результате для индуцированного дипольного момента

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 24
ЛЕКЦИЯ 24
Электростатика диэлектриков. Индуцированные дипольные
моменты атомов и молекул. Поляризуемость. Собственные дипольные моменты молекул. Вектор плотности поляризации. Электрическая восприимчивость. Электрическое поле в диэлектриках. Граничные условия. Диэлектрическая проницаемость.
Индуцированные дипольные моменты атомов и молекул
На прошлой лекции мы с вами разобрали основные вопросы электростатики проводников. Теперь давайте займемся диэлектриками. В отличие
от проводников, электрическое поле в диэлектрики проникает, поскольку
там, в отличие от проводников, невозможно протекание электрического
тока. Другими словами, там невозможно такое перераспределение зарядов, которое привело бы к полной экранировке электрического поля
внутри диэлектрика. Но частичная экранировка возможна! Поле в диэлектрике вообще говоря отличается от поля в вакууме (созданного той
же самой системой зарядов). И об этом отличии и его причинах и давайте
сейчас поговорим.
Раз в диэлектрике макроскопическое электрическое поле отлично от
нуля, то давайте прежде всего выясним к каким явлениям оно приводит
воздействуя на атомы или молекулы из которых составлен диэлектрик.
Начнем с вопроса о том, как электрическое поле действует на изолированный атом или молекулу. Причем для начала атом или молекулу мы
будем считать электрически нейтральной, так что суммарного заряда
там нет.
Рассмотрение начнем со случая, когда не только суммарный заряд, но
и дипольный момент атома (молекулы) равен нулю. Для определенности
будем говорить об атоме. Атом, как известно, состоит из положительно
заряженного ядра и движущихся вокруг него электронов. Если взять
простейший атом — атом водорода, то по порядку величины расстояние
электрона от ядра (протона) равно боровскому радиусу
~2
≈ 0.529 · 10−8 см.
(1)
2
me
Характерное микроскопическое электрическое поле, действующее на электрон со стороны положительно заряженного ядра составляет величину
aB =
1
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 24
порядка
¢5
¡ −27 ¢2 ¡
· 5 · 10−10
10
2 5
Eмикр '
e
me
= 4 ≈
2
aB
~
(10−27 )4
≈
≈ 1054 · 3 · 103 · 10−50 ≈ 3 · 107 СГСЭ.
(2)
Учитывая, что 1 СГСЭ электрического поля составляет примерно 300 В/см,
получим, что микроскопическое электрическое поле действующее на электрон в атоме порядка 1010 В/см. По сравнению с этой величиной поля
обычно прикладываемые к диэлектрикам на много порядков меньше.
Поэтому их можно рассматривать как малое возмущение.
Под действием приложенного электрического поля центр тяжести электронного облака смещается относительно положительно заряженного ядра и атом приобретает индуцированный полем дипольный момент —
рис. 1
E
+
+
E=0
E 0
Рис. 1: Электронная оболочка атома без поля и в приложенном электрическом поле.
d ' ex,
(3)
где x — смещение. Его можно оценить следующим образом
x
E
'
aB
Eмикр
=⇒
x ' aB
E
Eмикр
.
(4)
Получаем в результате для индуцированного дипольного момента атома
d ' eaB
E
Eмикр
.
(5)
Если подставить сюда оценку для Eмикр ' e/a2B , то получим, что
d = αE,
где α ' a3B .
2
(6)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 24
Величина α называется поляризуемостью атома (или молекулы). Она
является характеристикой атома. По порядку величины она совпадает с
объемом атома.
Если записать связь между d и E в векторной форме, то в простейшем случае сферически симметричного атома вектора d и E не просто
пропорциональны друг другу, они еще и параллельны
d = α E.
(7)
Для примера приведем значения атомной поляризуемости некоторых
простых атомов:
Элемент
H
He Li Be C Ne Na Ar K
α, 10−24 см3 0.66 0.21 12 9.3 1.5 0.4 27 1.6 34
Видно, что у атомов благородных газов у которых оболочка полностью
достроена атомные поляризуемости малы, хотя они и возрастают с ростом числа элетронов. У щелочных металлов, у которых имеется один
валентный электрон, слабосвязанный с атомом, значение поляризуемости α намного выше.
H
C
H
H
H
Рис. 2: Молекула метана CH4 .
В отличие от атомов, индуцированный дипольный момент молекул не
обязательно параллелен приложенному электрическому полю. Это имеет место лишь для достаточно симметричных молекул, например для
молекулы метана, CH4 , атомы водорода которой расположены вершинах
правильного тетраэдра, а атом углерода в центре 1 — рис. 2. Электрическая поляризуемость этой молекулы α CH4 = 2.6 · 10−24 см3 .
1
Метан CH4 –– газ без цвета и запаха, почти в два раза легче воздуха. Он образуется в природе
3
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 24
Однако уже, например, у молекулы углекислого газа CO2 , все атомы
которой расположены вдоль одной прямой — рис. 3, дипольные моменты
C
O
O
Рис. 3: Молекула углекислого газа, CO2 .
будут разные, если электрическое поле приложить параллельно оси молекулы или перпендикулярно ей — рис. 4. Это, в свою очередь, приводит
к тому, что электрическое поле, приложенное под углом к оси молекулы индуцирует дипольный момент, который оказывается не параллелен
приложенному полю — рис. 5. И хотя связь между E и d по-прежнему
E
E
d=a E
d =a E
a >a
Рис. 4: Индуцированный дипольный момент в случае молекулы углекислого газа, CO2 .
E
d
Рис. 5: Индуцированный дипольный момент в случае молекулы углекислого газа, CO2 .
линейна, она осуществляется теперь посредством тензора поляризуемов результате разложения без доступа воздуха остатков растительных и животных организмов. Поэтому он может быть обнаружен, например, в заболоченных водоемах, в каменноугольных шахтах.
В значительных количествах метан содержится в природном газе, который широко используется
сейчас в качестве топлива в быту и на производстве.
4
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 24
сти αik
di = αik Ek ,
(8)
который является тензором второго ранга.
Можно доказать, что этот тензор симметричен: αik = αki , так что
у него имеется 6 независимых компонент. Если оси системы координат
выбрать специальным образом: ось Z — направить вдоль оси молекулы,
а оси X и Y — перпендикулярно ей — рис. 6, то в этой системе координат
Y
Z
X
Рис. 6: Главные оси тензора поляризуемости для молекулы углекислого газа, CO2 .
тензор αik будет диагонален

α⊥ 0 0
αik =  0 α⊥ 0  ,
0 0 αk

(9)
т. е. эти оси являются главными осями тензора αik . В общем случае молекулы произвольной симметрии (а точнее молекулы не обладающей никакой симметрией) тензор αik в системе главных осей имеет вид


α1 0 0
αik =  0 α2 0  ,
(10)
0 0 α3
где теперь α1 6= α2 6= α3 .
Собственные дипольные моменты молекул
Некоторые молекулы имеют дипольные моменты уже в отсутствие электрического поля. Пример — молекула HCl — рис. 7. Она обладает дипольным моментом d = 1.03 · 10−18 СГСЭq · см. Это соответствует сдвигу электрона примерно на 0.2 Å. Чтобы приобрести такой дипольный
момент атому водорода его надо было бы поместить в электрическое
5
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 24
Cl H
-
+
d
Рис. 7: Молекула HCl.
поле порядка 109 В/см. Таким образом, собственные дипольные моменты молекул как правило гораздо больше чем те, которые могут создать
электрические поля, используемые в лабораторных условиях. Дипольным моментом, как мы уже говорили, обладает молекула воды H2 O,
d = 1.84 · 10−18 СГСЭq · см — рис. 8. Именно существованием у моле-
O
_
+
+
H
H
d
Рис. 8: Молекула воды H2 O.
кулы воды электрического дипольного момента обусловлены ее свойства
как растворителя.
В отсутствие внешнего электрического поля дипольные моменты различных молекул ориентированы случайно друг относительно друга. Так,
что макроскопический объем вещества не имеет дипольного момента. Если, однако, приложить, например к воде, постоянное электрическое поле,
то дипольные моменты отдельных молекул развернутся частично по полю (этому, конечно, препятствует тепловое движение) и у воды появится
отличная от нуля плотность дипольного момента (дипольный момент
единицы объема) или поляризация. Существуют в природе вещества,
называемые сегнетоэлектриками у которых отличная от нуля поляризация имеется уже в отсутствии внешнего электрического поля. Это
электрический аналог постоянных магнитов. Мы однако не будем ими
заниматься.
Таким образом, по тем или иным причинам в электрическом поле
у макроскопических количеств вещества появляется дипольный момент
пропорциональный приложенному электрическому полю. Поскольку ди6
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 24
польный момент величина аддитивная, то его абсолютная величина должна быть пропорциональна объему тела V . Поэтому говорят о плотности
дипольного момента, т. е. дипольном моменте единицы объема. И как мы
уже сказали этот вектор называется поляризацией P. Между ним и приложенным электрическим полем E существует линейная связь, которую
можно записать в виде соотношения
Pi = χik Ek ,
(11)
где тензор второго ранга χik — называется тензором диэлектрической
восприимчивости. Нетрудно видеть, что диэлектрическая восприимчивость величина безразмерная. Это обусловлено тем, что электрическое
поле и дипольный момент единицы объема имеют одну и ту же размерность
[q] · [l]
[q]
[q]
[P ] =
=
и
[E]
=
.
(12)
[l]3
[l]2
[l]2
В изотропном диэлектрике направления векторов P и E совпадают и
мы имеем более простую связь
P = χE.
(13)
Величину χ можно оценить. Например для атома водорода надо разделить дипольный момент на объем атома
P '
d
'
a3B
eaB
E
Eмикр
a3B
e
a2B
·E
'
Eмикр
| {z }
(14)
χ
но Eмикр ' e/a2B , поэтому отсюда следует, что χ ' 1. У веществ с полярными молекулами, например воды, величина χ составляет несколько
единиц. Это и есть обычный порядок величины диэлектрической восприимчивости. Для справки однако отметим, что в упомянутых нами
сегнетоэлектриках χ достигает нередко десятков тысяч.
Электростатическое поле в диэлектриках
Выясним теперь какими уравнениями описывается постоянное электрическое поле в диэлектриках. Одно из них получается усреднением уравнения Максвелла
rot e = 0 =⇒ rot E = 0.
(15)
7
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 24
Второе уравнение получается усреднением уравнения
div e = 4πρ
=⇒
div E = 4π ρ̄,
(16)
где ρ̄ — средняя плотность заряда в диэлектрике.
Положим сначала, что мы внесли незаряженный в целом кусок диэлектрика в постоянное электрическое поле. Тогда полный заряд диэлектрика останется равным нулю и после внесения его в поле
Z
ρ̄ dV = 0.
(17)
V
Это интегральное соотношение должно выполняться для тела любой
формы. Мы можем автоматически удовлетворить этому соотношению
если представим среднюю плотность заряда в виде дивергенции некоторого вектора
ρ̄ = −div P,
(18)
причем, что важно, вне тела P = 0, т. е. этот вектор отличен от нуля
только внутри диэлектрика. Действительно, проинтегрируем ρ̄ по объе-
S
r
P
r= 0 P = 0
Рис. 9: Поверхность S, охватывающая тело.
му, который ограничен поверхностью охватывающей тело и проходящей
везде вне его — рис. 9
Z
Z
I
ρ̄ dV = − div PdV = − P · ds = 0.
(19)
V
V
S
Для того, чтобы выяснить физический смысл вектора P, найдем дипольный момент тела
Z
Z
d = rρ̄ dV = − r div PdV.
(20)
V
V
8
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 24
Для этого представим подынтегральную функцию в виде
xi
∂Pk
∂
∂xi
=
(xi Pk ) − Pk
.
∂xk
∂xk
∂xk
(21)
Затем интеграл от полной производной функции по объему можно представить в виде интеграла по поверхности S:
Z
I
I
∂
(xi Pk ) = dsk (xi Pk ) = xi (ds · P).
dV
(22)
∂xk
V
S
S
Поскольку на поверхности S (проходящей вне тела) поляризация P = 0,
то этот вклад обращается в ноль. Учитывая, что
Pk
получаем
∂xi
= Pk δik = Pi ,
∂xk
Z
d=−
(23)
Z
r div PdV =
V
PdV.
(24)
V
Отсюда следует, что вектор P представляет собой дипольный момент единицы объема диэлектрика или его вектор поляризации. Таким образом мы получили важное соотношение, связывающее среднюю
плотность зарядов ρ̄ с дивергенцией вектора поляризации P.
вакуум
n
ds
dl
поверхность
ик
диэлектр
Рис. 10: Поверхность диэлектрика.
Рассмотрим теперь поверхность диэлектрика и проинтегрируем формулу
ρ̄ = −div P
(25)
по объему, заключенному внутри бесконечно малого цилиндра — рис. 10.
Интеграл от ρ̄ по объему равен σds, где σ — поверхностная плотность
связанных зарядов
ρ̄dV = ρ̄dsdl = ρ̄dl ·ds = σds.
|{z}
σ
9
(26)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 24
Интеграл от div P по объему преобразуем по теореме ОстроградскогоГаусса через интеграл по поверхности
Z
I
−
div PdV = − P · ds = −Pвак · dsвак − Pдиэл · dsдиэл −
V
S
Z
−
P · ds = Pn ds.
(27)
Sбок
Здесь мы учли, что Pвак = 0, интеграл по боковой поверхности цилиндра
стремится к нулю, когда dl → 0, а dsдиэл = −nds, где n — орт внешней
нормали. В результате сравнивая (26) с (27), получаем, что
σ = Pn .
(28)
Таким образом вектор P (точнее ее нормальная компонента Pn ) определяет плотность связанных зарядов σ, распределенных по поверхности
поляризованного диэлектрика.
В этом еще можно убедиться следующим образом. Пусть у нас имеется
n зарядов q на единицу площади поверхности. Тогда полный дипольный
момент N атомных слоев вблизи участка поверхности площадью S будет
равен
d = nSqrN
(29)
(см. рис. 11). Учитывая, что SrN = V — объем, получаем вектор поля-
_ _ _ _ _ _ _
+
_ +
_
_ +
_ +
_ +
_ +
_ +
r
+
_ +
_
_ +
_ +
_ +
_ +
_ +
+ + + + + + +
Рис. 11: Поляризация диэлектрика, N = 3.
ризации диэлектрика
P =
d
= nq = σ.
V
(30)
Таким образом,
div E = −4πdiv P или div (E + 4πP) = 0.
10
(31)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 24
Величина
D = E + 4πP
(32)
— называется электрической индукцией и уравнение принимает вид
div D = 0.
(33)
Если же в диэлектрик внесены извне сторонние (дополнительные)
к его веществу заряды, то к правой части последнего уравнения надо
добавить их плотность ρст
div D = 4πρст .
(34)
Граничные условия на поверхности раздела двух сред.
На поверхности раздела двух различных диэлектриков должны выполняться некоторые граничные условия. Одно из этих условий получается из уравнения rot E = 0. Если поверхность раздела однородна по
своим физическим свойствам, то это условие сводится к непрерывности
тангенциальной компоненты электрического поля E
Et1 = Et2
(35)
(см. рис. 12).
E1
E2
1
2
Рис. 12: Непрерывность тангенциальных компонент электрического поля на границе раздела двух
диэлектриков.
Второе граничное условие получается из уравнения div D = 0
Dn1 = Dn2 ,
(36)
т. е. непрерывность нормальной компоненты вектора индукции D на поверхности раздела — рис. 13.
11
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
D1
Физика Электростатика
Лекция 24
E1
D2
E2
e1
e1
e2
e2
Рис. 13: Непрерывность нормальной компоненты индукции D и тангенциальной компоненты электрического поля E на границе раздела двух диэлектриков.
Диэлектрическая проницаемость.
Если диэлектрик изотропный, то
P = χE.
(37)
D = E + 4πP = E + 4πχE = (1 + 4πχ) E ≡ εE.
(38)
ε = 1 + 4πχ
(39)
Поэтому
Величина
называется диэлектрической проницаемостью диэлектрика. Если
диэлектрик анизотропный, то
Di = εik Ek ,
(40)
где теперь диэлектрическая проницаемость
εik = 1 + 4πχik
(41)
является тензором II ранга.
Граничные условия на поверхности раздела двух изотропных диэлектриков приобретают вид
Et1 = Et2 и ε1 En1 = ε2 En2 .
(42)
В изотропном диэлектрике
P = χE =
12
ε−1
E.
4π
(43)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 24
Если диэлектрик однородный и сторонние заряды отсутствуют, то
µ
¶
ε−1
ε−1
div P = div
E =
div E =
4π
4π
ε−1
ε−1
div(εE) =
div D = 0,
(44)
4πε
4πε
т. е. плотность связанных зарядов тогда тоже равна нулю. Однако поверхностная плотность связанных зарядов σ — отлична от нуля.
При наличии сторонних зарядов уравнения приобретают вид
=
div (εE) = 4πρст .
(45)
Или в случае однородного диэлектрика
4πρст
div E =
,
rot E = 0.
(46)
ε
Для одного точечного заряда q в диэлектрике это приводит к известным
со школы уравнениям
q
qr
ϕ= ,
E = 3.
(47)
εr
εr
Пример 1
Рассмотрим следующую задачу. Пусть точечный заряд q находится в
центре сферического слоя диэлектрика с внутренним и внешним радиусами R1 и R2 соответственно и диэлектрической проницаемостью ε —
рис. 14. Внутри сферического слоя и снаружи его находится вакуум. То-
e
q
R1
R2
Рис. 14: Заряд q в центре сферической оболочки из диэлектрика.
гда на расстоянии r от центра таком, что 0 < r < R1 (т. е. в вакууме)
электрическое поле будет определяться соотношением
qr
E = 3.
(48)
r
13
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 24
В самом сферическом слое, в диэлектрике, т. е. при R1 < r < R2
электрическое поле очевидно равно
qr
(49)
E = 3.
εr
Это значит, что эффективный заряд qэфф , который создает электрическое поле внутри диэлектрика, согласно теореме Гаусса-Остроградского,
равен q/ε. Он складывается из заряда q расположенного в начале координат и связанного заряда q1связ , распределенного равномерно по внутренней поверхности сферического слоя R1 диэлектрика
q
qэфф = = q + q1связ .
(50)
ε
Отсюда получаем величину связанного заряда q1связ
µ
¶
1
ε−1
q1связ = −q 1 −
= −q
.
(51)
ε
ε
Он, как это и должно быть, противоположен по знаку заряду q. Плотность связанных зарядов на внутренней поверхности сферического слоя
R1 равна
q1связ
.
(52)
σ1связ =
4πR12
Наконец снаружи сферического слоя при r > R2 (в вакууме) электрическое поле равно
qr
E = 3.
(53)
r
Оно совпадает с электрическим полем в вакууме в отсутствие диэлектрика. С точки зрения уравнения Максвелла div E = 4πρ это означает,
что на внешней поверхности сферического слоя R2 диэлектрика расположен связанный заряд q2связ = −q1связ . Соответственно поверхностная
плотность зарядов на внешней поверхности сферического слоя равна
q1связ
σ2связ = −
.
(54)
4πR22
Это согласуется с выражением для вектора поляризации внутри диэлектрика
ε − 1 qr
q1связ r
D−E ε−1
=
E=
=
−
(55)
4π
4π
4π εr3
4πr2 r
и с граничными условиями на поверхностях диэлектрика R1 и R2 (28)
r
r
P1 = − σ1связ ,
P2 = σ2связ .
(56)
r
r
P=
14
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 24
Если внутренний радиус сферического слоя R1 устремить к нулю, то
связанный заряд q1связ (51) стянется в точку r = 0 туда, где расположен
точечный заряд q. В результате суммарный заряд в начале координат
окажется равным qэфф = q/ε = q + q1связ . Он меньше стороннего заряда
q в ε раз за счет поляризации диэлектрика — рис. 15. Таким образом
+
-
+
++
+ --
+ +
+ -- -
+
Рис. 15: Поляризация диэлектрика вокруг точечного заряда.
каждый сторонний заряд q в однородном диэлектрике (ε = const) окружен связанным зарядом qсвяз
ε−1
qсвяз = −q
(57)
ε
находящимся (в рамках макроскопической теории) в той же самой точке,
что и заряд q.
Если распределение стороннего заряда непрерывно, т. е. имеется объемная плотность заряда ρст , то в однородном диэлектрике возникает объемная плотность связанного заряда
ε−1
ρсвяз = −ρст
.
(58)
ε
Это следует с очевидностью из (57) или из уравнений
ε
4πε
div D = 4πρст , D = εE = P =
P, div P = −ρсвяз .
(59)
χ
ε−1
Если диэлектрик неоднороден, то как следует из (59) возникает дополнительная плотность связанного заряда
µ ¶
1
1
ρ0связ =
D · grad
.
(60)
4π
ε
В частности, если диэлектрическая проницаемость ε на некой поверхности S меняется скачком (от ε1 до ε2 ), то это приводит к появлению на
ней поверхностной плотности заряда σсвяз
¯
¯
¯1
¯
1
1
σсвяз = − (D · n) ¯¯ − ¯¯ .
(61)
4π
ε2 ε1
15
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 24
Здесь n — орт единичной нормали к поверхности S, направленный в
сторону уменьшения 1/ε (например из вакуума в среду). Заметим, что
формулы (52) и (54) являются частными случаями формулы (61). Напомним, что для нахождения D надо использовать не только плотность
сторонних зарядов (div D = 4πρст ), но и уравнение rot E = 0 и следующие из этих уравнений граничные условия. Это обычно представляет
собой далеко не тривиальную задачу, даже при наличии одного стороннего заряда q.
Если поверхность S замкнутая и внутри нее находится сторонний заряд q, то по теореме Гаусса-Остроградского
I
D · ds = 4πq.
(62)
S
Тогда связанный заряд qсвяз на поверхности S
¶
µ
1
1
−
qсвяз = q
ε2 ε1
(63)
(предполагается, что диэлектрик ε1 находится внутри замкнутой поверхности S).
Пример 2
Определим поле, создаваемое точечным зарядом q, расположенным на
расстоянии h от плоской границы раздела двух различных диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями ε1 и ε2 — рис. 16. Назовем
n
P
r
r
q
q
h
h
O
e1
O
e2
Рис. 16: Точечный заряд q у плоской границы раздела двух сред.
точку, в которой находится заряд q в среде 1, точкой O, а ее зеркальное
16
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 24
отображение по другую сторону плоскости раздела (в среде 2) — точкой
O0.
Будем искать поле в среде 1 (в точке P ) как поле, создаваемое двумя
точечными зарядами, — зарядом q и фиктивным зарядом q 0 в точке O0
(метод изображений):
q0
q
+
,
(64)
ϕ1 =
ε1 r ε1 r0
где r, r0 — расстояния точки наблюдения P соответственно от O и O0 .
Поле же в среде 2 ищем аналогичным образом в виде поля, создаваемого
фиктивным зарядом q 00 , находящимся в точке O:
q 00
.
(65)
ϕ2 =
ε2 r
На граничной плоскости (r = r0 ) должны выполняться условия
∂ϕ1
∂ϕ2
ϕ1 = ϕ2 ,
ε1
= ε2
(66)
∂n
∂n
(условие непрерывности тангенциальных производных потенциала эквивалентно условию непрерывности самого ϕ). Из этих условий получаем
уравнения
q + q0
q 00
= ,
q − q 0 = q 00 .
(67)
ε1
ε2
Здесь мы учли, что электрическое поле в средах 1 и 2 равно
qr
q 0 r0
q 00 r
E1 = −grad ϕ1 =
+
, E2 = −grad ϕ2 =
(68)
ε1 r3 ε1 r03
ε2 r3
и что на границе раздела r · n = −r0 · n, где n — единичный орт нормали — рис. 16. Поэтому первое уравнение в (67) эквивалентно первому
условию в (66) или условию непрерывности тангенциальных компонент
электрического поля E на границе двух сред. Второе уравнение в (67)
эквивалентно второму условию в (66) или условию непрерывности нормальных компонент вектора индукции D на границе раздела.
Из уравнений (67) мы получаем
2ε2
ε1 − ε2
,
q 00 = q
.
(69)
q0 = q
ε1 + ε2
ε1 + ε2
Тем самым задача о распределении поля в среде решена. Пользуясь этими формулами и формулой (61) найдем теперь поверхностную плотность
связанного заряда на границе раздела. Учитывая, что
q − q0
q 00
2ε2 (r · n)
D1n =
(r · n) = 3 (r · n) = q
,
(70)
3
r
r
ε1 + ε2 r3
17
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 24
получаем
σсвяз = −
q ε2 − ε1 (r · n)
q ε2 − ε1 h
=
−
.
2π ε1 (ε2 + ε1 ) r3
2π ε1 (ε2 + ε1 ) r3
(71)
Интегрируя это выражение по всей плоскости (границе раздела), находим связанный заряд на границе раздела (обусловленный этой поверхностной плотностью)
qσсвяз = −q
ε2 − ε1
.
ε1 (ε2 + ε1 )
(72)
Он оказывается независящим от h и при h = 0 сосредоточен в той-же
точке, в которой находится заряд q (последнее легко увидеть из формулы (71) при h → 0). В этом случае надо также принять во внимание
связанный заряд, наведенный зарядом q в среде 1
q1связ = −q
ε1 − 1
.
ε1
(73)
Поэтому суммарный связанный заряд в точке O в этом случае оказывается равным
µ
¶
2
qсвяз = qσсвяз + q1связ = −q 1 −
.
(74)
ε2 + ε1
Соответственно эффективный заряд в точке O на границе раздела двух
сред при h = 0 равен
qэфф = q + qсвяз =
2q
.
ε1 + ε2
(75)
r
q
O
e1
e2
Рис. 17: Точечный заряд q на границе раздела двух сред.
Действительно, в этом случае мы имеем следующую картину — рис. 17.
Поскольку все заряды — и сторонний заряд q и все связанные заряды
18
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 24
qсвяз находятся в одной точке O — в начале координат, то линии электрического поля E и индукции D будут направлены по радиусу r. Величина
электрического поля и электрической индукции будут зависеть только
от радиуса r — расстояния до точки O. Поэтому для их определения воспользуемся теоремой Гаусса. Проведем сферу радиуса r с центром в точке O. В силу непрерывности тангенциальных компонент электрического
поля на границе раздела двух сред величина поля E будет одинаковой
на всей поверхности этой сферы. А величина индукции D1 = ε1 E в среде
1 и D2 = ε2 E в среде 2. Поэтому по теореме Гаусса
2πr2 D1 + 2πr2 D2 = 4πq.
(76)
Отсюда получаем, что электрическое поле во всем пространстве определяется формулой
2qr
E=
.
(77)
(ε1 + ε2 )r3
Это эквивалентно утверждению, что эффективный точечный заряд в
точке O действительно равен
qэфф =
2q
.
ε1 + ε2
19
(78)