представление нескольких натуральных чисел в виде суммы
реклама
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения 231 УДК 519.116 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В ВИДЕ СУММЫ ПОПАРНО РАЗЛИЧНЫХ СЛАГАЕМЫХ Ю. А. Игнатов (г. Тула) [email protected] Изучается задача представления нескольких натуральных чисел в виде суммы попарно различных слагаемых. Дается оценка минимального числа слагаемых, достаточного для такого представления, при условии, что представление существует. Для удобства исходные числа рассматриваются как множества, а составляющие их слагаемые как элементы этих множеств. Теорема 1. Пусть имеются m множеств, содержащих попарно различные натуральные числа. Для каждого множества подсчитана сумма входящих в него чисел. Тогда числа в множествах можно заменить так, что суммы останутся прежними, числа останутся различными, а количество чисел будет не более 2m − 1. Доказательство основано на преобразовании множеств так, чтобы суммы элементов в них оставались неизменными, а количество элементов в каждом множестве не превышало двух. При этом найдется множество с одним элементом. Предложен алгоритм такого преобразования. Количество элементов в множествах зависит от количества различных значений, которые принимают суммы элементов в множествах. Если все суммы одинаковы, то 2m − 1 - минимальное число элементов. Можно показать, что если суммы принимают два различных значения, то достаточно 2m − 2 элементов. Если все m значений различны, то достаточно m = 2m − m элементов. Возникает гипотеза, что если суммы принимают k различных значений, то достаточно 2m − k элементов. Эта гипотеза опровергается следующим примером: 1 + 5, 6, 7, 8, 3 + 4 + 5, 9. Число множеств 6, количество чисел в них 9, число различных значений сумм 4. Уменьшить количество чисел нельзя, так как они не могут быть больше 9, а все числа, не превосходящие 9, уже присутствуют. Если уменьшить их количество, то уменьшится общая сумма. Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого УДК 511.3 К РАСПРЕДЕЛЕНИЮ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В МНОГОЧЛЕНАХ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И. И. Ильясов (г. Актобе, Казахстан) [email protected]
