1.Устойчивость по первому приближению

Óñòîé÷èâîñòü ïî ïåðâîìó ïðèáëèæåíèþ
Ïðèìåð 1. Ïî ïåðâîìó ïðèáëèæåíèþ èññëåäîâàòü
íà óñòîé÷èâîñòü íóëåâîå ðåøåíèå ñèñòåìû
(
ẋ = ex+2y − cos 3x,
√
ẏ = 4 + 8x − 2ey .
Ðåøåíèå. Ïåðâîå ïðèáëèæåíèå ñèñòåìû íàéä¼ì ïî
ôîðìóëå Ìàêëîðåíà


 ẋ =


∂f1 (0,0)
∂x
(0,0)
x + ∂f1∂y
y + R1(x, y),
(0,0)
x + ∂f2∂y
y + R2(x, y),
√
ãäå f1 (x, y) = ex+2y − cos 3x , f2 (x, y) = 4 + 8x − 2ey .
ẏ =
∂f2 (0,0)
∂x
Ñèñòåìà ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ èìååò âèä
(
ẋ = x + 2y,
ẏ = 2x − 2y.
Çàïèøåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ýòîé ñèñòåìû: det (A − λE) = λ2 + λ − 6 = 0, à åãî êîðíè λ1 = 2 ,
λ2 = −3 . Îäèí èç êîðíåé ïîëîæèòåëüíûé λ1 > 0 ,
ñëåäîâàòåëüíî, íóëåâîå ðåøåíèå íåóñòîé÷èâî. 2
Ïðèìåð 2. Ïî ïåðâîìó ïðèáëèæåíèþ èññëåäîâàòü
íà óñòîé÷èâîñòü íóëåâîå ðåøåíèå ñèñòåìû
(
ẋ = 2x + 8 sin y,
ẏ = 2 − ex − 3y − cos y.
Ðåøåíèå.
Ïðàâûå ÷àñòè ýòèõ óðàâíåíèé ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà ïðåäñòàâèì ïî ôîðìóëå
1
Ìàêëîðåíà
(
ẋ = 2x + 8y + R1(x, y),
ẏ = −x − 3y + R2(x, y).
Ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ èìååò âèä
(
Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå
ẋ = 2x + 8y,
ẏ = −x − 3y.
óðàâíåíèå
ýòîé
ñèñòåìû
det (A − λE) = λ2 + λ + 2 = 0, à åãî êîðíè λ1,2 =
−1/2 ± i · 7/2. Î÷åâèäíî, ÷òî Reλ1 = Reλ2 = −1/2 < 0.
Ðåøåíèå x = 0, y = 0 ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì. 2
Ïðèìåð 3.
Íàéòè âñå òî÷êè ïîêîÿ è èññëåäîâàòü
èõ íà óñòîé÷èâîñòü äëÿ ñèñòåìû
(
ẋ = y − x2 − x,
ẏ = 3x − x2 − y.
Ðåøåíèå. Ïðèðàâíèâàåì íóëþ ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé ñèñòåìû:
(
y − x2 − x = 0,
3x − x2 − y = 0.
Îòêóäà ïîëó÷àåì äâå òî÷êè ïîêîÿ: M1 (0, 0) , M2 (1, 2) . Èññëåäóåì èõ íà óñòîé÷èâîñòü.
1. Òî÷êà M1(0, 0) . Ñèñòåìà ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ
èìååò âèä
(
ẋ = −x + y,
ẏ = 3x − y.
Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå λ2 + 2λ − 2 = 0 èìååò êîð√
√
íè λ1,2 = −1± 3 . Êîðåíü λ1 = −1+ 3 ïîëîæèòåëüíûé,
2
ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà ïîêîÿ M1 è ñîîòâåòñòâóþùåå ðåøåíèå íåóñòîé÷èâû.
2. Òî÷êà M2(1, 2) . Äåëàåì çàìåíó ïåðåìåííûõ: u =
x − 1 , v = y − 2 . Òî÷êå ïîêîÿ M2 ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà
ïîêîÿ N (0, 0) ïðåîáðàçîâàííîé ñèñòåìû
(
u̇ = v − u2 − 3u,
v̇ = u − u2 − v.
Ñèñòåìà ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ èìååò âèä
(
u̇ = −3u + v,
v̇ = u − v.
Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå λ2 +4λ+2 = 0 èìååò êîðíè
√
λ1,2 = −2 ± 2 . Âñå îíè îòðèöàòåëüíû, è ñëåäîâàòåëüíî,
òî÷êà ïîêîÿ N , à çíà÷èò è òî÷êà M2 , óñòîé÷èâû. 2
3