ЛЕКЦИЯ 25 Электрическое поле в пустотах диэлектрика

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 25
ЛЕКЦИЯ 25
Электрическое поле в пустотах диэлектрика. Формула КлаузиусаМоссотти. Ориентационная поляризация. Закон Кюри. Термодинамика диэлектриков в электрическом поле. Диэлектрическая проницаемость и электрическая индукция как термодинамические величины.
Электрическое поле в пустотах диэлектрика.
Рассмотрим теперь вопрос о том, как измерить (гипотетически) среднее
(макроскопическое) поле E и индукцию D в диэлектрике. Рассмотрим
однородный диэлектрик внутри которого имеется однородное электрическое поле — рис. 1. Вырежем в этом диэлектрике щель, параллельную
E
Рис. 1: Диэлектрик в однородном электрическом поле.
электрическому полю E — рис. 2. Щель настолько маленькая, что не ме-
E
Рис. 2: Щель в диэлектрике параллельная электрическому полю E.
няет практически поля в диэлектрике. Длину щели будем предполагать
значительно больше ее толщины. Тогда в силу непрерывности тангенциальных компонент электрического поля следует, что электрическое поле
1
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 25
в щели равно электрическому полю в диэлектрике
Eщели = Eдиэл .
(1)
Если теперь вырезать щель перпендикулярно электрическому полю E
— рис. 3, то из непрерывности нормальных компонент вектора D следует,
D
E
D
Рис. 3: Щель перпендикулярная электрическому полю E.
что D в щели и в диэлектрике совпадают. Так как Pщели = 0, то
Dщели = Eщели = Dдиэл ,
(2)
т. е. электрическое поле в щели в этом случае равно индукции поля D в
диэлектрике.
В общем случае отверстия в виде произвольного эллипсоида можно
доказать, что электрическое поле внутри него является однородным и
решить задачу точно. Очевидно тогда, что два рассмотренных выше примера являются частными случаями этой общей задачи. Так, например,
поле внутри сферической полости
Eдырки = E +
4π
P.
3
(3)
Формула Клаузиуса-Моссотти.
Решение о поле в полости полезно также и при решении вопроса об электрическом поле действующем на отдельный атом. Это необходимо если
мы хотим вычислить индуцируемый дипольный момент этого атома в
плотной диэлектрической среде, помещенной в электрическое поле. Точка зрения, что это поле равно среднему полю — неверна. Это ясно после
проведенного нами анализа с отверстиями разной формы.
2
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 25
Например в жидкостях приемлемой будет аппроксимация в которой
исследуемый атом находится в отверстии сферической формы, поле в
котором определяется соотношением (3). Пусть теперь в единице объема
жидкости содержится n атомов (одинаковых), а поляризуемость одного атома α не сильно отличается от своего значения в разреженном газе
(такое приближение годится разумеется не всегда). Тогда дипольный момент единицы объема, т.е. поляризация P равна
µ
¶
4π
P = nα E + P .
(4)
3
Или, разрешая это уравнение относительно P, получаем
nα
P=
E.
(5)
4π
1 − nα
3
Таким образом получаем оценку для диэлектрической восприимчивости
жидкости через поляризуемость отдельных атомов
nα
χ=
.
(6)
4π
1 − nα
3
В газе, очевидно, χ было бы равно nα. В более плотной среде его значение больше. Эффект “усиления” связан с тем, что в поле, действующее на
отдельный атом дает вклад поляризация соседних атомов. Формула (6)
называется формулой Клаузиуса-Моссотти. Она достаточно хорошо
описывает диэлектрическую проницаемость жидкостей составленных из
неполярных молекул или атомов, таких как CS2 , O2 , CCl4 , Ar (см. ФЛФ,
т. 5, стр. 227). Однако она не годится для воды, так как молекула H2 O
обладает постоянным дипольным моментом.
Ориентационная поляризация.
Рассмотрим теперь систему, состоящую из полярных молекул, например
жидкость или газ. Они обладают отличным от нуля дипольным моментом в отсутствии электрического поля. Но в отсутствие внешнего электрического поля дипольные моменты разных молекул ориентированы в
разных направлениях, так что суммарный их дипольный момент в единице объема равен нулю — рис. 4. Если внешнее электрическое поле отлично от нуля, то, во-первых, в каждой молекуле индуцируется добавочный дипольный момент за счет электронной поляризуемости. Во-вторых,
3
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 25
Рис. 4: Дипольные моменты молекул ориентированы хаотично.
что для нас сейчас важно, дипольные моменты молекул стремятся повернуться по приложенному полю, однако этому мешает их тепловое движение и столкновение молекул друг с другом. Однако суммарный дипольный момент единицы объема за счет эффекта выстраивания становится
отличным от нуля. Наша задача сейчас вычислить этот ориентационный вклад в поляризацию.
Для этого вспомним, что энергия диполя d0 во внешнем электрическом поле E определяется формулой
U = −d0 · E.
(7)
Теперь воспользуемся методами статистической механики. В состоянии
теплового равновесия относительное число молекул с потенциальной энергией U пропорционально экспоненте
e−U/kT .
(8)
В данном случае переменной является угол θ между векторами d0 и E:
U = −d0 E cos θ.
(9)
Поэтому число молекул в единице объема с углом θ лежащим в интервале
от θ до θ + dθ равно
µ
¶
d0 E cos θ
dn(θ) = A exp
(10)
|2π sin
{z θdθ},
kT
dΩ
где dΩ — элемент телесного угла (dϕ sin θdθ и по ϕ мы проинтегрировали
от 0 до 2π). Постоянная A определяется условием нормировки на полную
концентрацию молекул n. При ее вычислении электрическое поле можно
4
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
положить равным нулю. Тогда
Zπ
Z
n = dn(θ) = 2πA sin θ dθ = 4πA.
Лекция 25
(11)
0
Отсюда
A=
В итоге
n
.
4π
(12)
µ
¶
µ
¶
n
d0 E cos θ
n
d0 E cos θ
dn(θ) =
exp
2π sin θdθ =
1+
sin θdθ,
4π
kT
2
kT
(13)
где мы разложили экспоненту в ряд до членов 1-го порядка по электрическому полю. Видно, что по полю (cos θ = 1) ориентировано больше
молекул, чем против поля (cos θ = −1).
Суммарный дипольный момент единицы объема очевидно будет направлен по вектору E (в силу изотропии задачи). Поэтому нам достаточно вычислить только сумму проекций всех диполей на это направление,
т. е. просуммировать (проинтегрировать) величину d0 cos θ с функцией
dn(θ) по всем углам θ. В результате
¶
Zπ µ
Z
d0 E cos θ
n
1+
d0 cos θ sin θdθ =
P =
dn(θ)d0 cos θ =
2
kT
0
nd0
=
2
Z1 µ
−1
¶
d0 E
1+
x xdx,
kT
(14)
где x = cos θ. От первого слагаемого в круглых скобках вклад в интеграл
по x обращается в ноль, поэтому получим
Z1
nd0 d0 E
nd20
2
P =
·
x dx =
E.
(15)
2
kT
3kT
−1
Отсюда восприимчивость
nd20
.
(16)
χ=
3kT
Она пропорциональна концентрации n, квадрату дипольного момента
молекулы, и обратно пропорциональна температуре T . Такая зависимость восприимчивости от температуры вида 1/T называется законом
Кюри.
5
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 25
Приближение, которое мы использовали при выводе этой формулы —
это разреженность газа молекул. Поэтому в качестве электрического поля, действующего на молекулу, мы брали внешнее электрическое поле
E и не учитывали электрические поля создаваемые соседними с молекулой диполями. То есть фактически мы пренебрегали энергией дипольдипольного взаимодействия молекул по сравнению с тепловой энергией
kT .
Диэлектрическая проницаемость полярных молекул зависит и от частоты внешнего электрического поля. Молекулам с большими моментами инерции требуется большое время, чтобы повернуться в направлении
поля. Поэтому, начиная с некоторой частоты ориентационный вклад в
диэлектрическую проницаемость начинает уменьшаться, в то время как
электронная поляризуемость молекул не меняется вплоть до оптических
частот.
Термодинамика диэлектриков в электрическом поле.
Поскольку электрическое поле в отличие от проводников проникает в
диэлектрики оно вообще говоря меняет их термодинамические величины — энергию, свободную энергию, энтропию. Для выяснения характера этих изменений вычислим работу, которую необходимо произвести
над теплоизолированным диэлектриком для того, чтобы изменить в нем
электрическое поле.
Для начала речь будет идти о бесконечно малом изменении поля. Как
оно создается не имеет принципиального значения, поэтому рассмотрим
ситуацию, когда поле создается неким проводником с зарядом q и потенциалом ϕ. Изменить создаваемое им поле можно изменив заряд проводника на бесконечно малую величину δq. Работа, требуемая для этого,
равна
δR = ϕδq,
(17)
т. е. это механическая работа по перемещению заряда δq из бесконечности, где потенциал ϕ = 0 в точку, где находится проводник. Наша задача теперь — это выразить величину этой работы через значение поля в
пространстве, окружающем данный проводник и заполненным диэлектриком — рис. 5.
Пусть n — нормаль внешняя по отношению к диэлектрику на поверхности проводника. Тогда поверхностная плотность зарядов на проводни-
6
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 25
диэлектрик
E=0
n
проводник
Рис. 5: Заряженный проводник, окруженный диэлектриком.
ке равна
Dn
.
(18)
4π
Поэтому суммарный заряд на поверхности проводника определяется интегралом от этой величины по поверхности проводника
I
I
1
1
Dn ds = −
D · ds.
(19)
q=−
4π
4π
σ=−
S
S
Тогда работа δR равна
1
δR = ϕδq = − ϕ
4π
I
δD · ds.
(20)
S
Поскольку потенциал ϕ — постоянен вдоль поверхности проводника, его
можно внести под знак интеграла и воспользоваться теоремой ГауссаОстроградского
I
Z
1
1
δR = −
ϕδD · ds = −
div(ϕδD)dV,
(21)
4π
4π
S
V
где интеграл берется по всему объему вне проводника.
По принципу суперпозиции вариация поля δD, так же как и само поле
D, удовлетворяет уравнению
div δD = 0.
(22)
div(ϕ δD) = ϕ divδD + δD · grad ϕ = −δD · E.
(23)
Поэтому
7
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
В итоге мы приходим к окончательному и важному результату:
Z
E · δD
δR =
dV.
4π
Лекция 25
(24)
V
Подчеркнем, что интегрирование в этой формуле производится по всему
пространству вне проводника (проводников) даже если диэлектрик не
занимает все пространство (т. е. и по области вакуума).
Из термодинамики известно, что работа, произведенная над теплоизолированным телом, равна изменению энергии тела при постоянной
энтропии. Поэтому выражение (24) должно быть добавлено к термодинамическому соотношению, определяющему бесконечно малое изменение
полной энергии тела, включающей в себя также и энергию электрического поля. Обозначив эту энергию через U, имеем, следовательно
Z
1
E · δD dV
(25)
δU = T δS + δR = T δS +
4π
V
(T — температура, S — энтропия тела) 1 . Для полной свободной энергии
F = U − T S подставляя, получим
Z
1
δF = −SδT +
E · δD dV.
(26)
4π
V
Если речь идет о величинах, относящихся к некоторому выделенному
объему, например, к единице объема тела, то для таких величин, относящихся к еденице объема, можно записать
1
dU = T dS + µdN + E · dD
(27)
4π
для внутренней энергии и
1
dF = −SdT + µdN + E · dD
(28)
4π
для свободной энергии F = U − T S.
Таким образом величины U и F являются термодинамическими потенциалами соответственно по отношению к переменным S, N , D и T ,
N , D. Иными словами можно получить напряженность поля E путем
дифференцирования этих потенциалов по компонентам вектора D
µ
¶
µ
¶
∂U
∂F
E = 4π
= 4π
.
(29)
∂D S,N
∂D T,N
1
Объем тела предполагается в (25-26) постоянным
8
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 25
Пока мы не делали никаких предположений о характере зависимости
D от E. Применим теперь их к изотропному диэлектрику с линейной зависимостью D = εE. Проинтегрировав соотношения (27) и (28) получим
D2
D2
U = U0 (S, N ) +
,
F = F0 (T, N ) +
.
(30)
8πε
8πε
Величины U0 и F0 характеризуют диэлектрик в отсутствие электрического поля. Добавка D2 /8πε в отсутствие вещества (в вакууме) переходит в
известную формулу плотности энергии электрического поля в вакууме,
E 2 /8π . Таким образом эта добавка
εE 2
ED
D2
=
=
8πε
8π
8π
(31)
представляет собой изменение внутренней энергии единицы объема(при
постоянной энтропии и числе частиц) или свободной энергии единицы
объема(при постоянной температуре и числе частиц) связанное с наличием поля.
Можно вычислить полную свободную энергию если проинтегрировать
(30) по всему пространству:
Z
I
Z
1
E·D
1
grad ϕ · DdV = −
ϕD · ds =
F − F0 =
dV = −
8π
8π
8π
V
V
1 X
= −
ϕa
8π a
I
1X
D
ds
=
ϕa
n
a
|{z}
2 a
Sa −4πσa
S
I
σa dsa =
Sa
| {z }
1X
ϕa qa .
2 a
(32)
qa
Таким образом для полной свободной энергии получаем выражение
1X
F − F0 =
ϕa q a ,
(33)
2 a
где qa — заряды проводников, а ϕa — их потенциалы — рис. 6. Это выражение имеет точно такой же вид, как и для системы заряженных проводников в вакууме. Диэлектрическая проницаемость среды входит лишь
в выражение для потенциалов проводников через их заряды. Отметим
также, что для справедливости данной формулы вовсе не обязательно,
чтобы диэлектрик заполнял бы все пространство между проводниками.
Как следует из проделанного вывода для вариации свободной энергии F при заданной температуре и наличии нескольких проводников,
9
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 25
ов
од
ни
к
q3 j3
проводник
пр
q 1 j1
диэлектрик
проводник
q2
j2
Рис. 6: Проводники в диэлектрике.
источников поля
(δF)T = δR =
X
ϕa δqa ,
(34)
a
поэтому, можно сказать, что в равновесии величина F достигает минимума по отношению к изменениям состояния, происходящих при постоянной температуре и зарядах проводников. Например, для плоского
конденсатора неизменность зарядов обкладок означает неизменность индукции D в силу граничного условия Dn = 4πσ. Поэтому из формулы
(30) следует, что введение диэлектрика между обкладками уменьшает
свободную энергию F системы (температура поддерживается постоянной). Поэтому диэлектрик будет втягиваться в пространство между обкладками конденсатора если его отсоединить от источника напряжения
(и поддерживать заряды на обкладках постоянными).
Если же постоянными поддерживать потенциалы проводников, то миe и Fe, связанные с первыми
нимумом обладают не величины U и F , а U
соотношением
E·D
e = U − E · D,
U
Fe = F −
.
(35)
4π
4π
Для них имеем в случае линейной связи D = εE
εE 2
e
F = F0 (S, N ) −
.
8π
εE 2
e
,
U = U0 (S, N ) −
8π
10
(36)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 25
Для дифференциалов этих величин получим:
1
D · dE,
4π
1
dFe = −SdT + µdN − D · dE,
4π
e = T dS + µdN −
dU
(37)
e и Fe — являются термодинамическими потенциалами по отношет. е. U
нию к переменным вектора E, а не D.
В частности отсюда получаем
Ã
!
Ã
!
e
∂U
∂ Fe
D = −4π
= −4π
.
(38)
∂E
∂E
S,N
T,N
Учитывая, что при линейной связи Dα = εαβ Eβ
Ã
!
2e
∂ F
∂Dα
= −4π
εαβ =
∂Eβ
∂Eα ∂Eβ
,
(39)
T,N
откуда следует симметричность тензора диэлектрической проницаемости εαβ .
Из соотношений (36) следует, что, например, введение диэлектрика в
конденсатор при неизменной разности потенциалов (т. е. величине E)
e А значит это выгодно с теруменьшает величину свободной энергии F.
модинамической точки зрения.
e имеем:
Для проинтегрированной по объему величины U
Z
X
E·D
e
U =U−
dV = U −
ϕa q a .
(40)
4π
a
V
Физический смысл этой величины заключается в следующем. Для поддержания у проводника постоянного потенциала необходимо соединить
его с другим проводником с очень большой емкостью (резервуар зарядов). Заряжаясь зарядом qa , проводник отнимает его у резервуара. Потенциал последнего ϕa при этом не меняется ввиду большой емкости
резервуара. Энергия резервуара при этом меняется, она уменьшается на
величину qa ϕa . Поэтому при заряде всех проводников
P зарядами qa энергия всех резервуаров изменится на величину − qa ϕa . В величину U
a
входит только энергия рассматриваемых проводников, но никак не соединенных с ними резервуаров. Иными словами энергия U относится к
энергетически незамкнутой системе. Таким образом если потенциалы
11
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 25
проводников поддерживаются постоянными роль механической энергии
e
играет величина U.
e
Такие же соображения применимы и к величине F:
Z
X
E·D
Fe = F −
dV = F −
ϕa q a .
(41)
4π
a
V
Для вариации этой величины получим
Ã
!
³ ´
X
δ Fe = (δF)T − δ
ϕa qa .
T
(42)
a
Учитывая, что
(δF)T = δR =
X
ϕa δqa ,
(43)
a
получим
³
δ Fe
´
T
=−
X
qa δϕa ,
(44)
a
что оправдывает сделанное нами утверждение, что величины Fe и Ue достигают минимума при неизменных потенциалах проводников.
При линейной связи D = εE, так же как и в пустоте, имеется линейная
связь между зарядами и потенциалами проводников
X
qa =
Cab ϕb .
(45)
b
Коэффициенты емкости Cab однако теперь зависят и от диэлектрической
проницаемости среды.
12