ÑÈÁÈÐÑÊÈÅ ÝËÅÊÒÐÎÍÍÛÅ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÅ
реклама
S⃝e MR ISSN 1813-3304 ÑÈÁÈÐÑÊÈÅ ÝËÅÊÒÐÎÍÍÛÅ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÈÇÂÅÑÒÈß Siberian Electronic Mathematical Reports http://semr.math.nsc.ru ÓÄÊ 519.61,577.21 MSC 37M05 Òîì 7, ñòð. 467475 (2010) ÎÁ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÈ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÌÎÄÅËÅÉ ÌÀÒÐÈ×ÍÎÃÎ ÑÈÍÒÅÇÀ ÍÅÐÅÃÓËßÐÍÛÕ ÏÎËÈÌÅÐΠÄÍÊ, ÐÍÊ È ÁÅËÊΠÑ. È. ÔÀÄÅÅÂ, Â. À. ËÈÕÎØÂÀÉ, Ä. Í. ØÒÎÊÀËÎ, Â. Ê. ÊÎÐÎËÅ In this paper we discuss the mathematical modeling of the matrix synthesis of non-regular polymers of DNA, RNA and proteins. As an example, we consider a non-linear model allowing for reversibility and sinks. Numerical methods are used to study the possibility of describing the constructed model by a delay dierential equation. Keywords: mathematical model, matrix synthesis, dierence scheme, autonomous system of equations, delay dierential equation, uniform convergence. Abstract.  äàííîé ðàáîòå ìû ïîäâîäèì ïðîìåæóòî÷íûé èòîã èññëåäîâàíèÿì ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ìàòðè÷íîãî ñèíòåçà íåðåãóëÿðíûõ ïîëèìåðîâ ÄÍÊ, ÐÍÊ è áåëêîâ, êîòîðûå íà ïðîòÿæåíèè ìíîãèõ ëåò áûëè ïðåäìåòîì èññëåäîâàíèé â Èíñòèòóòå öèòîëîãèè è ãåíåòèêè ÑÎ ÐÀÍ è Èíñòèòóòå ìàòåìàòèêè ÑÎ ÐÀÍ. Ôîðìàëüíàÿ ñõåìà ïðîöåññà ñèíòåçà ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 1. Ñîãëàñíî ñõåìå ïðîöåññ íà÷èíàåòñÿ ñ ïåðâîé ñòàäèè, ãäå âåùåñòâî ñ êîíöåíòðàöèåé x1 îáðàçóåòñÿ ïîä âîçäåéñòâèåì èíèöèàöèè, êîòîðàÿ â ñâîþ î÷åðåäü îïðåäåëÿåòñÿ êîíå÷íûì ïðîäóêòîì ñèíòåçà ñ êîíöåíòðàöèåé íà ïîñëåäíåé ñòàäèè (àâòîðåãóëÿöèÿ). Ñòðåëêè ìåæäó èçîáðàæåíèÿìè ñòàäèé îçíà÷àþò, ÷òî íà êàæäîé èç ïðîìåæóòî÷íûõ ñòàäèé ñêîðîñòè ðåàêöèé çàâèñÿò îò êîíöåíòðàöèé ñîñåäíèõ ñòàäèé. Ïîëó÷àåìûé ïðîäóêò ñèíòåçà óòèëèçèðóåòñÿ. Êðîìå òîãî, íà êàæäîé èç ñòàäèé ó÷èòûâàþòñÿ ñòîêè âåùåñòâà. Fadeev, S.I., Likhoshvai, V.A., Shtokalo, D.N., Korolev, V.K., Studying the mathematical models for the matrix synthesis of non-regular polymers of DNA, RNA and proteins. c ⃝ 2010 Ôàäååâ Ñ.È, Ëèõîøâàé Â.À., Øòîêàëî Ä.Í., Êîðîëåâ Â.Ê. Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (ãðàíò 10-01-00717), Ïðîãðàìì ÐÀÍ (ïðîåêòû 22.8 è 21.26) è Ïðåçèäèóìà ÑÎ ÐÀÍ (ïðîåêòû 107, 119). Ïîñòóïèëà 9 äåêàáðÿ 2010 ã., îïóáëèêîâàíà 14 äåêàáðÿ 2010 ã. 467 468 Ñ. È. ÔÀÄÅÅÂ, Â. À. ËÈÕÎØÂÀÉ, Ä. Í. ØÒÎÊÀËÎ, Â. Ê. ÊÎÐÎËÅ Ñõåìà ìíîãîñòàäèéíîãî ïðîöåññà ñèíòåçà áèîïîëèìåðà ñ ó÷åòîì îáðàòèìîñòè è ñòîêîâ. Çäåñü n ÷èñëî ñòàäèé, xk êîíöåíòðàöèÿ âåùåñòâà íà k -îé ñòàäèè, xn ïðîäóêò ñèíòåçà. Ðèñ. 1.  óêàçàííóþ ñõåìó âïîëíå âïèñûâàåòñÿ ðåàëüíûé ïðîöåññ, èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 2.( http://www.bio.miami.edu/dana/250/prokaryotetranscrip.jpg ) Çäåñü (À) ýëåêòðîííàÿ ôîòîãðàôèÿ ðåàëüíûõ ïðîöåññîâ ñèíòåçà ìÐÍÊ è áåëêîâ â ïðîêàðèîòàõ; (Â) ïðîöåññû ñèíòåçà ìÐÍÊ è áåëêîâ, ïîêàçàííûå â âèäå ñõåìû. Íà ôîòîãðàôèè (À) õîðîøî âèäíà íèòü ÄÍÊ (DNA), ê êîòîðîé ïðèêðåïëåíî íåñêîëüêî íèòåé ìÐÍÊ (mRNA).  îñíîâàíèè êàæäîé âèëêè, êîòîðóþ ñîñòàâëÿþò ìÐÍÊ è ÄÍÊ íàõîäèòñÿ ïî îäíîìó òðàíñêðèïöèîííîìó êîìïëåñó ÐÍÊ-ïîëèìåðàçû (RNA-polimerase). Êàæäûé êîìïëåêñ ÐÍÊ-ïîëèìåðàçû ñèíòåçèðóåò îäíó íèòü ìÐÍÊ. Êàæäàÿ ìîëåêóëà ìÐÍÊ ñëóæèò ìàòðèöåé äëÿ ñèíòåçà ìîëåêóëû áåëêà. Ñèíòåç áåëêîâ îñóùåñòâëÿþò òðàíñëÿöèîííûå ìàøèíû - ðèáîñîìû (ribosome), êîòîðûå âèäíû íà ôîòîãðàôèè â âèäå áóñèí, íàíèçàííûõ íà íèòü ìÐÍÊ. Õîðîøî âèäíî, ÷òî ñ îäíîé íèòè ÄÍÊ (èëè ìÐÍÊ) ìîæåò îäíîâðåìåííî ñèíòåçèðîâàòüñÿ íåñêîëüêî ìîëåêóë ìÐÍÊ (èëè áåëêà). Ïðèâåäåì äëÿ îïðåäåëåííîñòè àâòîíîìíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé äîñòàòî÷íî îáùåãî âèäà, ñîãëàñîâàííóþ ñî ñõåìîé íà ðèñ. 1, è ïîçâîëÿþùóþ ìîäåëèðîâàòü ìàòðè÷íûå ïðîöåññû, ïðåäñòàâëåííûå íà ðèñ. 2: dx1 dt = + − f (xn ) − fn,1 (x)x1 + fn,2 (x)x2 − sn,1 (x)x1 , i = 2, 3, ..., n − 2, (1) dxi dt dxn−1 dt dxn dt = + + − fn,i−1 (x)xi−1 − fn,i (x)xi − fn,i (x)xi + − +fn,i+1 (x)xi+1 − sn,i (x)xi , = + + − (x)xn−2 − fn,n−1 (x)xn−1 − fn,n (x)xn − sn,n−1 (x)xn−1 , fn,n−2 = + fn,n−1 (x)xn−1 − g(xn ). ÎÁ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÈ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÌÎÄÅËÅÉ Ðèñ. 2. 469 Ìàòðè÷íûå ïðîöåññû ñèíòåçà áèîïîëèìåðîâ. Çäåñü n ÷èñëî ñòàäèé, x âåêòîð ñ êîìïîíåíòàìè x1 , x2 , ..., xn ; + − fn,i (x), fn,i (x), sn,j (x) ôóíêöèè, çàäàþùèå ñêîðîñòè ïðÿìîãî, îáðàòíîãî ïðîöåññîâ è ñòîêîâ ñîîòâåòñòâåííî; ôóíêöèÿ f (xn ) îïèñûâàåò ñêîðîñòü èíèöèàöèè ñèíòåçà, êîòîðàÿ çàâèñèò îò êîíöåíòðàöèè ãîòîâîãî ïðîäóêòà xn , g(xn ) ñêîðîñòü óòèëèçàöèè ïðîäóêòà ñèíòåçà. Ïåðå÷èñëåííûå ôóíêöèè îïðåäåëåíû ïðè ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòà, êàê äîñòàòî÷íî ãëàäêèå è ïîëîæèòåëüíûå.  2003 ãîäó áûëà âûñêàçàíà ãèïîòåçà î òåñíîé ñâÿçè ñèñòåì (1) ñ ëèíåéíûì îïèñàíèåì ïðîöåññîâ ïðîìåæóòî÷íûõ ñòàäèé áåç ó÷åòà îáðàòèìîñòè è ñòîêîâ ñîîòâåòñòâóþùèìè óðàâíåíèÿìè ñ çàïàçäûâàþùèì àðãóìåíòîì [1], ñîãëàñíî êîòîðîé êîìïîíåíòà xn (t) ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n ñòðåìèòñÿ ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàþùèì àðãóìåíòîì.  2004 ã. äàííàÿ ãèïîòåçà áûëà ñòðîãî îáîñíîâàíà Ã.Â. Äåìèäåíêî â ðàáîòå [2].  ýòîé ðàáîòå, à òàêæå â ðàáîòå [3], áûëà âûñêàçàíà îáîáùàþùàÿ ãèïîòåçà î òîì, ÷òî ñèñòåìà (1) îáëàäàåò òåì æå ñâîéñòâîì äëÿ áîëåå øèðîêîãî êëàññà ôóíêöèé, îïèñûâàþùèõ ïðîöåññû ïðîìåæóòî÷íîãî ñèíòåçà ïîëèìåðîâ.  2005 ã. áûëè îïóáëèêîâàíû ÷èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû, ïîêàçàâøèå ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà îò ñèñòåì (1) ñ ëèíåéíûì îïèñàíèåì ïðÿìûõ è îáðàòíûõ ïðîöåññîâ è ñòîêîâ, ò. å. ñèñòåì, ó÷èòûâàþùèõ îáðàòèìîñòü, ê óðàâíåíèþ ñ çàïàçäûâàþùèì àðãóìåíòîì, Òàì æå óêàçàíî óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà, òðåáóþùåå ïðåîáëàäàíèå ïðÿìîãî ïðîöåññà íàä îáðàòíûì [4]. Ñòðîãîå äîêàçàòåëüñòâî ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà ïðèâåäåíî â 2009 ã. [5]. 470 Ñ. È. ÔÀÄÅÅÂ, Â. À. ËÈÕÎØÂÀÉ, Ä. Í. ØÒÎÊÀËÎ, Â. Ê. ÊÎÐÎËÅ Îäíîâðåìåííî ñ äàííûìè ðàáîòàìè áûëè ïîëó÷åíû âàæíûå ðåçóëüòàòû ñ îïèñàíèåì êëàññà ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, íåïîñðåäñòâåííî íå ñâÿçàííûõ ñ ìîäåëèðîâàíèåì ñèíòåçà, íî îáëàäàþùèõ àíàëîãè÷íûìè ïðåäåëüíûìè ñâîéñòâàìè ñ îöåíêàìè ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè. Ñïèñîê ðàáîò, íå ïðåòåíäóþùèé íà ïîëíîòó, èìååòñÿ â [6].  äàííîé ðàáîòå ìû îáðàùàåì îñíîâíîå âíèìàíèå íà íåëèíåéíîå îïèñàíèå ïðîöåññîâ ïðîìåæóòî÷íûõ ñòàäèé è èõ âëèÿíèå íà ïîâåäåíèå ðåøåíèÿ ñèñòåìû (1) ïðè áîëüøîì ÷èñëå ïðîìåæóòî÷íûõ ñòàäèé (ïðè n ïîðÿäêà ñîòåí òûñÿ÷ è áîëåå). Ìû ïîëàãàåì, ÷òî åñëè àâòîíîìíàÿ ñèñòåìà (1) äåéñòâèòåëüíî ñîîòâåòñòâóåò ðåàëüíûì ïðîöåññàì ñèíòåçà, òî èìååò ìåñòî ïðåäåëüíûé ïåðåõîä, â êîòîðîì îïèñàíèå ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîäóêòà ñèíòåçà ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî èç ðåøåíèÿ ñëåäóþùåãî óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàþùèì àðãóìåíòîì: dy = Df (y(t − τ )) − g(y)y, dt ãäå äåôåêò D è çàïàçäûâàíèå τ çàâèñÿò îò ñòðóêòóðû ïðàâûõ ÷àñòåé (1). Ôèçè÷åñêèé ñìûñë äåôåêòà ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïðè íàëè÷èè ñòîêîâ òîëüêî ÷àñòü èíèöèèðîâàííûõ ïðîöåññîâ ñèíòåçà çàêàí÷èâàåòñÿ ïîÿâëåíèåì êîíå÷íîãî ïðîäóêòà. Íàïðèìåð, D = 1, åñëè ñòîêè îòñóòñòâóþò. Åñëè τ ïîñòîÿííîå è âñå sn,j = ω , òî D = e−ωτ . Êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé (1) ðàññìîòðèì àâòîíîìíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé âèäà: dx1 dt dxi dt (2) dxn−1 dt n − 1 x1 n − 1 x2 − ωx1 , σ + τ1 1 + ρx1 τ2 1 + ρxσ2 i = 2, 3, ) ( ..., n − 2, ( n−1 xi n−1 xi−1 xi = − − − τ1 1 + ρxσi−1 1 + ρxσi τ2 1 + ρxσi ) xi+1 − − ωxi , 1 + ρxσi+1 ) ( n−1 xn−1 xn−2 = − − τ1 1 + ρxσn−2 1 + ρxσn−1 = f (xn ) − − dxn dt = n − 1 xn−1 − ωxn−1 , τ2 1 + ρxσn−1 n − 1 xn−1 − θxn , τ1 1 + ρxσn−1 x1 = x2 = ... = xn = 0, ãäå t = 0. Çäåñü τ1 > 0, τ2 > 0 âðåìÿ ïðîòåêàíèÿ ðåàêöèè ïðÿìîãî è îáðàòíîãî ïðîöåññîâ; (n − 1)/τ1 , (n − 1)/τ2 êîíñòàíòû ñêîðîñòåé ðåàêöèé íà êàæäîé èç ñòàäèé; θ > 0, ω ≥ 0 êîíñòàíòû óòèëèçàöèè è ñòîêà; ρ ≥ 0 è σ > 0 ïàðàìåòðû, õàðàêòåðèçóþùèå íåëèíåéíîñòü â îïèñàíèè ïðîìåæóòî÷íûõ ñòàäèé; f (xn ) ôóíêöèÿ èç êëàññà ôóíêöèé Õèëëà, äàþùàÿ îïèñàíèå ñêîðîñòè èíèöèàöèè ñèíòåçà, íàïðèìåð, f (z) = α 1 + βz γ ÎÁ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÈ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÌÎÄÅËÅÉ 471 ñ ïàðàìåòðàìè α > 0, β > 0, γ ≥ 0. Ïðè ρ = 0 ñèñòåìà (2) ïðåäñòàâëÿåò ìîäåëü ñèíòåçà ñ ëèíåéíûì îïèñàíèåì ïðîìåæóòî÷íûõ ñòàäèé. Ïðèâåä¼ì îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî èññëåäîâàíèÿ ñèñòåìû (2). Áîëåå ïîëíîå èçëîæåíèå ðåçóëüòàòîâ ñîäåðæèòñÿ â [6]. Êàê óæå îòìå÷àëîñü, â ñëó÷àå ëèíåéíîãî îïèñàíèÿ ïðîìåæóòî÷íûõ ñòàäèé ïðåäåëüíîå ñâîéñòâî èìååò ñòðîãîå îáîñíîâàíèå. Òåîðåìà. Ïóñòü â (2) ρ = 0, τ2 > τ1 . Òîãäà äëÿ ëþáîãî T > 0 èìååò ìåñòî ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü sup |xn (t) − y(t)|→ 0 ïðè n → ∞, t∈[0,T ] ãäå xn (t) n-ÿ êîìïîíåíòà ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (2), y(t) ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàþùèì àðãóìåíòîì ñ íóëåâûìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè: y(t) = 0 ïðè t ≤ τ, (3) t > τ, dy (t) = e−ωτ f (y(t − τ )) − θx(t), dt ãäå (4) τ= τ1 τ2 , τ2 > τ1 . τ2 − τ1 Àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå èìååò ìåñòî â ñëó÷àå ρ > 0, êîòîðîå ìû ñôîðìóëèðóåì êàê ãèïîòåçó.  äàëüíåéøåì ãèïîòåçà áóäåò ïîäòâåðæäåíà â ðàìêàõ ÷èñëåííîãî ýêñïåðèìåíòà. Ãèïîòåçà. Ïóñòü τ2 > τ1 . Òîãäà äëÿ ëþáûõ T > 0 è σ > 0 èìååò ìåñòî ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü sup |xn (t) − y(t)|→ 0 ïðè n → ∞, t∈[0,T ] ãäå xn (t) n-ÿ êîìïîíåíòà ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (2), y(t) ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàþùèì àðãóìåíòîì (3), (4). ×èñëåííîå èññëåäîâàíèå ïðåäåëüíûõ ñâîéñòâ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ñèíòåçà ñâÿçàíî ñ íåîáõîäèìîñòüþ èíòåãðèðîâàíèÿ àâòîíîìíûõ ñèñòåì óðàâíåíèé áîëüøîé ðàçìåðíîñòè (äåñÿòêè ñîòåí òûñÿ÷ è áîëåå óðàâíåíèé). Ïîýòîìó âîçíèêàåò ïîòðåáíîñòü â ýôôåêòèâíîì ìåòîäå èíòåãðèðîâàíèÿ, êîòîðûé ïîçâîëèë áû ïðè ðàçóìíûõ âðåìåííûõ çàòðàòàõ ïðîâîäèòü ÷èñëåííîå èññëåäîâàíèå ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè (2) íà äîñòàòî÷íî áîëüøîì èíòåðâàëå ïî âðåìåíè. Î÷åâèäíî, ÷òî îáðàùåíèå ê ñòàíäàðòíûì ìåòîäàì èíòåãðèðîâàíèÿ çäåñü ñòàíîâèòñÿ ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíûì, åñëè èìååòñÿ â âèäó ïðèìåíåíèå îáû÷íîé âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè. Ïðèâåäåì ïðåäëîæåííóþ â [6] ôîðìóëèðîâêó ïîëóíåÿâíîé ðàçíîñòíîé ñõåìû èíòåãðèðîâàíèÿ (2) ñ ïîãðåøíîñòüþ àïïðîêñèìàöèè ïîðÿäêà øàãà èíòåãðèðîâàíèÿ h. Ðàññìîòðèì ýëåìåíòàðíûé îòðåçîê èíòåãðèðîâàíèÿ, ââåäÿ îáîçíà÷åíèÿ: tk ≤ t ≤ tk+1 , ui = xi (tk ), vi = xi (tk+1 ). Ïîñëå çàìåíû â (2) ïðîèçâîäíûõ â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî dxi xi (tk + h) − xi (tk ) vi − ui ≈ = , dt h h 472 Ñ. È. ÔÀÄÅÅÂ, Â. À. ËÈÕÎØÂÀÉ, Ä. Í. ØÒÎÊÀËÎ, Â. Ê. ÊÎÐÎËÅ ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé ðàçíîñòíîé ñõåìû â âèäå: v1 u1 1 v2 u2 0 1 (5) A · · · = h · · · + f (vn ) · · · vn−2 un−2 0 vn−1 un−1 0 ) ( 1 1 + θ vn = un . −an−1 vn−1 + h h Çäåñü A= c1 −a1 ··· −b2 c2 ··· , −b3 ··· −an−2 ··· cn−1 −an−1 ··· −bn cn ((n − 1) × (n − 1))-ìàòðèöà, ñ ýëåìåíòàìè ai = n−1 n−1 , i = 2, 3, ..., n, σ , i = 1, 2, ..., n − 1, bi = τ1 (1 + ρui ) τ2 (1 + ρuσi ) 1 1 c1 = + a1 + ω, ci = + ai + bi + ω, i = 2, 3, ..., n. h h Îòìåòèì, ÷òî çíà÷åíèÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû âû÷èñëÿþòñÿ ïðè t = tk è ïîýòîìó èçâåñòíû. Ìåòîä ðåøåíèÿ ñèñòåìû (5) ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïóñòü wi è zi , i = 1, 2, . . . , n − 1, ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ ìàòðèöåé A: w1 u1 z1 1 w2 z2 0 1 u2 · · · · · · (6) A = h , A ··· = ··· . wn−2 un−2 zn−2 0 wn−1 un−1 zn−1 0 Ïðè ýòîì 1 un + an−1 wn−1 h wn = , 1 +θ h Òîãäà ëèíåéíûå êîìáèíàöèè zn = an−1 zn−1 . 1 +θ h vi = wi + pzi , i = 1, 2, . . . , n, ãäå p ïàðàìåòð, áóäóò äàâàòü ðåøåíèå (5), åñëè p ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ: (7) F (p) = p − f (wn + pzn ) = 0. ÎÁ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÈ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÌÎÄÅËÅÉ 473 Îòìåòèì îñíîâíûå ñâîéñòâà àëãîðèòìà. 1.  ñèëó ìîíîòîííîñòè ìàòðèöû A (äèàãîíàëüíîå ïðåîáëàäàíèå, ïîëîæèòåëüíûå äèàãîíàëüíûå è íåïîëîæèòåëüíûå âíåäèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû) ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (6) âñåãäà íåîòðèöàòåëüíû. 2. Äèàãîíàëüíîå ïðåîáëàäàíèå â òðåõ äèàãîíàëüíîé ìàòðèöå A ïîçâîëÿåò ïðèìåíèòü âûñîêî ýôôåêòèâíûé ìåòîä ïðîãîíêè äëÿ ðåøåíèÿ (6). Ïðè ýòîì ðåøåíèå íàõîäèòñÿ çà ÷èñëî àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé ïîðÿäêà n. Îáóñëîâëåííîñòü ìàòðèöû A èìååò ïîðÿäîê hn. 3. Åñëè f (vn ) ïîëîæèòåëüíàÿ, ñòðîãî óáûâàþùàÿ ñ ðîñòîì àðãóìåíòà ôóíêöèÿ óêàçàííîãî òèïà, òî, êàê ëåãêî çàìåòèòü, óðàâíåíèå (7) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðà p èìååò åäèíñòâåííîå ïîëîæèòåëüíîå ðåøåíèå, êîòîðîå ìîæåò áûòü íàéäåíî ïî ìåòîäó Íüþòîíà ñ íà÷àëüíûì ïðèáëèæåíèåì: p = p0 , p0 = f (un ). 4. Èç âûøå ñêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî èòîãîì ïðèìåíåíèÿ àëãîðèòìà ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå ïîëîæèòåëüíîãî (ñòðîãî ãîâîðÿ, íåîòðèöàòåëüíîãî) ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé ðàçíîñòíîé ñõåìû (5). Ðåàëüíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ, âûñîêàÿ óñòîé÷èâîñòü è ñõîäèìîñòü ïðåäëîæåííîé íåÿâíîé ñõåìû ïîäòâåðæäåíà ìíîãî÷èñëåííûìè ïðèìåðàìè. Íåâûñîêèé ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè êîìïåíñèðóåòñÿ âûñîêîé ýêîíîìè÷íîñòüþ ìåòîäà, ïîçâîëÿþùåãî èíòåãðèðîâàòü ñèñòåìó (2) ñ äîñòàòî÷íî ìàëûì øàãîì. Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî èññëåäîâàíèÿ ïðåäåëüíîãî ñâîéñòâà (2) ïðèâåäåíû â [6]. Êàê îêàçàëîñü, ó÷åò íåëèíåéíîñòè â îïèñàíèè ïðîöåññîâ ïðîìåæóòî÷íûõ ñòàäèé ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè ñóùåñòâåííî âëèÿåò íà ïðåäåëüíîå ñâîéñòâî, óêàçûâàÿ íà îáëàñòü ïàðàìåòðîâ ìîäåëè, â êîòîðîé ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ñòàíîâèòñÿ ïðàêòè÷åñêè íå âîçìîæíûì. Åñëè σ ≥ 1, èëè íå ñëèøêîì îòëè÷àåòñÿ îò åäèíèöû â ìåíüøóþ ñòîðîíó, òî ñðàâíåíèå ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîäóêòà ñèíòåçà, çàäàâàåìîå êîìïîíåíòîé xn (t) ñèñòåìû (2), ñ òåì, ÷òî äà¼ò ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàþùèì àðãóìåíòîì (3), îñóùåñòâëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî èíòåãðèðîâàíèåì (2) ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ n. Ïðèâåä¼ííûå íà ðèñ. 3 ðåçóëüòàòû ñîîòâåòñòâóþò σ = 0.75, n = 106 .  äàííîì ñëó÷àå çíà÷åíèå n âçÿòî çàâûøåííûì ñ öåëüþ äåìîíñòðàöèè âîçìîæíîñòåé ïðåäëîæåííîãî ìåòîäà èíòåãðèðîâàíèÿ.  õîäå ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ áûëî óñòàíîâëåíî èíòåðåñíîå ñâîéñòâî (2). Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n êîìïîíåíòà xn (t) áóäåò ïî÷òè èäåàëüíî ñîâïàäàòü ñ ôóíêöèåé y(t), ÿâëÿþùåéñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàþùèì àðãóìåíòîì (3), ãäå τ1 τ2 (1 + q), τ2 > τ1 , 0 < q < 1, τ2 − τ1 åñëè çíà÷åíèå ïàðàìåòðà q îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ ñîâïàäåíèÿ ïåðèîäîâ óñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáàíèé àâòîíîìíîé ñèñòåìû (2) è óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàþùèì àðãóìåíòîì (3), (8). Ïðè ýòîì çíà÷åíèå q áóäåò èìåòü ïîðÿäîê n−σ äëÿ σ , áëèçêèõ ê íóëþ. Òàê, ïðè óêàçàííûõ íà ðèñ. 3 çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ, σ = 2/5, çíà÷åíèå q áóäåò ìåíüøå 1/100, åñëè n > 2.5 106 . Òàêèì îáðàçîì, èñïîëüçîâàíèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàþùèì àðãóìåíòîì (3), (4) äëÿ îïèñàíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîäóêòà ñèíòåçà ñòàíîâèòñÿ ïðîáëåìàòè÷íûì ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà σ . (8) τ= 474 Ñ. È. ÔÀÄÅÅÂ, Â. À. ËÈÕÎØÂÀÉ, Ä. Í. ØÒÎÊÀËÎ, Â. Ê. ÊÎÐÎËÅ Ðèñ. 3. Èëëþñòðàöèÿ ïðåäåëüíîãî ñâîéñòâà àâòîíîìíîé ñèñòåìû (2). Ïðè n = 106 , τ1 = 2, τ2 = 4, θ = 2, ω = 1/10, ρ = 1, σ = 3/4, α = 5, β = 1, γ = 4, ãðàôèêè xn (t) è ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàþùèì àðãóìåíòîì y(t) (3) ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàþò. ×èñëåííîå èññëåäîâàíèå ìîäåëåé ïðîâîäèëîñü ñ èñïîëüçîâàíèåì ïàêåòà ïðîãðàìì HGNET-2, â êîòîðîì ðåàëèçîâàí ïðåäëîæåííûé àëãîðèòì ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ. Çàêëþ÷åíèå Ïðåäñòàâëåííûå â ðàáîòå ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî àíàëèçà íåëèíåéíûõ ìîäåëåé ìíîãîñòàäèéíîãî ñèíòåçà âåùåñòâà ïîäòâåðæäàþò, ÷òî óñòàíîâëåííàÿ â ðàìêàõ ðàíåå äîêàçàííûõ ïðåäåëüíûõ òåîðåì âçàèìîñâÿçü ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàþùèìè àðãóìåíòàìè ìîæåò áûòü ðàñïðîñòðàíåíà íà áîëåå øèðîêèé êëàññ íåëèíåéíûõ ìîäåëåé, îïèñûâàþùèõ ïðîöåññû ñèíòåçà âåùåñòâà ñ ó÷åòîì âîçìîæíîñòè ïðîòåêàíèÿ ïðîöåññà ñèíòåçà â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè (ðàñùåïëåíèå ïîëèìåðà) è ñïîíòàííîé òåðìèíàöèè ïðîöåññîâ ïðîìåæóòî÷íîãî ñèíòåçà. Ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïðàâäîïîäîáíûì, ÷òî îäíèì èç íåîáõîäèìûõ óñëîâèé êîððåêòíîñòè ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà ê óðàâíåíèþ ñ çàïàçäûâàþùèì àðãóìåíòîì, ÿâëÿåòñÿ ïðåîáëàäàíèå ñêîðîñòè ïðîòåêàíèÿ ïðÿìîãî ïðîöåññà íàä îáðàòíûì. Ðàññìîòðåííûå ìîäåëè ÿâëÿþòñÿ äîñòàòî÷íî óíèâåðñàëüíûìè è ïîçâîëÿþò ïðèìåíÿòü èõ ê ìîäåëèðîâàíèþ ìàòðè÷íûõ ïðîöåññîâ ñèíòåçà ÄÍÊ, ÐÍÊ è áåëêîâ.  ðåçóëüòàòå, èç ïðåäñòàâëåííûõ â íàñòîÿùåé ðàáîòå ðåçóëüòàòîâ â ñîâîêóïíîñòè ñ ðàíåå äîêàçàííûìè ïðåäåëüíûìè òåîðåìàìè, ñëåäóåò âàæíîå çàêëþ÷åíèå î âîçìîæíîñòè àäåêâàòíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ãåííûõ ñåòåé, íå ïðèáåãàÿ ê äåòàëüíîìó îïèñàíèþ â íèõ ìåõàíèçìîâ ñèíòåçà ÄÍÊ, ÐÍÊ è áåëêîâ. Îáîáùàÿ äàííûé âûâîä ìîæíî òàêæå ñêàçàòü, ÷òî íàøè ðåçóëüòàòû îáîñíîâûâàþò òåçèñ î âîçìîæíîñòè àäåêâàòíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ áèîëîãè÷åñêèõ ñèñòåì â óñëîâèÿõ íåïîëíîãî çíàíèÿ äåòàëåé ìåõàíèçìîâ ôóíêöèîíèðîâàíèÿ èõ ïîäñèñòåì. ÎÁ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÈ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÌÎÄÅËÅÉ 475 Åñëè ó÷åñòü, ÷òî áèîëîãè÷åñêèå ñèñòåìû, êàê ïðàâèëî, èçó÷åíû íåäîñòàòî÷íî ïîäðîáíî è íàøè òåêóùèå çíàíèÿ î ìîëåêóëÿðíûõ ìåõàíèçìàõ âåñüìà íåïîëíû, äàííûé âûâîä èìååò ôóíäàìåíòàëüíîå ìåòîäîëîãè÷åñêîå çíà÷åíèå. Àâòîðû âûðàæàþò èñêðåííþþ áëàãîäàðíîñòü Ñ.Ê. Ãîäóíîâó çà ñîâåòû è ïîääåðæêó ðàáîòû, Ã.Â. Äåìèäåíêî è ó÷àñòíèêàì ñåìèíàðîâ, ïðîõîäèâøèõ ïîä åãî ðóêîâîäñòâîì, çà àêòèâíîå îáñóæäåíèå ðàáîòû è çàìå÷àíèÿ. Àâòîðû âûðàæàþò áëàãîäàðíîñòü È.À. Ãàéíîâîé çà ïîäãîòîâêó ñòàòüè ê èçäàíèþ. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] Â.À. Ëèõîøâàé, Þ.Ã. Ìàòóøêèí, Ñ.È. Ôàäååâ, Çàäà÷è òåîðèè ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ãåííûõ ñåòåé, Ñèáèðñêèé æóðíàë èíäóñòðèàëüíîé ìàòåìàòèêè, 6: 2 (2003), 6480. [2] Â.À. Ëèõîøâàé, Ñ.È. Ôàäååâ, Þ.Ã. Ìàòóøêèí, Ã.Â. Äåìèäåíêî, Í.À. Êîë÷àíîâ Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå ðåãóëÿòîðíûõ êîíòóðîâ ãåííûõ ñåòåé, Æóðíàë âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, 44: 10 (2004), 19211940. [3] Â.À. Ëèõîøâàé, Ñ.È. Ôàäååâ, Ã.Â. Äåìèäåíêî, Þ.Ã. Ìàòóøêèí, Ìîäåëèðîâàíèå ìíîãîñòàäèéíîãî ñèíòåçà âåùåñòâà áåç âåòâëåíèÿ óðàâíåíèåì ñ çàïàçäûâàþùèì , Ñèáèðñêèé æóðíàë èíäóñòðèàëüíîé ìàòåìàòèêè, 7: 1 (2004), 7394. [4] Ñ.È. Ôàäååâ, Â.À. Ëèõîøâàé, Ä.Í. Øòîêàëî, Èññëåäîâàíèå ìîäåëè ñèíòåçà ëèíåéíûõ áèîìîëåêóë ñ ó÷åòîì îáðàòèìîñòè ïðîöåññîâ, Ñèáèðñêèé æóðíàë èíäóñòðèàëüíîé ìàòåìàòèêè, 8: 3 (2005), 149162. [5] Ä.Í. Øòîêàëî, Î ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå ê óðàâíåíèþ ñ çàïàçäûâàþùèì àðãóìåíòîì â ìîäåëè ñèíòåçà âåùåñòâà ñ ó÷åòîì îáðàòèìîñòè è ñòîêîâ, Ñèáèðñêèé æóðíàë èíäóñòðèàëüíîé ìàòåìàòèêè, 12: 2 (2009), 143156. [6] Â.À. Ëèõîøâàé, Ñ.È. Ôàäååâ, Ä.Í. Øòîêàëî, Îá èññëåäîâàíèè íåëèíåéíûõ ìîäåëåé ìíîãîñòàäèéíîãî ñèíòåçà âåùåñòâà, Íîâîñèáèðñê, (Ïðåïðèíò / ÐÀÍ. Ñèá. îòä. Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè, 246 (2010), 37 ñòð. àðãóìåíòîì Ñòàíèñëàâ Èâàíîâè÷ Ôàäååâ Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè èì. Ñ.Ë. Ñîáîëåâà ÑÎ ÐÀÍ, ïð. àêàäåìèêà Êîïòþãà 4, Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò, óë. Ïèðîãîâà 2, 630090, Íîâîñèáèðñê, Ðîññèÿ E-mail address : [email protected] Âèòàëèé Àëåêñàíäðîâè÷ Ëèõîøâàé Èíñòèòóò öèòîëîãèè è ãåíåòèêè ÑÎ ÐÀÍ, ïð. àêàäåìèêà Ëàâðåíòüåâà 10, Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò, óë. Ïèðîãîâà 2, 630090, Íîâîñèáèðñê, Ðîññèÿ E-mail address : [email protected] Äìèòðèé Íèêîëàåâè÷ Øòîêàëî Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò, óë. Ïèðîãîâà 2, 630090, Íîâîñèáèðñê, Ðîññèÿ E-mail address : [email protected] Âèêòîð Êóçüìè÷ Êîðîëåâ Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè èì. Ñ.Ë. Ñîáîëåâà ÑÎ ÐÀÍ, ïð. àêàäåìèêà Êîïòþãà 4, 630090, Íîâîñèáèðñê, Ðîññèÿ E-mail address : [email protected]
