Theoretical bases for constructing equations of motion for color

Theoretical bases for constructing equations
of motion for color-charged particles with spin
in the presence of gauge and fermion fields
A.A. Sishmarev – 5-year student
of Physics Faculty of Irkutsk State
University.
Abstract: Within the framework of investigations of quark-gluon plasma produced
in ultrarelativistic heavy ion collisions, a long-standing and unflagging attention exists
to a dynamic description of such a system, in particular, – to construction of a motion
equation for the classical color-charged particles in an external fermionic field. In this
study, a system is considered which consists of a hot QCD plasma and a quasiclassical
color-charged spinning particle which rectilinearly moves through the plasma in the
presence of a soft fermionic field interacting with both the hard particle and thermal
bosonic fluctuations of the medium. The presence of a current induced by the hard
test particle leads to the necessity of adding the extra terms into the right-hend side of
the Yang-Mills equation for the soft gauge field and of the Dirac equation for the soft
fermionic field. The equations on the color charges obtained in this work correspond
to the Wong equation for the color-charged particle motion, generalized to the case
of presence of the soft fermionic fields in the system.
315
Теоретические основы построения уравнений
движения спиновой цветозаряженной частицы в
присутствии калибровочного и фермионного
полей
Марков Ю.А., Шишмарев А.А. Иркутский Государственный Университет
Аннотация
В рамках исследований кварк-глюонной плазмы, генерируемой в столкновениях ультрарелятивистских ионов, давно возник и до сих пор существует интерес к динамическому описанию такой системы, в частности, к построению уравнений движения классических цветозаряженных частиц во внешнем фермионном поле. Рассматривается система,
состоящая из горячей КХД-плазмы и прямолинейно движущейся в ней
квазиклассической цветозаряженной спиновой частицы в присутствии
мягкого фермионного поля, взаимодействующего как с жесткой частицей, так и с тепловыми бозонными флуктуациями среды. Наличие тока, наводимого жесткой тестовой частицей, приводит к необходимости добавления в правую часть уравнений Янга-Миллса на мягкое калибровочное поле и уравнений Дирака на мягкое фермионное поле дополнительных членов. Полученные в данной работе уравнения на цветовые заряды представляют собой обобщенное уравнение Вонга для движения цветозаряженной частицы на случай присутствия в системе
мягких фермионных полей. Построен лагранжиан, описывающий динамику грассмановых и классического зарядов в такой системе.
В рамках динамического описания кварк-глюонной плазмы, генерируемой в
столкновениях ультрарелятивистских тяжелых ионов, давно возник и до сих пор
существует интерес к уравнениям движения классических цветозаряженных частиц с неабелевым зарядом во внешних цветовых полях.
Эти уравнения – важная составляющая релятивистской кинетической теории плазмы. Существует два подхода к построению этих уравнений: гамильтонов и лагранжев подход. В рамках гамильтонова подхода эта проблема впервые
была рассмотрена Вонгом [1], построившим классическое описание для цветозаряженных частиц, взаимодействующих с полем Янга-Миллса. Другой важной
работой, выполненной в рамках этого подхода, является статья Ф.А. Березина
316
А.А. Шишмарев
и М.С. Маринова [2], в которой формулируется обобщенный квантовомеханический подход, содержащий как обычные коммутирующие, так и антикоммутирующие грассмановы переменные. Такой подход позволил построить классическую
механику для частицы со спином. При каноническом квантовании фундаментальная скобка Пуассона заменяется сразу на антикоммутатор, что порождает спинорное представление автоматически. Тогда, по-видимому, рациональнее
строить теорию именно в грассмановых переменных – для более простого учета
спина частицы в дальнейшем, тем более, что классический цветовой заряд допускает возможность выражения его через грассмановы заряды, как было впервые
показано в работах A. Barducii и др. [3] и A.P. Balachandran и др. [4].
Другая возможность рассмотрения системы – лагранжев формализм. Рассмотрим систему, состоящую из КХД-плазмы и прямолинейно движущейся в
ней квазиклассической цветозаряженной частицы. Кроме калибровочного поля
(поля Янга-Миллса), в системе присутствует так же и мягкое фермионное поле,
взаимодействующее как с частицей, движущейся в среде, так и с возмущениями
калибровочного поля. Учет токов и источников, наведенных в среде этим взаимодействием, порождает необходимость в модификации уравнения Вонга для
данной системы. В связи с этим возникла потребность изменить лагранжиан взаимодействия так, чтобы он автоматически порождал модифицированные уравнения.
Была рассмотрена SU (Nc ) калибровочная теория с nf ароматами безмассовых
кварков. Изучались уравнения движения для мягких глюонных и кварковых
плазменных возбуждений. Стартовыми уравнениями являлись уравнение ЯнгаМиллса на калибровочный потенциал Aaµ (x):
∗
−1
Dµυ
(k) Aµ (k) = − jµA(2)a (A, A) (k) − jµA(3)a (A, A, A) (k)
(
)
(
)
− jµΨ(0,2)a ψ, ψ (k) − jµΨ(1,2)a A, ψ, ψ (k) ,
и уравнения Дирака для мягкого фермионного поля:
∗
−1
Sαβ
(q) ψβi (q) = −ηα(1,1)i (A, ψ) (q) − ηα(2,1)i (A, A, ψ) (q)
( ∗ )
(
)
i
−1
ψ β (−q)∗ Sβα
A , ψ (−q) + η α(2,1)i A∗ , A∗ , ψ (−q) .
(−q) = η (1,1)i
α
Кроме того, должен быть учтен ток, порождаемый жесткой тестовой частицей,
движущейся сквозь плазму. Можно ожидать, что мировые линии жестких частиц
являются классическими траекториями в духе Вонга, так как их взаимодействие
с мягкими полями системы слабо при высоких температурах. В этом предположении ток, наводимый точечной цветной частицей, будет:
aµ
jQ
(x) = gυ µ Qa (t) δ (3) (x − vt) ,
317
А.А. Шишмарев
где Qa (t) – классический цветовой заряд, удовлетворяющий уравнению Вонга:
dQa (t)
+ igυ µ Abµ (t, vt) (T a )bc Qc (t) = 0.
dt
Данный цветовой ток должен быть добавлен в правую часть уравнения ЯнгаМиллса. Классический цветовой заряд может быть представлен в виде:
Qa (t) = θ+i (t) (ta )ij θj (t) ,
где θi и θ+i – грассмановы цветовые заряды, удовлетворяющие следующим фундаментальным уравнениям:
dθi (t)
+ igυ µ Aaµ (t, vt) (ta )ij θj (t) = 0,
dt
dθ+i (t)
− igυ µ Aaµ (t, vt) θ+j (t) (ta )ji = 0.
dt
В этом случае уравнения Дирака модифицируются добавлением в правую часть
грассмановых цветовых токов, или грассмановых цветовых источников:
i
ηθα
(x) = gθi (t) χα δ (3) (x − vt) ,
η iθα (x) = gθ+i (t) χα δ (3) (x − vt) .
При дальнейшем рассмотрении оказывается, тем не менее, что в правую часть
уравнения Янга-Миллса должен быть добавлен ещё один член, восстанавливающий калибровочную инвариантность коэффициентных функций [5]. Вид этого
тока довольно сложен, поэтому он не приведен здесь. Данный новый ток можно получить естественным образом, выписав обобщенные уравнения эволюции
грассмановых цветовых зарядов:
(
)
dθi (t)
+ igυ µ Aaµ (t, vt) (ta )ij θj (t) + ig χα ψαi (t, vt) = 0,
dt
( i
)
dθ+i (t)
− igυ µ Aaµ (t, vt) θ+j (t) (ta )ji − ig ψ α (t, vt) χα = 0.
dt
При этом уравнение эволюции классического цветового заряда модифицируется
следующим образом:
dQa (t)
+ igυ µ Abµ (t, vt) (T a )bc Qc (t) +
dt
[
)
]
(
) ( j
+j
a iji
i
a ji i
+ ig θ (t) (t ) χα ψα (t, vt) − ψ α (t, vt) χα (t ) θ (t) = 0.
Полученное уравнение есть прямое обобщение уравнения Вонга на случай присутствия в системе мягких фермионных полей.
318
А.А. Шишмарев
Для описания этой системы был построен лагранжиан:
{ (
) ( i ) }
L = iθ+i Dij θj − g θi χα ψαi + ψ α χα θi +
{
}
(
) ( j )
+ igQa θ+j (ta )iji χα ψαi − ψ α χα (ta )ji θi ,
где Dij = δ ij ∂/∂τ +ig ẋµ Aaµ (ta )ij – ковариантная производная, а классический цветовой заряд допускает выражение через грассмановы заряды. Данный лагранжиан удовлетворяет требованиям вещественности и инвариантности относительно
следующих инфинитезимальных преобразований:
ψαi → ψαi + igΛa (ta )ij ψαj ,
i
i
j
ψ α → ψ α − igΛa ψ α (ta )ji ,
θi → θi + igΛa (ta )ij θj ,
θ+i → θ+i − igΛa θ+j (ta )ji ,
Qa → Qa − gf abc Λb Qc ,
Aaµ → Aaµ − gf abc Λb Acµ − ∂µ Λa .
Репараметризационная инвариантность лагранжиана также вполне очевидна, за
исключением членов, содержащих спиноры χα и χα , но так как их вид ещё не
определен, то, вероятно, можно будет подобрать такой вид спиноров, при котором
данное условие будет выполняться. Эволюционные уравнения зарядов, которые
мы можем получить при помощи данного лагранжиана, оказываются даже ещё
более общими, чем предыдущие:
dQa (t)
+ igυ µ Abµ (t, vt) (T a )bc Qc (t) +
dt [
)
]
) ( j
(
+ ig θ+j (t) (ta )ji χα ψαi (t, vt) − ψ α (t, vt) χα (ta )ji θi (t) +
[
)
]
(
) ( j
+ g (T a )bc Qc (t) θ+j (t) (ta )iji χα ψαi (t, vt) − ψ α (t, vt) χα (ta )ji θi (t) = 0,
dθi (t)
+ igυ µ Aaµ (t, vt) (ta )ij θj (t) +
dt (
)
(
)
+ ig χα ψαi (t, vt) + gQa (t) (ta )ij χα ψαi (t, vt) +
)
}
{
) ( k
(
+ g (ta )ij θi (t) θ+k (t) (ta )kl χα ψαl (t, vt) − ψ α (t, vt) χα (ta )kl θl (t) = 0,
dθi (t)
− igυ µ Aaµ (t, vt) (ta )ij θj (t) −
dt
( j
)
)
(
i
− ig χα ψα (t, vt) + g ψ α (t, vt) χα (ta )ji Qa (t) +
)
}
{
(
) ( k
− gθ+j (t) (ta )ji θ+k (t) (ta )kl χα ψαl (t, vt) − ψ α (t, vt) χα (ta )kl θl (t) = 0.
319
Полученная система уравнений замкнута, однако, в отличие от предыдущих
уравнений, грассмановы заряды являются нелинейными по θi и θ+i . Таким образом, был построен лагранжиан, описывающий взаимодействие жесткой цветозаряженной частицы с внешними калибровочным и фермионным полями, и
найдены калибровочные преобразования, не меняющие его вид. На основе данного лагранжиана была получена замкнутая система уравнений, определяющая
динамику цветовых зарядов (как классического, так и грассманового) в такой
системе.
Невыясненным пока остался вопрос о репараметризационной инвариантности
лагранжиана, и кроме того, не были получены уравнения, описывающие спиновую динамику частицы.
Работа выполнена при поддержке Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 гг.)» (проект
РНП.2.2.1.1/1483, 2.1.1/1539).
Литература
[1] S.K. Wong, Nuovo Cimento A 65 (1970) 689.
[2] F.A. Berezin, M.S. Marinov, JETP Letters (Sov. Phys.) 21 (1975) 320; Ann. Phys.
104 (1977) 336.
[3] A. Barducii, R. Casalbuoni, L. Lusanna, Nucl. Phys. B 124 (1977) 93.
[4] A.P. Balachandran, P. Salomonson, B. Skagerstam, J. Winnberg, Phys. Rev. D
15 (1977) 2308.
[5] Ю.А. Марков, М.А. Маркова, Nucl. Phys. A 784 (2007) 443.
320