Глава 2 Многочлены

18
Глава
2
Многочлены
§1. Сложение многочленов
Примеры и комментарии
1. Посмотрите на многочлены
A = −x4 + 2x2 − 3
B = x3 + x2 + x
Они записаны в стандартном виде.
Степени их равны 4 и 3.
Старшие члены: −x4 и x3 .
Старшие коэффициенты: −1 и 1.
Свободные члены: −3 и 0.
2. Запись многочлена
2x3 − x4 − 3 + x3 + 1
не является стандартной. Сложим его
подобные члены:
(2x3 + x3 ) − x4 + (−3 + 1) = 3x3 − x4 − 2
и перепишем их в порядке убывания
их степеней:
−x4 + 3x3 − 2.
Мы пришли к многочлену стандартного вида.
3. Посмотрите на многочлен
A = a3 + a2 b − b3 + 2ab + a + b − 3
Он записан в стандартном виде. Многочлены
A3 = a3 + a2 b − b3
A2 = 2ab
A1 = a + b
A0 = −3
— это его однородные составляющие,
т. е. суммы одночленов одной и той же
степени.
Степень многочлена A равна 3.
Свободный член равен −3.
Старшим членом выбран одночлен a3 .
Презентации
Стандартный вид многочлена
Словарь и примеры
Демонстрации
Стандартный вид многочлена
с одной буквой
Стандартный вид многочлена
с несколькими буквами
Сложение многочленов
Многочлен — это выражение, являющееся суммой одночленов.
Многочлен имеет стандартный вид, если:
он записан в виде суммы одночленов стандартного вида;
среди одночленов нет подобных;
одночлены более высокой степени стоят левее одночленов
более низкой степени.
Для многочленов с одной буквой стандартный вид определяется
однозначно. Действительно, в такой многочлен после приведения подобных членов может входить не более одного одночлена
данной степени. Расположив эти одночлены в порядке убывания степеней, мы получим однозначно определенный многочлен
стандартного вида.
Если многочлен составлен с помощью нескольких букв, то его
стандартный вид можно определить по-разному.
Прежде всего, в нем не должно быть подобных одночленов.
Далее мы объединим в группы одночлены одной и той же степени — в отличие от одночленов с одной буквой их может быть
несколько. Наконец, группы одночленов более высокой степени
нужно расположить левее групп одночленов более низкой степени. Это однозначно определит расположение групп одночленов
одной и той же степени в убывающем порядке. Располагать
же одночлены внутри каждой такой группы можно по-разному.
Обычно при этом учитывают алфавитный порядок букв.
Степень многочлена — это наивысшая степень одночлена,
входящего в этот многочлен.
Однородный многочлен — это многочлен, у которого все одночлены имеют одинаковую степень.
Свободный член многочлена — это его одночлен нулевой степени, т. е. входящее в него число. Если такого одночлена нет
в стандартной записи многочлена, то считается, что он равен
нулю.
Старший член многочлена — это его одночлен наивысшей
степени. Для многочленов с одной буквой старший член
определен однозначно. Если букв более одной, нужно специально договариваться о выборе старшего члена.
Старший коэффициент — это коэффициент при старшем
члене.
19
СУММА МНОГОЧЛЕНОВ
Сумма (разность) двух многочленов — это выражение, получающееся соединением двух многочленов знаком сложения
(вычитания).
A + B — сумма многочленов
A − B — разность многочленов
Когда говорят «сложить (или вычесть) многочлены», то это не
значит, что их нужно просто соединить плюсом или минусом.
При этом имеют в виду, что нужно в записанной сумме (разности) привести подобные члены и записать результат в стандартном виде.
При сложении (вычитании) многочленов складываются (вычитаются) коэффициенты при подобных слагаемых.
Как меняется степень при сложении многочленов?
Примеры и комментарии
1. Сложение многочленов с одной
буквой похоже на сложение строчек из
их коэффициентов.
A = 4x3 − x2 + 9x
B = 2x3 + 2x2 − x + 5
Строчки из коэффициентов:
A (4, −1, 9, 0)
B (2, 2, −1, 5)
Сумма строк:
(6, 1, 8, 5)
Сумма многочленов:
A + B = 6x3 + x2 + 8x + 5
2. Надо быть внимательным, складывая многочлены разных степеней.
A = 2x − 3
B = x2 + x
Строчки должны иметь одинаковую
длину:
A (0, 2, −3)
B (1, 1, 0)
Сумма строк:
(1, 3, −3)
Примеры
A + B = x2 + 3x − 3
1. (x2 − 1) + (x3 + x2 + 2) = x3 + 2x2 + 1
Складывали многочлены разных степеней. В этом случае степень суммы равна наибольшей из степеней слагаемых.
2. (x2 − 1) + (2x2 − x + 2) = 3x2 − x + 1
Складывали многочлены одинаковых степеней. Их старшие члены подобны, но их сумма отлична от нуля. В этом случае
степень суммы сохранилась.
3. (x2 − 1) + (−x2 + x + 2) = x + 2
Складывали многочлены одинаковых степеней, но сумма их
старших членов оказалась равной нулю. В этом случае степень
суммы уменьшилась.
ПРОВЕРЬ СЕБЯ
Дан многочлен
Чему равна его степень? Каковы его
старший коэффициент и свободный член?
Может ли сумма двух многочленов третьей степени стать многочленом второй степени? Приведите примеры.
Разбейте многочлен x4 + y3 + 3xy + y + x2 y2 + 1 + x2 + xy2 + 2x на
однородные составляющие.
−x3 + 3x − 5.
3. При
сложении
многочленов
с несколькими буквами надо уметь
быстро находить подобные слагаемые.
Это сделать проще, если приучиться
записывать слагаемые одной и той же
степени в определенном порядке.
Например, многочлен 2bc − b2 + ab +
+a2 −3ac+2c2 лучше записать в таком
порядке: a2 − b2 + 2c2 + ab − 3ac + 2bc.
Сначала записаны квадраты букв в алфавитном порядке, затем их попарные
произведения. Эти произведения перечислены так: сначала взята первая
буква a и она умножена по порядку
на следующие: ab и ac. Затем взята
следующая буква b и умножена на следующие (в данном случае за b следует
только c): bc.
20
§2. Умножение многочленов
Примеры и комментарии
1. (a + 2b) · (2a − b) = 2a2 − ab +
+ 4ab − 2b2 = 2a2 + 3ab − 2b2 .
При перемножении одночленов мы делали вычисления устно и сразу записывали произведение в стандартном
виде. Это сильно сокращает запись
и облегчает нахождение подобных слагаемых.
2. (x2 − xy + 2y2 ) · (3x + 2y) = 3x3 +
+ 2x2 y − 3x2 y − 2xy2 + 6xy2 + 4y3 =
= 3x3 − x2 y + 4xy2 + 4y3 .
Вычисляя, мы по очереди брали каждый одночлен из первой скобки и
умножали его на каждый одночлен
второй скобки.
3. (a2 − ab + b2 ) · (a + b) = a3 − a2 b +
+ ab2 + a2 b − ab2 + b3 = a3 + b3 .
Сейчас мы поступили наоборот: брали более простые одночлены второго
множителя и умножали на них поочередно каждый одночлен первого.
4. (x + y)(x + 2y)(x + 3y) = (x2 +
+ 2xy + xy + 2y2 )(x + 3y) = (x2 +
+ 3xy + 2y2 )(x + 3y) = x3 + 3x2 y +
+ 2xy2 + 3x2 y + 9xy2 + 6y3 =
= x3 + 6x2 y + 11xy2 + 6y3 .
При умножении нескольких скобок надо приводить подобные члены после
перемножения каждой пары скобок.
5. Если первый многочлен имеет m
слагаемых, а второй — n, то произведение многочленов (до приведения подобных членов) имеет столько же слагаемых, сколько есть клеток в таблице
размером m × n. Это число равно mn.
Произведение двух многочленов — это выражение, получающееся при соединении двух многочленов знаком умножения.
A · B, A × B — произведение многочленов A и B
Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждое слагаемое первого многочлена умножить на каждое слагаемое второго,
затем сложить все полученные одночлены и привести подобные
члены.
При умножении многочленов мы сталкиваемся с комбинаторной задачей перебора произведений одночленов, составляющих
перемножаемые многочлены. Можно действовать так. Взять первое слагаемое первого множителя и последовательно умножить
его на каждое слагаемое второго. Затем то же самое проделать
со вторым слагаемым, затем с третьим и т. д.
(A + B +C) · (X +Y + Z) =
= A · X + A ·Y + A · Z + B · X + B ·Y + B · Z +C · X +C ·Y +C · Z
Разумеется, можно выбрать для себя и другую процедуру перебора, например, по очереди брать слагаемые второго множителя
и умножать их на все слагаемые первого.
(A + B +C) · (X +Y + Z) =
= A · X + B · X +C · X + A ·Y + B ·Y +C ·Y + A · Z + B · Z +C · Z
Каждое слагаемое произведения двух многочленов (до приведения подобных членов) определяется парой одночленов, взятых
по одному из множителей. Поэтому можно сказать, что перебор
произведений — это то же самое, что перебор пар в таблице.
Презентации
Умножение многочленов
Произведение многочленов
с одной буквой
Демонстрация
Умножение многочленов
с одной буквой
X
Y
Z
A
A·X
A ·Y
A·Z
B
B·X
B ·Y
B·Z
C
C·X
C ·Y
C·Z
При первом способе мы перечисляли элементы таблицы по
строчкам, а при втором — по столбцам.
21
ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ С ОДНОЙ БУКВОЙ
Рассмотрим пример умножения двух многочленов.
(2x2 − x + 3) · (x2 + 2x − 1) = 2x2 · x2 + 2x2 · 2x + 2x2 · (−1) +
+ (−x) · x2 + (−x) · 2x + (−x) · (−1) + 3 · x2 + 3 · 2x + 3 · (−1) =
= 2x4 + 4x3 − 2x2 − x3 − 2x2 + x + 3x2 + 6x − 3 =
= 2x4 + 3x3 − x2 + 7x − 3
Из этого примера можно сделать следующие общие выводы.
Старший член произведения многочленов равен произведению старших членов сомножителей: 2x2 · x2 = 2x4 .
Свободный член произведения многочленов равен произведению свободных членов сомножителей: 3 · (−1) = −3.
Степень произведения многочленов равна сумме степеней
сомножителей: 2 + 2 = 4.
Схему умножения двух многочленов можно упростить, если сразу вычислять коэффициент при данной степени, т. е. складывать
подобные одночлены устно. Это нетрудно, если коэффициенты
невелики. Приведем несколько таких схем:
(ax + b) · (cx + d) = ac · x2 + (ad + bc)x + bd.
(a2 x2 + a1 x + a0 ) · (b2 x2 + b1 x + b0 ) =
= a2 b2 x4 + (a2 b1 + a1 b2 )x3 + (a2 b0 + a1 b1 + a0 b2 )x2 +
+ (a1 b0 + a0 b1 )x + a0 b0 .
Во второй из этих схем мы специально поставили номера у коэффициентов, совпадающие со степенью одночлена. Проверьте,
что в произведении коэффициент при xk получается сложением произведений коэффициентов множителей, у которых сумма
номеров равна k.
ПРОВЕРЬ СЕБЯ
Даны два многочлена: 2x3 − x + 3 и x3 + x2 − 2x.
Сколько слагаемых будет в их произведении до приведения
подобных членов?
Какую степень будет иметь их произведение?
Чему будут равны старший коэффициент и свободный член
произведения?
Сколько членов будет содержать произведение после приведения
подобных членов?
Найдите устно коэффициент при x3 в произведении многочленов.
Примеры и комментарии
1. (x + a) · (x + b) = x2 + (a + b)x + ab.
Перемножать двучлены вида x + c приходится часто. Полезно запомнить правило образования коэффициентов в таком произведении: коэффициент при
x2 равен, конечно, единице, коэффициент при x — сумме свободных членов
сомножителей, а свободный член — их
произведению.
2. (x+a)·(x−a) = x2 +(a−a)·x−a2 =
= x2 − a2 .
Великое тождество (x + a)(x − a) =
= x2 − a2 нам встретится еще не раз.
3. (a2 +3)·(a3 −2) = a5 +3a3 −2a2 −6.
Перемножая двучлены степени выше
первой, надо внимательно следить за
степенями одночленов в произведении.
4. Предложенная нами упрощенная
схема умножения многочленов, использующая «скрестное» перемножение коэффициентов множителей, аналогичных сокращенной схеме умножения многозначных чисел столбиком:
132
×
216
28512
В этой схеме цифры произведения
(справа налево) получены следующим
образом:
2 · 6 = 12 — пишем 2 и запоминаем 1;
3 · 6 + 2 · 1 + 1 = 21 — пишем 1 и запоминаем 2;
1 · 6 + 3 · 1 + 2 · 2 + 2 = 15 — пишем 5 и
запоминаем 1;
1·1+3·2+1 = 8
1·2 = 2
5. Если коэффициенты одного многочлена обозначены через ai , а у второго
через b j , причем номера совпадают со
степенями буквы x, то в произведении
коэффициент при xk равен
ak · b0 + ak−1 · b1 + ak−2 · b2 + . . .
. . . + a1 · bk−1 + a0 bk .
22
§3. Квадраты и кубы
Примеры и комментарии
1. Доказательство формул квадрата
суммы или разности двух букв производится простым перемножением:
(a + b)2 = (a + b)(a + b) =
= a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2
(или a2 + b2 + 2ab);
Квадрат суммы равен сумме квадратов плюс удвоенное произведение.
Квадрат разности равен сумме квадратов минус удвоенное
произведение.
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
(a − b)2 = a2 + b2 − 2ab
(a − b)2 = (a − b)(a − b) =
= a2 − ab − ba + b2 = a2 − 2ab + b2
(или a2 + b2 − 2ab).
2. В формулу для квадрата суммы
(разности) можно вместо a и b подставлять любые выражения.
Пример
(x2 + 2y2 )2 = (x2 )2 + 2x2 · 2y2 + (2y2 )2 =
= x4 + 4x2 y2 + 4y2
3. (a + b)2 − (a − b)2 =
= a2 + 2ab + b2 − (a2 − 2ab + b2 ) =
= a2 + 2ab + b2 − a2 + 2ab − b2 = 4ab.
Из этого равенства можно произведение ab выразить через квадраты:
ab =
1
((a + b)2 − (a − b)2 ) =
4
a + b 2 a − b 2
−
=
2
2
4. Доказательство формулы для куба
суммы:
(a + b)3 = (a + b)2 (a + b) =
= a3 + 2a2 b + ab2 + a2 b + 2ab2 + b3 =
2
2
Формулу для куба разности можно получить из формулы для
куба суммы, заменяя b на −b:
(a − b)3 = (a + (−b))3 = a3 + (−b)3 + 3a2 (−b) + 3a(−b)2
= a3 − b3 − 3a2 b + 3ab2
Формулы для квадрата и куба суммы и разности двух букв можно
записать разными способами.
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab = a2 + 2ab + b2
= (a2 + 2ab + b2 )(a + b) =
3
Куб суммы равен сумме кубов плюс утроенные произведения квадрата каждого слагаемого на другое
(a + b)3 = a3 + b3 + 3a2 b + 3ab2
3
= a + 3a b + 3ab + b .
5. Приведем еще одну полезную запись формул для куба суммы и разности:
(a + b)3 = a3 + b3 + 3a2 b + 3ab2 =
(a − b)2 = a2 + b2 − 2ab = a2 − 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + b3 + 3a2 b + 3ab2 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
(a − b)3 = a3 − b3 − 3a2 b + 3ab2 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3
= a3 + b3 + 3ab(a + b)
(a − b)3 = a3 − b3 − 3a2 b + 3ab2 =
= a3 − b3 − 3ab(a − b)
Куб со стороной a + b можно разрезать на 8 частей: два куба со
сторонами a и b, три бруска с квадратным сечением площади
a2 и длиной b и три бруска с квадратным сечением площади b2
и длиной a.
23
КВАДРАТ СУММЫ ТРЕХ СЛАГАЕМЫХ
И ДРУГИЕ ФОРМУЛЫ
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
Примеры и комментарии
1. Формула квадрата суммы легко распространяется на любое число слагаемых: надо взять сумму всех квадратов и сложить со всевозможными удвоенными произведениями. Мы снова
столкнемся с комбинаторной задачей —
как перебрать всевозможные произведения.
Пример
(a + b + c + d)2 =
Квадрат суммы равен сумме квадратов плюс всевозможные удвоенные произведения.
2. Для доказательства более сложной
формулы для куба суммы трех чисел
надо аккуратно перемножить
Формула куба суммы трех слагаемых
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 +
2
2
2
= a2 + b2 + c2 + d 2 +
+ 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd.
Перебор произведений выполнен так:
берется первая буква a и умножается на все следующие; затем берется
вторая буква b и умножается на все
следующие за ней и т. д.
2
2
2
+ 3a b + 3a c + 3b a + 3b c + 3c c + 3c b + 6abc
Формулы возведения двучлена a + b в квадрат и куб можно
обобщить для других степеней. Общая формула для вычисления
(a + b)n носит название формулы бинома Ньютона.
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2
+ 2ab + 2ac + 2bc
и a + b + c. Получится следующая формула:
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 +
+ 3(a2 b + a2 c + b2 a + b2 c + c2 a + c2 b)+
+ 6abc.
Полезно запомнить формулу для четвертой степени:
(a + b)4 = ((a + b)2 )2 = (a2 + 2ab + b2 )2 =
= a4 + 4a2 b2 + b2 + 2a2 · 2ab + 2a2 · b2 + 2 · 2ab · b2 =
= a4 + 4a2 b2 + b4 + 4a3 b + 2a2 b2 + 4ab3 =
= a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 .
ПРОВЕРЬ СЕБЯ
Какие числа надо подставить вместо коэффициента a, чтобы следующие многочлены стали полными квадратами: x2 + 6xy + ay2 ;
ax2 − xy + y2 ; 4x2 + axy + 9y2 ?
Какие числа надо подставить вместо коэффициентов a и
b, чтобы следующие многочлены стали полными кубами:
1
8
x3 − 6x2 y + 9xy2 + ay3 ; ax3 + 6x2 y + bxy2 + y3 ;
x3
+ ax2 y + bxy2 −
27
− 8y3 ?
Сколько членов содержит разложение многочлена (a + b + c)2 ?
Презентации
Возведение в квадрат
Возведение в куб
Демонстрации
Квадрат суммы
Куб суммы
24
§4. Разложение на множители
Примеры и комментарии
1. Общий множитель — одночлен:
2x3 y2 − 4x2 y3 = 2x2 y2 (x − 2y).
Вынесение общего множителя за скобки:
A · X + A ·Y + A · Z = A · (X +Y + Z)
2. Общий множитель — многочлен:
x(x2 + y2 ) − y(x2 + y2 ) = (x2 + y2 )(x − y).
Обнаружив общий множитель, его часто записывают впереди всего выражения — выносят за скобки.
3. Обычно есть много способов группировки, и не все они приводят к
цели — нахождению общего множителя. Полезно научиться «прикидывать в
уме», найдется ли общий множитель
при выбранном способе группировки.
Например, разлагая на множители выражение A = a2 + a + b2 + b + 2ab,
можно прикинуть, что, группируя a2 ,
b2 и 2ab, мы получим квадрат суммы a + b, имеющий общий множитель (точнее, совпадающий) с суммой
остальных членов:
A = (a2 + 2ab + b2 ) + (a + b)
2
= (a+b) +(a+b) = (a+b)(a+b+1).
Примеры
1. a4 b2 c3 + a3 b3 c3 − a3 b4 c2 = a3 b2 c2 (ac + bc − b2 )
2. a2 (a + b) + b2 (a + b) + c2 (a + b) = (a + b)(a2 + b2 + c2 )
Группировка слагаемых:
A · X + B ·Y + B · X + A ·Y = (A · X + B · X) + (A ·Y + B ·Y ) =
= (A + B) · X + (A + B) ·Y = (A + B) · (X +Y )
4. При группировке часто приходится
разбивать слагаемое на сумму или разность подобных членов.
Примеры
a2 − 5ab + 6b2 =
= a2 − 2ab − 3ab + 6b2 =
= a(a − 2b) − 3b(a − 2b) =
= (a − 2b)(a − 3b);
x2 − x − 2 = x2 + x − 2x − 2 =
= x(x + 1) − 2(x + 1) = (x + 1)(x − 2).
Примеры
1. ax + by + az + bx + ay + bz = (ax + bx) + (ay + by) + (az + bz) =
= x(a + b) + y(a + b) + z(a + b) = (a + b)(x + y + z)
2. x2 + 3xy + 2y2 = x2 + xy + 2xy + 2y2 = x(x + y) + 2y(x + y) =
(x + y)(x + 2y)
Презентация
Формулы сокращенного
умножения
Демонстрация
Разложение на множители
25
ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ
Разность квадратов равна произведению суммы на разность:
a2 − b2 = (a − b)(a + b)
Примеры и комментарии
1. Полезно помнить, что разность четвертых степеней раскладывается на
три множителя:
a4 − b4 = (a2 )2 − (b2 )2 =
= (a2 − b2 )(a2 + b2 ) =
Эту формулу можно представить геометрически:
= (a − b)(a + b)(a2 + b2 ).
2. Разность любых четных степеней
можно представить как разность квадратов и затем разложить на два множителя:
x6 − y8 = (x3 )2 − (y4 )2 =
= (x3 − y4 )(x3 + y4 ).
Примеры
1. 4a2 − 9b2 = (2a)2 − (3b)2 = (2a − 3b)(2a + 3b)
2. (x + y)2 − (x − y)2 = (x + y − x + y)(x + y + x − y) = 2y · 2x = 4xy
Сумма и разность кубов
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
Пример. a3 − 8b3 = a3 − (2b)3 = (a − 2b)(a2 + 2ab + 4b2 )
Выражения a2 + ab + b2 и a2 − ab + b2 называют неполными
квадратами суммы и разности. Так их отличают от полных
квадратов: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 и a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 .
Словами формулы для суммы и разности кубов читают так:
Сумма кубов равна произведению суммы на неполный квадрат разности.
Разность кубов равна произведению разности на неполный
квадрат суммы.
ПРОВЕРЬ СЕБЯ
Какой общий множитель можно вынести за скобку у следующих
многочленов: a3 b2 − a2 b + a4 b3 ; x3 + 2x − xy2 − 2y?
Какое число можно подставить вместо коэффициента a, чтобы
многочлен x2 + 2ay2 можно было представить как разность квадратов?
На сколько множителей можно разложить многочлены: x4 −16y4 ;
x6 − y6 ; a4 − 9b2 ?
Вычислите устно: 992 − 1; 19 · 21; 213 − 1.
3. Сумму шестых степеней (как и
сумму любых двух степеней, кратных трем) можно разложить, пользуясь
формулой разложения суммы кубов:
a6 + b6 = (a2 )3 + (b2 )3 =
= (a2 + b2 )(a4 − a2 b2 + b4 ).
4. Разность шестых степеней лучше сначала представить как разность
квадратов:
a6 − b6 = (a3 )2 − (b3 )2 =
= (a3 − b3 )(a3 + b3 ) =
= (a − b)(a2 + ab + b2 )×
×(a + b)(a2 − ab + b2 ).
Если бы ее представили как разность
кубов, то получили бы только три множителя:
a6 − b6 = (a2 )3 − (b2 )3 =
= (a2 − b2 )(a4 + a2 b2 + b4 ) =
= (a − b)(a + b)(a4 + a2 b2 + b4 ).
Однако многочлен a4 + a2 b2 + b4 тоже
можно разложить на множители, но
более «хитрым» способом:
a4 + a2 b2 + b4 =
= a4 + 2a2 b2 + b4 − a2 b2 =
= (a2 + b2 )2 − (ab)2 =
= (a2 + b2 − ab)(a2 + b2 + ab).
5. Можно попытаться разложить похожий многочлен a4 − a2 b2 + b4 , записывая его как разность квадратов:
a4 − a2 b2 + b4 =
= a4 + 2a2 b2 + b4 − 3a2 b2 =
= (a2 + b2 )2 − 3a2 b2 .
Возникает препятствие — число 3 не
является квадратом целого числа.
Если мы используем только целые коэффициенты, то разложение невозможно. Позже, когда мы введем квадратные корни, мы сможем записать число
3 в виде квадрата некоторого числа
и продолжить разложение на множители.
26
§5. Тождества
Примеры и комментарии
1. Доказать тождество
a4 + 4b4 =
= (a2 − 2ab + 2b2 )(a2 + 2ab + 2b2 ).
Преобразуем левую часть:
a4 +4b4 = a4 +4a2 b2 +4b4 −4a2 b2 =
Чтобы определить, равны ли между собой два многочлена,
надо привести их к стандартному виду, а затем для каждого одночлена каждого из многочленов найти совпадающий
с ним одночлен другого. Говорят, что при этом мы проверяем
их почленное равенство.
= (a2 + 2b2 )2 − (2ab)2 =
= (a2 + 2b2 − 2ab)(a2 + 2b2 + 2ab).
Почленное равенство множителей слева и справа проверяется устно.
Пример. Проверим равенство
2. Доказать тождество:
Перемножим скобки слева и раскроем квадраты справа
x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 =
2
2
= (x + 3x + 1) .
Преобразуем левую часть:
x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 =
= (x(x + 3)) · ((x + 1)(x + 2)) + 1 =
= (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) + 1 =
= (x2 + 3x)2 + 2(x2 + 3x) + 1 =
= (x2 + 3x + 1)2 .
Теперь левая часть совпадает с правой.
3. Доказать тождество:
x(y + z)2 + y(x + z)2 + z(x + y)2 − 4xyz =
= (x + z)(x + y)(y + z).
При прямом вычислении слева получится 10 слагаемых и справа 8. Попробуем левую часть разложить на множители.
x(y + z)2 + y(x + z)2 + z(x + y)2 − 4xyz
= x(y + z)2 − 2xyz + y(x + z)2 − 2xyz+
+ z(x + y)2 =
= x(y2 + z2 ) + y(x2 + z2 ) + z(x + y)2 =
= (xy2 + xz2 + yx2 + yz2 ) + z(x + y)2 =
= xy(x + y) + z2 (x + y) + z(x + y)2 =
= (x + y)(xy + z2 + zx + zy) =
= (x + y)(x(y + z) + z(z + y)) =
= (x + y)(y + z)(x + z).
Презентация
Примеры тождеств
(a2 + b2 )(x2 + y2 ) = (ax + by)2 + (ax − by)2 .
a2 x2 + a2 y2 + b2 x2 + b2 y2 =
= a2 x2 + 2ax · by + b2 y2 + a2 y2 − 2ay · bx + b2 x2 .
Многочлен слева не имеет подобных членов. Можно считать,
что он записан в стандартном виде. В многочлене справа
надо сложить 2ax · by = 2ab · xy и −2ay · bx = −2ab · xy. Эти
члены взаимно уничтожатся, и оставшийся многочлен также
может считаться стандартным. Осталось сравнить одночлены. Каждый из двух многочленов содержит одни и те же
одночлены: a2 x2 , a2 y2 , b2 x2 и b2 y2 . Равенство проверено.
Если два многочлена почленно равны, то в них можно вместо букв подставить любые числа, и мы получим верное
числовое равенство.
Два многочлена называются тождественно равными, если
равны их значения при всех значениях входящих в них букв.
Тождество — это два тождественно равных многочлена, соединенных знаком =.
Можно сказать, что тождество — это равенство, являющееся
верным при подстановке вместо букв произвольных числовых значений.
ПРОВЕРЬ СЕБЯ
Равны ли многочлены (x + 2)(x − 1) и x2 + x − 2?
Верно ли тождество (x + 2)(x − 1) = x2 + x − 2?
Назовите основные виды тождественных преобразований
многочленов.
Найдите по крайней мере 3 многочлена, тождественно равных
многочлену a3 + b3 .
27
ТОЖДЕСТВЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Проверить тождество многочленов по определению невозможно,
так как пришлось бы подставлять бесконечное число значений
букв. Поэтому тождественное равенство проверяют обычным
образом — приводят многочлены к стандартному виду и сравнивают их почленно.
Приводя многочлен к стандартному виду, мы его преобразуем.
При этом используются два основных типа преобразования:
частичное выполнения арифметических действий и применение
законов этих действий. Совершая эти преобразования, мы переходим от многочлена к тождественно равному ему, так как они
не нарушают верность числовых равенств.
Примеры и комментарии
1. Доказать тождество:
(a + b)2 = (a2 + 1)(b2 + 1) − (ab − 1)2 .
Перенесем влево последнее слагаемое
правой части
(a + b)2 + (ab − 1)2 = (a2 + 1)(b2 + 1).
Теперь можно сделать вычисления порознь слева и справа и убедиться в почленном равенстве, но проще сравнить
с доказанным тождеством
(a2 + b2 )(x2 + y2 ) =
= (ax + by)2 + (ay − bx)2 .
Достаточно положить в нем b = −1,
x = b, y = 1.
2. Доказать тождество:
Тождественное преобразование выражения — это переход
от него к другому, тождественно равному выражению.
Тождества можно доказывать двумя различными способами.
При первом способе выполняют независимо друг от друга тождественные преобразования выражений в левой и правой частях
доказываемого тождества. Цель — привести выражения к многочленам стандартного вида, которые можно сравнить почленно.
Другой способ — преобразовать само тождество так, чтобы его
истинность не могла нарушиться. При этом часто используются
следующие преобразования равенств.
1. Прибавление к обеим частям равенства одного и того же
выражения.
2. Умножение обеих частей равенства на число, отличное от
нуля.
3. Перенос членов из одной части равенства в другую с противоположным знаком.
Если указанные в рамке три преобразования выполнять над
числовыми равенствами, то мы будем переходить от верных
равенств к верным. А так как все они обратимы — от преобразованного равенства можно вернуться назад к исходному аналогичным преобразованием, то мы не можем из неверного равенства
получить верное. Следовательно, такие преобразования не
нарушают справедливости тождества.
(a + b + c)2 + (a − b − c)2 +
+ (a − b + c)2 + (a + b − c)2 =
= 4(a2 + b2 + c2 ).
Прямые вычисления в левой части
слишком длинны. Перенесем правую
часть влево и попробуем вынести общий множитель a + b + c:
(a + b + c)2 + (a − b − c)2 − 4a2 +
+(a−b+c)2 −4b2 +(a+b−c)2 −4c2 =
= (a + b + c)2 + (a − b − c − 2a)×
× (a − b − c + 2a) + (a − b + c − 2b)×
× (a − b + c + 2b) + (a + b − c − 2c)×
× (a + b − c + 2c) =
= (a + b + c)2 − (a + b + c)(3a − b − c) +
+ (a + b + c)(a − 3b + c) +
+ (a + b + c)(a + b − 3c) =
= (a + b + c)(a + b + c − 3a + b + c + a −
−3b+c+a+b−3c) = (a+b+c)·0 = 0,
что и требовалось доказать.
3. Дано, что a + b + c = 0. Доказать,
что
a(a + b)(a + c) + b(b + a)(b + c)+
+ c(c + a)(c + b) =
= −3(a + b)(a + c)(b + c).
Это пример так называемого условного
тождества. Оно должно быть верно
при подстановке вместо букв a, b и c
любых чисел, сумма которых равна
нулю.
Вместо перемножения скобок выразим
из данного условия суммы двух букв:
a + b = −c, a + c = −b и b + c = −a.
Подставим в доказываемое тождество:
a · (−c) · (−b) + b · (−c) · (−a)+
+c·(−b)·(−a) = −3·(−c)·(−b)·(−a).
Выполним действия:
abc + abc + abc = 3abc,
3abc = 3abc.
28
§6. Комбинаторика-2
Примеры и комментарии
1. В классе 20 человек. Каким числом
способов можно составить расписание
дежурств на пятидневную неделю, если на каждый день назначается один
дежурный и один человек не может
дежурить дважды?
Составляем список. На первое место
поставим любого из двадцати человек,
на второе — любого из 19 оставшихся. Уже получится 20 · 19 «начал» этих
списков. Дописывая дежурных на каждый последующий день и учитывая,
что число кандидатов на дежурство
каждый раз будет уменьшаться на единицу, получим ответ: 20 · 19 · 18 · 17 · 16.
Это число достаточно велико. С помощью калькулятора получаем ответ:
20 · 19 · 18 · 17 · 16 = 1860480 — около
двух миллионов вариантов.
2. Каким числом способов можно разместить в ряду из четырех стульев четырех человек, имея выбор из 10 человек?
Эта задача ничем не отличается от задачи составления списка без повторений или составления слова из разных
букв. Размещаем людей: на первый
стул сажаем любого из 10, на второй —
любого из 9 оставшихся и т. д.
Ответ: 10 · 9 · 8 · 7 = 5040 вариантов.
3. В предыдущей задаче мы использовали глагол «разместить». От него
происходит термин «размещение», который часто и применяют для обозначения слова из различных букв или
списка с различными символами. Если
у нас есть общий запас из m букв и мы
составляем слово из k различных букв,
то число таких слов, или иначе число
размещений из m по k, обозначается
символом Akm .
Мы уже знаем, что это число вычисляется так: надо перемножить k натуральных чисел, первое из которых
равно m, а каждое следующее на 1
меньше.
Презентации
Комбинаторика
Перестановки
Демонстрация
Перестановки
Если алфавит содержит 5 букв: А, Б, В, Г и Д, то число трехбуквенных слов, которые можно составить из этого алфавита, равно
5 · 5 · 5 = 53 .
Мы применили правило произведения — при составлении слова
на первое место поставили любую из 5 букв, на второе — снова,
независимо от того, какая буква была первой, одну из пяти букв.
При этом число вариантов увеличилось в 5 раз: 5 · 5. Дописывая
независимо третью букву, мы еще раз впятеро увеличиваем
число вариантов и получаем ответ 5 · 5 · 5 = 53 = 125.
В общем виде, если алфавит состоит из m букв, то число
n-буквенных слов, в которых буквы выбираются независимо
друг от друга и могут повторяться, равно
· . . . · m} = mn .
|m · m{z
n раз
Рассмотрим задачу составления слов с неповторяющимися
буквами.
Сколько можно составить трехбуквенных слов с различными
буквами алфавита А, Б, В, Г, Д?
На первое место ставим любую из 5 букв, на второе — любую из
оставшихся. Получится 5 · 4 вариантов. Для третьей буквы у нас
остается 3 неиспользованных буквы. Всего получится 5·4·3 = 60
вариантов.
Если мы накладываем ограничения — буквы не должны повторяться, — то запас вариантов выбора очередной буквы каждый
раз уменьшается на единицу. Так,
число трехбуквенных слов с неповторяющимися буквами,
которые можно составить с помощью алфавита, имеющего
m букв, равно
m(m − 1)(m − 2).
В общем виде число k-буквенных слов с неповторяющимися
буквами из алфавита, содержащего m букв, вычисляется по
формуле
m(m − 1)(m − 2) · . . . · (m − k + 1).
29
ПЕРЕСТАНОВКИ
Когда мы составляли трехбуквенные слова с различными буквами из алфавита А, Б, В, то обнаружили, что каждое такое слово
содержит все буквы алфавита. Друг от друга слова отличаются
только порядком букв:
АБВ, АВБ, БАВ, БВА, ВАБ, ВБА.
Такие комбинации называются перестановками.
Пусть дан алфавит из m букв. Перестановкой этих букв
называется слово из m различных букв.
Можно сказать, что перестановка — это последовательность
букв (символов), записанных в определенном порядке.
Подсчитывая число перестановок трех букв, мы перемножим
числа 3 · 2 · 1, или 1 · 2 · 3. Это число можно описать как произведение натуральных чисел от 1 до 3.
Произведение натуральных чисел от 1 до m, т. е. число
1 · 2 · 3 · . . . · m, обозначается m! и называется факториалом
числа m (читается «m факториал»).
Для любого натурального m имеет место правило: число
перестановок m букв равно m!
Выпишем несколько первых факториалов:
1! = 1,
2! =2,
4! = 6 · 4 = 24,
5! =24 · 5 = 120,
7! = 720 · 7 = 5040,
9! = 40320 · 9 = 362880,
3! = 6,
6! = 120 · 6 = 720,
8! = 5040 · 8 = 40320,
10! = 3628800.
Мы видим, что факториалы растут очень быстро. Например,
число 100! имеет 158 цифр.
ПРОВЕРЬ СЕБЯ
Из букв А, Б, В и Г составляются трехбуквенные слова. На
сколько больше всех возможных слов по сравнению с числом
слов с неповторяющимися буквами?
Сколькими способами можно переставить буквы в словах катер?
катет?
В номере a цифр. Каким числом способов можно составить этот
номер из цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы цифры не повторялись?
Дайте ответ при каждом значении a от 1 до 5.
Примеры и комментарии
1. Сколькими способами можно:
1) обить 5 стульев, если имеются ткани
пяти различных цветов и все стулья
должны быть разного цвета;
2) установить очередность дежурств
в классе в течение недели (кроме воскресенья), если каждый из 6 назначенных учащихся дежурит один раз;
3) разложить 7 различных писем по
семи различным конвертам, если в
каждый конверт кладется только одно
письмо;
4) рассадить на скамейке 8 человек;
5) расставить на одной полке 9 книг
разных авторов?
Во всех приведенных примерах надо
составить всевозможные перестановки
данных объектов. Ответы можно записать с помощью факториала: 5! = 120;
6! = 720 и т. д.
2. Как удобнее всего перебирать перестановки? Допустим, что мы хотим выписать все 24 перестановки букв a, b, c,
d. Фиксируем первую букву и к ней дописываем вторую, затем третью и, наконец, последнюю. Получится 4 группы по 3! = 6 слов:
abcd
bacd
cabd
dabc
abdc
badc cadb dacb
acbd
bcad
cbad
dbac
acdb
bcda cbda dbca
adbc
bdac cdab dcab
adcb
bdca cdba dcba
3. Число перестановок m символов
обозначается через Pm . Мы уже знаем, что Pm = m!. Обратим внимание на
формальное равенство Am
m = Pm = m!.
Буквы A и P являются первыми буквами английских слов arrangement —
размещение и permutation — перестановка.
4. Число Akm = m(m−1)·. . .·(m−k +1)
можно записать с помощью факториала. Домножим и разделим его на недостающие множители от m − k до 1, т. е.
на число (m − k) · . . . · 2 · 1 = (m − k)!.
В числителе получится произведение
всех чисел от 1 до m, т. е. m! В итоге
имеем формулу:
Akm =
m!
Pm
=
.
(m − k)! Pm−k
30
Беседа
2
История
Омар Хайям (1048—1123)
Задачи
1. Вот задача из арабской книги по
математике.
Квадратный сад со стороной в 200 шагов огорожен стеной. Ворота в сад сделаны в середине каждой стороны сада.
Напротив восточных ворот в 15 шагах
от них посажено дерево. На какое расстояние от южных ворот надо отойти,
чтобы увидеть дерево?
Сможете ли вы составить уравнение
для решения этой задачи?
2. Арабский способ решения квадратного уравнения вида x2 + ax = b показан на рисунке внизу. Попробуйте этим
методом найти положительные корни
уравнений:
1) x2 + 12x = 64; 2) x2 + 10x = 39.
Второе из них вошло в историю как
уравнение Аль-Хорезми.
x4 + 4 · x ·
a
a2
a2
+4·
= b+
4
16
4
3. Виет предложил преобразование
двучлена x2 + ax, которое аналогично
арабскому геометрическому методу и
известно как выделение полного квадрата. Мы обратимся к нему в 8 классе,
а пока покажем его на примере:
x2 + 4x = x2 + 2 · 2 · x =
= x2 + 2 · 2 · x + 4 − 4 = (x + 2)2 − 4.
Найдите способом Виета положительные корни уравнений из примера 2.
В Средние века центром математической мысли были страны Востока. В построенном одним из арабских калифов Доме Мудрости были
собраны, переведены на арабский
язык и прокомментированы рукописи древнегреческой математики.
Широкую известность, причем не
только на Востоке, но впоследствии
и в Европе, получили Комментарии
к «Началам» Евклида, написанные
Омаром Хайямом в конце XI века.
Омар Хайям известен всему миру как один из величайших поэтов, книга стихов которого, Рубайят, переведена на многие языки. По замыслу Омара Хайяма
была построена новая мощная
астрономическая обсерватория, а
его проект календаря предложил
очень точные измерения времени,
которые требуют корректировки
на 1 день лишь через 5 тысяч лет.
Франсуа Виет (1540—1603)
Франсуа Виет считается одним из «отцов
алгебры». С его именем связывают введение букв и развитие символьного исчисления. Он был советником при дворе знаменитого французского короля Генриха IV.
Однажды посол Голландии при дворе Генриха IV заявил, что ни один французский
математик не сможет найти ни одного корня уравнения 45-ой степени, предложенного его соотечественником А. Ван Рооменом.
Вот первые члены этого уравнения:
x45 − 45x43 + 945x41 − . . . + 45x = K.
Генрих IV призвал своего советника, который на следующий
день предъявил не один, а 23 корня этого уравнения (остальные
22 корня были отрицательными, и они как бы не существовали
для математики того времени).
31
СИММЕТРИЧНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
Симметричный многочлен — это многочлен, который не меняется при любых перестановках входящих в него букв.
Примеры симметричных
многочленов
1. x + y
2. xy
3. a2 + b2
Рассмотрим многочлены с двумя буквами x и y. Самыми простыми симметричными многочленами с этими буквами являются
многочлены
A = x+y
и
B = xy.
Роль этих многочленов состоит в том, что любой симметричный
многочлен с буквами x и y можно через них выразить.
1.
6. x2 y + xy2
7. a5 + a3 + b5 + b3
8. (a − 1)(b − 1)
9. x + y + z
10. xy + yz + zx
12. (a + b)(b + c)(c + a)
= (x + y)2 − 2xy
= A2 − 2B
13. a2 + b2 + c2
14. (a − b)2 (b − c)2 (c − a)2
2. x3 + y3 = (x + y)3 − 3xy(x + y) = A3 − 3AB
3.
5. x3 + xy + y3
11. xyz
Примеры
x 2 + y2
4. (a − b)2
(x − y)2
= (x + y)2 − 4xy
15. x2 y + y2 z + z2 x + x2 z + y2 x + z2 y
= A2 − 4B
16. a2 bc + b2 ac + c2 ab
4. x3 y + xy3 = xy(x2 + y2 ) = B(A2 − 2B) = A2 B − 2B2
5. x4 +y4 = (x2 +y2 )2 −2x2 y2 = (A2 −2B)2 −2B2 = A4 −4A2 B+2B2
Простейшими симметричными многочленами с тремя буквами
x, y, z считаются многочлены
A = x + y + z,
B = xy + yz + zx
и
C = xyz.
В этом случае также через них можно выразить любой симметричный многочлен с буквами x, y, z, однако выкладки будут
громоздкими.
Примеры
1. x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 − 2(xy + yz + zx) = A2 − 2B
2. x3 + y3 + z3 = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 − xy − yz − zx) + 3xyz =
= A(A2 − 2B − B) + 3C = A3 − 3AB + 3C
3. x2 yz + y2 zx + z2 xy = xyz(x + y + z) = AC
Позже мы узнаем знаменитую теорему Виета, которая позволяет вычислять значения симметричных многочленов от корней
уравнения любой степени, не находя сами корни. Например, по
этой теореме сумма корней x1 + x2 уравнения x2 − x − 10 = 0,
решать которое мы еще не умеем, равна 1, а их произведение
x1 x2 равно −10.
Задача
Выразите через A = x + y и B = xy
симметричные многочлены:
1. (x2 − y2 )2 ;
2. x5 + y5 ;
3. x2 (x − 1) + y2 (y − 1).