«Математика. Учебно-методическое пособие для студентов

ГОУ ВПО "Кемеровский государственный университет"
Кафедра высшей математики
В.А. Геллерт
Электронное учебно-методическое пособие
«Математика. Учебно-методическое пособие для
студентов биологического факультета
специальности «Биология»»
Издается по решению Редакционно-издательского совета
ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»
Издатель:
Кемеровский государственный университет
650043 г. Кемерово, ул. Красная, 6.
Кемерово
2010
Утверждено
на заседании кафедры высшей математики КемГУ.
Протокол № 4 от 12.11.2010 г.
Зав. кафедрой __________________С. П. Брабандер
Утверждено
на заседании методической комиссии
математического факультета КемГУ.
Протокол № 4 от 22.11.2010 г.
Председатель методической комиссии
__________________ Л. Н. Фомина
Математика: электронное учебно-методическое пособие [Электронный ресурс]/ В. А.
Геллерт; ГОУ ВПО “Кемеровский госуниверситет”. – Электрон. дан. (4,82 Мб) – Кемерово:
КемГУ, 2010. – 1 электрон. опт. диск (СD-ROM). – Систем. требования: PС с процессором
Pentium III 500 МГц; операц. система Windows ХР; Internet Explorer; SVGA, 1280x1024 High
Color (32 bit). – Загл. с экрана. – Диск с сопроводительным материалом помещены в контейнер
14х12,5 см.
Аннотация
Электронное учебно-методическое пособие «Математика» разработано для
студентов I курса биологического факультета очно-заочной формы обучения,
специальность 020200.62 «Биология» (специалист) в соответствии с
Государственным образовательным стандартом высшего профессионального
образования. Электронное учебно-методическое пособие предназначено для
организации работы студентов на семинарских занятиях, для самостоятельной
работы студентов в межсессионный период, выполнения индивидуальных
контрольных заданий, подготовке к зачету и экзамену. Содержит программу
курса, краткий теоретический материал, необходимы для решения задач,
разобранные примеры по каждой теме, контрольные вопросы и задания по
каждой теме; варианты контрольных работ; список рекомендованной литературы;
тестовые задания в оболочке АСТ-тест. В работе организованы гиперссылки на
основные разделы пособия, индивидуальные задания, их решения, литературу.
Категория пользователей – начинающие.
Автор:
Геллерт Вероника Александровна – старший преподаватель кафедры высшей математики
КемГУ
Программная реализация:
Геллерт Вероника Александровна – старший преподаватель кафедры высшей
математики КемГУ
© В.А. Геллерт, 2010
© ГОУ ВПО "Кемеровский государственный университет", 2010
Содержание
Содержание
Введение
Программа курса «Математика» для студентов биологического факультета 1 курса очнозаочного отделения
Тема 1. Аналитическая геометрия
Контрольные вопросы
Тема 2. Линейная алгебра
Контрольные вопросы
Тема 3. Предел функции
Контрольные вопросы
Тема 4. Дифференцирование функции одной переменной
Контрольные вопросы
Тема 5. Максимум и минимум функции
Контрольные вопросы
Тема 6. Неопределенный интеграл
Контрольные вопросы
Тема 7. Определенный интеграл и его приложения
Контрольные вопросы
Тема 8. Функции нескольких переменных
Контрольные вопросы
Тема 9. Двойной интеграл
Контрольные вопросы
Тема 10. Ряды
Контрольные вопросы
Тема 11. Дифференциальные уравнения первого порядка
Контрольные вопросы
Тема 12. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами
Контрольные вопросы
Тема 13. Элементы теории вероятности
Контрольные вопросы
Варианты контрольных работ
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 6
Вариант 7
Вариант 8
Вариант 9
Вариант 10
Вариант 11
Вариант 12
Вариант 13
Вариант 14
Вариант 15
Вариант 16
Вариант 17
Вариант 18
Вариант 19
3
5
6
9
15
17
24
26
33
35
40
41
43
44
52
53
57
58
64
65
68
69
72
73
79
80
85
86
91
93
93
96
99
102
105
108
111
114
117
120
123
126
129
132
135
138
141
144
147
Вариант 20
Ответы на задания контрольных вопросов
Литература
150
153
156
Введение
Данное электронное учебно-методическое пособие предназначено для
студентов биологического факультета очно-заочной формы обучения, для
самостоятельной работы студентов в межсессионный период и для подготовки к
сдаче зачета и экзамена. В пособии дана программа курса; список литературы,
рекомендованной студентам. Рассмотрены основные темы курса с кратким
изложением теоретического материала, разбором примеров и контрольными
вопросами.
Контрольные вопросы даны в виде блок-схемы, включающей определения и
формулы, методы и приемы решения, которые обобщают материал
рассматриваемой темы. Ответы на некоторые контрольные вопросы можно найти
в методическом пособии, а ответ на остальные требует самостоятельной
проработки лекций и учебников. Также в контрольных вопросах даны задания для
самостоятельного решения студентами (ответы на задания приведены в конце
пособия). Ответы на контрольные вопросы помогут студентам более ясно и полно
разобраться в изучаемом материале и подготовиться к зачету и экзамену.
Зачет по контрольной работе ставится после проверки полностью
выполненной контрольной работы. Экзамен оценивается согласно количеству
правильно выполненных заданий теста:
«отлично» - 12 – 15 заданий; «хорошо» - 9 – 11 заданий;
«удовлетворительно» - 6 – 8 заданий, «неудовлетворительно» - менее 6 заданий.
Работа гиперссылок: Тема № возвращает на содержание; название темы
переводит на контрольные вопросы; с контрольных вопросов возвращаемся на
данную тему. Из программы можно перейти к рассматриваемым темам. Из
контрольных вопросов можно перейти к ответам и вернуться обратно.
Программа курса «Математика» для студентов биологического
факультета 1 курса очно-заочного отделения
Метод координат на плоскости.
Прямая линия. Метод координат на плоскости (декартовы прямоугольные,
полярные координаты, основные задачи метода координат) Уравнение прямой с
угловым коэффициентом, общее уравнение прямой, уравнение прямой с данным
угловым коэффициентом и проходящей через данную точку. Уравнение прямой в
отрезках, уравнение прямой проходящей через две точки. Угол между двумя
прямыми. Взаимное расположение прямых. Расстояние от точки до прямой.
Кривые второго порядка.
Аналитическая геометрия в пространстве. Уравнение окружности.
Каноническое уравнение эллипса, гиперболы, параболы. Плоскость. Прямая в
пространстве. Поверхности второго порядка.
Матрицы и действия над ними. Определители.
Понятие матрицы. Сложение, вычитание матриц. Умножение матрицы на
число. Умножение матриц. Определители второго, третьего n-го порядка.
Свойства. Минор. Алгебраическое дополнение. Обратная матрица.
Системы линейных уравнений.
Решение систем линейных уравнений. Правило Крамера. Метод Гаусса.
Матричное решение систем линейных уравнений.
Векторная алгебра.
Нелинейные операции над векторами. Понятие вектора и линейные
операции над векторами. Понятие линейной зависимости векторов. Базис на
плоскости. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов.
Введение в математический анализ.
Функциональные понятия. Элементарные функции и их графики (целая
рациональная, дробно-рациональная, иррациональная, показательная,
логарифмическая, тригонометрическая, обратная тригонометрическая, сложная)
Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Бесконечно
малые и их свойства. Бесконечно большие. Сравнение бесконечно малых
Предел и непрерывность функции.
Предел функции. Основные теоремы о пределах. Примеры вычисления
пределов. Первый, второй замечательный предел их следствия. Понятие
непрерывности. Свойства функций, непрерывных на сегменте. Точки разрыва.
Понятие производной и ее геометрический смысл. Дифференциал
функции. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение
производной. Правила дифференцирования. Производные элементарных
функций. Понятие дифференциала. Применение дифференциала к
приближенным вычислениям.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Свойства дифференцируемых функций. Производные и дифференциалы
высших порядков. Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Теорема
Коши. Правило Лопиталя.
Свойства дифференцируемых функций.
Возрастание и убывание функций. Максимумы и минимумы. Асимптоты.
Выпуклость графика функции. Точки перегиба Исследование функции.
Интегральное исчисление функции одной переменной. Первообразная и
неопределенный интеграл. Свойства. Таблица. Методы вычисления.
Приложения определенного интеграла.
Дифференциальное и интегральное исчисление функций многих
переменных
Функция нескольких переменных.
Частные производные. Полный дифференциал. Исследование на экстремум.
Двойной интеграл. Приложение двойных интегралов.
Гармонический анализ.
Гармонические колебания. Разложение функций в тригонометрический ряд.
Ряды.
Определение числового ряда. Признаки сходимости. Знакопеременные
ряды. Признак Лейбница. Степенные ряды. Функциональные ряды.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Основные понятия. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения.
Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения
второго и высших порядков. Линейные дифференциальные уравнения первого
порядка. Уравнение Бернулли. Применение дифференциальных уравнений
первого порядка.
Дифференциальные уравнения второго и высших порядков - основные
понятия. Случаи понижения порядка. Линейные уравнения второго порядка.
Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Линейные однородные и неоднородные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами.
Численные методы.
Приближенное решение уравнений (метод хорд, метод касательных).
Интерполирование. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Интерполяционная
формула Ньютона.
Комплексные числа.
Функции комплексного переменного. Комплексные числа и операции над
ними. Геометрическая, тригонометрическая форма комплексного числа.
Основные понятия. Область определения. Изображение функций комплексного
переменного.
Элементы функционального анализа. Функции действительного
переменного. Основные функциональные понятия. Элементы функционального
анализа. Функциональный метод в решении уравнений на основе свойств.
Событие и вероятность.
Понятие о случайном событии. Классическое определение вероятности.
Свойства вероятности. Теоремы сложения, умножения вероятностей. Элементы
комбинаторики Совместные события. Основные понятия. Правило суммы,
произведения. Размещения. Перестановки. Сочетания. Условная вероятность.
Формула полной вероятности. Формула Байеса. Приложение.
Дискретные и непрерывные случайные величины. Понятия. Закон
распределения. Математическое ожидание. Дисперсия. Свойства. Закон больших
чисел. Генеральная совокупность и выборка. Статистическое оценивание.
Статистическое распределение. Полигон. Гистограмма. Оценивание параметров
генеральной совокупности по выборке. Доверительные интервалы. Проверка
статистических гипотез. Корреляция. Регрессия. Линейная корреляция. Расчет
прямых регрессии.
Тема 1. Аналитическая геометрия
ЛИТЕРАТУРА: (1, гл.I, § 4,5, гл.II; 6,гл.5, § 43-45, гл.3, § 29; 7, гл.I-IV)
Декартовы прямоугольные координаты.
Выберем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые Ox и Oy с
указанными на них положительными направлениями. Прямые Ox и Oy называют
координатными осями, точку их пересечения O – началом координат.
Совокупность координатных осей Ox , Oy и выбранной единицы масштаба
называют декартовой прямоугольной системой координат на плоскости.
Произвольной точке M плоскости поставим в соответствие два числа: абсциссу x
и ординату y , которые назовем декартовыми прямоугольными координатами
точки M = M ( x, y ) .
Определение 1. Уравнением линии на плоскости в прямоугольной системе
координат называется уравнение f ( x, y ) = 0 .
Определение 2. Уравнение 1-й степени Ax + By + C = 0
(1.1), где A
и B одновременно не равны нулю, называется общим уравнением прямой на
плоскости.
Преобразовывая данное уравнение, можно получить уравнение прямой с
угловым коэффициентом:
y = kx + b
(1.2),
где
k =−
A
C
b=−
B,
B;
a=−
C
C
b=−
A,
B.
уравнение прямой в отрезках:
x y
+ =1
a b
(1.3),
где
Также прямая на плоскости задается уравнением прямой, проходящей через
две точки M 1 ( x1 , y1 ) , M 2 ( x2 , y2 ) :
x − x1
y − y1
=
x2 − x1 y2 − y1 (1.4).
Если две прямые на плоскости заданы уравнениями с угловыми
коэффициентами y1 = k1 x + b1 , y2 = k 2 x + b2 , то условие перпендикулярности
данных прямых: k1 ⋅ k2 = −1 ; условие параллельности: k1 = k 2 .
Пример 1. На плоскости даны точки А(-3;5) и В(1;-4). Составить уравнение
прямой, проходящей через данные точки; уравнение прямой, проходящей через
точку С(6;1) и перпендикулярной прямой АВ; уравнение прямой, проходящей
через точку D(0;8) и параллельной прямой АВ.
Решение. Составим уравнение прямой АВ как уравнение прямой,
x − (−3) y − 5
x+3 y −5
=
;
=
,
1
−
(
−
3)
−
4
−
5
4
−
9
проходящей через две точки по формуле (1.4):
преобразуем данное уравнение по свойствам пропорции и запишем как уравнение
прямой с угловым коэффициентом:
9
7
−9( x + 3) = 4( y − 5); − 9 x − 27 = 4 y − 20; − 9 x − 7 = 4 y; y = − x −
4
4.
9
−
Следовательно, угловой коэффициент прямой АВ равен 4 .
Для нахождения перпендикулярной прямой воспользуемся условием
4
9
k2 =
k1 = −
9 . Т.к. искомая прямая
4 , тогда
перпендикулярности k1 ⋅ k2 = −1 , где
4
k2 =
9 , воспользуемся
проходит через точку С(6;1) и имеет угловой коэффициент
4
8
5
1 = ⋅ 6 + b; b = 1 − = − ;
9
3
3 тогда уравнение перпендикулярной
уравнением (1.2):
4
5
y= x−
9
3.
прямой
Для нахождения параллельной прямой воспользуемся условием
9
9
k1 = −
k2 = −
4 , тогда
4 . Т.к искомая прямая проходит
параллельности k1 = k 2 , где
9
k2 = −
4 , воспользуемся
через точку D(0;8) и имеет угловой коэффициент
9
8 = − ⋅ 0 + b; b = 8;
4
уравнением (1.2):
; тогда уравнение параллельной прямой
9
y = − x+8
4
.
Ответ:
y=
4
5
9
x−
y = − x+8
9
3,
4
.
Расстояние между двумя точками на плоскости.
Найдем расстояние d между двумя данными точками M 1 ( x1 , y1 ) и
M 2 ( x2 , y2 ) . Из прямоугольного треугольника M 1 NM 2 по теореме Пифагора
d = M1M 2 = M1 N + M 2 N , где M 1 N = x2 − x1 , NM 2 = y2 − y1 . Следовательно,
2
2
d = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )
2
2
(1.5)
y
M2
y2
N
M1
y1
x
x2
x1
О
Деление отрезка в данном отношении.
Пусть даны точки M 1 ( x1 , y1 ), M 2 ( x2 , y2 ) . Требуется найти точку
M ( x, y ) , лежащую на отрезке M 1M 2 и делящую его в данном отношении
M 1M
=
MM 2
. Используя предложение из элементарной геометрии, получаем
x +  x2
y +  y2
x= 1
y= 1
1+  ,
1+ 
(1.6). При  = 1 отрезок M 1M 2 делится пополам и
x +x
y + y2
x= 1 2 y= 1
2 ,
2
(1.7).
Кривые 2-го порядка.
Уравнения 2-го порядка на плоскости определяют кривые 2-го
порядка:
а). окружность – это множество точек плоскости, равноудаленных от
данной точки, называемой центром окружности:
( x − x0 ) + ( y − y0 ) = r
2
2
2
(1.8), центр в точке ( x0 , y0 ) и радиус r .
б). эллипс – множество всех точек плоскости, сумма расстояний каждой из
которых до двух данных точек F1 , F2 (фокусы эллипса) есть величина постоянная,
равная 2a :
2
2
x
y
+ 2 =1
2
a
b
(1.9), где b = a − c , 2c - расстояние между фокусами.
2
2
2
в). гипербола – множество всех точек плоскости, разность расстояний
каждой из которых до двух данных точек F1 , F2 (фокусы гиперболы) есть
величина постоянная, равная 2a :
2
2
x
y
− 2 =1
2
a
b
(1.10), где b = c − a , 2c - расстояние между фокусами.
2
2
2
г). парабола – множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной
точки F (фокус параболы) и от данной прямой d (директриса параболы):
y = 2 px
2
(1.11),где p - расстояние от фокуса до директрисы.
Пример 2. Составить уравнение окружности с центром в точке A (3; −2) и
проходящей через точку B (−1;4) .
Решение: Найдем радиус окружности, как расстояние между точками A и
B . По формуле (1.5), где x1 = 3, x2 = −1, y1 = −2, y2 = 4 , получаем
r = (−1 − 3) + (4 − (−2)) = 16 + 36 = 52 = 2 13 . По формуле (1.8), где
2
2
x0 = 3, y0 = −2 , имеем ( x − 3) + ( y − (−2)) = (2 13) , ( x − 3) + ( y + 2) = 52 .
2
2
2
2
2
Ответ: ( x − 3) + ( y + 2) = 52 .
2
2
Пример 3. Даны вершины треугольника A (2;-1), B (-3;4), C (5;2). Найти:
1.
уравнение стороны BC,
2.
уравнение высоты AD, опущенной на сторону BC,
3.
уравнение средней линии треугольника, параллельной стороне AC,
4.
площадь треугольника ABC,
5.
уравнение окружности, для которой сторона AC является
диаметром.
Решение:
1.
Для нахождения стороны BC воспользуемся уравнением прямой,
проходящей через две точки (1.4), где соответственно x1 = −3, y1 = 4, x2 = 5, y2 = 2 .
x − (−3) y − 4
=
5
−
(
−
3)
2−4 ,
Получаем
x + 3 y − 4 −2( x + 3)
−( x + 3)
1
3
1
13
=
,
= y − 4,
= y − 4, − x − + 4 = y, − x + = y
8
−2
8
4
4
4
4
4
Следо
1
13
y=− x+
4
4 .
вательно, уравнение стороны BC:
2.
Т.к. высота AD – это перпендикуляр к стороне BC, то используем
1
k1 = −
4 , условие
условие перпендикулярности прямых. Коэффициент
перпендикулярности k1 ⋅ k2 = −1 , тогда коэффициент k 2 = 4 . Нашли угловой
коэффициент прямой AD. Т.к. искомая прямая проходит через точку A, то
воспользуемся уравнением (1.2): 2 = 4 ⋅ (−1) + b; b = 6 . Получим уравнение высоты
AD: y = 4 x + 6 .
3.
Средняя линия, паралеллельная стороне AC, проходит через
середины сторон AB и BC. Найдем эти точки (середины сторон) по формуле (1.7).
Если A (2;-1), B (-3;4), то середина F:
x + xB 2 + (−3)
y + yB −1 + 4
xF = A
=
= −0,5, yF = A
=
= 1,5
2
2
2
2
; т.е. F (−0,5;1,5) . Если B (x +x
−3 + 5
y + yC 4 + 2
xE = B C =
= 1, yE = B
=
=3
2
2
2
2
3;4), C (5;2). то середина E:
; т.е.
E (1;3) .Далее воспользуемся уравнением (1.4):
x − (−0,5) y − 1,5
=
;
1 − (−0,5) 3 − 1,5
x + 0,5 y − 1,5
=
; x + 0,5 = y + 1,5;
1,5
1,5
уравнение прямой FE y = x − 1 .
y = x −1
.Следовательно,
4.
Для нахождения площади треугольника ABC воспользуемся
1
S∆ = a ⋅ ha
2
школьной формулой
, где a - длина основания, ha - длина высоты,
проведенной к основанию a . Пусть в нашей задаче основание BC, высота AD.
Найдем длину основания по формуле (1.5):
BC = ( xC − xB ) + ( yC − yB ) = (5 − (−3) + (2 − 4) = 64 + 4 = 68 .
2
2
2
2
1
13
y=− x+
4
4 ,
Зная координаты точки A (2;-1) и уравнение прямой BC:
можно найти длину высоты, используя формулу расстояния от точки до прямой:
Ax0 + By0 + C
d=
2
2
A +B
, где ( x0 , y0 ) - координаты данной точки, Ax + By + C = 0 уравнение данной прямой в общем виде. В нашем случае x0 = 2, y0 = −1 и
уравнение прямой BC в общем виде x + 4 y − 13 = 0 . Тогда высота
AD =
S ABC
1 ⋅ 2 + 4 ⋅ ( −1) − 13
−15
=
2
2
17
1 +4
1
15
=
68 ⋅
= 15
2
17
кв.ед.
=
15
17 . Тогда площадь треугольника ABC будет
5. Т.к. сторона AC является диаметром искомой окружности, то середина
стороны AC будет центром окружности - по формуле (1.7)
2+5
−1 + 2
xO =
= 3,5; yO =
= 0,5
2
2
. Радиус окружности найдем как длину отрезка
AO: AO = (3,5 − 2) + (0,5 − (−1)) = 1,5 + 1,5 = 4,5 .
2
2
2
2
Получаем уравнение окружности по формуле (1.8):
( x − 3,5) + ( y − 0,5) = 4,5 .
2
2
1
13
y=− x+
4
4 , y = 4 x + 6 , y = x − 1 , S ABC = 15 кв.ед.,
Ответ:
2
2
( x − 3,5) + ( y − 0,5) = 4,5 .
Контрольные вопросы
Аналитическая геометрия на плоскости
Понятие линии на плоскости
Уравнение кривой 2-го порядка
Различные виды прямых
Взаимное расположение прямых
Углы и расстояния на плоскости
Задание 1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом k=2 и проходящей
через точку A(-2;1) имеет вид…?
Задание 2. Уравнение прямой, параллельной прямой y=2x+3 имеет вид....?
Задание 3. Уравнение прямой, перпендикулярной прямой y=2x+3 имеет
вид…?
Задание 4. Уравнение прямой, проходящей через точки A(-1;1) и B(1;2)
имеет вид…?
Задание 5. Укажите соответствие:
2
2
1). ( x − 2) + ( y − 2) = 4
а). эллипс
x2 y 2
+
=1
3
2). 2
2
б). окружность
2
x
y
−
=1
3
3). 2
в). парабола
2
4) y = 4 x
г). гипербола
Задание 6. Построить прямые:
x y
+ =1
а) 3 4
;
x y
− + =1
б) 2 5
;
x y
− − =1
в) 3 6
.
Задание 7. Даны уравнения сторон треугольника
x − 3 y + 5 = 0, 3 x + 4 y + 2 = 0, 5 x − 2 y − 14 = 0 . Найти длину высоты,
проведенной на сторону 3 x + 4 y + 2 = 0 .
Задание 8. Написать уравнение окружности с радиусом R = 5 и с центром в
точке А(-4;3).
Ответы
Тема 2. Линейная алгебра
ЛИТЕРАТУРА: (1, гл.XI, § 6,7, гл. XII, §5; 6, гл.4, § 40,42, гл.7, § 61,62; 7,
гл.XVII)
Определение 1. Матрицей называется таблица с элементами ( aij ) , где i номер строки, j - номер столбца.
Если количество строк равно количеству столбцов, то матрица называется
квадратной. Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется
нулевой; если на главной диагонали матрицы (диагональ, идущая из верхнего
левого угла в правый нижний) стоят единицы, а все остальные нули, то матрица –
единичная.
Матрицы одинаковой размерности можно складывать:
cij = aij + bij (2.1); умножать на число: cij =  ⋅ aij
(2.2).Также матрицы
можно перемножать. Пусть даны матрица A размером m × n и матрица B
размером n × p (число столбцов 1-й матрицы должно равняться числу строк 2-й
матрицы). Умножим каждую строку матрицы A на каждый столбец матрицы B .
Полученные mp произведений запишем в виде матрицы C размером m × p :
n
cij = ∑ aik bkj , i = 1, m, j = 1, p
k =1
(2.3)
Примеры.
 2 −3   4 5 
 1 2  и  −3 0 
 
.
1. Сложить матрицы 
 2 −3   4 5   2 + 4 −3 + 5   6 2 
 1 2  +  −3 0  =  1 + ( −3) 2 + 0  =  −2 2 
 
 
 
.
Решение: 
 2 −3   4 5 
 1 2  и  −3 0 
 
.
2. Перемножить матрицы 
Решение:
 2 −3   4 5   2 ⋅ 4 + ( −3) ⋅ (−3) 2 ⋅ 5 + (−3) ⋅ 0   8 + 9 10   17 10 
 1 2  ⋅  −3 0  =  1 ⋅ 4 + 2 ⋅ (−3)
 =  4 − 6 5  =  −2 5 
1
⋅
5
+
2
⋅
0

 
 
 
 

Определение 2. Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число,
которое вычисляется по элементам матрицы и называется определителем или
детерминантом:
n
det A = ∑ (−1)
k +1
a1k M 1k , n > 1
(2.4), где M 1k - определитель матрицы
порядка ( n − 1) , полученный из A вычеркиванием 1-й строки и k -го столбца.
k =1
По определению:
a11
a12
a11 = a11 , a21 a22
a11
a12
a21 a22
a31 a32
= a11
= a11a22 − a12 a21
,
a13
a23 = (−1) a11M 11 + (−1) a12 M 12 + (−1) a13 M 13 =
a33
2
a22
a23
a32
a33
− a12
3
a21 a23
a31
a33
+ a13
4
a21 a22
a31
a33
.
Пример 1. Найти определители:
2 3
1). 5 1
= 2 ⋅ 1 − 3 ⋅ 5 = 2 − 15 = −13
1 −4
2). 3
0
= 1 ⋅ 0 − ( −4) ⋅ 3 = 0 + 12 = 12
1 1 2
1
1
3
1+1 3
1+ 2 2
1+3 2
2 3 1 = 1 ⋅ (−1) ⋅
+ 1 ⋅ (−1) ⋅
+ 2 ⋅ (−1) ⋅
=
2 4
0 4
0 2
0 2 4
3). = 3 ⋅ 4 − 1 ⋅ 2 − (2 ⋅ 4 − 1 ⋅ 0) + 2 ⋅ (2 ⋅ 2 − 3 ⋅ 0) = 12 − 2 − 8 + 8 = 10
Все введенные выше определения используются при решении систем
линейных уравнений. Кратко определим основные способы решения.
Рассмотрим систему из n уравнений с n неизвестными
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 ,
a x + a x + ... + a x = b ,
 21 1 22 2
2n n
2

...
an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn = bn .
(2.5)
1). Метод Крамера. Если определитель матрицы системы не равен нулю, то
система линейных уравнений (2.5) имеет решение и притом единственное. Это
xi =
∆i
, i = 1, n
∆
, где ∆ - определитель матрицы
решение находится по формуле
системы, ∆i - определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой i го столбца столбцом свободных членов.
3x1 − x2 + 2 x3 = 2

4 x1 + 2 x2 − x3 = 2

Пример 2.Решить систему уравнений  x1 − x2 + x3 = 1 .
Решение: Найдем определитель системы
3 −1 2
4 2 −1 = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 + (−1) ⋅ (−1) ⋅ 1 + 4 ⋅ (−1) ⋅ 2 − (2 ⋅ 2 ⋅ 1 + 4 ⋅ (−1) ⋅ 1 + 3 ⋅ (−1) ⋅ (−1)) =
1 −1 1
= −4
определитель не равен нулю, то продолжаем дальнейшие вычисления.
Т.к.
Найдем определители
2 −1 2
∆1 = 2 2 −1 =
1 −1 1
= 2 ⋅ 2 ⋅ 1 + (−1) ⋅ (−1) ⋅ 1 + 2 ⋅ (−1) ⋅ 2 − (2 ⋅ 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ (−1) ⋅ (−1) + 2 ⋅ (−1) ⋅ 1) = −3
3 2 2
∆ 2 = 4 2 −1 =
1 1 1
= 3 ⋅ 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ (−1) ⋅ 1 + 2 ⋅ 4 ⋅ 1 − (2 ⋅ 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ (−1) ⋅ 1 + 2 ⋅ 4 ⋅ 1) = 3
3 −1 2
∆3 = 4 2 2 =
1 −1 1
= 3 ⋅ 2 ⋅ 1 + (−1) ⋅ 2 ⋅ 1 + 4 ⋅ (−1) ⋅ 2 − (2 ⋅ 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ (−1) ⋅ 3 + 4 ⋅ (−1) ⋅ 1) = 2
Тогда
x1 =
∆1 −3
∆
3
∆
2
=
= 0,75; x2 = 2 =
= −0,75; x3 = 3 =
= −0,5
∆ −4
∆ −4
∆ −4
.
2). Матричный способ. Если систему линейных уравнений записать в
матричном виде A ⋅ X = B , где A - матрица системы (матрица коэффициентов), X
столбец неизвестных, B столбец свободных членов, то решение системы
−1
−1
находится по формуле X = A ⋅ B , где A - обратная матрица. Условие
существования и алгоритм нахождения обратной матрицы предлагаем
рассмотреть студентам самостоятельно.
Пример 3. На некоторый ареал обитания переселяют 3 вида животных
общей численностью 6000 особей. Предполагается, что популяции будут
возрастать с ежегодным коэффициентом прироста в 2, 2, 4 % соответственно для
1, 2 и 3 видов. Установлено, что общий прирост популяций за первый год
составил 160 особей, и что прирост популяции первого вида в два раза меньше
прироста третьего вида. Найдите начальные численности трех видов животных.
Решение. Пусть x1 , x2 , x3 соответственно начальные численности 1, 2 и 3
видов животных. Тогда по условию x1 + x2 + x3 = 6000, прирост первой популяции
0,02x1 , второй 0,02x2 , третьей 0,04x3 , и
Составим систему уравнений:
 x1 + x2 + x3 = 6000,

0,02 x1 + 0,02 x2 + 0,04 x3 = 160,
x = x
 1 3
0,02 x1 =
0,04 x3
; 0,02 x1 = 0,02 x3 ; x1 = x3
2
.
 x1 + x2 + x3 = 6000,

0,02 x1 + 0,02 x2 + 0,04 x3 = 160,
x − x = 0
 1 3
Запишем данную систему в матричном виде
1
1   x1   6000 
 1
 0,02 0,02 0,04  ⋅  x  =  160 

  2 

 1
 x   0 
0
−
1

  3 
.
1
1 
 1
 0,02 0,02 0,04 


 1
0
−1  найдем обратную матрицу.
Для матрицы системы 
Определитель матрицы равен 0,02 (не равен нулю), значит обратная матрица
существует. Для каждого элемента матрицы найдем алгебраические дополнения
i+ j
по формуле Aij = (−1) M ij .
A11 = ( −1)
A13 = ( −1)
2
0,02 0,04
0
4
A22 = (−1)
0,02 0,02
1
4
−1
0
= −0,02
A12 = (−1)
,
3
0,02 0,04
1
−1
1
3 1
= −0,02 A21 = (−1)
=1
0
−
1
,
,
1 1
5 1 1
= −2 A23 = (−1)
=1
1 −1
1
0
,
,
= 0,06
,
A31 = (−1)
4
1
1
1
1
5
= 0,02 A32 = ( −1)
= −0,02
0,02 0,04
0,02
0,04
,
,
1
1
=0
0,02 0,02
.Тогда обратная матрица
1
 −0,02 1 0,02   −1 50
1 
−1



A =
0,06
−
2
−
0,02
=
3
−
100
−
1
 

0,02 
  −1 50

−
0,02
1
0
0

 
 . Решение матричного уравнения
A33 = (−1)
6
A ⋅ X = B найдем по формуле X
1   6000 
 x1   −1 50
 x  =  3 −100 −1 ⋅  160  ,
 2 
 

  0 
 x   −1 50
0
 

 3 
−1
= A ⋅ B . Получаем
 x1   −6000 + 50 ⋅ 160 + 0   2000 
 x  = 18000 − 100 ⋅ 160 + 0  =  2000 
 2 
 

 x   −6000 + 50 ⋅ 160 + 0   2000 
 
.
 3 
Ответ: первоначальные численности каждого вида животных составили по
2000 единиц.
3). Метод Гаусса. Метод Гаусса заключается в последовательном
приведении системы уравнений при помощи элементарных преобразований
уравнений (сложение и вычитание уравнений, умножение на число) к
ступенчатому виду. Затем обратным ходом вычисляются значения неизвестных
величин. Система уравнений в зависимости от количества неизвестных и
количества уравнений может иметь единственное решение, не иметь решений,
иметь бесконечное множество решений.
Пример 4. Три вида рыб сосуществуют в аквариуме и потребляют три
субстрата. Предположим, что в среднем рыба i -го вида потребляет в день
количество cij j -го субстрата. Определим ci = (ci1 , ci 2 , ci 3 ) как вектор потребления
для i -го вида. Пусть c1 = (1,1,1), c2 = (1, 2, 2), c3 = (2,3,5) . Предположим, что каждый
день в пробирку вносят 100 ед. первого субстрата, 200 ед. второго и 330 ед.
третьего. Каковы численности популяций трех видов рыб, которые могут
сосуществовать в аквариуме, если считать, что рыбы потребляют весь дневной
запас субстрата?
Решение. Обозначим численности трех видов рыб, которые могут быть
обеспечены субстратами через x1 , x2 , x3 . При этом x1 особей первого вида
потребляют по x1 ед. каждого субстрата, x2 рыб второго вида потребляют
x1 , 2 x2 , 2 x3 ед. первого, второго, третьего субстратов, соответственно и для
третьего вида составляют 2 x1 ,3 x2 ,5 x3 ед. Уравнивая общее потребление каждого
субстрата с его доступным запасом, получаем:
 x1 + x2 + x3 = 100

 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 200
2 x + 3x + 5 x = 330
2
3
 1
. Решим данный пример методом Гаусса. Запишем
расширенную матрицу системы уравнений, отделяя столбец свободных членов .
Приведем данную матрицу к ступенчатому виду при помощи элементарных
преобразований:
 1 1 1 100 


 1 2 2 200  
 2 3 5 330 

 вычитаем первую строку из второй и, умножив на 2, из
 1 1 1 100 
 1 1 1 100 




  0 1 1 100  
  0 1 2 100 




третьей  0 1 3 130  вычитаем вторую строку из третьей  0 0 1 30  .
Из последней матрицы запишем систему уравнений, подготовленную для
 x1 + x2 + x3 = 100

 x2 + 2 x3 = 100

обратного хода метода Гаусса:  x3 = 30
. Получаем, что x3 = 30 ,
подставляем во второе уравнение: x2 + 2 ⋅ 30 = 100, x2 = 40 , и соответственно в
первое: x1 + 40 + 30 = 100, x1 = 30 .
Ответ: численности рыб соответственно составляют 30 ед. первого вида. 40
ед. второго и 30 ед. третьего.
Пример 5. Решить систему уравнений методом Гаусса:
2 x1 − 3x2 + 4 x3 − x4 = 1

2 x1 − 3x2 + 2 x3 + 3x4 = 2
2 x − 3x + 3x − 11x = −4
2
3
4
 1
.
Решение: Запишем расширенную матрицу и приведем ее к ступенчатому
виду с помощью элементарных
преобразований:
 2 −3 4
 2 −3 2

 2 −3 2

−1 1 

3 2   вычтем первую строку из второй и из третьей 
−11 −4 
 2 −3 4
  0 0 −2
 0 0 −2

−1 1 

4 1   вычтем вторую строку из третьей 
−10 −5 
 2 −3 4
  0 0 −2
0 0 0

−1 1 

4 1 .
−14 −6 
Ранг матрицы системы и расширенной матрицы равны 3, число неизвестных
равно 4. Следовательно, 4-3=1 независимая переменная, остальные зависимые и
система имеет бесконечное множество решений. Запишем по последней матрице
систему уравнений и найдем решение:
2 x1 − 3x2 + 4 x3 − x4 = 1

− x3 + 4 x4 = 1
3
x4 =
−14 x = −6
4

7 , подставляя во
. Из последнего уравнения
3
12
5
− x3 + 4 ⋅ = 1, − x3 = 1 − , x3 =
7
7
7 . И далее из первого уравнения:
второе находим:
5 3
3 20
10
2 x1 − 3x2 + 4 ⋅ − = 1, 2 x1 − 3 x2 = 1 + − , 2 x1 − 3 x2 = −
7 7
7 7
7 . Пусть x2 независимая переменная, тогда x1 - зависимая. Выразим переменную x1 через
5 3
x1 = − + x2
7 2 . Тогда общее решение системы уравнений:
переменную x2 :
5 3
5 3
(− + x2 ; x2 ; ; )
7 2
7 7 . Подставляя вместо переменной x2 любое значение, будем
16
иметь бесконечное множество решений. Например, x2 =2, тогда x1 = 7 , и частное
16 5 3
( ;2; ; )
7 7
решение . 7
Контрольные вопросы
Линейная алгебра
Матрица
Определитель
Системы линейных уравнений
Свойства определителей,
способы вычисления
Существование и единственность решения
Способы решения
2 1 3
1 0 0
Задание 1. Определитель 4 1 5 равен?
1 0 0
2 3 1
Задание 2. Определитель 4 5 1 равен?
Задание 3. Укажите систему линейных уравнений, подготовленную для
обратного хода метода Гаусса:
 x1 + 8 x2 + 3x3 = 2
2 x1 + x2 − x3 = 9
 x1 + 8 x2 + x3 = 4



 x1 + x2 = −2
− x2 − x3 = 1
 x1 + x3 = 3
− x2 + x3 = 1




1).  x1 + x3 = 2
2).  x1 + x2 + x3 = 2 3).  x3 = 10
4).  x1 + x3 = 1
3 4
A=

5 1 ,
Задание 4. Найдите матрицу а) A + 2B , б) 3A − B , если
 8 1
B=

 2 3 .
Задание 5. Вычислите произведение матриц AB , если
 5 8 −4 
 3 2



A =  6 9 −5  , B =  4 1 
1 2
 1 1
A=
 , B =  0 1
 4 7 −3 
1 2
3
4






 ; б)
.
а)
Задание 6. Решите матричным способом систему уравнений
2 x1 + x2 − x3 = 1

3x1 + 2 x2 − 2 x3 = 1
x − x + 2x = 5
3
 1 2
.
Задание 7. Решите систему уравнений по правилу Крамера и методом
3 x + 4 y = 11

5 y + 6 z = 28

Гаусса:  x + 2 z = 7 .
Ответы
Тема 3. Предел функции
ЛИТЕРАТУРА: (2, гл.4, § 4.3-4.6; 7, гл.VII, VIII)
Определение 1. Переменная y называется однозначной функцией f от
перемененной х в данной области изменения X = {x} , если каждому значению
x ∈ X ставится в соответствие одно определённое действительное значение
y = f ( x ) , принадлежащее некоторому множеству Y = {y}.
Определение 2. Пусть функция f ( x ) определена на множестве X = {x} , за
исключением, быть может, точки а. Говорят, что f ( x ) сходится к числу А при х
стремящимся к а, т.е.
lim f (x ) = A ,
n →a
(3.1)
если для любого  > 0 существует число  > 0 , зависящее от  , такое, что
для всех х, для которых f ( x ) имеет смысл и которые удовлетворяют условию
0 < x − a <  , справедливо неравенство f ( x ) − A <  .
При нахождении предела функции сначала подставляем число, к которому
стремится x в функцию, стоящую под знаком предела. Если получается конечное
c
c
=∞
=0
число, либо 0
, либо ∞
, где c - константа, то ответ найден. Если
0 ∞
∞
0
, , 0 ⋅ ∞, ∞ − ∞,1 , 0
получается неопределенность вида 0 ∞
, то необходимо
избавиться от неопределенности, используя следующие преобразования:
разложить числитель и знаменатель дроби на множители;
домножить на сопряженное выражение;
привести к общему знаменателю;
при x → ∞ в числителе и знаменателе дроби вынести x в наибольшей
степени;
использовать замечательные пределы.
Примеры.
lim
1).
x→2
x+5 2+5
=
= 7.
2
x −3 4−3
x
1
= = ∞.
2). x→1 1 − x 0
lim
x −3
3−3
0
lim
=
=
= 0.
2
3 + 3 +1 4 + 3
3). x→ 3 x + x + 1
2
4).
2
x + 3x + 2  4 − 6 + 2 0  lim ( x + 2 )( x + 1) = lim ( x + 1) = ( −2 + 1) 1
lim
=
= =
=
=
x →−2 x 2 − x − 6
 4 + 2 − 6 0  x→−2 ( x − 3)( x + 2 ) x→−2 ( x − 3)
−2 − 3 5 .
lim
Первый замечательный предел:
x →0
lim
и следствия из него:
x →0
arcsin x
=1
lim
x →0
x
tgx
=1
x
sin x
=1
x
(3.2);
(3.3),
arc tgx
lim x = 1
(3.4), x→0
(3.5).
Если x стремится не к нулю, а к другой переменной, то необходимо сделать
замену переменной. Если замечательный предел не очевиден, то используем
тригонометрические формулы.
Примеры.
sin 5 x
sin 5 x
sin 5 x
= lim
⋅ 5 = 5 ⋅ lim
= 5 ⋅1 = 5
x →0
x →0
5x
5x
1). x→0 x
.
lim
tg 3x
tg 3x
6x
1
tg 3 x 6 x 3 x
= lim
⋅ 3x ⋅
⋅
= lim
⋅
⋅
=
sin 6 x 6 x x→0 3 x sin 6 x 6 x
2). x→0 sin 6 x x→0 3x
lim
3
tg 3x
1
3 1
= lim 3x ⋅ lim sin 6 x = 6 = 2 .
6
6x
x →0
x →0
 1
1  1 1
1 

 cos x
 cos x − 1 
lim 
−
=  − = ∞ − ∞  = lim 
−
= lim 

=

x →0 tgx
x →0 sin x
x →0
sin
x
0
0
sin
x
sin
x








3).
={преобразуем выражение в числителе по тригонометрической формуле
2 x
1 − cos x = 2sin
2 }=


2 x 
2 x

2
2


2
2sin


 2sin 2 
x
x
x
1
−
2
x




2
−
 = lim  −2 ⋅   ⋅  = lim
lim  −
⋅  ⋅
=
 = lim
2
 x →0 4 x
x →0
x →0 
x →0 

sin
x
2
sin
x
⋅
x
2
x




x






  



 2

−x
= 0.
x →0 2
= lim
Второй замечательный предел:
x
 1
1 +  = e
lim
x →∞ 
x
lim (1 +  )
1
(3.6),
x →∞
=e
(3.7),
и следствия из него:
x
 k
k
1 +  = e
lim
x →∞ 
x
,
ax −1
= ln a
lim
x →∞
x
,
ln(1 + x )
=1
lim
x →∞
x
,
(1 + x )
m
lim
−1
x
x→∞
x
 1
1 +  = e
lim
x →∞ 
x
,
e −1
=1
= m lim
, x→∞ x
.
x
lim [ ( x )]
При вычислении пределов вида
 (x)
x→a
1). Если существуют конечные пределы
 (x ) = B, (B ≠ ±∞)
[ ( x )] ( x ) = A B
lim
lim
x →a
, то x→a
.
lim (x ) = A ≠ 1, ( A > 0)
следует иметь в виду:
lim (x ) = A, ( A > 0) ,
x →a
 ( x)
lim  ( x )
lim (x ) = ±∞
2). Если x→a
, x →a
, то x→a
вычисляется непосредственно, исходя из свойств показательной функции.
3). Если
lim (x ) = 1, lim (x ) = ∞ , то полагают
x →a
lim [ ( x )]
 (x)
x→a
x →a
= { ( x ) = 1 +  ( x );  ( x ) → 0, x → a}
1

 ( x)
 1 +  ( x ) 
lim
x →a 

lim [1 +  ( x )]
=
 (x)
x→a
=
 ( x )⋅ ( x )



=
{используем второй
замечатель ный предел }=
=e
lim ( x )⋅ ( x )
x →a
.
Примеры.
−2 
 x 
 x+2−2
x+2
lim 
= lim 
= lim 
+


 =
x →∞ 2 + x
x →∞
x →∞ 2 + x
2
+
x
x
+
2






1).
x

   −2  
= lim  1 + 

x →∞
  x + 2 

x
−2 x
( x+2)  x+2
−
 x+3
lim 

2). x→∞  x − 2 

  5 
= lim  1 + 

x →∞
   x + 1  
x




2
3 x −1
x−2
5
=
lim
e
−2 x
x →∞ x + 2
−2
=e .
 x − 2+ 2+3
= lim 

x →∞
x−2


3 x −1
5 

= lim 1 +

x →∞
x−2

3 x −1
=
15 x −5
x−2




=
lim
e
x →∞
15 x −5
x −2
=e .
15
x
 
1
 x3 + x  
 =
lim  
x
 3 x + 1  x→∞  x 1 − 1  
lim 
 =
  x   lim3x = 3+∞ = +∞
x →∞
x
−
1
  x→∞


 
3).
.
Важнейшим приложением предела функции является исследование
функции на непрерывность.
Прежде всего, дадим определение односторонних пределов, которое
необходимо при дальнейшем изучении данной темы.
Если x < a и x → a , то условно пишут: x → a − 0 ; и если x > a , x → a то
x → a +0.
f (a − 0 ) = lim f (x ) f (a + 0) = lim f (x )
x →a − 0
x →a + 0
Числа
,
называются соответственно
пределом слева в точке a и пределом справа в точке a (если эти числа
существуют).
Для существования предела функции f ( x ) при x → a необходимо и
достаточно, чтобы имело место равенство
f (a − 0 ) = f (a + 0 ) .
Функция f ( x ) называется непрерывной при x = x0 (или в точке x0 ), если
1
эта функция определена в точке x0 , т.е. существует f ( x0 ) ;
2
существует конечный предел
3
lim f ( x ) = f ( x )
0
x → x0
lim f (x )
x → x0
;
.
Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области, то она
называется непрерывной в этой области.
Говорят, что функция f ( x ) терпит разрыв непрерывности в точке x0 ,
принадлежащей области определения функции или являющейся граничной для
этой области, если в этой точке нарушается условие непрерывности этой
функции.
Классификация точек разрыва:
1). Если для функции f ( x ) существуют конечные пределы:
lim f ( x ) = f ( x
x → x0 − 0
0
− 0),
lim f ( x ) = f ( x
x → x0 + 0
0
+ 0 ),
причем не все три числа f ( x0 ), f ( x0 + 0 ), f ( x0 − 0 ) равны между собой, то
говорят, что точка x0 - точка разрыва первого рода. Они подразделяются
следующим образом:
а) если f ( x0 − 0 ) ≠ f ( x0 + 0 ) , то x0 – точка скачка; а [ f ( x0 + 0 ) − f ( x0 − 0 )] скачок в точке x0 .
б) если f ( x0 − 0 ) = f ( x0 + 0 ) , то x0 называется устранимой точкой разрыва,
т.е. функцию f ( x ) можно доопределить в точке x0 так, чтобы она была
непрерывной, взяв f ( x0 ) = f ( x0 + 0 ) .
Исходя из вышеизложенного, можно сказать, что для непрерывности
функции f ( x ) в точке x0 необходимо и достаточно, чтобы
f ( x0 ) = f ( x0 + 0 ) = f ( x0 − 0 ) .
2). Точками разрыва второго рода называется все точки, в которых функция
терпит разрыв и не относящиеся к точкам разрыва первого рода. Их называют еще
точками бесконечного разрыва, т.е. когда один из пределов (или оба)
lim f ( x ) = f ( x
x → x0 + 0
0
+ 0)
,
lim f ( x ) = f ( x
x → x0 − 0
равен бесконечности или не существует.
0
− 0)
Пример 1. Найти точки разрыва функции
y=
5 + 2x − 3
2
x −4 .
2
Решение: Т.к. знаменатель функции (x − 4 ) = ( x − 2 )( x + 2 ) зануляется в
точках x = 2, x = −2 , то исследуем их на разрыв.
1). При x = 2 :
5 + 2x − 3
5 + 2x − 9
= lim
=
x → 2 − 0 ( x − 2 )( x + 2 )
x→2−0
( x − 2 )( x + 2 ) 5 + 2 x + 3
lim f ( x ) = lim
x →2−0
= lim
x →2−0
(
2( x − 2)
( x − 2 )( x + 2 ) (
5 + 2x + 3
x→2−0
( x + 2)(
5 + 2x − 3
= lim
x → 2 + 0 ( x − 2 )( x + 2 )
x→2+ 0
( x + 2)
lim f ( x ) = lim
x→2+ 0
Т.к.
)
= lim
lim f ( x ) = lim f ( x ) =
x →2 − 0
f ( x) =
функцию
1
f ( 2) =
12 .
x →2 + 0
(
)
2
5 + 2x + 3
2
5 + 2x + 3
)
)
=
=
1
;
12
1
.
12
1
12 ; то x = 2 – устранимая точка разрыва, т.е.
5 + 2x − 3
2
x −4
можно доопределить в точке x = 2 , положив
1). При x = −2 :
5 + 2x − 3
= lim
x →−2 − 0 ( x − 2 )( x + 2 )
x →−2 − 0
( x + 2)
lim f ( x ) = lim
x →−2 − 0
5 + 2x − 3
= lim
x →−2 + 0 ( x − 2 )( x + 2 )
x →−2 + 0
( x + 2)
lim f ( x ) = lim
x →−2 + 0
(
(
2
5 + 2x + 3
)
=
2
= −∞;
−0
)
=
2
= +∞.
+0
2
5 + 2x + 3
Т.к. пределы равны бесконечности, то x = −2 – бесконечная точка разрыва.
Зная значения пределов слева и справа в точках разрыва, можно построить
приблизительный график функции в окрестности этих точек.
Пример 2. Исследовать функцию на непрерывность
−1, x < 0

f ( x) = cos x, 0 ≤ x ≤ 
1 − x, x > 

.
Решение:. В данном случае точками исследуемыми на разрыв будут точки
x = 0, x =  . Найдем односторонние пределы в точке x = 0 :
lim (−1) = −1 lim cos x = 1
, x→+0
, т.к. −1 ≠ 1, то точка x = 0 будет точкой скачка.
x→−0
Найдем односторонние пределы в точке x =  :
lim cos x = cos  = −1 lim (1 − x) = 1 − 
, x→ +0
. Аналогично, −1 ≠ 1 −  и точка
x =  является точкой скачка.
x → −0
Контрольные вопросы
Понятие окрестности точки
Понятие предела
последовательности
Понятие предела функции
Свойства пределов.
Теоремы о пределах
Односторонние пределы
Вычисление пределов. Раскрытие
неопределенностей
Первый и второй замечательный предел
Бесконечно малые. Сравнение бесконечно
малых
2x
Задание 1. Предел x →0 sin x равен…?
lim
1
Задание 2. Предел
lim 6 x −1
x →1− 0
равен…?
arctg 3 x
Задание 3. Предел x→0 4 x равен…?
lim
1
lim 4 x −3
Задание 4. Предел x→3+ 0
равен…?
Задание 5. Вычислите указанные пределы:
2 x3 + 3x 2 − x
lim
7x
а) x→0
;
1 + 3x − 1 − 2 x
lim
x + x2
г) x→0
;
 x+4
lim 

x →∞
 x  ;
е)
x
x4 − 1
lim 2
б) x→1 x − 1 ;
1 + x + x2 − 1
lim
x
в) x→0
;
3x3 − x + 1
lim
3
2
д) x→∞ 2 x + x ;
 2x + 3 
lim 

x →∞ 2 x + 1


ж)
x +1
tgx − sin x
x
з) x→0
.
lim
;
Задание 6.если
Исследуйте
на непрерывность следующую функцию:
если x
1
 x , если x < 0

f ( x ) =  x,
0≤ ≤2
 x + 2,
≥2


.
Ответы
Тема 4. Дифференцирование функции одной переменной
ЛИТЕРАТУРА: (2, гл.5, § 5.1-5.4; 7, гл. IX, X, XIII)
Помимо физической задачи о скорости движущейся точки, химической
задачи о скорости химической реакции, геометрической задачи о касательной к
данной кривой, приводящих к понятию производной, можно рассмотреть задачу
из биологии о скорости роста популяции.
Пусть p = p (t ) - размер популяции бактерий в момент времени t .
Приращению времени ∆t будет соответствовать приращение ∆p величины p .
∆p
Отношение ∆t - средняя скорость роста популяции за промежуток времени ∆t .
∆p
lim
Предел этого отношения при стремлении ∆t к нулю, т.е. ∆t →0 ∆t , есть скорость
роста популяции бактерий в данный момент времени t .
dy
dx от функции y = f ( x ) в точке x по
Определение 1.Производной
∆y
аргументу x называется предел отношения ∆x при ∆x → 0 , т. е.
y′ =
y′ = lim
∆x →0
∆y
∆x
(4.1),
если этот предел существует.
Все свойства дифференцирования и производные простейших функции
получены с использованием данного определения.
Основные свойства дифференцирования
и таблица производных.
(u ± v) = u′ ± v′
 u ′ u′ ⋅ v − u ⋅ v′
  =
2
v
v
(u ⋅ v)′ = u′ ⋅ v + u ⋅ v′
(cos x)′ = sin x
(tgx)′ =
1
2
cos x
(ctgx )′ = −
1
2
sin x
(C )′ = 0
( x)′ = 1
(Cx)′ = C
n
n −1
( x )′ = nx
(arcsin x)′ =
( arctgx )′ =
x
x
(e )′ = e
chx = shx
1
(ln x)′ =
x
thx =
2
1
1− x
2
1
2
1+ x
( arcctgx )′ = −
shx = chx
1
x ln a
1− x
(arccos x)′ = −
x
x
( a )′ = a ln a
(log a x)′ =
1
1
2
1+ x
1
2
ch x
cthx = −
1
2
sh x
(sin x)′ = cos x
Освоив дифференцирование простейших функции, переходим к
дифференцированию сложных функций и к повторному дифференцированию,
используя следующие формулы и правила
Производная сложной функции:
если y = f [ (U )] то,
y ′ = f ′[ (U )] ⋅  ′(U )
(4.2),
т.е. сначала вычисляем производную внешней функции, а затем внутренней.
Производной второго порядка от функции y = f ( x) называется производная
взятая от первой производной, т.е. y′′ = ( f ′( x))′ . Аналогично можно ввести
понятие производной третьего, четвертого и т.д. порядков.
Дифференциалом 1-го порядка функции y = f ( x ) в точке x называется
главная часть её приращения, линейная относительно приращения ∆x = dx
независимой переменой x .
Дифференциал равен произведению её производной на дифференциал
независимой переменой.
dy = y ′dx
(4.3).
Если приращение ∆x аргумента x мало по абсолютной величине, то
дифференциал dy функции y = f ( x ) и приращение ∆y функции приближенно
равны между собой
∆y ≈ dy , т.е. f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ≈ f ′( x0 ) ⋅ ∆x,
f ( x0 + ∆x ) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 ) ⋅ ∆x.
Пример 1. Вычислить производную функции:
а). y = 3 x + 6sin x ;
б). y = cos 2 x ⋅ e ;
2
y=
в).
tg 2 x
ln( x + 3) ;
5x
г). y = sin(log 2 ( x − 2) + arcsin 3 x)
Решение:
2
2
а). y′ = (3 x + 6sin x )′ = (3 x )′ + (6sin x)′ = 6 x + 6cos x ;
5x
5x
5x
б). y′ = (cos 2 x ⋅ e )′ = (cos 2 x)′ ⋅ e + cos 2 x ⋅ (e )′ =
= −2sin 2 x ⋅ e + cos 2 x ⋅ 5e ;
5x
5x
 tg 2 x ′ (tg 2 x)′ ⋅ ln( x + 3) − tg 2 x ⋅ ( ln( x + 3) )′
′
y =
=
 =
2
ln(
x
+
3)
ln(
x
+
3)
(
)


в).
2
1
⋅ ln( x + 3) − tg 2 x ⋅
2
x+3
= cos 2 x
2
( ln( x + 3) )
;
г). y′ = (sin(log 2 ( x − 2) + arcsin3x))′ = .
(4.4)
= cos(log 2 ( x − 2) + arcsin 3x) ⋅ (
1
3
+
)
2
( x − 2) ⋅ ln 2
1 − (3x) .
Пример 2. Найти производную второго порядка:
а). y = sin x ;
б). y = e ⋅ x
2
3x
3
Решение:
2
а). y′ = (sin x )′ = 2sin x ⋅ cos x = sin 2 x ,
y′′ = (sin 2 x)′ = 2cos 2 x ;
3x
3
3x
3
3x
3
б). y′ = (e ⋅ x )′ = (e )′ ⋅ x + e ⋅ ( x )′ =
= 3e ⋅ x + e ⋅ 3 x = e (3 x + 3 x ) ;
3x
3
3x
2
3x
3
2
3x
3
2
3x
3
2
3x
3
2
y′′ = (e (3x + 3x ))′ = (e )′ ⋅ (3x + 3x ) + e ⋅ (3x + 3x )′ =
= 3e ⋅ (3x + 3x ) + e ⋅ (9 x + 6 x) = e ⋅ (9 x + 18 x + 6 x) .
3x
3
2
3x
2
3x
3
2
Пример 3. Вычислить приближенно при помощи дифференциала:
а).
3
27,03 ;
б). e
−0.04
.
Решение.
2
1 −3
′
y
=
x
3
3
а). Введем функцию y = x и найдем ее производную
.
Так как x0 + ∆x = 27,03 , то x0 = 27, ∆x = 0,03 . Тогда по формуле (4.4)
2
3
получаем
−
1
1 1 3
1
27,03 ≈ 27 + (27) 3 ⋅ 0,03 ≈ 3 + ⋅ ⋅
≈3
3
3 9 100
900 .
3
б). Введем функцию y = e и найдем ее производную y′ = e .
x
x
Так как x0 + ∆x = −0,04 , то x0 = 0, ∆x = −0,04 . Тогда по формуле (4.4)
−0,04
0
0
≈ e + e ⋅ ( −0,04) ≈ 1 − 0,04 ≈ 0,06 .
получаем e
Пример 4. Размер популяции бактерий в момент времени t (время
6
4
3
2
выражено в часах) задается формулой p (t ) = 10 + 10 ⋅ t − 10 ⋅ t . Найдите скорость
роста популяции, когда t = 1 ч.
Решение: Т.к. скорость роста популяции есть производная первого порядка,
то найдем производную
p′(t ) = (106 + 104 ⋅ t − 103 ⋅ t 2 )′ = 104 − 2 ⋅ 103 ⋅ t .
Тогда при t = 1 ч получаем
p (1) = 104 − 2 ⋅ 103 ⋅ 1 = 10000 − 2000 = 8000
бактерий
час
.
Ответ: скорость роста популяции бактерий
8000
бактерий
час
.
Контрольные вопросы
Непрерывность функции
Разрывы
Геометрический смысл производной
Физический смысл
производной
Основные правила дифференцирования
Таблица основных формул
Техника дифференцирования
2
Задание 1. Производная функции y = 3 x + 3 x − 1 имеет вид…?
Задание 2. Производная функции y = 5 x − 2 x + 1 имеет вид…?
Задание 3. Закон движения точки по прямой описывается уравнением
3
S = t − 3t 2 + 3t + 5 , где S путь в метрах, t время в секундах. В какие моменты
времени t скорость v равна нулю?
Задание 4. Разложение некоторого химического вещества протекает в
− kt
соответствии с уравнением m = m0 ⋅ e , где m - количество вещества в момент
времени t , k - положительная постоянная. Найдите скорость v разложения
вещества и выразите ее как функцию m .
Задание 5. Зависимость количества Q вещества, получаемого в химической
2
− kt
реакции, от времени t определяется формулой Q = a ⋅ (1 + b ⋅ e ) . Определите
скорость v реакции и выразите ее как функцию Q .
Задание 6. Атмосферное давление воздуха p на высоте h над уровнем
−
h
a
моря можно вычислить по формуле p = p0 ⋅ e , где p0 - давление на уровне моря
и a - постоянная. Найдите скорость v изменения давления с высотой и выразите
ее как функцию p .
Задание 7. Размер популяции насекомых в момент t (время выражено в
−1
часах) задается величиной p (t ) = 10000 − 9000(1 + t ) . Вычислите скорость роста
популяции p′(t ) в момент t . Ответы
Тема 5. Максимум и минимум функции
ЛИТЕРАТУРА: (2, гл.5, §5.7, 5.8; 7, гл.XI)
Определение 1. Говорят, что функция y = f ( x) имеет в точке x0 локальный
максимум (минимум), если существует такая окрестность точки x0 , в которой при
x ≠ x0 выполняется неравенство f ( x ) < f ( x0 ) (соответственно f ( x ) > f ( x0 ) ).
Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием
локальный экстремум (или просто экстремум).
Необходимым условием экстремума в точке x0 является равенство нулю
производной f ′( x) в точке x0 (или то, что она не существует). Достаточным
условием – смена производной f ′( x) знака с плюса на минус (локальный
максимум) или с минуса на плюс (локальный минимум); если знак не меняется, то
экстремума нет.
3
2
Пример 1.Исследовать функцию y = x − 3x + 1 на экстремум.
2
Решение. Найдем производную данной функции y′ = 3 x − 6 x . Приравняем
2
ее к нулю 3x − 6 x = 0 и получим следующие точки x = 0, x = 2 . Исследуем данные
точки на экстремум: т.к. производная меняет знак с + на – при переходе через 0,
то x = 0 точка максимума; производная меняет знак с – на + при переходе через 2,
то x = 2 точка минимума.
Ответ: x = 0 точка максимума, x = 2 точка минимума.
Определение 2. Функция y = f ( x) , определенная на отрезке [ a, b] ,
достигает своего наибольшего (наименьшего) значения либо в стационарных
точках (там где f ′( x) = 0 ), либо на концах отрезка.
Пример 2. Реакция организма на введенное лекарство может выражаться в
повышении кровяного давления, уменьшении температуры тела, изменении
пульса или других физиологических показателей. Степень реакции зависит от
назначенного лекарства и его дозы. Предположим, что x означает дозу
назначенного лекарства, а степень реакции y описывается функцией
y = x ( a − x ) , где a - некоторая положительная постоянная.
2
При каком значении x реакция максимальна?
Решение. Очевидно, что 0 < x < a . Имеем,
2
2
y′ = 2ax − 3 x , 2ax − 3 x = 0, x = 0 не удовлетворяет условию. Следовательно,
2
2
2
x= a
y′′( a) = −2a < 0
x= a
3 . Т.к.
3
3 - тот уровень дозы, который дает
, то
максимальную реакцию.
2
x= a
3 .
Ответ: при
Пример 3. В питательную среду вносят популяцию из 500 бактерий.
Численность популяции возрастает по закону
p (t ) = 500 +
500t
2
100 + t , где t выражается в часах. Найти максимальный размер
этой популяции.
500(100 + t ) − 500t ⋅ 2t 500(100 − t )
p′ =
=
2 2
2 2
(100
+
t
)
(100 + t ) .
Решение. Найдем производную
2
2
Т.к. p′ = 0 при t = 10 и производная p′ меняет свой знак с плюса на минус,
то максимальный размер популяции составляет
p (10) = 500 +
500 ⋅ 10
= 500 + 250 = 750
100 + 100
и достигается по прошествии 10
часов роста.
Ответ: Максимальный размер 750 единиц.
Контрольные вопросы
Первая производная
Экстремум (максимум или минимум)
Наибольшее и наименьшее
значение функции на интервале
Вторая производная
Точки перегиба
Исследование функции
Задание 1. Материальная точка совершает прямолинейное движение по
2
3
закону s (t ) = 18t + 9t − t , где s - путь в метрах, t - время в секундах. В какой
момент времени t скорость v движения точки будет наибольшей и какова
величина этой наибольшей скорости?
Задание 2. Скорость роста популяции x задана формулой
y = 0,001x ⋅ (100 − x) , когда время выражается в днях. При каком размере эта
скорость максимальна?
Задание 3. Реакции организма на два лекарства
и r t tкакe функции t (время
−t
2
⋅ − t . У какого из лекарств
2( ) =
выражено в часах) составляют r1 (t ) = t ⋅ e
выше максимальная реакция?
Ответы
Тема 6. Неопределенный интеграл
ЛИТЕРАТУРА: (2,гл.6, §6.1-6.5; 7, гл.XIII)
Определение 1. Функция F ( x ) называется первообразной для функции
f ( x ) , если F ' ( x ) = f ( x ) или dF ( x ) = f ( x )dx.
Если функция f ( x ) имеет первообразную F ( x ) , то она имеет множество
первообразных F (x ) + C , где С – постоянная.
Определение 2. Неопределенным интегралом от функции f ( x ) называется
совокупность всех ее первообразных. Обозначается ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C
(6.1)
Здесь ∫ - знак интеграла, f ( x ) - подынтегральная функция,
подынтегральное выражение, x - переменная интегрирования.
Отыскание
функции.
неопределенного
интеграла
называется
интегрированием
Свойства неопределенного интеграла:
'
(
)
(
)
f
x
dx
= f (x ),
1). ∫
2). d (∫ f (x )dx) = f (x )dx,
3).
∫ dF ( x ) = F ( x ) + c,
1
f (ax + b)dx = F (ax + b) + c
a
4). ∫
.
Правила интегрирования:
1). ∫ A ⋅ f (x )dx = A ⋅ ∫ f (x )dx,
2). ∫ [ f (x ) + g (x )]dx = ∫ f (x )dx + ∫ g (x )dx,
3). Если
f ( x )dx -
∫ f (x )dx = F (x ) + C, то ∫ f (u )du = F (u ) + C, где u =  ( x ) ,
1
f (ax + b)dx = F (ax + b) + C
a
4). ∫
.
Таблица основных интегралов:
1. ∫ A dx = A ⋅ x + C
x n+1
∫ x dx = n + 1 + C , n ≠ −1
2.
x
x
3. ∫ e dx = e + C
ax
∫ a dx = ln a + C
4.
n
x
dx
=
5. ∫ x ± a ln x ± a + C
6. ∫ sin x dx = − cos x + C
7. ∫ cos x dx = sin x + C
∫
9. a
2
8.
dx
1
x
= arctg + C
2
a
a
+x
13.
∫
x ±a
2
= ln x + x ± a + C
2
15. ∫ ch x dx = sh x + C
10.
∫ cos 2 x = tg x + C
dx

dx
= − cth x + C
∫
16. sh 2 x
= ln tg x + C = ln cosec x − ctg x + C
∫
18. sin x
19.
x
+C
a
14. ∫ sh x dx = ch x + C
dx
x
a2 − x2
= arc sin
dx
= th x + C
∫
17. ch 2 x
dx
dx
dx
1
x−a
=
ln
∫ 2 2 2a x + a + C
12. x − a
dx
∫ 2 =
11. sin x −ctgx + C
dx
∫
∫ cos x = ln tg 2 + 4  + C = ln tg x + sec x + C
20.
21.
∫
x 2
a2
x
2
a − x dx =
a − x + arcsin + C
2
2
a
∫
x 2
a2
2
a ± x dx =
x ±a ±
ln x + x 2 ± a 2 + C
2
2
2
2
2
2
Примеры. Найти следующие интегралы:
2 ⋅ dx
2 ⋅ dx
dx
= −∫
= −2 ⋅ ∫
= −2 ⋅ ln x − 3 + C
x−3
x−3
1). ∫ 3 − x
x +3
x −1+1+ 3
( x − 1) ⋅ ( x + 1) + 4 dx = x + 1 dx +
dx = ∫
dx = ∫
∫
∫( )
x −1
x −1
2). x − 1
2
2
2
dx
dx
x
+4 ⋅ ∫
= ∫ xdx + ∫ dx + 4∫
= + x + 4ln x − 1 + C
x −1
x −1 2
2 + cos x
2 + cos x
2 + cos x
1
1
3). ∫
dx = ∫
dx
=
dx
=
dx
+
2
∫ 2 cos 2 x
∫ cos 2 x 2 ∫ dx =
1 + cos 2 x
1 + 2 cos x − 1
1
= tg x + x + C
2
2
4). ∫ 2 sin
2
2
2
3x
1
 1 − cos 3x 
dx = ∫ 2 ⋅ 
 dx = ∫ dx − ∫ cos 3x dx = x − sin 3 x + C
2
2
3


−3
dx
x
−4
= ∫ x dx =
+C
4
∫
−3
5). x
Одним из основных методов интегрирования является метод замены
переменной.
1). Полагая x =  (t ), где t – новая переменная,  − дифференцируемая
функция, будем иметь
∫ f (x ) dx = ∫ f [ (t )]⋅  ′(t ) dt
(6.2)
Функцию  (t ) стараются выбрать таким образом, чтобы правая часть
формулы приняла более удобный для интегрирования вид. Часто за новую
переменную принимается иррациональное выражение или выражение, стоящее в
знаменателе.
Пример 1. Найти ∫ x x + 1dx.
x + 1 = t , тогда
′
2
2
2
x + 1 = t , x = t − 1, dx = t − 1 dt = 2tdt.
Подставляя в исходный интеграл,
получим:
Решение. Положим,
(
)
(
)
5
3
t
t
∫ x x + 1 dx = ∫ t − 1 ⋅ t ⋅ 2tdt = 2 ∫ t dt − 2 ∫ t dt = 2 5 − 2 3 + C =
5
3
2
2
2
2
= возвращаемся к исходным обозначениям = ( x + 1) + ( x + 1) + C
5
3
Пример 2. Найти
∫
2
4
2
1 + 2ln x
dx.
x ln x
t − 1 dx
ln x =
,
= tdt ,
1 + 2ln x = t , тогда
2
x
и
2
Решение. Сделаем замену
интеграл имеет вид:
1 + 2ln x
t
2t
t −1+1
dx
=
tdt
=
dt
=
2
2
2
∫ x ln x
∫ t −1
∫ t −1
∫ t 2 − 1 dt =
2
1 
1
( t + 1) − ( t − 1) dt =

= 2 ∫ 1 + 2
dt = 2t + 2 ∫
 dt = 2 ∫ dt + 2 ∫
( t − 1)( t + 1)
( t − 1)( t + 1)
 t −1
2
2
1 
 1
= 2t + 2 ∫ 
−
 dt = 2t + 2 ln t − 1 − 2 ln t + 1 + C =
 t −1 t +1
= 2 1 + 2ln x +
1 + 2ln x − 1
+C
1 + 2ln x + 1
2). К замене переменных также относится метод внесения под знак
дифференциала.
Если существует дифференцируемая функция u =  ( x ) и функция g (u )
такие, что подынтегральное выражение f ( x )dx может быть записано в виде
f ( x )dx = g [ ( x )] ⋅  ' ( x )dx = g [ ( x )] ⋅ d ( x )
сводится к вычислению ∫ g [ (x )]d (x ).
(6.3), то вычисление
∫ f (x )dx
Пример 3. Найти
∫ sin x
2
⋅ 3 x dx.
′
(
)
x
= 2 x, то 2 xdx = d (x ) и
Решение. Так как
2
2
∫ sin x 3 ⋅
2
Пример 4. Найти
( )
2x
3
3
2
2
2
dx = ∫ sin x d x = − cos x + C
2
2
2
∫ tg ( 3x − 1) dx.
Решение
∫ tg ( 3x − 1) dx = ∫
=−
sin ( 3 x − 1)
′
dx = ( cos ( 3 x − 1) ) = −3sin ( 3 x − 1) =
cos ( 3x − 1)
1 d ( cos ( 3x − 1) )
1
=
−
ln cos ( 3x − 1) + C
3 ∫ cos ( 3x − 1)
3
3).Формула интегрирования по частям имеет вид:
∫ U (x ) ⋅ V ′(x ) dx = U (x ) ⋅ V (x ) − ∫ V (x ) ⋅ U ′(x ) dx
(6.4)
или
∫ U (x ) ⋅ dV (x ) = U (x ) ⋅ V (x ) − ∫ V (x ) ⋅ dU (x )
(6.5)
Рассмотрим основные случаи использования метода интегрирования по
частям.
1). При вычислении интегралов вида:
∫ P( x ) ⋅ e
ax
dx,
P( x ) − многочлен,
где
степень многочлена U ' = P ′( x ) на
(
∫ P(x ) ⋅ sin ax dx, ∫ P(x ) ⋅ cos ax dx,
полагаем
степени многочлена
1
dV = cos ax dx ), V = e ax
ax
U = P( x )), dV = e dx (либо dV = sin ax dx,
a . Причем
формулу интегрирования по частям используем столько раз, какова степень
многочлена P(x ).
Пример 5. Найти ∫ x e
2 3x
dx.
единицу
меньше
U = P ( x ) , dU = P′ ( x ) dx
1 3x
2
3x
U = x , dU = 2 x dx, dV = e dx, V = e ,
3
Решение. Положим
используя
формулу интегрирования по частям, получаем:
∫x e
2 3x
1 2 3x 2
2  1 3x 
3x
 1 3x 
dx = x  e  − ∫ 2 x  e  dx = x e − ∫ xe dx =
3
3
3 
3 
U = x,
=
dU = dx
1 2 − x 2  1 3x
1 3x 
1 3 x = x e −  xe − ∫ e dx  =
3
33
3
dV = e dx, V = e

3
3x
1 2 3x 2 3x 2 3x
1 2 3x 2 3x 2 3x
= x e − xe + ∫ e dx = x e − xe + e + C
3
9
9
3
9
27
.
2). При вычислении интегралов вида:
∫ P(x ) ⋅ ln xdx, ∫ P(x ) ⋅ arcsin xdx, ∫ P(x ) ⋅ arctg xdx,
где P( x ) − многочлен, полагаем dV = P( x )dx, а оставшийся сомножитель в
подынтегральной функции - U.
Пример 6. Найти ∫ x ln x dx.
3
4
dx
x
3
U = ln x, dU = , dV = x dx, V = ,
x
4 и получаем:
Решение. Положим
4
4
4
4
4
x
x dx x
1 3
x
x
x
ln
x
dx
=
ln
x
−
⋅
=
ln
x
−
x
dx
=
ln
x
−
+C
∫
∫4 x 4
4
4∫
4
16
3
3). Если вычисляются интегралы вида:
∫e
ax
⋅ sin bx dx ,
∫e
ax
⋅ cos bx dx , ∫ sin(lnx)dx ,
ax
то U = e , dV = sin bx dx (либо cos bx dx ), и формулу интегрирования по
частям применяем дважды.
Пример 7. Найти ∫ e sin xdx.
2x
Решение.
1 2x
2x
U = e , dU = e dx, dV = sin xdx, V = − cos x,
2
Положим
и получаем:
∫e
2x
1 2x
1 2x
1 2x
 1 2x

sin xdx = − e cos x − ∫  − e cos x  dx = − e cos x + ∫ e cos xdx =
2
2
2
 2

1 2x
dU = e dx
1 2x
1  2x
1 2x

=
= − e cos x +  e sin x − ∫ e sin xdx  =
2
2
2
2

dV = cos xdx,
V = sin x
U =e ,
2x
1 2x
1 2x
1 2x
= − e cos x + e sin x − ∫ e sin xdx
2
2
4
Заметим, что в последнем выражении получен исходный интеграл, т.е.
1 2x
1 2x
1 2x
2x
e
sin
xdx
=
−
e
cos
x
+
e
sin
x
−
e sin xdx
∫
2
2
4∫
Решаем полученное уравнение относительно интеграла:
1 2x
1 2x
 1  2x
1 +  ∫ e sin xdx = − e cos x + e sin x
2
2
 4
1 2x
1 2x
− e cos x + e sin x
2x
2
+C
∫ e sin xdx = 2
5
4
2x
2e ( sin x − cos x )
2x
+C
∫ e sin xdx =
5
Контрольные вопросы
Понятие первообразной для функции f ( x)
Свойства первообразной
Неопределенный интеграл
Табличные интегралы
Свойства неопределенного интеграла
Методы интегрирования
Метод разложения
Интегралы от
квадратного трехчлена
Метод замены
переменной
Метод
интегрирования по частям
Метод
неопределенных
коэффициентов
Интегралы от
тригонометрических
функций
1
f ( x ) = cos x
2 имеет вид…?
Задание 1. Множество первообразных функции
Задание 2. Множество первообразных функции f ( x ) = sin 5 x имеет вид…?
2
f ( x) =
x + 4 имеет вид…?
Задание 3. Множество первообразных функции
Задание 4. Найти неопределенные интегралы:
dx
3x − 2 x
x
e
⋅
dx
2
5
∫
3
x;
x
; б) ∫ ( x + 4) ⋅ xdx ;в)
2
(2
x
−
1)sin
3
xdx
x
⋅
tg
x ⋅ dx .
∫
∫
д)
;
е)
Ответы
∫
а)
∫
г) 1 +
dx
x+2 ;
Тема 7. Определенный интеграл и его приложения
ЛИТЕРАТУРА: (2, гл.6, §6.6, 6.7, 6.10, 6.11; 7 , гл.XIV, XV)
Геометрически определенный интеграл представляет собой алгебраическую
сумму площадей плоских фигур, составляющих криволинейную трапецию, в
которой площади частей, расположенных выше оси ОХ, берутся со знаком плюс,
а площади частей, расположенных ниже оси ОХ, - со знаком минус.
n
 b
lim  ∑ f ( i )∆xi  = ∫ f ( x )dx
max ∆xi →0 i =1
 a
(7.1)
Если F ′( x ) = f ( x ), то справедлива формула Ньютона-Лейбница:
b
∫ f (x )dx = F (x ) a
= F (b ) − F (a )
b
(7.2)
a
Первообразная вычисляется путем нахождения неопределенного интеграла
∫ f (x )dx = F (x ) + C
2
Пример 1. Вычислить интеграл
∫
1 + x dx.
0
2
2
∫
0
2
1 + x dx = ∫ (1 + x )
1
2
(1 + x )
dx =
3
2
3
2
0
Решение.
2
3
2
2
= − (1 + x ) =
3
0
0
3
3
2 2 2 2
= (3) − 1  =  27 − 1
3 
 3
e
dx
∫1 x(1 + ln 2 x) .
Пример 2. Вычислить интеграл
Решение.
e
∫
интеграл x 1 − ( ln x )
1
e
dx
2
=∫
1
Так
d ( ln x )
(1 + ln x)
2
dx
= d (ln x ),
x
как
= arc tg ( ln x ) 1 = arc tg ( ln e ) − arc tg ( ln 1) =
e
то
= arc tg1 − arc tg 0 =

4
.
1. Площадь плоской фигуры. Прямоугольная система координат.
Если непрерывная кривая задана в прямоугольной системе координат
уравнением y = f (x ) , где f (x) ≥ 0 , то площадь криволинейной трапеции,
ограниченной этой кривой, двумя прямыми x = a, x = b и отрезком оси абсцисс
a ≤ x ≤ b, определяется формулой
b
S = ∫ f (x )dx
(7.3)
a
В более общем случае, если площадь S ограничена двумя непрерывными
y = f1 ( x ) и y = f 2 ( x )
кривыми
и
двумя
вертикальными
линиями
x = a , x = b, где f1 ( x ) ≤ f 2 ( x ) при a ≤ x ≤ b, то площадь вычисляется по формуле:
b
S = ∫ [ f 2 ( x ) − f1 ( x )]dx
(7.4)
a
Если кривая задана уравнением в параметрической форме x =  (t ), y =  (t ),
то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя
вертикальными линиями x = a, x = b и отрезком оси ОХ, выражается интегралом
t2
S = ∫ ( t ) ⋅  ′ ( t ) dt
(7.5),
t1
где t1 и t 2 определяются из уравнений
a =  (t1 ), b =  (t 2 ) ( (t ) ≥ 0 на [t1 ; t 2 ]).
Пример
и
.3.
y=x
y= x
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами
3
Решение.
1
S=∫
0
(
)
1
x − x dx = ∫
3
0
32 1
1
4 1
x
x
xdx − ∫ x dx =
−
320 4
0
=
3
0
2 1 5
− =
3 4 12
(кв. ед.).
Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды
x = 3 ( t − sin t ) , y = 3 (1 − cos t ) и осью абсцисс.
Решение.
y = 0, то 1 − cos t = 0 ⇒ cos t = 1, t = 0; t = 2 .
Если
dx = 3 (1 − cos t ) dt , получим
S=
2
С
2
∫ 3(1 − cos t ) ⋅ 3(1 − cos t ) dt = 9 ∫ (1 − 2cos t + cos
0
0
2
учетом
того,
что
кв ед
)
t dt =
2
2
1 cos 2t 
1 sin 2t 


= 9 ∫ 1 − 2cos t + +
 dt = 9  t − 2sin t + t +
 = 27 ( . .)
2
2
2
4



0
0
Пример 5. Вычислить
y = x , y = 2, y = − x + 2 .
площадь
фигуры,
ограниченной
линиями
3
Решение.
Построим область интегрирования и разобьем ее на части:
S = S1 + S 2 . В области S1 переменная x меняется от 0 до 1; а в области S2
переменная x меняется от 1 до
3
2.
4,5
4
y=x
3
3,5
3
y=2
Oy
2,5
2
1,5
S2
S1
y = −x + 2
1
0,5
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Ox
1,2
1,4
1,6
1,8
кв ед
1
 x2 
1
S1 = ∫ [ 2 − (− x + 2) ] dx = ∫ xdx =   =
0
0
 2 0 2
1
3
1
3
2
4
2
4
x
( 3 2)
1 3
7
3
3


S2 = ∫  2 − x  dx = (2 x − ) = (2 ⋅ 2 −
) − (2 ⋅ 1 − ) = ⋅ 3 2 −
4 1
4
4 2
4
1
S=
1 3 3
7 3
5
+ ⋅ 2 − = ⋅ 3 2 − ( . .)
2 2
4 2
4
4. Объем тела вращения.
Объем
тел,
образованных вращением криволинейной трапеции,
ограниченной кривой y = f ( x ), осью OX и двумя вертикальными прямыми
x = a, x = b, вокруг оси OX и OY, выражаются формулами
b
b
V x =  ∫ y 2 dx,
V y = 2 ∫ xydx.
a
(7.6)
a
Если кривая задана в иной форме (параметрически, в полярных координатах
и т.д.), то в приведенных формулах нужно сделать соответствующую замену
переменной интегрирования.
В более общем случае, объемы тел, образованных вращением фигуры,
ограниченной кривыми y1 = f1 ( x ), y 2 = f 2 ( x ) ( f1 ( x ) < f 2 ( x ) ) и прямыми x = a, x
= b вокруг координатных осей OX, OY соответственно равны:
b
Vx =  ∫
(
y 22
−
y12
)dx,
a
b
V y = 2 ∫ x( y 2 − y1 )dx.
(7.7)
a
Пример 7. Фигура, ограниченная параболой y = x − 2 и прямой x = 5
вращается вокруг оси абсцисс. Найти объем тела вращения.
2
Решение. Из условия получаем
5
Vx =  ∫
2
( x − 2)
x − 2 ⋅ dx =  ∫ ( x − 2) dx = 
3
2
2
= 2 3 ⋅  (куб.ед.)
5
1
2
3
2
5
3 5
2
2
=  ( x − 2) 2 =  ⋅ 3 3 =
3
3
2
2
Контрольные вопросы
Определенный интеграл функции f ( x) на отрезке [ a, b]
Свойства определенного интеграла
Геометрический смысл определенного интеграла
Формула Ньютона-Лейбница
Задание 1.Чему равен определенный интеграл ∫
2
1
0
∫
1
.
dx
∫ 1+ x
1
Задание 2.Чему равен определенный интеграл
( x + 1)2 dx
2
.
dx
Задание 3.Чему равен определенный интеграл 0 1 − x 2 .
Задание 4. Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной параболой
y = x 2 + 1 , осью Ox и прямыми x=1, x=4.
Задание 5. Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной
2
3
полукубической параболой y = x и прямой x=4.
Задание 6. Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox
плоской фигуры, ограниченной полуволной синусоиды y = sin x (0 ≤ x ≤  ) и осью
Ox.
Ответы
Тема 8. Функции нескольких переменных
ЛИТЕРАТУРА: (2, гл.7, § 7.1-7.4; 7, гл.XX)
Определение: Если каждой паре действительных чисел ( x, y ) ∈ D , по
определённому правилу ставится в соответствие элемент z ∈U , то говорят, что
задана функция z = f ( x, y ) .
Областью определения функции z = f ( x, y ) в простейших случаях является
либо часть плоскости, ограниченная замкнутой кривой, причём точки этой кривой
могут принадлежать или не принадлежать области определения; либо вся
плоскость; либо совокупность нескольких частей плоскости ХОУ.
Приращение функции z = f ( x, y )
∆ x z = f ( x + ∆x , y ) − f ( x , y )
(8.1)
называется частным приращением функции по переменной x .
∆x z
Определение: Если существует предел ∆x→0 ∆x , то он называется частной
производной функции z = f ( x, y ) в точке ( x0 , y0 ) по переменной x и
обозначается:
lim
∆ x z ∂f
=
= f x′ ( x, y )
∆x →0 ∆x
∂x
.
lim
(8.2)
Приращение функции z = f ( x, y )
∆z = f ( x + ∆x, y + ∆y ) − f ( x, y )
называется приращением функции.
Определение: Если полное приращение функции f ( x, y ) от независимых
переменных x, y может быть представлено в виде
∆z = A ⋅ ∆x + B ⋅ ∆y + o (  ) ,
где A, B не зависят от ∆x, ∆y и  = ( ∆x ) + ( ∆y ) , то функция f ( x, y )
называется дифференцируемой в точке ( x, y ) , а линейная часть приращения
A ⋅ ∆x + B ⋅ ∆y , равная
2
2
df ( x, y ) = f x′ ( x, y ) ⋅ dx + f y′ ( x, y ) ⋅ dy ,
(8.3)
где dx = ∆x , dy = ∆y , называется дифференциалом этой функции.
Формула (7.3) сохраняет своё значение и в том случае, когда переменные
x, y являются некоторыми дифференцируемыми функциями от независимых
переменных.
Если x, y - независимые переменные, и функция f ( x, y ) имеет
непрерывные частные производные до n - го порядка включительно, то для
дифференциалов высших порядков имеет место символическая формула
n

∂
∂ 
d f ( x, y ) =  dx ⋅ + dy ⋅  f ( x, y )
∂x
∂y 

.
n
(8.4)
Пример 1: Найти частные производные первого и второго порядка от
следующих функций:
3
4
3
а) z = x + y − 3x ⋅ y ;
x2
z=
y − 3y2 ;
б)
z
в) u = e ⋅ sin( x + y ) .
Решение:
3
4
3
а) z = x + y − 3x ⋅ y ,
3
2
z x′ = 3 x 2 − 3 y 3 , z y′ = 4 y − 9 x ⋅ y ,
2
2
z xx′′ = 6 x , z xy′′ = −9 xy , z yy′′ = 12 y − 18 xy .
z=
б)
z x′ =
x2
y − 3y2 ,
2x
x2
x 2 (6 y − 1)
′
zy = −
⋅ (1 − 6 y ) =
y − 3y2 ,
( y − 3 y 2 )2
( y − 3 y 2 )2 ,
2
2x
z xy′′ = −
(1 − 6 y )
2
y − 3y ,
( y − 3 y 2 )2
,
2 2
2
x 2 ⋅ ( −90 y 2 + 30 y − 2)
2  6( y − 3 y ) − (6 y − 1) ⋅ 2( y − 3 y )(1 − 6 y ) 
′′
z yy = x ⋅ 
=
2 4
(
y
−
3
y
)
( y − 3 y 2 )3


.
z xx′′ =
z
в) u = e ⋅ sin( x + y ) ,
u y′ = e z ⋅ cos( x + y) ,
u x′ = e z ⋅ cos( x + y ) ,
u′z = e z ⋅ sin( x + y ) ,
u xy′′ = e z ⋅ (− sin( x + y )) ,
u yy′′ = e z ⋅ (− sin( x + y )) ,
u xx′′ = e z ⋅ (− sin( x + y )) ,
,
u yz′′ = e z ⋅ cos( x + y) , u zz′′ = e z ⋅ sin( x + y ) , u xz′′ = e z ⋅ cos( x + y ) .
Пример 2: Найти дифференциалы первого и второго порядков от
следующих функций:
3
3
2
2
2
а) u = x − y ; б) u = x y + y z + z x .
Решение:
3
3
а) u = x − y ,
∂u
3x 2
∂u
−3 y 2
3x 2
3y2
=
=
du =
dx −
dy
3
3
3
3
∂x 2 x3 − y 3 ∂y 2 x3 − y 3
2 x −y
2 x −y
,
,
,
∂u
=
∂x 2
2
(3 x 2 )′ ⋅ x3 − y 3 − 3 x 2 ⋅
4( x 3 − y 3 )
(
x3 − y 3
)′ = 3 x − 4xy
4
3
4 x3 − y 3 3 2
(
)
,
( )
−3
∂2u 3 2 1
9x2 y2
= x ⋅ − (x3 − y3 ) 2 ⋅ (−3y2) =
3
2
∂x∂y 2
4(x3 − y3 ) 2
,
∂ 2u ( −3 y 2 )′ x 3 − y 3 − ( −3 y 2 )( x 3 − y 3 )′
3 4 yx 3 − y 4
=
=− ⋅
3
∂y 2
4( x 3 − y 3 )
4
( x3 − y 3 ) 2 ,
d 2u =
3 x 4 − 4 xy 3
9 x2 y 2
3 y 4 − 4 yx3
2
dx
−
2
⋅
dxdy
+
dy 2
3
3
3
4 x3 − y 3 2
4 x3 − y 3 2
(
)
( x3 − y 3 ) 2
(
)
.
2
2
2
б) u = x y + y z + z x ,
∂u
= 2 xy + z 2
∂x
,
∂u
= x 2 + 2 yz
∂y
,
du = (2 xy + z 2 )dx + ( x 2 + 2 yz )dy + ( y 2 + 2 zx)dz ,
∂u
= y 2 + 2 zx
∂z
,
2
2
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
∂
u
∂
u
= 2z
= 2x
= 2y
= 2y
= 2x
= 2z
2
2
2
∂x
, ∂y
, ∂z
; ∂x∂y
, ∂y∂z
, ∂z∂x
,
d 2u = 2 ydx 2 + 2 zdy 2 + 2 xdz 2 + 4 xdxdy + 4 ydydz + 4 zdzdx .
Определение: Пусть функция z = f ( x, y ) определена в окрестности точки
P0 ( a; b ) .
f ( a , b ) > f ( x, y )
f ( a , b ) < f ( x, y )
Если
или
при
0<
( x − a)
2
+ ( y − b ) <  , то говорят, что функция
2
f ( x, y ) имеет строгий
экстремум (максимум или минимум соответственно) в точке P0 .
Необходимое условие экстремума. Дифференцируемая функция f ( x, y )
может достигать экстремума лишь в стационарной точке P0 , т. е. такой, что
df ( P0 ) = 0 или
 df
 dx = 0,
 df
 = 0.
 dy
Достаточное условие экстремума. Функция f ( x, y ) в точке P0 имеет:
2
2
2
а) максимум, если df ( P0 ) = 0 , d f ( P0 ) < 0 при dx + dy ≠ 0 ;
2
2
2
б) минимум, если df ( P0 ) = 0 , d f ( P0 ) > 0 при dx + dy = 0 .
2
Исследование знака второго дифференциала d f ( P0 ) может быть
проведено путём приведения соответствующей квадратичной формы к
каноническому виду.
Для случая функции f ( x, y ) двух независимых переменных x и y в
2
стационарной точке ( x0 , y0 ) при условии, что D = AC − B ≠ 0 , где A = f xx′′ ( x0 , y0 ) ,
B = f xy′′ ( x0 , y0 ) , C = f yy′′ ( x0 , y0 ) имеем:
1)
минимум, если D > 0 , A > 0 ( C > 0 );
2)
максимум, если D > 0 , A < 0 ( C < 0 );
3)
отсутствие экстремума, если D < 0 .
Пример 3: Исследовать на экстремум следующие функции нескольких
переменных:
2
2
а) z = x − 2 xy − y − 3 x + 2 y ,
2
2
2
б) u = x + y + z − 4 x + 2 y − 5 z .
Решение:
2
2
а) z = x − 2 xy + y − 3 x + 2 y ,
 ∂z
 ∂x = 2 x − 2 y − 3,
 ∂z
 = −2 x − 2 y + 2,
 ∂y
 2 x − 2 y − 3 = 0,

 −2 x − 2 y + 2 = 0,
 −4 y − 1 = 0,

 2 x − 2 y − 3 = 0,
следовательно,
 y = −0, 25,
 x = 1, 25,


 2 x + 0,5 − 3 = 0,  y = −0, 25, Получаем стационарную точку P (1,25; − 0,25 ) .
∂2z
∂2z
∂2 z
B
=
=
−
2
C
=
= −2
A= 2 =2
2
∂
x
∂
y
∂
y
∂x
Найдем вторые производные
,
,
, т.к. A = 2 ,
2
B = −1, C = 2 , то ∆ = AC − B = −4 − 4 = −8 .
Т. к. ∆ = −8 < 0 , то в точке P (1,25; − 0,25 ) функция экстремума не имеет.
2
2
2
б) u = x + y + z − 4 x + 2 y − 5 z ,
 ∂u
 ∂x = 2 x − 4,

 ∂u
 = 2 y + 2,
 2 x − 4 = 0,  x = 2,
 ∂y


 ∂u
2 y + 2 = 0,  y = −1,
 = 2 z − 5,


 ∂z
Получаем,  2 z − 5 = 0,  z = 2,5. Следовательно, стационарная
точка P ( 2; − 1; 2,5 ) . Найдем вторые производные
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
=
2
=2
=2
2
2
∂x 2
, ∂y
, ∂z
,
дифференциал второго порядка
∂ 2u
=0
∂x∂y
,
∂ 2u
=0
∂x∂z
,
d 2u = 2dx 2 + 2dy 2 + 2dz 2 .
∂ 2u
=0
∂y∂z
.
Составим
2
Т. к. d u > 0 , то в точке P ( 2; − 1; 2,5 ) функция достигает своего минимума.
Контрольные вопросы
Понятие функции нескольких переменных
Понятие частных производных
Полный дифференциал функции
Техника дифференцирования
Экстремум функции. Условный экстремум функции
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции
Задание 1. Исследуйте на экстремум следующие функции:
3
2
2
2
а) u = 2 x + xy − 216 x ; б) u = 3x + 6 y − x − xy − y .
Задание 2. В химической реакции участвуют три вещества с
концентрациями x, y, z. Скорость реакции v в любой момент времени выражается
2
законом v = kxy z . Найдите концентрации x, y, z, при которых скорость течения
реакции максимальна.
Ответы
Тема 9. Двойной интеграл
ЛИТЕРАТУРА: (2, гл.7, §7.6; 7, гл.XXIV, § 1, 2, 3, 6)
Определение: Двойным интегралом от непрерывной функции f ( x, y ) ,
определённой в ограниченной замкнутой области S плоскости XOY , называется
предел соответствующей двумерной интегральной суммы
∫∫ f ( x, y )dxdy =
(S )
∑∑ f ( x , y ) ⋅ ∆x ∆y
lim
max ∆xi →0
max ∆xk →0 i
i
k
i
k
k
,
(9.1)
где ∆xi = xi +1 − xi , ∆yk = yk +1 − yk и точки ( xi , yk ) принадлежат области S .
Расстановка пределов интегрирования.
Область интегрирования S ограничена слева и справа прямыми
x = x1 , x = x2 ( x2 > x1 ) , а снизу и сверху непрерывными кривыми y = 1 ( x ) ,
y =  2 ( x ) [2 ( x) ≥ 1 ( x) ] , каждая из которых пересекается с вертикалью x = X
1)
( x1 < X < x2 ) только в одной точке.
В области S переменная x меняется от x1 до x2 ,а переменная y при
постоянном x от y1 = 1 ( x ) до y2 = 2 ( x ) .
Вычисление ведётся путём сведения двойного интеграла к повторному
по формуле
x2
2 ( x )
x1
1( x )
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dx ∫
(S )
f ( x, y )dy
,
(9.2)
2 ( x )
где при вычислении
∫

1
f ( x, y )dy
( x)
величину x полагаем постоянной.
Область интегрирования S сверху и снизу ограничена прямыми
y = y1 и y = y2 ( y2 > y1 ) , а слева и справа непрерывными кривыми x =  2 ( y),
x =  2 ( y ) , каждая из которых пересекается с горизонталью y = Y ( y1 < Y < y2 )
только в одной точке.
2)
y2
Следовательно, имеем:
 2 ( x)
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dy ∫
(S )
y1
1
( x)
f ( x, y )dx
, где при
 2 ( x)
вычислении
∫

1
f ( x, y )dx
величина y считается постоянной.
( x)
Если область интегрирования не относится ни к одному из рассмотренных
случаев, то разбиваем её на части вертикальными или горизонтальными прямыми.
x2
∫∫D y3 dxdy
Пример 1: Вычислить данный интеграл
, где D - область
ограниченная прямыми x = 3 , y = 2 x и гиперболой xy = 3 .
Решение:
Построим указанную область и расставим пределы интегрирования при
 3 
3
x ∈  ;3
y1 =
2

 , переменная y меняется от гиперболы до прямой, т. е.
x , y2 = 2 x .
x2
∫∫D y 3 dxdy =
3
x2
∫ dx ∫3 y3 dy =
3
Следовательно,
2

 1 1
1 1
= ∫ x 2 dx  − ⋅ 2 + ⋅
2 9
3
 2 4x
2
x2

3
 x x5 
− + 
 8 90 
= 2,325 +
3
3
2
2x
x

1
∫ x dx  − 2 y 2
3

2
3
2x
2
3
x

=



 3  1 x4 
 = ∫  − +  dx =
 3  8 18 
 2
5

 3 


 
 3 35   1 3  2  
= − +  −− ⋅
+
=
90 
 8 90   8 2




1 3 1 3
3
−
= 2,325 − 0,1
8 2 40 2
2.
Пример 2. Вычислить данный интеграл
ограниченная прямыми y=x, y=0,
y=

2.
∫∫ x ⋅ cos( x + y)dxdy
D
, где D – область
Решение:
Построим указанную область и расставим пределы
 
x ∈  0; 
 2  , переменная y меняется от прямой до прямой, т. е.
интегрирования при
y1 = 0 , y2 = x .
Следовательно,


2
x
0
0
2
(
)
∫∫ x ⋅ cos( x + y)dxdy = ∫ dx ∫ x ⋅ cos( x + y)dy = ∫ xdx sin( x + y) 0 =
D


2
2
0
0
0
x
= ∫ xdx(sin 2 x − sin x) = ∫ x(sin 2 x − sin x) dx =
u = x, du = dx



=
=
cos 2 x
dv
=
(sin
2
x
−
sin
x
)
dx
,
v
=
−
+
cos
x


2


2
2
cos 2 x
cos 2 x
= x(−
+ cos x) − ∫ (−
+ cos x)dx =
2
2
0
0


2
cos 

cos0
sin 2 x
= (−
+ cos − (−
+ cos0)) + (
− sin x) =
2
2
2
2
4
0
=

2
(0,5 + 0 + 0,5 − 1) + (
sin 

sin 0
− sin ) − (
− sin 0) = −1
4
2
4
Контрольные вопросы
Двойной интеграл функции f ( x, y ) на области S
Свойства двойного интеграла
Сведение двойного интеграла к повторному
Геометрические приложения двойного интеграла
Задание 1. Вычислить следующие двойные интегралы:
∫∫ x y dxdy, D : x
3
а)
2
D
2
+ y2 ≤ R2
;
б)
∫∫ ( x
2
+ y 2 ) dxdy , D : y = x 2 , y 2 = x
;
D
Задание 2. Найти двойным интегрированием площади указанных областей:
а)
области, ограниченной прямыми x=0, y=0, x+y=1;
b2
b
y = x
y= x
a и прямой
a .
области, заключенной между параболой
2
б)
Ответы
Тема 10. Ряды
ЛИТЕРАТУРА: ( 2, гл.8; 7, гл.XXI)
∞
Числовой ряд
a1 + a2 + ... + an + ... = ∑ an
n =1
(10.1)
называется сходящимся, если существует конечный предел
(сумма ряда), где S n = a1 + a2 + ... + an .
lim S n = S
n →∞
В противном случае ряд (10.1) называется расходящимся.
Признаки сходимости числовых рядов.
1.
Признак сравнения 1. Пусть, кроме ряда (10.1), имеем ряд
b1 + b2 + ... + bn + ...
(10.2).
Если при n ≥ n0 выполнено неравенство 0 ≤ an ≤ bn , то
а) из сходимости ряда (10.2) следует сходимость ряда (10.1);
б) из расходимости ряда (10.1) следует расходимость ряда (10.2).
В частности, если an ~ bn при n → ∞ , то ряды со знакоположительными
членами (10.1) и (10.2) сходятся или расходятся одновременно.
 1 
an = O∗  p 
 n  , то
2. Признак сравнения 2. Если
а) при p > 1 ряд (10.1) сходится;
б) при p ≤ 1 расходится.
an+1
=q
3. Признак Даламбера. Если an > 0 ( n = 1, 2...) и n→∞ an
, то
lim
а) при q < 1 ряд (10.1) сходится;
б) при q > 1 расходится.
lim n a = q
4. Радикальный признак Коши. Если an > 0 ( n = 1, 2...) и n→∞ n
, то
а) при q < 1 ряд (10.1) сходится;
б) при q > 1 расходится.
5. Интегральный признак Коши. Если f ( x) - неотрицательная
∞
невозрастающая непрерывная функция, то ряд
∑ f ( n)
n =1
сходится или расходится
∞
одновременно с интегралом
∫ f ( x)dx
1
.
Пример 1. Доказать непосредственно сходимость ряда и найти его сумму
1
1
1
+
+ ... +
+ ...
1⋅ 2 2 ⋅ 3
n(n + 1)
.Решение: Разложим члены ряда по формуле
1
1  1
1 
=
−


(n − a )(n − b) a − b  n − a n − b  .
Получаем
1
1
1
1
1 1 1 1 1 1
1
1 1
1
+
+
+ ... +
= − + − + − + ... +
− + −
=
1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4
n(n + 1) 1 2 2 3 3 4
n −1 n n n +1
1
1
1
=1−
Sn = 1 −
,
S = lim Sn = lim(1 −
) =1
n→∞
n→∞
n +1.
n + 1 тогда
n +1
.
Следовательно, ряд сходится.
Пример 2. Исследовать сходимость рядов
1 1 1
1
1 + + + + ... +
+ ...
3 5 7
2n − 1
а)
;
1000 10002 10003
1000n
+
+
+ ... +
+ ...
1!
2!
3!
n
!
б)
.
1
1 1 1
1
an = O ∗  1 
1 + + + + ... +
+ ...
 n  или можно
3 5 7
2n − 1
Решение: а) Ряд
, где
∞
1
1
1
an =
∑
2n − 1 ~ n (ряд n =1 n называется гармоническим, он всегда
сказать, что
расходится), является расходящимся, т.к. p = 1 по признаку сравнения.
1000n
1000n+1
an =
, an+1 =
n!
(n + 1)! ,
б) По признаку Даламбера
an+1
1000n+1
n!
1000 ⋅ n!
1000
lim
= lim
⋅
=
lim
=
lim
=0
n
тогда n→∞ an n→∞ (n + 1)! 1000 n→∞ n!⋅ (n + 1) n→∞ n + 1
. Т.к. q = 0 < 1, то ряд
сходится.
∞
Абсолютная сходимость ряда. Ряд
∑a
n =1
n
(10.1) называется абсолютно
∞
∑a
n
сходящимся, если сходится ряд n=1
(10.3). В этом случае ряд (10.1) также
сходится. Для определения абсолютной сходимости ряда (10.1) достаточно
применить к ряду (10.3) известные признаки сходимости знакопостоянных рядов.
Если ряд (10.1) сходится, а ряд (10.3) расходится, то ряд (10.1) называется условно
сходящимся.
Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд
b1 − b2 + b3 − b4 + ... + ( −1) n −1 bn + ... (bn ≥ 0) сходится (вообще говоря, не
lim bn = 0
b ≥ b (n = 1, 2...)
абсолютно), если а).
n
n+1
, б). n→∞
.
Пример 3. Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующие
ряды:
1
1
1
1
1 − 3 + ... + (−1)n+1
+ ...
1 − + ... + ( −1) n+1
+ ...
(2n − 1)3
3
2n − 1
а).
, б). 3
.Решение: а). Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных
1
1
1 + + ... +
+ ...
2n − 1
величин: 3
- данный ряд является гармоническим и,
1 1
1
1 > > > ... lim
=0
3 5
следовательно, расходится. По признаку Лейбница:
; n→∞ 2n − 1
.
Значит, ряд сходится условно.
б). Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин:
1
1
1
1
1 + 3 + ... +
+ ...
 3
3
3
3
(2n − 1)
n , степень p = 3 > 1 ,
. По признаку сравнения (2n − 1)
следоваетльно, ряд сходится. Исходный ряд сходится абсолютно.
Контрольные вопросы
Понятие ряда
Сумма ряда
Сходимость ряда
Признаки сходимости
Знакопеременные ряды
Абсолютная, условная сходимость. Признак
Лейбница
Степенные ряды
Функциональные ряды
∞
5n + 4
3
−3 .
∑ 2n
Задание 1. Указать сходится ли данный ряд или нет: n = 2
5n − 4
n
Задание 2. Указать сходится ли данный ряд или нет: n =1 3 .
∞
∑
∞
4n − 3
2
+5.
∑ 6n
Задание 3. Указать сходится ли данный ряд или нет: n =1
Задание 4. Исследуйте на абсолютную и условную сходимость ряды:
( −1) n
∑
а) n=2 ln n ; б)
∞
∞
г)
(−1)
Ответы
∑ (−1)n−1
n =1
n −1
∑ 100n + 1
n =1
∞
∞
;
д)
∑ (−1)
n =1
∞
n3
2n ;
в)
n −1
∑ (−1)
n =1
(n + 1)
2n 2 + 1 ;
2
n +1
n
2n + 1 ;
n ( n −1)
2
( −1)
2n
е) n =1
∞
∑
.
Тема 11. Дифференциальные уравнения первого порядка
ЛИТЕРАТУРА: ( 2, гл.9, § 9.1, 9.2; 7, гл.XXII, § 1-5; 8, гл.1, § 1, гл.2, § 1, 59, 12)
В различных областях науки часто встречаются задачи, для решения
которых требуется решить одно или несколько уравнений, содержащих
производные искомых функций. Такие уравнения называются
дифференциальными.
Определение 1. Дифференциальным уравнением называется соотношение
F ( x, y , y′, y′′,... y ) = 0 , (11.1), связывающее независимую переменную x ,
искомую функцию y = f ( x) и ее производные. Если искомая функция есть
функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение
называется обыкновенным. Порядок старшей производной, входящей в
дифференциальное уравнение, называют порядком данного уравнения:
(n)
Определение 2. Всякая функция y = y ( x) , которая при ее подстановке в ДУ
(11.1) обращает его в тождество, называется решением этого уравнения, а график
этой функции называется интегральной кривой.
Определение 3. Решение ДУ y =  ( x, C 1 ,..., Cn ) , содержащее n
произвольных постоянных C 1 ,..., Cn , будем называть общим, если путем выбора
этих постоянных можно получить решение, удовлетворяющее любым начальным
условиям.
Определение 4. Решение ДУ получающееся из общего при некотором
конкретном выборе произвольных постоянных C 1 ,..., Cn называется частным.
Тип ДУ 1-го порядка
Уравнения с
разделяющимися
переменными
Вид ДУ
y′ = f ( x) ⋅ g ( y)
M 1 ( x) ⋅ N1 ( y )dx +
+ M 2 ( x) ⋅ N 2 ( y )dy =
=0
Способ решения
dy
∫ g ( y) = ∫ f ( x)dx
N2 ( y)
∫ N1 ( y) dy =
= −∫
Однородные
уравнения
 y
y′ = f  
x
M 1 ( x)
dx
M 2 ( x)
Замена y = tx, y′ = t′ ⋅ x + t
y′ + a( x) ⋅ y = b( x)
Линейное уравнение
1-го порядка
Сначала решаем
однородное уравнение
y′ + a( x) ⋅ y = 0 как
уравнение с
разделяющимися
переменными, затем
находим решение
− a ( x ) dx
y = C ( x) ⋅ e ∫
методом вариации
произвольной постоянной
Уравнение Бернулли
Уравнение в полных
дифференциалах
y′ + a ( x ) ⋅ y = b ( x ) ⋅ y ,
n ≠1
1
=z
n −1
y
Замена
M ( x, y ) dx + N ( x, y )dy =
∂M ∂N
≡
∂x , то
Если ∂y
n
=0
M ( x, y )dx +
+ N ( x, y )dy = dF ( x, y )
тогда F ( x, y ) = C
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение 1-го порядка
y′ − xy 2 = 2 xy .
Решение. Преобразуем данное уравнение:
y′ = 2 xy + y ,
2
y′ =
y′ = x(2 y + y ) , т.к.
2
dy
= x(2 y + y 2 ),
dx
dy
= xdx
2 y + y2
,
dy
∫ 2 y + y 2 = ∫ xdx,
dy
∫ y( y + 2) = ∫ xdx,
1 1
1 
 −
dy = ∫ xdx,
∫
2  y y+2
1
dy
dx , то получаем
1 
∫  y − y + 2 dy = 2∫ xdx
После интегрирования получаем:
y
= x2 + C,
y+2
ln y − ln y + 2 = x 2 + C , ln
2
y
= C ⋅ ex
y+2
.
2
y
= C ⋅ ex
y+2
.
ln y −
Ответ:
Пример 2. Найти решение дифференциального уравнения 1-го порядка,
удовлетворяющее начальному условию
( x + 2 y ) y′ = 1,
y (1) = −1 .
Решение: Сделаем замену
x + 2 y = z,
y=
z−x
,
2
y′ =
1
1
z′ −
2
2 . Получаем
1
1
1
1
z ⋅ ( z′ − ) = 1, z ⋅ ⋅ z′ − z = 1,
2
2
2
2
1
1
z ⋅ z′ = 1 + z
2
2 , умножим последнее
dz
z′ =
dx , то
равенство на 2, получим z ⋅ z′ = 2 + z , т.к.
z⋅
∫
z ⋅ dz
= dx,
z+2
dz
= 2 + z,
dx
( z + 2 − 2 ) ⋅ dz =
z+2
z ⋅ dz
∫ z + 2 = ∫ dx,
z+2
2 
∫ dx, ∫  z + 2 − z + 2 dz = ∫ dx,
2 

1
−

∫  z + 2 dz = ∫ dx,
z − 2ln z + 2 = x + C
.
Подставляя z = x + 2 y , получаем x + 2 y − 2ln x + 2 y + 2 x + C ,
2 y − 2ln x + 2 y + 2 = C . Используем начальное условие
y (1) = −1, 2 ⋅ (−1) − 2ln 1 + 2 ⋅ (−1) + 2 = C , − 2 − 2ln1 = C , C = −2.
Ответ: 2 y − 2ln x + 2 y + 2 = −2 .
Пример 3. Решить дифференциальное уравнение 1-го порядка
y
x
x ⋅ y′ = y − x ⋅ e .
Решение: Преобразуем уравнение следующим образом: т.к. x ≠ 0 , то
разделим все уравнение на x
y
y
x
−e
x
(1).
y′ =
Получаем однородное уравнение, сделав замену
y
= z,
x
y = z ⋅ x,
y′ = z ′ ⋅ x + z
и подставив в уравнение (1), имеем
z ′ ⋅ x + z = z − e z , z ′ ⋅ x = −e z ,
dz
⋅ x = −e z ,
dx
dz
= − xdx
ez
,
y
−
x2
x2
x2
−z
x
e
dz
=
−
xdx
,
−
e
=
−
+
C
,
e
=
+
C
,
e
=
+C
∫
∫
2
2
2
.
−z
Ответ:
−z
e
−
y
x
=
x2
+C
2
.
Пример 4. Решить дифференциальное уравнение 1-го порядка
x 2 y′ + xy + 1 = 0 .
y 1
−
x x 2 , получили
Решение: Преобразуем уравнение
линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Решим сначала однородное
y
y′ = −
x , как уравнение с разделяющимися переменными
уравнение:
dy
y dy
dx
dy
dx
=− ,
= − , ∫ = −∫ ,
dx
x
y
x
y
x
x 2 y′ = − xy − 1,
C
x . Далее решаем неоднородное
уравнение методом вариации произвольной постоянной. Пусть C = C ( x) , тогда
ln y = − ln x + ln C , ln y = ln
y=
C ( x)
,
x
y′ =
C
,
x
y′ = −
y=
C′ ⋅ x − C ⋅1
x2
. Подставляем в исходное уравнение:
C
 C′ ⋅ x − C 
x2 
+
x
⋅
+ 1 = 0, C ′ ⋅ x − C + C + 1 = 0, C ′ ⋅ x + 1 = 0

2
x
x


,
1
C ′ ⋅ x = −1, C ′ = − ,
x
dC
1
dx
= − , dC = − ,
dx
x
x
∫ dC = − ∫
dx
x ,
C = − ln x + C1 , тогда
Ответ:
y=
y=
C1 − ln x
x
.
C1 − ln x
x
.
Пример 5. В сосуд, содержащий 20 литров воды, непрерывно поступает со
скоростью 3 литра в минуту раствор, в каждом литре которого содержится 0,4 кг
соли. Поступающий в сосуд раствор перемешивается с водой, и смесь вытекает из
сосуда с той же скоростью. Сколько соли будет в сосуде через 15 минут?
Решение. Примем за независимое переменное время t , а за искомую
функцию y (t ) - количество соли в сосуде через t минут после начала опыта.
Найдем, на сколько изменится количество соли за промежуток времени от
момента t до момента t + ∆t . В одну минуту поступает 3 л раствора, а в ∆t минут
- 3∆t литров; в этих 3∆t содержится 0,4 ⋅ 3∆t = 1,2∆t кг соли. С другой стороны,
за время ∆t из сосуда вытекает 3∆t литров раствора. В момент t во всем сосуде
(20 л) содержится y (t ) кг соли, следовательно, в 3∆t литрах вытекающего
3
∆t ⋅ y (t )
раствора содержалось бы 20
кг соли, если за время ∆t содержание соли в
сосуде не менялось. Но так как оно за это время меняется на величину,
бесконечно малую при ∆t → 0 , то в вытекающих 3∆t литрах содержится
3
∆t ⋅ ( y (t ) +  )
20
кг соли, где  → 0 при ∆t → 0 .
Итак, в растворе, втекающем за промежуток времени (t , t + ∆t ) содержится
3
∆t ⋅ ( y (t ) +  )
1,2∆t кг соли, а в вытекающем - 20
кг. Приращение количества соли
за это время y (t + ∆t ) − y (t ) равно разности найденных величин, т.е.
y (t + ∆t ) − y (t ) = 1,2∆t −
3
∆t ⋅ ( y (t ) +  )
20
.
Разделим на ∆t и перейдем к пределу при ∆t → 0 . В левой части получится
3
1,2 −
y (t )
′
20
производная y (t ) , а в правой получим
. Итак, имеем
3
y′(t ) = 1,2 −
y (t )
20
дифференциальное уравнение
. Решим это уравнение:
dy
dy
= 1,2 − 0,15 y (t ),
= dt ,
dt
1,2 − 0,15 y
dy
∫ 1,2 − 0,15 y = ∫ dt ,
−
1
ln 1,2 − 0,15 y = t + C , ln 1,2 − 0,15 y = −0,15t + C
0,15
,
1, 2 − 0,15 y = C ⋅ e
y = 8−C ⋅e
−0,15 t
−0,15 t
, 0,15 y = 1, 2 − C ⋅ e
−0,15 t
,
(2).
Т.к. при t = 0 соли в сосуде не было, то y (0) = 0 . Полагая в (2) t = 0 , найдем
−0,15 t
y (0) = 8 − C ; C = 8 . Подставляя в (2), получим y (t ) = 8 − 8 ⋅ e
. При t = 15 мин в
сосуде будет
y (15) = 8 − 8 ⋅ e
−0,15⋅0,15
Ответ: 7,16 кг соли.
= 8 −8⋅e
−2,25
≈ 7,16 кг соли.
Контрольные вопросы
Общий вид дифференциального уравнения n -го порядка
Общее решение (общий интеграл)
Начальные условия
Частное решение
Дифференциальные уравнения первого порядка
Основные типы
Уравнения с
разделяющимися переменными
Однородные
уравнения
Линейные
уравнения
dy dx
= 2
Задание 1. Общий интеграл дифференциального уравнения y x имеет
вид…?
Задание 2. Укажите дифференциальные уравнения первого порядка
y
= y ′′
г). x
Задание 3. Общий интеграл дифференциального уравнения ydy = dx имеет
а). (3 x − 1) y = y ′′
б). (3 x − 1) y = y ′
2
в). 2 y′y = x
вид…?
Задание 4. Укажите дифференциальные уравнения первого порядка
а). (4 x + 2) y ′ = y
б). 2xy′ = y в). 2 xy ′′ = 1
2
Задание 5. Решите ДУ: а) y′ = e
Ответы
x+ y
; б)
2
=x
г). y′′
y′ =
y y
ln
x x.
Тема 12. Линейные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами
ЛИТЕРАТУРА: ( 2, гл.9, § 9.4, 9.5; 7, гл. XXII, § 7, 11, 12, 13; 8, гл.3, § 1, 2,
5-9)
Чтобы решить линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го
порядка с постоянными коэффициентами
a0 y′′ + a1 y′ + a2 y = 0
(12.1)
надо составить характеристическое уравнение
a0 2 + a1 + a2 = 0
(12.2). В зависимости от корней 1,2 , найденных как
корни квадратного уравнения, получаем частные и общее решение линейного
однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными
коэффициентами.
Корни
Частные решения
Общее решение
1 ≠ 2 , действительные
различные
y1 = C1 ⋅ e1x ,
Y = C1 ⋅ e1x + C2 ⋅ e2 x
1 = 2 , действительные
кратные
y1 = C1 ⋅ e1x ,
1 =  +  ⋅ i 2 =  −  ⋅ i
мнимые комплексно
сопряженные
y2 = C2 ⋅ e2 x
Y = C1 ⋅ e1x + C2 ⋅ x ⋅ e1x
y2 = C2 ⋅ x ⋅ e1x
y1 = C1 ⋅ e x ⋅ cos  x,
Y = C1 ⋅ e x ⋅ cos  x +
y2 = C2 ⋅ e x ⋅ sin  x
+C2 ⋅ e x ⋅ sin  x
При решении неоднородного уравнения
a0 y′′ + a1 y′ + a2 y = f ( x )
(12.3),
сначала решаем однородное уравнение, затем ищем частное решение
неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов в
зависимости от вида правой части f ( x) :
x
m
а). Если f ( x) = Pm ( x) ⋅ e , где Pm ( x) = b0 + b1 x + ... + bm x , то частное решение
ищем в виде
y = x s ⋅ Qm ( x) ⋅ e x , где Qm ( x ) - многочлен той же степени m ; s = 0 , если  не корень характеристического уравнения (12.2), если же  - корень, то s равно
кратности этого корня.
x
б). Если f ( x) = e ( P( x)cos  x + Q( x)sin  x) , то частное решение ищем в
виде
y = x s ⋅ e x ( Rm ( x)cos  x + Tm ( x)sin  x) , где s = 0 , если  +  ⋅ i - не корень
характеристического уравнения; s равно кратности корня  +  ⋅ i в противном
случае; Rm ,Tm - многочлены степени m , равной наибольшей из степеней
многочленов P и Q .
в). Если правая часть равна сумме нескольких функций f ( x ) = f1 ( x ) + f 2 ( x ) ,
то частное решение неоднородного уравнения равно сумме частных решений
уравнений с той же левой частью и правыми частями f1 , f 2 .
Общее решение линейного неоднородного уравнения во всех случаях равно
сумме частного решения этого уравнения и общего решения однородного
уравнения с той же левой частью.
Примеры. Решить дифференциальные уравнения 2-го порядка:
1. y′′ + 4 y′ + 3 y = 0 ; 2. y′′ − 2 y′ + y = 0 ;
−4 x
x
3. y′′ + 2 y′ + 10 y = 0 ; 4. y′′ + 3 y′ − 4 y = e + x ⋅ e .
Решение.
1.
Составим характеристическое уравнение для дифференциального
уравнения y′′ + 4 y′ + 3 y = 0 , получаем
 + 4 + 3 = 0 . Найдем корни этого уравнения
−4 ± 2
D = 16 − 12 = 4, 1,2 =
= −3; −1
2
. Т.к. корни различные, действительные, то
получаем общее решение
2
Y = C1 ⋅ e
−3 x
−x
+ C2 ⋅ e .
Ответ: Y = C1 ⋅ e
−3 x
−x
+ C2 ⋅ e .
2.
Составим характеристическое уравнение для дифференциального
2
2
уравнения y′′ − 2 y′ + y = 0 , получаем  − 2 + 1 = 0, ( − 1) = 0, 1,2 = 1 . Т.к.
x
x
корни кратные действительные, то получаем общее решение Y = C1 ⋅ e + C2 ⋅ x ⋅ e .
Ответ: Y = C1 ⋅ e + C2 ⋅ x ⋅ e .
x
x
3.
Составим характеристическое уравнение для дифференциального
уравнения y′′ + 2 y′ + 10 y = 0 , получаем
 + 2 + 10 = 0 . Найдем корни этого уравнения
2
−2 ± 6 ⋅ i
= −1 ± 3 ⋅ i
2
. Т.к. корни комплексно
−x
сопряженные, то получаем общее решение Y = e (C1 cos3 x + C2 sin 3 x ) .
D = 4 − 40 = −36, 1,2 =
−x
Ответ: Y = e (C1 cos3 x + C2 sin 3 x ) .
4.
Рассмотрим однородное уравнение y′′ + 3 y′ − 4 y = 0 и составим для
него характеристическое уравнение
 + 3 − 4 = 0 . Найдем корни этого уравнения
−3 ± 5
D = 9 + 16 = 25, 1,2 =
= −4;1
2
. Т.к. корни различные действительные , то
2
получаем общее решение Y = C1e
−4 x
−4 x
+ C2 e .
x
Правая часть f ( x ) = e + x ⋅ e является суммой двух функций
−4 x
x
f1 ( x ) = e , f 2 ( x ) = x ⋅ e , то частное решение неоднородного уравнения будем
искать в виде суммы двух решений.
x
−4 x
Для f1 ( x ) = e  = −4 является корнем уравнения кратности 1,
следовательно ищем решение в виде
y1 ( x ) = ( a1 x + b1 ) ⋅ x ⋅ e
−4 x
= ( a1 x + b1 x ) ⋅ e
2
−4 x
.
x
−x
Для f 2 ( x ) = x ⋅ e ищем решение в виде y 2 ( x ) = ( a2 x + b2 ) ⋅ e .
Тогда y ( x ) = ( a1 x + b1 x ) ⋅ e
первую и вторую производные
2
−4 x
−x
+ ( a2 x + b2 ) ⋅ e . Найдем для данного решения
y ′ = (2a1 x + b1 ) ⋅ e
=e
−4 x
−4 x
+ (a1 x + b1 x) ⋅ (−4e
2
−4 x
−x
−x
) + a2 ⋅ e + (a2 x + b2 ) ⋅ e ⋅ (−1) =
−x
⋅ (2a1 x + b1 − 4a1 x − 4b1 x) + e ⋅ (a2 − a2 x − b2 )
2
y ′′ = −4e
−4 x
⋅ (2a1 x + b1 − 4a1 x − 4b1 x) + e
2
−x
−4 x
⋅ (2a1 − 8a1 x − 4b1 ) −
−x
−e ⋅ (a2 − a2 x − b2 ) + e ⋅ (−a2 ) =
=e
−4 x
−x
⋅ (−16a1 x − 8b1 + 16a1 x + 16b1 x + 2a1 ) + e ⋅ (−2a2 + a2 x + b2 )
2
Подставляем производные и функцию y ′′, y ′, y в неоднородное уравнение,
получаем
e
−4 x
2
+3 ⋅ e
−4 x
⋅ (2a1 x + b1 − 4a1 x − 4b1 x) + 3 ⋅ e ⋅ (a2 − a2 x − b2 ) −
−4 x
⋅ (a1 x + b1 x) − 4 ⋅ e ⋅ (a2 x + b2 ) = e
−4 ⋅ e
e
−4 x
−x
⋅ (−16a1 x − 8b1 + 16a1 x + 16b1 x + 2a1 ) + e ⋅ (−2a2 + a2 x + b2 ) +
−x
2
−x
2
−4 x
+ x⋅e
−x
⋅ (−16a1 x − 8b1 + 16a1 x + 16b1 x + 2a1 + 6a1 x +
2
+3b1 − 12a1 x − 12b1 x − 4a1 x − 4b1 x) +
2
−x
2
+e ⋅ (−2a2 + a2 x + b2 a1 x + b1 x + 3a2 − 3a2 x − 3b2 − 4a2 x − 4b2 ) =
=e
e
−4 x
−4 x
=e
2
+ x⋅e
−x
−x
⋅ ( −10a1 x + 2a1 − 5b1 ) + e ⋅ ( a2 − 6a2 x − 6b2 ) =
−4 x
+ x⋅e
−x
Приравнивая коэффициенты левой и правой частей, получаем
 −10a1 x + 2a1 − 5b1 = 1

 −6a2 x + a2 − 6b2 = x ;
a1 = 0,
 −10a1 = 0,
 2a − 5b = 1,
 1
1

 −6a2 = 1,
 a2 − 6b2 = 0
1
b1 = − ,
5
1
a2 = − ,
6
1
b2 = −
36
Подставляя найденные коэффициенты получаем окончательное решение
Yo = C1 ⋅ e
−4 x
1
1
1
x
−4 x
−x
+ C2 ⋅ e − ⋅ x ⋅ e − ( ⋅ x + ) ⋅ e
5
6
36
.
Ответ:
Yo = C1 ⋅ e
−4 x
1
1
1
x
−4 x
−x
+ C2 ⋅ e − ⋅ x ⋅ e − ( ⋅ x + ) ⋅ e
5
6
36
Контрольные вопросы
Дифференциальные уравнения второго порядка
Однородное уравнение второго порядка
Характеристическое уравнение
Корни
характеристического
уравнения
Общее
решение
Неоднородное уравнение второго порядка
Частное решение в зависимости от вида правой
части
Задание 1. Укажите решение, соответствующее дифференциальному
уравнению 2-го порядка:
1) 4 y ′′ − 8 y ′ + 3 y = 0
3x
а) y = C1 + C2 e
2) y ′′ − 3 y ′ = 0
x
б) y = e (C1 sin 6 x + C2 cos 6 x)
3) y ′′ = 2 y ′ + 10 y = 0
3x
в) y = e (C1 sin 2 x + C2 cos 2 x )
1
x
3
2
2
г) y = C1e + C2e
x
4) y ′′ − 6 y ′ + 13 y = 0
Задание 2. Укажите решение, соответствующее дифференциальному
уравнению 2-го порядка:
1) y ′′ + 4 y ′ + 20 y = 0
2) y′′−3y′−10y=0
5x
−2 x
а) y = C1e + C2 e
4x
−4 x
б) y = C1e + C2 e
3) y ′′ − 16 y = 0
−3 x
x
в) y = C1e + C2 e
4) y ′′ + 2 y ′ − 3 y = 0
−2 x
г) y = e (C1 sin 4 x + C2 cos 4 x)
Задание 3. Решите ДУ 2-го порядка:
а) y′′ − 2 y′ + y = 2 x − 4 , удовлетворяющее начальным условиям
y (0) = 0, y′(0) = 2 ;
б) y′′ + 100 y = cos10 x . Ответы.
Тема 13. Элементы теории вероятности
ЛИТЕРАТУРА: (2, часть 2; 7, гл.XXV; 10, гл.1, 2)
Опыт, эксперимент, наблюдение явления называются испытанием, а
результат, исход испытания называется событием (бросание монеты – испытание,
а выпадение герба или решки – событие). Обозначение события: A, B, C , D... .
Определение 1. Два события называются совместимыми, если появление
одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.
Определение 2. Два события называются несовместимыми, если появление
одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.
Например, при однократном бросании игральной кости: совместимые
события – появление четырех очков и появление четного числа очков;
несовместимые – появление четырех очков и появление нечетного числа очков.
Определение 3. Два события называются противоположными, если в
данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит.
Обозначение: A - событие, A - противоположное событие.
Определение 4. Событие называется достоверным, если в данном
испытании оно является единственно возможным его исходом, и невозможным,
если в данном испытании оно заведомо не может произойти.
Например, в урне все черные шары. Вынуть черный шар – достоверное
событие, вынуть белый шар – невозможное.
Определение 5. Событие называется случайным, если оно объективно
может наступить или не наступить в данном испытании.
Определение 6. Совокупность событий образует полную группу событий
для данного испытания, если его результатом обязательно становится хотя бы
одно из них.
Определение 7. События A1 , A2 , A3 ,... An , образующие полную группу
попарно несовместимых и равновозможных событий называются элементарными
событиями.
Определение 8. Событие A называют благоприятствующим событию B ,
если наступление события A влечет за собой наступление события B .
Классическое определение вероятности.
Вероятностью P ( A) события
m
A называют отношение n числа элементарных событий m ,
m
P( A) =
n
благоприятствующих событию A , к числу всех элементарных событий:
(13.1).
Пример 1. На игральной кости - выпадение четного числа очков. Всего
3 1
P( A) = =
6 2.
событий n = 6 , благоприятствующих m = 3 , следовательно,
Свойства вероятности.
1.
Вероятность достоверного события равна 1.
2.
Вероятность невозможного события равна 0.
3.
Вероятность случайного события есть положительное число,
заключенное между нулем и единицей.
Теоремы сложения и умножения вероятностей.
• Суммой событий A и B Называют событие C = A + B , состоящее в
наступлении, по крайней мере, одного из событий A или B .
• Произведением событий A и B называют событие D = A ⋅ B состоящее в
том, что в результате испытания произошло и событие A , и событие B .
Пример 2. Посадили два саженца. Событие A - принялся первый саженец,
событие B - принялся второй. Тогда событие C = A + B - принялся по крайней
мере один саженец; событие D = A ⋅ B - принялись оба.
Теорема. Вероятность суммы двух несовместимых событий A и B равна
сумме вероятностей этих событий: P( A + B) = P( A) + P( B) (13.2).
Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий A и A равна
единице P ( A) + P ( A) = 1
(13.3).
Пример 3. В коробке 5 красных, 10 белых и 10 черных шаров. Какова
вероятность вынуть из коробки цветной шар?
Решение. Всего шаров 5+10+10=25. Вероятность вынуть красный
5 1
10 2
P( A) =
=
P( B) =
=
25 5 , вероятность вынуть черный
25 5 . Тогда,
1 2 3
P( A + B) = P( A) + P( B) = + =
5 5 5.
Определение 9. Два события A и B называют независимыми, если
вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое
событие или нет. В противном случае события A и B называют зависимыми.
Определение 10. Пусть A и B - зависимые события. Условной
вероятностью PA ( B ) события B называют вероятность события B , найденную в
предположении, что событие A уже наступило. Если A и B независимы, то
PA ( B ) = P ( B ) .
Пример 4. В коробке несколько кубиков и шариков. Если вынутый предмет
возвращают, то события независимые; если не возвращают, то зависимые. Пусть в
коробке 5 кубиков и 8 шариков.
Решение. Событие A - достали кубик,
5
P( B) =
13 .
после возвращения,
P( A) =
5
13 ; событие B достали кубик
Если событие B - достали кубик, не возвращая первый, то
P( B) =
4 1
=
12 3 .
Если в событии A достали шарик, а событие B - достали кубик, не
5
P( B) =
12 .
возвращая шарик, то
Если событие B вынули кубик, в предположении, что в событии A 4 1
PA ( B) = =
12 3 .
вынули кубик (не возвращая), то условная вероятность
Теорема. Вероятность произведения двух зависимых событий A и B равна
произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого,
найденную в предположении, что первое событие уже наступило:
P ( A ⋅ B ) = P ( A) ⋅ PA ( B ) (13.4)
или P ( B ⋅ A) = P ( B ) ⋅ PB ( A)
(13.5).
Теорема. Вероятность произведения двух независимых событий A и B
равна произведению вероятностей этих событий: P( A ⋅ B) = P( A) ⋅ P( B) (13.6).
Теорема. Вероятность суммы двух совместимых событий A и B равна
сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:
P( A + B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ⋅ B ) (13.7).
Замечание. Если события A и B несовместимы, то их произведение
невозможное событие, следовательно, P( A ⋅ B) = 0 , т.е. формула (13.2) является
частным случаем формулы (13.7).
Пример 5. Среди телят имеется 80% здоровых. Выбираем двух телят.
Определить вероятность того, что среди них хотя бы один окажется здоровым.
Решение. Событие A1 - первый теленок здоров, следовательно, P ( A1 ) = 0,8 .
Событие A2 - второй теленок здоров, следовательно, P ( A2 ) = 0,8 .
Событие A1 + A2 - хотя бы один здоров. Т.к. A1 и A2 - совместимые, то по
формуле (13.7)
P ( A1 + A2 ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) − P ( A1 ⋅ A2 ) = 0,8 + 0,8 − 0,8 ⋅ 0,8 = 1,6 − 0,64 = 0,96
Теорема. Вероятность события A , которое может наступить лишь при
условии появления одного из n попарно несовместимых событий B1 , B2 ,...Bn ,
образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого их
этих событий на соответствующую условную вероятность события A :
P( A) = P( B1 ) ⋅ PB1 ( A) + P( B2 ) ⋅ PB2 ( A) + ... + P ( Bn ) ⋅ PBn ( A)
(13.8) – формула
полной вероятности.
Пример 6. Для экзамена подготовлено 40 задач: 20 задач по
дифференциальному исчислению, 10 задач по интегральному исчислению и 10
задач по кратным интегралам. Для сдачи экзамена надо решить первую
доставшуюся задачу. Какова вероятность сдать экзамен, если студент умеет
решать 15 задач по дифференциальному исчислению, 5 – по интегральному и 5 –
по кратным интегралам.
Решение. Вероятность получить задачу по дифференциальному
20 1
10 1
P( B1 ) =
=
P ( B2 ) =
=
40 2 , по интегральному исчислению
40 4 , по
исчислению
10 1
P ( B3 ) =
=
40 4 .
кратным интегралам
15 3
=
20 4 ,
Событие A означает, что задача решена, т.е.
5 1
1 3 1 1 1 1 5
PB2 ( A) = =
P( A) = ⋅ + ⋅ + ⋅ =
10 2 . Тогда по формуле (13.8):
2 4 4 2 4 2 8.
PB1 ( A) =
Формула Бернулли.
Пусть производится n испытаний, причем вероятность появления события
A в каждом испытании равна p и не зависит от исхода других испытаний (т.е.
испытания независимы). Вероятность ненаступления события q = 1 − p .
Вероятность того, что при n испытаниях событие A наступит m раз (m<n)
m
m
n−m
находится по формуле Бернулли Pn ( m ) = Cn ⋅ p ⋅ q
(13.9), где
n!
m
Cn =
m!(n − m)! (13.10).
Рассмотрим n независимых испытаний в каждом из которых наступает
событие A с вероятностью p , x - величина, равная числу появлений события A в
n испытаниях, т.е. x = 0,1,2,...n − 1, n . Тогда по формуле Бернулли Pn (0) = q ,
1
n −1
n
Pn (1) = Cn ⋅ q ⋅ p ,… Pn ( n) = p
n
x
0
1
p
q
n
2
1
Cn pq
n −1
m
2
2
Cn p q
n−2
m
m
Cn p q
n−m
…
n
…
p
n
- закон биноминального распределения.
Вероятность того, что событие наступит
•
менее m раз: Pn (0) + Pn (1) + ... + Pn ( m − 1) ;
•
более m раз: Pn ( m + 1) + Pn ( m + 2) + ... + Pn ( n) ;
•
не менее m раз: Pn ( m ) + Pn ( m + 1) + ... + Pn ( n) ;
•
не более m раз: Pn (0) + Pn (1) + ... + Pn ( m ) .
Пример 7. Найти вероятность того, что событие A произойдет не менее
трех раз в четырех независимых испытаниях, если вероятность наступления
события A в одном испытании равна 0,4.
P = P4 (3) + P4 (4) = C4 ⋅ 0,6 ⋅ 0, 4 + C4 ⋅ 0,6 ⋅ 0, 4 =
3
1
3
4
= 4 ⋅ 0,064 ⋅ 0,6 + 1 ⋅ 0,0256 ⋅ 1 = 0,1792
0
4
Контрольные вопросы
Виды событий
Достоверные
Случайные
Невозможные
Определение вероятности
Классическое
Статистическое
Геометрическое
Теорема сложения вероятностей
Для несовместных событий
Для совместных событий
Теорема умножения вероятностей
Для несовместных событий
Для совместных событий
Формула полной вероятности
Формула Бернулли
Задание 1. В корзине 7 синих и 10 белых шаров. Тогда вероятность достать
белый шар равна…?
Задание 2. На клумбе растет 10 белых, 15 красных и 10 желтых астр. Какова
вероятность сорвать в темноте белую астру?
Задание 3. В результате проверки качества приготовленных для посева семя
бобов установлено, что в среднем 90% всхожи. Сколько нужно посеять семян,
чтобы с вероятностью 0,991 можно было ожидать, что доля взошедших семян
отклонится от вероятности взойти каждому семени не более, чем на 0,03 (по
абсолютной величине)?
Задание 4. В семье десять детей. Считая вероятности рождения мальчика и
девочки равными между собой, определить вероятность того, что в данной семье:
а) не менее трех мальчиков; б) не более трех мальчиков.
Задание 5. Вероятность своевременного выполнения студентом
контрольной работы по каждой из трех дисциплин равна соответственно 0,6, 0,5 и
0,8. Найти вероятность своевременного выполнения контрольной работы
студентом: а) по двум дисциплинам; б) хотя бы по двум дисциплинам.
Задание 6. В коробке 10 красных, 3 синих и 7 желтых карандашей. Наудачу
вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что они все: а) разных цветов;
б) одного цвета.
Ответы
Варианты контрольных работ
Вариант 1
Задание 1. Дан треугольник с вершинами А(-5;-1), В(-2;8), С(8;2) и точка
М(3;2). Найти:
1.
уравнение стороны АВ,
2.
уравнение высоты СД, опущенной из вершины С на сторону АВ,
3.
уравнение медианы АЕ,
4.
уравнение окружности, для которой медиана АЕ служит диаметром,
5.
расстояние от точки М до прямой, являющейся средней линией
треугольника и параллельной стороне АВ,
6.
площадь треугольника АВС.
Задание 2. Составить систему уравнений по данным условиям и решить ее
методом Крамера или методом Гаусса.
На новый ареал переселяют три вида птиц общей численностью 10000
особей. Согласно наблюдениям, популяции этих трех видов должны возрастать с
ежегодным коэффициентом прироста в 3, 4, 5% соответственно для 1, 2 и 3 видов.
Установлено, что общий прирост популяций за первый год составит 380 особей и
что прирост популяции первого вида равен приросту третьего вида. Найдите
начальные численности популяций трех видов.
Задание 3. Вычислить пределы:
ln( x + 4)
2). x→−2 ctg ( x + 2) ;
3x 2 − 5 x
2
1). x→∞ −5 x + x − 1 ;
lim
lim
lim
3).
x →0
ln(1 + sin 2 x)
ex − 1
2
;
4).
lim(3 + 2 x)
x →−1
5
( x +1)
.
Задание 4. Исследовать на непрерывность следующие функции: найти
точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график
функции.
если
если
x
0≤ <3
 x − 1,
x+5 5
y=
y=
−
3≤ ≤ 4.
3 − x ,
x + 5 x ; 2).
1).
Задание 5. Найти производные первого порядка.
y=
1).
3).
7
x
y = sin 4 ( )
4 ;
2).
5
7
5 x ;
y = lg tg
x
2;
3
4). y = x ⋅ arctgx .
Задание 6. Размер популяции насекомых в момент t (время выражено в
−1
днях) задается величиной P (t ) = 10000 − 9000(1 + t ) . Вычислить скорость роста
популяции, когда t = 1 .
Задание 7. Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных
результатов проверить дифференцированием.
xdx
1). ∫ 7 + x
2
;
( x + 18)dx
2
− 4 x − 12 ;
2). ∫ x
3). ∫ (3 − x ) cos xdx .
7
Задание 8. Вычислить определенный интеграл:
∫
2
x + 2dx
x
.
Задание 9. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными
2
кривыми. Сделать чертеж области y = x + 3, x = 0, y = x − 1, x = 2.
Задание
10.
Найдите
z = x 2 + y 2 + xy − 4 x − 5 y .
экстремумы
следующей
функции:
Задание 11. Исследовать на сходимость числовой ряд с помощью
∞
2n + 5
∑
3
достаточных признаков сходимости n=1 4n − 1
Задание 12. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное
решение, удовлетворяющее начальному условию y = y0 при x = x0 .
y′ ⋅ sin x − y ⋅ cos x = 1; y0 = 0, x0 =

2.
Задание 13. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры,
и помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность
того, что набраны нужные цифры.
Задание 14. Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что «герб»
выпадет: а). менее 2 раз; б). не менее 2 раз.
Задание 15. Заданы математическое ожидание m и среднее квадратическое
отклонение  нормально распределенной случайной величины x. Найти: 1).
Вероятность того, что x примет значение, принадлежащее интервалу ] ,  [ ; 2).
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения x − m окажется меньше
 : m = 15,  = 2,  = 9,  = 19,  = 3 .
Вариант 2
Задание 1. Дан треугольник с вершинами А(2;4), В(-4;-2), С(1;-3) и точка
М(6;6). Найти:
1.
уравнение стороны АВ,
2.
уравнение высоты СД, опущенной из вершины С на сторону АВ,
3.
уравнение медианы АЕ,
4.
уравнение окружности, для которой медиана АЕ служит диаметром,
5.
расстояние от точки М до прямой, являющейся средней линией
треугольника и параллельной стороне АВ,
6.
площадь треугольника АВС.
Задание 2. Составить систему уравнений по данным условиям и решить ее
методом Крамера или методом Гаусса.
На новый ареал переселяют три вида птиц общей численностью 10000
особей. Согласно наблюдениям, популяции этих трех видов должны возрастать с
ежегодным коэффициентом прироста в 3, 4, 5% соответственно для 1, 2 и 3 видов.
Установлено, что общий прирост популяций за первый год составит 370 особей и
что прирост популяции первого вида равен приросту третьего вида. Найдите
начальные численности популяций трех видов.
Задание 3. Вычислить пределы:
−2 x 2 + 7 x + 2
x2 − 5x ;
1). x→∞
lim
arcsin(4 − x)
3). x→4 ln( x − 3) ;
2x − 1
2). x→0,5 ln(0,5 − x) ;
lim
1
2 2 x2
lim
4).
lim(1 + 3 x )
x →0
.
Задание 4. Исследовать на непрерывность следующие функции: найти
точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график
функции.
если x
 1
, если 0 ≤ x < 1

y = x + 2
x−5 5
y=
+
 x 2 + 2,
≥1 .

x − 5 x ; 2).
1).
Задание 5. Найти производные первого порядка.
y=
1).
4
4
3
3 x ;
2).
3). y = x ⋅ cos x ;
2
4).
y = tg 5 (
y=
2x
)
5 ;
arctgx
1 + x2 .
Задание 6. Размер популяции насекомых в момент t (время выражено в
−1
днях) задается величиной P (t ) = 10000 − 8000(1 + t ) . Вычислить скорость роста
популяции, когда t = 2 .
Задание 7. Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных
результатов проверить дифференцированием.
∫
dx
x
sin 2 ( )
5 ;
1).
( x + 4)dx
2
− 2x − 8 ;
2). ∫ x
3). ∫ x ⋅ ln(1 − 3 x) dx .
0
∫
Задание 8. Вычислить определенный интеграл:
−
3
4
3xdx
( x + 1)3
.
Задание 9. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными
2
кривыми. Сделать чертеж области y = x + 2, x = 0, y = x − 2, x = 2.
Задание
10.
Найдите
z = y 2 − x 2 + xy − 2 x − 6 y .
экстремумы
следующей
функции:
Задание 11. Исследовать на сходимость числовой ряд с помощью
∞
n−3
∑
n
достаточных признаков сходимости: n=3 7
Задание 12. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное
решение, удовлетворяющее начальному условию y = y0 при x = x0 .
y′ − y ⋅ sin x = e− cos x ⋅ sin 2 x; y0 = 3, x0 =

2.
Задание 13. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным
номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди
отобранных лиц окажутся 3 женщины.
Задание 14. Найти вероятность того, что событие А произойдет не менее 2
раз в 4 независимых испытаниях, если вероятность наступления события А в 1
испытании равна 0,6.
Задание 15. Заданы математическое ожидание m и среднее квадратическое
отклонение  нормально распределенной случайной величины x. Найти: 1).
Вероятность того, что x примет значение, принадлежащее интервалу ] ,  [ ; 2).
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения x − m окажется меньше
 : m = 14,  = 4,  = 10,  = 20,  = 4 .
Вариант 3
Задание 1. Дан треугольник с вершинами А(-1;4), В(11;-5), С(15;17) и точка
М(4;4). Найти:
1.
уравнение стороны АВ,
2.
уравнение высоты СД, опущенной из вершины С на сторону АВ,
3.
уравнение медианы АЕ,
4.
уравнение окружности, для которой медиана АЕ служит диаметром,
5.
расстояние от точки М до прямой, являющейся средней линией
треугольника и параллельной стороне АВ,
6.
площадь треугольника АВС.
Задание 2. Составить систему уравнений по данным условиям и решить ее
методом Крамера или методом Гаусса.
На новый ареал переселяют три вида птиц общей численностью 10000
особей. Согласно наблюдениям, популяции этих трех видов должны возрастать с
ежегодным коэффициентом прироста в 3, 4, 5% соответственно для 1, 2 и 3 видов.
Установлено, что общий прирост популяций за первый год составит 375 особей и
что прирост популяции первого вида равен приросту третьего вида. Найдите
начальные численности популяций трех видов.
Задание 3. Вычислить пределы:
−4 x 2 − x
1). x→∞ 3x 2 + 7 x − 1 ;
lim
 x
tg ( + )
4 4
lim
x
→−
1
e x+1 − 1 ;
3).
lim
x→+∞
2).
4).
3x
2
1 − cos( )
x ;
lim(5 − x)
x →4
−
2
x −4
.
Задание 4. Исследовать на непрерывность следующие функции: найти
точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график
функции.
1).
y=
x+4 4
−
x+4 x;
 x2 − 1
, если x ≠ 1

y =  x −1
4, если x = 1
2).
.
Задание 5. Найти производные первого порядка.
y=
1).
5
4x
y = cos3 ( )
5 6
6 x ; 2).
3 ;
2
3). y = ( x − 2) ⋅ sin x ;
4).
y = ln
ex
1 + ex .
2
Задание 6. Размер популяции описывается формулой y = (2 x − 5 x ) ⋅ 0, 01x .
Найти скорость роста популяции. При каком размере популяции эта скорость
максимальна?
Задание 7. Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных
результатов проверить дифференцированием.
1).
∫
dx
5− x ;
2
( x + 23) dx
2). ∫ x 2 + x − 20 ;
3).
1
Задание 8. Вычислить определенный интеграл:
∫
0
∫ x⋅e
−7 x
dx
.
xdx
4− x .
Задание 9. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными
2
кривыми. Сделать чертеж области y = x + 1, x = 0, y = x − 3, x = 2.
2
2
Задание 10. Найдите экстремумы следующей функции: z = xy − x y − xy .
Задание 11. Исследовать на сходимость числовой ряд с помощью
∞
достаточных признаков сходимости
4n − 2
3
+1
∑ 3n
n =1
Задание 12. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное
решение, удовлетворяющее начальному условию y = y0 при x = x0 .
y′ +
2y
= − x 2 ; y0 = 1, x0 = 3
x
.
Задание 13. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку
наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных
студентов 5 отличников.
Задание 14. Событие В произойдет в случае, если событие А наступит не
менее 4 раз. Найти вероятность наступления события В, если будет произведено 5
независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события
А равна 0,8.
Задание 15. Заданы математическое ожидание m и среднее квадратическое
отклонение  нормально распределенной случайной величины x. Найти: 1).
Вероятность того, что x примет значение, принадлежащее интервалу ] ,  [ ; 2).
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения x − m окажется меньше
 : m = 13,  = 4,  = 11,  = 21,  = 8 .
Вариант 4
Задание 1. Дан треугольник с вершинами А(2;5), В(14;-4), С(8;18) и точка
М(4;4). Найти:
1.уравнение стороны АВ,
2.уравнение высоты СД, опущенной из вершины С на сторону АВ,
3.уравнение медианы АЕ,
4.уравнение окружности, для которой медиана АЕ служит диаметром,
5.расстояние от точки М до прямой, являющейся средней линией
треугольника и параллельной стороне АВ,
6.площадь треугольника АВС.
Задание 2. Составить систему уравнений по данным условиям и решить ее
методом Крамера или методом Гаусса.
На новый ареал переселяют три вида птиц общей численностью 10000
особей. Согласно наблюдениям, популяции этих трех видов должны возрастать с
ежегодным коэффициентом прироста в 3, 4, 5% соответственно для 1, 2 и 3 видов.
Установлено, что общий прирост популяций за первый год составит 385 особей и
что прирост популяции первого вида равен приросту третьего вида. Найдите
начальные численности популяций трех видов.
Задание 3. Вычислить пределы:
2 x2 − 2 x + 5
lim
2
1). x→∞ −5 x + 3 x ;
tg 3x 2
lim 2
3). x→0 x ;
ln(1 − x 2 )
lim
2). x→1 sin(3x − 1) ;
4).
lim (7 + 2 x)
x →−3
4
x +3
.
Задание 4. Исследовать на непрерывность следующие функции: найти
точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график
функции.
1).
y=
x−4 4
+
x−4 x;
 x2 − 4
, если x ≠ 2

y = x−2
3, если x = 2

2).
.
Задание 5. Найти производные первого порядка.
3
y=
3
7
7 x ;
1).
y=
3).
x
y = ctg 4 ( )
4 ;
2).
cos x
x2
1 − sin x ; 4). y = arcsin(e ) .
Задание
6.
Размер
популяции
описывается
формулой
y = (10 x − 6 x ) ⋅ 0, 002 x . Найти скорость роста популяции. При каком размере
3
2
популяции эта скорость максимальна?
Задание 7. Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных
результатов проверить дифференцированием.
( x + 12) dx
2). ∫ x 2 − x − 6 ;
dx
1). ∫ 5 x + 3 ;
3).
0
Задание 8. Вычислить определенный интеграл:
dx
∫ 5−
−8
∫ arctg 4 xdx .
3
x2 .
Задание 9. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными
3
кривыми. Сделать чертеж области. y = x − 1, x = 0, y = x − 5, x = 2.
Задание
10.
Найдите
экстремумы
следующей
функции:
z = y x − y2 − x + 6 y .
Задание 11. Исследовать на сходимость числовой ряд с помощью
3n + 1
∑ n
достаточных признаков сходимости n=1 6
∞
Задание 12. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное
решение, удовлетворяющее начальному условию y = y0 при x = x0 .
e− x
y′ + y =
; y0 = 2, x0 = 0
1 + x2
.
Задание 13. Собрание на котором присутствует 25 человек, в том числе 5
женщин, выбирает делегацию из 3 человек. Считая, что каждый из
присутствующих с одинаковой вероятностью может быть избран, найти
вероятность того, что в делегацию войдут 2 женщины и 1 мужчина.
Задание 14. Вероятность наступления события А хотя бы 1 раз при 3
испытаниях равна 0,936. найти вероятность наступления события А при 1
испытании.
Задание 15. Заданы математическое ожидание m и среднее квадратическое
отклонение  нормально распределенной случайной величины x. Найти: 1).
Вероятность того, что x примет значение, принадлежащее интервалу ] ,  [ ; 2).
вероятность того, что абсолютная величина отклонения x − m окажется меньше
 : m = 12,  = 5,  = 12,  = 22,  = 10 .
Вариант 5
Задание 1. Дан треугольник с вершинами А(-4;12), В(8;3), С(6;17) и точка
М(4;4). Найти:
1. уравнение стороны АВ,
2.
уравнение высоты СД, опущенной из вершины С на сторону АВ,
3.
уравнение медианы АЕ,
4.
уравнение окружности, для которой медиана АЕ служит диаметром,
5.
расстояние от точки М до прямой, являющейся средней линией
треугольника и параллельной стороне АВ,
6.
площадь треугольника АВС.
Задание 2. Составить систему уравнений по данным условиям и решить ее
методом Крамера или методом Гаусса.
На новый ареал переселяют три вида птиц общей численностью 10000
особей. Согласно наблюдениям, популяции этих трех видов должны возрастать с
ежегодным коэффициентом прироста в 3, 4, 5% соответственно для 1, 2 и 3 видов.
Установлено, что общий прирост популяций за первый год составит 350 особей и
что прирост популяции первого вида равен приросту третьего вида. Найдите
начальные численности популяций трех видов.
Задание 3. Вычислить пределы:
− x2 − x
lim 2
1). x→∞ 2 x + 3x + 2 ;
lim
3).
x→
3
2).
lim
x →3
e x −3
x2 − 5x + 6 ;
tg 2 ( − 3 x)
( 3x −  )
2
;
4).
lim(2 x − 3)
x →2
−3
4− 2 x
.
Задание 4. Исследовать на непрерывность следующие функции: найти
точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график
функции.
если
если
x
x

 x,
≤0

y = 1 − x,
0 < ≤1

x+3 3
1
y=
−

, если x > 1
1 − x
x + 3 x ;2).
1).
.
Задание 5. Найти производные первого порядка.
y=
1).
 x
y = ln 5  
 5;
2).
3
4 3 x4 ;
1 1+ x
y = ln
4 1− x .
4).
3). y = x 2 ;
2
x
Задание 6. Популяция бактерий растет от начального размера в 1000 особей
до размера P ( t ) в момент t (время выражается в днях) согласно уравнению:
P (t ) =
1000 ⋅ et
1 + 0,1( et − 1) . Найдите скорость роста популяции, когда эта скорость
максимальна?
Задание 7. Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных
результатов проверить дифференцированием.
1).
∫ sin ( 2 − 3x ) dx
( x + 19) dx
2). ∫ x 2 − 2 x − 15 ;
;
4
Задание 8. Вычислить определенный интеграл:
∫
0
3).
∫
x3 ln x dx
.
dx
x −3.
Задание 9. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными
3
кривыми. Сделать чертеж области y = x − 2, x = 0, y = x − 6, x = 2.
Задание 10. Найдите экстремумы следующей функции:
z=e
x
2
(x + y ).
2
Задание 11. Исследовать на сходимость числовой ряд с помощью
∞
достаточных признаков сходимости
5n + 4
3
−3.
∑ 2n
n=2
Задание 12. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное
решение, удовлетворяющее начальному условию y = y0 при x = x0 .
(1 + x ) y′ − 2 xy = (1 + x ) ; y
2
2
0
= 5, x0 = −2
.
Задание 13. На полке расставляется на удачу 10 книг. Найти вероятность
того, что 3 определенные книги окажутся рядом.
Задание 14. Вероятность поражения цели хотя бы 1 пулей при 4
независимых выстрелах равна 0,59. Какова вероятность поражения цели при 1
выстреле?
Задание 15. Заданы математическое ожидание m и среднее квадратическое
отклонение  нормально распределенной случайной величины x. Найти: 1).
Вероятность того, что x примет значение, принадлежащее интервалу ] ,  [ ; 2).
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения x − m окажется меньше
 : m = 11,  = 4,  = 13,  = 23,  = 6 .
Вариант 6
Задание 1. Дан треугольник с вершинами А(-4;10), В(8;1), С(12;23) и точка
М(4;4). Найти:
1.
уравнение стороны АВ,
2.
уравнение высоты СД, опущенной из вершины С на сторону АВ,
3.
уравнение медианы АЕ,
4.
уравнение окружности, для которой медиана АЕ служит диаметром,
5.
расстояние от точки М до прямой, являющейся средней линией
треугольника и параллельной стороне АВ,
6.
площадь треугольника АВС.
Задание 2. Составить систему уравнений по данным условиям и решить ее
методом Крамера или методом Гаусса.
На новый ареал переселяют три вида птиц общей численностью 10000
особей. Согласно наблюдениям, популяции этих трех видов должны возрастать с
ежегодным коэффициентом прироста в 3, 4, 5% соответственно для 1, 2 и 3 видов.
Установлено, что общий прирост популяций за первый год составит 390 особей и
что прирост популяции первого вида равен приросту третьего вида. Найдите
начальные численности популяций трех видов.
Задание 3. Вычислить пределы:
lim
x→0
1)
2 x+1
1
ln(1 + )
x2 ;
lim(1 − 5 x )
2
3).
ctg (
x →0
−
3
x2
2).
;
lim
x →1
x
)
2
x −1 ;
−3 x 2 + 5 x + 2
x2 + 4x
4) x→∞
lim
Задание 4. Исследовать на непрерывность следующие функции: найти
точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график
функции.
если x x
1).
y=
x−3 3
+
x−3 x ;

 x + 1,
≤0

y = 1 − x,
0 < ≤1
 1

, если x > 1
1 − x
2).
.
Задание 5. Найти производные первого порядка.
5
7 5 x7 ;
y=
1).
 5x 
y = arcsin 4  
 3 ;
3).
2). y = ln( x − cos 3 x ) ;
4).
y=
sin x
sin 2 x .
Задание 6. Популяция бактерий растет от начального размера в 500 особей
до размера P ( t ) в момент t (время выражается в днях) согласно уравнению:
P (t ) =
500 ⋅ et
1 + 0,1( et − 1) . Найдите скорость роста популяции, когда эта скорость
максимальна?
Задание 7. Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных
результатов проверить дифференцированием.
x
1).
∫ e 4 dx
−2
;
(5 x + 6) dx
2 + 4 x − 12 ;
2). ∫ x
3).
−1
Задание 8. Вычислить определенный интеграл:
∫
−4
∫ x ⋅ sin 5x dx .
xdx
(5 − x) 2 .
Задание 9. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными
3
кривыми. Сделать чертеж области y = x + 3, x = 0, y = x + 7, x = −2.
3
3
Задание 10. Найдите экстремумы следующей функции: z = x − y − 3xy .
Задание 11. Исследовать на сходимость числовой ряд с помощью
5n − 4
n
достаточных признаков сходимости: n=1 3
∞
∑
Задание 12. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное
решение, удовлетворяющее начальному условию y = y0 при x = x0 .
xy′ − 2 y = x3 cos x; y0 = 1, x0 =  .
Задание 13. Бросают 4 игральные кости. Найти вероятность того, что на
всех выпадет одинаковое число очков.
Задание 14. Пусть вероятность того, что наудачу взята деталь
нестандартная, равна 0,1. Найти вероятность того, что среди взятых на удачу 5
деталей не более 2 нестандартных.
Задание 15. Заданы математическое ожидание m и среднее квадратическое
отклонение  нормально распределенной случайной величины x. Найти: 1).
Вероятность того, что x примет значение, принадлежащее интервалу ] ,  [ ; 2).
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения x − m окажется меньше
 : m = 10,  = 8,  = 14,  = 18,  = 2 .
Вариант 7
Задание 1. Дан треугольник с вершинами А(-2;7), В(10;-2), С(3;12) и точка
М(10;10). Найти:
1.
уравнение стороны АВ,
2.
уравнение высоты СД, опущенной из вершины С на сторону АВ,
3.
уравнение медианы АЕ,
4.
уравнение окружности, для которой медиана АЕ служит диаметром,
5.
расстояние от точки М до прямой, являющейся средней линией
треугольника и параллельной стороне АВ,
6.
площадь треугольника АВС.
Задание 2. Составить систему уравнений по данным условиям и решить ее
методом Крамера или методом Гаусса.
На новый ареал переселяют три вида птиц общей численностью 10000
особей. Согласно наблюдениям, популяции этих трех видов должны возрастать с
ежегодным коэффициентом прироста в 3, 4, 5% соответственно для 1, 2 и 3 видов.
Установлено, что общий прирост популяций за первый год составит 395 особей и
что прирост популяции первого вида равен приросту третьего вида. Найдите
начальные численности популяций трех видов.
Задание 3. Вычислить пределы:
−3x + 5 x
1). x→∞ x 2 + 4 x + 3 ;
2
lim
e5 x − 1
3). x→0 ln(1 − 3 x) ;
1
sin( )
lim 2 x
2). x→+∞ 3x + 4 ;
lim
4).
lim (9 + 2 x)
x→−4
6
x+4
.
Задание 4. Исследовать на непрерывность следующие функции: найти
точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график
функции.
1).
y=
x+2 2
−
x+2 x;
если x
x
e
,
≤1


y= 1
 x − 1 , если x > 1
2).
.
Задание 5. Найти производные первого порядка.
y=
1).
3).
4
5 4 x5 ;
y = ln
x2 − 9
x2 − 1 ;
2).
y = arccos 4 (
5x
)
4 ;
x
4). y = ( x − 1) ⋅ e .
Задание 6. Больному делается инъекция лекарства в момент времени t = 0.
Концентрация лекарства в крови в момент t описывается зависимостью
x (t ) = 2(e −3t − e − t ) . Каково максимальное значение x (t ) и когда оно достигается?
Задание 7. Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных
результатов проверить дифференцированием.
(5 x − 7) dx
2
− x − 20 ;
dx
1). ∫ 7 + 4 x
2
2). ∫ x
;
3).
∫ (2 x + 5)sin xdx .
0
Задание 8. Вычислить определенный интеграл:
dx
∫3 2 − 1 + x
−
4
.
Задание 9. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными
3
кривыми. Сделать чертеж области y = x + 2, x = 0, y = x + 6, x = −2.
Задание
z=
10.
Найдите
экстремумы
следующей
функции:
1
x y
xy + (48 − x − y )( + )
2
3 4 .
Задание 11. Исследовать на сходимость числовой ряд с помощью
∞
достаточных признаков сходимости
3n − 5
3
+4
∑ 5n
n=2
Задание 12. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное
решение, удовлетворяющее начальному условию y = y0 при x = x0 .
y ′ ⋅ x ⋅ ln x − y = 3 x 3 ⋅ ln 2 x; y0 = 0, x0 = e .
Задание 13. Группа из 10 мужчин и 10 женщин делится случайным образом
на две равные части. Найти вероятность того, что в каждой части мужчин и
женщин одинаково.
Задание 14. Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в
течение гарантийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение
гарантийного срока из 6 телевизоров не более 1 потребует ремонта.
Задание 15. Заданы математическое ожидание m и среднее квадратическое
отклонение  нормально распределенной случайной величины x. Найти: 1).
Вероятность того, что x примет значение, принадлежащее интервалу ] ,  [ ; 2).
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения x − m окажется меньше
 : m = 9,  = 3,  = 9,  = 18,  = 6 .
Вариант 8
Задание 1. Дан треугольник с вершинами А(4;1), В(16;-8), С(14;6) и точка
М(4;10). Найти:
1.уравнение стороны АВ,
2.уравнение высоты СД, опущенной из вершины С на сторону АВ,
3.уравнение медианы АЕ,
4.уравнение окружности, для которой медиана АЕ служит диаметром,
5.расстояние от точки М до прямой, являющейся средней линией
треугольника и параллельной стороне АВ,
6.площадь треугольника АВС.
Задание 2. Составить систему уравнений по данным условиям и решить ее
методом Крамера или методом Гаусса.
На новый ареал переселяют три вида птиц общей численностью 10000
особей. Согласно наблюдениям, популяции этих трех видов должны возрастать с
ежегодным коэффициентом прироста в 3, 4, 5% соответственно для 1, 2 и 3 видов.
Установлено, что общий прирост популяций за первый год составит 355 особей и
что прирост популяции первого вида равен приросту третьего вида. Найдите
начальные численности популяций трех видов.
Задание 3. Вычислить пределы:

tg ( − 2 x)
2
lim
2). x→0 sin 5 x ;
5x + 6 x − 1
2
1). x→∞ −2 x + 3 x ;
2
lim
lim
x→
3).
4
1 − tgx

sin( − x)
4
;
4).
lim ( −3 − 2 x)
x →−2
−
2
x+2
.
Задание 4. Исследовать на непрерывность следующие функции: найти
точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график
функции.
x−2 2
y=
+
x−2 x;
1).
 x − 4,
y=
 6 − 2 x,
2).
2
если x
≤2
> 2.
Задание 5. Найти производные первого порядка.
6
y=
5
5 x ;
1).
3).
6
y=
2).
sin x
x−3;
y = arcctg 5 (
2x
)
5 ;
2
x
4). y = ( x + 2 x + 2)e .
Задание 6 Больному делается инъекция лекарства в момент времени t = 0.
Концентрация лекарства в крови в момент t описывается зависимостью
x (t ) = 3(e −4 t − e −2 t ) . Каково максимальное значение x (t ) и когда оно достигается?
Задание 7. Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных
результатов проверить дифференцированием.
dx
∫ 2
1). cos (2 x) ;
ln x
∫ x dx .
3).
5 xdx
2). ∫ x 2 + x − 6 ;
1
Задание 8. Вычислить определенный интеграл:
dx
∫ 8+
−1
3
x2 .
Задание 9. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными
3
кривыми. Сделать чертеж области. y = x + 1, x = 0, y = x + 5, x = −2.
Задание
10.
Найдите
экстремумы
следующей
функции:
z = x + xy + y − 3 x − 6 y .
2
2
Задание 11. Исследовать на сходимость числовой ряд с помощью
3n + 2
n
достаточных признаков сходимости n=1 4
∞
∑
Задание 12. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное
решение, удовлетворяющее начальному условию y = y0 при x = x0 .
y ′ + 2 xy = xe − x ; y0 = 4, x0 = 0 .
2
Задание 13. В зале 50 мест. Найти вероятность того, что из 10 человек 5
займут определенные места, если места занимаются случайным образом.
Задание 14.. Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в
течение гарантийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение
гарантийного срока из 6 телевизоров хотя бы 1 не потребует ремонта.
Задание 15. Заданы математическое ожидание m и среднее квадратическое
отклонение  нормально распределенной случайной величины x. Найти: 1).
Вероятность того, что x примет значение, принадлежащее интервалу ] ,  [ ; 2).
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения x − m окажется меньше
 : m = 8,  = 4,  = 8,  = 12,  = 8 .
Вариант 9
Задание 1. Дан треугольник с вершинами А(1;0), В(3;-6), С(17;13) и точка
М(9;9). Найти:
1.
уравнение стороны АВ,
2.
уравнение высоты СД, опущенной из вершины С на сторону АВ,
3.
уравнение медианы АЕ,
4.
уравнение окружности, для которой медиана АЕ служит диаметром,
5.
расстояние от точки М до прямой, являющейся средней линией
треугольника и параллельной стороне АВ,
6.
площадь треугольника АВС.
Задание 2. Составить систему уравнений по данным условиям и решить ее
методом Крамера или методом Гаусса.
На новый ареал переселяют три вида птиц общей численностью 10000
особей. Согласно наблюдениям, популяции этих трех видов должны возрастать с
ежегодным коэффициентом прироста в 3, 4, 5% соответственно для 1, 2 и 3 видов.
Установлено, что общий прирост популяций за первый год составит 365 особей и
что прирост популяции первого вида равен приросту третьего вида. Найдите
начальные численности популяций трех видов.
Задание 3. Вычислить пределы:
−7 x 2 + 4 x
1). x→∞ 3 x 2 − x + 2 ;
lim
2x + 4
x →−2 arcsin ( x + 2 )
3).
;
ctg ( x − 3)
2x
2). x→3
;
lim
lim
4).
lim(2 − x)
x→1
−
3
x −1
.
Задание 4. Исследовать на непрерывность следующие функции: найти
точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график
функции.
9 − x 2 ,
x +1 1
y=
y=
−
2 x + 3,
x + 1 x ; 2).
1).
если x
≤1
> 1.
Задание 5. Найти производные первого порядка.
y=
1).
 4x 
y = arctg 3  
 3 ;
2).
7
6 7 x6 ;
3). y = x − arctgx ;
4).
y=
x−2
x2 − 3 .
Задание 6. Размер популяции насекомых в момент t (время выражено в
−1
днях) задается величиной P(t ) = 8000 − 6000(1 + t ) . Вычислить скорость роста
популяции, когда t = 1 .
Задание 7. Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных
результатов проверить дифференцированием.
x

cos  − 4  dx
∫
3
 ;
1).
 x
(5 x + 2) dx
2). ∫ x 2 + 2 x − 8 ;
arcsin   dx
∫
3 .
3).
0
∫
Задание 8. Вычислить определенный интеграл:
−1
4
dx
1 + 3x + 1
.
Задание 9. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными
3
кривыми. Сделать чертеж области y = x − 1, x = 0, y = x + 3, x = −2.
2
Задание 10. Найдите экстремумы следующей функции: z = xy (1 − x − y ) .
Задание 11. Исследовать на сходимость числовой ряд с помощью
∞
достаточных признаков сходимости
4n − 3
3
+5
∑ 6n
n =1
Задание 12. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное
решение, удовлетворяющее начальному условию y = y0 при x = x0 .
y′ ⋅ cos x − 2 y ⋅ sin x = 2; y0 = 3, x0 = 0 .
Задание 13. Для производственной практики на 30 студентов предоставлено
15 мест в Новокузнецке, 8 – в Киселевске и 7 - в Мариинске. Какова вероятность
того, что 2 определенных студента попадут на практику в один город?
1
Задание 14. Вероятность выиграть по лотерейному билету равна 7 . Найти
вероятность выиграть не менее чем по 2 билетам из 6.
Задание 15. Заданы математическое ожидание m и среднее квадратическое
отклонение  нормально распределенной случайной величины x. Найти: 1).
Вероятность того, что x примет значение, принадлежащее интервалу ] ,  [ ; 2).
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения x − m окажется меньше
 : m = 7,  = 2,  = 6,  = 10,  = 4 .
Вариант 10
Задание 1. Дан треугольник с вершинами А(2;4), В(-2;6), С(-4;-4) и точка
М(10;1). Найти:
1.
уравнение стороны АВ,
2.
уравнение высоты СД, опущенной из вершины С на сторону АВ,
3.
уравнение медианы АЕ,
4.
уравнение окружности, для которой медиана АЕ служит диаметром,
5.
расстояние от точки М до прямой, являющейся средней линией
треугольника и параллельной стороне АВ,
6.
площадь треугольника АВС.
Задание 2. Составить систему уравнений по данным условиям и решить ее
методом Крамера или методом Гаусса.
На новый ареал переселяют три вида птиц общей численностью 10000
особей. Согласно наблюдениям, популяции этих трех видов должны возрастать с
ежегодным коэффициентом прироста в 3, 4, 5% соответственно для 1, 2 и 3 видов.
Установлено, что общий прирост популяций за первый год составит 340 особей и
что прирост популяции первого вида равен приросту третьего вида. Найдите
начальные численности популяций трех видов.
Задание 3. Вычислить пределы:
x2 + 4x − 3
2). x→−1 tg ( x + 1) ;
6 x 2 − 3x − 1
lim
1). x→∞ −4 x 2 + 2 x ;
lim
1 − cos 6 x
2
3). x→0 e − x − 1 ;
lim
4).
lim(4 − x)
x→3
1
6− 2 x
.
Задание 4. Исследовать на непрерывность следующие функции: найти
точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график
функции.
если
если
x x
≤2
 x + 2 x,
x −1 1
y
=

y=
+
>2 .
 x + 1,
x − 1 x ; 2).
1).
2
Задание 5. Найти производные первого порядка.
y=
1).
5
4 5 x4 ;
3
5
3). y = 3 x ln x − x ;
2).
y = sin 4 (
y=
4).
ex
)
4 ;
2x
arctgx .
Задание 6. Размер популяции насекомых в момент t (время выражено в
−1
днях) задается величиной P(t ) = 8000 − 5000(1 + t ) . Вычислить скорость роста
популяции, когда t = 2 .
Задание 7. Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных
результатов проверить дифференцированием.
1).
∫
dx
3 (2 x + 1) 2
;
(5 x + 1) dx
2
+ 2 x − 15 ;
2). ∫ x
3).
∫ x⋅e
3x
dx
.
0
dx
∫ 3 2
Задание 8. Вычислить определенный интеграл: −1 4 + x .
Задание 9. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными
3
кривыми. Сделать чертеж области y = x − 2, x = 0, y = x + 2, x = −2.
3
3
Задание 10. Найдите экстремумы следующей функции: z = y + x − 15 xy .
Задание 11. Исследовать на сходимость числовой ряд с помощью
2n + 3
n
достаточных признаков сходимости: n=1 5
∞
∑
Задание 12. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное
решение, удовлетворяющее начальному условию y = y0 при x = x0 .
y′ −
3y
= x 3e x ; y0 = e, x0 = 1
x
.
Задание 13. В партии из 10 изделий имеется 4 бракованных. Наудачу
выбирают 5 изделий. Определить вероятность того, что среди этих 5 изделий
окажется 3 бракованных.
Задание 14. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. Найти
вероятность разрушения объекта, если для этого необходимо не менее 3
попаданий, а сделано 15 выстрелов.
Задание 15. Заданы математическое ожидание m и среднее квадратическое
отклонение  нормально распределенной случайной величины x. Найти: 1).
Вероятность того, что x примет значение, принадлежащее интервалу ] ,  [ ; 2).
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения x − m окажется меньше
 : m = 6,  = 2,  = 4,  = 12,  = 4 .
Вариант 11
Задание 1. Дан треугольник с вершинами А(-2;-4), В(4;2), С(-1;3), и точка
М(-6;-6). Найти:
1.
уравнение стороны АВ,
2.
уравнение высоты СД, опущенной из вершины С на сторону АВ,
3.
уравнение медианы АЕ,
4.
уравнение окружности, для которой медиана АЕ служит диаметром,
5.
расстояние от точки М до прямой, являющейся средней линией
треугольника и параллельной стороне АВ,
6.
площадь треугольника АВС.
Задание 2. Составить систему уравнений по данным условиям и решить ее
методом Крамера или методом Гаусса.
На новый ареал переселяют три вида птиц общей численностью 10000
особей. Согласно наблюдениям, популяции этих трех видов должны возрастать с
ежегодным коэффициентом прироста в 3, 4, 5% соответственно для 1, 2 и 3 видов.
Установлено, что общий прирост популяций за первый год составит 365 особей и
что прирост популяции первого вида равен приросту третьего вида. Найдите
начальные численности популяций трех видов.
Задание 3. Вычислить пределы:
x2 − 5x
1). x→∞ −2 x 2 + 7 x + 2 ;
lim
ln( x − 3)
3). x→4 arcsin(4 − x) ;
ln(0,5 − x)
2). x→0,5 2 x − 1 ;
lim
1
2 3 x2
lim
4).
lim(1 + 2 x )
x→0
.
Задание 4. Исследовать на непрерывность следующие функции: найти
точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график
функции.
если x
1).
y=
x−4 5
+
x−4 x;
 1
, если 0 ≤ x < 2

y = x+2
 x 2 + 2,
≥2 .
2).
Задание 5. Найти производные первого порядка.
y=
1).
3
4 3 x4 ;
3x
y = tg ( )
2 ;
2).
4
2
3). y = x ⋅ sin x ; 4).
y=
1 + x2
arctgx .
Задание 6. Размер популяции насекомых в момент t (время выражено в
−1
днях) задается величиной P (t ) = 10000 − 9000(1 + t ) . Вычислить скорость роста
популяции, когда t = 1 .
Задание 7. Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных
результатов проверить дифференцированием.
( x − 3) dx
2
− 2x − 8 ;
dx
∫ 2
1). cos (2 x) ;
2). ∫ x
3).
3
4
Задание 8. Вычислить определенный интеграл:
∫
0
∫ x ⋅ ln 2 xdx .
3 xdx
( x − 1)3 .
Задание 9. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными
3
кривыми. Сделать чертеж области y = x − 2, x = 0, y = x + 1, x = 2.
Задание
10.
Найдите
экстремумы
следующей
функции:
z = y − x + xy − 2 x − 6 y .
2
2
Задание 11. Исследовать на сходимость числовой ряд с помощью
n−2
n
достаточных признаков сходимости n=2 5
∞
∑
Задание 12. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное
решение, удовлетворяющее начальному условию y = y0 при x = x0 .
y ′ + 2 xy = x ⋅ e − x ; y0 = 0, x0 = 0 .
2
Задание 13. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным
номерам наудачу отобраны 6 человек. Найти вероятность того, что среди
отобранных лиц окажутся 3 женщины.
Задание 14. Найти вероятность того, что событие А произойдет не менее 2
раз в 4 независимых испытаниях, если вероятность наступления события А в 1
испытании равна 0,4.
Задание 15. Заданы математическое ожидание m и среднее квадратическое
отклонение  нормально распределенной случайной величины x. Найти: 1).
Вероятность того, что x примет значение, принадлежащее интервалу ] ,  [ ; 2).
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения x − m окажется меньше
 : m = 14,  = 4,  = 10,  = 20,  = 4 .
Вариант 12
Задание 1. Дан треугольник с вершинами А(1;-4), В(-11;5),
С(-15;-17) и точка М(-4;-4). Найти:
1.уравнение стороны АВ,
2.уравнение высоты СД, опущенной из вершины С на сторону АВ,
3.уравнение медианы АЕ,
4.уравнение окружности, для которой медиана АЕ служит диаметром,
5.расстояние от точки М до прямой, являющейся средней линией
треугольника и параллельной стороне АВ,
6.площадь треугольника АВС.
Задание 2. Составить систему уравнений по данным условиям и решить ее
методом Крамера или методом Гаусса.
На новый ареал переселяют три вида птиц общей численностью 10000
особей. Согласно наблюдениям, популяции этих трех видов должны возрастать с
ежегодным коэффициентом прироста в 3, 4, 5% соответственно для 1, 2 и 3 видов.
Установлено, что общий прирост популяций за первый год составит 370 особей и
что прирост популяции первого вида равен приросту третьего вида. Найдите
начальные численности популяций трех видов.
Задание 3. Вычислить пределы:
2
1 − cos( )
x
lim
x
3
2). x→+∞
;
3x + 7 x − 1
1). x→∞ −4 x 2 − x ;
2
lim
e x+1 − 1
x →−1
 x
tg  +

4 4 ;
3).
lim
4).
lim(4 − x)
x→3
−
2
x −3
.
Задание 4. Исследовать на непрерывность следующие функции: найти
точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график
функции.
1).
y=
x−2 3
−
x−2 x ;
 x2 − 4
, если x ≠ 2

y = x−2
3, если x = 2
2).
.
Задание 5. Найти производные первого порядка.
y=
1).
6
5 6 x5 ;
3). y = ( x − 2 ) cos x ;
2
x
y = sin 3 ( )
2 ;
2).
4).
y = ln
1 + ex
ex .
2
Задание 6. Размер популяции описывается формулой y = (2 x − 5 x ) ⋅ 0, 01x .
Найти скорость роста популяции. При каком размере популяции эта скорость
максимальна?
Задание 7. Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных
результатов проверить дифференцированием.
∫
1).
dx
4 − x2 ;
( x + 20) dx
2
+ x − 20 ;
2). ∫ x
2
Задание 8. Вычислить определенный интеграл:
∫ xe
3).
dx
.
xdx
∫ 3− x
0
−5 x
.
Задание 9. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными
3
кривыми. Сделать чертеж области. y = x − 1, x = 0, y = x − 2, x = 2.
2
2
Задание 10. Найдите экстремумы следующей функции: z = xy − x y − xy .
Задание 11. Исследовать на сходимость числовой ряд с помощью
∞
достаточных признаков сходимости
4n − 3
3
+2
∑ 3n
n =1
Задание 12. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное
решение, удовлетворяющее начальному условию y = y0 при x = x0 .
y′ cos x + y = 1 − sin x; y0 = 1, x0 = 0 .
Задание 13. В группе 12 студентов, среди которых 7 отличников. По списку
наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных
студентов 5 отличников.
Задание 14. Событие В произойдет в случае, если событие А наступит не
менее 4 раз. Найти вероятность наступления события В, если будет произведено 5
независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события
А равна 0,7.
Задание 15. Заданы математическое ожидание m и среднее квадратическое
отклонение  нормально распределенной случайной величины x. Найти: 1).
Вероятность того, что x примет значение, принадлежащее интервалу ] ,  [ ; 2).
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения x − m окажется меньше
 : m = 13,  = 4,  = 11,  = 21,  = 8 .
Вариант 13
Задание 1. Дан треугольник с вершинами А(-5;-5), В(-14;4),
С(-8;-18) и точка М(-4;-4). Найти:
1.
уравнение стороны АВ,
2.
уравнение высоты СД, опущенной из вершины С на сторону АВ,
3.
уравнение медианы АЕ,
4.
уравнение окружности, для которой медиана АЕ служит диаметром,
5.
расстояние от точки М до прямой, являющейся средней линией
треугольника и параллельной стороне АВ,
6.
площадь треугольника АВС.
Задание 2. Составить систему уравнений по данным условиям и решить ее
методом Крамера или методом Гаусса.
На новый ареал переселяют три вида птиц общей численностью 10000
особей. Согласно наблюдениям, популяции этих трех видов должны возрастать с
ежегодным коэффициентом прироста в 3, 4, 5% соответственно для 1, 2 и 3 видов.
Установлено, что общий прирост популяций за первый год составит 380 особей и
что прирост популяции первого вида равен приросту третьего вида. Найдите
начальные численности популяций трех видов.
Задание 3. Вычислить пределы:
−5 x 2 + 3 x
lim
1). x→∞ 2 x 2 − 2 x + 5 ;
x2
lim
2
3). x→0 ln(1 − sin 3 x) ;
sin(3 x − 1)
2
2). x→1 ln(1 − x ) ;
lim
4
4).
lim (5 + 2 x) x+2
x→−2
.
Задание 4. Исследовать на непрерывность следующие функции: найти
точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график
функции.
 x2 − 9
, если x ≠ 3

y =  x−3
x+3 2
y=
+
 2, если x = 3
x + 3 x ;2).
1).
.
Задание 5. Найти производные первого порядка.
y=
7
3 7 x3 ;
x
y = tg 3 ( )
4 ;
2).
y=
1 − sin x
cos x ;
x
4). y = arcsin ( e ) .
1).
3).
Задание
6.
3
Размер
популяции
описывается
формулой
y = (10 x 3 − 6 x 2 ) ⋅ 0, 002 x . Найти скорость роста популяции. При каком размере
популяции эта скорость максимальна?
Задание 7. Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных
результатов проверить дифференцированием.
( x + 8)dx
2). ∫ x 2 − x − 6 ;
dx
1). ∫ 3 x + 5 ;
3).
8
Задание 8. Вычислить определенный интеграл:
∫ arcctg (4 x)dx .
dx
∫ 5+
0
3
x2 .
Задание 9. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными
3
кривыми. Сделать чертеж области y = x + 1, x = 0, y = x − 4, x = 2.
Задание
10.
Найдите
экстремумы
следующей
функции:
z = y x − y2 − x + 5 y .
Задание 11. Исследовать на сходимость числовой ряд с помощью
2n + 2
∑ n
достаточных признаков сходимости n=1 5
∞
Задание 12. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное
решение, удовлетворяющее начальному условию y = y0 при x = x0 .
y′ −
y
x2
=
; y0 = 1, x0 = 1
x −1 x −1
.
Задание 13. Собрание на котором присутствует 20 человек, в том числе 5
женщин, выбирает делегацию из 3 человек. Считая, что каждый из
присутствующих с одинаковой вероятностью может быть избран, найти
вероятность того, что в делегацию войдут 2 женщины и 1 мужчина.
Задание 14. Вероятность наступления события А хотя бы 1 раз при 3
испытаниях равна 0,901. Найти вероятность наступления события А при 1
испытании.
Задание 15. Заданы математическое ожидание m и среднее квадратическое
отклонение  нормально распределенной случайной величины x. Найти: 1).
Вероятность того, что x примет значение, принадлежащее интервалу ] ,  [ ; 2).
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения x − m окажется меньше
 : m = 12,  = 5,  = 12,  = 22,  = 10 .
Вариант 14
Задание 1. Дан треугольник с вершинами А(4;-12), В(-8;-3),
С(-6;-17) и точка М(-4;-4). Найти:
1.
уравнение стороны АВ,
2.
уравнение высоты СД, опущенной из вершины С на сторону АВ,
3.
уравнение медианы АЕ,
4.
уравнение окружности, для которой медиана АЕ служит диаметром,
5.
расстояние от точки М до прямой, являющейся средней линией
треугольника и параллельной стороне АВ,
6.
площадь треугольника АВС.
Задание 2. Составить систему уравнений по данным условиям и решить ее
методом Крамера или методом Гаусса.
На новый ареал переселяют три вида птиц общей численностью 10000
особей. Согласно наблюдениям, популяции этих трех видов должны возрастать с
ежегодным коэффициентом прироста в 3, 4, 5% соответственно для 1, 2 и 3 видов.
Установлено, что общий прирост популяций за первый год составит 360 особей и
что прирост популяции первого вида равен приросту третьего вида. Найдите
начальные численности популяций трех видов.
Задание 3. Вычислить пределы:
2 x 2 + 3x + 2
1). x→∞ − x 2 − x ;
lim
2).
lim
x →3
x2 − 5x + 6
e x −3
;
( 3x −  )
lim 2
x → tg (  − 3 x )
4). 3
.
2
3).
lim ( 2 x − 1)
x →1
−
3
2− 2 x
;
Задание 4. Исследовать на непрерывность следующие функции: найти
точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график
функции.
если
еслиx
1).
y=
x−2 4
+
x−2 x;
x
 − x,
≤0

y = 1 + x,
0 < ≤1
1
 1 − x , если x > 1 .
2).
Задание 5. Найти производные первого порядка.
y=
1).
4
3 4 x3 ;
3). y = x ⋅ e ;
3
x
x
y = ln 4 ( )
4 ;
2).
4).
y=
1 2+ x
ln
2 2− x.
Задание 6. Популяция бактерий растет от начального размера в 1000 особей
до размера P ( t ) в момент t (время выражается в днях) согласно уравнению:
1000 ⋅ et
P (t ) =
1 + 0,1( et − 1) . Найдите скорость роста популяции, когда эта скорость
максимальна
Задание 7. Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных
результатов проверить дифференцированием.
1).
∫ cos ( 2 + 3x ) dx ;
( x + 10) dx
2). ∫ x 2 − 2 x − 15 ;
9
Задание 8. Вычислить определенный интеграл:
∫
0
3).
∫
x ⋅ ln xdx
.
dx
x −2.
Задание 9. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными
3
кривыми. Сделать чертеж области y = x + 1, x = 0, y = x − 5, x = 2.
Задание 10. Найдите экстремумы следующей функции:
z=e
x
2
(x
2
+ y)
.
Задание 11. Исследовать на сходимость числовой ряд с помощью
∞
достаточных признаков сходимости:
5n + 4
3
−1
∑ 2n
n=2
Задание 12. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное
решение, удовлетворяющее начальному условию y = y0 при x = x0 .
y ′ ⋅ sin x − y cos x = 1; y0 = 1, x0 =

2.
Задание 13. На полке расставляется на удачу 10 книг. Найти вероятность
того, что 4 определенные книги окажутся рядом.
Задание 14. Вероятность поражения цели хотя бы 1 пулей при 4
независимых выстрелах равна 0,61. Какова вероятность поражения цели при 1
выстреле?
Задание 15. Заданы математическое ожидание m и среднее квадратическое
отклонение  нормально распределенной случайной величины x. Найти: 1).
Вероятность того, что x примет значение, принадлежащее интервалу ] ,  [ ; 2).
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения x − m окажется меньше
 : m = 11,  = 4,  = 13,  = 23,  = 6 .
Вариант 15
Задание 1. Дан треугольник с вершинами А(5;1), В(2;-8), С(-8;-2), и точка
М(-3;-2). Найти:
1.
уравнение стороны АВ,
2.
уравнение высоты СД, опущенной из вершины С на сторону АВ,
3.
уравнение медианы АЕ,
4.
уравнение окружности, для которой медиана АЕ служит диаметром,
5.
расстояние от точки М до прямой, являющейся средней линией
треугольника и параллельной стороне АВ,
6.
площадь треугольника АВС.
Задание 2. Составить систему уравнений по данным условиям и решить ее
методом Крамера или методом Гаусса.
На новый ареал переселяют три вида птиц общей численностью 10000
особей. Согласно наблюдениям, популяции этих трех видов должны возрастать с
ежегодным коэффициентом прироста в 3, 4, 5% соответственно для 1, 2 и 3 видов.
Установлено, что общий прирост популяций за первый год составит 345 особей и
что прирост популяции первого вида равен приросту третьего вида. Найдите
начальные численности популяций трех видов.
Задание 3. Вычислить пределы:
tg ( x + 1)
2). x→−1 x 2 + 4 x − 3 ;
−4 x 2 + 2 x
1). x→∞ 6 x 2 − 3x − 1 ;
lim
lim
e− x2 − 1
3). x→0 1 − cos 6 x ;
lim
4).
lim(3 − x)
x →2
1
6 −3 x
.
Задание 4. Исследовать на непрерывность следующие функции: найти
точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график
функции.
если
если
x x
≤0
 x + 2 x,
x −1 2
y
=

y=
+
>0 .
 x + 1,
x − 1 x ; 2).
1).
2
Задание 5. Найти производные первого порядка.
y=
1).
6
7 7 x6 ;
2).
3). y = 3x ⋅ ln x − x ;
2
6
4).
y=
y = cos 4 (
ex
)
4 ;
ar ctgx
2x .
Задание 6. Популяция бактерий растет от начального размера в 500 особей
до размера P ( t ) в момент t (время выражается в днях) согласно уравнению:
500 ⋅ et
P (t ) =
1 + 0,1( et − 1) . Найдите скорость роста популяции, когда эта скорость
максимальна?
Задание 7. Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных
результатов проверить дифференцированием.
1).
∫e
x
−1
3
dx
;
(5 x − 3) dx
2). ∫ x 2 + 4 x − 12 ;
3).
4
∫ x ⋅ cos5 xdx .
xdx
∫ (5 + x )
Задание 8. Вычислить определенный интеграл:
.
1
Задание 9. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными
3
кривыми. Сделать чертеж области y = x − 3, x = 0, y = x + 4, x = −3.
3
3
Задание 10. Найдите экстремумы следующей функции: z = x − y − 3xy .
Задание 11. Исследовать на сходимость числовой ряд с помощью
6n − 1
n
достаточных признаков сходимости n=1 3
∞
∑
Задание 12. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное
решение, удовлетворяющее начальному условию y = y0 при x = x0 .
xy′ − y = x 2 cos x; y0 = 0, x0 = 0 .
Задание 13. Бросают 5 игральных костей. Найти вероятность того, что на
всех выпадет одинаковое число очков.
Задание 14. Пусть вероятность того, что наудачу взята деталь
нестандартная, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди взятых на удачу 5
деталей не более 2 нестандартных.
Задание 15. Заданы математическое ожидание m и среднее квадратическое
отклонение  нормально распределенной случайной величины x. Найти: 1).
Вероятность того, что x примет значение, принадлежащее интервалу ] ,  [ ; 2).
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения x − m окажется меньше
 : m = 10,  = 8,  = 14,  = 18,  = 2 .
Вариант 16
Задание 1. Дан треугольник с вершинами А(6;2), В(2;-4), С(-6;-2) и точка
М(3;2). Найти:
1.
уравнение стороны АВ,
2.
уравнение высоты СД, опущенной из вершины С на сторону АВ,
3.
уравнение медианы АЕ,
4.
уравнение окружности, для которой медиана АЕ служит диаметром,
5.
расстояние от точки М до прямой, являющейся средней линией
треугольника и параллельной стороне АВ,
6.
площадь треугольника АВС.
Задание 2. Составить систему уравнений по данным условиям и решить ее
методом Крамера или методом Гаусса.
На новый ареал переселяют три вида птиц общей численностью 10000
особей. Согласно наблюдениям, популяции этих трех видов должны возрастать с
ежегодным коэффициентом прироста в 3, 4, 5% соответственно для 1, 2 и 3 видов.
Установлено, что общий прирост популяций за первый год составит 335 особей и
что прирост популяции первого вида равен приросту третьего вида. Найдите
начальные численности популяций трех видов.
Задание 3. Вычислить пределы:
4 x2 − 2 x
1). x→∞ 6 x 2 − 3x + 1 ;
lim
2).
e− x − 1
3). x→0 1 − cos 4 x ;
lim
4).
lim
x→1
tg ( x − 1)
x2 − 4 x + 3 ;
lim(3 − x)
x →2
1
4− 2 x
.
Задание 4. Исследовать на непрерывность следующие функции: найти
точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график
функции.
1).
y=
x −1
2
+
x −1 x − 3 ;
если
если
x x
≤2
 x + 2 x,
y=
>2 .
 x + 1,
2).
2
Задание 5. Найти производные первого порядка.
y=
1).
6
5 5 x6 ;
2).
3). y = 3x ⋅ ln x − 4 x ;
2
2
4).
y = cos3 (
y=
ex
)
3 ;
arcsin x
2x .
Задание 6. Популяция бактерий растет от начального размера в 450 особей
до размера P ( t ) в момент t (время выражается в днях) согласно уравнению:
450 ⋅ et
P (t ) =
1 + 0,1( et − 1) . Найдите скорость роста популяции, когда эта скорость
максимальна?
Задание 7. Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных
результатов проверить дифференцированием.
1).
∫e
x
−1
2
dx
;
(2 x + 4) dx
2). ∫ x 2 + 4 x − 12 ;
3).
4
∫
Задание 8. Вычислить определенный интеграл:
1
∫ x ⋅ cos 2 xdx .
xdx
(3 + x )
3
.
Задание 9. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными
3
кривыми. Сделать чертеж области y = x − 2, x = 0, y = x + 2, x = −2.
3
3
Задание 10. Найдите экстремумы следующей функции: z = x − y − 4 xy .
Задание 11. Исследовать на сходимость числовой ряд с помощью
6n − 1
n
достаточных признаков сходимости n=1 4
∞
∑
Задание 12. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное
решение, удовлетворяющее начальному условию y = y0 при x = x0 .
xy′ − y = x 2 sin x; y0 = 0, x0 = 0 .
Задание 13. Бросают 4 игральных костей. Найти вероятность того, что на
всех выпадет одинаковое число очков.
Задание 14. Пусть вероятность того, что наудачу взята деталь
нестандартная, равна 0,3. Найти вероятность того, что среди взятых на удачу 6
деталей не более 2 нестандартных.
Задание 15. Заданы математическое ожидание m и среднее квадратическое
отклонение  нормально распределенной случайной величины x. Найти: 1).
Вероятность того, что x примет значение, принадлежащее интервалу ] ,  [ ; 2).
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения x − m окажется меньше
 : m = 11,  = 9,  = 12,  = 18,  = 2 .
Вариант 17
Задание 1. Дан треугольник с вершинами А(-5;1), В(-2; 8), С(8;-2) и точка
М(3; 2). Найти:
1.
уравнение стороны АВ,
2.
уравнение высоты СД, опущенной из вершины С на сторону АВ,
3.
уравнение медианы АЕ,
4.
уравнение окружности, для которой медиана АЕ служит диаметром,
5.
расстояние от точки М до прямой, являющейся средней линией
треугольника и параллельной стороне АВ,
6.
площадь треугольника АВС.
Задание 2. Составить систему уравнений по данным условиям и решить ее
методом Крамера или методом Гаусса.
На новый ареал переселяют три вида птиц общей численностью 10000
особей. Согласно наблюдениям, популяции этих трех видов должны возрастать с
ежегодным коэффициентом прироста в 3, 4, 5% соответственно для 1, 2 и 3 видов.
Установлено, что общий прирост популяций за первый год составит 330 особей и
что прирост популяции первого вида равен приросту третьего вида. Найдите
начальные численности популяций трех видов.
Задание 3. Вычислить пределы:
sin ( x + 1)
2). x→−1 x 2 + 4 x − 3 ;
−3x 2 + 3x
1). x→∞ 5 x 2 − 3x − 1 ;
lim
lim
e −2 x2 − 1
3). x→0 1 − cos 4 x ;
lim
4).
lim(4 − 2 x)
x →2
1
6 −3 x
.
Задание 4. Исследовать на непрерывность следующие функции: найти
точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график
функции.
1).
y=
x−2 3
+
x−2 x;
если
если
x x
≤0
 x − 2 x,
y=
>0 .
 x − 3,
2).
2
Задание 5. Найти производные первого порядка.
y=
1).
4
7 7 x4 ;
2).
y = sin 4 (
3). y = 3x ⋅ log 2 x − x ;
2
6
4).
ex
)
4 ;
y=
arcctgx
3x .
Задание 6. Популяция бактерий растет от начального размера в 300 особей
до размера P ( t ) в момент t (время выражается в днях) согласно уравнению:
300 ⋅ et
P (t ) =
1 + 0,1( et − 1) . Найдите скорость роста популяции, когда эта скорость
максимальна?
Задание 7. Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных
результатов проверить дифференцированием.
1).
∫e
2 x −1
dx
;
(5 x − 3) dx
2). ∫ x 2 − 3 x − 4 ;
3).
3
∫ x ⋅ cos5 xdx .
xdx
∫ (5 + x )
Задание 8. Вычислить определенный интеграл:
.
1
Задание 9. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными
2
кривыми. Сделать чертеж области y = x − 3, x = 0, y = x + 2, x = −3.
3
2
Задание 10. Найдите экстремумы следующей функции: z = x − 2 y − 3xy .
Задание 11. Исследовать на сходимость числовой ряд с помощью
5n − 1
n
достаточных признаков сходимости n=1 3
∞
∑
Задание 12. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное
решение, удовлетворяющее начальному условию y = y0 при x = x0 .
xy′ − y = x 2tgx; y0 = 0, x0 = 0 .
Задание 13. Бросают 7 игральных костей. Найти вероятность того, что на
всех выпадет одинаковое число очков.
Задание 14. Пусть вероятность того, что наудачу взята деталь
нестандартная, равна 0,1. Найти вероятность того, что среди взятых на удачу 4
деталей не более 2 нестандартных.
Задание 15. Заданы математическое ожидание m и среднее квадратическое
отклонение  нормально распределенной случайной величины x. Найти: 1).
Вероятность того, что x примет значение, принадлежащее интервалу ] ,  [ ; 2).
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения x − m окажется меньше
 : m = 9,  = 7,  = 11,  = 17,  = 2 .
Вариант 18
Задание 1. Дан треугольник с вершинами А(4;3), В(-1;-1), С(2;3) и точка
М(5;5). Найти:
1.
уравнение стороны АВ,
2.
уравнение высоты СД, опущенной из вершины С на сторону АВ,
3.
уравнение медианы АЕ,
4.
уравнение окружности, для которой медиана АЕ служит диаметром,
5.
расстояние от точки М до прямой, являющейся средней линией
треугольника и параллельной стороне АВ,
6.
площадь треугольника АВС.
Задание 2. Составить систему уравнений по данным условиям и решить ее
методом Крамера или методом Гаусса.
На новый ареал переселяют три вида птиц общей численностью 10000
особей. Согласно наблюдениям, популяции этих трех видов должны возрастать с
ежегодным коэффициентом прироста в 3, 4, 5% соответственно для 1, 2 и 3 видов.
Установлено, что общий прирост популяций за первый год составит 370 особей и
что прирост популяции первого вида равен приросту третьего вида. Найдите
начальные численности популяций трех видов.
Задание 3. Вычислить пределы:
−4 x3 + 2 x
1). x→∞ 6 x3 − 3x − 1 ;
lim
2).
e− x2 − 1
3). x→0 1 − cos 2 x ;
lim
4).
lim
x→1
sin ( x − 1)
x2 − 4 x + 3 ;
lim(2 − x)
x→1
1
6−6 x
.
Задание 4. Исследовать на непрерывность следующие функции: найти
точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график
функции.
1).
y=
x+6 6
+
x+6 x;
если
если
x x
≤1
 x + 2 x,
y=
>1 .
 x + 3,
2).
3
Задание 5. Найти производные первого порядка.
y=
1).
6
5 7 3x6 ;
2).
3). y = 3x ⋅ ln x − cos 2 x ;
4
4).
y = ctg 3 (
y=
ex
)
4 ;
arccos x
3x
.
Задание 6. Популяция бактерий растет от начального размера в 600 особей
до размера P ( t ) в момент t (время выражается в днях) согласно уравнению:
600 ⋅ et
P (t ) =
1 + 0,1( et − 1) . Найдите скорость роста популяции, когда эта скорость
максимальна?
Задание 7. Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных
результатов проверить дифференцированием.
1).
∫ sin 3xdx ;
(4 x − 2) dx
2). ∫ x 2 + 4 x − 12 ;
3).
4
∫
Задание 8. Вычислить определенный интеграл:
1
∫ x ⋅ ln xdx .
xdx
(5 + x )
3
.
Задание 9. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными
2
кривыми. Сделать чертеж области y = x − 4, x = 0, y = x + 1, x = −2.
2
2
Задание 10. Найдите экстремумы следующей функции: z = x − y − 3xy .
Задание 11. Исследовать на сходимость числовой ряд с помощью
4n − 1
n
достаточных признаков сходимости n=1 4
∞
∑
Задание 12. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное
решение, удовлетворяющее начальному условию y = y0 при x = x0 .
xy′ − y = x cos x; y0 = 0, x0 = 0 .
Задание 13. Бросают 7 игральных костей. Найти вероятность того, что на
всех выпадет одинаковое число очков.
Задание 14. Пусть вероятность того, что наудачу взята деталь
нестандартная, равна 0,4. Найти вероятность того, что среди взятых на удачу 6
деталей не более 2 нестандартных.
Задание 15. Заданы математическое ожидание m и среднее квадратическое
отклонение  нормально распределенной случайной величины x. Найти: 1).
Вероятность того, что x примет значение, принадлежащее интервалу ] ,  [ ; 2).
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения x − m окажется меньше
 : m = 11,  = 9,  = 14,  = 18,  = 2 .
Вариант 19
Задание 1. Дан треугольник с вершинами А(3;5), В(2;-6), С(-3;-3) и точка
М(2;-1). Найти:
1.
уравнение стороны АВ,
2.
уравнение высоты СД, опущенной из вершины С на сторону АВ,
3.
уравнение медианы АЕ,
4.
уравнение окружности, для которой медиана АЕ служит диаметром,
5.
расстояние от точки М до прямой, являющейся средней линией
треугольника и параллельной стороне АВ,
6.
площадь треугольника АВС.
Задание 2. Составить систему уравнений по данным условиям и решить ее
методом Крамера или методом Гаусса.
На новый ареал переселяют три вида птиц общей численностью 10000
особей. Согласно наблюдениям, популяции этих трех видов должны возрастать с
ежегодным коэффициентом прироста в 3, 4, 5% соответственно для 1, 2 и 3 видов.
Установлено, что общий прирост популяций за первый год составит 325 особей и
что прирост популяции первого вида равен приросту третьего вида. Найдите
начальные численности популяций трех видов.
Задание 3. Вычислить пределы:
tg ( x + 2 )
2). x→−2 x 2 − 4 ;
−4 x 2 + 2 x
1). x→∞ 6 x 2 − 4 x − 2 ;
lim
lim
e− x − 1
3). x→0 1 − cos 4 x ;
lim
4).
lim(5 − x)
x →4
1
4− x
.
Задание 4. Исследовать на непрерывность следующие функции: найти
точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график
функции.
если
если
x x
≤0
 x − 4 x,
x+3 2
y
=

y=
+
>0 .
 x + 2,
x + 3 x ;2).
1).
2
Задание 5. Найти производные первого порядка.
y=
1).
3
7 7 x3 ;
2).
3). y = 3x ⋅ ln x − 4 x ;
2
3
y = sin 2 (
4).
ex
)
4 ;
y=
arcsin x
4x .
Задание 6. Популяция бактерий растет от начального размера в 450 особей
до размера P ( t ) в момент t (время выражается в днях) согласно уравнению:
450 ⋅ et
P (t ) =
1 + 0,1( et − 1) . Найдите скорость роста популяции, когда эта скорость
максимальна?
Задание 7. Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных
результатов проверить дифференцированием.
1).
∫ cos ( 3x − 1)dx ;
(6 x − 2) dx
2). ∫ x 2 + 4 x − 12 ;
4
∫
Задание 8. Вычислить определенный интеграл:
1
3).
∫ x ⋅ tg 5 xdx .
xdx
(5 − x )
3
.
Задание 9. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными
2
кривыми. Сделать чертеж области y = 2 x − 3, x = 0, y = x + 5, x = −3.
2
2
Задание 10. Найдите экстремумы следующей функции: z = x − y − 2 xy .
Задание 11. Исследовать на сходимость числовой ряд с помощью
6n + 4
n
достаточных признаков сходимости n=1 3
∞
∑
Задание 12. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное
решение, удовлетворяющее начальному условию y = y0 при x = x0 .
xy′ + y = 2 x cos x; y0 = 0, x0 = 0 .
Задание 13. Бросают 3 игральных костей. Найти вероятность того, что на
всех выпадет одинаковое число очков.
Задание 14. Пусть вероятность того, что наудачу взята деталь
нестандартная, равна 0,3. Найти вероятность того, что среди взятых на удачу 7
деталей не более 3 нестандартных.
Задание 15. Заданы математическое ожидание m и среднее квадратическое
отклонение  нормально распределенной случайной величины x. Найти: 1).
Вероятность того, что x примет значение, принадлежащее интервалу ] ,  [ ; 2).
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения x − m окажется меньше
 : m = 12,  = 10,  = 11,  = 15,  = 2 .
Вариант 20
Задание 1. Дан треугольник с вершинами А(1;3), В(4;-2), С(3;5) и точка
М(6;-3). Найти:
1.
уравнение стороны АВ,
2.
уравнение высоты СД, опущенной из вершины С на сторону АВ,
3.
уравнение медианы АЕ,
4.
диаметром,
уравнение окружности, для которой медиана АЕ служит
5.
расстояние от точки М до прямой, являющейся средней линией
треугольника и параллельной стороне АВ,
6.
площадь треугольника АВС.
Задание 2. Составить систему уравнений по данным условиям и решить ее
методом Крамера или методом Гаусса.
На новый ареал переселяют три вида птиц общей численностью 10000
особей. Согласно наблюдениям, популяции этих трех видов должны возрастать с
ежегодным коэффициентом прироста в 3, 4, 5% соответственно для 1, 2 и 3 видов.
Установлено, что общий прирост популяций за первый год составит 380 особей и
что прирост популяции первого вида равен приросту третьего вида. Найдите
начальные численности популяций трех видов.
Задание 3. Вычислить пределы:
x2 + 4 x − 3
2). x→−1 tg ( x + 1) ;
−4 x 4 + 2 x
lim 4
1). x→∞ 6 x − 3x 2 − 1 ;
lim
e− x2 − 1
3). x→0 sin 2 x ;
lim
4).
lim(3 − x)
x →2
1
8− 4 x
.
Задание 4. Исследовать на непрерывность следующие функции: найти
точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график
функции.
1).
y=
x −1
6
+
x −1 x − 2 ;
если
если
x x
≤0
 x − 3 x,
y=
>0 .
 x + 3,
2).
2
Задание 5. Найти производные первого порядка.
y=
1).
3
7 7 x3 ;
2).
3). y = 3x ⋅ log3 x − x ;
2
6
4).
y = tg 2 (
y=
ex
)
4 ;
arcctg ( x − 3)
2x
.
Задание 6. Популяция бактерий растет от начального размера в 350 особей
до размера P ( t ) в момент t (время выражается в днях) согласно уравнению:
350 ⋅ et
P (t ) =
1 + 0,1( et − 1) . Найдите скорость роста популяции, когда эта скорость
максимальна?
Задание 7. Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных
результатов проверить дифференцированием.
∫
1). cos
2
dx
2
(3 x − 1) ;
(5 x − 1) dx
2). ∫ x 2 + 4 x − 3 ;
3).
5
Задание 8. Вычислить определенный интеграл:
∫ x ⋅ ln 5xdx .
xdx
∫ (5 + x )
.
1
Задание 9. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными
3
кривыми. Сделать чертеж области y = x + 2, x = 0, y = x − 4, x = 3.
3
3
Задание 10. Найдите экстремумы следующей функции: z = x − y + 2 xy .
Задание 11. Исследовать на сходимость числовой ряд с помощью
∞
3n
∑
достаточных признаков сходимости n=1 6n − 1
Задание 12. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное
решение, удовлетворяющее начальному условию y = y0 при x = x0 .
y′ − y = x cos x; y0 = 0, x0 = 0 .
Задание 13. Бросают 9 игральных костей. Найти вероятность того, что на
всех выпадет одинаковое число очков.
Задание 14. Пусть вероятность того, что наудачу взята деталь
нестандартная, равна 0,4. Найти вероятность того, что среди взятых на удачу 6
деталей не более 3 нестандартных.
Задание 15. Заданы математическое ожидание m и среднее квадратическое
отклонение  нормально распределенной случайной величины x. Найти: 1).
Вероятность того, что x примет значение, принадлежащее интервалу ] ,  [ ; 2).
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения x − m окажется меньше
 : m = 12,  = 7,  = 12,  = 16,  = 2 .
Ответы на задания контрольных вопросов
Тема 1.
1.
y=2x+5
2.
y=2x+b
1
y =− x+b
2
3.
x +1 y −1
=
2
1
4.
5.
1-б, 2-а, 3-г, 4-в.
7. 5,2
( x + 1) 2 + ( y − 3) 2 = 25
8.
Тема 2.
1.
-2
2.
-2
3.
3
 19 6 
 9 7

;
4.
а)
5.
6.
7.
1 3
3 7

;
а)
(1; 2; 3)
(1; 2; 3)
б)
б)
 1 13 
 13 0 

.
 43 10 
 49 11 


 37 9 

;
Тема 3.
1.
2
2.
0
3
4
3.
∞
4.
5.
а)
-1/7; б)
2;
в)
1;
г)
5;
д)
ж)
е;
з)
0
6.
х=0 точка разрыва 2-го рода, х=2 точка скачка.
Тема 4.
y′ = 6 x +
1.
2.
3.
4.
3
2 x
1
y′ = 10 x −
x
2
s′ = 3t − 6t + 3, t = 1
v = −km
3/2; е)
e4 ;
5.
6.
7.
v = −k (Q − a)
p
v=−
a
9000
p′ =
(1 + t )2
Тема 5.
м с при t
v
=
45
/
=0
1.
2.
50
3.
У второго
Тема 6.
1.
2.
3.
4.
г)
е)
1
F ( x) = 2sin x + C
2
1
F ( x) = − cos5 x + C
5
F ( x) = 2ln x + 4 + C
9 53 12 76
1 2
x − x +C
( x + 4)6 + C
2e x + C ;
5
7
12
а)
; б)
; в)
1
2
− (2 x − 1)cos3 x + sin 3 x + C
ln x + 2 − 1 + C
3
9
; д)
;
x(tgx − 1) + ln cos x + C .
Тема 7.
1.
19/3
2.
Arctg4
3.
Arcsin4
4.
24
5.
64/5
2
2
6.
Тема 8.
1.
а) В точке (6;0) минимум; в точке (-6;0) максимум;
б) В точке (0;3) максимум.
2.
Х=25%, у=50%; z=25%.
Тема 9.
1.
6/35
2.
а)
Тема 10.
1/2; б)
ab
6
1.
2.
3.
4.
в)
е)
Сходится
Сходится
Расходится
а)
условно сходится;
б)
абсолютно сходится;
расходится; г)
условно сходится;
д)
расходится;
абсолютно сходится.
Тема 11.
1.
2.
3.
4.
5.
1
ln y = − + C
x
б, в
y2
= x+C
2
а, б
а)
−e − y = e x + C ;
ln
б)
y
− 1 = Cx
x
.
Тема 12.
1.
1-г, 2-а, 3-б, 4-в
2.
1-г, 2-а, 3-б, 4-в
3.
а) y = C1e − C2 xe + 2 x ;б)
x
x
Тема 13.
1.
10/17
2.
2/7
t 2 pq
n = 2 = 681
∆
3.
4.
а) P10 ( m ≥ 3) = 0,945 ;
5.
а)
0,46; б)
0,7
6.
а)
0,184;
б)
y = C1 sin10 x + C2 cos10 x +
б)
0,137
P10 ( m ≤ 3) = 0,172
1
x ⋅ sin10 x
20
.
Литература
Основная литература:
1.
Александров, П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры./
П.С.Александров. – М.-С-Пб., Лань, 2009.
2.
Баврин, И.И. Высшая математика./ И.И.Баврин. – М., Академия, 2002.
3.
Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Учебник
для вузов./ Д.В.Беклемишев. – М., Физматлит, 2007.
4.
Бугров, Я.С., Никольский, С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление./
Я.С.Бугров – М., Дрофа, 2007.
5.
Бугров, Я.С., Никольский, С.М. Кратные интегралы./ Я.С.Бугров – М., Дрофа,
2005.
6.
Воеводин, В.В. линейная алгебра./ В.В.Воеводин. – М.-С-Пб., Лань, 2008.
7.
Демидович , Б.П., Кудрявцев, В.А. Краткий курс высшей математики./
Б.П.Демидович.М., АСТ: Астрель, 2007.
8.
Демидович, Б.П., Моденов, В.П. Дифферециальные уравнения./ Б.П.Демидович. –
М.-С-Пб.,Лань, 2008.
9.
Ильин, В.А., Позняк, Э.Г. основы математического анализа./ В.А.Ильин.- М.,
Физматлит, 2008.
10.
Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика./ Н.Ш.Кремер. –
М., Юнити, 2007.
11.
Кудрявцев, Л.Д. курс математического анализа./ Л.Д.Кудрявцев. – М., Дрофа,
2003.
12.
Свешников, А.Г., Тихонов, А.Н. Теория функций комплексного переменного./
А.Г.Свешников.- М., Физматлит, 2004.
13.
Математический анализ: учебно-методическое пособие. Ч.1./ сост.а.М.Вайнгауз,
В.А.Геллерт. ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»; Томск: Издательство
Томского государственного университета, 2008.
14.
Математический анализ: учебно-методическое пособие. Ч.2./ сост.а.М.Вайнгауз,
В.А.Геллерт. ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»; Томск: Издательство
Томского государственного университета, 2008.
15.
Математический анализ: учебно-методическое пособие. Ч.3./ сост.а.М.Вайнгауз,
В.А.Геллерт. ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»; Кемерово, 2008.
16.
Введение в специальность. Математика: учебно-методическое пособие для
студентов 1 курса физического факультета./ ГОУ ВПО «Кемеровский государственный
университет»; сост. В.А. Геллерт. – Кемерово, 2010.
Интернет-ресурсы:
1.
www.lib.mexmat.ru/books/41
2.
www.newlibrary.ru
3.
www.edu.ru
4.
www.matburo.ru
5.
www.nehudlit.ru
6.
www.metodist.lbz.ru
7.
www.mathege.ru
8.
www.e-ypok.ru
9.
www.edu.1september.ru
10.
www.db.inforeg.ru
11.
www.khigi.tr200.r
12.
www.exponenta.ru