сингулярное интегральное уравнение с ядром коши на сложном

СИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЯДРОМ КОШИ
НА СЛОЖНОМ КОНТУРЕ
Шешко М.А.(Люблин, Польша), Шешко С.М.(Минск, Беларусь)
Рассмотрим уравнение вида
Z
m(t, τ )
1
ϕ(τ )dτ = f (t), t ∈ L,
a(t)ϕ(t) +
πi L τ − t
(1)
где a(t), m(t, τ ), f (t)– заданные на L комплекснозначные функции, непрерывные
по Гельдеру, ϕ(t) – искомая функция. Контур L состоит из m непересекающихся
S
гладких разомкнутых дуг Lk = ak bk , k = 1, 2, ..., m : L = m
k=1 Lk ; концевые
точки ak , bk , k = 1, 2, ..., m, не совпадают с началом координат плоскости CZ .
)
Вводя обозначения m(τ, τ ) = b(τ ), m(t,τ τ)−m(τ,τ
= k(t, τ ), уравнение (1) запи−t
шем в виде
Z
Z
1
b(τ )ϕ(τ )
1
a(t)ϕ(t) +
k(t, τ )ϕ(τ )dτ = f (t), t ∈ L, a2 (t) − b2 (t) 6= 0.
dτ +
πi L τ − t
πi L
(2)
Переходя в уравнении (2) к новой неизвестной функции u(t) по правилу
ϕ(t) =
Z(t)
u(t),
− b2 (t)
a2 (t)
уравнение приведем к виду
Z
Z
1
u(τ )
Z(τ )
1
A(t)Z(t)u(t)+
B(τ )Z(τ )
k(t, τ ) 2
dτ +
u(τ )dτ = f (t), t ∈ L,
πi L
τ −t
πi L
a (τ ) − b2 (τ )
(3)
a(t)
b(t)
+
−
где A(t) = a2 (t)−b
,
B(t)
=
,
Z(t)
=
(a(t)+b(t))X
(t)
=
(a(t)−b(t))X
(t),
2 (t)
a2 (t)−b2 (t)
±
X (t) – предельные значения на L канонической функции X(z).
Для уравнения (3) найдены условия единственности решения u(t) при положительном индексе и приведены вычислительные схемы с указанием порядковой оценки погрешности приближенного решения в предположении аналитической продолжимости функций f (t) и k(t, τ ) с контура L.
Отметим, что имеющиеся в литературе вычислительные схемы (см. [1-3])
ориентированы на случаи, когда областью интегрирования являются окружность или отрезок вещественной оси.
Литература
1. Elliott D., The approximate solution of singular integral equations. Solutions
methods of integral equations. Theory and Appl., New York; London, 1979, vol. 18,
pp. 83-107.
2. Golberg M.A., The numerical solution of Cauchy singular integral equations
with constant coefficients, J. Integr. Equat., 1985, vol. 9, no. 1, pp. 127-151.
3. Шешко М.А., Сингулярные интегральные уравнения с ядрами Коши и
Гильберта и их приближенное решение, Люблин, 2003.
1