б
2) с 4
4) с любое число
3) с 3
В
В6. Из формулы Джоуля – Ленца Q I 2 RT
выразите силу тока I
в виде дроби.
Ответ:----------------------------T 2
В7. Из уравнения периода колебаний маятника
l
g
выразите длину
маятника l .
Ответ:-----------------------------
В8. Найдите значение выражения
у4 4у
4у
5
при у=1.
Ответ:------------------------------
аt 2
В9. Из формулы S=
2
Ответ:---------------------------------
выразите а .
В10. Найдите значение выражения
а 12
4
3в
а 2в 2
приа=5 и в=3.
14
Ответ:----------------------------------С1. Разложите на множители: с2а-а-с2-1.
С2. Сократите дробь
3х 2 2 х 5
.
3х 2 5 х
С3. Найдите область определения выражения
4 7х 2х 2
.
х2 4
5 n 1 5 n 1
2 5n
С4. Покажите, что при любом значении n выражение
принимает одно и то же значение.
С5. При каких значениях переменной не имеет смысла выражение
1
1
?
а
1
1
1
а 1
Ответы и решения.
Часть 1.
А1
А2
А3
А4
А5
А6
А7
А8
В1
2
4
2
3
4
4
4
3
-1,75
В2
В3
В4
В5
В6
В7
В8
В9
В10
0.9
1
3
8
341
5
а
I
Q
RT
l
T 2q
4 2
2s
t2
-5
Часть 2.
С1. Группируя первый член многочлена с третьим, второй – с четвертым и применяя ФСУ
(формула разности квадратов), получаем окончательный ответ: (с-1)(с+1)(а-1).
5
С2. Корни квадратного трехчлена 1 и - . В знаменателе выносим за скобку х. Имеем:
3
3х 2 2 х 5 3х 5х 1 х 1
х3х 5
х
3х 2 5 х
С3. Область определения выражения задается условиями:
15
Решая неравенство и учитывая, что х≠±2, получаем окончательный ответ:
1
х ;2 2;4
2
5 n 1 5 n 1 5 n 1 25 1 26
n 1
2,6 . Мы показали, что значение выражения не зависит
10
2 5n
5 25
от n.
С4.
С5. Выражение не имеет смысла, если в знаменателе 0 . Имеем:
1) а+1=0; а=-1
1
0; а 0
2) 1а 1
а
0; а 0; а 1
3) 1
1
1
а 1
Ответ: а=0; а=-1
16
Приложение 3. Преобразование выражений.
а 8
в виде степени с основанием а.
а 4 а 9
3) а 13 ;
4) а 3
А1. Представьте выражение
1) а 4 ;
2) а 7 ;
А2. В каком случае выражение преобразовано в тождественно равное?
1) (а+в)2=а2+в2;
2) (а+в)(в-а)=в2-а2; 3) (х-у)2=х2-у2;
4) (х+3)2=х2+3х+9
А3. Упростите выражение 4(1-а)2+8а
1) 16а2-24а+16;
2) 4+8а-4а2;
3) 4а2+4;
4) а2+4
А4. В выражении 9ав-6в2 вынесите за скобки общий множитель -3b.
1) -3в(2в-3а);
2) -3в(3а-6в);
3) -3в(3а-2в);
4) -3в(6в-3а)
А5. Сократите дробь
1)
3
;
3 х
3ах
3ах ах 2
1
2)
;
ах 2
3)
1
;
1 х
ах
вх
А6. Укажите выражение, тождественно равное дроби
1)
ха
;
вх
2)
ах
;
хв
3)
1
х ах
4)
ха
;
хв
4) -
ха
вх
А7. Выберите выражение, значение которого - иррациональное число.
1)
2 50 ;
2)
2
50
;
3)
2 5 ;
2
4) 5 2 3
А8. Какое из данных выражений нельзя преобразовать к виду:
1)
3
2 10
;
2)
3
40
;
3
3)
4 10
;
30
20
4)
3
2
В1. Для каждого выражения из верхней строки укажите тождественно равное ему
выражение из нижней строки.
А)
1)
в 6
;
в 2
в12;
Б) (в-6)-2;
2) в3
В) в-6в-2
3)
в- 4;
4)
в-8
17
Ответ:
А
Б
В
В2. Представьте значение выражения 4 10 2
3
в виде десятичной дроби.
Ответ:-------------------------------------В3. Найдите второй множитель в разложении на множители квадратного трехчлена:
3х2-5х-2=(х-2)(…)
Ответ:---------------------------------------
в в2 с2
с
вс
Ответ:--------------------------------------В4. Упростите выражение
n2
n2
n 2 n 3n 2
Ответ:--------------------------------------В5. Упростите выражение
1
1
В6. Упростите выражение 2 2
а
в
Ответ:--------------------------------------
ав
ав
В7. Найдите значение выражения 3 5 2 3 15
Ответ:---------------------------------------
В8. Найдите значение выражения
а2 в2
а в 5 а в
при а-в=2
Ответ:---------------------------------------В9. Найдите значение выражения (а2+2ав+в2)2 при а+в=2
Ответ:----------------------------------------
В10. Упростите выражение
х 2 2 ху у 2
: х у
х2 у2
Ответ:----------------------------------------
С1. Сократите дробь
а2 9
ав 4а 3в 12
18
С2. Упростите выражение
3а 2
3а х
3а х
:
2
2
2
3ах х 2
х 9а 3ах х
С3. Разложите на множители х4-6х2-27
С4. Найдите значение выражения
4 2 5
2
5 2 5
2
С5. Докажите тождество (х+1)(х+2)(х+3)(х+4)+1=(х2+5х+5)2
Ответы и решения.
Часть1.
А1
А2
А3
А4
А5
А6
А7
А8
В1
4
2
3
1
1
4
4
4
314
В2
В3
В4
В5
В6
В7
В8
В9
В10
90
0,0625
16
1
х у
0,000064 3х+1
с
в
n
1 3n
ав
ав
Часть 2.
С1.Числитель дроби разложим на множители, используя формулу разности квадратов, а
знаменатель - способом группировки (первый - с третьим, второй- с четвертым). Имеем:
а 3а 3 а 3
а2 9
ав 4а 3в 12 а 3в 4 в 4
а3
Ответ:
в4
3а х
3а х
9а 2 6ах х 2 9а 2 6ах х 2
12а
С2. 1)
2
2
3а х 3а х
х3а х 3а х
3ах х
3ах х
2)
3а х3а х а
12а
3а 2
3а 2
:
2
2
х 9а 3а х 3а х х 3а х 3а
12а
4
Ответ:
а
4
С3. Введем замену: t=x2. Получим: х4-6х2-27=t2-6t-27
Корни квадратного трехчлена : -3 и 9. Имеем: t2-6t-27=(t+3)(t-9).
19
Возвращаясь к переменной х: х4-6х2-27=(х2+3)(х2-9)=(х2+3)(х-3)(х+3).
С4. Т.к. 4<2 5 , то 4-2 5 <0 и 4 2 5 2 5 4 . Т.к. 5>2 5 , то 5-2 5 >0 и
5 2 5 5 2 5 . Имеем:
4 2 5
2
+
5 2 5
2
2 5 45 2 5 1
Ответ: 1.
С5. Перенесем 1 в правую часть с противоположным знаком и разложим правую часть на
множители, используя формулу разности квадратов. Получим:
(х+1)(х+2)(х+3)(х+4)=(х2+5х+4)(х2+5х+6)
Корни первого квадратного трехчлена -1 и- 4, второго -2 и -3. Получим:
(х+1)(х+2)(х+3)(х+4)= (х+1)(х+4)(х+2)(х+3)
Ч.т.д.
20
Приложение 4. Уравнения, их системы.
А1. Какое из чисел является корнем уравнения х3-6х2+5х+12=0 ?
1) -4;
2) -3;
3) -1;
4) 1
А2. Решите уравнение
1) -7;
4
1
7 х 1 х
2) -1;
3) 1;
4) 7
А3. Какое из уравнений имеет иррациональные корни?
1) х2-2х+4=0;
2) х2+6х+9=0;
3) х2-4х-2=0;
4) х2-5х+6=0
А4. Решите систему уравнений
1) (6;2), (-6;-2);
2) (-2;-6), (6;2);
3) (6;-2), (2;-6);
4) (-6;-10), (2;-2)
А5. В какой координатной четверти находится точка пересечения прямых 5х+4у = -6 и
х+3у = 1?
1) в I;
2) во II;
3) в III;
4) в IV
А6. На координатной плоскости отмечены точки K (8; 12) и L (12; 16). Какое уравнение
задает прямую, проходящую через эти точки?
1) у+х = 28;
2) у+х = 20;
3) х-у = 4;
4) у-х = 4;
А7. Прочитайте задачу.
Лодка проплыла от одного причала до другого, расстояние между которыми 25 км, и
вернулась обратно. На путь по течению лодка затратила на 1 час меньше, чем на путь
против течения. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки 8 км/ч.
Обозначьте буквой х скорость течения реки ( в км/ч) и составьте уравнение по условию
задачи.
25
25
25
25
25
25
1 ; 2)
1 ; 3) 25(8+х)-25(8-х)=1; 4)
1
1)
8 х 8 х
8 х 8 х
х 8 х 8
А8. Решением каких систем является пара чисел (-1; 2)?
А)
1) А и В;
;
Б)
2) только Б;
;
3) только А;
В)
4) Б и В
В1. Решите уравнение 1-6(х-2)=14-8х
Ответ:------------------21
В2. Решите уравнение
х х
1
3 4
Ответ:--------------------В3. Найдите корни уравнения 4х2-х=0
Ответ:--------------------В4. Для каждого уравнения укажите число его корней, вписав в таблицу под каждой
буквой соответствующий номер ответа:
А) х+2х=0;
Б) х2+2=0;
В) (х-2)2=0;
Г) х2-2х=0
1) один корень;
2) два корня;
3) нет корней
Ответ:
А
Б
В
Г
В5. Решите уравнение 4х2+3х-1=0
Ответ:---------------------В6. Найдите корни уравнения (2х+9)(5-х)=0
Ответ:--------------------В7. Сумма корней уравнения х2-28х+27 =0 равна
Ответ:--------------------В8. Решите систему уравнений
Ответ:---------------------В9. Вычислите координаты точки пересечения прямых, заданных уравнениями: 2х-3у = -8
и х-4у = -5.
Ответ:----------------------В10. Сколько решений имеет система уравнений
?
Ответ:------------------------
С1. Решите систему уравнений
22
С2. Найдите корни уравнения 2х4-17х2-9=0.
С3. Решите уравнение
1
х
5х 2
2
3
х 2 х 2х 4 х 8
С4. Докажите, что уравнение (х2-2х+3)(х2-6х+10)=2 не имеет корней.
С5. Найдите все отрицательные значения m, при которых система уравнений
не имеет решений.
Ответы и решения.
Часть 1.
А1
А2
А3
А4
А5
А6
А7
А8
В1
3
2
3
2
2
4
2
4
0,5
В2
В3
В4
В5
В6
В7
В8
В9
В10
12
0; 0,25
2312
-1; 0,25
-4,5; 5
28
(4; 2)
(-3,4; 0,4) одно
Часть2.
С1. Выразив из второго уравнения х и подставив в первое, после преобразований получим
квадратное уравнение относительно у: у2-3у-4=0. Корни этого уравнения: у1= -1, у2=4.
Подставив эти значения в выражение для х, получим: х1=4, х2= -1.
Ответ: (4; -1), (-1; 4)
С2. Это биквадратное уравнение. Введем новую переменную у=х2. Получим: 2у2-17у-9=0.
Корни этого уравнения 9 и -0,5. Возвращаясь к исходной переменной, получим х=3 и х=-3.
Ответ: 3 и -3.
С3. Это дробное рациональное уравнение. Разложив знаменатель дроби в правой части
на множители по формуле разности кубов, замечаем, что он является общим
знаменателем дробей. После преобразований получаем квадратное уравнение
2х2-5х+2=0. Корни этого уравнения 2 и 0,5. Учитывая О.Д.З. исходного уравнения,
получим : х=0,5
Ответ: х=0,5.
23
С4. В каждой скобке выделим квадрат двучлена. Получим: ((х-1)2+2)((х-3)2+1)=2.
представим уравнение в виде: (х-2)2(х-3)2+(х-1)2+2(х-3)2=0. все слагаемые неотрицательны
и не равны 0 одновременно. Следовательно, уравнение не имеет корней.
Ч.т.д.
С5. Подставим у=1-х в уравнение х2+у2=m2, получим квадратное уравнение относительно
х: 2х2-2х+(1-m2)=0. Найдем m, при котором это уравнение не имеет решений.
1
D1=1-2(1-m2)=2m2-1; 2m2-1<0; m <
.
2
1
1
Т.о., система не имеет решений при
<m<
.
2
2
1
Учитывая условие m<0, получим: m (; 0)
2
1
Ответ: m (; 0)
2
24
Приложение 5. Неравенства, их системы.
А1. На координатной прямой отмечены числа c, m, n. Какая из следующих разностей
отрицательна?
c
1) n-m;
m
n
2) m-c;
3) n-c ;
4) c-m
А2. Какое из следующих неравенств не следует из неравенства c > b-a?
1) a+c > b;
2) a > b-c;
3) b-a-c > 0;
4) a-b+c > 0
А3. О числах p и q известно, что p > q. Какое из следующих неравенств неверно?
1) 6+p > 6+q;
2) < ;
3) p-4 > q-4;
4)- < -
А4. Решите неравенство х-1 ≤ 3х+2
1) [-1,5; + );
2) (- ; -1,5];
А5. Для любых значений х верно неравенство:
1) (х-2)2 < 0;
2) х2-10х+25 0
3) [-0,5; + );
4) (- ;-0,5]
3) х2 < 2;
4) (х+3)2 > 0
А6. Решите систему неравенств
1) х > 2,5;
2) х < -2,5;
3) 2 < х < 2,5;
А7. Укажите неравенство, которое не имеет решений.
1) х2-4 > 0;
2) х2+4 > 0;
3) х2-4 < 0;
4) х > 2
4) х2+4 < 0
А8. На рисунке изображен график функции у = х2+3х.
y
-3
0
x
Используя график, решите неравенство х2 < -3х.
1) (-3; 0);
2) (- ; 0);
3) (-3; + );
4) (- ; -3) U(0;+ )
В1. Решите неравенство 2-3х < 3-5(х+2)
Ответ:------------------------------25
В2. Решите неравенство 9-х > 5-6(х-2)
Ответ:------------------------------В3. Для каждой системы неравенств укажите номер рисунка, на котором изображено
множество его решений.
А)
;
Б)
1)
-4
Ответ:
А
;
В)
2)
3)
1
Б
-4
4)
1
1
В
В4. Решите неравенство х2+4х-5 ≤ 0
Ответ:-----------------------------------В5. Решите неравенство
≤ 3х - (5-х)
Ответ:-----------------------------------В6. При каких значениях х верно неравенство -2х2+4х-2
0
Ответ:-------------------------------------
В7. Какую фигуру задает множество решений системы неравенств
Ответ:-------------------------------------В8. Решите неравенство Ответ:-------------------------------------В9. Задайте неравенством множество точек плоскости, расположенных выше параболы
у = х2-7.
Ответ:-------------------------------------В10. Решите систему неравенств
Ответ:-------------------------------------26
С1. Решите неравенство
С2. Решите неравенство
С3. Найдите целые решения системы неравенств
С4. При каких значениях m неравенство х2-mх-m+3 ≤ 0 имеет хотя бы одно решение?
C5. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств
Ответы и решения.
Часть 1.
А1
А2
А3
А4
А5
А6
А7
А8
В1
4
3
2
1
2
3
4
1
х < -4,5
В2
В3
В4
В5
В6
В7
В8
В9
В10
[-5; 1]
х
1
треугольник х > 48
у > х2-7
[1; 2]
(1,6;+ ) 2 3 1
Часть2.
С1. Нули числителя: - 3. Нули знаменателя: 1 и 2. Эти числа разбивают числовую ось на 4
промежутка. Определяя знаки на каждом из них и, учитывая, что - 3 является решением
неравенства, получим ответ {-3} U (1;2) U (2; + )
Ответ: {-3} U (1; 2) U (2; +
)
С2. Определим знак выражения, стоящего в первой скобке. Предположим, что значение
данного выражения меньше 0. Перенеся 1 в правую часть, умножив обе части на 8 и
возведя в квадрат, получим
< 16 - верно. Следовательно, наше предположение
верно. Решая неравенство 4х-13
0, получим, х > 3,25.
Ответ: х > 3,25.
С3. Решение первого неравенства системы [-3; ], решение второго неравенства системы
(- ; -1). Решение системы [-3; -1). Целые решения: -3 и -2.
Ответ: -3; -2
27
С4. Т.к. ветви параболы у=х2-mх-m+3 направлены вверх, то она не должна быть
расположена выше Ох целиком, т.е. она должна пересекать ось Ох или касаться ее.
Поэтому D=m2+4m-12 0; получим: m ≤ 6 или m 2
Ответ: m
(- ; -6] U [2; + )
С5. Строим график функции х2+у2=2,25. Это окружность с центром в т.О (начало координат)
и радиуса 1,5. Закрасим ту часть, где ху 0 (I и IV четверти).
28
Приложение 6. Функции.
А1. Найдите область определения функции у =
1)
;
2)
3)
;
;
4)
А2. Какая из данных точек принадлежит графику функции у = 1) А(-4; -6);
2) В(-6; 4);
3) С(4; 8);
?
4) D(8; -4)
А3. Графиком какой из функций является парабола?
1) у = 3х-1;
3) у = 3х2-1;
2) у = -3х;
4) у =
А4. На рисунке изображен график функции у = kx+b. Определите знаки коэффициентов k и
b.
у
0
1) k > 0, b > 0;
2) k > 0, b < 0;
А5. Функции заданы формулами:
А) у = 3-8х;
Б) у = 10х+4;
Какие из них являются убывающими?
1) А и В;
2) В и Г;
х
3) k < 0, b > 0;
4) k < 0, b < 0
В) у = -0,5х;
Г) у = 2,5х
3) только В;
4) А, В, Г
А6. Дана функция у = ax2+bх+с. На каком рисунке изображен график этой функции, если
известно, что а < 0, и квадратный трехчлен ах2+bх+с имеет два положительных корня?
у
у
1)
у
2)
0
х
3)
0
2) х = -2;
4)
х
А7. Какая из прямых пересекает график функции у =
1) у = 4;
у
0
х
0
в двух точках?
3) у = х-4;
4) у = -2х
29
А8. На рисунке изображен график функции у = f(х), областью определения которой
является промежуток [-3; 6]. Используя рисунок, выясните, какое из утверждений
неверно.
у
х
-3 -1 0 2
-2
4
6
1) Функция убывает на промежутке [-3; 2].
2) f(-3) >f (5).
3) Наименьшее значение функции равно -2.
4) Нули функции: 4 и -1.
В1. Найдите значение функции у=2-7х2+30х3 при значении аргумента, равном -0,1.
Ответ:------------------------------В2. Каждую функцию, заданную формулой, соотнесите с графиком.
А) у = -3х;
1)
Б) у = 3х;
у
2)
0
Ответ:
А
Б
х
В) у =
у
0
3)
х
у
0
х
В
В3. Функция задана формулой f(х ) = 3х-х2 . Сравните f(1) и f(4).
Ответ:-------------------------------------В4. Найдите координаты точки пересечения графика функции у =
с осью абсцисс.
Ответ:--------------------------------------В5. Найдите область определения функции, заданной формулой у =
.
Ответ:--------------------------------------В6. Найдите координаты точки пересечения графика функции у =
с осью ординат.
30
Ответ:--------------------------------------В7. При каком значении k график функции у =
проходит через точку А(-2; 3)?
Ответ:--------------------------------------В8. Найдите наибольшее значение функции у = -2х2+4х+6.
Ответ:--------------------------------------В9. Найдите наименьшее значение функции у = -2(х+1)2 на отрезке [-1;2].
Ответ:--------------------------------------В10. Укажите область значений функции у = х4.
Ответ:--------------------------------------С1. Постройте график функции у = -2х2+8х-2. Укажите промежутки возрастания и убывания
этой функции.
С2. Выясните, лежат ли на одной прямой точки А(12; 3); В(14; 7) и С(-5; -11).
С3. Найдите координаты точек пересечения графиков у = х2-2х+8 и у = 4+4х-х2.
С4. Решите графически уравнение х3 = х2+2х.
С5. При каких значениях а отрезок с концами в точках А(-5; -6) и В(-5; а) пересекает
прямую 2х-у = -3?
Ответы и решения.
Часть 1.
А1
А2
А3
А4
А5
А6
А7
А8
В1
3
2
3
2
1
3
3
3
1,9
В2
В3
В4
В5
В6
В7
В8
В9
В10
213
f(1)>f(4)
(-1; 0)
х<3
(0; -4)
-6
8
-18
[0; +
)
Часть 2.
С1. Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз.
Найдем координаты вершины: х0= -8:(-4)=2; у0= -2 4+16-2=6. Т.о., точка (2; 6) - вершина
параболы.
Составим таблицу значений функции:
31
х
-1
0
1
3
4
5
у
-12
-2
4
4
-2
-12
При составлении таблицы и построении графика учитывалось, что прямая у = 2 является
осью симметрии параболы. Построив точки, координаты которых указаны в таблице, и
соединив их плавной линией, получим график функции у = - 2х2+8х-2.
Т.к. ветви параболы направлены вниз, то функция возрастает на (- ; 2], убывает на
[2; + ).
Примечание. Ответ может быть считан непосредственно с построенного графика и не
содержать никаких пояснений.
С2. Составим уравнение прямой, проходящей через какие-нибудь две из данных точек, и
проверим, принадлежит ли этой прямой третья точка.
Уравнение прямой имеет вид y = kx+b. Найдем коэффициенты k и b для прямой,
проходящей через точки А и В. Подставив координаты этих точек в уравнение y = kx+b,
получим систему уравнений с переменными k и b:
, откуда k=2, b= -21. Т.о.,
прямая АВ задается уравнением у = 2х-21. Подставив координаты точки С в полученное
уравнение, убеждаемся, что точка С не лежит на этой прямой.
Ответ: нет, не лежат.
С3. Для нахождения абсцисс точек пересечения графиков необходимо решить уравнение
х2-2х+8 = 4+4х-х2. После преобразований получим приведенное квадратное уравнение
х2-3х+2=0. По теореме, обратной т. Виета, корни этого уравнения: 1 и 2. Чтобы найти
ординаты точек пересечения, достаточно подставить найденные значения в одно из
исходных уравнений, задающих функции. При х=1 получим у=7; при х=2, получим у=8.
Ответ: (1; 7); (2; 8)
С4. В одной и той же системе координат строим графики функций у = х3 и у = х2+2х.
Графиком функции у = х3 является кривая, расположенная в I и III координатных четвертях.
Графиком функции у = х2+2х является парабола, ветви которой направлены вверх.
(Построение по плану, см. С1.) . Графики пересекаются в трех точках. Абсциссы этих точек
и являются решениями исходного уравнения.
Ответ: -1; 0; 2.
С5. Задача решается на основе графических соображений. Точки А и В лежат на
вертикальной прямой х = -5. Найдем ординату точки пересечения прямых 2х-у = -3 и
х = -5. Получим: у = -7. Очевидно, что точка А(-5; -6) расположена выше прямой 2х - у = - 3.
Следовательно, отрезок АВ пересекает эту прямую в том случае, когда точка В(-5; а) лежит
ниже этой прямой, т.е. когда выполняется неравенство а ≤ -7.
Ответ: при а ≤ -7
32
Приложение 7. Последовательности и прогрессии.
А1. Последовательность задана формулой
=
n. Какое из следующих чисел не
является членом этой последовательности?
1) 2;
2) 4;
3) 5;
4) 8
А2. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них геометрическая прогрессия. Укажите ее.
1) 1; ; ; ;…
2) 1; 2; 4; 8; …
3) 1; 3; 5; 7; …
4) 1; 2; 3; 5; …
А3. Фигура составлена из квадратов так, как показано на рисунке: в каждом следующем
столбце на 2 квадрата больше, чем в предыдущем. Сколько квадратов в столбце с
номером n?
1) 2n+2;
2) 2n+4;
3) 2n+6;
А4. Геометрическая прогрессия задана условиями:
является членом этой прогрессии?
1)27;
2) 22;
=1,
= 5·
=3
3) 15;
;
3)
. Какое из данных чисел
4) 12
А5. Геометрическая прогрессия задана условиями:
го члена этой прогрессии.
1) = 5
;
2)
4) n+2
=2
5·2n;
. Укажите формулу n4)
= 5·2(n-1)
А6. Пятый член геометрической прогрессии равен 12, а седьмой 27. Найдите шестой член
этой прогрессии.
1) 19,5;
2) 25;
3) 18;
4) 36
33
=(-1)n : (3n). Какое из данных чисел не
А7. Последовательность задана формулой
является членом этой последовательности?
1) ;
2)
;
3)
;
4)
А8. Какое из чисел является членом арифметической прогрессии 5; 11; 17; 23; …
1) 67;
2) 99;
3) 107;
4) 201?
В1. Последовательность задана условиями:
= -6,
=
. Найдите
.
Ответ:------------------------------В2. Члены последовательности можно изображать точками на координатной плоскости.
Для этого по горизонтальной оси откладывают номер члена, а по вертикальной соответствующий член последовательности. На рисунке изображены точками первые
семь членов арифметической прогрессии ( ). Найдите и d.
аn
5 ·
·
2
·
0 1
7
n
Ответ:-------------------------------В3. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии:
…; -34; -18; х; 14; … . Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х.
Ответ:-------------------------------В4. Для каждой арифметической прогрессии, заданной формулой n-го члена, укажите ее
разность d.
А)
= 4n+3;
Б)
= 3n+2;
В) = 2n-4
1) d = -4;
Ответ:
А
Б
2) d = 4;
3) d = 2;
4) d=3
В
В5. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии
(
):
;
; ; … . Найдите
.
Ответ:---------------------------------34
В6. Последовательность (
) задана условиями:
=2,
=
. Найдите
.
Ответ:----------------------------------В7. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:
…; -8; -2; х;
; … . Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х.
Ответ:--------------------------------В8. Найдите первый член арифметической прогрессии, разность которой равна 4, а
седьмой член равен 27.
Ответ:--------------------------------В9. Три последовательности, среди которых есть арифметическая прогрессия и
геометрическая прогрессия, заданы несколькими первыми членами. Укажите для каждой
последовательности соответствующее утверждение.
Последовательности:
Утверждения:
А)
1) последовательность является
Б) 1; 4; 7; 10; …
В) 8; 4; 2; 1; …
арифметической прогрессией;
2) последовательность является
геометрической прогрессией;
3) последовательность не является
ни арифметической, ни
геометрической прогрессией
Ответ:
А
Б
В
В.10. Последовательность задана условиями:
,
. Найдите
.
Ответ:-----------------------------------С1. Начиная с какого номера члены арифметической прогрессии: 8; 11; 14; … больше 150?
С2. Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 100, которые не делятся на
4.
С3. В геометрической прогрессии
= -6,
=48. Является ли членом этой прогрессии число
192?
35
C4. В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна -10, а второго и
третьего 5. Найдите первые три члена прогрессии.
С5. Сумма первых четырех членов арифметической прогрессии на 32 меньше суммы
следующих 4-х ее членов. На сколько сумма первых 10-и членов этой прогрессии меньше
суммы следующих 10-и ее членов?
Ответы и решения.
Часть 1.
А1
А2
А3
А4
А5
А6
А7
А8
В1
3
2
1
1
1
3
3
3
-6
В2
В3
В4
В5
В6
В7
В8
В9
В10
а1=5, d= -0,5
-2
243
4,5
3
312
-3
Часть 2.
С1. В данной прогрессии а1=8, d=11-8=3. Подставляя в формулу n-го члена ар. прогрессии
эти значения и решая неравенство 8+3(n-1)>150, получим: n >
. Следовательно, члены
данной прогрессии становятся больше 150, начиная с номера 49.
Ответ: с 49 номера.
С2. Пусть S - искомая сумма. S=S1-S2, где S1 - сумма всех натуральных чисел, не
превосходящих 100, S2 - сумма всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих
100. S1=(1+100):2 100=101 50. В последовательности (аn) чисел, кратных 4 и не
превосходящих 100, а1=4, аn=100. Найдем число членов этой последовательности. Т.к. она
задается формулой аn=4n, то 4n=100, n=25. Тогда S2=(4+100):2 25=52 25.
Искомая сумма S=S1-S2=101 50-52 25=25(202-52)=25 150=3750
Ответ: 3750.
С3. Т.к. b2= -6 , b5=48, то q3=48:(-6)= -8, т.о. q= -2, а b1= -6:(-2)=3. Подставим 192 в формулу
n-го члена геометрической прогрессии с найденными начальными условиями. Решив
полученное уравнение, найдем n =7. Следовательно, число 192 является членом заданной
прогрессии. Это b7.
Ответ: да, является.
С4. По условию задачи составим систему уравнений:
. Выразив b2 и b3
через b1 и q, решив эту систему, получим: b1= -20, q= -0,5. Тогда b2=10, b3= -5
36
Ответ: -20; 10; -5.
С5. Каждое слагаемое суммы первых 4-х членов арифметической прогрессии на 4d
меньше соответствующего слагаемого суммы следующих 4-х его членов. Тогда сумма
первых 4-х членов арифметической прогрессии на 16d=32 меньше суммы следующих 4-х
ее членов. Следовательно, d=2. Аналогично, сумма первых 10-и членов этой прогрессии
меньше суммы следующих 10-и ее членов на 10 10d=100d=200.
Ответ: на 200.
37
Приложение 8. Элементы комбинаторики и теории вероятностей.
А1. Сколько среди четырехзначных чисел, состоящих из цифр 3,4,6,8 (без их повторения)
таких, которые начинаются с цифры 3?
1) 24;
2) 18;
3) 6;
4) 12
А2. Найдите сумму цифр всех четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 2,
4, 6, 8 (без их повторения).
1) 360;
2) 480;
3) 240;
4) 400
А3. Сколько существует перестановок букв слова «цилиндр», в которых буквы «ц», « и»,
«л» стоят рядом в указанном порядке?
1) 144;
2) 150;
3) 120;
4) 24
А4. Значение выражения
1) 40;
2) 10;
40!
равно
39!2!
3) 1560;
4) 20
А5. К кассе кинотеатра одновременно подходят 6 человек. Сколькими способами они
могут выстроиться в очередь?
1) 720;
2) 120;
3) 240;
4) 150
А6. В таблице представлены результаты четырех стрелков, показанные ими на
тренировке.
Имя стрелка
Число выстрелов
Число попаданий
Анастасия
80
49
Борис
20
13
Вера
70
43
Георгий
70
49
Тренер решил послать на соревнования того стрелка, у которого относительная частота
попаданий выше. Кого из стрелков выберет тренер?
1) Анастасию;
2) Бориса;
3) Веру;
4) Георгия
А7. Игральный кубик бросили два раза. Какое событие более вероятно:
А= «Оба раза выпало 5 очков»
В= «В первый раз выпало 2 очка, а во второй 6»
С= «Сумма выпавших очков равна 12»?
1) событие А;
2) событие В;
3) событие С;
4) события А, В и С равновероятны
38
А8. Сколькими способами из 10 девочек можно выбрать 7 для участия в танцевальном
конкурсе?
1) 10;
2) 17;
3) 70;
4) 120
В1. Сколько можно записать различных трехзначных чисел, используя только цифры 0, 2,
7 и 4?
Ответ:------------------В2. Учитель дал четырем ученикам вопросы для ответа у доски. Сколько существует
способов для выбора порядка, в котором они будут отвечать?
Ответ:-------------------В3. Ученик за каникулы должен прочитать 5 книг. Сколько существует способов для
выбора порядка, в котором он будет читать эти книги?
Ответ:--------------------В4. На каждые 2000 футбольных мячей приходится 60 пропускающих воздух. Какова
вероятность того, что случайно выбранный мяч герметичен?
Ответ:---------------------В5. Семеро друзей нашли отклонение показаний своих наручных часов от точного
времени: -3, 0, -4, 5, 3, -6, -2. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора
чисел от его медианы?
Ответ:---------------------В6. Даны два числа: 15 и 60. На сколько их среднее арифметическое отличается от
среднего геометрического?
Ответ:-----------------------В7. В ходе наблюдения за контрольной группой из 64-х человек, 48 из которых привиты
вакциной А и остальные – вакциной В, был случайным образом выбран 1 человек. Какова
вероятность того, что он привит вакциной В?
Ответ:-----------------------В8. В мешке находятся 5 синих карандашей и 35 красных. Какова вероятность наугад
вытащить красный карандаш?
Ответ:-------------------------В9. Пишется наудачу некоторое двузначное число. Какова вероятность того, что в этом
числе на последнем месте окажется цифра 0?
Ответ:--------------------------
39
В10. Сколькими способами трое учеников могут занять места в классе, в котором стоят 20
одноместных столов?
Ответ:--------------------------С1. В партии из 5 деталей находятся 2 бракованных. Из партии наугад выбирают две
детали. Какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными?
С2. Какова частота простых чисел среди первых 30 натуральных чисел?
С3. Оля подсчитала, что существует 56 способов выбора трех дежурных из всех девочек
класса. Сколько девочек в классе?
С4. На полке стоят 8 детективов и 4 сборника стихов. С полки наугад берут 5 книг. Какова
вероятность того, что 3 из них детективы, а 2 – сборники стихов?
С5. Найдите вероятность того, что в написании наудачу взятого двузначного числа
встречается цифра 5.
Ответы и решения.
Часть 1.
А1
А2
А3
А4
А5
А6
А7
А8
В1
3
2
3
4
1
4
4
4
48
В2
В3
В4
В5
В6
В7
В8
В9
В10
24
120
0,97
на 1
7,5
0,25
0,875
0,1
6840
Часть 2.
С1. В данном случае общее число исходов 5, число благоприятных исходов 2. Значит,
вероятность Р=2:5=0,4.
Ответ: 0,4.
С2. Среди первых 30 натуральных чисел простых 10. Следовательно, частота простых
1
чисел в данном случае равна 10:30 =
3
1
Ответ: .
3
С3. Пусть девочек в классе х. Тогда здесь речь идет о сочетаниях из х элементов по 3.
х!
х!
Имеем, С 3х =56. Отсюда
56;
336; х 8
х 3!3!
х 3!
Ответ: 8 девочeк.
40
5
С4. Число исходов при выборе 5 книг равно С 12
. Пусть А – событие, при котором выбрано 3
детектива и 2 сборника стихов. Выбрать 3 детектива из 8 можно С 83 способами, а выбрать
2 сборника стихов из 4 можно С 24 способами. Значит, число исходов, благоприятных для
события А, равно С 83 ·С 24 . Отсюда Р(А)=
Ответ:
С83 С 42 14
33
С125
14
.
33
С5. Цифра 5 может стоять в числе десятков – таких чисел 10, или в числе единиц – их 9.
Всего 18 двузначных чисел, в записи которых присутствует цифра 5 (10+9-1=18, т.к. одно
число, а именно 55, подсчитано дважды). А всего двузначных чисел 90. Вероятность равна
18:90=0,2
Ответ: 0,2.
41
Приложение 9. Итоговое повторение. Первое полугодие.
Тема
Ф.И.
Числа
Буквен Преобразова Уравне
ные
ния
ния,
выра- выражений
их
жения
системы
Неравен Функ
ства,
ции
их
системы
Последовате
льности,
прогрессии
1.Астахова Алла
+
+
±
±
+
+
±
2. Булгаков
Никита
3. Голиков
Владислав
4. Евсикова
Елена
5. Комаров
Сергей
6. Ломакина
Елизавета
7. Мурашкин
Николай
8. Тишкина
Татьяна
9. Умнова
Маргарита
+
+
-
-
±
-
+
+
-
+
-
±
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
±
-
+
+
-
+
-
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
-
+
+
+
+
+
+
-
+
+
+
-
+
±
±
-
Примечание. Фамилии и имена учащихся изменены.
42
Приложение 10. Итоговое повторение. Второе полугодие.
1
I
1
II
2
I
2
II
3
I
3
II
4
I
4
II
5
I
5
II
6
I
6
II
7
I
7
II
8
I
8
II
9
I
9
II
10
I
10
II
П.э
I
П.э
II
1.Астахова
Алла
7
0
6
2
13
1
10
0
8
2
7
0
9
0
7
2
9
4
12
0
8
0
2.Булагаков
Никита
3.Голиков
Владислав
9
0
6
0
-
-
11
0
6
0
15
0
7
0
-
-
-
-
10
0
13
0
7
0
7
0
12
0
7
0
8
0
9
0
10
0
9
0
-
-
-
-
10
0
4.Евсикова
Елена
13
2
11
4
13
3
10
2
14
4
11
4
10
6
9
4
14
2
-
-
15
3
5.Комаров
Сергей
9
0
6
0
-
-
5
0
10
0
8
0
-
-
4
0
9
0
11
0
10
0
6.Ломакина
Елизаветаа
0
0
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
4
0
7.Мурашкин
Николай
6
0
7
0
12
0
-
-
9
0
9
0
8
0
11
0
8
0
5
0
9
0
8.Тишкина
Татьяна
9
2
5
0
10
2
-
-
9
0
8
1
-
-
10
0
7
4
8
2
8
0
9. Умнова
Маргарита
9
0
7
0
-
-
8
0
-
-
10
0
6
0
9
0
-
-
-
-
5
0
№ теста
Ф.И.
1 часть: максимум 18 баллов, минимум 8 баллов
2часть: максимум 16 баллов
Критерии оценивания: менее 8 заданий части 1……………………"2"
8 - 14 б……………………………………………..."3"
15 - 21 б………………………………………………"4"
22 - 34 б………………………………………………"5"
Примечание. Фамилии и имена учащихся изменены.
43
