КАК ЗАДАВАТЬ ВОПРОСЫ

Сгибнев А.И.
КАК ЗАДАВАТЬ ВОПРОСЫ?
Вопросы важнее ответов.
А.К. Звонкин
Я начну с примеров моей работы в 9 классе в 2005-2006 году.
1. «Доказать, что если фигура имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, то точка их
пересечения является центром симметрии фигуры»1. Слегка изменим утверждение задачи:
«Если у фигуры на плоскости есть две оси симметрии, то есть и центр симметрии.» (*)
Спросим: «Верно ли утверждение? Если да, докажите, попробуйте обобщить. Если нет, приведите
контрпример, попробуйте уточнить. Постройте утверждение, обратное исходному. Выполните с
ним те же задания.» (**)
Я дал эту задачу в домашнем задании 9 классу, два ученика независимо нашли и доказали (в
сумме) следующее: «У правильного треугольника три оси симметрии, пересекающиеся в одной
точке, а центра симметрии нет. Значит, утверждение (*) нуждается в уточнении. Если есть две оси
и они взаимно перпендикулярны, то центр симметрии есть. Если у фигуры ровно две оси
симметрии, то они автоматически взаимно перпендикулярны, тогда есть и центр симметрии. 2
Теперь разберёмся с обратным утверждением. Из наличия центра симметрии не следует наличие
двух осей, пример: Z. Попробуем уточнить. Можно потребовать наличия центра и одной оси,
тогда должна быть и вторая, ей перпендикулярная. Возможны и другие уточнения.»
2. «Выразить площадь треугольника S через три его стороны a, b, c.»
Даю классу такое «решение»: «Заметим прежде всего, что если a+b=c, то треугольник
вырождается в отрезок, площадь которого равна нулю. Следовательно, искомое выражение для S
должно содержать множитель (a+b-c). В силу равноправности сторон должны присутствовать и
множители (a+c-b), (b+c-a). Итак, получаем выражение (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a). Но его размерность –
третья степень длины, а нам нужна вторая (площадь). Чтобы получить вторую степень, надо
домножить это выражение на что-то размерности первой степени длины и извлечь квадратный
корень. Поскольку «что-то» также должно быть симметрично относительно a, b, c, то не остаётся
ничего, кроме (a+b+c). Итак, S=k{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)} 1 / 2 , где k – числовой
коэффициент. Его значение найдём, рассмотрев треугольник со сторонами a=b=c=1. Нетрудно
посчитать, что его высоты равны 3 2 , а значит, площадь S= 3 4 . По нашей формуле получаем
S=k 3 . Значит, k=1/4.
Итак, площадь треугольника со сторонами a, b, c можно вычислить по формуле
S=(1/4){(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)} 1 / 2 .»
(И.М. Гельфанд, сообщено автору Д.Э. Шнолем.)
«Верен ли ответ?» Ученики быстро узнают в выражении формулу Герона.
«Корректно ли решение?» Нет. Почти на каждом шаге выбор неоднозначен: можно взять не (a
+b-c), а другое выражение; вторую степень можно получить из третьей другим способом и т.д.
«Итак, наши рассуждения нельзя считать строгими, но мы угадали правильный ответ! Какие же
соображения использовались при решении?» Симметрия, рассмотрение частных случаев,
соображения размерности, принцип «Сначала попробуем самое простое».
«Видим, что эти соображения полезны, если мы хотим угадать или проверить ответ.»
Я привёл примеры открытой постановки задачи и эвристического рассуждения. Зачем я
использую их на уроках?
При традиционном преподавании математики определения и базовые теоремы с
доказательствами сообщают ученикам в готовом виде. Самостоятельность можно проявить, лишь
решая задачи. При этом ученик не задаёт ни тех вопросов, на которые ему «отвечают», ни тех, на
которые он сам должен отвечать. Всегда двигаясь по указке, он не понимает, почему вопросы те, а
не иные. Утратив инициативу, он рано или поздно теряет интерес к предмету, что психологически
закономерно. Более того, и методологически такая форма обучения мало соответствует научному
содержанию, поскольку далеко не все методы исследования в ней отражены. Ученику невдомёк,
что можно ставить вопросы, выдвигать гипотезы, изобретать доказательства, опровергать и
уточнять свои и чужие рассуждения… Более соответствует математике подход, при котором
ученик участвует в выдвижении гипотез и в постановке задач 3. Такой подход приближает урок к
научному семинару, а учёбу – к исследованию. Исследовать – дело нелёгкое, этому тоже надо
учить.
Здесь собраны приёмы, которые помогают мне подвести учеников к активной
исследовательской позиции. Моя идея в том, чтобы давать ученикам как можно меньше готового
материала. Я стремлюсь к тому, чтобы каждое моё готовое сообщение выступало в роли
«заготовки», «стартовой площадки» для самостоятельных исследований. Требуется не только
доказать, но и угадать, проверить, найти ошибку, исправить, обобщить, найти границы
применимости, задать свой вопрос и т.д. Способы создания таких «заготовок» изложены в разделе
I. В разделе II собраны эвристические вопросы, помогающие выдвигать гипотезы и ставить
задачи. В разделе III проанализированы особенности предлагаемого подхода и даны практические
советы.
Часть примеров, приведённых ниже, взято из литературы (в таких случаях даётся ссылка), в том
числе из школьных учебников и задачников. Многие авторы (Лакатос, Гин, Дубнов, Рыжик,
Саранцев, Шуба и др.) понимают роль открытых постановок, опровержений, поиска ошибок и т.д.
и используют их. Особо надо отметить книги Д. Пойа «Как решать задачу» (КРЗ), «Математика и
правдоподобные рассуждения» (МПР), «Математическое открытие» (МО), без которых эта работа
вряд ли была бы написана, и брошюру В.И. Арнольда (Арнольд), которая, несмотря на «детское»
название, весьма содержательна и математически, и методически. И всё же я считаю, что
открытые задачи и эвристические вопросы до сих пор недооценены и ими стоит пользоваться на
уроках более активно и систематически.
I. Как ставить задачи: открытые постановки
Окончательная формулировка задачи
становится ясной лишь тогда,
когда задача полностью решена.
А.К. Звонкин
Пойа предлагает делить школьные задачи на две группы: задачи на нахождение и задачи на
доказательство (МО, с. 145). И те и другие обычно решают готовыми методами. В книгах Пойа
(КРЗ, МО) разработаны способы самостоятельного изобретения решений, и здесь трудно чтолибо добавить. Однако Пойа не рассматривает специально вопроса о том, как учителю ставить
задачи так, чтобы стимулировать самостоятельные исследования учеников (хотя сам он широко
пользуется такими постановками). И тут главным объектом нашего внимания становятся задачи
на доказательство, т.е. задачи с готовым утверждением.
В.И. Арнольд, цитируя Пуанкаре, говорит, что задачи бывают двух видов: бинарные и
интересные. Бинарные предполагают только два ответа: «да» и «нет», интересные допускают
продвижения, вспомогательные задачи, уточнения, обобщения. Иначе говоря, интересны те
задачи, в которых решающий имеет пространство выбора:
Задачи интересные = исследовательские = открытые = есть выбор.
Чтобы разобраться здесь как следует, надо со всей чёткостью разделить два действия:
(1) рассмотрение математической ситуации, завершающееся выдвижением гипотезы;
(2) доказательство или опровержение готовой гипотезы.
(А есть ещё и третье, вернее "нулевое": сначала находят интересную ситуацию.)
Исследовательские умения (т.е. способность действовать в незнакомой ситуации) развиваются в
основном в (1). Именно здесь решающему задачу предоставлена свобода, здесь развивается
интуиция – искусство угадывать решение по нескольким частным случаям, по аналогии (МПР).
Если отсечь (1) и дать готовое утверждение, то из интересной задачи получится бинарная (точнее,
даже унарная). Вот это мы и делаем, когда даём ученикам задачу с готовым утверждением!
Традиционные формулировки школьных задач по математике, содержащие готовые
утверждения, неоправданно сужают пространство выбора. Задачи, поставленные таким
образом, развивают исследовательские умения гораздо меньше, чем могли бы.
Дело здесь именно в формулировках. Я утверждаю, что очень многие школьные задачи на
доказательство (и простую, и сложную) можно сформулировать так, что в решении появится
(понадобится!) элемент исследования. Ниже приводится ряд приёмов, позволяющих превращать
обычные бинарные и унарные задачи в интересные, исследовательские.
1. Не «проходим», а исследуем
Надо «пройти» непростой материал. Как это лучше сделать: прочесть лекцию? задать параграф
из учебника? дать теорему в виде задачи – может, сами догадаются?
Ясно, что без помощи учителя, «варясь в собственном соку», дети далеко не продвинутся. Даже
самые сильные. Однако отсюда не следует, что утверждения и доказательства надо давать в
готовом виде. Помощь бывает разная (см. раздел III). Сделаем из унарной задачи бинарную.
Дадим ученикам возможность самим проверить утверждение, сформулировать гипотезу.
Попробуем применять открытую постановку – «исследовать», «найти». Вместо «доказать, что…»
укажем направление поиска; предложим заготовку и дадим доработать её.
Наведём на факт, который надо открыть, не высказывая его прямо.
Пример I.1. Дан квадрат. Через его центр проведена прямая (в его плоскости). При каком
положении прямой сумма квадратов расстояний вершин до прямой максимальна, а при каком –
минимальна? (Эта сумма постоянна. Ср. Прасолов, N 1.69.)
Перевернём задачу: дадим в готовом виде идею доказательства и попросим по ней
сформулировать утверждение. (Фактически «Сформулируй условие по решению»!)
Пример I.2. Биссектриса делит треугольник на два. Отношение их площадей можно
посчитать двумя способами – как треугольников с общей высотой и как треугольников с одним
равным углом. Что получится, если приравнять эти отношения? (Теорема о биссектрисе, ср.
Атанасян 7-9, N 535.)
Пример I.3. Прямой круговой конус пересечён плоскостью по замкнутой кривой. Вписанные в
конус шары касаются плоскости сечения в точках A для одного и B для другого шара. Найти на
линии сечения точку C так, чтобы сумма расстояний CA+CB была а) наибольшей, б)
наименьшей. (Арнольд, N 25. Здесь применён также приём примера 1. На самом деле сумма будет
постоянна, значит, линия сечения – эллипс, см. Курант, гл. IV, пар. 8, п. 1. Арнольд в N 25
«переворачивает» теорему о коническом сечении.)
Попросим «доказать или опровергнуть» утверждение вместо однозначного «доказать»,
«опровергнуть». Подробнее: Верно ли утверждение? Если верно, докажите, если нет, приведите
контрпример.
Пример I.4. Функции f и g возрастают на промежутке X. Верно ли, что функции: а) f + g ,
2
f и fg возрастают на промежутке X; б) − f , 1 / f убывают на промежутке X? (Галицкий, N
8.141.)
Дадим в готовом виде лишь часть утверждения.
Пример I.5. Композиция двух поворотов на углы, в сумме не кратные 360° , является
поворотом. В какой точке находится его центр и чему равен угол поворота? Исследовать
также случай, когда сумма углов кратна 360° . (Гордин, часть 2, N 129 б.)
Разобьём сложную задачу на несколько более простых. (Дадим план доказательства.)
Пример I.6. а) Пусть x 2 + 5 x + 4 = 17 . Вычислить ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) . б) Решить
уравнение ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) = 360 . (Звавич, N 37.23. См. также N 37.26, 21.18 и 21.19 и
др.)
Пример I.7. Этапы доказательства теоремы о вписанном угле. (Атанасян 7-9, п. 71; МО, гл. 4,
пар. 4. Сначала рассматриваем благоприятный частный случай, когда сторона угла проходит через
центр окружности, затем выражаем через него все остальные. Пойа называет такой частный
случай ведущим.)
Предоставим ученику выбирать данные.
Пример I.8. а) Найти площадь кольца (фигуры, заключённой между двумя концентрическими
окружностями), сделав только одно измерение. (Нужно измерить хорду внешней окружности,
касающуюся внутренней.) б) Дан арбелос. (На прямой взяты три точки A, B и C. Построены три
полуокружности с диаметрами AB, BC и AC, расположенные по одну сторону от этой прямой.
Фигура, ограниченная этими полуокружностями, называется арбелос (Шарыгин, с. 230).)
Выразить его площадь через наименьшее число данных. (Достаточно одного!)
Пример I.9. Из каких трёх утверждений можно вывести четвёртое: α 1 ⊥ α 2 , β 1 ⊥ β 2 , α 1 || β 1 ,
α 2 || β 2 ? (Александров, N 9.19.)
Пример I.10. В некотором четырёхугольнике известен один из углов. Какого вида может быть
этот четырёхугольник, чтобы было возможно вычислить все остальные углы? (Шуба, с. 137.)
Сюда же примыкают задачи с лишними данными и задачи с недостатком данных. См. подборку
таких задач в МПР, гл. 11, NN 1-10.
Предоставим ученику выбирать искомое.
Пример I.10 bis. а) Дан прямоугольный треугольник c катетами 6 и 8. Найдите другие
элементы этого треугольника (высоты, медианы, радиусы связанных с ним окружностей и т.д.)
б) Ромб задан своими диагоналями. Найдите всё, что можно в нём найти.
Зададим такой частный вопрос, что ученик сам будет вынужден обобщить его. (Пойа: Иногда
общую задачу решить легче, чем частную.)
Пример I.11. Числа Фибоначчи образуют последовательность 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …, в
которой a n + 2 = a n + 1 + a n . Найти наибольший общий делитель чисел a100 и a 99 . (Арнольд, N 43.
Любые два последовательных числа Фибоначчи взаимно просты. Ср. также Арнольд, N 44, 45.)
Пример I.12. Дан прямоугольник ABCD и точка X, такая что XA=5, XB=10, XC=14. Найдите
XD. (МО, глава 2, N 47. Решение основано на том, что XA 2 + XC 2 = XB 2 + XD 2 для любой точки
плоскости X, но до этого ещё надо додуматься.)
Позволим ученику самому разбирать простые частные случаи.
Пример I.13. Чему может быть равен угол треугольника, если прямая, проведённая через
вершину этого угла, делит его на два подобных треугольника? (Ср. Атанасян 8 угл, N 171, где
явно исключается деление равнобедренного треугольника на два равных.)
Вместо «построить конструкцию, удовлетворяющую данным требованиям4» спросим: Можно
ли построить конструкцию, удовлетворяющую данным требованиям? если можно, то как? если
нельзя, то почему? Или: Существует ли объект с указанными свойствами? привести пример или
доказать, что его не существует.5
Пример I.14. У шахматной доски отпилили две угловые клетки a1 и h8. Можно ли оставшуюся
доску покрыть без пустот и наложений «доминошками», каждая из которых занимает две
клетки? (Нельзя. Каждая «доминошка» покрывает одну чёрную клетку и одну белую, а их
неравные количества. У Арнольда, N 18, категорично требуется «покрыть». Некорректные
формулировки приучают к самостоятельности, но могут и сбить с толку.)
Пример I.15. Существует ли шестиугольник, который нельзя разрезать одним прямолинейным
разрезом на два четырёхугольника?
Попросим понять закономерность по данным примерам и построить свои примеры.
Пример I.16. Сколько корней может иметь уравнение вида
||x|+a|=b
(***)?
Рассмотреть примеры: 1) ||x|-2|=1; 2) ||x|-1|=2. Написать уравнение вида (***), которое имеет
ровно одно решение; ровно три решения; ровно семь решений; не имеет ни одного решения.
Вообще полезно время от времени ставить задачи, «обратные» к привычным: расставить скобки
в примере, чтобы получить данный ответ, придумать уравнение с данными корнями, назвать число
с данным количеством делителей, написать функцию по виду её графика, определить
последовательность по сумме и т.д.
Попросим вывести формулу, не давая её прямо, а описывая косвенно.
Пример I.17. Дан параллелограмм, M – точка пересечения диагоналей, O – произвольная точка
в его плоскости. Получить выражение для вектора OM , в котором бы участвовали все
вершины.
Дадим готовое утверждение и попросим угадать аналогичное.
1 2
3
n
b + cn
Пример I.18. Доказать, что формула для суммы + 2 + 3 +  + n имеет вид a +
,
2 2
2
2
2n
определив значения коэффициентов a, b, c . Найти формулу для суммы 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 2 +  + n ⋅ 2 n . (По
книге 57, с. 56, 73. Применён также приём «Дадим в готовом виде лишь часть утверждения». Эти
два приёма позволяют угадывать многие формулы из темы «Математическая индукция», вместо
того, чтобы брать готовыми.)
2. Ищем ошибки
Дадим готовое рассуждение и спросим, истинно оно или ложно. Фактически нужно выяснить:
(1) верно ли утверждение; (2) верно ли доказательство. Здесь логически мыслимы такие
комбинации (в скобках приведены возможные задания):
(а) неверное утверждение, неверное доказательство (нужно привести контрпример, найти
ошибку в рассуждении; исправить рассуждение); пример 19;
(б) верное утверждение, неверное доказательство (нужно найти ошибку в рассуждении,
доказать правильно); пример 20;
(в) верное утверждение, верное доказательство (чтобы была интрига, лучше дать
парадоксальное, неожиданное утверждение); пример 21.
Пример I.19. Теорема. Если возрастающая функция дифференцируема на некотором
интервале, то в каждой точке этого интервала её производная положительна. Доказательство.
Пусть функция f ( x) имеет производную в каждой точке x 0 некоторого интервала I. Тогда
f ( x) − f ( x0 )
. Так как f ( x) возрастает на интервале I, то при x > x 0
x − x0
получим, что f ( x ) > f ( x 0 ) , а при x < x 0 получим, что f ( x ) < f ( x 0 ) . В обоих случаях
рассматриваемая дробь положительна, поэтому f ' ( x 0 ) > 0 . (КУМ-2, N 6. Контрпример:
f ' ( x 0 ) = lim x → x0
f ( x ) = x 3 , x 0 = 0 . Ошибка в том, что предел положительной величины здесь считают
положительным, а он может равняться нулю. Исправленное утверждение: «…производная
неотрицательна».)
Пример I.20. Теорема. Сумма углов треугольника равна 180° . Доказательство. Пусть S –
сумма углов треугольника ABC. Проведём отрезок AD и пронумеруем
B
получившиеся углы. Тогда ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = S (*) и ∠ 4 + ∠ 5 + ∠ 6 = S (**).
2
D
∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 5 + ∠ 6 = S и ∠ 3 + ∠ 4 = 180° – так как эти углы смежные.
3
4
Сложим равенства (*) и (**): ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 + ∠ 5 + ∠ 6 = 2 S ;
S + 180° = 2S . Следовательно, S = 180° . (Дубнов, глава 1, пример 4.
C
5
Использовано, что сумма углов треугольников ABC, ABD и BDC
1
одинакова. Фактически доказано следующее: если сумма углов одинакова A 6
для всех треугольников, то она равна 180° .)
Пример I.21. Начинаем изучать теорию множеств. Каждому натуральному числу n сопоставим
чётное число 2n, и наоборот, каждому чётному числу 2k – натуральное k. Получим, что чётных
чисел столько же, сколько натуральных.6 (Этот пример показывает, что понятие «столько же»
нельзя автоматически переносить с конечных множеств на бесконечные.)
II. Как задавать вопросы: эвристика
Возможно, это решение обескуражило Вас –
непонятно, как до него догадаться.
Авторам это тоже непонятно.
И.М. Гельфанд, А.Х. Шень.
Обычно ученику не сообщают соображения, приведшие к гипотезам и задачам. Это
происходит по традиции или по незнанию. Хорошая лекция и хорошая книга по математике
отличаются тем, что они открывают слушателю эти соображения, так что ему становится ясна
внутренняя логика исследования. Между тем большинство таких соображений покрывается рядом
простых вопросов (КРЗ, МПР, МО). Ниже собраны такие вопросы, отражающие типичные ходы
исследовательской мысли; они иллюстрируются примерами из школьной математики.
1. Откуда берутся задачи
«Из задачников», – скажут школьники. А ведь можно взять и придумать самому хорошую
задачу! Этому у нас обычно совсем не учат, хотя научиться ставить новые вопросы очень полезно
и не слишком трудно. Новые задачи не появляются на пустом месте. Отправляясь от уже
изученного, понятого, делают шаг в «незнаемое», останавливаются, осмысляют, потом ещё шаг…
Продвижение небыстрое. Интересно, что наука развивается, в общем, так же. Важно знать
типовые вопросы, которые работают и для школьной математики, и для «большой» науки.
Верно ли аналогичное утверждение?
Пример II.1. А. Даны определения правильного многоугольника и правильного многогранника;
доказано, что правильный n-угольник существует при любом натуральном n. Верно ли, что
правильный n-гранник существует при любом натуральном n? Б. Известно, что невыпуклый
многоугольник нельзя вписать в окружность. А существует ли невыпуклый многогранник,
который можно вписать в сферу?
Что будет в аналогичном случае?
Пример II.2. Решён пример I.1 (про квадрат и прямую). Сформулировать и проверить
аналогичное утверждение для пространства. (Куб и прямая через его центр, см. Арнольд, N 24.
Ученикам послабее можно дать задание в обратную сторону. См. хорошую подборку пар
аналогичных теорем планиметрии и стереометрии у Пойа, МО, гл. 12, NN 8-11.)
Пример II.3. Решён пример I.2 (про эллипс). Исследовать сечение конической поверхности,
проходящее через обе её полости.
Верно ли более общее утверждение? (Можно ли расширить область применимости
утверждения?)
Пример II.4. Были изучены соотношения между тригонометрическими функциями острого угла
(в прямоугольном треугольнике). Введены тригонометрические функции любого угла (на
единичной окружности). Какие из соотношений, верных для острых углов, справедливы и для
произвольных?
Что будет в общем случае? (Как можно обобщить данное утверждение?)
Пример II.5. Решён пример I.1 (про квадрат и прямую через его центр). А. Рассмотрим в
плоскости квадрата произвольную прямую. При каком положении этой прямой сумма квадратов
расстояний вершин до неё максимальна, а при каком минимальна? Б. Построить треугольник и
точку внутри него, такие что любая прямая, проходящая через эту точку, имеет одну и ту же
сумму квадратов расстояний до вершин. То же для пятиугольника и т. д.
Пример II.6. В трапеции средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме. Что
можно сказать об отрезке, соединяющем середины противоположных сторон произвольного
четырёхугольника? (Решение см. пример III.2.)
Какие ещё задачи можно решить этим методом? (Обычно этот вопрос задают себе составители
задачников. Пусть дети тоже потренируются.)
Пример II.7. Научились решать уравнения вида x 4 + px 2 + q = 0 с помощью замены t = x 2 .
Какие ещё уравнения можно решить этим методом? (Например, любое уравнение, сводимое к
квадратному заменой t = x n .)
Пример II.8. Решена задача: (a n ) – арифметическая прогрессия. Известно, что a5 = 7 . Найти
a 4 + a5 + a6 . Спросим: Суммы каких членов этой прогрессии можно найти, зная a5 ? Зная a n ?
Пример II.9. Дана задача (Шарыгин, гл. 3.3, N 21): Жители трёх деревень, расположенных в
вершинах треугольника, решили вырыть общий колодец. При этом они хотят расположить
колодец в таком месте, чтобы общий путь всех семей за водой был как можно меньше. Каждая
семья должна ходить за водой один раз в день. Где следует вырыть колодец, если в деревне A
живёт 100 семей, в деревне B – 200 семей, а в деревне C – 300 семей? Известно её решение: AM
+2BM+3CM=(AM+CM)+2(BM+CM) ≥ AC+2BC в силу неравенства треугольника. Минимум
достигается при M=C. Спрашивается: При каких ещё соотношениях населений работает это
решение? (Если в C живёт больше 300 семей, то выкладка остаётся в силе. Вообще, минимум
суммы p*AM+q*BM+r*CM, где p, q, r>0, достигается в точке C в случае, если r ≥ p+q. Если p=q=r,
то решением будет служить так называемая точка Торричелли, но даже этот случай заметно
сложнее.)
Нельзя ли ослабить условия? Нельзя ли усилить утверждение? (Иногда более сильный
результат получается этим же методом – см. пример 10, иногда другим методом – см. приложение
2.)
 
i , j - равные перпендикулярные
Пример II.10.
Дано
рассуждение:
Доказать,
что
если
   
 
векторы,
то i + j ⊥ i − j . Доказательство: построим на векторах i , j квадрат. Векторы
   
i + j , i − j являются его диагоналями и, следовательно, перпендикулярны. Вопрос: нельзя ли из
этого рассуждения «вытянуть» что-нибудь ещё? А) Диагонали взаимно перпендикулярны и у
ромба, поэтому утверждение верно для любых равных векторов. Б) У квадрата
диагонали
не
 
 
только взаимно перпендикулярны, но и равны, поэтому в принятых условиях | i + j |= | i − j | .
Верно ли обратное утверждение?
Пример II.11. Если многочлен P(x) представим в виде P(x)=(x-a)Q(x) (где Q(x) – другой
многочлен), то, очевидно, a – его нуль. Верно ли обратное утверждение? (Верно. Это следствие
теоремы Безу, см. Курант, гл. II, пар. 5, п. 4.)
Пример II.12. а) Диагонали разбивают любой параллелограмм на 4 равновеликих треугольника.
Верно ли, что если четырёхугольник разбит диагоналями на 4 равновеликих треугольника, то он
является параллелограммом? (Верно. Получается характеристическое свойство. Достаточно даже
того, что равновелики два противоположных треугольника, а также два других противоположных
треугольника.) б) Диагонали разбивают любой ромб на 4 треугольника с одинаковыми
периметрами. Является ли это свойство характеристическим? (Да. См. Атанасян 8 угл, N 71; ср.
также N 70.)
Вопрос об обратном утверждении очень полезен при поиске характеристических свойств. См.,
например, обращение в признаки свойств вписанного и описанного четырёхугольников (Атанасян
7-9, N 724, 729); обращение теоремы Птолемея (Атанасян 8 угл, п. 59).
Как можно продолжить последовательность утверждений (задач)?
Пример II.13. Решён предыдущий пример. Ищем треугольники равных площадей или равных
периметров в других четырёхугольниках и находим: а) если равны площади двух
противоположных треугольников, то это трапеция; б) если равны периметры двух смежных
треугольников, а также других двух смежных треугольников, то это дельтоид.
Пример II.14. Решена задача: А. Дано натуральное число q . Для скольких пар натуральных
чисел a, b оно является средним арифметическим: q =
a+ b
?
2
Логично посмотреть примыкающие вопросы:
Б. Для скольких пар натуральных чисел оно является средним геометрическим: q 2 = ab ?
2
1
1
В. Для скольких пар натуральных чисел оно является средним гармоническим: q = a + b ?
Г. Для скольких пар натуральных чисел оно является средним квадратичным: q =
a 2 + b2
?
2
(Формулировки задач совершенно аналогичны, а вот сложность решения от А к Г увеличивается
на порядок.)
Нельзя ли уточнить (исправить) неверное утверждение?
Пример II.15. А. Все углы вписанного многоугольника равны между собой. Следует ли из
этого, что этот многоугольник правильный? (Шарыгин, гл. 10.1, N 12. Не следует. Контрпример
– прямоугольник.) Б. Нельзя ли ужесточить условия, так чтобы многоугольник мог быть только
правильным? (Можно потребовать нечётности числа сторон. См. Шарыгин, гл. 10.1, N 15.)
Нельзя ли скомбинировать этот результат с другими? Можно ли доказать это утверждение подругому? (Часто при этом получается усиление результата или возникают новые идеи. 7) Примеры
см. в приложении 2.
2. Работаем с верным рассуждением
Дано рассуждение, в верности которого нет сомнений и которое нужно усвоить. Как это
сделать – выучить наизусть формулировку и доказательство? Как правило, такого пассивного
действия ещё недостаточно для хорошего усвоения. Надо поработать с рассуждением активно:
уяснить его логическую структуру, взаимосвязь частей, область применимости, его место среди
других рассуждений. Для этого можно задавать ученику следующие вопросы:
На какие утверждения опирается наше рассуждение?
Пример II.16. Выписать утверждения, используемые при доказательстве теоремы о
равенстве накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей. (Важно
то, что эта теорема опирается на аксиому параллельных. Атанасян 7-9, п. 29.)
В каком пункте доказательства срабатывает это условие? Насколько оно существенно (что
изменится, если его отбросить или заменить другим)?
Пример II.17. Методом математической индукции доказано неравенство Бернулли:
(1 + p) n ≥ 1 + np при p > − 1 и натуральном n (Курант, гл. I, пар. 2, п. 5). Где используется
условие p > − 1 ? Можно ли его ослабить?
Не работает ли это доказательство для другого случая?
Пример II.18. Дан выпуклый четырёхугольник с периметром P и суммой диагоналей D.
Доказать, что P/2<D<P. Доказательство: Рассмотрим выпуклый четырёхугольник ABCD. В силу
неравенства треугольника AB+BC>AC, AD+DC>AC, значит, AC<P/2. Аналогично, BD<P/2, и D<P.
Пусть O – точка пересечения диагоналей, тогда AO+OB>AB, BO+OC>BC и т.д. Складывая четыре
неравенства и деля пополам, получим D>P/2. Применить это рассуждение к невыпуклому
четырёхугольнику. (Первую часть можно дословно повторить, значит, D<P и для невыпуклого
четырёхугольника; вторая часть не проходит, поскольку точки O нет. Получили задачу: верно ли,
что в невыпуклом четырёхугольнике D>P/2? Нетрудно построить контрпример. Атанасян 8 угл, п.
3.)
Почему это доказательство не работает для другого случая?
Пример II.19. Почему доказательство Кантора несчётности множества иррациональных
чисел (Курант, гл. II, пар. 4, п. 2) не работает для рациональных чисел? (Нет гарантии, что
диагональная процедура Кантора приводит к периодической дроби.)
Верно ли утверждение в предельном случае? Если да, то работает ли доказательство для
предельного случая или его надо разбирать отдельно?
Пример II.20. Доказана теорема о вписанном угле (Атанасян 7-9, п. 71). Что можно сказать об
угле между секущей и касательной? (См. Атанасян 8 угл, п. 47.)
Можно ли построить эту теорию на другом определении (на другом наборе аксиом)?
Пример II.21. Изучены свойства и признаки параллелограмма. Принять одно из
характеристических свойств параллелограмма за определение и вывести из него известные
признаки и свойства (в том числе и бывшее определение).
Пример II.22. Изучен курс планиметрии. Какие из теорем планиметрии остаются в силе, если
отбросить аксиому о параллельных прямых (V постулат Евклида)? (Теоремы, которые не
опираются на аксиому параллельных, составляют содержание абсолютной геометрии. Например,
теорема о медианах треугольника войдёт в абсолютную геометрию, а свойство равенства накрест
лежащих углов при параллельных прямых – нет. См. пример II.16. См. также КУМ-3, N 5.)
III.
Час, затраченный на понимание,
экономит год жизни.
В. Босс
1. Особенности предлагаемого метода
Давать готовые утверждения – лишь один из способов формулировать задачи, способ со
своими достоинствами и недостатками. Главный недостаток – он мало развивает
исследовательские умения. Но этот способ почему-то получил количественный перевес, не
соответствующий его достоинствам. Предлагаемый мною подход – в том, чтобы ставить задачи
разными способами, притом такими, которые дают ученику пространство выбора (несколько
таких способов было предложено в разделе 1).
Отмечу некоторые особенности предлагаемого подхода.
Во-первых, задачи перестают быть изолированными, включаются в общую естественно
возникающую линию исследования. В примере про оси симметрии, начав с простых «заготовок»,
мы заодно решили ещё несколько родственных задач, которые сами и поставили. Тем самым,
ученику становится ясной логика построения материала.
Во-вторых, сводится к минимуму неосознанное заучивание, потому что каждый ученик
формулирует и доказывает ровно то, до чего он дозрел, что ему по силам. Сама собой происходит
дифференциация и индивидуализация обучения, подстройка под способности ученика.8
В-третьих9, когда нет готовых утверждений, голова начинает работать по-другому (понимать
буквально). Считается, что левое полушарие мозга отвечает за логические операции, а правое – за
творчество. Когда нужно доказать готовое утверждение, работает в основном левое полушарие,
происходит «перекос». Когда это утверждение надо сначала придумать, включается правое, и
происходит гармонизация. Ощущения иные чисто физиологически (знаю по себе).
В-четвёртых, ограничиваясь готовыми утверждениями, мы лишаем задачи одного из
измерений, глубины. Задачи составляются «с конца», с известного решения. Происходит
своеобразное состязание составителя задачи и ученика. Усложнение происходит в одной
плоскости, за счёт увеличения числа промежуточных шагов, отчего задачи становятся всё более
искусственными и вычурными10. Двигаясь по этой линии, мы рискуем получить «бойкого
решателя заковыристых задач» (выражение В.И. Рыжика). Предлагаемый способ вопрошания
существенно изменяет отношение к ученику. Делясь своими соображениями с учеником, мы
открываем ему свою исследовательскую «кухню». Мы перестаём удивлять его гипотезами, до
которых неизвестно как можно додуматься, честно показываем, как мы это сделали, и ожидаем
ответных гипотез, диалога. Тем самым мы признаём за ним право и способность не только
доказывать готовые утверждения известными способами11, но думать наравне с нами. Вместо
состязания – сотрудничество.12
Нетрудно заметить, что приведённые выше примеры в основном относятся к школьной
программе старше 7 класса. Это не случайно. Психология более младшего возраста и изучаемый
материал таковы, что задачи можно сделать привлекательными в основном за счёт внешней
занимательности, т.е. связанной с формой подачи, а не с самим материалом (необычные
формулировки, игровая форма, сказочный сюжет, см. (Козлова)). Начиная с 7 класса, с появления
геометрии и строгих логических рассуждений, можно постепенно переходить к внутренней
занимательности, связанной с самими задачами. Я считаю, что открытость задачи является
лучшим средством внутренней занимательности, потому что она позволяет ученику активно
участвовать во всех стадиях исследования (т.е. внутренняя занимательность = интересность по
Арнольду и Пуанкаре).13
2. Как можно подсказывать
Готовясь к новой теме, я стараюсь выстроить теорию и задачи так, чтобы неожиданных
утверждений было как можно меньше, чтобы всякий новый ход мысли, вопрос мог быть угадан
учениками (см. приложение 2); при этом очень помогают эвристические вопросы из раздела II
(так, примеры 1А, 4, 11, 20 помогают связно изложить теорию, 6, 7, 8 – сообща развить методы
решения задач). Как правило, удаётся добиться, чтобы ученики стали соавторами открытия.
Разумеется, на это тратится больше времени, чем когда даются готовые утверждения, однако
достигнутый уровень владения материалом позволяет потом продвигаться очень быстро. Это же
относится и к задачам. Поэтому я считаю, что полезнее решить, скажем, три открытые задачи, чем
десять обычных.14
В каждой теме есть задачи, которые очень легко сделать открытыми, и такие, которые
приходится оставлять как есть. Впрочем, иногда удаётся сделать подборку открытых задач на
целую тему (см. приложение 1; см. также 57 (напр., темы 36, 39 за 9 класс); довольно много
открытых задач содержится в учебниках геометрии А.Д. Александрова и др.).
К исследовательской самостоятельности можно приучать постепенно. «Степень открытости»
задачи поддаётся регулировке так же, как и обычная сложность. (Как я уже сказал, это
независимые измерения.)
Пример III.1. А) Доказать, что в треугольнике сумма квадратов медиан равна трём
четвертям суммы квадратов сторон. Б) Найти связь между суммой квадратов медиан и суммой
квадратов сторон треугольника. В) Выразить сумму квадратов медиан треугольника через его
стороны. Г) Вывести простое соотношение, в котором бы участвовали все стороны и все
медианы треугольника.
Эти четыре формулировки одной задачи дают весь спектр – от традиционного готового
утверждения А) до чисто исследовательской открытой постановки Г). Каждому ученику надо
давать «самую открытую» постановку, которая ему ещё по силам.15 При этом постановку А)
можно смело убрать из задач (оставив только в списке теорем для повторения), потому что при
замене её на Б) мы ничего не теряем, но кое-что выигрываем. Действительно, любой ученик,
который справится с А), справится и с Б); но в Б) ему достанется хотя бы маленькое открытие (что
коэффициент равен трём четвертям).
Напоследок рассмотрим вопрос об указаниях к задачам. Функцию указания можно понимать
двояко (МО, гл. 14, N 20). Разные функции ведут к различным требованиям.
А) Указание – гарантированный ключ к решению данной задачи. Тогда оно должно быть
чётким, недвусмысленно ведущим к решению. Неважно, что ученику может быть непонятно,
откуда идея взялась и как до неё додуматься, главное, что теперь он решит эту задачу. («Внешняя
помощь» у Пойа.)
Б) Указание – ход мысли, помогающий во многих задачах. Тогда, как правило, указание
принимает форму вопроса, который мог бы задать себе ученик (в других случаях и задавал, а тут
забыл). Но из-за того, что вопрос общий, а не конкретный, такое указание может не помочь.
(«Внутренняя помощь» у Пойа.)
Пример III.2. (Атанасян 7-9, N 858.) Доказать, что если противоположные стороны выпуклого
четырёхугольника не параллельны, то их полусумма больше отрезка, соединяющего середины
двух других противоположных сторон.
Указания:
1) Пусть MN – отрезок, соединяющий середины сторон AD и BC данного четырёхугольника
ABCD. Отметить точку D1, симметричную точке D относительно точки N, и
рассмотреть треугольник ABD1. (Атанасян 7-9, N 858.)
2) Как доказывается аналогичное утверждение в известном частном случае?
3) Использовать метод для средней линии трапеции.
В этом примере указание 1) представляет чисто внешнюю помощь, 2) – внутреннюю, 3) –
промежуточный случай. В большинстве задачников указания дают внешнюю помощь. Это и
понятно, ведь внутренняя помощь зависит от ученика, от его способностей и опыта, только вы,
учитель, можете её дать16. Конечно, далеко не ко всем задачам можно предложить такую удачную
внутреннюю помощь, как в примере 2. Впрочем, внутренней помощью может стать и сама
последовательность предлагаемых задач, если она подчинена логике исследования. Во всяком
случае, если есть возможность связать два рассуждения вопросами типа тех, что приведены в
разделе II, я стараюсь это сделать. Я стремлюсь к тому, чтобы со временем ученик привыкал
задавать себе такие вопросы сам17, пополняя ими свой исследовательский арсенал. Тогда он не
будет воспринимать математику как ворох разрозненных фактов, объединённых лишь произволом
учителя или учебника, он увидит её внутреннее единство и логику18 – логику исследования, в
котором и сам участвует.
Литература
1. (Александров) Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия для 10-11 классов:
Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углуб. изуч. математики. – М.: Просвещение.
– 1992.
2. (Арнольд) Арнольд В.И. Задачи для детей от 5 до 15 лет. – М.: МЦНМО. – 2004.
3. (Атанасян 7-9) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия: Учеб. для 7–9
кл. общеобразоват. Учреждений. – М.: Просвещение. – 1990–2005.
4. (Атанасян 8 угл) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. Доп. главы к
учебнику 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся классов и школ с углубл. изуч. математики. –
М.: Вита-Пресс. – 2003.
5. (Галицкий) Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9
классов. – М.: Просвещение. – 1992.
6. (Гордин) Гордин Р.К. Это должен знать каждый матшкольник. – М.: МЦНМО. – 2003.
7. (Дубнов) Дубнов Я.С. Ошибки в геометрических доказательствах. – М.: Государственное
издательство физико-математической литературы. – 1961.
8. (Звавич) Звавич Л.И., Рязановский А.Р. Алгебра. 8 класс. Задачник для классов с
углублённым изучением математики. – М.: Мнемозина. – 2002.
9. (Курант) Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? – М.: МЦНМО. – 2004.
10. (Козлова) Козлова Е.Г. Сказки и подсказки (задачи для математического кружка). – М.:
МЦНМО. – 2004.
11. (КРЗ) Пойа Д. Как решать задачу. Пособие для учителей. – М.: Учпедгиз. – 1959.
12. (МО) Пойа Д. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и
преподавание. – М.: Наука. – 1976.
13. (МПР) Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. – М.: Изд-во Иностр. Лит. –
1957.
14. (Мадера) Мадера А.Г, Мадера Д.А. Математические софизмы. Правдоподобные
рассуждения, приводящие к ошибочным утверждениям. – М.: Просвещение. – 2003.
15. (Маковецкий) Маковецкий П.В. Смотри в корень! Сборник любопытных задач и вопросов. –
М.: Наука. – 1976.
16. (КУМ-1) Задачи творческого конкурса для учителей математики (МЦНМО и др., Москва,
5.12.2004): www.mccme.ru\oluch\
17. (КУМ-2) Задачи второго творческого конкурса для учителей математики (МЦНМО и др.,
Москва, 25.09.2005): www.mccme.ru\oluch\
18. (КУМ-3) Задачи заочного творческого конкурса для учителей математики (Газета «1
сентября» и МЦНМО). Газета «1 сентября. Математика». N 2/2006, стр. 2. См. также
www.mccme.ru\oluch\
19. (Прасолов) Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Часть 1. – М.: Наука. – 1991.
20. (Шарыгин) Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7–9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. завед. – М.:
Дрофа, 2002.
21. (Шуба) Шуба М.Ю. Занимательные задания в обучении математике: Кн. для учителя. – М.:
Просвещение, 1994.
22. (LXVII) LXVII Московская математическая олимпиада. Задачи и решения. – М.: МЦНМО. –
2004.
23. (LXVIII) LXVIII Московская математическая олимпиада. Задачи и решения. – М.: МЦНМО.
– 2005.
24. (57) Задачи по математике, предлагавшиеся ученикам математического класса 57 школы
(выпуск 2004 года, класс «Д») / Под ред. В. Доценко. – М.: МЦНМО, 2004.
Приложение 1.
Пример тематической подборки задач, поставленных «открыто»
(Автор Д.Э. Шноль)
Тема «Площадь. Теорема Пифагора».
1) Выведите формулы площади известных вам фигур (параллелограмма, треугольника, трапеции, дельтоида, не
забудьте про понятие средней линии).
2) Выберете какую-либо фигуру и постройте равновеликий ей прямоугольник.
3) Медиана разбивает треугольник на два треугольника. Каким свойством они обладают?
4) Диагонали разбивают параллелограмм на четыре треугольника. Каким свойством они обладают?
5) Сформулируйте утверждение, обратное тому, которое получилось у вас в задаче 4). Верное ли оно?
6) Стороны треугольника равны b и с. В каких пределах может меняться его площадь?
7) Пусть точка Р делит сторону треугольника в отношении m:n. Придумайте и решите задачу, связанную с понятием
площадь.
8) Даны два равновеликих треугольника. Равенство каких элементов нужно задать дополнительно, чтобы
треугольники были равны?
9) На сторонах угла с вершиной А взяты точки В и С. На плоскости берется произвольная точка М. Сравните площади
треугольников АВМ и АСМ в зависимости от положения точки М.
10) Используя решение задачи 9) и понятие ГМТ, докажите новым способом теорему о медианах треугольника
(медианы треугольника пересекаются водной точке и делятся ею…)
11) Придумайте и докажите признак трапеции (если в четырехугольнике …, то он является трапецией), использующий
понятие площади.
12) Диагонали разбивают трапецию на 4 треугольника. Какими свойствами они обладают?
13) Биссектриса разбивает треугольник на два треугольника. Как относятся их площади?
14) Треугольник задан своими сторонами. В каком отношении делит биссектриса угла А противоположную сторону?
Можно ли найти не только отношение этих отрезков, но и их длины?
15) В многоугольник можно вписать окружность радиуса r. Как связана площадь многоугольника и этот радиус?
16) На основании равнобедренного треугольника взята точка. Из нее опущены перпендикуляры на боковые стороны.
Что можно сказать о сумме длин этих перпендикуляров? Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для
равностороннего треугольника.
17) Диагонали разбивают выпуклый четырехугольник на 4 треугольника. Что можно сказать про площади этих
треугольников?
18) Противоположные стороны шестиугольника параллельны. Задайте минимальное количество параметров,
необходимых, чтобы можно было найти его площадь. Найдите формулу для вычисления этой площади.
19) При доказательстве теоремы о медианах треугольника (задача 10) получено свойство точки пересечения медиан,
связанное с площадями. Сформулируйте аналогичную задачу для n-угольника. Попробуйте ее решить для
четырехугольника.
20) Два треугольника имеют общий угол. Задайте необходимые элементы этих треугольников, чтобы найти
отношение их площадей. Получите формулу для нахождения этого отношения.
21) Аналогом прямоугольника в пространстве является прямоугольный параллелепипед. Его объем равен
произведению трех ребер, выходящих из одной вершины. Выведете формулы объема для некоторых многогранников,
аналогичные формулам площадей для плоских фигур.
22) Сформулируйте утверждение, обратное теореме Пифагора. Верное ли оно? Если верное – докажите, если неверное
– приведите опровергающий пример.
23) Треугольник задан двумя сторонами. Угол между ними начинают увеличивать. Что происходит с третьей
стороной? Сформулируйте и докажите соответствующее утверждение. Как выяснить есть ли в треугольнике тупой
угол, если известны длины его сторон?
24) Две окружности радиусов R и r касаются внешним образом. Проведите их общие касательные. Сформулируйте
задачу по этой конструкции и решите ее.
25) В квадрат со стороной b вписан другой квадрат, вершины которого делят стороны первого квадрата в отношении
m:n. Сформулируйте задачу по этой конструкции и решите ее.
26) Найдите связь между квадратами сторон параллелограмма и квадратами его диагоналей.
27) Треугольник задан тремя сторонами. Найдите его высоту и медиану, проведенные к одной из сторон.
28) (Формула Герона). Треугольник задан тремя сторонами, найдите его площадь. Какие ограничения и почему нужно
наложить на длины сторон, чтобы формула имела смысл?
29) Трапеция задана своими сторонами. Найдите формулу ее площади, выраженной через ее стороны. Какие
ограничения и почему нужно наложить на длины сторон, чтобы формула имела смысл?
30) Теорему Пифагора можно сформулировать, используя понятия: прямоугольник, его стороны и диагональ.
Обобщите теорему Пифагора для объемного случая – для прямоугольного параллелепипеда.
Приложение 2.
Пример эвристического изложения серии геометрических теорем19
«Заготовка»: Если один многоугольник находится внутри другого, то площадь внутреннего меньше площади
внешнего. Верно ли обратное утверждение? «Если площадь одного многоугольника меньше площади другого, то его
можно поместить внутрь другого». Это неверно, вот контрпример: квадрат 1⋅ 1 не помещается в прямоугольник
20 ⋅ 0,1 . Верно ли аналогичное утверждение? «Если один многоугольник находится внутри другого, то периметр
внутреннего меньше периметра внешнего». В таком виде неверно, вот контрпример (рис. 2). Нельзя ли уточнить
утверждение? Если внутренний многоугольник выпуклый, то утверждение верно. (Верно ли аналогичное
утверждение в пространстве?) Нельзя ли разобрать этим методом ещё какую-нибудь задачу? Вспомним теорему из
примера II.4. Поместим внутрь нашего выпуклого четырёхугольника другой выпуклый
четырёхугольник с периметром p и суммой диагоналей d. Тогда D>P/2 (*), P>p (**),
p>d (***). Отсюда d<2D. Сформулируем условие задачи, которую мы решили:
«Построить
неравенство
между
суммами
диагоналей
двух
выпуклых
четырёхугольников, один внутри другого». (См. Атанасян 8 угл, N 14.) Нельзя ли
ослабить условия? Хочется избавиться от требования выпуклости. Однако наш метод
не позволяет этого сделать: если внешний четырёхугольник невыпуклый, то
нарушается (*), а если внутренний, то (**). Нельзя ли усилить утверждение?
Рис . 2. Ёжи к в кле тке
Неравенства (*) и (***) обращаются в равенства на вырожденных четырёхугольниках,
а (**) – при совпадении четырёхугольников. Порознь оценки неулучшаемы, значит, метод «трёх неравенств» не
допускает продвижений. Между тем они кажутся возможными. Нельзя ли решить задачу другим методом?
Попробуем напрямую оценить отрезок, находящийся внутри четырёхугольника. Из подходящих результатов
вспоминается, что отрезок с концами на сторонах треугольника не превосходит его наибольшей стороны. Обобщив на
многоугольники, получим, что отрезок с концами на сторонах многоугольника не превосходит наибольшего отрезка,
соединяющего его вершины (стороны или диагонали). Тогда получаем, что d<2L, где L – наибольший из отрезков,
соединяющих вершины внешнего многоугольника (сторон и диагоналей). Эта оценка более сильная, так как L<D.
Кроме того, она верна и для невыпуклых многоугольников. Таким образом, прямой метод дал теорему с более слабым
условием и с более сильным утверждением, чем метод «трёх неравенств». (Возможные продолжения: Обобщить
оценку на многоугольники. Верно ли обратное утверждение? Доказать или опровергнуть: если сумма диагоналей
четырёхугольника 1 меньше удвоенного наибольшего отрезка четырёхугольника 2, то 1 можно поместить в 2.)
1
Атанасян 7-9, N 444. Заметьте: в задаче не оговорено, что дело происходит на плоскости. Можно ли
дословно перенести утверждение на пространство? – Ещё один вопрос в копилку.
2
Хочется найти более общее утверждение. Может быть, достаточно чётного числа осей симметрии?
Правильные многоугольники не опровергают этого…
3
Ср. принцип активного изучения (МО, гл. 14, пар. 5).
4
Родственное задание: «доказать, что существует объект с указанными свойствами». Доказательства тут
бывают разные – от прямого построения до абстрактных рассуждений. Ср. LXVIII N 6.3 а), 7.4 б), 8.4, 9.1, 11.3.
5
На LXVIII Московской математической олимпиаде восемь задач из тридцати имели такую форму (LXVIII,
NN 6.3 б), 6.5, 7.2, 9.2, 10.1, 10.5, 11.4, 11.6; см. также шесть задач в комментарии к N 9.4). В одной задаче с
вопросом «какое максимальное число…» требовалось привести пример и доказать, что больше нельзя (LXVIII,
N 7.6). Ещё в двух задачах спрашивалось «верно ли, что любой…», «всегда ли…» (LXVIII, NN 9.4, 10.4).
Сложность таких задач в том, что род действий, которые надо выполнить, существенно зависит от неизвестного
ответа.
6
Особый вид составляют рассуждения, в которых ложность вывода очевидна ученику сразу. Если
рассуждение и впрямь ложно (пункт а, софизм), то обычно разобрать его легче, чем те рассуждения, в которых
истинность или ложность вывода надо ещё установить. Чаще всего ошибки в софизмах проистекают из
незаконных действий: деления на ноль (1.4, 1.7-1.10), умножения неравенства на отрицательное число без
смены знака (2.9, 4.1-4.4) и т.д. (здесь и далее в этом абзаце все ссылки – на задачи из книги (Мадера),
содержащей большую подборку софизмов и парадоксов). Разбор таких софизмов научит аккуратно выполнять
эти операции, быстро находить в них ошибки. Интереснее бывают парадоксы – утверждения, которые только
кажутся ложными (пункт в). Хорошие парадоксы и софизмы побуждают к критическому пересмотру понятий и
границ их применимости. Часто они строятся на трудности понятия «бесконечность»: правила действия с
бесконечными суммами (1.17-1.19, 1.26, 2.10, 2.11), эквивалентность счётных множеств (3.4, 3.10), кривые
бесконечной длины (3.11, 3.13), знаменитые апории Зенона (1.28). Ср. (Дубнов).
Возможен и более тонкий анализ. Например, если утверждение в целом неверно, можно искать частные
случаи, в которых утверждение верно (доказательство работает); пример: КУМ-1, N 12. Наконец, не могу не
упомянуть отличный парадокс КУМ-1, N 10, который, пожалуй, выпадает из моей классификации: даны два
решения задачи, приводящие к разным ответам; каждое из решений можно считать верным, в зависимости от
толкований условия (которое на первый взгляд вполне корректно). (КУМ – конкурс учителей математики,
проходящий под эгидой МЦНМО и др. Часть задач этого конкурса посвящается поиску математических
ошибок в текстах и хорошо иллюстрируют идеи раздела I.2.)
7
«Сравнивая друг с другом два различных выражения, содержащих одно и то же количество, вы можете
найти неизвестное; сравнивая друг с другом два различных вывода одного и того же результата, вы можете
открыть новый метод» (Лейбниц, см. МО, стр. 111).
8
Это значит, что каждый освоит что-то своё. Т.е. это должен быть материал сверх базы. Но это не значит,
что к общеобязательной базе такой способ вопрошания нельзя применять: 1) есть простые исследовательские
вопросы, доступные каждому; 2) активно решая интересные для него исследовательские задачи, ученику
постоянно приходится применять базовые навыки. И это улучшает не только исследовательские умения, но и
базовые навыки – эффект обоюдный!
9
Замечание Д.Э. Шноля.
10
Как ни странно звучит, задачи олимпиад высокого уровня часто требуют лишь владения несколькими
базовыми навыками (пусть и «олимпиадными»).
11
Или готовые утверждения неизвестными способами – что совсем уж неестественно. (Это называется
сложной задачей.)
12
На уроках далеко не всегда можно приблизиться к изображённому идеалу. Обычно не хватает времени,
недостаточно мотивации. Решать исследовательские задачи в свободном режиме позволяет жанр проектной
работы.
13
Интересно, что содержательные задачи обычно ставят открыто для младшего возраста, а к старшему
прекращают. Вопрос «что больше» (когда ответ «равно») – совершенно естественный для 5-6 класса, а в 9
классе он уже выглядит как специальный педагогический приём (говорят «докажите, что равно», ср. пример I.
1). Такова традиция. В этой статье я пытаюсь доказать, что повышая строгость рассуждений, можно сохранить
и открытые постановки задач, что одно не противоречит другому.
14
Изучаем новый материал. Обычно более «идейные» этапы проводим всем классом, а более
«технические» выполняем индивидуально. В начале урока я ставлю вопросы, мы вместе догадываемся до
правильного ответа («верно» или «неверно», «больше» или «меньше»), выдвигаем гипотезу, угадываем
формулу, предлагаем идею доказательства, метод решения. Реализация идеи, отработка метода, выяснение
технических деталей обычно происходит в индивидуальном режиме на второй половине урока.
Решаем задачи. Если ответ (идею) можно быстро угадать, устраиваю устное обсуждение. Если (что бывает
чаще) «технический объём» задачи не позволяет этого, задача решается в тетрадях каждым индивидуально, под
моим наблюдением. Когда нужно долгое обдумывание, «вызревание», задача даётся на дом.
15
Обычно при устном обсуждении степень открытости больше, так как можно вовремя направить мысль
учеников в нужное русло. В домашних и контрольных работах задачи приходится формулировать более
«закрыто». Например, серия задач I.1, II.5 (про квадрат и прямую) в домашней работе может выглядеть так:
Через центр квадрата со стороной 1 проведена прямая. Найдите сумму квадратов расстояний этой прямой
до вершин квадрата. Решите аналогичную задачу для равностороннего треугольника. Сформулируйте общее
утверждение (какие ещё фигуры подходят?). В такой форме уменьшается риск «провалиться» на первом же
этапе.
16
«Доказательное изложение следует принятому способу, обычному со времён Эвклида; эвристическое
изложение крайне необычно в печати. Однако наблюдательный преподаватель может пользоваться обоими
способами изложения. Действительно, он мог бы придумать, если нужно, третье изложение, находящееся
между этими двумя, с должным учётом имеющегося в распоряжении времени, интереса своих учеников, всех
условий, в которых он работает» (МПР, гл. 16, п. 9). Здесь дан только набросок большой темы о формальном и
эвристическом подходах к изложению доказательств. Подробнее см. МПР, гл. 5, пп. 3-6; гл. 16, пп. 4-6;
Маковецкий, N 108. Общим методологическим вопросам, которые ученик может задать себе сам, целиком
посвящены книги Пойа КРЗ и МО.
17
Не страшно, а скорее полезно, если ответы на какие-то вопросы, изучавшиеся сверх программы,
остаются догадками, более или менее обоснованными, но не доказанными строго. Не надо всё вычищать
внешней помощью, и в науке всё сразу гладко не бывает. Главное, чтобы ученик различал гипотезы и
установленные факты, более вероятные и менее вероятные догадки (МПР).
18
Для этого же будем возвращаться к исследованным вопросам и отмечать прирост знаний. «В 7 классе мы
с вами доказали, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, больший из
которых прилежит к большей стороне. Теперь мы можем указать точное количественное соотношение:
пропорция». (Один из подтекстов: «Недаром учились!»)
19
Ср. МПР, гл. 5, пп. 4-5; гл. 16, п. 6.