ризонтальном дне бочки, заполненной водой, лежит диск

"$
Ê Â À Í T 2002/№1
ðèçîíòàëüíîì äíå áî÷êè, çàïîëíåííîé âîäîé, ëåæèò äèñê
òîëùèíîé h = 4 ìì, èçãîòîâëåííûé èç ìàòåðèàëà ñ ïëîòíîñòüþ ρ = 2,4 ã ñì 3 . Ðàäèóñ äèñêà R = 15 ñì.  áî÷êó
âåðòèêàëüíî îïóñòèëè òîíêîñòåííóþ òðóáêó ðàäèóñîì r =
= 5 ìì, â êîòîðóþ âñòàâëåí ïîðøåíü. Íèæíÿÿ ïëîñêîñòü
ïîðøíÿ ñîâïàäàåò ñ òîðöîì òðóáêè. Òðóáêó ïëîòíî ïðèæàëè
ê âåðõíåé ïëîñêîñòè äèñêà òàê, ÷òî åå îñü îêàçàëàñü ñìåùåííîé îòíîñèòåëüíî îñè äèñêà íà ðàññòîÿíèå b = 5,8 ìì. Çàòåì
ïîðøåíü ïîäíÿëè ââåðõ, çàôèêñèðîâàëè è ñòàëè ìåäëåííî
ïîäíèìàòü òðóáêó. Íà êàêîé ìèíèìàëüíîé ãëóáèíå áóäåò
íàõîäèòüñÿ âåðõíÿÿ ïëîñêîñòü äèñêà, êîãäà îí îòîðâåòñÿ îò
òðóáêè, åñëè äî ìîìåíòà îòðûâà âîäà íå ïðîñà÷èâàëàñü â
òðóáêó? Àòìîñôåðíîå äàâëåíèå ñ÷èòàòü íîðìàëüíûì.
3. Íà ãëàäêîé íåâåñîìîé íåðàñòÿæèìîé íèòè âèñèò áëîê,
ê îñè êîòîðîãî æåñòêî ïðèêðåïëåí ãðóç. Íèòü ïðèêðåïëåíà
ê ëåãêèì ïðóæèíàì, äðóãèå êîíöû êîòîðûõ çàêðåïëåíû íà
ïîòîëêå òàê, ÷òî ÷àñòè íèòè, íå ëåæàùèå íà áëîêå, âåðòèêàëüíû è ñîâïàäàk2 þò ñ îñÿìè ïðóæèí (ðèñ.2). Æåñòêîñòü
k1
ïåðâîé ïðóæèíû k1 , âòîðîé k2 . Ìàññà
áëîêà ñ ãðóçîì Ì. Ïðè êàêîé àìïëèòóäå âåðòèêàëüíûå êîëåáàíèÿ ãðóçà ìîãóò áûòü ãàðìîíè÷åñêèìè?
4. Â ñòîëå, ðàâíîìåðíî âðàùàþùåìñÿ âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè, ñäåëàíà
ñôåðè÷åñêàÿ ÿìêà, öåíòð êîòîðîé ëåæèò íà îñè âðàùåíèÿ.  ÿìêå äâèæåòñÿ
íåáîëüøàÿ ãëàäêàÿ øàéáà, ïåðèîäè÷åñêè ïðîõîäÿ ÷åðåç åå íèæíþþ òî÷êó
è ïîäíèìàÿñü îòíîñèòåëüíî ýòîé òî÷êè
íà ìàêñèìàëüíóþ âûñîòó, ìíîãî ìåíüРис. 2
øóþ ðàäèóñà R ÿìêè. Äâèãàÿñü ââåðõ,
øàéáà â íåêîòîðûé ìîìåíò îêàçûâàåòñÿ íà âûñîòå, â
k = 2 ðàçà ìåíüøåé ìàêñèìàëüíîé. Â ñëåäóþùèé ðàç íà
ýòîé æå âûñîòå øàéáà îêàçûâàåòñÿ ÷åðåç n îáîðîòîâ ñòîëà.
Íàéäèòå ïåðèîä îáðàùåíèÿ ñòîëà.
5. Â ãëàäêîì âåðòèêàëüíîì öèëèíäðå ïîä ïîðøíåì ìàññîé
Ì ñîäåðæèòñÿ ν ìîëåé íåîíà ïðè òåìïåðàòóðå T0 . Ïëîùàäü
ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ öèëèíäðà S, à ïîðøåíü óäåðæèâàþò â
òàêîì ïîëîæåíèè, ÷òî ãàç çàíèìàåò îáúåì V. Çàòåì ïîðøåíü
îòïóñêàþò, è îí ïîñëå íåñêîëüêèõ êîëåáàíèé çàíèìàåò
îïðåäåëåííîå ïîëîæåíèå. Ïðåíåáðåãàÿ òåïëîîáìåíîì íåîíà
ñ îêðóæàþùèìè òåëàìè, íàéäèòå åãî òåìïåðàòóðó ïðè íîâîì
ðàâíîâåñíîì ïîëîæåíèè ïîðøíÿ, çíàÿ, ÷òî íåîí âñå âðåìÿ
íàõîäèòñÿ â ãàçîîáðàçíîì ñîñòîÿíèè, à äàâëåíèå âíå öèëèíäðà ðàâíî íóëþ.
6. Çàâèñèìîñòü îò òåìïåðàòóðû ìîëÿðíîé òåïëîåìêîñòè cì
èäåàëüíîãî îäíîàòîìíîãî ãàçà â öèêëå òåïëîâîé ìàøèíû,
êîòîðûé ñîñòîèò èç òðåõ
cì
ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðîöåññîâ 1–2, 2–3, 3–1,
3
1
#
R
èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå
2
3, ãäå R – óíèâåðñàëü R
íàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ.
$
Íàéäèòå îòíîøåíèå äàâ!R
ëåíèé ãàçà ïðè ìàêñè3
ìàëüíîé T2 è ìèíèìàëü T1
T2 T íîé T1 òåìïåðàòóðàõ â
ýòîì öèêëå, åñëè ÊÏÄ
Рис. 3
ìàøèíû ðàâåí η , êîëè÷åñòâî ãàçà â öèêëå íåèçìåííî è T2 T1 = n .
7. Äâå ïðîâîëîêè, èçãîòîâëåííûå èç ìàòåðèàëà ñ ìàëûì
òåìïåðàòóðíûì êîýôôèöèåíòîì ñîïðîòèâëåíèÿ, ïîäêëþ÷àþò ê àêêóìóëÿòîðó ñ ïðåíåáðåæèìî ìàëûì âíóòðåííèì
ñîïðîòèâëåíèåì îäèí ðàç ïàðàëëåëüíî, à äðóãîé ðàç ïîñëåäîâàòåëüíî. Ïðè ïåðâîì âêëþ÷åíèè ñêîðîñòè äðåéôà íîñè-
v
òåëåé çàðÿäà â ïðîâîëîB
êàõ îêàçàëèñü îäèíàêîâûìè, à âî âòîðîì ñëó÷àå
ñêîðîñòü â ïåðâîé ïðîâîR
ëîêå óìåíüøèëàñü â k = 5
O
ðàç ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðår O
äûäóùèì ñëó÷àåì. Íàéäèòå îòíîøåíèå äèàìåòðîâ ïðîâîëîê.
8. Íà êàðêàñ, ñîñòîÿùèé èç äâóõ êîàêñèàëüíûõ öèëèíäðîâ ñ ðàäèóB
m
ñàìè r è R, âðàùàþùèéñÿ
âîêðóã çàêðåïëåííîé ãîРис. 4
ðèçîíòàëüíîé îñè ÎÎ, íàìîòàíà èçîëèðîâàííàÿ òîíêàÿ ïðîâîëîêà òàê, êàê ïîêàçàíî
íà ðèñóíêå 4. Ê íèæíåìó êîíöó ïðîâîëîêè ïðèêðåïëåí ãðóç,
à åå âåðõíèé êîíåö òÿíóò ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v âåðòèêàëüíî ââåðõ. Öèëèíäðû íàõîäÿòñÿ â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì
ïîëå, èíäóêöèÿ êîòîðîãî ðàâíà Â è ïàðàëëåëüíà îñè öèëèíäðîâ. Íàéäèòå ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó êîíöàìè ïðîâîëîêè äëÿ ìîìåíòîâ âðåìåíè, êîãäà íà öèëèíäðå ðàäèóñîì R
îñòàåòñÿ õîòÿ áû ÷àñòü ïðîâîëîêè.
9. Íà ïëîñêóþ ïîâåðõíîñòü ëèíçû, íàõîäÿùåéñÿ â âîçäóõå, ïåðïåíäèêóëÿðíî ýòîé ïîâåðõíîñòè ïàäàåò óçêèé ïó÷îê
ñâåòà, ïàðàëëåëüíûé ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè ëèíçû. Ïðè
ýòîì íà ýêðàíå, ðàñïîëîæåííîì çà ëèíçîé, íàáëþäàåòñÿ
ñâåòëîå ïÿòíî, äèàìåòð êîòîðîãî â k ðàç (k > 1) ìåíüøå
äèàìåòðà ïàäàþùåãî ïó÷êà. Íàéäèòå ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ n ñòåêëà ëèíçû, çíàÿ, ÷òî ïðè ïîãðóæåíèè ëèíçû ñ
ýêðàíîì (ïðè íåèçìåííîì ðàññòîÿíèè ìåæäó íèìè) â æèäêîñòü ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n1 äèàìåòð ñâåòëîãî ïÿòíà
íà ýêðàíå íå èçìåíÿåòñÿ.
10. Èçëó÷åíèå ñ äëèíàìè âîëí λ 1 = 589,0 íì è
λ 2 = 589,6 íì îò òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà ïàäàåò íà ýêðàí ñ
äâóìÿ ìàëûìè îòâåðñòèÿìè, ðàñïîëîæåííûìè ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç èñòî÷íèê ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè ýêðàíà. Íà ðàññòîÿíèè L = 0,7 ì çà
ýòèì ýêðàíîì ðàñïîëîæåí âòîðîé ýêðàí, ïàðàëëåëüíûé ïåðâîìó. Íà âòîðîì ýêðàíå íà ðàññòîÿíèè b = 5 ñì îò öåíòðà
êàðòèíû, òàì, ãäå ìàêñèìóì, ñîîòâåòñòâóþùèé îäíîé äëèíå âîëíû, íàêëàäûâàåòñÿ íà ìèíèìóì, ñîîòâåñòâóþùèé
äðóãîé, èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû èñ÷åçàþò ïåðâûé ðàç.
Íàéäèòå ðàññòîÿíèå d ìåæäó îòâåðñòèÿìè.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
1. Ëåñòíèöà ñîñòîèò èç òðåõ îäèíàêîâûõ ãëàäêèõ ñòóïåíåê
øèðèíîé à = 30 ñì è òàêîé æå âûñîòû (ðèñ.5). Íà âåðõíåé
ñòóïåíüêå ðàñïîëîæåíà â ïëîñêîñòè ðèñóíêà íåâåñîìàÿ
ïðóæèíà æåñòêîñòüþ k =
= 30 Í/ì, ïðàâûì êîíöîì
m
k
ïðèêðåïëåííàÿ ê íåïîäâèæíîé ñòåíêå, à ëåâûì óïèðàþùàÿñÿ â ëåæàùèé íà ñòóïåíüêå ìàëåíüêèé øàðèê
ìàññîé m = 100 ã. Øàðèê
a
ñäâèãàþò âïðàâî, ñæèìàÿ
ïðóæèíó, ïîñëå ÷åãî îòïóña
êàþò áåç íà÷àëüíîé ñêîðîñòè. Äî êàêîé ìàêñèìàëüíîé âåëè÷èíû ∆lmax ìîæíî
ñæàòü ïðóæèíó, ÷òîáû âûïóùåííûé øàðèê ïî îäíîìó ðàçó êîñíóëñÿ ñðåäíåé è
íèæíåé ñòóïåíåê? Óäàð Рис. 5