Характерные задачи вступительных экзаменов по

 ÀÌ
Í T À2Á
0 0È
1/№
Ï Ð À Ê Ò È ÊÊ Ó
Ò 6Ó Ð È Å Í Ò À
30
Характерные задачи
вступительных экзаменов
по физике в МФТИ
В.МОЖАЕВ
З
ÀÄÀ×À 1. ×ÅËÎÂÅÊÓ ÌÀÑÑÎÉ m ÒÐÅÁÓÅÒÑß ÏÎÄÒßÍÓÒÜ
ê ñòåíå ÿùèê ìàññîé Ì = 3m ñ ïîìîùüþ êàíàòà,
ïåðåêèíóòîãî ÷åðåç áëîê. Åñëè ÷åëîâåê ñòîèò íà ãîðèçîíòàëüíîì ïîëó (ðèñ.1),
òî äëÿ äîñòèæåíèÿ
öåëè åìó íàäî òÿíóòü
m
êàíàò ñ ìèíèìàëüíîé
ñèëîé F1 = 600 H . Ñ
M
êàêîé ìèíèìàëüíîé
ñèëîé F2 íåîáõîäèìî
Рис. 1
òÿíóòü ýòîìó ÷åëîâåêó êàíàò, åñëè îí
óïðåòñÿ â ÿùèê íîãàìè (ðèñ.2)? ×àñòè êàm
íàòà, íå ñîïðèêàñàþM
ùèåñÿ ñ áëîêîì, ãîðèçîíòàëüíû. Ìàññîé
Рис. 2
áëîêà è êàíàòà ïðåíåáðå÷ü. (1998 ã.)
 ïåðâîì ñëó÷àå ñèëà, ñ êîòîðîé ÷åëîâåê òÿíåò êàíàò,
î÷åâèäíî, ïðèëîæåíà è ê ÿùèêó. Ïîñêîëüêó F1 > 0 , çàêëþ÷àåì, ÷òî ìåæäó ÿùèêîì è ïîëîì äåéñòâóåò ñèëà òðåíèÿ
ñêîëüæåíèÿ. Ïóñòü êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ ìåæäó
ÿùèêîì è ïîëîì ðàâåí µ . Ìèíèìàëüíîñòü ñèëû íàòÿæåíèÿ
êàíàòà îçíà÷àåò, ÷òî
F1 = µMg .
Âî âòîðîì ñëó÷àå, êîãäà íàòÿæåíèå êàíàòà ðàâíî F2 , íà
ñèñòåìó ÿùèê – ÷åëîâåê â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè
áóäåò äåéñòâîâàòü ñèëà, ðàâíàÿ 2 F2 . Óñëîâèå ìèíèìàëüíîñòè ñèëû îçíà÷àåò, ÷òî
b
g
2 F2 = µ M + m g .
b
F1 M + m
2
M
g = 2 F = 400 H.
3
H
ω
2) Ðàññìîòðèì ãîРис. 3
ðèçîíòàëüíóþ ÷àñòü
òðóáêè, çàïîëíåííóþ
ìàñëîì. Òðóáêà âìåñòå
ñ ïëàòôîðìîé âðàùàåòñÿ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω . Âûáåðåì ìàëåíüêèé ó÷àñòîê ìàñëà
äëèíîé dr, êîòîðûé
íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿdr
íèè r îò îñè âðàùåíèÿ
pS
p+dpS
B
(ðèñ.4). Ïóñòü ñëåâà îò A
r
ýòîãî ó÷àñòêà äàâëåíèå
r
ìàñëà ð, ñïðàâà p + dp,
ω
à ïëîùàäü ñå÷åíèÿ Рис. 4
òðóáêè S. Ïîñêîëüêó
äàííûé ýëåìåíò ìàñëà âðàùàåòñÿ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω ,
óðàâíåíèå ðàâíîìåðíîãî äâèæåíèÿ ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñîì
r áóäåò èìåòü âèä
ρSdr ⋅ ω 2r = dp ⋅ S .
Îòñþäà ïîëó÷àåì
2
dp = ρω r dr .
 èíòåãðàëüíîì âèäå ýòî óðàâíåíèå áóäåò âûãëÿäåòü òàê:
z z
1
Çàäà÷à 2. Òîíêàÿ òðóáêà, çàïàÿííàÿ ñ îäíîãî êîíöà,
çàïîëíåíà ìàñëîì è çàêðåïëåíà íà ãîðèçîíòàëüíîé ïëàòôîðìå, âðàùàþùåéñÿ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè òàê, ÷òî ìàñëî íå âûëèâàåòñÿ è çàïîëíÿåò
ïîëíîñòüþ ãîðèçîíòàëüíîå êîëåíî òðóáêè (ðèñ.3). Îòêðûòîå êîëåíî òðóáêè âåðòèêàëüíî. Ãåîìåòðè÷åñêèå ðàçìåðû
óñòàíîâêè äàíû íà ðèñóíêå. Àòìîñôåðíîå äàâëåíèå p0 ,
ïëîòíîñòü ìàñëà ρ . 1) Íàéäèòå äàâëåíèå ìàñëà íà èçãèáå
òðóáêè. 2) Íàéäèòå äàâëåíèå ìàñëà ó çàïàÿííîãî êîíöà
òðóáêè. (1996 ã.)
L
pèçã = p0 + ρgH .
Èç ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé íàéäåì èñêîìóþ ñèëó:
F2 =
L
1) Âðàùåíèå ïëàòôîðìû íå ñêàçûâàåòñÿ íà âåðòèêàëüíîì
ðàñïðåäåëåíèè äàâëåíèÿ ìàñëà â âåðòèêàëüíîì êîëåíå. Ïîýòîìó
äàâëåíèå ìàñëà â ìåñòå èçãèáà òðóáêè ðàâíî
pB
2L
dp =
2
ρω r dr .
−L
pA
Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïîëó÷èì
pB − p A =
èëè
ρω
2
2
e4 L
2
2
2 2
2 2
p A = pB −
3ρω L
2
j
−L ,
= p0 + ρgH −
3ρω L
2
.
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ
Çàäà÷à 3. Àòìîñôåðà Âåíåðû ñîñòîèò â îñíîâíîì èç
óãëåêèñëîãî ãàçà CO2 , ìàññà êîòîðîãî ïî íåêîòîðûì îöåí16
êàì ñîñòàâëÿåò M = 6 ⋅ 10 ò . ×åìó ðàâíà ïëîòíîñòü
óãëåêèñëîãî ãàçà âáëèçè ïîâåðõíîñòè Âåíåðû, åñëè åãî
òåìïåðàòóðà Ò = 800 Ê? Ðàäèóñ Âåíåðû RB = 6300 êì,
2
à óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g B = 8,2 ì ñ . Òîëùèíà
àòìîñôåðû Âåíåðû ìíîãî ìåíüøå ðàäèóñà ïëàíåòû.
(1997 ã.)
Ïîñêîëüêó òîëùèíà àòìîñôåðû Âåíåðû ìíîãî ìåíüøå åå
ðàäèóñà, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî äàâëåíèå óãëåêèñëîãî ãàçà íà
ïîâåðõíîñòè ïëàíåòû ðàâíî âåñó óãëåêèñëîãî ãàçà àòìîñôåðû Âåíåðû, äåëåííîìó íà ïëîùàäü åå ïîâåðõíîñòè:
p0 =
MgB
2
4 πRB
.
Èç óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà ìîæíî íàéòè ïëîòíîñòü CO2 :
Μp0
ρ=
,
RT
ãäå Ì = 44 ã/ìîëü – ìîëÿðíàÿ ìàññà óãëåêèñëîãî ãàçà, à
R = 8,3 Äæ ìîëü ⋅ Ê – óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ. Ñ ó÷åòîì ïðåäûäóùåãî âûðàæåíèÿ äëÿ p0 , ïîëó÷èì
b
g
ρ=
ΜMgB
2
4 πRB RT
= 6,54 êã ì 3 .
Çàäà÷à 4. Ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü ñîñòîèò èç áàòàðåè ñ ÝÄÑ
E , ðåçèñòîðà ñîïðîòèâëåíèåì R, êàòóøêè ïåðåìåííîé
èíäóêòèâíîñòè, íà÷àëüíîå çíà÷åíèå êîòîðîé L0 , è êëþ÷à K
(ðèñ.5). ×åðåç íåêîòîL
ðîå âðåìÿ ïîñëå çàìûêàíèÿ êëþ÷à ÝÄÑ èíäóêöèè â êàòóøêå îêàçàR ëàñü ðàâíîé U0 . Íà÷èK
íàÿ ñ ýòîãî ìîìåíòà èíäóêòèâíîñòü êàòóøêè
èçìåíÿþò òàêèì îáðàE
çîì, ÷òî ÝÄÑ â êàòóøРис. 5
êå îñòàåòñÿ íåèçìåííîé
ïî çíàêó è ïî âåëè÷èíå è
ðàâíîé U0 . 1) Îïðåäåëèòå ÝÄÑ èíäóêöèè â êàòóøêå ñðàçó
ïîñëå çàìûêàíèÿ êëþ÷à. 2) Íàéäèòå çàâèñèìîñòü èíäóêòèâíîñòè êàòóøêè îò âðåìåíè ïîñëå íà÷àëà èçìåíåíèÿ
èíäóêòèâíîñòè. Âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì áàòàðåè
ïðåíåáðå÷ü. (1997 ã.)
1) Ñðàçó ïîñëå çàìûêàíèÿ êëþ÷à òîê â öåïè ðàâåí íóëþ.
Ïðè ýòîì ÝÄÑ èíäóêöèè â êàòóøêå E i0 áóäåò ðàâíà
ÝÄÑ áàòàðåè, âçÿòîé ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì. Ýòî ñëåäóåò èç çàêîíà Îìà äëÿ çàìêíóòîé öåïè: E + E i0 = 0 , îòêóäà
E i0 = − E .
2) Ïóñòü â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè ÝÄÑ èíäóêöèè
ðàâíà U0 è «íàïðàâëåíà» íàâñòðå÷ó ÝÄÑ áàòàðåè. Íà÷èíàÿ
ñ ýòîãî ìîìåíòà ÝÄÑ èíäóêöèè îñòàåòñÿ íåèçìåííîé, ñëåäîâàòåëüíî, â ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì Îìà â öåïè áóäåò òå÷ü
ïîñòîÿííûé òîê:
E − U0 = I0 R , îòêóäà I0 =
Ïîñêîëüêó ÝÄÑ èíäóêöèè ðàâíà
ïîëó÷àåì
U0 =
8*
E − U0
R
b g , à òîê I = const = I ,
d LI
dt
cE − U h dL .
0
R
= const .
dt
0
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
31
Ðàçäåëèì ïåðåìåííûå:
dL =
ïðîèíòåãðèðóåì:
z
U0 R
E − U0
L
dL =
L0
U0 R
E − U0
dt ,
z
t
dt
0
è íàéäåì çàâèñèìîñòü èíäóêòèâíîñòè êàòóøêè îò âðåìåíè:
U0 Rt
L = L0 +
.
E − U0
Çàäà÷à 5. Íà äâóõ äëèííûõ, ãëàäêèõ, ïàðàëëåëüíûõ,
ãîðèçîíòàëüíûõ è ïðîâîäÿùèõ øòàíãàõ ëåæèò ïðîâîäÿùàÿ ïåðåìû÷êà Ï ìàññîé Ì (ðèñ.6). Ðàññòîÿíèå ìåæäó
øòàíãàìè l. ×åðåç ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R è ðàçîìêíóòûé
E
êëþ÷ K ê øòàíãàì
B
ïîäêëþ÷åíà áàòàðåè ñ
l
ïîñòîÿííîé
ÝÄÑ.
R
Øòàíãè ðàñïîëîæåíû
Ï
â îáëàñòè îäíîðîäíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ
èíäóêöèåé, ðàâíîé Â è
K
íàïðàâëåííîé îò íàñ Рис. 6
ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè ðèñóíêà. Ïîñëå çàìûêàíèÿ êëþ÷à â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå ïåðåìû÷êà äîñòèãàåò ñêîðîñòè v0 . Ïðåíåáðåãàÿ âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì áàòàðåè è ñîïðîòèâëåíèåì øòàíã è ïåðåìû÷êè, îïðåäåëèòå óñêîðåíèå ïåðåìû÷êè ñðàçó ïîñëå çàìûêàíèÿ êëþ÷à. (1997 ã.)
Ñíà÷àëà íàéäåì ÝÄÑ áàòàðåè E . Ýòî ìîæíî ñäåëàòü, çíàÿ
âåëè÷èíó óñòàíîâèâøåéñÿ ñêîðîñòè ïåðåìû÷êè.
Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ïîñëå çàìûêàíèÿ êëþ÷à. Ïî ïåðåìû÷êå òå÷åò òîê I è ñî ñòîðîíû ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà íåå
y
äåéñòâóåò ñèëà ÀìI
ïåðà, ðàâíàÿ F =
E
= BIl è íàïðàâëåííàÿ âïðàâî. ÂûáåB
vN
ðåì íåïîäâèæíóþ
I
ñèñòåìó êîîðäèíàò,
R
â êîòîðîé áóäåì
I
ðàññìàòðèâàòü äâèæåíèå ïåðåìû÷êè
x
x
(ðèñ.7). Ïåðåìû÷- Рис. 7
êà äâèæåòñÿ âäîëü
îñè õ. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ èìååò âèä
Ma = F , èëè Mvx′ = BIl .
Çàïèøåì òåïåðü çàêîí Îìà äëÿ çàìêíóòîãî êîíòóðà:
E − Blv x = IR .
Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå äëÿ òîêà èç ýòîãî ðàâåíñòâà â ïðåäûäóùåå, ïîëó÷èì
E − Blv x
Mv x′ =
Bl ,
R
èëè, ïîñëå àðèôìåòè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé,
2
Bl
EBl
v x′ +
vx =
.
MR
MR
Ýòî óðàâíåíèå îïèñûâàåò çàâèñèìîñòü ñêîðîñòè v x ïåðåìû÷-
c
h
b g
(Продолжение см. на с. 34)
34
Ê Â À Í T 2001/№6
(Начало см. на с. 30)
êè îò âðåìåíè. Î÷åâèäíî, ÷òî ñêîðîñòü ïåðåìû÷êè äîñòèãíåò
ïîñòîÿííîãî çíà÷åíèÿ, êîãäà óñêîðåíèå ñòàíåò ðàâíûì íóëþ.
Èòàê, ïðè v x′ = 0 v x = v0 è, ñëåäîâàòåëüíî,
E = Blv0 .
Òåïåðü ìû ìîæåì îòâåòèòü íà ïîñòàâëåííûé â çàäà÷å
âîïðîñ. Ñðàçó ïîñëå çàìûêàíèÿ êëþ÷à â öåïè òå÷åò òîê
Blv0
E
I1 =
=
.
R
R
Íà ïåðåìû÷êó äåéñòâóåò ñèëà Àìïåðà, ðàâíàÿ
íîñèòåëüíî ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè òîíêîé ïëîñêîâîãíóòîé ëèíçû ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì –F (F > 0). Ëèíçà
ïëîòíî ïðèæàòà ê âåðòèêàëüíî ðàñïîëîæåííîìó ïëîñêîìó çåðêàëó. Ðàññòîÿíèå L = 4,5F. 1) Íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò çåðêàëà íàõîäèòñÿ èçîáðàæåíèå ãðóçèêà â äàííîé
îïòè÷åñêîé ñèñòåìå? 2) Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ èçîáðàæåíèå
ãðóçèêà â ñèñòåìå ëèíçà – çåðêàëî ïåðåñåêàåò ãëàâíóþ
îïòè÷åñêóþ îñü ëèíçû, åñëè àìïëèòóäà êîëåáàíèé ãðóçà
ðàâíà À? (1998 ã.)
1) Íà ðèñóíêå 9 èçîáðàæåí õîä ëó÷åé, êîãäà ãðóç – òî÷êà
 – íàõîäèòñÿ íà ìàêñèìàëüíîì ðàññòîÿíèè À îò ãëàâíîé
îïòè÷åñêîé îñè ñèñòåìû O ′ O ′′ . Èçîáðàæåíèå ãðóçèêà ïîñëå
b Blg v
2
0 .
R
Ïîýòîìó óñêîðåíèå ïåðåìû÷êè â íà÷àëüíûé ìîìåíò ðàâíî
2
Bl v0
F
a1 = 1 =
.
M
MR
Çàäà÷à 6. Åñëè ðàññìàòðèâàòü ñâîå èçîáðàæåíèå â ïëîñêîïàðàëëåëüíîé ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêå òîëùèíîé Í =
= 10 ñì, òî ìîæíî óâèäåòü ðÿä ïîñëåäîâàòåëüíûõ èçîáðàæåíèé ëèöà, îòñòîÿùèõ äðóã îò äðóãà íà L = 14 ñì. ×åìó
ðàâåí ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà ïëàñòèíêè? (1999 ã.)
Ïóñòü òî÷êà À ÿâëÿåòñÿ îáúåêòîì, ïðèíàäëåæàùèì íàøåìó ëèöó. Ïðîâåäåì ïðîèçâîëüíî ëó÷ ñâåòà îò òî÷êè À ïîä
ìàëûì óãëîì ïàäåA
íèÿ α íà âåðõíþþ
ïîâåðõíîñòü ïëàñ1
òèíêè (ðèñ.8). Ëó÷
2 ÷àñòè÷íî îòðàçèòñÿ
â òî÷êå  (ëó÷ 1),
÷àñòè÷íî èñïûòàåò
α
C
ïðåëîìëåíèå ïîä óãα
ëîì β , à çàòåì, ÷àñB
D
òè÷íî îòðàçèâøèñü
H
β
îò íèæíåé ïîâåðõíîñòè ïëàñòèíêè â
F
òî÷êå F, ñíîâà íàïðàâèòñÿ ê âåðõíåé
ïîâåðõíîñòè ïëàñòèíêè. Çäåñü îí, ÷àñòè÷íî îòðàçèâøèñü
L
â òî÷êå D, âûõîäèò
â âèäå ïðåëîìëåííîРис. 8
ãî ëó÷à (ëó÷ 2). Òàêèì îáðàçîì áóäóò
ïðîèñõîäèòü ìíîãîêðàòíûå îòðàæåíèÿ è ïðåëîìëåíèÿ.
Ïðîäîëæåíèÿ ëó÷åé 1 è 2 äàþò äâà ïåðâûõ ìíèìûõ
èçîáðàæåíèÿ òî÷êè À – òî÷êè A ′ è A ′′ , îòñòîÿùèå äðóã îò
äðóãà íà L. Î÷åâèäíî, ÷òî è âñå ïîñëåäóþùèå ìíèìûå
èçîáðàæåíèÿ òî÷êè À òîæå áóäóò ðàñïîëàãàòüñÿ íà îäèíàêîâûõ ðàññòîÿíèÿõ L äðóã îò äðóãà.
Èç òðåóãîëüíèêà BFD íàéäåì äëèíó îòðåçêà BD:
F1 = BI1l =
b g
BD = 2Htg β ,
à èç òðåóãîëüíèêà BCD íàéäåì ðàññòîÿíèå L ìåæäó èçîáðàæåíèÿìè, ðàâíîå äëèíå îòðåçêà CD:
L = CD = BD ctg α = 2 H
Îòñþäà ïîëó÷àåì
n=
2H
tg β
tg α
≈ 2H
sin β
sin α
=
2H
n
.
= 1,43 .
L
Çàäà÷à 7. Ìàëåíüêèé ãðóçèê ìàññîé m íà ïðóæèíå æåñòêîñòüþ k (ðèñ.9) ñîâåðøàåò ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ îò-
B
B′
O′
B ′′
f
D
A
O ′′
O
L
C
Рис. 9
äâîéíîãî ïðîõîæäåíèÿ ëó÷àìè ëèíçû è çåðêàëüíîãî îòðàæåíèÿ îò ïëîñêîãî çåðêàëà ïîëó÷àåòñÿ â òî÷êå B ′ íà ðàññòîÿíèè
f îò îïòè÷åñêîãî öåíòðà ñèñòåìû. Èç ôîðìóëû ëèíçû
1 1
2
+ =− ,
L f
F
ãäå äâîéêà â ïðàâîé ÷àñòè îçíà÷àåò äâîéíîå ïðîõîæäåíèå
ëó÷àìè ëèíçû, íàéäåì
f =−
LF
2L + F
= − 0,45 F .
Çíàê «ìèíóñ» ãîâîðèò î òîì, ÷òî èçîáðàæåíèå ìíèìîå.
2) Íà íàøåì ðèñóíêå ðàññòîÿíèå îò ãðóçèêà äî ãëàâíîé
îïòè÷åñêîé îñè ðàâíî À, à ðàññòîÿíèå îò èçîáðàæåíèÿ (òî÷êà
B ′ ) äî îñè ðàâíî B ′B ′′ (òî÷êà B ′′ ∈ O ′ O ′′ ). Èç ïîäîáèÿ
òðåóãîëüíèêîâ B ′OB ′′ è DOC (Î – îïòè÷åñêèé öåíòð ëèíçû)
ñëåäóåò, ÷òî
A
L 2L + F
=
=
.
B ′B ′′
f
F
Ýòî ñîîòíîøåíèå äëÿ ðàññòîÿíèé äî îñè ãðóçèêà è åãî
èçîáðàæåíèÿ, î÷åâèäíî, ñïðàâåäëèâî è äëÿ ïðîèçâîëüíîãî
ìîìåíòà, êîãäà ðàññòîÿíèå ãðóçèêà äî îñè ðàâíî A cos
k
k
m
t,
= ω – öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé. Ðàññòîÿíèå
m
îò èçîáðàæåíèÿ äî îñè îáîçíà÷èì ÷åðåç ó ( y = B ′B ′′ ). Òîãäà
ïîëó÷èì
ãäå
A cos
y
k
t
m
=
2L + F
F
= 10 , è y =
A cos
10
k
t
m .
Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ýòî âûðàæåíèå ïî âðåìåíè:
y′ = −
A
k
k
sin
t
m
m .
10
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ
Ãðóçèê áóäåò ïåðåñåêàòü ãëàâíóþ îïòè÷åñêóþ îñü â òå ìîìåíòû, êîãäà
k
m
t=
π
2
+ πN =
b2N + 1gπ , ãäå N = 0, 1, 2...
2
 ýòè ìîìåíòû
sin
k
m
b g
tN = −1
N
,
è ñêîðîñòü ïåðåñå÷åíèÿ èçîáðàæåíèåì ãëàâíîé îïòè÷åñêîé
îñè ðàâíà
b g
′ = v N = −1
yN
N +1
A
k
b g
m
= −0,1
10
N +1
A
k
m
.
Îòðèöàòåëüíûé çíàê îçíà÷àåò, ÷òî ñêîðîñòü øàðèêà íàïðàâëåíà âíèç.
Óïðàæíåíèÿ
1. ×åëîâåê ìàññîé m, óïèðàÿñü íîãàìè â ÿùèê ìàññîé Ì,
ïîäòÿãèâàåò åãî ñ ïîìîùüþ êàíàòà, ïåðåêèíóòîãî ÷åðåç áëîê, ïî
íàêëîííîé ïëîñêîñòè
ñ óãëîì íàêëîíà α
(ðèñ.10). Ñ êàêîé ìèíèìàëüíîé ñèëîé íàäî
òÿíóòü êàíàò ÷åëîâåêó, ÷òîáû ïîäòÿíóòü
ÿùèê ê áëîêó? ÊîýôM
ôèöèåíò òðåíèÿ ñêîëüm
æåíèÿ ìåæäó ÿùèêîì
α
è íàêëîííîé ïëîñêîñòüþ µ . ×àñòè êàíàòà, íå ñîïðèêàñàþùèРис. 10
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
35
åñÿ ñ áëîêîì, ïàðàëëåëüíû íàêëîííîé ïëîñêîñòè. Ìàññîé áëîêà
è êàíàòà ïðåíåáðå÷ü. (1998 ã.)
2. Íàéäèòå ìàññó êèñëîðîäà, ñîäåðæàùåãîñÿ â àòìîñôåðå
Çåìëè. Èçâåñòíî, ÷òî òåìïåðàòóðà âîçäóõà âáëèçè ïîâåðõíîñòè
Çåìëè Ò = 290 Ê, ðàäèóñ Çåìëè RÇ = 6370 êì , à óñêîðåíèå
2
ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g = 9,8 ì ñ . Ìàññà êèñëîðîäà, ñîäåðæàùåãîñÿ â îäíîì ëèòðå âîçäóõà, âçÿòîãî ó ïîâåðõíîñòè Çåìëè,
ðàâíà ρ = 0,26 ã ë . Ïðîöåíòíîå ñîäåðæàíèå êèñëîðîäà (ïî ìàññå) â àòìîñôåðå Çåìëè ñ÷èòàòü ïîñòîÿííûì. Òîëùèíà àòìîñôåðû ìíîãî ìåíüøå ðàäèóñà ïëàíåòû. (1997 ã.)
3. Ïðîâîëî÷íûé êîíòóð â âèäå êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé à è îáùèì
îìè÷åñêèì ñîïðîòèâëåíèåì R ðàñïîëîæåí íà ãîðèçîíòàëüíîé
ïîâåðõíîñòè ñòîëà (ðèñ. 11).
×àñòü êîíòóðà íàõîäèòñÿ â
a
îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå
ñ èíäóêöèåé, ðàâíîé B0 è
B= ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïëîñêîB
ñòè êîíòóðà. Êîíòóð íåïîäb
âèæåí è âõîäèò â îáëàñòü
îäíîðîäíîãî ïîëÿ íà ãëóáèíó b. Ïîñëå âûêëþ÷åíèÿ
ìàãíèòíîãî ïîëÿ êîíòóð
Рис. 11
ïðèîáðåòàåò íåêîòîðûé èìïóëüñ. Îïðåäåëèòå âåëè÷èíó è íàïðàâëåíèå ýòîãî èìïóëüñà,
ïîëàãàÿ, ÷òî çà âðåìÿ ñïàäàíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñìåùåíèå
êîíòóðà ïðåíåáðåæèìî ìàëî. Ñàìîèíäóêöèåé êîíòóðà ïðåíåáðå÷ü. (1999 ã.)
4. Ñ ïîìîùüþ ñîáèðàþùåé ëèíçû ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì F
íà ýêðàíå, ðàñïîëîæåííîì íà ðàññòîÿíèè L = 4,9F îò öèôåðáëàòà ðó÷íûõ ÷àñîâ, ïîëó÷åíî óìåíüøåííîå èçîáðàæåíèå ñåêóíäíîé ñòðåëêè ÷àñîâ, äëèíà êîòîðîé R = 1,5 ñì. Ãëàâíàÿ îïòè÷åñêàÿ îñü ëèíçû ïåðïåíäèêóëÿðíà ýêðàíó è ïëîñêîñòè öèôåðáëàòà
è ïðîõîäèò ÷åðåç îñü âðàùåíèÿ ñåêóíäíîé ñòðåëêè. ×åìó ðàâíà
ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü ïåðåìåùåíèÿ êîíöà èçîáðàæåíèÿ ñòðåëêè íà
ýêðàíå? (1997 ã.)
Иррациональные неравенства
А.ЕГОРОВ, Ж.РАББОТ
В
ÏÐÎØËÎÌ ÍÎÌÅÐÅ ÆÓÐÍÀËÀ ÁÛËÀ ÏÎÌÅÙÅÍÀ
ñòàòüÿ î ðåøåíèè èððàöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé. Â äàííîé
ñòàòüå òå æå èäåè ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâ,
ñîäåðæàùèõ êâàäðàòíûå ðàäèêàëû; ïðè ýòîì ïîÿâëÿþòñÿ
äîïîëíèòåëüíûå òðóäíîñòè.
Äåëî â òîì, ÷òî íàì ïðèäåòñÿ, êàê è â ñëó÷àå èððàöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé, èçáàâëÿòüñÿ îò ðàäèêàëîâ ñ ïîìîùüþ ïî÷ëåííîãî âîçâåäåíèÿ íåðàâåíñòâà â êâàäðàò. Íî åñëè ïðè
ðåøåíèè óðàâíåíèé ìû ìîãëè â ðåçóëüòàòå ýòîé îïåðàöèè
ïîëó÷èòü ïîñòîðîííèå êîðíè, êîòîðûå, êàê ïðàâèëî, ëåãêî
ïðîâåðèòü, è íå ìîãëè ïîòåðÿòü êîðíè, òî êîðíè íåðàâåíñòâà
ïðè áåçäóìíîì âîçâåäåíèè â êâàäðàò ìîãóò îäíîâðåìåííî è
òåðÿòüñÿ, è ïðèîáðåòàòüñÿ.
Íàïðèìåð, âîçâåäÿ â êâàäðàò âåðíîå íåðàâåíñòâî –1 < 2,
ìû ïîëó÷èì âåðíîå íåðàâåíñòâî 1 < 4; èç âåðíîãî íåðàâåíñòâà –5 < 2 ïîëó÷àåòñÿ óæå íåâåðíîå íåðàâåíñòâî 25 < 4; èç
íåâåðíîãî íåðàâåíñòâî 1 < –2 ïîëó÷èì âåðíîå íåðàâåíñòâî
1 < 4; íàêîíåö, èç íåâåðíîãî íåðàâåíñòâà 5 < 2 ïîëó÷àåòñÿ
íåâåðíîå íåðàâåíñòâî 25 < 4. Âû âèäèòå, ÷òî âîçìîæíû âñå
êîìáèíàöèè âåðíûõ è íåâåðíûõ íåðàâåíñòâ!
Îäíàêî âåðíî îñíîâíîå èñïîëüçóåìîå çäåñü óòâåðæäåíèå:
åñëè îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà íåîòðèöàòåëüíû, òî îíî ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó, ïîëó÷åííîìó èç íåãî ïî÷ëåííûì
âîçâåäåíèåì â êâàäðàò.
Ïîñêîëüêó, â îòëè÷èå îò óðàâíåíèé, ãäå ÷àñòî áûëà âîçìîæíà ïðîâåðêà íàéäåííûõ «êàíäèäàòîâ â îòâåò», ïðè
ðåøåíèè íåðàâåíñòâ, êàê ïðàâèëî, áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé è ïðîâåðèòü èõ âñå ïðèíöèïèàëüíî íåâîçìîæíî, ðåøàÿ
íåðàâåíñòâà, íàäî òùàòåëüíî ñëåäèòü çà ðàâíîñèëüíîñòüþ
âñåõ ïåðåõîäîâ.
Простейшие неравенства
Òàê ìû íàçûâàåì íåðàâåíñòâà ñëåäóþùèõ òðåõ òèïîâ:
bg
bg
bg bg
bg bg
1) f x > g x ; 2) f x > g x ; 3) f x < g x .
Íåñòðîãèå íåðàâåíñòâà, àíàëîãè÷íûå âûïèñàííûì âûøå (ñî
çíàêàìè ≤ è ≥ ), ìû áóäåì îòíîñèòü ê ñîîòâåòñòâóþùåìó
òèïó – òàê, îáà íåðàâåíñòâà
2
5x + 8 > 4 x − 1 è 5x + 8 ≥
îòíîñÿòñÿ ê ïåðâîìó òèïó è ò.ï.
2
4x − 1