1. Электростатика Урок 11

1. Электростатика
1.
1
Электростатика
Урок 11
Метод изображений на границе диэлектрик-диэлектрик
1.1. (Задача 2.39) Точечный заряд q находится на расстоянии h от плоской границы раздела двух бесконечно протяженных однородных диэлектриков с проницаемостями ε1 и ε2 (заряд
находится в диэлектрике с ε1 ). Найти потенциал электрического поля.
Решение Поле в первом диэлектрике E1 будет создаваться зарядом q и поляризационными зарядами, которые возникнут на границе раздела диэлектриков. По
(1)
q
O h
методу изображения попытаемся подобрать величину заряда q 0 такой, чтобы поr
r
ε1
ле от него в первом диэлектрике было эквивалентно полю поляризационных заε2
рядов, когда q 0 находится в точке O0 , зеркально симметричной с точкой O отноur
r′
сительно границы раздела в среде с проницаемостью ε1 , т. е.
-h
(2)
O′
q′
E1 =
qr
q 0 r0
+
,
ε1 r 3 ε1 r 0 3
где r и r0 – радиус-векторы, проведенные из зарядов q и q 0 в рассматриваемую точку.
Поле во втором диэлектрике E2 будем искать как поле фиктивного заряда q 00 , находящегося
в однородном диэлектрике с проницаемостью ε2 , но пространственно совмещенного с зарядом q,
т. е.
q 00 r
E2 =
.
ε2 r3
Каждое из этих полей является решением уравнения Лапласа, и если нам удастся удовлетворить граничным условиям, то E1 и E2 в силу теоремы единственности будут описывать действительное поле.
Из уравнений div D = 0 и rot E = 0 следуют условия непрерывности на границе раздела
двух диэлектриков нормальных компонент Dn вектора D и касательных компонент Eτ вектора E:
q cos θ − q 0 cos θ = q 00 cos θ ,
q0
q 00
q
sin θ + sin θ =
sin θ .
ε1
ε1
ε2
Из этой системы уравнений находим
q0 = −
ε2 − ε1
q,
ε2 + ε1
q 00 =
2ε2
q.
ε2 + ε1
2
Поскольку угол θ выпадает из уравнений, граничные условия будут удовлетворены во всех точках
границы раздела и полученные поля E1 и E2 являются решением задачи. Откуда для потенциалов
получаем
q
1 ε1 − ε2 1
+ q
,
ε1 r1 ε1 ε1 + ε2 r2
1
2ε2 1
ϕ2 = q
.
ε2 ε1 + ε2 r1
ϕ1 =
1.2. (Задача 2.40) Найти плотность σсвяз связанных поверхностных зарядов, наведенных на
плоской границе раздела двух однородных диэлектриков ε1 и ε2 , точечным зарядом q, находящийся на расстоянии a над этой границей (заряд в диэлектрике с ε1 ). Какой результат получится при
ε2 → ∞, каков его физический смысл?
Решение На границе раздела нет свободных зарядов, поэтому плотность связанных зарядов
пропорциональна скачку нормальной составляющей поля E.
E2n − E1n
.
4π
·µ ¶
µ ¶ ¸
q
ε1 − ε2 r2
2ε2
r1
q
h
=
+
=
3
3
ε1
r1 n ε1 + ε2 r2 n
ε1 (h2 + R2 )3/2 ε1 + ε2
¶
µ
q
2ε2
q 00 r1
h
=
E2n =
3
3/2
2
2
ε2 r1 n ε2 (h + R ) ε1 + ε2
σсвяз =
E1n
Тогда
σсвяз =
q ε1 − ε2
h
,
ε1 ε1 + ε2 2π (h2 + R2 )3/2
при ε2 → ∞,
σсвяз = −
qh
2πε1
(h2
+ R3 )3/2
.
1.3. (Задача 2.43) Полупространства заполнены диэлектриком: верхнее с проницаемостью ε1 ,
нижнее – ε2 . На оси, перпендикулярной плоскости раздела, расположены три заряда q1 , q2 и q3 .
В начале координат расположен заряд q2 , а q1 и q3 – симметрично на расстоянии a от заряда q2 .
Найти силу, действующую на заряд q1 .
Решение Поле, создаваемое зарядом q2 , будет иметь вид (см. 2.4)
E2 = E =
Используя
метод
изображений
2q2 R
.
ε2 + ε1 R3
(см.
2.42),
находим,
что
поле,
которое
1. Электростатика
Z
a
ε1
ε2
q1
q2
0
-a
3
возникнет на месте заряда q1 , когда в диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε2 вносится заряд q3 , равно
q3
E300 =
(2a)2
z
2 q3 ε 1
.
ε1 (ε2 + ε1 ) z
Заряд q1 через поле поляризационных зарядов на границе раздела создает
на месте своего нахождения дополнительное поле E01 :
E01 = −
q1 (ε2 − ε1 ) z
.
4a2 ε1 (ε2 + ε1 ) z
Основываясь на принципе суперпозиции, окончательно находим силу, действующую на заряд
q1 :
¸
z
2q2 q1
q3 q1
q12 (ε2 − ε1 )
F= 2
+ 2
− 2
.
a (ε2 + ε1 )
2a (ε2 + ε1 )
4a ε1 (ε2 + ε1 ) z
·