31 Функции секанс и косеканс

1
ФУНКЦИИ СЕКАНС И КОСЕКАНС
Функции секанс y = sec x и косеканс y = cos ec x определяются формулами
sec x =
1
cos x
cos ec x =
1
sin x
(1.3)
Их свойства
1. Область определения:
⎧
⎫
π
D(sec x ) = ⎨x x ∈ R , x ≠ + πn , n ∈ Z⎬ ;
2
⎩
⎭
D(cos ecx ) = {x x ∈ R , x ≠ πn , n ∈ Z}.
1. Область значений: E(f ) = (− ∞;−1] ∪ [1;+∞ ) для sec x и
cos ec x .
2. Периодичность: периодические с периодом 2π .
3. Четность и нечетность: sec x - четная функция,
cos ec x - нечетная.
4. Интервалы монотонности: sec x убывает на каждом интервале
π
⎞
⎛
⎞⎛ π
⎜ − π + 2πn; − + 2πn ⎟, ⎜ − + 2πn; 2πn ⎟, n ∈ Z ;
2
⎠
⎝
⎠⎝ 2
и возрастает на каждом интервале
π
⎞
⎛
⎞ ⎛ π
⎜ 2πn; + 2πn ⎟, ⎜ + 2πn; π + 2πn ⎟,
2
⎠
⎝
⎠ ⎝ 2
n∈Z ;
2
cos ec x убывает на каждом интервале
π
⎛ π
⎞ ⎛
⎞
⎜ − + 2πn , 2πn ⎟, ⎜ 2πn; + 2πn ⎟,
2
⎝ 2
⎠ ⎝
⎠
n ∈ Z;
и возрастает на интервалах
3
⎛ π
⎞ ⎛
⎞
⎜ + 2πn; π + 2πn ⎟, ⎜ π + 2πn; π + 2πn ⎟,
2
⎝ 2
⎠ ⎝
⎠
n∈Z .
5. Локальные экстремумы:
sec x : точки локального
минимума x = 2πn , n ∈ Z
(sec 2πn = 1) ,
точки локального максимума x = π + 2πn , n ∈ Z
(sec(π + 2πn ) = −1) ;
cos ec x : точки локального минимума x =
π
+ 2πn , n ∈ Z
2
⎛
⎛π
⎞ ⎞
⎜⎜ cos ec⎜ + 2πn ⎟ = 1⎟⎟ ,
⎝2
⎠ ⎠
⎝
точки локального максимума x = −
⎛ π
⎞
cos ec⎜ − + 2πn ⎟ = 1 .
⎝ 2
⎠
π
+ 2πn , n ∈ Z
2
3
6. Графики функций sec x и cos ec x приведены на рис. 1.6 и
1.7 соответственно.
4
Литература
1. Тригонометрические функции, уравнения и неравенства:
Пособие для поступающих /А.И.Новиков; Рязан. гос. радиотехн.
ун-т. Рязань, 2007. 288 c. ISBN 5-7722-0248-0.