ÑÈÁÈÐÑÊÈÅ ÝËÅÊÒÐÎÍÍÛÅ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÅ

S⃝e MR
ISSN 1813-3304
ÑÈÁÈÐÑÊÈÅ ÝËÅÊÒÐÎÍÍÛÅ
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÈÇÂÅÑÒÈß
Siberian Electronic Mathematical Reports
http://semr.math.nsc.ru
ÓÄÊ 519.61,577.21
MSC 37M05
Òîì 7, ñòð. 467475 (2010)
ÎÁ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÈ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÌÎÄÅËÅÉ
ÌÀÒÐÈ×ÍÎÃÎ ÑÈÍÒÅÇÀ ÍÅÐÅÃÓËßÐÍÛÕ ÏÎËÈÌÅÐÎÂ
ÄÍÊ, ÐÍÊ È ÁÅËÊÎÂ
Ñ. È. ÔÀÄÅÅÂ, Â. À. ËÈÕÎØÂÀÉ, Ä. Í. ØÒÎÊÀËÎ, Â. Ê. ÊÎÐÎËÅÂ
In this paper we discuss the mathematical modeling of the
matrix synthesis of non-regular polymers of DNA, RNA and proteins. As
an example, we consider a non-linear model allowing for reversibility and
sinks. Numerical methods are used to study the possibility of describing
the constructed model by a delay dierential equation.
Keywords: mathematical model, matrix synthesis, dierence scheme,
autonomous system of equations, delay dierential equation, uniform
convergence.
Abstract.
 äàííîé ðàáîòå ìû ïîäâîäèì ïðîìåæóòî÷íûé èòîã èññëåäîâàíèÿì
ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ìàòðè÷íîãî ñèíòåçà íåðåãóëÿðíûõ ïîëèìåðîâ ÄÍÊ,
ÐÍÊ è áåëêîâ, êîòîðûå íà ïðîòÿæåíèè ìíîãèõ ëåò áûëè ïðåäìåòîì
èññëåäîâàíèé â Èíñòèòóòå öèòîëîãèè è ãåíåòèêè ÑÎ ÐÀÍ è Èíñòèòóòå
ìàòåìàòèêè ÑÎ ÐÀÍ. Ôîðìàëüíàÿ ñõåìà ïðîöåññà ñèíòåçà ïðåäñòàâëåíà íà
ðèñ. 1. Ñîãëàñíî ñõåìå ïðîöåññ íà÷èíàåòñÿ ñ ïåðâîé ñòàäèè, ãäå âåùåñòâî
ñ êîíöåíòðàöèåé x1 îáðàçóåòñÿ ïîä âîçäåéñòâèåì èíèöèàöèè, êîòîðàÿ â
ñâîþ î÷åðåäü îïðåäåëÿåòñÿ êîíå÷íûì ïðîäóêòîì ñèíòåçà ñ êîíöåíòðàöèåé íà
ïîñëåäíåé ñòàäèè (àâòîðåãóëÿöèÿ). Ñòðåëêè ìåæäó èçîáðàæåíèÿìè ñòàäèé
îçíà÷àþò, ÷òî íà êàæäîé èç ïðîìåæóòî÷íûõ ñòàäèé ñêîðîñòè ðåàêöèé
çàâèñÿò îò êîíöåíòðàöèé ñîñåäíèõ ñòàäèé. Ïîëó÷àåìûé ïðîäóêò ñèíòåçà
óòèëèçèðóåòñÿ. Êðîìå òîãî, íà êàæäîé èç ñòàäèé ó÷èòûâàþòñÿ ñòîêè âåùåñòâà.
Fadeev, S.I., Likhoshvai, V.A., Shtokalo, D.N., Korolev, V.K., Studying the mathematical models for the matrix synthesis of non-regular polymers of DNA, RNA and
proteins.
c
⃝
2010 Ôàäååâ Ñ.È, Ëèõîøâàé Â.À., Øòîêàëî Ä.Í., Êîðîëåâ Â.Ê.
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (ãðàíò  10-01-00717), Ïðîãðàìì ÐÀÍ (ïðîåêòû
 22.8 è  21.26) è Ïðåçèäèóìà ÑÎ ÐÀÍ (ïðîåêòû  107, 119).
Ïîñòóïèëà 9 äåêàáðÿ 2010 ã., îïóáëèêîâàíà 14 äåêàáðÿ 2010 ã.
467
468
Ñ. È. ÔÀÄÅÅÂ, Â. À. ËÈÕÎØÂÀÉ, Ä. Í. ØÒÎÊÀËÎ, Â. Ê. ÊÎÐÎËÅÂ
Ñõåìà ìíîãîñòàäèéíîãî ïðîöåññà ñèíòåçà áèîïîëèìåðà
ñ ó÷åòîì îáðàòèìîñòè è ñòîêîâ. Çäåñü n ÷èñëî ñòàäèé, xk êîíöåíòðàöèÿ âåùåñòâà íà k -îé ñòàäèè, xn ïðîäóêò ñèíòåçà.
Ðèñ. 1.
 óêàçàííóþ ñõåìó âïîëíå âïèñûâàåòñÿ ðåàëüíûé ïðîöåññ, èçîáðàæåííûé
íà ðèñ. 2.( http://www.bio.miami.edu/dana/250/prokaryotetranscrip.jpg ) Çäåñü
(À) ýëåêòðîííàÿ ôîòîãðàôèÿ ðåàëüíûõ ïðîöåññîâ ñèíòåçà ìÐÍÊ è áåëêîâ â
ïðîêàðèîòàõ; (Â) ïðîöåññû ñèíòåçà ìÐÍÊ è áåëêîâ, ïîêàçàííûå â âèäå ñõåìû.
Íà ôîòîãðàôèè (À) õîðîøî âèäíà íèòü ÄÍÊ (DNA), ê êîòîðîé ïðèêðåïëåíî
íåñêîëüêî íèòåé ìÐÍÊ (mRNA).  îñíîâàíèè êàæäîé âèëêè, êîòîðóþ
ñîñòàâëÿþò ìÐÍÊ è ÄÍÊ íàõîäèòñÿ ïî îäíîìó òðàíñêðèïöèîííîìó êîìïëåñó
ÐÍÊ-ïîëèìåðàçû (RNA-polimerase). Êàæäûé êîìïëåêñ ÐÍÊ-ïîëèìåðàçû
ñèíòåçèðóåò îäíó íèòü ìÐÍÊ. Êàæäàÿ ìîëåêóëà ìÐÍÊ ñëóæèò ìàòðèöåé
äëÿ ñèíòåçà ìîëåêóëû áåëêà. Ñèíòåç áåëêîâ îñóùåñòâëÿþò òðàíñëÿöèîííûå
ìàøèíû - ðèáîñîìû (ribosome), êîòîðûå âèäíû íà ôîòîãðàôèè â âèäå áóñèí,
íàíèçàííûõ íà íèòü ìÐÍÊ. Õîðîøî âèäíî, ÷òî ñ îäíîé íèòè ÄÍÊ (èëè ìÐÍÊ)
ìîæåò îäíîâðåìåííî ñèíòåçèðîâàòüñÿ íåñêîëüêî ìîëåêóë ìÐÍÊ (èëè áåëêà).
Ïðèâåäåì äëÿ îïðåäåëåííîñòè àâòîíîìíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé äîñòàòî÷íî
îáùåãî âèäà, ñîãëàñîâàííóþ ñî ñõåìîé íà ðèñ. 1, è ïîçâîëÿþùóþ ìîäåëèðîâàòü
ìàòðè÷íûå ïðîöåññû, ïðåäñòàâëåííûå íà ðèñ. 2:
dx1
dt
=
+
−
f (xn ) − fn,1
(x)x1 + fn,2
(x)x2 − sn,1 (x)x1 ,
i = 2, 3, ..., n − 2,
(1)
dxi
dt
dxn−1
dt
dxn
dt
=
+
+
−
fn,i−1
(x)xi−1 − fn,i
(x)xi − fn,i
(x)xi +
−
+fn,i+1
(x)xi+1 − sn,i (x)xi ,
=
+
+
−
(x)xn−2 − fn,n−1
(x)xn−1 − fn,n
(x)xn − sn,n−1 (x)xn−1 ,
fn,n−2
=
+
fn,n−1
(x)xn−1 − g(xn ).
ÎÁ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÈ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÌÎÄÅËÅÉ
Ðèñ. 2.
469
Ìàòðè÷íûå ïðîöåññû ñèíòåçà áèîïîëèìåðîâ.
Çäåñü n ÷èñëî ñòàäèé, x âåêòîð ñ êîìïîíåíòàìè x1 , x2 , ..., xn ;
+
−
fn,i
(x), fn,i
(x), sn,j (x) ôóíêöèè, çàäàþùèå ñêîðîñòè ïðÿìîãî, îáðàòíîãî
ïðîöåññîâ è ñòîêîâ ñîîòâåòñòâåííî; ôóíêöèÿ f (xn ) îïèñûâàåò ñêîðîñòü
èíèöèàöèè ñèíòåçà, êîòîðàÿ çàâèñèò îò êîíöåíòðàöèè ãîòîâîãî ïðîäóêòà xn ,
g(xn ) ñêîðîñòü óòèëèçàöèè ïðîäóêòà ñèíòåçà. Ïåðå÷èñëåííûå ôóíêöèè
îïðåäåëåíû ïðè ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòà, êàê äîñòàòî÷íî ãëàäêèå
è ïîëîæèòåëüíûå.
 2003 ãîäó áûëà âûñêàçàíà ãèïîòåçà î òåñíîé ñâÿçè ñèñòåì (1) ñ ëèíåéíûì
îïèñàíèåì ïðîöåññîâ ïðîìåæóòî÷íûõ ñòàäèé áåç ó÷åòà îáðàòèìîñòè è ñòîêîâ
ñîîòâåòñòâóþùèìè óðàâíåíèÿìè ñ çàïàçäûâàþùèì àðãóìåíòîì [1], ñîãëàñíî
êîòîðîé êîìïîíåíòà xn (t) ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n ñòðåìèòñÿ ê ðåøåíèþ
óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàþùèì àðãóìåíòîì. Â 2004 ã. äàííàÿ ãèïîòåçà áûëà
ñòðîãî îáîñíîâàíà Ã.Â. Äåìèäåíêî â ðàáîòå [2]. Â ýòîé ðàáîòå, à òàêæå â ðàáîòå
[3], áûëà âûñêàçàíà îáîáùàþùàÿ ãèïîòåçà î òîì, ÷òî ñèñòåìà (1) îáëàäàåò òåì
æå ñâîéñòâîì äëÿ áîëåå øèðîêîãî êëàññà ôóíêöèé, îïèñûâàþùèõ ïðîöåññû
ïðîìåæóòî÷íîãî ñèíòåçà ïîëèìåðîâ.
 2005 ã. áûëè îïóáëèêîâàíû ÷èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû, ïîêàçàâøèå
ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà îò ñèñòåì (1) ñ ëèíåéíûì îïèñàíèåì
ïðÿìûõ è îáðàòíûõ ïðîöåññîâ è ñòîêîâ, ò. å. ñèñòåì, ó÷èòûâàþùèõ
îáðàòèìîñòü, ê óðàâíåíèþ ñ çàïàçäûâàþùèì àðãóìåíòîì, Òàì æå óêàçàíî
óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà, òðåáóþùåå ïðåîáëàäàíèå
ïðÿìîãî ïðîöåññà íàä îáðàòíûì [4]. Ñòðîãîå äîêàçàòåëüñòâî ïðåäåëüíîãî
ïåðåõîäà ïðèâåäåíî â 2009 ã. [5].
470
Ñ. È. ÔÀÄÅÅÂ, Â. À. ËÈÕÎØÂÀÉ, Ä. Í. ØÒÎÊÀËÎ, Â. Ê. ÊÎÐÎËÅÂ
Îäíîâðåìåííî ñ äàííûìè ðàáîòàìè áûëè ïîëó÷åíû âàæíûå ðåçóëüòàòû ñ
îïèñàíèåì êëàññà ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, íåïîñðåäñòâåííî
íå ñâÿçàííûõ ñ ìîäåëèðîâàíèåì ñèíòåçà, íî îáëàäàþùèõ àíàëîãè÷íûìè
ïðåäåëüíûìè ñâîéñòâàìè ñ îöåíêàìè ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè. Ñïèñîê ðàáîò, íå
ïðåòåíäóþùèé íà ïîëíîòó, èìååòñÿ â [6].
 äàííîé ðàáîòå ìû îáðàùàåì îñíîâíîå âíèìàíèå íà íåëèíåéíîå îïèñàíèå
ïðîöåññîâ ïðîìåæóòî÷íûõ ñòàäèé è èõ âëèÿíèå íà ïîâåäåíèå ðåøåíèÿ ñèñòåìû
(1) ïðè áîëüøîì ÷èñëå ïðîìåæóòî÷íûõ ñòàäèé (ïðè n ïîðÿäêà ñîòåí òûñÿ÷
è áîëåå). Ìû ïîëàãàåì, ÷òî åñëè àâòîíîìíàÿ ñèñòåìà (1) äåéñòâèòåëüíî
ñîîòâåòñòâóåò ðåàëüíûì ïðîöåññàì ñèíòåçà, òî èìååò ìåñòî ïðåäåëüíûé
ïåðåõîä, â êîòîðîì îïèñàíèå ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîäóêòà ñèíòåçà ìîæåò áûòü
ïîëó÷åíî èç ðåøåíèÿ ñëåäóþùåãî óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàþùèì àðãóìåíòîì:
dy
= Df (y(t − τ )) − g(y)y,
dt
ãäå äåôåêò D è çàïàçäûâàíèå τ çàâèñÿò îò ñòðóêòóðû ïðàâûõ ÷àñòåé (1).
Ôèçè÷åñêèé ñìûñë äåôåêòà ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïðè íàëè÷èè ñòîêîâ òîëüêî
÷àñòü èíèöèèðîâàííûõ ïðîöåññîâ ñèíòåçà çàêàí÷èâàåòñÿ ïîÿâëåíèåì êîíå÷íîãî
ïðîäóêòà. Íàïðèìåð, D = 1, åñëè ñòîêè îòñóòñòâóþò. Åñëè τ ïîñòîÿííîå è âñå
sn,j = ω , òî D = e−ωτ .
Êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé (1) ðàññìîòðèì àâòîíîìíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé âèäà:
dx1
dt
dxi
dt
(2)
dxn−1
dt
n − 1 x1
n − 1 x2
− ωx1 ,
σ +
τ1 1 + ρx1
τ2 1 + ρxσ2
i = 2, 3,
)
( ..., n − 2,
(
n−1
xi
n−1
xi−1
xi
=
−
−
−
τ1
1 + ρxσi−1
1 + ρxσi
τ2
1 + ρxσi
)
xi+1
−
− ωxi ,
1 + ρxσi+1
)
(
n−1
xn−1
xn−2
=
−
−
τ1
1 + ρxσn−2
1 + ρxσn−1
= f (xn ) −
−
dxn
dt
=
n − 1 xn−1
− ωxn−1 ,
τ2 1 + ρxσn−1
n − 1 xn−1
− θxn ,
τ1 1 + ρxσn−1
x1 = x2 = ... = xn = 0, ãäå t = 0.
Çäåñü τ1 > 0, τ2 > 0 âðåìÿ ïðîòåêàíèÿ ðåàêöèè ïðÿìîãî è îáðàòíîãî
ïðîöåññîâ; (n − 1)/τ1 , (n − 1)/τ2 êîíñòàíòû ñêîðîñòåé ðåàêöèé íà êàæäîé
èç ñòàäèé; θ > 0, ω ≥ 0 êîíñòàíòû óòèëèçàöèè è ñòîêà; ρ ≥ 0 è σ > 0
ïàðàìåòðû, õàðàêòåðèçóþùèå íåëèíåéíîñòü â îïèñàíèè ïðîìåæóòî÷íûõ
ñòàäèé; f (xn ) ôóíêöèÿ èç êëàññà ôóíêöèé Õèëëà, äàþùàÿ îïèñàíèå ñêîðîñòè
èíèöèàöèè ñèíòåçà, íàïðèìåð,
f (z) =
α
1 + βz γ
ÎÁ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÈ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÌÎÄÅËÅÉ
471
ñ ïàðàìåòðàìè α > 0, β > 0, γ ≥ 0. Ïðè ρ = 0 ñèñòåìà (2) ïðåäñòàâëÿåò ìîäåëü
ñèíòåçà ñ ëèíåéíûì îïèñàíèåì ïðîìåæóòî÷íûõ ñòàäèé.
Ïðèâåä¼ì îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî èññëåäîâàíèÿ ñèñòåìû (2). Áîëåå
ïîëíîå èçëîæåíèå ðåçóëüòàòîâ ñîäåðæèòñÿ â [6].
Êàê óæå îòìå÷àëîñü, â ñëó÷àå ëèíåéíîãî îïèñàíèÿ ïðîìåæóòî÷íûõ ñòàäèé
ïðåäåëüíîå ñâîéñòâî èìååò ñòðîãîå îáîñíîâàíèå.
Òåîðåìà. Ïóñòü â (2) ρ = 0, τ2 > τ1 . Òîãäà äëÿ ëþáîãî T > 0 èìååò ìåñòî
ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü
sup |xn (t) − y(t)|→ 0 ïðè n → ∞,
t∈[0,T ]
ãäå xn (t) n-ÿ êîìïîíåíòà ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (2), y(t) ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
ñ çàïàçäûâàþùèì àðãóìåíòîì ñ íóëåâûìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè: y(t) = 0 ïðè
t ≤ τ,
(3)
t > τ,
dy
(t) = e−ωτ f (y(t − τ )) − θx(t),
dt
ãäå
(4)
τ=
τ1 τ2
, τ2 > τ1 .
τ2 − τ1
Àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå èìååò ìåñòî â ñëó÷àå ρ > 0, êîòîðîå ìû
ñôîðìóëèðóåì êàê ãèïîòåçó. Â äàëüíåéøåì ãèïîòåçà áóäåò ïîäòâåðæäåíà â
ðàìêàõ ÷èñëåííîãî ýêñïåðèìåíòà.
Ãèïîòåçà. Ïóñòü τ2 > τ1 . Òîãäà äëÿ ëþáûõ T > 0 è σ > 0 èìååò ìåñòî
ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü
sup |xn (t) − y(t)|→ 0 ïðè n → ∞,
t∈[0,T ]
ãäå xn (t) n-ÿ êîìïîíåíòà ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (2), y(t) ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
ñ çàïàçäûâàþùèì àðãóìåíòîì (3), (4).
×èñëåííîå èññëåäîâàíèå ïðåäåëüíûõ ñâîéñòâ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé
ñèíòåçà ñâÿçàíî ñ íåîáõîäèìîñòüþ èíòåãðèðîâàíèÿ àâòîíîìíûõ ñèñòåì
óðàâíåíèé áîëüøîé ðàçìåðíîñòè (äåñÿòêè ñîòåí òûñÿ÷ è áîëåå óðàâíåíèé).
Ïîýòîìó âîçíèêàåò ïîòðåáíîñòü â ýôôåêòèâíîì ìåòîäå èíòåãðèðîâàíèÿ,
êîòîðûé ïîçâîëèë áû ïðè ðàçóìíûõ âðåìåííûõ çàòðàòàõ ïðîâîäèòü ÷èñëåííîå
èññëåäîâàíèå ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè (2) íà äîñòàòî÷íî áîëüøîì èíòåðâàëå ïî
âðåìåíè. Î÷åâèäíî, ÷òî îáðàùåíèå ê ñòàíäàðòíûì ìåòîäàì èíòåãðèðîâàíèÿ
çäåñü ñòàíîâèòñÿ ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíûì, åñëè èìååòñÿ â âèäó ïðèìåíåíèå
îáû÷íîé âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè.
Ïðèâåäåì ïðåäëîæåííóþ â [6] ôîðìóëèðîâêó ïîëóíåÿâíîé ðàçíîñòíîé
ñõåìû èíòåãðèðîâàíèÿ (2) ñ ïîãðåøíîñòüþ àïïðîêñèìàöèè ïîðÿäêà øàãà
èíòåãðèðîâàíèÿ h. Ðàññìîòðèì ýëåìåíòàðíûé îòðåçîê èíòåãðèðîâàíèÿ, ââåäÿ
îáîçíà÷åíèÿ:
tk ≤ t ≤ tk+1 , ui = xi (tk ), vi = xi (tk+1 ).
Ïîñëå çàìåíû â (2) ïðîèçâîäíûõ â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî
dxi
xi (tk + h) − xi (tk )
vi − ui
≈
=
,
dt
h
h
472
Ñ. È. ÔÀÄÅÅÂ, Â. À. ËÈÕÎØÂÀÉ, Ä. Í. ØÒÎÊÀËÎ, Â. Ê. ÊÎÐÎËÅÂ
ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé ðàçíîñòíîé ñõåìû â âèäå:





v1
u1
1
 v2 
 u2 
 0

 1






(5)
A
 · · ·  = h  · · ·  + f (vn )  · · ·
 vn−2 
 un−2 
 0
vn−1
un−1
0
)
(
1
1
+ θ vn = un .
−an−1 vn−1 +
h
h
Çäåñü



A=


c1
−a1
···
−b2
c2
···



,



−b3
···
−an−2
···
cn−1
−an−1


··· 

−bn 
cn
((n − 1) × (n − 1))-ìàòðèöà, ñ ýëåìåíòàìè
ai =
n−1
n−1
, i = 2, 3, ..., n,
σ , i = 1, 2, ..., n − 1, bi =
τ1 (1 + ρui )
τ2 (1 + ρuσi )
1
1
c1 = + a1 + ω, ci = + ai + bi + ω, i = 2, 3, ..., n.
h
h
Îòìåòèì, ÷òî çíà÷åíèÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû âû÷èñëÿþòñÿ ïðè t = tk è ïîýòîìó
èçâåñòíû.
Ìåòîä ðåøåíèÿ ñèñòåìû (5) ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïóñòü wi è zi , i =
1, 2, . . . , n − 1, ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ
ìàòðèöåé A:





 

w1
u1
z1
1
 w2 


 z2   0 

 1  u2 

 






 

·
·
·
·
·
·
(6)
A
= h
, A ···  =  ··· .
 wn−2 
 un−2 
 zn−2   0 
wn−1
un−1
zn−1
0
Ïðè ýòîì
1
un + an−1 wn−1
h
wn =
,
1
+θ
h
Òîãäà ëèíåéíûå êîìáèíàöèè
zn =
an−1 zn−1
.
1
+θ
h
vi = wi + pzi , i = 1, 2, . . . , n,
ãäå p ïàðàìåòð, áóäóò äàâàòü ðåøåíèå (5), åñëè p ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì
óðàâíåíèÿ:
(7)
F (p) = p − f (wn + pzn ) = 0.
ÎÁ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÈ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÌÎÄÅËÅÉ
473
Îòìåòèì îñíîâíûå ñâîéñòâà àëãîðèòìà.
1. Â ñèëó ìîíîòîííîñòè ìàòðèöû A (äèàãîíàëüíîå ïðåîáëàäàíèå,
ïîëîæèòåëüíûå äèàãîíàëüíûå è íåïîëîæèòåëüíûå âíåäèàãîíàëüíûå
ýëåìåíòû) ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (6) âñåãäà
íåîòðèöàòåëüíû.
2. Äèàãîíàëüíîå ïðåîáëàäàíèå â òðåõ äèàãîíàëüíîé ìàòðèöå A ïîçâîëÿåò
ïðèìåíèòü âûñîêî ýôôåêòèâíûé ìåòîä ïðîãîíêè äëÿ ðåøåíèÿ (6). Ïðè
ýòîì ðåøåíèå íàõîäèòñÿ çà ÷èñëî àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé ïîðÿäêà n.
Îáóñëîâëåííîñòü ìàòðèöû A èìååò ïîðÿäîê hn.
3. Åñëè f (vn ) ïîëîæèòåëüíàÿ, ñòðîãî óáûâàþùàÿ ñ ðîñòîì àðãóìåíòà
ôóíêöèÿ óêàçàííîãî òèïà, òî, êàê ëåãêî çàìåòèòü, óðàâíåíèå (7) äëÿ
îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðà p èìååò åäèíñòâåííîå ïîëîæèòåëüíîå ðåøåíèå, êîòîðîå
ìîæåò áûòü íàéäåíî ïî ìåòîäó Íüþòîíà ñ íà÷àëüíûì ïðèáëèæåíèåì:
p = p0 , p0 = f (un ).
4. Èç âûøå ñêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî èòîãîì ïðèìåíåíèÿ àëãîðèòìà ÿâëÿåòñÿ
ïîñòðîåíèå ïîëîæèòåëüíîãî (ñòðîãî ãîâîðÿ, íåîòðèöàòåëüíîãî) ðåøåíèÿ
ñèñòåìû óðàâíåíèé ðàçíîñòíîé ñõåìû (5).
Ðåàëüíàÿ
àïïðîêñèìàöèÿ,
âûñîêàÿ
óñòîé÷èâîñòü
è
ñõîäèìîñòü
ïðåäëîæåííîé íåÿâíîé ñõåìû ïîäòâåðæäåíà ìíîãî÷èñëåííûìè ïðèìåðàìè.
Íåâûñîêèé ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè êîìïåíñèðóåòñÿ âûñîêîé ýêîíîìè÷íîñòüþ
ìåòîäà, ïîçâîëÿþùåãî èíòåãðèðîâàòü ñèñòåìó (2) ñ äîñòàòî÷íî ìàëûì øàãîì.
Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî èññëåäîâàíèÿ ïðåäåëüíîãî ñâîéñòâà (2) ïðèâåäåíû â
[6]. Êàê îêàçàëîñü, ó÷åò íåëèíåéíîñòè â îïèñàíèè ïðîöåññîâ ïðîìåæóòî÷íûõ
ñòàäèé ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè ñóùåñòâåííî âëèÿåò íà ïðåäåëüíîå ñâîéñòâî,
óêàçûâàÿ íà îáëàñòü ïàðàìåòðîâ ìîäåëè, â êîòîðîé ïðåäåëüíûé ïåðåõîä
ñòàíîâèòñÿ ïðàêòè÷åñêè íå âîçìîæíûì. Åñëè σ ≥ 1, èëè íå ñëèøêîì
îòëè÷àåòñÿ îò åäèíèöû â ìåíüøóþ ñòîðîíó, òî ñðàâíåíèå ðàñïðåäåëåíèÿ
ïðîäóêòà ñèíòåçà, çàäàâàåìîå êîìïîíåíòîé xn (t) ñèñòåìû (2), ñ òåì, ÷òî
äà¼ò ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàþùèì àðãóìåíòîì (3), îñóùåñòâëÿåòñÿ
íåïîñðåäñòâåííî èíòåãðèðîâàíèåì (2) ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ n.
Ïðèâåä¼ííûå íà ðèñ. 3 ðåçóëüòàòû ñîîòâåòñòâóþò σ = 0.75, n = 106 .  äàííîì
ñëó÷àå çíà÷åíèå n âçÿòî çàâûøåííûì ñ öåëüþ äåìîíñòðàöèè âîçìîæíîñòåé
ïðåäëîæåííîãî ìåòîäà èíòåãðèðîâàíèÿ.
 õîäå ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ áûëî óñòàíîâëåíî èíòåðåñíîå ñâîéñòâî
(2). Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n êîìïîíåíòà xn (t) áóäåò
ïî÷òè èäåàëüíî ñîâïàäàòü ñ ôóíêöèåé y(t), ÿâëÿþùåéñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ
ñ çàïàçäûâàþùèì àðãóìåíòîì (3), ãäå
τ1 τ2
(1 + q), τ2 > τ1 , 0 < q < 1,
τ2 − τ1
åñëè çíà÷åíèå ïàðàìåòðà q îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ ñîâïàäåíèÿ ïåðèîäîâ
óñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáàíèé àâòîíîìíîé ñèñòåìû (2) è óðàâíåíèÿ ñ
çàïàçäûâàþùèì àðãóìåíòîì (3), (8). Ïðè ýòîì çíà÷åíèå q áóäåò èìåòü
ïîðÿäîê n−σ äëÿ σ , áëèçêèõ ê íóëþ. Òàê, ïðè óêàçàííûõ íà ðèñ. 3 çíà÷åíèÿõ
ïàðàìåòðîâ, σ = 2/5, çíà÷åíèå q áóäåò ìåíüøå 1/100, åñëè n > 2.5 106 . Òàêèì
îáðàçîì, èñïîëüçîâàíèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàþùèì àðãóìåíòîì (3),
(4) äëÿ îïèñàíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîäóêòà ñèíòåçà ñòàíîâèòñÿ ïðîáëåìàòè÷íûì
ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà σ .
(8)
τ=
474
Ñ. È. ÔÀÄÅÅÂ, Â. À. ËÈÕÎØÂÀÉ, Ä. Í. ØÒÎÊÀËÎ, Â. Ê. ÊÎÐÎËÅÂ
Ðèñ.
3. Èëëþñòðàöèÿ
ïðåäåëüíîãî ñâîéñòâà àâòîíîìíîé
ñèñòåìû (2). Ïðè n = 106 , τ1 = 2, τ2 = 4, θ = 2, ω = 1/10,
ρ = 1, σ = 3/4, α = 5, β = 1, γ = 4, ãðàôèêè xn (t) è ðåøåíèÿ
óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàþùèì àðãóìåíòîì y(t) (3) ïðàêòè÷åñêè
ñîâïàäàþò.
×èñëåííîå èññëåäîâàíèå ìîäåëåé ïðîâîäèëîñü ñ èñïîëüçîâàíèåì ïàêåòà
ïðîãðàìì HGNET-2, â êîòîðîì ðåàëèçîâàí ïðåäëîæåííûé àëãîðèòì
÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ.
Çàêëþ÷åíèå
Ïðåäñòàâëåííûå â ðàáîòå ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî àíàëèçà íåëèíåéíûõ
ìîäåëåé ìíîãîñòàäèéíîãî ñèíòåçà âåùåñòâà ïîäòâåðæäàþò, ÷òî óñòàíîâëåííàÿ
â ðàìêàõ ðàíåå äîêàçàííûõ ïðåäåëüíûõ òåîðåì âçàèìîñâÿçü ñèñòåì
îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàþùèìè
àðãóìåíòàìè ìîæåò áûòü ðàñïðîñòðàíåíà íà áîëåå øèðîêèé êëàññ íåëèíåéíûõ
ìîäåëåé, îïèñûâàþùèõ ïðîöåññû ñèíòåçà âåùåñòâà ñ ó÷åòîì âîçìîæíîñòè
ïðîòåêàíèÿ ïðîöåññà ñèíòåçà â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè (ðàñùåïëåíèå
ïîëèìåðà) è ñïîíòàííîé òåðìèíàöèè ïðîöåññîâ ïðîìåæóòî÷íîãî ñèíòåçà.
Ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïðàâäîïîäîáíûì, ÷òî îäíèì èç íåîáõîäèìûõ óñëîâèé
êîððåêòíîñòè ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà ê óðàâíåíèþ ñ çàïàçäûâàþùèì
àðãóìåíòîì, ÿâëÿåòñÿ ïðåîáëàäàíèå ñêîðîñòè ïðîòåêàíèÿ ïðÿìîãî ïðîöåññà
íàä îáðàòíûì. Ðàññìîòðåííûå ìîäåëè ÿâëÿþòñÿ äîñòàòî÷íî óíèâåðñàëüíûìè
è ïîçâîëÿþò ïðèìåíÿòü èõ ê ìîäåëèðîâàíèþ ìàòðè÷íûõ ïðîöåññîâ ñèíòåçà
ÄÍÊ, ÐÍÊ è áåëêîâ. Â ðåçóëüòàòå, èç ïðåäñòàâëåííûõ â íàñòîÿùåé ðàáîòå
ðåçóëüòàòîâ â ñîâîêóïíîñòè ñ ðàíåå äîêàçàííûìè ïðåäåëüíûìè òåîðåìàìè,
ñëåäóåò âàæíîå çàêëþ÷åíèå î âîçìîæíîñòè àäåêâàòíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ
äèíàìèêè ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ãåííûõ ñåòåé, íå ïðèáåãàÿ ê äåòàëüíîìó
îïèñàíèþ â íèõ ìåõàíèçìîâ ñèíòåçà ÄÍÊ, ÐÍÊ è áåëêîâ. Îáîáùàÿ äàííûé
âûâîä ìîæíî òàêæå ñêàçàòü, ÷òî íàøè ðåçóëüòàòû îáîñíîâûâàþò òåçèñ î
âîçìîæíîñòè àäåêâàòíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ áèîëîãè÷åñêèõ ñèñòåì â óñëîâèÿõ
íåïîëíîãî çíàíèÿ äåòàëåé ìåõàíèçìîâ ôóíêöèîíèðîâàíèÿ èõ ïîäñèñòåì.
ÎÁ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÈ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÌÎÄÅËÅÉ
475
Åñëè ó÷åñòü, ÷òî áèîëîãè÷åñêèå ñèñòåìû, êàê ïðàâèëî, èçó÷åíû íåäîñòàòî÷íî
ïîäðîáíî è íàøè òåêóùèå çíàíèÿ î ìîëåêóëÿðíûõ ìåõàíèçìàõ âåñüìà
íåïîëíû, äàííûé âûâîä èìååò ôóíäàìåíòàëüíîå ìåòîäîëîãè÷åñêîå çíà÷åíèå.
Àâòîðû âûðàæàþò èñêðåííþþ áëàãîäàðíîñòü Ñ.Ê. Ãîäóíîâó çà ñîâåòû è
ïîääåðæêó ðàáîòû, Ã.Â. Äåìèäåíêî è ó÷àñòíèêàì ñåìèíàðîâ, ïðîõîäèâøèõ ïîä
åãî ðóêîâîäñòâîì, çà àêòèâíîå îáñóæäåíèå ðàáîòû è çàìå÷àíèÿ.
Àâòîðû âûðàæàþò áëàãîäàðíîñòü È.À. Ãàéíîâîé çà ïîäãîòîâêó ñòàòüè ê
èçäàíèþ.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] Â.À. Ëèõîøâàé, Þ.Ã. Ìàòóøêèí, Ñ.È. Ôàäååâ, Çàäà÷è òåîðèè ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ãåííûõ
ñåòåé, Ñèáèðñêèé æóðíàë èíäóñòðèàëüíîé ìàòåìàòèêè, 6: 2 (2003), 6480.
[2] Â.À. Ëèõîøâàé, Ñ.È. Ôàäååâ, Þ.Ã. Ìàòóøêèí, Ã.Â. Äåìèäåíêî, Í.À. Êîë÷àíîâ
Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå ðåãóëÿòîðíûõ êîíòóðîâ ãåííûõ ñåòåé, Æóðíàë
âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, 44: 10 (2004), 19211940.
[3] Â.À. Ëèõîøâàé, Ñ.È. Ôàäååâ, Ã.Â. Äåìèäåíêî, Þ.Ã. Ìàòóøêèí, Ìîäåëèðîâàíèå
ìíîãîñòàäèéíîãî
ñèíòåçà
âåùåñòâà
áåç
âåòâëåíèÿ
óðàâíåíèåì
ñ
çàïàçäûâàþùèì
, Ñèáèðñêèé æóðíàë èíäóñòðèàëüíîé ìàòåìàòèêè, 7: 1 (2004), 7394.
[4] Ñ.È. Ôàäååâ, Â.À. Ëèõîøâàé, Ä.Í. Øòîêàëî, Èññëåäîâàíèå ìîäåëè ñèíòåçà ëèíåéíûõ
áèîìîëåêóë ñ ó÷åòîì îáðàòèìîñòè ïðîöåññîâ, Ñèáèðñêèé æóðíàë èíäóñòðèàëüíîé
ìàòåìàòèêè, 8: 3 (2005), 149162.
[5] Ä.Í. Øòîêàëî, Î ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå ê óðàâíåíèþ ñ çàïàçäûâàþùèì àðãóìåíòîì
â ìîäåëè ñèíòåçà âåùåñòâà ñ ó÷åòîì îáðàòèìîñòè è ñòîêîâ, Ñèáèðñêèé æóðíàë
èíäóñòðèàëüíîé ìàòåìàòèêè, 12: 2 (2009), 143156.
[6] Â.À. Ëèõîøâàé, Ñ.È. Ôàäååâ, Ä.Í. Øòîêàëî, Îá èññëåäîâàíèè íåëèíåéíûõ ìîäåëåé
ìíîãîñòàäèéíîãî ñèíòåçà âåùåñòâà, Íîâîñèáèðñê, (Ïðåïðèíò / ÐÀÍ. Ñèá. îòä.
Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè, 246 (2010), 37 ñòð.
àðãóìåíòîì
Ñòàíèñëàâ Èâàíîâè÷ Ôàäååâ
Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè èì. Ñ.Ë. Ñîáîëåâà ÑÎ ÐÀÍ,
ïð. àêàäåìèêà Êîïòþãà 4,
Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò,
óë. Ïèðîãîâà 2,
630090, Íîâîñèáèðñê, Ðîññèÿ
E-mail address
: fadeev@math.nsc.ru
Âèòàëèé Àëåêñàíäðîâè÷ Ëèõîøâàé
Èíñòèòóò öèòîëîãèè è ãåíåòèêè ÑÎ ÐÀÍ,
ïð. àêàäåìèêà Ëàâðåíòüåâà 10,
Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò,
óë. Ïèðîãîâà 2,
630090, Íîâîñèáèðñê, Ðîññèÿ
E-mail address
: likho@bionet.nsc.ru
Äìèòðèé Íèêîëàåâè÷ Øòîêàëî
Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò,
óë. Ïèðîãîâà 2,
630090, Íîâîñèáèðñê, Ðîññèÿ
E-mail address
: dmitry@nprog.ru
Âèêòîð Êóçüìè÷ Êîðîëåâ
Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè èì. Ñ.Ë. Ñîáîëåâà ÑÎ ÐÀÍ,
ïð. àêàäåìèêà Êîïòþãà 4,
630090, Íîâîñèáèðñê, Ðîññèÿ
E-mail address
: korolev@math.nsc.ru