1 Условия задачи 2 Перевод лапласиана в полярные координаты

1
Óñëîâèÿ çàäà÷è
Ðåøèòü óðàâíåíèå Ëàïëàñà
∆U = 0
(1)
U |r=a = A sin ϕ
(2)
ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì
à) âíóòðè
á) ñíàðóæè îêðóæíîñòè
2
r = a.
Ïåðåâîä ëàïëàñèàíà â ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû
U = U (r, ϕ)
U (r, ϕ) = U (r, ϕ + 2π)
2
2
Uxx = Urr (rx ) + 2Urϕ rx ϕx + Uϕϕ (ϕx ) + Ur rxx + Uϕ ϕxx
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
(3)
(4)
(5)
Íàõîäèì ïðîèçâîäíûå:
1 = rx cos ϕ − r sin ϕϕx | · cos ϕ
0 = rx sin ϕ + r cos ϕϕx | · sin ϕ
rx = cos ϕ
(7)
0 = cos ϕ sin ϕ + r cos ϕϕx
(8)
ϕx = −
sin ϕ
r
∂
∂
sin ϕ
sin2 ϕ
rx =
cos ϕ = − sin ϕϕx = − sin ϕ −
=
∂x
∂x
r
r
∂ sin ϕ
cos ϕ
sin ϕ
cos ϕ
sin 2ϕ
∂
sin ϕ
sin ϕ
ϕx = −
=−
ϕx + 2 rx = −
=
−
+ 2 cos ϕ =
∂x
∂x r
r
r
r
r
r
r2
rxx =
ϕxx
(6)
(9)
(10)
(11)
Ïîäñòàâëÿåì â
2
sin ϕ
sin ϕ
sin2 ϕ
sin 2ϕ
2
Uxx = Urr (cos ϕ) + 2Urϕ cos ϕ −
+ Uϕϕ −
+ Ur
+ Uϕ
=
r
r
r
r2
= Urr cos2 ϕ −
sin 2ϕ
sin2 ϕ sin2 ϕ
sin 2ϕ
Urϕ + Uϕϕ 2 +
Ur +
Uϕ .
r
r
r
r2
Àíàëîãè÷íî
Uyy = Urr sin2 ϕ +
cos2 ϕ
cos2 ϕ
sin 2ϕ
sin 2ϕ
Urϕ +
Uϕϕ +
Ur −
Uϕ
2
r
r
r
r2
(12)
(13)
 ñóììå
∆U = Uxx + Uyy = Urr +
1
1
1 ∂
1
Uϕϕ + Ur =
(rUr ) + 2 Uϕϕ
r2
r
r ∂r
r
1
(14)
3
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ
3.1
Ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ
1 ∂
1
(rUr ) + 2 Uϕϕ = 0
r ∂r
r
U (r, ϕ) = R (r) Φ (ϕ)
∆U =
(15)
(16)
Èç (3)
Φ (ϕ) = Φ (ϕ + 2π)
(17)
2
r
1 00
1 ∂
0
(rR ) Φ + R 2 Φ = 0
r ∂r
r
RΦ
(18)
Ïîäñòàâëÿåì â (15)
r ∂
Φ00
(rR0 ) = −
= µ,
R ∂r
Φ
3.2
µ = const
(19)
Óãëîâàÿ ÷àñòü
−
Φ00
=µ
Φ
(20)
Φ00 + µΦ = 0
(21)
λ2 + µ = 0
(22)
Φ = C1 eαϕ + C2 e−αϕ
(23)
C1 eαϕ + C2 e−αϕ = C1 eα(ϕ+2π) + C2 e−α(ϕ+2π)
(24)
ÕÓ:
Ñëó÷àé µ < 0
:
µ = −α2 λ = ±α
Èç (17)
Äèôôåðåíöèðóåì ïî
ϕ
è äåëèì íà
α:
C1 eαϕ − C2 e−αϕ = C1 eα(ϕ+2π) − C2 e−α(ϕ+2π)
(25)
C1 eαϕ = C1 eα(ϕ+2π)
C1 e2πα − 1 = 0
(26)
Ñêëàäûâàåì
2πα 6= 0
Èç (24) è (28)
C2
=⇒
C1 = 0.
C2 e−αϕ = C2 e−α(ϕ+2π)
1 − e−2πα = 0 =⇒ C2 = 0
Φ=0
2
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
Ñëó÷àé µ = 0
Ñëó÷àé µ > 0
:
:
Φ00 = 0
(32)
Φ = C1 ϕ + C2
(33)
C1 ϕ + C2 = C1 (ϕ + 2π) + C2
(34)
2πC1 = 0
(35)
Φ = C2
(36)
µ = α2
λ2 + α2 = 0,
λ = ±iα
(37)
Φ = C1 cos (αϕ) + C2 sin (αϕ)
(38)
C1 cos (αϕ) + C2 sin (αϕ) = C1 cos (α [ϕ + 2π]) + C2 sin (α [ϕ + 2π]) ,
(39)
−2C1 sin (πα) sin (αϕ + πα) + 2C2 sin (πα) cos (αϕ + πα) = 0,
(40)
sin (πα) (C1 sin (αϕ + πα) − C2 cos (αϕ + πα)) = 0.
(41)
C1 sin (αϕ + πα) − C2 cos (αϕ + πα) = 0.
(42)
C1 cos (αϕ + πα) + C2 sin (αϕ + πα) = 0.
(43)
Èç (17)
Ïóñòü
Äèôôåðåíöèðóåì ïî
Óìíîæèì 42 íà
ϕ
è äåëèì íà
sin (αϕ + πα),
α:
43 íà
+
cos (αϕ + πα)
è ñëîæèì:
C1 sin2 (αϕ + πα) − C2 cos (αϕ + πα) sin (αϕ + πα) = 0,
C1 cos2 (αϕ + πα) + C2 sin (αϕ + πα) cos (αϕ + πα) = 0,
C1 = 0
=⇒
C2 = 0.
(44)
(45)
Èòàê,
Φn =
(ïðè
n=0
ïîëó÷àåì (36),
sin (πα) = 0
(46)
πα = πn, n ∈ Z
(47)
α = n, µ = n2
(48)
C1n
cos (nϕ) +
n = 0, 1, 2 . . .)
3
C2n
sin (nϕ)
(49)
3.3
Ðàäèàëüíàÿ ÷àñòü
Âîçüì¼ì ëåâóþ ÷àñòü (19):
r ∂
(rR0 ) = n2 ,
R ∂r
(50)
r2 R00 + rR0 = n2 R.
(51)
ρ
r = e ρ = ln r
R0 =
d
R =
dr
00
4
1 dR
r dρ
dR dρ
1 dR
dR
=
=
,
dr
dρ dr
r dρ
1
1 dR 1 d dR
1 dR
1 d2 R
=− 2
+
=− 2
+ 2 2 = 2
r dρ
r dr dρ
r dρ
r dρ
r
2
d R dR
dR
−
+
= n2 R
dρ2
dρ
dρ
(52)
d2 R dR
−
dρ2
dρ
,
(53)
(54)
d2 R
= n2 R
dρ2
(55)
Rn = C3n enρ + C4n e−nρ = C3n rn + C4n r−n
(56)
Un = (C5n cos (nϕ) + C6n sin (nϕ)) rn .
(57)
Ðåøåíèå ïóíêòà à)
Âíóòðè, ïðè
r < a, C4n = 0.
Ïîäñòàâèì (49) è (56) â (16)
 ñèëó ëèíåéíîñòè (1),
U=
∞
X
Un =
n=0
ãäå
C5n = C1n · C3n , C6n = C2n · C3n .
Íàéä¼ì C5n è C6n èç (2):
U |r=a =
∞
X
∞
X
(C5n cos (nϕ) + C6n sin (nϕ)) rn ,
(58)
n=0
(C5n cos (nϕ) + C6n sin (nϕ)) an = A sin ϕ.
(59)
n=0
Ýòî óñëîâèå âûïîëíÿåòñÿ ïðè
C5n = 0;
Òîãäà
C61 =
A
;
a
C6n = 0,
n 6= 1.
Ar
sin (ϕ)
U = (C5n cos (nϕ) + C6n sin (nϕ)) rn |n=1 = C51 cos (ϕ) + C61 sin (ϕ) r =
a
4
(60)
(61)
5
Ðåøåíèå ïóíêòà á)
Ñíàðóæè, ïðè
r > a, C3n = 0,
U=
∞
X
Un =
n=0
ãäå
C5n = C1n · C4n , C6n = C2n · C4n .
∞
X
(C5n cos (nϕ) + C6n sin (nϕ)) r−n ,
(62)
n=0
Íà ãðàíèöå
U |r=a =
∞
X
(C5n cos (nϕ) + C6n sin (nϕ)) a−n = A sin ϕ,
(63)
n=0
÷òî èìååò ìåñòî ïðè
C5n = 0;
C61 = Aa;
Òîãäà
U=
C6n = 0,
Aa
sin (ϕ) .
r
5
n 6= 1.
(64)
(65)