Целые Числа. Делимость.

Листок №1
12.09.11
Целые Числа. Делимость.
Данные задачи являются дополнительными, а тем самым необязательными. Решать
их можно в любом порядке. Сдавать задачи можно устно или письменно, но решение
должно быть оформленно четко, чтобы у проверяющего не оставалось вопросов. Срок
приема задач с этого листка 2 недели. Удачи.
Определение 1. 1. Числа 1, 2, 3, 4, . . . называются натуральными числами. Множество
всех натуральных чисел обозначается N
Однажды, кто-то из великих(кажется, это был Леопольд Кронеккер) сказал: "натуральные числа придумал Бог, все остальное дело рук человеческих". Cо школы всем
хорошо известно, что натуральные числа можно складывать, а иногда даже вычитать.
Чтобы вычитание было всегда корректно, люди придумали целые числа.
Определение 1. 2. Числа 0, 1, −1, 2, −2, . . . называются целыми. Множество всех целых
чисел обозначается Z.
Так же в школе нас учат, что целые числа можно умножать. Аналогично вычитанию
для умножения люди придумали "обратную"операцию. Как Вам всем хорошо известно,
она называется деление.
Определение 1. 3. Говорят, что натуральное число a делится на натуральное число b,
если существует натуральное число c такое, что a = b · c. В этом случаее a называется
делимым, b — делителем, c — частным. Записывается это обычно так b|a(b делит a) или
.
a..b(a делится на b).
В этом листке мы обсудим фундаментальные свойства операций умножения и деления.
Многие утверждения из листка очевидны , но очень поучительно дать этим утверждениям
точные доказательства. Удачи.
1 1◦ . Докажите следующие утверждения:
a)a|b, b|c ⇒ a|c;
b)c|b, c|(a + b) ⇒ c|a;
c)(a + b)|a3 ⇒ a + b|b3 ;
d)b|a ⇒ bk|ak;
e)1|a;
f )a|a;
g)b|a, a > 0 ⇒ b 6 a
h)b|a, a < 0 ⇒ b 6 −a
i)a|d, b|a, a, b > 0 ⇒ a = b
1 2◦ . Верны ли следующие утверждения: a) если одно из чисел делится на x, а другое
нет, то сумма делится на x; а что можно сказать про произведение этих чисел?; b)если оба
числа не делятся на x, то их сумма не делится на x;а что можно сказать про произведение
этих чисел?; c)если число делится на a и делится на b, то оно делится на ab; d)если число
делится на a и делится на b, то оно делится на a + b;
1 3◦ . Предположим, что числа a и b делятся на c. Обозначим x = abc . Докажите, что x
целое и c|x.
1 4◦ . Докажите, что: если c|ab, c|(a + b), то a) c|(a2 + b2 ); b) c|(a3 + b3 );c) c|(an + bn ).
Определение 1. 4. Натуральное число p > 1 называется простым, если оно делится
только на 1 и на себя.
1 5. Докажите, что простых чисел бесконечно много.
√
1 6. Докажите, что если натуральное число p > 1 не делится ни на одно n 6 p, то p—
простое. Найдите все простые числа меньше 100.
Листок №1
12.09.11
1 7. Найдите все простые числа, которые отличаются на 9.
1 8. Верно ли, что найдется сколь угодно большой промежуток на числовой оси, в котором нет простых чисел?
1 9◦ . Когда числа p,p + 2,p + 4 одновременно являются простыми?
1 10. Докажите, что натуральное число n имеет нечетное количество делителей тогда и
только тогда, когда оно является квадратом некоторого числа.
1 11. Верно ли, что многочлен n2 +n+41 при всех n принимает только простые значения?
1 12. Может ли так быть, что многочлен принимает только простые значения на множестве натуральных чисел?
1 13. Существует ли арифмитечская прогрессия a)длины 5; b) длины 6 состоящая только из простых чисел?
1 14. Существует ли бесконечная арифмитечская прогрессия состоящая только из простых чисел?