Раздел 10

Долгушин А. Н.
«Практикум решения физических задач»
Раздел 9
«Решение блока задач методом суммирования»
Задача №1.
Динамика. Второй закон Ньютона. К грузу массой 7 кг подвешен
другой груз массой 5 кг. Какое натяжение будут испытывать верхний
конец и середина каната, если всю систему поднимать вертикально вверх
с силой 240 Н, приложенной к большему грузу? Масса каната 4 кг.
Решение:
Выполняем рисунок.
Представляем канат в виде двух грузов равной массы и выполняем
соответствующий рисунок с указанием всех действующих сил.
Натяжение между грузами, представляющими канат, – это натяжение середины
каната при движении системы вверх.
1
Задача №2.
Динамика. Закон всемирного тяготения. Определите, с какой силой однородное кольцо
массой M и радиусом R притягивает к себе шарик массой m, расположенный на расстоянии h
от центра кольца на перпендикуляре к плоскости кольца, проходящем через его центр.
Размерами шарика пренебречь.
Решение:
Закон всемирного тяготения справедлив только в отношении точечных тел. Разбиваем
массивное кольцо на элементарные равномерно распределённые ячейки, которые
рассматриваем как материальные точки массой Mi. Притяжением между элементарными
ячейками кольца пренебрегаем. Легко сообразить, что результирующая сила Fрез будет
направлена от шарика к центру кольца и являться суммой всех сил притяжения
(гравитационных сил) Fгр i, действующих со стороны элементарных масс Mi на шарик. Задача
сводится к определению силы притяжения (гравитационной силы) Fгр i между каждой i-й
ячейкой и шариком.
Вклад в результирующую силу со стороны каждой i-й ячейки:
cos  
Fрезi  G
h
h R
2
2
Mim
h  R2

2
Fгрi  G
;

h
h  R2
2
Mim
,
h  R2
2
где
–
G
Fрезi  Fгрi cos  ;
гравитационная
постоянная.
. Окончательно задача решается путём суммирования обеих
частей последнего равенства:
F
i
резi
G
h
mh
2
 R2
M
 
. Поскольку G, m, R, h являются
i
3/ 2
i
величинами постоянными, их можно вынести за знак суммирования. Сумма масс всех
элементарных ячеек есть масса кольца M: Fрез  G
h
Mmh
2
 R2

3/ 2
.
2
Задача №3.
Электростатика. Закон Кулона. Тонкое проволочное кольцо радиусом R имеет
электрический заряд q. В центре кольца расположен одноимённый заряд Q >> q. Определите
силу T, растягивающую кольцо.
Решение:
Закон Кулона прямо применять нельзя. Равномерно заряженное кольцо разбиваем на
элементарные ячейки, которые можно представить как точечные заряды. Сделаем рисунок
для i-й ячейки:
Всё кольцо растянуто равномерно. Обе силы растяжения Т1 и T2 обусловлены упругими
силами в кольце. Поскольку ячейка находится в состоянии покоя, а заряд считаем
расположенным в центре кольца, записываем второй закон Ньютона для i-й ячейки: FКi + T1
+ T2 = 0. Находим проекции векторов действующих сил на направление Y: Fki  2T sin
Fki 

2
,
li
1 Qqi
sin




.
Синусы
малых
углов
заменяем
самими
углами
в
радианах:
.
4 0 R 2
R
Суммируем вклады от всех ячеек, учитывая, что сумма всех зарядов элементарных ячеек
есть q, а сумма всех длин элементарных ячеек есть 2R :
i
T
 1 Qqi
2
0 R

  4

 l 
    T i  ;
 i  R 
1
Qq
.
8  0 R 2
2
3
Задача №4.
Электростатика. Напряжённость – силовая характеристика электрического поля.
Потенциал – энергетическая характеристика электрического поля. По кольцу радиусом
R равномерно распределён заряд Q. Определите напряжённость электрического поля и его
потенциал в центре кольца, а также в точке, отстоящей на расстоянии h от центра кольца по
перпендикуляру к плоскости кольца.
Решение:
Для определения напряжённости электрического поля в некоторой точке в неё
необходимо поместить положительный единичный заряд. В центре Е0 = 0. Потенциал
электрического поля точечного заряда является скалярной величиной. Решение аналогично
решению

1
4 0
задачи
R
Q
2
 h2
2.

На
расстоянии
h
от
центра
кольца:
E
1

Qh
4 0 R 2  h 2

3/ 2
,
.
Задача №5.
Магнитное поле. Сила Ампера в комбинации с механическим напряжением. По
жёсткому кольцу из медной проволоки течёт ток силой 5 А. Кольцо находится в
перпендикулярном к
его плоскости магнитном поле
индукцией
0,5 Тл. Найдите
растягивающее механическое напряжение в проволоке, если радиус кольца 5 см, а площадь
сечения проволоки 3 мм2. Магнитным взаимодействием между различными участками
кольца можно пренебречь.
Решение:
Механическим напряжением называется физическая величина, равная отношению
модуля силы упругости, возникающей при деформации, к площади сечения образца,
4
перпендикулярного вектору силы упругости:  
Fупр
S
. Сила упругости возникает в
результате действия магнитного поля на кольцо с током. Равномерно разобьём кольцо на
элементарные ячейки. Сделаем рисунок, на котором укажем направление всех сил,
действующих на одну ячейку. На все ячейки действуют одинаковые по модулю силы
упругости.
Для одной ячейки запишем второй закон Ньютона в векторном виде, учитывая, что она
находится в равновесии: Y: FA + Fупр.1 + Fупр.2 = 0. Выбираем ИСО (ось Y) и находим
проекции действующих сил: FA = 2Fупрsin(/2). Так как угол a достаточно мал, то:
sin    
li
l
IBR
; IBli  Fупр i . Окончательно получаем  
.
R
R
S
5