Тогда существует решение uT уравнения (1), определенное на

ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 18, вып. 5, 2013
Тогда существует решение uT уравнения (1), определенное на некотором интервале
(−∞, T ], удовлетворяющее при почти всех (t, x) ∈ (−∞, T ] × Ω неравенству uT (t, x) 6
6 w0 (t, x); любое решение uγ : (−∞, γ] × Ω → Rn уравнения (1), для которого почти всюду
на (−∞, γ] × Ω выполнено uγ (t, x) 6 w0 (t, x), можно продолжить до предельно продолженного решения u, которое будет удовлетворять на всей своей области определения
неравенству u(t, x) 6 w0 (t, x).
ЛИТЕРАТУРА
1. Wilson H.R, Cowan J.D. Excitatory and inhibitory interactions in localized populations of model neurons //
Biophys. J. 1972. № 12. C. 1-24.
2. Venkov N.A., Coombes S., Matthews P.C. Dynamic instabilities in scalar neural field equations with spacedependent delays // Physica D. 2007. № 232. C. 1-15.
3. Faye G., Faugeras O. Some theoretical and numerical results for delayed neural field equations // Physica
D. 2010. № 239. C. 561-578.
4. Жуковский Е.С. Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Вольтерра // Математический сборник. 2006. Т. 197. № 10. С. 33–56.
5. Шрагин И.В. Измеряемость суперпозиций разрывных функций // Труды Тамб. ин-та хим. машиностроения. 1969. С. 6-8.
6. Шрагин И.В. Суперпозиционная измеримость // Известия вузов. Математика. 1975. № 1. С. 82–92
7. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Т. 1. Общая теория. М.: ИЛ, 1962. 896 с.
8. Азбелев Н.В., Цалюк Б.З. Об интегральных неравенствах // Математический сборник, 1962. Т. 56.
№ 3. С. 325–342.
9. Жуковский Е.С. Об интегральных неравенствах в пространствах суммируемых функций // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. № 4. С. 580-584.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 11-01-00626-а)
и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013гг.
(соглашение № 14.132.21.1348).
Burlakov E.O., Zhukovskiy E.S., Shindiapin A.I. ON CLASS OF VOLTERRA INTEGRAL INEQUALITIES
We investigate the integral equation with delay with respect to integrable function defined on infinite
«time» interval and non-necessarily bounded «space» variable set. This equation describes the neuronal
model of the cortical tissue. We obtain the statement on inequality, which guarantee existence of a solution
majorized by a given integrable function.
Key words: Volterra integral equations with delay, integral inequalities.
УДК 517.968.4
ON WELL-POSEDNESS OF GENERALIZED NEURAL FIELD MODELS
c
⃝
E. Burlakov, A. Ponosov, J. Wyller
Ключевые слова: neural field equations; Well-posedness.
We obtain conditions for existence of a unique global or maximally extended solution
to generalized neural field equation and continuous dependence of this solution on
spatiotemporal integration kernel, on delay effects, firing rate, and history function.
Firing rate models are used in the investigation of network properties of the strongly interconnected cortical networks. In neural field models the cortical tissue has in addition been modeled
2457
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 18, вып. 5, 2013
as continuous lines or sheets of neurons. In such models the spatiotemporally varying neural
activity is described by a single or several scalar fields, one for each neuron type incorporated
in the model. These models are formulated in terms of differential, integro-differential equations
and integral equations [1–3]. These neural field models depend on several biologically important
parameters. Thus it is of interest of studying the impact of parameters on the well-posedness
issue of these models: existence, uniqueness and continuous dependence on input data. In the
present work we approach this problem by considering the model
∫t ∫
u(t, x) = φλ (a, x) +
( (
))
Wλ (t, s, x, y)fλ u s − τλ (s, x, y), y dyds,
a Ω
t ∈ [a, ∞), x ∈ Ω;
(4)
u(ξ, x) = φλ (ξ, x), ξ 6 a, x ∈ Ω.
Here a ∈ R , Ω is some closed subset of Rm . For any subset D of Rq , denote by BC(D, Rn )
the space of bounded continuous functions ϑ : D → Rn with the norm ∥ϑ∥BC(D,Rn ) = sup |ϑ(χ)| .
χ∈D
We have the following assumptions on the functions involved in (1) :
(A1) For any λ ∈ Λ , b > a , t ∈ [a, b] , x ∈ Ω , the function Wλ (t, ·, x, ·) : [a, b] × Ω → Rn is
measurable.
∫t ∫ (A2) For any λ ∈ Λ , b > a ,
Wλ (t, s, x, y)dyds = G(t, x), where G ∈ BC([a, b] × Ω, Rn )
a Ω
is independent of λ .
(A3) For any λ ∈ Λ , the function fλ : Rn → Rn is measurable and for any r > 0 one can
find such fr > 0 , that for all u ∈ Rn , |u| 6 r , it holds true that |fλ (u)| 6 fr .
(A4) For any λ ∈ Λ , the delay function τλ : R × Ω × Ω → [0, ∞) is continuous on R × Rn ×
n
×R .
(A5) For any λ ∈ Λ , the history function φλ is an element of BC((−∞, a] × Ω, Rn ) .
Choose arbitrary λ ∈ Λ .
D e f i n i t i o n 1. We define a local solution to eq. (1) , defined on [a, a+γ] × Rn , γ ∈ (0, ∞) ,
to be a function uγ ∈ BC([a, a+γ] × Ω, Rn ) , that satisfies the equation (1) on [a, a+γ] × Rn .
We define a maximally extended solution to eq. (1) , defined on [a, a+ζ) × Ω , ζ ∈ (0, ∞) , to be
a function uζ : [a, a+ζ) × Ω → Rn , whose restriction uγ on [a, a+γ] × Ω with any γ < ζ is its
local solution and lim ∥uγ ∥BC([a,a+γ]×Ω,Rn ) = ∞ . We define a global solution to eq. (1) to be
γ→ζ−0
a function u : [a, ∞) × Ω → Rn , whose restriction uγ on [a, a+γ] × Ω with any γ ∈ (0, ∞) is its
local solution.
T h e o r e m 1. Assume that the following conditions are satisfied:
1) There is a neighborhood U0 of λ0 that for any for any r > 0 there exists such fer ∈ R
(independent of λ ∈ U0 ), that for all u1 , u2 ∈ Rn , |x1 | 6 r , |x2 | 6 r , we have |fλ (u1 ) − fλ (u2 )| 6
6 fer |u1 − u2 | ;
∫t ∫
∫t ∫
W
(t,
s,
x,
y)dyds
W
(t,
s,
x,
y)dyds
−
2) For any b > a ,
sup
→ 0 as λ → λ0 ;
λ0
λ
a Ω
t∈[a,b], x∈Ω a Ω
(
)
3)(For any
) b > a , if |ui (·, ·) − u(·, ·)| → 0 in measure on [a, b] × Ω as i → ∞ , then |fλ ui (·, ·) −
− fλ0 u(·, ·) | → 0 in measure on [a, b] × Ω as i → ∞ and λ → λ0 ;
4) For any b > a , sup |τ (·, x, ·, λ) − τ (·, x, ·, λ0 )| → 0 in measure on [a, b] × Ω as λ → λ0 ;
x∈Ω
5) ∥φλ − φλ0 ∥BC((−∞,a]×Ω,Rn ) → 0 as λ → λ0 .
Then, there is a neighborhood U of λ0 , such that for each element λ ∈ U , eq. (1) has a
unique global or maximally extended solution, and each local solution is a restriction of this global
2458
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 18, вып. 5, 2013
or maximally extended solution to (1) . Moreover, if at λ = λ0 , eq. (1) has a local solution u0γ
defined on [a, a+γ) × Ω , then for each λ sufficiently close to λ0 eq. (1) has a local solution
uγ = uγ (λ) defined on [a, a+γ] × Ω and ∥uγ (λ) − u0γ ∥BC([a,a+γ]×Ω,Rn ) → 0 as λ → λ0 .
The proof is based on ideas developed in [4].
REFERENCES
1. Wilson H.R., Cowan J.D. Excitatory and inhibitory interactions in localized populations of model neurons //
Biophys. J. 1972. № 12. С. 1-24.
2. Venkov N.A., Coombes S., Matthews P.C. Dynamic instabilities in scalar neural field equetions with spacedependent delays // Physica D. 2007. № 232 P. 1-15.
3. Faye G., Faugeras O. Some theoretical and numerical results for delayed neural field equations // Physica
D. 2010. № 239. P. 561-578.
4. Zhukovskiy E.S. Continuous dependence on parameters of solutions to Volterra’s equations // Sbornik:
Mathematics. 2006. № 10. P. 1435-1457.
ACKNOWLEDGEMENTS: The present work is partially supported by RFBR (Project № 1101-00626).
Бурлаков Е.О., Поносов А.В, Виллер Й.А. О КОРРЕКТНОСТИ ОБОБЩЕННЫХ МОДЕЛЕЙ
НЕЙРОПОЛЕЙ
Получены условия, гарантирующие существование единственного глобального или предельно
продолженного решения уравнения нейрополя и его непрерывную зависимость от пространственновременного ядра интегрирования, запаздывания, функции активации и предыстории
Ключевые слова: корректность; уравнения нейрополей.
УДК 551.507.362
НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ФОРМАЛИЗАЦИИ КРИТЕРИЯ
ВИДИМОСТИ ОБЪЕКТА В УСЛОВИЯХ ОПТИЧЕСКОЙ МАСКИРОВКИ
c
⃝
Д.В. Бут, В.А. Васильев, В.В. Дорофеев, А.В. Степанов
Ключевые слова: авиационные средства поражения; степень видимости объекта; реальная дальность видимости обнаружения объекта
Работа посвящена многокритериальной оптимизационной задаче по принятию решений на применение авиационных средств поражения. Проведен анализ зависимостей
дальности видимости обнаружения и опознавания объектов для матового ландшафта. Определена зависимость реальной дальности видимости обнаружения объекта от
степени его видимости.
Анализ опыта современных войн и локальных конфликтов показывает, что неправильное принятие решений при применении авиационных средств поражения в районе цели
приводило к трагическим ошибкам, и ударам по своим войскам. По статистике и анализу
подобных инцидентов в войнах и конфликтах с участием американских войск, причинами
этих ошибок (потерь от собственного огня) стали (в процентном содержании) [8]:
· из за плохой организации взаимодействия - 45 %;
· по неустановленным причинам - 10 %;
2459