ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ОСКОЛКОВА

Международная конференция "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", 2007, с. 322–323
УДК 517.9
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА
ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ОСКОЛКОВА
c А. В. Уразаева
°
[email protected]
Челябинский государственный университет, Челябинск
Обратные задачи для дифференциальных уравнений возникают во многих областях науки при попытке описать внутренние характеристики среды, в которой протекают физикохимические процессы, по результатам наблюдений над этими процессами в доступной для измерений области. Исследованию различных обратных задач для традиционных классов уравнений математической физики посвящены работы, в том числе монографии, многих авторов
(см. [1, 2] и приведенную в них литературу). В последнее время активно развивается теория
обратных задач для различных неклассических уравнений математической физики [3, 4].
Рассмотрим начально-краевую задачу для линеаризованной системы уравнений Осколкова
v(x, 0) = v0 (x),
v(x, t) = 0,
x ∈ Ω,
(x, t) ∈ ∂Ω × [0, T ],
(λ − ∆)vt (x, t) = ν∆v(x, t) − r(x, t),
∇ · v = 0,
(x, t) ∈ Ω × [0, T ],
(x, t) ∈ Ω × [0, T ],
(1)
(2)
(3)
(4)
которая в линейном приближении моделирует динамику вязкоупругой несжимаемой жидкости
Кельвина – Фойгта порядка 1 [5]. Здесь параметры λ ∈ R и ν > 0 характеризуют свойства
жидкости, Ω ⊂ Rs — ограниченная область с границей ∂Ω класса C ∞ , v = v(x, t) — скорость
жидкости, r = r(x, t) = ∇p — градиент давления.
Обозначим L2 = (L2 (Ω))s , L = {v ∈ (C0∞ (Ω))s : ∇·v = 0} . Замыкание линеала L по норме
пространства L2 обозначим через Hσ . Это гильбертово пространство со скалярным произведением h·, ·i пространства L2 . Тогда L2 = Hσ ⊕ Hπ , где Hπ – оpтогональное дополнение
к Hσ . Обозначим чеpез Π : L2 → Hπ ассоциированный с этим pасщеплением оpтопpоектоp.
Обозначим H20 = (H02 (Ω))s , где H02 (Ω) = {z ∈ H 2 (Ω) : z(x) = 0, x ∈ ∂Ω} . Сужение пpоектоpа Π на пpостpанство H20 является непpеpывным опеpатоpом Π2 : H20 → H20 , поэтому
H20 = H2σ ⊕ H2π , где H2σ = ker Π2 , а H2π = imΠ2 . Имеют место плотное вложение L ⊂ H2σ и
непpеpывные плотные вложения H2σ ,→ Hσ и H2π ,→ Hπ .
Положим U = H2σ × H2π × Hr , F = Hσ × Hπ × H2r , где Hr = Hπ , H2r = H2π . Следуя
подходу С. Л. Соболева [6], используем обобщенную постановку задачи, заменив уравнение
несжимаемости (4) на эквивалентное уравнение
Π2 v(x, t) = 0,
(x, t) ∈ Ω × [0, T ].
(5)
Действительно, для функций из класса H20 равенство нулю дивергенции равносильно принадлежности подпространству H2σ .
Лемма 1. Фоpмулой A = diag{∆, . . . , ∆} задается линейный непpеpывный опеpатоp A :
H20 → L2 с дискpетным¯ конечнокpатным
спектpом σ(A) , сгущающимся лишь на −∞ .
¯
¯
¯
Обозначим Aσ = A¯¯ , Aπ = A¯¯ .
H2σ
H2π
Лемма 2. Имеет место действие операторов Aσ : H2σ → Hσ , Aπ : H2π → Hπ , причем спектр
σ(Aσ ) дискретен, конечнократен и сгущается к −∞ .
322
Международная конференция "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", 2007, с. 322–323
Пусть {ϕk } — семейство ортонормированных в смысле Hσ собственных функций оператора Aσ , занумерованных по невозрастанию собственных значений {λk } с учетом их кратности.
Из наших построений следует, что векторы v ∈ U , f ∈ F имеют вид v = (vσ , vπ , vr ) ,
f = (fσ , fπ , fr ) , операторы




λI − Aσ
0
0
νAσ
0
0
0
λI − Aπ 0  , M =  0
νAπ −I  ∈ L(U; F).
L=
0
0
0
0
−I
0
Предположим, что λ ∈
/ σ(A) , тогда ker L = {0} × {0} × Hr , imL = Hσ × Hπ × {0} .
Теорема
1.
Пусть
λ∈
/ σ(A) . Тогда оператор M является (L, 1) -ограниченным, σ L (M ) =
n
o
νλk
λ−λk : k ∈ N .
Замечание. Схожая редукция прямой начально-краевая задачи для нелинейной системы
уравнений Осколкова использовалась а работах Г. А.Свиридюка (см. [7]).
В [8] была исследованна корректность абстрактной обратной задаче для уравнения соболевского типа. К такой задаче редуцируем обратную задачу
v(x, 0) = v0 (x) ∈ H2σ ,
v(x, t) = 0,
(6)
(x, t) ∈ ∂Ω × [0, T ],
(λ − ∆)vt (x, t) = ν∆v(x, t) − r(x, t) + q(x)f (t),
Π2 v(x, t) = 0,
(x, t) ∈ Ω × [0, T ],
(x, t) ∈ Ω × [0, T ],
ZT
(7)
(8)
(9)
ZT
v(x, t)dµ(t) = vT (x) ∈
H2σ ,
0
r(x, t)dµ(t) = rT (x) ∈ Hr ,
(10)
0
в которой искомыми являются функции v, r, q . При этом учтено, что domM1 = U 1 = H2σ .
Корректность обратной задачи (6)–(10) означает существование решения q ∈ L2 при любых v0 ∈ H2σ , vT ∈ H2σ , rT ∈ Hr , удовлетворяющего оценке kqkL2 6 C(kv0 kH2 + kvT kH2 +
krT kL2 ) .
Теорема 2. Пусть λ ∈
/ σ(A) , функция f ∈ C 2 ([0, T ], R) , функция µ : [0, T ] → R имеет
ограниченную вариацию. Тогда задача (6)–(10) корректна в том и только в том случае, когда
³
´ RT
νλk
для всех k ∈ N выполняется χ λ−λ
, f (t)dµ(t) 6= 0.
k
0
CПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.
2. Prilepko A. I., Orlovsky D. G., Vasin I. A. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical
Physics. New York; Basel: Marcel Dekker Inc., 2000.
3. Kozhanov A. I. Composite Type Equations and Inverse Problems. Utrecht: VSP, 1999.
4. Al Horani M., Favini A. An identification problem for first-order degenerate differential equations //
J. of Optimization Theory and Applications. 2006. V. 130, N 1. P. 41–60.
5. Осколков А. П. Начально краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина – Фойгта
и жидкостей Олдройта // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1988. Т. 179. С.126–164.
6. Соболев С. Л. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1954.
Т. 18, № 1. С. 3–50.
7. Свиридюк Г. А. Об одной задаче динамики вязкоупругой несжимаемой жидкости // Дифференц.
уравнения. 1990. Т. 26, № 11. С. 1992–1998.
8. Fedorov V. E., Urazaeva A. V. An inverse problem for linear Sobolev type equation // J. of Inverse and
Ill-Posed Problems. 2004. V. 12, N 4. P. 387–395.
323