Определение кольца и поля

Теория колец-1
01.09.2014
Определение кольца и поля
′
χG ; χG χG В отличие от групп кольца и поля — это алгебраические структуры с двумя операциями,
называемыми обычно сложением и умножением. Их аксиомы подсказаны свойствами операций над
вещественными числами.
Кольцом называется непустое множество K с операциями сложения и умножения, обладающими
следующими свойствами:
• относительно сложения K есть абелева группа (называемая аддитивной группой кольца K);
• a(b + c) = ab + ac и (a + b)c = ac + bc для любых a, b, c ∈ K (дистрибутивность умножения
относительно сложения).
1. Для любых a, b, c ∈ K а) a0 = 0a = 0; б) a(−b) = (−a)b = −ab; в) a(b − c) = ab − ac и
(a − b)c = ac − bc.
Кольцо K называется ассоциативным, если умножение в нем ассоциативно, т. е. (ab)c = a(bc) для
любых a, b, c ∈ K. Кольцо K называется кольцом с единицей, если в K существует нейтральный элемент
относительно умножения, обозначаемый обычно через 1, т.е. 1a = a1 = a для любого a ∈ K. Кольцо
K называется коммутативным, если K — ассоциативное кольцо с единицей, в котором умножение
коммутативно.
2. В кольце не может быть двух различных единиц.
3. Пусть кольцо с единицей содержит не меньше двух элементов. Тогда 1 ̸= 0.
4. Какие из следующих колец являются коммутативными? ассоциативными? кольцами с единицей?
а) множества Z, Q, R, C, 2Z, Zn ; б) множество всех функций, определенных на заданном подмножестве
числовой прямой.
5. Множество многочленов K[x1 , . . . , xn ], где K — коммутативное кольцо, также является коммутативным
кольцом.
Элемент a−1 кольца с единицей называется обратным к элементу a, если aa−1 = a−1 a = 1 (в
коммутативном кольце достаточно требовать, чтобы aa−1 = 1). Элемент, имеющий обратный, называется
обратимым или единицей.
6. В коммутативном кольце элемент не может иметь двух различных обратных элементов.
Полем называется коммутативное кольцо, содержащее не менее двух элементов, в котором всякий
ненулевой элемент обратим.
7. Являются ли полем следующие кольца: Q, R, C, Z, Zm ?
8. Если K — поле, то для любых двух элементов a, b ∈ K если ab = 0, то a = 0 или b = 0.
Элемент a ̸= 0 ∈ K называется делителем нуля, если найдется элемент b ̸= 0, такой что ab = 0.
Коммутативное кольцо без делителей нуля называются областью целостности или кольцом целостности.
9. Обратимый элемент кольца не может быть делителем нуля.
10. Если K — кольцо без делителей нуля, то возможно сокращение: если ac = bc (или ca = cb) и c ̸= 0, то
a = b.
11. В конечном коммутативном кольце если элемент не является делителем нуля, то он обратим.
12. Придумайте пример а) конечного; б) бесконечного коммутативного кольца с делителями нуля.
13. Множество K ∗ единиц кольца K является группой. Она называется мультипликативной группой
или группой единиц кольца K.
14. Укажите, является ли данное числовое множество кольцом/ассоциативным кольцом/коммутативным
кольцом/кольцом без делителей нуля/полем. Опишите единицы колец.
а) множество nZ, n > 1;
б) множество рациональных чисел, в несократимой записи которых знаменатели делят фиксированное
число n ∈ N;
в) множество рациональных чисел, в несократимой записи которых знаменатели не делятся на фиксированное простое число p;
г) множество рациональных чисел, в несократимой записи которых знаменатели являются степенями
фиксированного простого числа p;
√
д) множество вещественных чисел вида x + y √2, где x, y ∈ Q;
3
е) множество вещественных чисел вида x + y √
2 , где
x, y ∈ Q;
√
3
3
ж) множество вещественных чисел вида x + y 2 + z 4, где x, y, z ∈ Q;
з) множество гауссовых чисел, т.е. комплексных чисел вида x + yi, где x, y ∈ Z;
и) множество всевозможных сумм вида a1 z1 + . . . + an zn , где ai ∈ Q, zi — комплексный корень степени n
из 1, 1 6 i 6 n.